常州二十四中九年级数学期中考卷(2010.11)11

2023-2024学年度第一学期期中质量调研九年级数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A ．（x-2）2+3B ．（x+2）2-4C ．（x+2）2-5D ．（x+2）2+43．不解方程，判断方程的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定．4．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．5．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．长度相等的弧是等弧D ．三角形的外心是三条角平分线的交点6．某食品厂七月份生产了52万个面包，第三季度共生产了196万个面包．若x 满足方程，则x 表示的意义是（）A ．该厂七月份生产面包数量的增长率B ．该厂八月份生产面包数量的增长串C ．该厂七、八月份平均每月生产面包数量增长率D ．该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率7．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，连接OC 与半圆相交于点D ，则CD的长为（）的2267x x -=AB O C D O 50ABC ∠=︒BDC ∠90︒100︒130︒140︒()()252521521196x x ++++=A ．2B ．3C ．1D ．2.58．如图，在中，，点D 在上，且，点E 是上的动点，连线，点F ，G 分别是和的中点，连结，当时，线段长为（ ）A ．B ．C ．D ．4二、填空题（每小题2分，共20分）9．方程的解为________________．10．已知⊙O 半径为5cm ，圆心O 到直线的距离为6cm ，则直线与⊙O 的位置关系是_____．11．已知圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积为______．12．已知m 是方程的一个根，则代数式的值是_________．13．如图，为的外接圆，，，则半径长为_____．14．如图，中，，，与边，的另一个交点分别为，．则的大小为______°．的ABC 906BAC AB AC ∠=︒==，AC 2AD =AB DE BC DE AG FG ，AG FG =DE23x x =8cm 6cm 210x x --=2552023m m -+O ABP 2AB =30APB ∠=︒O ABC 40A ∠=︒60C ∠=︒O AB AC D E AED ∠15．已知△ABC 三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个三角形的外接圆的半径＝___．16．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝30°，则CD 的长为______．17．已知等腰的边长分别是，，，且，是关于的方程的两根．则的值为__________．18．如图，点A ，B 的坐标分别为，C 为坐标平面内一点，，点M 为线段的中点，连接的最大值为_____．三．解下列方程（每题4分，共16分）19．解方程：（1）（2）（3）（4）四．解答题（20题5分，22题、23题、25题每题各6分，21题、24题每题各8分，26题9分）20．已知：关于x 的一元二次方程．（1）求证：无论a 取任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围．ABC m n 4m n x 2610x x a -++=a ()()4004A B ，，，2BC =ACOM OM ，()25360x --=2670x x -+=()()2131x x -=-()()22243x x -=+210x ax a ++-=21．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为______件：（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？22．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A 、B 、C 、D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径．23．如图，已知．（1）请利用直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹）（2）仅用无刻度的直尺，在上找两点D 、E ，使它们与点A 、点B 构成矩形．24．如图，在中，，过点D 作于点E ，交延长线于点F ．（1）求证：是的切线；为的3.5cm 3cm AB =4cm CD =ABC ABC P P ABDE ABC AB AC =EF AC ⊥AB EF O（2）当时，求的长．25．如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形．①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分；②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分；③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分；设三种地砖的阴影部分面积分别为、和（1）请你写出阴影部分的面积________，（结果保留）（2）请你直接将和的数量关系填在横线上．_______．（3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得（结果保留）26．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．（2）从圆上任意一点出发两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基的56AB BC ==，DE S 甲S 乙S 丙S =甲πS 甲S 乙S 丙π1O C AB CD AB ⊥E AE BE 2米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．（3）如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，AE ⊥BD 于点，则的周长为_________．PA PB O C AB CD PA ⊥E AE PE PB =+AE AFPB =CA CF PC BC 3ABC O AB 2D AC ABD ∠45︒E BDC参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）1．C【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A 、B 、D 都是轴对称图形，C 是中心对称图形，不是轴对称图形，故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，理解轴对称图形的概念是解题的关键．2．C【解析】将代数式前两项结合，加上一次项系数一半的平方即加上4，后面减去4保证与原式相等．【详解】根据配方法，若二次项系数为1，则需要配一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x 2+4x-1=x 2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用.3．B【解析】利用根的判别式进行求解并判断即可．【详解】解：∵∴原方程中，，，，，原方程有两个不相等的实数根故选：B ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答此题的关键，当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．4．D【解析】由题意易得∠ACB =90°，则有∠A =40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．【详解】解：∵是半圆的直径，∴∠ACB =90°，∵，∴∠A =40°，∵四边形ABDC 是圆内接四边形，24b ac ∆=-2267x x -=22670x x --=2a =6b =-7c =-()()22464273656920b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=+=>∴24b ac ∆=-240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-AB O 50ABC ∠=︒∴，∴；故选D ．【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．5．B【解析】根据确定圆的条件、等弧的概念、三角形的内切圆、三角形的内心、外心的概念判断即可．【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A 错误；任何三角形有且只有一个内切圆，B 正确；能够互相重合的弧是等弧，C 错误；三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，D 错误；故选：B【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．D【解析】增长后的量增长前的量增长率，根据方程结合题意确定x 的意义即可．【详解】解：根据题意：x 表示的意义是该厂八、九月份平均每月生产面包数量的增长率．故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，一般形式为，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．7．A【解析】【分析】连接，根据勾股定理逆定理的性质，得，根据切线和相似三角形的性质，推导得、，再根据全等三角形的性质，推导得，通过计算即可得到答案．【详解】如图，设切线AC 与半圆的切点为E，连接180A D ∠+∠=︒140D ∠=︒=(1⨯+)()21a x b +=OE 90ACB ∠=︒CE OD OC OE根据题意，得，，∵AB =10，AC =8，BC =6∴∴∵∴∴∴，∴，和中∴∴∴故选：A ．【点睛】本题考查了圆、勾股定理逆定理、相似三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握切线、相似三角形的性质，从而完成求解．8．C【解析】【分析】连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再根据勾股定理求出．【详解】解：连接，在中，，∴，OE AC ⊥OE OD =152OA OB AB ===222AC BC AB +=90ACB ∠=︒EAO CAB∠=∠AOE ABC∽12OE AE AO BC AC AB ===32BC OE ==42AC AE ==4CE AC AE =-=3OD OE ==AOE △COE 90OE OE OEA OEC AE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩AOE COE≌△△5OC OA ==532CD OC OD =-=-=DF AF EF ，，()ASA AFD BFE ≌2AD BE ==AE DE DF AF EF ，，ABC 906BAC AB AC ∠=︒==，45B C ∠==︒∠∵点G 是的中点，点F 是的中点，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C ．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边中线定理、全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质．二、填空题（每小题2分，共20分）9．【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程，将一次项移到等式左边，利用因式分解法解方程，由此得到一元二次方程的解，正确确定一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】解：∴，故答案为：．10．相离．【解析】【分析】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，当d<r 时，直线和圆相交；当d=r 时，直线和圆相DE BC 45AG DG EG AF BF AF BC DAF ===⊥∠=︒，，，45DAF B ∠=∠=︒AG FG =FG DG EG ==DFE △90DFE ∠=︒90DFA AFE BFE AFE ∠+∠=∠+∠=︒DFA EFB ∠=∠()ASA AFD BFE ≌2AD BE ==4AE AB BE =-=DE ===120,3x x ==23x x =230x x -=()30x x -=120,3x x ==120,3x x ==切；当d>r 时，直线和圆相离，因为6>5，所以直线与圆相离.【详解】根据圆心到直线的距离是6大于圆的半径5，则直线和圆相离．故答案：相离．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系决定了其位置关系，熟练掌握其判断方法是解题的关键.11．【解析】【详解】先求出圆锥底面圆的周长为，再根据扇形面积公式即可求解．解：∵圆锥底面圆的直径，∴圆锥底面圆的周长为，∴该圆锥的侧面积为．故答案为：【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟知圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为底面圆周长是解题的关键．12．2028【解析】【分析】根据方程解的定义得到，进而整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m 是方程的一个根，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．13．2【解析】【分析】连接、，根据圆周角定理得出，证明为等边三角形，进而求出直径．【详解】解：连接、，如图所示：为224πcm 6cm π6cm 6cm π216824cm 2ππ⨯⨯=224πcm 2555m m -=210x x --=210m m --=21m m -=2555m m -=2552023520232028m m -+=+=2028OA OB 60AOB ∠=︒AOB OA OB∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴半径长2，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．14．80【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求得，从而求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形内接于，，∴，∴，∵，，∴，故答案为．15．cm【解析】【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半进行计算．【详解】解：，为30APB ∠=︒260AOB APB ∠=∠=︒OA OB =AOB 2OA AB ==O BDE ∠ADE ∠BCED O 60C ∠=︒180120BDE C ∠∠=︒-=︒18060ADE BDE ∠∠=︒-=︒180ADE AED A ∠∠∠++=︒40A ∠=︒80AED ∠=︒806.522251213+=是直角三角形，则外接圆半径是斜边的一半，即为cm ；故答案为：cm ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟记直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．16．【解析】【分析】作于点，连接，在直角三角形中，根据三角函数求得的长，然后在直角中，利用勾股定理即可求得的长，进而求得的长．【详解】解：作于点，连接，则，，，，，中，，，在中，，即，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．17．或【解析】【分析】①当时，②或时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．ABC ∆∴ABC ∆ 6.56.5OM CD ⊥M OC OEM OM OCM ∆CM CD OM CD ⊥M OC 12CM CD =1BE = 5AE =1153222BE AE OC AB ++∴====312OE OB BE ∴=-=-=Rt ΔOME 30AEC ∠=︒112122OM OE ∴==⨯=Rt ΔOCM 222OC OM MC =+ 22231CM =+CM=22CD CM ∴==⨯=78m n =4m =4n =【详解】解：①当时，∵，是关于方程的两根，∴，解得，，∴关于的方程为，解得：，∵，∴，，为边能组成三角形；②或时，∴是关于的方程的根，∴，解得：，∴关于的方程为，解得：，，∵，∴，，为边能组成三角形；综上所述：的值为或．故答案为：或．18．【解析】【分析】先根据题意得到点C 的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，则是的中位线，即可得到，从而得到最大值时，取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，据此求解即可．【详解】解：∵C 为坐标平面内一点，，∴点C 的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，∵点M 为线段的中点，∴是的中位线，的m n =m n x 2610x x a -++=26410()()a ∆=--+=8a =x 2690x x -+=3m n ==4m n +＞m n 44m =4n =4x 2610x x a -++=246410a -⨯++=7a =x 2680x x -+=12x =24x =4m n +＞m n 4a 78781+1B 4OD OA ==CD OM ACD 12OM CD =OM CD 2BC =B 4OD OA ==CD AC OM ACD∴，∴最大值时，取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在中，，∴∴的最大值是故答案为：【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，坐标与图形，中位线定理，正确作出辅助线构造中位线是解题的关键．三．解下列方程（每题4分，共16分）19．（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用直接开平方法解方程．【小问1详解】12OM CD =OM CD Rt OBD △BD ==2CD =+OM 1+1+1211,1x x ==-1233x x =+=121,4x x ==1248,3x x =-=-()25360x --=()2536x -=,∴∴；【小问2详解】∴，∴；【小问3详解】∴；【小问4详解】∴或∴．【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．四．解答题（20题5分，22题、23题、25题每题各6分，21题、24题每题各8分，26题9分）20．（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用根的判别式证明即可；56x -=±56x =±1211,1x x ==-2670x x -+=2692x x -+=()232x -=3x -=3x =±1233x x =+=-()()2131x x -=-()()21310x x ---=()()1130x x ---=121,4x x ==()()22243x x -=+()223x x -=±+()223x x -=+()223x x -=-+1248,3x x =-=-2a <-（2）求出方程两根，，因为方程有一个根大于3，所以，解得：a ＜－2．【小问1详解】证明：∵，∴无论a 取任何实数，此方程总有实数根．【小问2详解】解：由（1）知，∴，∴，，∵方程有一个根大于3，∴，解得：a ＜－2．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式，公式法解一元二次方程．21．（1）32（2）每件商品应降价20元【解析】【分析】（1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可；（2）设每件商品应降价x 元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可．【小问1详解】解：由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为件，故答案为：32【小问2详解】解：设每件商品应降价x 元，由题意得，，整理得：，解得或，∵要尽快减少库存，11x =-21x a =-+13a -+>2222441(1)44(2)0b ac a a a a a ∆=-=-⨯⨯-=-+=-≥()22a ∆=-(2)21a a x -±-=⨯11x =-21x a =-+13a -+>()202x +=⨯206232+⨯=()()402021200x x -+=2302000x x -+=10x =20x =∴，∴每件商品应降价20元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．22．【解析】【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可【详解】设圆心为O ，为纸条宽，连接，则，∴，，设，则，又∵，∴，即，解得：，∴半径，即直径为，【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题关键．23．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，交点即为点P ，以点P 为圆心，为半径作圆即可；（2）根据矩形的对角线相等且互相平分的性质，连接并延长交于点D ，连接并延长交于点E ，则四边形即为矩形．【小问1详解】如图，即为所求；的20x =5cm2CE = 1.5AF =EF OC OA ，EF CD EF AB ⊥⊥，114222CE CD ==⨯=113 1.522AF AB ==⨯=OE x = 3.5OF x =-OC OA =2222CE OE AF OF +=+()22222 1.5 3.5x x +=+-1.5x= 2.5OC ==5cm ,AB BC AP AP P BP P ABDE P【小问2详解】矩形即为所求；【点睛】此题考查了作线段的垂直平分线，矩形的性质，三角形外接圆的性质，熟练掌握各图形的性质并应用是解题的关键．24．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，得与也垂直，可得为圆O 的切线；（2）连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，根据三线合一得到D 为中点，由求出的长，再由的长，用勾股定理求出的长，三角形的面积有两种求法，列出两个关系式，两关系式相等可求出的长．小问1详解】证明：连接，，，，，，，【ABDE 125OD AC AB =OD OB =OD AC EF AC EF OD EF AD 90ADB ∠=︒BC BC CD AC AD ACD DE OD AB AC = C OBD ∴∠=∠OD OB = 1OBD ∴∠=∠1C ∴∠=∠OD AC ∴∥，，是的切线；【小问2详解】解：连接，为的直径，，又，且，，在中，，根据勾股定理得：，又，即，．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理以及切线的判定，其中证明切线是解题关键．25．（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）用半径是4圆心角是的扇形面积减去直角边长是4的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积；（2）用半径是2圆心角是的扇形面积减去直角边长是2的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得和的数量关系，进而可知阴影部分面积；（3）用半径是1圆心角是的扇形面积减去直角边长是1的等腰角三角形的面积可得阴影部分面积EF AC ⊥ EF OD ∴⊥EF ∴O AD AB O 90ADB ∴∠=︒AB AC = 6BC =132CD BD BC ∴===Rt ACD △5AC AB ==4AD ==1212ACD S AC ED CD AD ==×× 1153422ED ´×=´´125ED \=816π-2S S =甲乙48π-90︒90︒S 甲S 乙90︒的十六分之一，进而可知丙的面积．【小问1详解】解：故答案为：；【小问2详解】∵∴，故答案为：；【小问3详解】故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解本题的关键是能够熟练掌握扇形面积公式．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．（2）如图，在上截取＝，连接、、、，由是的中点，得，进而证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得证；（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．【小问1详解】如图，连接，，290124443602816S ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⨯=⨯-⨯甲816π-24444822290143602S ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭=⎝⨯-⨯⎣⨯⎭⎦乙2S S =甲乙2S S =甲乙290122164836220222S ππ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⨯⎦=⨯⨯-丙48π-22+AD BD ADB AE BE =2AE AF PB CA CF PC BC C AB AC BC =CAF CBP ≌ADE FDE ∠=∠DAE DFE ≌AE EF =PB PF =AE PE PB =-1AD BD∵是劣弧的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；【小问2详解】证明：如图，在上截取＝，连接、、、，∵是的中点，∴，∵，∴，∵＝，∴，∴，∵，∴，∴；【小问3详解】解：∵是等边三角形，∴，，∴，C AB CDA CDB ∠=∠DE AB ⊥90AED DEB ∠=∠=︒90A ADE ∠+∠=︒90B CDB ∠+∠=︒A B ∠=∠ADB CD AB ⊥AE BE =2AE AF PB CA CF PC BC C AB AC BC = PCPC =CAF CBP ∠∠=AF PB CAF CBP ≌CF CP =CD PA ⊥PE EF =AE EF AF PE PB =+=+ABC 2AB BC AC ===60ABC ∠=︒»»AB AC =∵，∴由（）得，∵，AE ⊥BD ，∴是等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∴的周长为∶．故答案为：．【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形得性质，勾股定理，弧、弦、弦心距之间得关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键。

