“设而不求”的思想解一类解析几何问题

“设而不求”巧解立体几何题
对于某些立几题，巳知量很少，在解题过程中要设很多的未知量，如果将这些未知量一一求出是不明智的。

通常采用“设而不求”的方法，则往往会起到事半功倍之效果。

请看下面几例：
例1 半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且切于AB、BC、CD分别于A、E、D点，将其图形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3：4，求球的体积与圆台的体积之比。

解：如左图所示，设球的半径为R，则圆台的高为2R，设圆台上、下底半径为、
，母线为依题意得。

评注：设圆台的上下底面半径为高为，母线为，以及内切球半径R，借助于轴截面将它们集中在一个平面，运用平面几何知识把圆台的体积用R表示，是解决此题的基本思想。

像这样一类求比值的问题，可用“设而不求”的方法。

例2 巳知A、B、C、D四点共面且AB∥平面，CD∥平面，AC=E，AD=F, BD =H, BC =G,若AB=CD=a试求四边形EFHG的周长。

解：∵AB∥α，面ABC∩α=EG，∴AB∥EG。

同理AB∥FH，∴EG∥FH。

同理可证EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形。

设在中，∥即，。

在，∥，即
，的周长为。

评注：此解中巧设了，最后却自动离去，体现了计算的技巧性和简洁性。

例3 如左图，正四棱台上、下底面面积分别为侧面积为，求一个对角面的面积。

解：设上下底面边长分别为，斜高为，棱台的高为，则对角面面积为：。

评注：此题用了整体代入法，设而不求，减少运算量，简化过程，提高了演算的准确性。

在某些题目中，只要求出未知数x 的值，而我们却设了三个未知数：a ，b ，x ，并且在解题过程中，我们也根本没求a ，b 的值．但是由于增设了a ，b 后，给我们利用等量关系列方程或用其他方式求x 的值时，带来了很大的便利，像a,b 这种未知数就是所谓的的“设而不求”的未知数．关于设而不求一般来说有以下几种应用：1、增设了几个未知数后，我们不需要求出每个未知数具体是多少，只需要求几个未知数的和、差、比值等（在盈利率问题中比较常见）；2、增设了未知数后可以根据等量关系快速列出方程，解方程的过程中增设的未知数会被约去（在行程问题中比较常见）；3、增设了未知数后可以很好帮我们找到题目中我们想要知道的两个关键量之间的关系，也就是这个时候增设的未知数相当于是参数（在几何问题中比较常见）。

下面就用两道例题来举例说明设而不求的思想方法：例1 若使得6513+-n n 为可约分，则自然数n 的最小值是多少？ 解：不妨设分子与分母有公因数a ，显然a ＞1，并且设分子：n -13=ak 1，①分母：5n+6=ak 2．②其中k 1，k 2为自然数．由①得n=13+ak 1，将之代入②得：5(13+ak 1)+6=ak 2，即71+5ak 1=ak 2，所以a(k 2-5k 1)=71．由于71是素数，且a ＞1，所以a ＝71，所以n=k 1·71+13．故n 最小为84．例2 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？解：设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．。

解析几何中的设而不求解题技巧解析几何是中学数学的重点内容，也是高考主要考察的地方，解析几何的方法与技巧也较多，其中一类的问题是设而不求，就是可以设出有关的点，或设出有关的变量，通过这些变量来解决问题，而设出的这些变量不用求出来，只是参与解题，通过这一桥梁作用求出问题，解决问题，下面就常用的设而不求的类型总结如下，希望对同学有所帮助。

