水运动学

3 水运动学
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 恒定流和非恒定流 3.3 流线和迹线
3.4
质点与控制体的概念
3.5 一元流动法 3.6 恒定元流和总流的连续方程 3.7 三元流的连续方程
3.1 描述液体运动的两种方法
液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质，
u2/r
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 恒定流和非恒定流 3.3 流线和迹线
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
x
c O
b
y
图 拉格朗日法
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点
z
M
t0
t
z
c
O b x a
y
x
y
图 拉格朗日法
x x ( a , b, c , t ) 给定（a，b，c）， 该质点的轨迹方程 y y ( a , b, c , t ) z 不同（a，b，c）， z (a , b, c , t ) 不同质点的轨迹方程
dx(a, b, c, t ) ux dt x x (a, b, c, t ) 对速度求导，得到液体质点的加速度t ) dy(a, b, c, y y (a, b, c, t ) u y t dt z z (a, b, c, t ) dz(a, b, c, t ) uz dt d 2 x (a, b, c, t ) dx(a, b, c, t ) a x u x dt 2 dt d dy(a, b, c, t ) d 2 y (a, b, c, t ) a y u y dt dt dt 2 dz(a, b, c, t ) d 2 z (a, b, c, t ) u z a z dt dt 2
us us 0 s
u1 同一时刻，沿着抛射轨迹，不 同位置处的流速不同，因此，沿抛 射轨，存在位变加速度 u2
利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间 t 的
函数，则
du ( x , y , z , t ) ax x dt du y ( x , y , z , t ) a y dt du ( x , y , z , t ) az z dt
y
设某一液体质点 在 t = t0 占据 起始坐标 （a，b，c）
z M t0 c z
t
O
b
a
x y
图 拉格朗日法
x x ( a , b, c , t ) y y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
x
t0 ：
微团占据
起始坐标 （a，b，c）
3.1.2 欧拉法
考察固定空间点（x, y, z) ，不同液体质点通过的情 况，了解整个流动空间的流动。
3.1.2 欧拉法
相当于在流场中设置许多观察点（x，y，z），研
究不同时刻t、不同观察点（x，y，z）上, 不同液体质
点的运动，将各观察点的运动信息加以综合，可了解
整个流场的运动。
采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为
(a , b, c ) lim ite d idpoin ts flu
1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点
2 数学上存在难以克服的困难 3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况
因此，该方法在工程上很少采用, 但在波浪运动，piv 量测等问题中用这个方法。
3.1.2 欧拉法
欧拉法：流场法，核心是研究运动要素分布场
空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。
液体质点通过任意空间固定点 (x, y, z) 时的流速
dx ( x , y , z , t ) ux dt dy ( x , y , z , t ) uy dt dz ( x , y , z , t ) uz dt
不同液体质点通过给定空间点的流速变化
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
du ( x , y , z , t ) ax x dt du y ( x , y , z , t ) a y dt du ( x , y , z , t ) az z dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点
2 数学上存在难以克服的困难 3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况
因此，该方法在工程上很少采用, 但在波浪运动，piv 量测等问题中用这个方法。
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，
加速度分
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t t ut
(a , b, c ) lim ite d idpoin ts flu
1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点
2 数学上存在难以克服的困难 3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况
因此，该方法在工程上很少采用, 但在波浪运动，piv 量测等问题中用这个方法。
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
对上式求导，得到液体质点的速度
dx(a, b, c, t ) ux t x x (a , b, c, t ) d dy(a , b, c, t ) y y (a , b, c, t ) u y dt t z z (a , b, c, t ) dz(a , b, c, t ) uz t
怎样描述整个液体的运动规律呢
3.1.1 拉格朗日法
拉格朗日法: 质点系法
把液体质点作为研究对象，跟踪每一个质点，描述
其运动过程，获得整个液体运动的规律。
这种方法和理论力学中研究质点和质点系运转动的方法
相似，故又叫质点法。
z
M t0
c O b x y
图 拉格朗日法
t
z
a x
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
(x, y, z , t ) :
拉格朗日法
欧拉法
(a, b, c) t (x, y, z)
:
质点起始坐标 任意时刻 空间固定点（不动）
: 任意时刻 : 质点运动轨迹坐标
欧拉法
t = t0 ＝ 给定时刻，（x，y，z）＝ 变数
同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分 布，即流场。
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欧拉法
（x，y，z）＝ 给定点，t ＝ 变数
时变加速度分量（三项） 位变加速度分量（九项）
对于一维流动, 加速度可简化为
u (s,t)
s
du s ( s , t ) u s u s as us dt t s
n
R
对于二元流动 例如，弯道流，引
入曲线坐标 s，n ，则
＝0
s
dus ( s , n , t ) us us us us un a s dt t s n a dun ( s , n , t ) un u un u un s n n dt t s n

u x t u y
t u z t
u x u u u y x uz x x y z u y u y u y ux uy uz x y z u u u u x z u y z uz z x y z ux
dux ( x, y, z, t ) u x u x u x ux ux uy uz a x dt t x y z du y ( x, y, z, t ) u y 从数学上分析，利用复合函数求导的方 u y u u y u u y ＝ ux a y y z dt t y z 法，将（ ）看成是时间t的函数，则 x x,y,z 有加速度分量的表达式) duz ( x, y, z, t uz uz uz uz ux uy uz a z dt t x y z
对速度求导，得到液体质点的加速度
dx(a, b, c, t ) ux dt dy(a, b, c, t ) u y dt dz(a, b, c, t ) uz dt
x x (a, b, c, t ) d y y (a, b, c, t ) dt z z (a, b, c, t )
式中， (x, y, z, t ) (ux uy uz)
: 欧拉变数 : 通过固定点的流速分量
(a, b, c)
:
质点起始坐标
拉格朗日法
t
(x, y, z)
:
:
任意时刻
质点运动的位置坐标
(a, b, c , t ) :
拉格朗日变数
(x, y, z) 欧拉法 t
: :
空间固定点（不动） 任意时刻 欧拉变数
因此，该方法在工程上很少采用, 但在波浪运动， piv量测等问题中用这个方法。
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
(a , b, c ) lim ite d idpoin ts flu
用欧拉法研究液体运动的例子

地面卫星观测站
水文站
流场中任一物理量, 如压强、密度，则
p p( x, y, z , t )
( x, y, z, t )
一维流动， 则
u u( s, t ) p p( s, t )
3.1.3 用欧拉法表达加速度
从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；
u x ( x , y , z , t ) 0 t
u0
图 时变加速度产生说明
水面保持恒定
图 位变加速度说明
u1
u ( x , y , z , t ) ux x 0 x
u2 x
t0 t1 t2
孔口出口流速大小随时间变化 u2 u1
u0
落地流速方向和大小随时间变化 u2 u u0
t0 u0
t：
微团运动到 空间坐标 （x，y，z）
z M t
t0
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
x
c O b a
z
y x y
图 拉格朗日法
式中，（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
z M t0 t z a x y
d 2 x (a, b, c, t ) dx(a, b, c, t ) a x u x dt 2 dt d dy(a, b, c, t ) d 2 y (a, b, c, t ) a y u y dt dt dt 2 dz(a, b, c, t ) d 2 z (a, b, c, t ) u z a z dt dt 2
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
(a , b, c ) lim ite d idpoin ts flu
1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点
2 数学上存在难以克服的困难 3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况