江苏省常州市天宁区第二十四中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1.85．如图，已知1∠=∠A ．C E ∠=∠B ．∠6．一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了物，如果参加这次聚会的人数为A ．()156x x +=C ．()2156x x +=A ．1个B ．2个二、填空题9．关于x 的方程||1(1)+--k k x 10．若关于x 的一元二次方程11．如图，点P 把线段AB 的黄金分割点，13．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△为．14．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了16．在中学数学中求一些图形面积时，经常用到我们称它为等积变换．如图，BD 为ABCD Y 23AM AN AD AB ==，若3DMC S =△，则BNC S △三、解答题17．计算：(1)22(1)18x -=．(2)2430(x x --=配方法)．18．计算：(1)22210x x -+=，(2)()25410x x x -=-．19．如图，已知AD •AC ＝AB •AE ，∠DAE20．如图，已知点O 是坐标原点，小方格的边长为1，()2,2B ．(1)以点A 为位似中心，在x 轴的上方将ABC 放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的AB C ''△；(2)直接写出四边形CBB C ''的面积：________．21．已知关于x 的方程2(2)210x k x k -++-=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)如果方程的一个根为3x =，求k 的值及方程的另一根．22．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y （千克）与每千克降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？23．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为()20,0和()0,15，动点P 从(1)求9t =时，PEF !的面积；(2)直线EF 、点P 在运动过程中，是否存在这样的存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(3)当t 为何值时，EOP △与BOA △24．【基础巩固】（1）如图1，在ABC 中，E 是是BC 上任意一点，连结AD 交【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结三等分，求EGFG的值；【拓展延伸】（3）如图3，在等边ABC 中，4BD =。