一 遇到中点问题一般用设而不求例1 ,椭圆Q ：)0( 12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （c,0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).20(sin 2πθθ≤<=b 确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？（1）设椭圆),(1:112222y x A by a x Q 上的点=+、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222222222212212ba y a xb ba y a xb 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，由①—②得)(.0,,02)(2)(22222222121212212*=-+∴-=-=--∴=-+- cx b y a x b cx yy a x b x x y y y y y a x x x b2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：022222=-+cx b y a x b（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c a x 2=原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为,2ca,1||),0,2(,1,1,2.,2,,2).42(2cos 1cos sin 1).20(sin ,sin cos 1,22222222======+=+++=≤<=++=-=DF D c b a l Q in c a b a b a c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθθθπθθθθ),(112:1122y x A y x Q 上的点设椭圆=+、),,(22y x B.0,1,2484,11,)2()1(84)()(4,21,22.012)2(,112,1.||21||21||212222221221221222122122222121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤≥+=++=-+=-=+-=+-=+=-++=++=-=+=∆k t t tS k t k k y y y y y y S k y y k k y y ky y k y x ky x m y y y y S ABD 因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 点评：求圆锥曲线的弦的中点轨迹问题时一般用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入圆锥曲线方程两式相减便可求出中点坐标与斜率的关系。

“设而不求”，简化运算
作者：朱建平
来源：《新高考·数学基础》2018年第07期
“设而不求”是指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法.它的实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
解析几何问题中“设而不求”的解题策略的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法等等.
1.利用中点坐标公式设而不求
点评利用“设而不求”，不仅可以简化计算，而且使解法灵活生动.其核心思想就是整体思想，所得结果恰好满足题意.
2.利用代点相减法设而不求
点评此题利用“点差法”和中点公式求出直线的斜率公式，解题过程思路清晰，运算简洁明快，是解析几何常用方法.
3.利用韦达定理设而不求
分析此题解法多样，处理角度也很多，通过适当转化后可以利用根与系数的关系，“设而不求，整体思想”去解决.
点评此类问题主要是通过直线与圆联立方程组，通过韦达定理利用“设而不求”思想整体代人，逐步转化为关于参数的方程或不等式问题，避免了繁琐的求解運算，也降低了出错率，是解析几何运算中最有代表性的运算方法之一.
“设而不求”是用代数方法解决问题的一个好手段.所谓设而不求，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体地去直接解出变量的值.它给解这一类题提供了较好的切人点和较少的运算量，此类方法是以“设”为基础，而“不求”是关键、是技巧，从而得到需要的结论，
采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果，。

“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2， 同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。

高考解析几何题“设而不求”解题法的应用数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。

若思维得法，解题就会一气呵成。

“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。

“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。

解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。

一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。

例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使ap/pb=-aq/qb，求动点q的轨迹方程。

分析：b、q、a、p在同一线段上，且ap/pb=-aq/qb，故可设ap/pb=k，于是b、q、a、p坐标之间的联系就找到了，把b、a点的坐标及k 设而不求，通过消元的办法找出q点坐标的关系式，即求出q点的轨迹方程。

解：设q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），ap/pb=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。

例2.（2010高考模拟）p0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点p作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于q、r，求证四边形orpq的面积为定值。

分析：设oq、or的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线pr的方程为y=■（x-x0）+y0，直线qr的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xr=■-■y0，xq=■+■y0。