2023-2024学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣32．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．48．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为 cm．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是 千米．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是 ．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出　个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝ ．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是 ．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）把一元二次方程x2＝﹣3x+1化为一般形式后，它的常数项为（ ）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】通过移项，将原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，然后写出其常数项．【解答】解：原方程化为一般形式为x2+3x﹣1＝0，∴常数项为﹣1，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解答关键是熟知一元二次方程的一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c为常数项．2．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝4，则点A在（ ）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，则d＞r；点在圆内，则d＜r（d即点到圆心的距离，r 即圆的半径）进行判断是解决问题的关键．【解答】解：∵OA＝4＞2，∴点A与⊙O的位置关系是点在圆外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，则tan B的值为（ ）A．B．2C．D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，∴BC＝＝＝2，∴tan B＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（3分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）A．36°B．45°C．54°D．72°【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）如图，△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，若点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点B′的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，2）C．（6，3）D．（2，4）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵△OAB与△OA'B'是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴点B′的坐标为（﹣1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，4），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（3分）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝6，CE的最大值为9，则EF的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】连接OA，根据垂径定理得，设半径为r，根据当C，O，E在同一条直线上时CE最长得到EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，根据勾股定理得[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解方程即可得到答案．【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝6，∴，设半径为r，可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，即CE＝OE+OC，∴r+r﹣EF＝9，∴EF＝2r﹣9，在Rt△AOE中，由勾股定理得OE2＝OA2﹣AE2，∴[r﹣（2r﹣9）]2＝r2﹣32，解得r＝5，∴EF＝2r﹣9＝1，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理，结合当C，O，E在同一条直线上时CE最长得EF＝2r﹣9是解决问题得关键．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠A＝60°，∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）A．B．4C．5D．【分析】连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，根据题意可得A、B、C、D四点共圆，再证明△ADM≌△BDC得到AC＝AM+MC＝BC+CD，故可得到当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，根据解直角三角形的性质得到AC的长，即可求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、解直角三角形的性质．【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC，∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∴四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，∵AD＝AB＝3，∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB+CD最大，此时C点在中点处，∴，∴，∴CB+CD最大值为，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）线段1cm、4cm的比例中项为　2　cm．【分析】根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，【解答】解：设它们的比例中项是x，则x2＝1×4，∴x＝±2，∵线段的长度是正数，∴x＝2，∴比例中项为2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了比例的性质，理解比例中项的定义是解题的关键．10．（2分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是 ．【分析】直接得出朝上的面数字小于3的个数，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上点数大于4的有5和6两种情况，∴朝上面的数字大于4的概率为：＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．11．（2分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为1.56厘米，则这两地的实际距离是　15.6　千米．【分析】根据比例尺＝，得到实际距离＝图上距离：比例尺，代入数据计算，再进行单位换算即可得到答案，可直接得出实际距离，【解答】解：∵比例尺为1：1000000，图上距离为1.56厘米，∴实际距离是1.56÷＝1.56×1000000＝1560000（厘米）＝15.6（千米）．故答案为：15.6．【点评】此题考查了比例尺，能熟记比例尺＝是解此题的关键．12．（2分）一元二次方程（x﹣3）2＝0的根是　x1＝x2＝3　．【分析】直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解：∵（x﹣3）2＝0，∴x﹣3＝0，∴x1＝x2＝3，故答案为：x1＝x2＝3，【点评】本题考查解一元二次方程，熟练直接开平方法解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为　12π　cm2．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．（2分）小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为 米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：设楼高为x米，根据题意得，，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2分）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．AN：NC的值为　1：2　．【分析】过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和△DHM∽ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；【解答】解：如图，过点D作AC的平行线交BN于点H．∵DH∥AC．∴△BDH∽△BCN，∴．∵D为BC的中点，∴，∵DH∥AN，∴△DHM∽△ANM，∴，∵M为AD的中点，∴．∴DH＝AN，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，D为边BC的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式列式计算，得到答案．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB，∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE＝OF，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即×13×OE+×6×OE＝×5×6，解得，OE＝，∴⊙O的半径是，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握圆的切线的性质定理是解题的关键．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．若tan∠CAD＝，则sin∠BED＝ ．【分析】先证△CDE∽△ADC，推出CD2＝DE⋅AD，进而得出BD2＝DE⋅AD，证得△BDE∽ADB，推出∠BED＝∠ABC，结合求出sin∠ABC的值即可．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE⋅AD，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BD2＝DE⋅AD，∴，又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽ADB，∴∠BED＝∠ABC，∵，∴，∵D是BC的中点，∴CB＝2CD，∴，设AC＝4x，则CB＝3x，∴，∴sin ABC＝＝＝，∴sin∠BED＝．故答案为：．【点评】该题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定及其性质、勾股定理等，熟练掌握“母子相似”模型是解题的关键．18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，，点D是BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH，当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，BD＝ ．【分析】延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，可得△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，结合等边三角形的性质可证得△ABH≌△CBE（SAS），可知∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，得∠HEC＝60°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，列出方程解得：x＝1，即BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，，可证△BDG∽△CDH，得，即可求得．【解答】解：延长AD至点E，使得HE＝BH，连接BE、CE，∵∠BHD＝60°，∴△BHE是等边三角形，∠BHA＝120°，∴BH＝BE＝HE，∠BEH＝60°，∵△ABC是等边三角形，，∴，∠ABC＝60°，∴∠ABH+∠CBH＝∠CBE+∠CBH＝60°，∴∠ABH＝∠CBE，∴△ABH≌△CBE（SAS），∴∠BEC＝∠BHA＝120°，AH＝CE，∴∠HEC＝∠BEC﹣∠BEH＝60°，∵∠AHC＝90°，∴∠CHE＝90°，则∠HCE＝30°，设BH＝x，则HE＝x，CE＝2x，∴，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，即：，解得：x＝1，即：BH＝1，则，过点B作BG⊥HE于G，则，∠BGD＝∠CHD＝90°，在Rt△BGH中，，∵∠BDG＝∠CDH，∴△BDG∽△CDH，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，添加辅助线构造△ABH≌△CBE是解决问题的关键．三、解答题19．（10分）计算：（1）；（2）cos45°﹣tan260°﹣|sin45°﹣1|．【分析】（1）根据幂的运算法则，零指数幂及特殊角三角函数直接计算即可得到答案；（2）根据幂的运算法则，去绝对值及特殊角三角函数直接计算即可得到答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．【点评】本题考查幂的运算法则，零指数幂，特殊角三角函数及去绝对值，解题的关键是熟练掌握a0＝1及特殊角三角函数值．20．（10分）解方程：（1）（x﹣2）2﹣5＝0；（2）x（x+2）＝3x+6．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法进行求解一元二次方程即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣5＝0，（x﹣2）2＝5，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x（x+2）＝3x+6，x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣2，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．21．（8分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝．（2）连接AC，取AC中点M，MA＝MB＝MC＝．（3）取△ABC外心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．【解答】解：如图，【点评】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与圆的性质．22．（8分）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，从而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性质可得∠OAD＝15°，然后利用等角对等边即可解答；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，从而利用平行线的性质可得∠BDH＝∠MON＝30°，进而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH，DH的长，再在Rt△BDH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，∵∠MON＝30°，∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，∵∠ADB是△AOD的一个外角，∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，∴∠AOD＝∠OAD＝15°，∴OD＝AD＝30米，∴DA的长为30米；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，∴∠BDH＝∠MON＝30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，由题意得：∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，AD＝30米，∴AH＝AD•sin60°＝30×＝15（米），DH＝AD•cos60°＝30×＝15（米），在Rt△BDH中，BH＝DH•tan30°＝15×＝5（米），∴AB＝AH﹣BH＝15﹣5＝10（米），∴树BA的高度为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（10分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出　800　个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出　（600+200x）　个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个即可求解；（2）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元一次方程即可求解；（3）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可说明．【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．故答案为800，（600+200x）（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400整理，得x2﹣7x+12＝0解得x1＝3，x2＝4，因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，当x＝4时，1400＞1210（舍去）当x＝3时，1200＜1210，可取，所以售价为37元答：每个台灯的售价为37元．（3）月获利不能达到9600元，理由如下：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600整理，得x2﹣7x+18＝0∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0方程无实数根．答：月获利不能达到9600元．【点评】本题考查了用一元一次方程和一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠ODB＝∠CDA，从而得到∠ODC＝90°，然后根据切线的判定方法得到CD为⊙O的切线；（2）连接OE，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系，由E为的中点得到∠BOE＝∠DOE，再根据圆周角定理得到∠BOE＝2∠BDE＝60°，接着证明△ODE为等边三角形得到OD＝DE＝2，计算出∠COD＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD进行计算即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODA+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠B＝∠CDA，∴∠ODB＝∠CDA，∴∠ODA+∠CDA＝90°，即∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：连接OE，如图，∵E为的中点，∴∠BOE＝∠DOE，∵∠BOE＝2∠BDE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE为等边三角形，∴OD＝DE＝2，∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°，∴CD＝OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，，动点P从点C出发沿CA运动到终点A，速度为每秒5个单位长度，动点Q从点C出发沿CB运动到终点B，速度为每秒个单位长度，连接PQ，过点P作PD⊥DQ，∠PQD＝∠A，点D在PQ的左侧，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）BC＝　2　．（2）求DQ的长（用含t的代数式表示）．（3）连接BD，当△BDQ的某一个内角与∠A相等时，求t的值．【分析】（1）由勾股定理可求出BM＝6，AM＝8，再利用勾股定理即可求出BC；（2）证明△CPQ∽△CAB，求得PQ＝5t，利用勾股定理即可求出DQ；（3）由△CPQ∽△CAB得到∠CPQ＝∠A，由∠PQD＝∠A推导出DQ∥AC，分两种情况：，分别证明△DBQ∽△ABC和△BDQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可解答．【解答】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠BMC＝90°，∵，∴，设BM＝3x，AM＝4x，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得x＝2，∴BM＝6，AM＝8，∴CM＝10﹣8＝2，∴，故答案为：；（2）解：由题意得，CP＝5t，，∵，∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB，∴，即，∴PQ＝5t，∵PD⊥DQ，∴∠PDQ＝90°，∵∠PQD＝∠A，∴，∴，设PD＝3a，DQ＝4a，∴（3a）2+（4a）2＝（5t）2，解得a＝t，∴DQ＝4t；（3）解：如图，连接BD，∵△CPQ∽△CAB，∴∠CPQ＝∠A，∵∠PQD＝∠A，∴DQ∥AC，∴∠DQB＝∠C，当∠DBQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△DBQ∽△ABC，∴，即，解得；当∠BDQ＝∠A时，∵∠DQB＝∠C，∴△BDQ∽△ABC，∴，即，解得；∴或．【点评】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，应用分类讨论证明三角形相似是解题的关键．26．（10分）【概念学习】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为　4　．（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为　（0，4）或（﹣，﹣）　．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k 的取值范围．（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d 的取值范围是　3≤d＜3　．【分析】（1）由题意即可求解；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，即可求解；（3）考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，进而求解．【解答】解：（1）由题意得，⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为4，故答案为：4；（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，解得，故点P的坐标为（0，4）或（﹣，﹣），故答案为：（0，4）或（﹣，﹣）；（3）如图，考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，∵∠OCD＝∠EOD，∠ODC＝∠EDO，∴△OCD∽△EOD，∴，则，设OE＝x，则DE＝2x，由勾股定理可得：x2+16＝（2x）2，解得（舍），∴，此时．同理，另一个临界状态为，经分析可知，函数相比临界状态更靠近y轴，则存在点C，∴或；（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，则成立，当﹣1≤m＜2时，E到弧BG的最小距离为EO﹣1，此时3≤d＜4，当﹣4＜m＜﹣1时，E到弧BG的最小距离为EB，此时，综上，，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．。

ABCD E FP 常州市实验初级中学2018-2018学年度第一学期期中质量调研九 年 级 数 学 试 题命题人：胡广宇 日期：2018-11一、选择题（下列各题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在【 】内，每小题3分，共18分）1.下列计算中正确的是【 】A ．312914= C. ()52522-=- D =2.对甲乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得：x 甲=x 乙，S 2甲=0.025，S 2乙=0.026，下列说法正确的是 【 】 A ．甲短跑成绩比乙好 B.乙短跑成绩比甲好 C. 甲比乙短跑成绩稳定 D.乙比甲短跑成绩稳定 3.下列命题中正确的是 【 】 A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 C ．两边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4. 用配方法解方程0762=+-y y ，得(),2n m y =+则 【 】A ．2,3==n m B. 2,3=-=n m C. 9,3==n m D. 7,3-=-=n m 5.如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ， 若EF=3，则梯形ABCD 的周长为 【 】 A ．12 B ．10.5C ．9D ．15第5题图 第6题图 6. 如图：已知ABC △中，BC AC =，︒=∠90B AC ，直角DFE ∠的顶点F 是B A 中点，两边FD ，FE 分别交AC ,BC 于点D ,E 两点，给出以下个结论：①BE CD = ②四边形CDFE 不可能是正方形 ③DFE ∆是等腰直角三角形 ④ABC CDFES 21S △四边形=．当DFE ∠在ABC △内绕顶点F 旋转时（点D 不与A ，C 重合），上述结论中始终正确的有 【 】 ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（每题2分，共20分）7. 计算或化简：54=_______ __ ，=÷324 .8．若5个数2,0,1,-3，a 的平均数是1，则a=________，这组数据的极差是_______ .9. 当x 时，x +2在实数范围内有意义；当x 时，x x -=-2)2(2.10.已知关于x 的方程0162=-+-m x x 的两个根是1x ,2x ，且1x =2 ,则m=________，=⋅21x x _____ __.11.如图，某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm .第11题图 第12题 第13题 12.菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．则对角线BD 的长是 ，菱形ABCD 的面积是 ． 13.如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2，,求修建的路宽。

常州市第二十四中学2010-2011学年第一学期九年级期中质量调研数学参考答案命题人:赵军一、填空(每题2分，共24分)1． 3,4；2．1,3-≤x ；3．9,10；4．21,1-；5．3,3-；6．1； 7．所写的方程不唯一；8．a -1(168﹪2)=128 ；9．74；10．16；11．)89420(+或5840+12．(1－12n ,12n )．二、选择题(每题3分，共18分)13．A 14．A 15．D 16．C 17．C ．18．D ．三、解答题（每题4分，共16分） 19．解：原式=232512225-+-- ……3分 2593+= ……4分 20．解：原式=x y x y xy x 23231215⨯⨯⨯⨯ ……1分=34245x y x ……2分 =x x y x 22245⋅ ……3分=x y 452……4分21．解：121)2(42=-x 22．解：0)12)(3(=-+x x ……2分4121)2(2=-x ……2分 21,321=-=x x …… 4分 211)2(2±=-x27,21521-==x x ……4分四、解答题（23题6分，24、25、26题各8分， 27题12分，共42分）23．解：（1）由题意得：⊿≥0，即：014)12(22≥⨯⨯--m m ,解得41≤m … 2分 （2）当02221=-x x 时， 0))((2121=-+x x x x …… 3分①当021=+x x 时，0)12(=--m ，4121>=m 不合题意，舍去；4分 ②当021=-x x 时，41=m . …… 5分∴41=m …… 6分24．证明：连接BE 、DF. ∵ABCD , ∴AD ∥BC AD BC =,,…… 1分∵AD ∥,BC ∴∠1=∠2.… 2分∵等边三角形ADE ,∴AD DE =,∠3=60°, …… 3分∵等边三角形BCF ,∴BF BC =,∠4=60°, … 4分∴BF DE =,…… 5分 ∠1+∠3=∠2+∠4,即∠=BDE ∠DBF ,∴DE ∥BF ,…… 6分 ∴BEDF ,…… 7分∴BD 和EF 互相平分. …… 8分(说明：将C 、D 、E 或A 、B 、F 看作共线本题至少扣4分) 25.证明：（1）∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠2, ∵∠BCD=90°,∴∠1+∠3=90°,∵CE ⊥AB,∴∠BEO=90°,∴∠2+∠4=90°∴∠3=∠4, ∵∠4=∠5,∴∠3=∠5 ∴OC=OD,即⊿COD 是等腰三角形 … 4分 （2）过点D 作DH ⊥AB 于H∵BD 平分∠ABC ，DH ⊥AB 于H ，DC ⊥BC 于C,∴DC=DH,∵DC=OC, ∴OC=DH,∵FG ∥AB,∴∠6=∠A,∴⊿COG ≌⊿DHA, ∴CG=DA, ∴CG-DG=DA-DG,即CG=AG. … 8分 26．（1）3，2 … 2分ABCDEFO1234O DEF GBAC213 4 56H 第24题图第25题图（2）探索出1≤x ≤3 … 5分（答案对而没有必要的探索过程只能得1分）当2=x 时，如图，连接DE 、PF.∵EF 是折痕, ∴DE=PF,设PE=m ，则AE=m -2 ∵在⊿ADE 中，∠DAE=90°, ∴AD 2+AE 2=DE 2,即222)2(1m m =-+解得45=m ，此时菱形EPFD 的边长为45… 5分27. （1）A （8，0）B （0，6） ………2分（2）86OA OB ==，，求得AB=10 ………3分点Q 由O 到A 的时间是881=（秒），∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） ········· 4分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，，2S t = ·················· 5分 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ····························· 7分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································ 8分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···························································································· 9分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ··········································· 12分 ABCD E PFxAOQPB yD。