数学篇设而不求主要是指根据题目特征，恰当地设置未知数，然后找到有关等量关系，建立相应的代数式或方程式，再将未知数消去或代换，从而达到求解的目的.简单地讲，设而不求就是只设未知数，不求其值，其本质是换元.这种解题方法能快速、准确、简捷地解答一些棘手的问题．下面举例说明“设而不求”在求解三类数学题中的应用方法.一、设而不求，求二次根式的值在解答二次根式求值问题时，当运用常规思路直接求值较为棘手时，可以将已知条件的某一参数作为变量，设出辅助未知数，借助虚设的参数对二次根式进行转化变形再求值.这种设而不求的方法，既可以使已知与所求目标之间的联系更加明朗，又可以避开繁杂的运算过程.例1若1993x 2=1994y 2，且1x +1y =1(x >0，y >0)，则1993x +1994y 的值为_______.分析：本题是一道二次根式求值题，直接求1993x +1994y 的值，显然难度较大.若能引入参数，设1993x 2=1994y 2=t (t >0)，那么很容易得知1993x =t x ,1994y =t y ,1993=t x2,1994=t y 2,再将其代入1993x +1994y 中进行化简和消参，即可求出目标根式的值.解：设1993x 2=1994y 2=t (t >0)，则1993x =t x ,1994y =t y,1993=t x 2,1994=t y2,所以1993x +1994y===t =t ⋅(1x +1y )==1993+1994.评注：本题增设了辅助未知数t ，通过化简、变形、代换，设而不求，使问题化难为易.在这一过程中，要注意“t >0”这一隐含条件.二、设而不求，比较分数的大小在比较分数大小时，尤其对于一些复杂的分数比较大小问题，运用一般解法直接求解会非常繁琐，且容易出错.此时，同学们若能结合分式特点适当引入辅助未知数，并将其带入分数中，利用分数的分子与分母间的关系与分数特征，设而不求，则可以使繁难的分数问题变得简单.例2比较1994197919941995与1994198019941996的大小.分析：本题两个分式中的分子和分母数字都较大，若按照常规思路直接比较大小，显然十分困难.观察分式特点，不难发现19941995与19941996、19941979与19941980均相差1，若能恰当引入未知数，设而不求，则可以避免复杂运算，快速找到解题的突破口.解：设19941995=a ，19941979=b ，则1994197919941995=b a ，1994198019941996=b +1a +1.b a -b +1a +1=b (a +1)-a (b +1)a (a +1)=ab +b -ab -a a (a +1)=b -a a (a +1).因为a >b >0，所以b -a a (a +1)<0，所以b a <b +1a +1，即1994197919941995<1994198019941996.评注：本题关键在于设19941995=a ，19941979=b ，然后通过b a -b +1a +1<0，得出设而不求，巧解三类数学题盐城景山中学倪娜解法荟萃32数学篇解法荟萃b a <b +1a +1，进而确定1994197919941995与1994198019941996的大小.整个过程设而不求，简洁明了，达到了避繁就简的目的.三、设而不求，解答实际应用题对于某些较为复杂的应用题，所给已知条件不多，或者数量较多，各数量间的关系并不明显，倘若直接设元，很难提炼出复杂的数量关系式，此时可以通过引进辅助元，再依据题意提炼出含辅助元的数量关系式，列出有关方程式（组）.而辅助元在求解过程中一般可以整体求出或在写出结果时被消去，这样问题就可以轻松获解.例3小红在网上购买甲、乙、丙三种型号的铅笔，已知买4支甲型、20支乙型、16支丙型的铅笔共需12元；买6支甲型、14支乙型、8支丙型的铅笔共需18元，试问买2支甲型、5支乙型、3支丙型的铅笔共需多少元？分析：本题是一道典型的方程应用题，按照解方程的步骤，需要先设甲、乙、丙三种型号的铅笔单价分别为x 元、y 元、z 元，再根据题意列出方程组.但是所列方程组中的每个方程均含有三个未知数，显然直接解出x ,y ,z 的值难度较大.注意到本题实际上是求2x +5y +3z 的值，因此，可以采用设而不求法予以求解.解：设甲型铅笔每支x 元，乙型铅笔每支y 元，丙型铅笔每支z 元，那么由题意可得ìíî4z +20y +16z =12,6z +14y +8z =18,将z 看作常数，解关于x ,y 的二元一次方程组，这样就可以得到x =3+z ,y =-z ,所以2x +5y +3z =2(3+z )+5(-z )+3z =6.评注：本题借助设而不求法，设辅助元z ，将之视为已知常数，使三元一次方程组问题转化为关于x ,y 的二元一次方程组问题，得出x =3+z ,y =-z 后，再整体代入求解.总之，“设而不求”法不仅可以用于解答各类代数问题，还可以用于解答几何问题.当遇到用常规方法难以解答的问题时，同学们不妨另辟蹊径，根据题意灵活引入辅助参数，设而不求，从而简化问题，减少计算量，提高解题效率.上期《<锐角三角函数>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.C ；4.C ；5.等腰直角三角形；6.65；7.512；8.85；9.解：（1）AC 的长为6；（2）tan∠BAD 的值是176.10.解：（1）过B 作BH ⊥AE 于H ，图略，在Rt△ABH 中，i =tan ∠BAH =，∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =10米；（2）∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．由（1）得：BH =10,AH =103米，∴BG =AH +AE =(103+30)米，在Rt△BGC 中，∠CBG =30°，∴CG =BG ⋅tan 30°=(103+=10+103．在Rt△ADE 中，∠DAE =45°，AE =30米，∴DE =AE =30米，∴CD +CG +GE -DE =10+103+10-3。