2020-2021学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共7小题）1．用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝3B．（x+2）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣2）2＝6 2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O内3．下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．三角形的外心在三角形的外面D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线4．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．B．C．+1D．﹣15．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°6．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S＝4：25，则DE：EC＝（）△ABFA．2：5B．2：3C．3：5D．3：27．如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（共11小题）8．一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是．9．在比例尺为1：500000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为6cm，则A、B两地间实际距离km．10．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是．11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为．13．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．14．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．15．已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．16．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是．17．已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为．18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．三．解答题（共8小题）19．解方程（1）2x2+3x＝5（2）2x（x+3）＝5（x+3）20．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B （4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）＝3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）判断OD与AC的位置关系，并说明理由；（2）D是BC的中点吗？为什么？22．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．23．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．（1）求灯杆AB的高度；（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．25．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．26．若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC 于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．2020-2021学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝3B．（x+2）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣2）2＝6【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0移项，得：x2﹣2x＝2，配方：x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3．故选：C．2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O内【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内．故选：B．3．下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．三角形的外心在三角形的外面D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆周角定理对B进行判断；根据三角形外心的定义对C进行判断；根据切线的判定定理对D进行判断．【解答】解：A、平面上不共线的三个点确定一个圆，所以A选项错误；B、等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；C、钝角三角形的外心在三角形的外面，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边的中点，所以C选项错误；D、过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线，所以D选项错误．故选：B．4．点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．B．C．+1D．﹣1【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC＝AC，将AC＝2代入即可得出BC的长度．【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，∴BC＝AC，∵AC＝2，∴BC＝﹣1．故选：D．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝35°，。

常州市第二十四中学数学二次函数综合测试卷（word含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53， 当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥； 【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a-≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-+， 设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116； 当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大．（2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n n y x --=+， 设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-， 当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >； 当204n -<时，有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=23S△ABD?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.【答案】（1）213222y x x=-++（2）存在，D（1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），∴2016420a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：1232ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为：213222y x x=-++；（2）由题意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），∴AB=5，OC=2，∴S△ABC=12AB•OC=12×5×2=5，∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=， 设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =； 当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴22125AC =+=,222425BC =+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴25CF BC ==∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =，∴OC AC FMAF=，即2535FM=，解得：6FM=，∴点F为（2，6），且B为（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则2640k mk m+=⎧⎨+=⎩，解得312km=-⎧⎨=⎩，∴直线BE解析式为：312y x=-+；联立直线BE和抛物线解析式可得：231213222y xy x x=-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得：4xy=⎧⎨=⎩或53xy=⎧⎨=-⎩，∴点E坐标为：(5,3)-，∴22(54)(3)10BE=-+-=.【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（2，1），F2（2，1）．【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠C AP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2；又∵P 2D 2∥y 轴，∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得： 303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩； ∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）； （3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1），∴可设F （x ，1）；∴x 2﹣4x+3=1，解得x 1=22，x 22； ∴符合条件的F 点有两个，即F 1（22，1），F 2（2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.5．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）； 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯=; P （12，﹣34） （3）存在；25 【解析】【分析】（1） 当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可； （2） 设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3） 设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：22 111=k k+⎛⎫+⎪⎝⎭．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=2k．∴EN=OE﹣ON=1k﹣2k．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴NQ ENOF EF=，即：1221kkkk-=，解得：k=±25，∵k＞0，∴k=25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.8．如图，直线3y x与x轴、y轴分别交于点A，C，经过A，C两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的负半轴的另一交点为B，且tan3CBO∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D的坐标；（2）点P是射线BD上一点，问是否存在以点P，A，B为顶点的三角形，与ABC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC ，∠AOC=90°，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴，∠BAC=45°，∵B （-1，0），D （-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=322=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．9．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，或；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中． 得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：121122m m ==（不合题意，舍去）．所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：123322m m ==（不合题意，舍去）．所以32m +=．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m =12+或m =32． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．10．平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A 、B 、C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的“三点矩形”．在点A ，B ，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG ，矩形IJCH 都是点A ，B ，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知M （4，1），N （﹣2，3），点P （m ，n ）．（1）①若m ＝1，n ＝4，则点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.【解析】【分析】（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式【详解】解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；②∵M（4,1），N（-2,3）∴，又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6，4∴n=-1或5（2）如图1，①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，结合图象可知：②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，点P的坐标为（，7）或（，-3）（3）如图2，y=+或y=+【点睛】此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键。

2020-2021学年江苏省常州二十四中教育集团九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共7小题）.1．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝3B．（x+2）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣2）2＝6 2．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O内3．（3分）下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．三角形的外心在三角形的外面D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线4．（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．B．C．+1D．﹣15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°6．（3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：27．（3分）如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（共11小题）8．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是．9．（3分）在比例尺为1：500000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为6cm，则A、B两地间实际距离km．10．（3分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是．11．（3分）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．12．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为．13．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为cm．14．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．15．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．16．（3分）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是．17．（3分）已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为．18．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．三．解答题（共8小题）19．解方程（1）2x2+3x＝5（2）2x（x+3）＝5（x+3）20．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）＝3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）判断OD与AC的位置关系，并说明理由；（2）D是BC的中点吗？为什么？22．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．23．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．（1）求灯杆AB的高度；（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．25．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE 与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．26．若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC 于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．参考答案一．选择题（共7小题）1．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝3B．（x+2）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣2）2＝6解：x2﹣2x﹣2＝0移项，得：x2﹣2x＝2，配方：x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3．故选：C．2．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．在⊙O上或在⊙O内解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内．故选：B．3．（3分）下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．三角形的外心在三角形的外面D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线解：A、平面上不共线的三个点确定一个圆，所以A选项错误；B、等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；C、钝角三角形的外心在三角形的外面，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心为斜边的中点，所以C选项错误；D、过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线，所以D选项错误．故选：B．4．（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．B．C．+1D．﹣1解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，∴BC＝AC，∵AC＝2，∴BC＝﹣1．故选：D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°．故选：C．6．（3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴DE：AB＝2：5，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故选：B．7．（3分）如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，＝，∴＝故选：D．二、填空题（共11小题）8．（3分）一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是x1＝0，x2＝1．解：x（x﹣1）＝0，x＝0，x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．9．（3分）在比例尺为1：500000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为6cm，则A、B两地间实际距离30km．解：设A、B两地间的实际距离为xcm，由题意，得1：500000＝6：x，解得x＝3000000cm＝30km．故答案为30．10．（3分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是5．解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，∴x1•x2＝5．故答案为：5．11．（3分）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为12 cm．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．12．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为125°．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝55°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝125°，故答案为：125°．13．（3分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为16cm．解：∵△ABO∽△CDO∴又∵AB＝36∴CD＝16．14．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB＝DA＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），15．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是k＞﹣1且k≠0．．解：根据题意得，k≠0，且△＞0，即22﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，∴实数k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．故答案为k＞﹣1且k≠0．16．（3分）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是105°．解：连接OD、OE，∵的度数为35°，∴∠AOD＝35°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝35°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝35°，∴∠DOE＝110°，∴∠AOE＝75°，∴∠BOE＝105°，∴的度数是105°．故答案为105°．17．（3分）已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为2+2．解：连接OA，作OH⊥OA交⊙O于点H，连接AH，HG，OP．∵OA＝OH，∠AOH＝90°，∴AH＝OA，∴AP＝PG，∠APG＝90°，∴AG＝AP，∴＝＝，∵∠OAH＝∠PAG＝45°，∴∠OAP∽△HAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴HG＝2，∵OG≤OH+HG，∴OG≤2+2，∴OG的最大值为2+2．故答案为2+2．18．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有②③④（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，则，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2时，则，×2＝，即，则，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正确，故答案为：②③④三．解答题（共8小题）19．解方程（1）2x2+3x＝5（2）2x（x+3）＝5（x+3）解：（1）2x2+3x﹣5＝0，（x﹣1）（2x+5）＝0，∴x﹣1＝0或2x+5＝0，解得：x＝1或x＝﹣；（2）2x（x+3）﹣5（x+3）＝0，（x+3）（2x﹣5）＝0，∴x+3＝0或2x﹣5＝0，解得：x＝﹣3或x＝2.5．20．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）＝3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．解：（1）如图，A′（4，7），B′（10，4）；（2）C′（3a﹣2，3b﹣2）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）判断OD与AC的位置关系，并说明理由；（2）D是BC的中点吗？为什么？解：（1）OD∥AC，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC；（2）D是BC的中点，∵OD∥AC，OA＝OB，∴BD＝DC，即D是BC的中点．22．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0解之，得m＝2或m＝1①，由m﹣1≠0，得：m≠1②，由①，②得：m＝2；（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，得x2+5x＝0，x（x+5）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣5．23．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x （斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x1＝，x2＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．答：水果店需将每斤的售价降低1元．24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．（1）求灯杆AB的高度；（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．解：（1）∵∠AFB＝∠CFD，∠ABF＝∠CDF，∴△ABF∽△CDF，∴＝，∴AB＝•CD＝×1.6＝6.4．∴灯杆AB的高度为6.4米．（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN 于点Q，如图所示．∵∠AQB＝∠C′QD′，∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°，∴△ABQ∽△C′D′Q，∴＝，即＝，∴D′Q＝．同理，可得出△PQN∽△AQB，∴＝，即＝，∴PN＝1．∴小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长为1米．25．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为BE＝AF；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE 与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．解：（1）BE＝AF．理由如下：如图1中，∵△AFC是等腰直角三角形，∴AC＝AF∵AB＝AC∴BE＝AB＝AF；（2）BE＝AF，理由如下：如图2中，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝．在Rt△EFC中，∠FEC＝∠FCE＝45°，∠EFC＝90°，∴sin∠FEC＝＝，∴＝，又∵∠FEC＝∠ACB＝45°，∴∠FEC﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE．即∠FCA＝∠ECB．∴△ACF∽△BCE，∴＝＝，∴BE＝AF；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF＝EF＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝，在Rt△EFC中，∠FEC＝∠FCE＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝＝，∴＝，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴＝＝，∴BE＝AF，由（1）知，CF＝EF＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF+EF＝+，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝+1．即：当△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．26．若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC 于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．【解答】（1）证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，∴∠ADB＝∠A，∴BA＝BD，∴△ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图③，连接EG，∵BG是△BCF的“弱线”，∴BG平分∠FBC，∴∠FBG＝∠GBE，∵BF＝BE，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（SAS），∴∠BGF＝∠BGE，∵BG＝BE，∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，∴∠CGE＝∠CBG，∵∠GCE＝∠BCG，∴△GCE∽△BCG，∴＝，∵CE＝4﹣3＝1，∴CG2＝CE•BC＝1×4＝4，∴CG＝2；（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，∵AD是“弱线”，∴AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠B＝∠AED，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∴∠AED＝∠ADB，∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，∴∠CED＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△DEC，∴＝＝＝＝，∴CE＝CD，CD＝AC，∴CE＝AC，∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，AC＝9CE＝BD，∴BC＝BD+BD＝BD，∴AC：BC＝27：17；②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，同理可得，＝＝，即＝，由上面计算可得，BC＝CD，∵AC＝3CD，∴AC：BC＝24：17．。

常州市九年级上学期期中考试数学试卷.11一、选择题 (每题2分，共16分)1.⊙O 的半径为6,点P 在O 内,则OP 的长可能是 ( )A. 5B. 6C. 7D. 82.方程x ²+6x −5=0的左边配成完全平方式后所得方程 ( )A.(x+3)²=14.B. (x-3)²=14C.(x+6)²=21 D. 0322=--x x 3.下列方程中，没有实数根的是 ( ) A.0442=+-x x B. 0522=+-x x C. 022=-x x D. 0322=--x x4.已知1=x 是关于x 的一元二次方程022=+-a x x 的一个根,则a 的值是（ ）A. 2B. −2C. 1D. −15.如图,在⊙O 中,AB 为直径,BC 为弦,CD 为切线,连接OC.若∠BCD=50°, 则∠AOC 的度数为()A. 40B. 50C. 80D. 1006.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为( ) A.B ．C ．D ．7.如果等腰三角形的两边长分别是方程021102=+-x x 的两根，那么它的周长为（ ）A. 10B.13C. 17D. 13或178.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛。

设参赛球队的个数为x ，则根据题意所列的方程是（ ）A. 212=xB.()21121=+x xC. 21212=x D.()211=-x x 二、填空题(每题2分，共16分)9.一元二次方程2x ²−3x+1=0的二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______.10.方程(x+2)(x −3)=x+2的解是______.11.若关于x 的一元二次方程x ²+4x-a =0 有两个实数根,则a 的取值范围_____.12.如图是一个简单的数值运算程序，若输入x 值为____________.13.如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为_______.14.为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行，18.59万元。

江苏省常州市第二十四中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．3.5cm B．6．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用仓库总面积为440平方米．在平行于墙的一边留下一个A ．322-二、填空题9．在比例尺是1:20000km ．10．若45a b =，则2a a +-11．鹦鹉螺是一类古老的软体动物．比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，的长为10cm ，则BP 的长为12．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上．若13．圆内接四边形ABCD 14．设1x ，2x 是方程15．若x m =是一元二次方程为．16．在ABC 中，AB 时，AMN 与ABC 17．如图，已知12,A A 分别过点12,,A A n A 12122323,,,A B B A A B B A 111222,,A B P A B P △△18．将图1中的矩形和正方形纸片沿图所示图形，其中阴影部分为空余部分，若三、解答题19．解方程：(1)()22218x -=；(2)2260x x --=．20．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l ，使l 上的各点到AB 、BC 两边的距离相等，设直线l 与AC 边交于点D ，在BC 上找一点E ．使∠BDE ＝45°．（不写作法，保留作图痕迹）21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“双十一”促销活动，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该童装每天销售获利为1200元，每件童装应(1)求证：CF 是O 的切线；(2)求证：ACD F ∠=∠；(3)若10AB =，6BC =，请直接写出AD =_____23．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，Rt △BED 边长，易知AE ＝2c ，这时我们把关于方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程①22510x x ++=（填“是”或“不是（二）思考探究的半径；(1)求M的圆周上运动，连接EP，交AB于点N．(2)动点P在MPN EP的值；①如图1，当EP平分AEB∠时，求•的切线交x轴于点Q，当点P与点②如图2，过点D作M为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．。

2022-2023学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列方程为一元二次方程的是( )A. x−2=0B. x2−4x+1=0C. ax2+bx+c=0D. xy+1=02. 已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2−9x+14=0的一个实数根，则三角形的周长是( )A. 21B. 21或16C. 16D. 223. 某校九年级(1)班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )A. x(x−1)=1980 B. x(x+1)=19802C. 2x(x+1)=1980D. x(x−1)=19804. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是( )A. (12−4√5)cmB. (4√5+4)cmC. (9−4√5)cmD. (4√5−4)cm5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 45°6. 如图，在平面直角坐标系中，A(0,−3)，B(2,−1)，C(2,3).则△ABC的外心坐标为( )A. (0,0)B. (−1,1)C. (−2,−1)D. (−2,1)7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论不正确的是( )A. ∠ACD=∠BB. CD⋅AB=AC⋅BDC. CD2=BD⋅ADD. CB2=BD⋅AB8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为( )A. 1B. 2C. √5−1D. √2二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. 若yx =34，则x+yx的值为______．10. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是46厘米，那么A、B两地的实际距离是______千米．11. 已知⊙O上有两点A、B，且圆心角∠AOB=40°，则劣弧AB的度数为______°.12. 已知方程ax2+bx+c=0的一个根是−1，则a−b+c=______．13. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件______(只需写一个)．14. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB=70°，则∠AOB的度数为______．15. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=8，AC=6，CD平分∠ACB，则弦AD长为______．16. 若关于x一元二次方程(m+2)x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，则m的值等于______．17. 如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3，那么BC=______ ．18. 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE=______．三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。

江苏省常州市第二十四中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题8．若关于x一元二次方程(m_______．的弦，9．如图，AB，AC都是O那么BC=_________．10．如图，在正方形ABCD 中，2BC =，点M 是AB 边的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点F 为DM 的中点，点E 为DC 上的动点．当45DFE ∠=︒时，则DE =_________．二、单选题()A ．25°16．如图，在平面直角坐标系中，为（）A ．()0,017．如图，在ABC 中，A ．ACD B ∠∠=18．如图，在边长为2边上自B 至A 运动，MA ．1三、解答题19．解方程：(1)()242250x --=；(2)()()3112t t +-=．20．已知：ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()0,3A 、()3,4B 、()2,2C （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)以点B 为位似中心，在网格内画出222A B C △，使222A B C △与ABC 位似（点2A 与点A 对应，点2B 与点B 对应，点2C 与点C 对应），且位似比为2:1，点2C 的坐标是_________；(2)222A B C △的面积是_________平方单位．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是AC 边上的一点，DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）如果AC =4，BC =3，DE =2，求AD 的长．24．如图，在矩形ABCD中，AB 过P作PF AE⊥于F，设PA x=．(1)若M为线段OB的中点，以P为圆心，PM为半径的圆与直线是以P为圆心，1为半径的圆，(2)若P相交时，求t的取值范围；①当P在线段OA上运动时，直线l与P②在整个运动过程中，若动点P以每秒m个单位的速度运动，使两次机会相切，直接写出m满足的条件．。