高考数学中的设而不求思想
在高考数学中，无论是理科数学还是文科
数学必定有一道大题是平面解析几何的。

而设
而不求思想在平面解析几何问题中更是屡见不
鲜。

其实前面我们在导函数的隐零点问题中也
用到了设而不求的思想（具体可参考前面的文
章）。

而在平面解析几何中，若是出现了直线
与圆锥曲线相交的情况，基本上设而不求是跑
不掉的。

所谓“设而不求”顾名思义就是设出
相关点的坐标但是不用去求它们的具体数值。

通过一系列的转化从而得到我们需要的结果。

一般都是把“四个变量”化成：“三个变量‘’
再把“三个变量”化成“一个变量”。

进行的
操作就是设出直线与圆锥曲线的交点坐标A
（x1,y1）,B（x2,y2）,联立直线跟圆锥曲线的
方程得到只有x1、x2、k（直线斜率）三个变
量的等式，再利用一元二次方程根与系数的关
系得到只有k的等式，从而化简了问题。

下面我们通过几道高考试题的解答来看看设而不求思想的实际应用。

希望同学们都能够有所领悟。

再看看2018年全国1卷文科数学平面解析几何大题。

再看看2018年理科数学平面解析几何大题。

"设而不求"的思想在数学中的应用作者：李松田来源：《读与写·上旬刊》2013年第09期在高中解析几何中，"设而不求"的思想是一种常用的思想方法，它能使很多数学问题得到简化。

这种思想特别在圆锥曲线中有关中点坐标问题，求斜率问题和根与系数的关系问题等方面的应用表现得比较突出。

本文就它的应用和应用中的注意事项作一归纳解析。

1."设而不求"的数学思想主要有以下几个方面的应用1.1与弦中点有关的问题例1、P（1，1）为椭圆内一定点，过点P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程。

解：依题意，此弦所在直线的斜率存在，可设其斜率为k，且设该弦的两个端点的坐标为（x1，y1），（x1，y1），则，两式相减并分解因式得∵∴此弦所在的直线方程为y-1=-12（x-1），即x+2y-3=0。

评析：此题的解法利用了点差法。

点差法的步骤是：设点（即设出弦的端点坐标）——代入曲线方程）——作差（即两式相减）——分解因式——结合中点坐标，构造斜率。

1.2与对称有关的问题例2、直线l过抛物线y=8x2的焦点，若抛物线上存在两个不同的点A，B关于l对称，求直线l斜率的取值范围。

评析：事实上，在圆锥曲线上是否存在关于某直线对称的两点，是比较难的且综合性比较强的问题。

解这一类问题要抓住两个要点：（一）利用轴对称的性质---垂直且平分；（二）若要求某参加的取值范围，关键是要构造关于这个参数的不等式。

1.3与定点有关的问题例3、设抛物线y =2px（p>0）的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O。

2." 设而不求"的数学思想应该在解题过程中要注意挖掘题中的隐含条件，请看下面的例子例、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为π4的直线l 与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.解：由题意，可设l 的方程为y=x+m，-5∴评析：求解直线和圆锥曲线的试题，主要涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算；但△>0是同学们常忘的一个隐含条件。

高考解析几何题“设而不求”解题法的应用作者：李远文来源：《学周刊·A》2013年第02期数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。

若思维得法，解题就会一气呵成。

“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。

“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。

解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。

一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。

例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使AP/PB=-AQ/QB，求动点Q的轨迹方程。

分析：B、Q、A、P在同一线段上，且AP/PB=-AQ/QB，故可设AP/PB=k，于是B、Q、A、P坐标之间的联系就找到了，把B、A点的坐标及k设而不求，通过消元的办法找出Q点坐标的关系式，即求出Q点的轨迹方程。

解：设Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AP/PB=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以Q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。

例2.（2010高考模拟）P0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点P作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于Q、R，求证四边形ORPQ的面积为定值。

分析：设OQ、OR的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线PR的方程为y=■（x-x0）+y0，直线QR的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xR=■-■y0，xQ=■+■y0。