2023-2024学年江苏省常州二十四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是( )A. x−1x−1=0B. 7x 2+1x 2−1=0C. x 2=0D. (x +1)(x−2)=x (x +1)2.若方程(m +2)x m2−2+2x +1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A. −2 B. 0 C. −2或2 D. 23.若关于x 的一元二次方程kx 2−6x +9=0有实数根，则k 的取值范围是( )A. k <1B. k ≤1C. k <1且k ≠0D. k ≤1且k ≠04.如图，在△ABC 中，DE //BC ，AD AB =23，若EC =0.9，则AE 长为( )A. 1.8B. 2.7C. 3.6D. 4.55.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是( )A. ∠C =∠EB. ∠B =∠ADEC. AB AD =AC AED. AB AD =BC DE6.一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x ，根据题意可列方程为( )A. x (x +1)=56B. x (x−1)=56C. 2x (x +1)=56D. x (x−1)=56×27.若α，β是方程x 2+2x−2024=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )A. 2015B. 2022C. −2015D. 40108.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且ACCE =BCBF=n，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE·DF=DE·BF；③当n=2时，EF=CD；④∠EDF=90°，正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.关于x的方程(k−1)x|k|+1−x+5=0是一元二次方程，则k=______．10.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，则k的取值范围是．11.如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP<BP.如果AB=2，那么BP=(结果保留小数)．12.如图，点D、E分别在AB与AC上，DE//BC，且S△A D E：S四边形D B C E=1：8，DE=3，则BC=______ ．13.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为______．14.请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了______人.15.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m ，宽15m ，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m 2，则图中x 的值为______ ．16.在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换.如图，BD 为▱ABCD 的对角线，M 、N 分别在AD 、AB 上，且AM AD =AN AB =23，若S △D M C =3，则S △B N C +S △A M N = ______ ．三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。

2024-2025学年江苏省常州二十四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程中是一元二次方程的是( )A. x2−2xy+y2=0B. x(x+3)=x2−1=0C. x2−2x=3D. x+1x2.在一幅地图上，量得A、B两城市距离是7厘米，这幅地图的比例尺是1：500000，那么A、B两城市之间的实际距离是( )A. 3.5千米B. 150千米C. 35千米D. 350千米3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE//BC，若DE=2，BC=5，则AD：DB=( )A. 3：2B. 3：5C. 2：5D. 2：34.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根，则m的值为( )A. 1B. −1或2C. −1D. 05.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C. 50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=1826.下列四组图形中，一定相似的图形是( )A. 各有一个角是30°的两个等腰三角形B. 有两边之比都等于2：3的两个三角形C. 各有一个角是120°的两个等腰三角形D. 各有一个角是直角的两个三角形7.如图，△ABC中，DE//BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E.如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x(0.2≤x≤0.8)，EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