例谈“设而不求法”在中学数学解题中的巧用数学的学习离不开解题，数学学习应该以解题为中心，只有在解题中才能消化所学的知识，只有在解题中才能积极地展开数学思维活动，进而达到融会贯通的目的。

本文就介绍中学数学学习中一种常见而又重要的解题方法——设而不求法，在解数学题时，有时可以考虑设出某些中间变量，但不必将其求出，而是以它们为过渡，帮助我们解题，这就是设而不求地技巧。

它的作用有两个：一是在解题中起桥梁作用，辅助解题；二是因为不直接求出而简化计算。

这种方法在解解析几何题时使用较多，如两曲线相交时，对其交点设而不求，从而快速简捷的求出轨迹方程、弦中点坐标等。

在数列、立体几何等其他问题中也有应用。

为了寻求问题的解决途径，给问题的转化创造必要的条件，常常引进一个或几个起连接作用的辅助元素；把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件合结果联系起来，或者转繁难为简易，从而达到转化问题找出解决途径的目的。

所以设立辅助元素而不求出也是一种转化的方法。

那么在解决实际问题时，怎样从已知条件入手来假设辅助元素呢？这就需要你有扎实的数学基本功，开阔的数学思维能力，对一个问题通过分析条件和特征，从解决问题的需要角度来确定。

在使用设而不求的技巧时，常常伴随曲线的定义、几何性质、点参数、曲线系、韦达定理、方程理论、消去法等概念和方法的运用。

下面我们来看几个“设而不求法”在平面解析几何中的具体的应用：1、F 1 、F 2是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个焦点，∠F 1P F 2 = 900，则△F 1P F 2则的面积是多少？思路：设点P 坐标，列出方程组，再消去点P 坐标。

解：设点P 坐标为（x 0,y 0），则由焦半径公式知 |PF 1|= a+ex 0，|PF 2|= a - ex 0。

又∵∠F 1P F 2 = 900 ，故有,))((214)()(0022020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-++S ex a ex a c ex a ex a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+220222202222S x e a c x e a 两式相加得 S+c 2=a 2，∴S=a 2—c 2=b 2。

谈谈解析几何解题中的“设而不求”技术（一） 什么是“设而不求” ?我们先看下面的例子:过圆外一点P(a,b)引圆x 2+y 2=R 2的两条切线，求经过两切点的直线方程. 按常规,应当先求切点的坐标,再求切线方程.可是求切点避免不了解方程组,而在通常情况下,解方程组牵涉到繁杂的计算,可不可以避免这一繁杂的程序呢?请看:【解析】设两切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则两切线方程分别为：x 1x+y 1y=R 2,x 2x+y 2y=R 2.∵切线经过点P(a,b),∴ax 1+by 1=R 2,ax 2+by 2=R 2.∵点(x 1,y 1),(x 2,y 2)适合方程ax+by=R 2,∴所求直线方程为ax+by=R 2. 在这里,我们用四个参变量x 1, y 1,x 2 ,y 2分别表示两切点A 、B 的坐标,以此为基础进行推理,同样达到解题的目的.这种在一定条件下,通过合理的设参、消参以避免某些中间过程的计算,最终达到解题目的的手段,就是“设而不求”. （二） 哪些问题可以实施“设而不求”?【题1】椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，那么此弦所在直线的方程是【解析】设弦两端分别无A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 ()13642121=+y x()23642222=+y x（1）-（2）：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x （3）由条件：AB 中点为（4，2），∴()：代入⎩⎨⎧=+=+3482121y y x x ∴()()，则21,016821212121-=--==-+-x x y y k y y x x 故所求直线方程为：()0824212=-+--=-y x x y 也就是：.【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施“设而不求”.【题2】已知直线1:02856:2222=+=--by a x c y x l 与椭圆（0<b<a 且b ∈Z ）交于M 、N 两点，B 是椭圆的上顶点，△BMN 的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C 的方程.【解析】设直线()():,,,,2211则两点于交椭圆y x N y x M c l()()()105656028560285621212211⎩⎨⎧=-+-+⇒=--=--y y x x y x y x 且()()()()⎩⎨⎧=-++-+⇒=+=+,021*********222222222212212y y y y a x x x x b ba x a xb b a y a x b 但点M 、N 在直线:65280,l x y --=上()()()212122121266,255MNb x x y y k x x a y y +-∴==∴=--+椭圆上顶点为B （0，b ），且椭圆右焦点F （c ，0）为△BMN 的重心，()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=+=+⇒=++=++∴:13303021212121代入b y y cx x b y y c x x()()():23456518再代入=+b c(),,52,563222222c b a a bc b a c b +==∴-=-⋅而.22,025222bc b c b cb c ==∴=+-∴或()()从而代入舍去代入,4,5614:42;,,5641:42=∴==∉==b b bc Z b b b c .11620:,20,222222=+=+==y x c b a c 则所求椭圆方程为 【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点 实施“设而不求”.【题3】 长为2的线段AB 在抛物线y=x 2上滑动，求AB 中点的轨迹方程. 【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)为抛物线y=x 2上两点，那么：()12)())((2122121212121222211⎩⎨⎧-+=+-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==x x x x y y x x x x y y x y x y 设AB 中点为M(x,y),那么：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-⇒⎩⎨⎧-=-=-⎩⎨⎧=+=+yx x x x x x y y x x x y x x x y y yy y x x x 2212212221************)(4)(242)(2:1222代入∴|AB|2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2=(1+4x 2)(x 1－x 2)2=(1+4x 2)[(x 1+x 2)2－4x 1x 2]=(1+4x 2)[4x 2－4(2x 2－y)]=4（1+4x 2）（y －x 2）已知|AB|=2.∴(1+4x 2)(y －x 2)=1,所求点M 的轨迹方程为：y=x 2+2411x +.【评述】本解说明: 当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.【小结】按理说,解数学题避免不了‘求’,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要‘求’出最后的结果的.这里说的‘不求’,专指可以简化的解题中间过程,用‘设’去代替‘求’.以上各例说明:在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施“设而不求”.但是, “设而不求”的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看：考场精彩【题4】（高考题）P.Q.M.N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知共线，与共线，与且，0=⋅求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.【分析】（1）∵PQ⊥MN ，S四边形PMQNMN PQ 21，故应先求椭圆的弦PQ 与MN 之长；但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施“设而不求”. （2）“设而不求”必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQ ⊥MN ，弦PQ 与MN 之长的计算过程类似,又可以用“同理”的技术处之.【解析】椭圆的上交点为F （1，0）.设直线PQ 的参数方程为：⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t xα∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，t 为参数.代入椭圆方程：()().01sin 2cos 1,2sin 1cos 222222=-++=++ααααt t t t 即设此方程之二根为t 1，t 2,则|PQ|=|t 1-t 2|=()()221212222224sin 4222241cos 1cos 1cos 1cos t t t t MN αααβα+-=+==++++，同理：， 90PQ MN βα⊥∴=︒-，，|MN|=,sin 1222α+ 于是MN PQ S PMQN ⋅=21四边形 ,2sin 4124sin 122cos 12221222ααα+=+⋅+⋅=当α=0时，S max =2；当α=4π时，S min =916.【评析】由于实施了“分析”中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:只要方法对路,“大题”也是可以“小做”的.【题5】（高考题） 设A 、B 是椭圆223x y λ+=上两点，点(1,3)N 是线段AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点。

“设而不求”在解析几何问题求解中的应用
徐祖德
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2010(000)008
【摘要】“设而不求”是高中数学中的一种重要思想方法，是联系解析几何与函数、方程、不等式等相关问题的纽带和桥梁．所谓“设而不求”，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体的去直接解出变量的值，而是利用某种关系去表示变量间的联系（比如和、差、积），常常与韦达定理，弦长公式，
【总页数】2页(P36-37)
【作者】徐祖德
【作者单位】福建省南安国光中学,362321
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.“设而不求”在解析几何中的应用 [J], 梁靖
2.“设而不求”在解析几何中的应用 [J], 张金华
3.设而不求的数学思想在解析几何中的应用 [J], 陈上太
4."设而不求"法在解析几何中的应用 [J], 史建军
5.“设而不求”在解析几何中的应用 [J], 汪旭
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