江苏省常州市二十四中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学教学质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）一个多边形的每一个外角都等于36o ，则这个多边形的边数n 等于（）A ．8B ．10C ．12D ．142、（4分）如图①，点E 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度匀速运动到点D ．图②是点E 运动时，ABE △的面积y （2cm ）随着时间x （s ）变化的关系图象，则菱形的边长为（）A ．3B ．4C ．256D ．53、（4分）如图所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子顶端B 到地面距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于4m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′的长为（）A ．等于1mB ．大于1mC ．小于1mD ．以上答案都不对4、（4分）Rt ABC ∆中两条边的长分别为1a =，2b =，则第三边c 的长为（）A ．B C D ．无法确定5、（4分）方程32x +9=0的根为（）A ．3B ．－3C ．±3D ．无实数根6、（4分）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，若AB ＝2，BC ＝4，则CD 的长是（）A ．1B ．4C ．3D ．27、（4分）在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则∠EAF 等于（）A ．75°B ．45°C ．60°D ．30°8、（4分）如果a 为任意实数,下列各式中一定有意义的是（）A B C D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）一次函数1y x =-+不经过第_________象限；10、（4分）直线35y x =-的截距是__________．11、（4分）如图，一次函数y =kx +b 的图象与x 轴的交点坐标为（1，0），则下列说法：①y随x 的增大而减小；②b >0；③关于x 的方程kx +b =0的解为x =1；④不等式kx +b >0的解集是x >1．其中说法正确的有_________（把你认为说法正确的序号都填上）．12、（4分）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB ，CD.下面是小楠、小曼两位同学的作法：老师说：“小楠、小曼的作法都正确.”请回答：小楠的作图依据是______；小曼的作图依据是______．13、（4分）如图，△ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ．在△ABC 内作正方形A 1B 1C 1D 1，使点A 1，B 1分别在两直角边AB ，AC 上，点C 1，D 1在斜边BC 上，用同样的方法，在△C 1B 1B 内作正方形A 2B 2C 2D 2；在△CB 2C 2内作正方形A 3B 3C 3D 3……，若AB ＝1，则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在课外活动中，我们要研究一种四边形--筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD 中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD 的面积．15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣2，6），且与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点D ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求k ，b 的值；（2）请直接写出不等式kx +b ﹣3x ＞0的解集；（3）M 为射线CB 上一点，过点M 作y 轴的平行线交y ＝3x 于点N ，当MN ＝OD 时，求M 点的坐标．16、（8分）A 、B 两城相距900千米，一辆客车从A 城开往B 城，车速为每小时80千米，半小时后一辆出租车从B 城开往A 城，车速为每小时120千米．设客车出发时间为t （小时）（1）若客车、出租车距A 城的距离分别为y 1、y 2，写出y 1、y 2关于t 的函数关系式；（2）若两车相距100千米时，求时间t ；（3）已知客车和出租车在服务站D 处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B 城的方案，方案一：继续乘坐出租车到C 城，C 城距D 处60千米，加油后立刻返回B 城，出租车加油时间忽略不计；方案二：在D 处换乘客车返回B 城，试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B 城？17、（10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上的一个动点（不与点A 重合），延长ME 交CD 的延长线于点N ，连接MD ，AN ．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）当AM 的值为时，四边形AMDN 是矩形，请你把猜想出的AM 值作为已知条件，说明四边形AMDN 是矩形的理由．18、（10分）已知直线y ＝kx +b 经过点A （0，1），B （2，5）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y ＝﹣x ﹣5与直线AB 相交于点C ．求点C 的坐标；并根据图象，直接写出关于x 的不等式﹣x ﹣5＜kx +b 的解集．（3）直线y ＝﹣x ﹣5与y 轴交于点D ，求△ACD 的面积．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知直角三角形的两直角边a 、b ()260b +-=，则斜边c 上中线的长为______.20、（4分）两个面积都为8的正方形纸片，其中一个正方形的顶点与另一个正方形对角线的交点重合，则两个正方形纸片重叠部分的面积为__________．21、（4分）如图，函数y kx =与3y x b 2=-+的图象交于点()M 2,1-，那么不等式3kx x b 2>-+的解集是______．22、（4分）如果12x x ，是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，那么12x x +的值是____．23、（4分）数据1，2，3，4，5的方差是______.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，平行四边形ABCD 中，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 为平行四边形；（2）若AB ＝6cm ，BC ＝10cm ，∠B ＝60°，①当AE ＝cm 时，四边形CEDF 是矩形；②当AE ＝cm 时，四边形CEDF 是菱形．25、（10分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？26、（12分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数.【详解】∵一个多边形的每一个外角都等于36°，∴多边形的边数为360°÷36°=1．故选B.本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°，已知多边形的外角求多边形的边数是一个考试中经常出现的问题.2、C【解析】根据图②可以发现点E运动5秒后△ABE的面积停止了变化，且为最大面积，由此结合图①，当点E在CD上运动时，△ABE面积最大，从而得出AC=5，CD= a，然后根据△ABE 最大面积为2 a得出△ABC面积为2 a，所以菱形ABCD面积为4 a，从而再次得出△ABC 的高为4，然后进一步利用勾股定理求出菱形边长即可.【详解】如图，过C点作AB垂线，交AB于E，由题意得：△ABC面积为2 a，AC=5，DC= a，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=DC=BC= a,∴△ABC面积=12AB CE⋅⋅=2 a，∴CE=4，∴在Rt△AEC 中，AE==3，∴BE= 3a -，∴在Rt△BEC 中，222BC CE BE =+，即()22243a a =+-，解得：256a =.∴菱形边长为256.故选：C.本题主要考查了菱形与三角形动点问题的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键.3、C 【解析】由题意可知OA ＝2，OB ＝7，先利用勾股定理求出AB ，梯子移动过程中长短不变，所以AB ＝A ′B ′，又由题意可知OA ′＝3，利用勾股定理分别求OB ′长，把其相减得解．【详解】在直角三角形AOB 中，∵OA ＝2，OB ＝7∴AB ＝==m ），由题意可知AB ＝A ′B （m ），又∵OA ′＝4，根据勾股定理得：OB ==m ），∴BB ′＝7＜1．故选C ．本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．4、C【解析】分b 是直角边、b 是斜边两种情况，根据勾股定理计算．【详解】解：当b 是直角边时，斜边当b 是斜边时，直角边c=，则第三边c ，故选：C ．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 1+b 1=c 1．5、D 【解析】原方程可化为：23x =-，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.故选D.6、C 【解析】试题分析：先由∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∠B ＝∠B 证得△ABD ∽△CBA ，再根据相似三角形的性质求得BD 的长，即可求得结果.解：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∠B ＝∠B ∴△ABD ∽△CBA ∴∵AB ＝2，BC ＝4∴，解得∴CD ＝BC-BD ＝3故选C.考点：相似三角形的判定和性质点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.7、C【解析】首先连接AC ，由四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，易得△ABC 与△ACD 是等边三角形，即可求得∠B ＝∠D ＝60°，继而求得∠BAD ，∠BAE ，∠DAF 的度数，则可求得∠EAF 的度数．【详解】解：连接AC ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴AB ＝AC ，AD ＝AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴AB ＝BC ＝AC ，AC ＝CD ＝AD ，∴∠B ＝∠D ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝30°，∠BAD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠EAF ＝∠BAD ﹣∠BAE ﹣∠DAF ＝60°．故选C ．此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8、C 【解析】解：选项A 、B 、D 中的被开方数都有可能是负数，选项C 的被开方数210a ，一定有意义．故选C ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、三【解析】根据一次函数的图像与性质即可得出答案.【详解】∵一次函数解析式为：y=-x+1其中k=-1<0，b=1>0∴函数图像经过一、二、四象限，不经过第三象限故答案为：三.本题考查的是一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解决本题的关键.10、-5【解析】根据截距的定义：直线方程y=kx+b 中，b 就是截距解答即可．【详解】直线35y x =-的截距是−5.故答案为：−5.此题考查一次函数图象，解题关键在于掌握一次函数图象上点的坐标特征.11、①②③【解析】①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y 随x 的增大而减小，故本项正确；②因为一次函数的图象与y 轴的交点在正半轴上，所以b ＞0，故本项正确；③因为一次函数的图象与x 轴的交点为（1，0），所以当y=0时，x=1，即关于x 的方程kx+b=0的解为x=1，故本项正确；④由图象可得不等式kx+b>0的解集是x ＜1，故本项是错误的.故正确的有①②③.12、同位角相等，两直线平行(或垂直于同一直线的两条直线平行)内错角相等，两直线平行【解析】由平行线的判定方法即可得到小楠、小曼的作图依据．【详解】解：∵∠B=∠D=90°，∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)；∵∠ABC=∠DCB=90°，∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行(或垂直于同一直线的两条直线平行)；内错角相等，两直线平行．本题考查了作图-复杂作图和平行线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．13、×（）1．【解析】已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为，然后得到正方形A 2B 2C 2D 2的边长为，然后得到规律，即可求解．【详解】解：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为，正方形A 2B 2C 2D 2的边长为正方形A 3B 3C 3D 3的边长为，…，正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长为．故答案为．本题考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质，解题关键是灵活应用等腰直角三角形三边的关系进行几何计算．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．证明见解析；（3）【解析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC ，作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E ，根据正弦的定义求出CE ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD 是筝形，求证：∠B=∠D ，证明：如图1，连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，AB AD BC DC AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠B=∠D ；（3）如图2，连接AC ，作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E ，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin ∠EBC=∴S △ABC =12×AB×CE=2，∵△ABC ≌△ADC ，∴筝形ABCD 的面积=2S △ABC ．本题考查的是筝形的定义和性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确理解筝形的性质、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15、（1）k ＝﹣1，b ＝3；（3）x ＜1；（3）M 点坐标为（3，3）．【解析】（1）先确定C 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到k 、b 的值；（3）几何函数图象，写出直线y ＝kx ＋b 在直线y ＝3x 上方所对应的自变量的范围即可；（3）先确定D 点坐标，设点M 的横坐标为m ，则M （m ，−m ＋3），N （m ，3m ），则3m−3＝3，然后求出m 即可得到M 点坐标．【详解】（1）当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴C 点坐标为（1，3）．直线y ＝kx +b 经过（﹣3，6）和（1，3），则623k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得：k ＝﹣1，b ＝3；（3）由图可知，不等式kx +b ﹣3x ＞0的解集为x ＜1；（3）当x ＝0时，y ＝﹣x +3＝3，∴D 点坐标为（0，3），∴OD ＝3．设点M 的横坐标为m ，则M （m ，﹣m +3），N （m ，3m ），∴MN ＝3m ﹣（﹣m +3）＝3m ﹣3∵MN ＝OD ，∴3m ﹣3＝3，解得m ＝3．即M 点坐标为（3，3）．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx ＋b16、（1）y1＝80t，y2＝﹣120t+960；（2）两车相距100千米时，时间为4.3小时或5.3小时；（3）选择方案一能更快到达B城，理由见解析【解析】（1）根据路程=速度×时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式；（2）分两种情况讨论：①y2-y1=100；②y1-y2=100，据此列方程解答即可；（3）先算出客车和出租车在服务站D处相遇的时间，再分别求出方案一、方案二所需的时间进行比较即可．【详解】（1）由题意得y1＝80ty2＝900﹣120（t﹣0.5）＝﹣120t+960（2）如果两车相距100千米，分两种情况：①y2﹣y1＝100，即﹣120t+960﹣80t＝100解得t＝4.3②y1﹣y2＝100，即80t﹣（﹣120t+960）＝100解得t＝5.3所以，两车相距100千米时，时间为4.3小时或5.3小时．（3）如果两车相遇，即y1＝y2，80t＝﹣120t+960，解得t＝4.8此时AD＝80×4.8＝384（千米），BD＝900﹣384＝516（千米）方案一：t1＝（2×60+516）÷120＝5.3（小时）方案二：t2＝516÷80＝6.45（小时）∵t2＞t1∴方案一更快答：小王选择方案一能更快到达B城．本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键根据数量关系找出方程（或函数关系式）．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决此类型题目时，根据数量关系列出方程（或函数关系式），再一步步的进行计算即可．【解析】（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，根据对顶角相等可得∠DEN=∠AEM，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角边角”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=AM，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）首先证明△AEM是等边三角形，进而得到AE=ED=EM，利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出△AMD是直角三角形，进而得出四边形AMDN是矩形．【详解】（1）∵点E是AD边的中点，∴AE＝ED，∵AB∥CD，∴∠NDE＝∠MAE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE（ASA），∴ND＝AM，∵ND∥AM，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝2时，说明四边形是矩形．∵E是AD的中点，∴AE＝2，∵AE＝AM，∠EAM＝60°，∴△AME是等边三角形，∴AE＝EM，∴AE＝ED＝EM，∴∠AMD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，故当AM＝2时，四边形AMDN是矩形．本题考查矩形的判定、菱形的性质和平行四边形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的性质和平行四边形的判定.18、（1）直线AB的解析式为y＝2x+1；（2）x＞﹣2；（3）△ACD的面积为1.【解析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；(2)联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；根据函数图象，即可得到x的取值范围．(3)得出点D的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）将点A（0，1）、B（2，5）代入y＝kx+b，得：125 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：21 kb=⎧⎨=⎩，所以直线AB的解析式为y＝2x+1；（2）由215y xy x=+⎧⎨=--⎩得23xy=-⎧⎨=-⎩，∴点C（﹣2，﹣3），由函数图象知当x＞﹣2时，y＝﹣x﹣5在直线y＝2x+1下方，∴不等式﹣x﹣5＜kx+b的解集为x＞﹣2；（3）由y＝﹣x﹣5知点D（0，﹣5），则AD＝1，∴△ACD的面积为12×1×2＝1．本题考查一次函数综合应用，解题的关键是掌握一次函数的性质.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、5【解析】根据非负数的性质得到两直角边的长，已知直角三角形的两直角边根据勾股定理计算斜边，根据斜边上的中线等于斜边的一半计算斜边中长线。

常州市第二十四中学数学九年级上册期末数学试卷一、选择题1．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．102．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是 A ．88，90B ．90，90C ．88，95D ．90，953．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ） A ．1010B ．310C ．13D ．1034．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ） A ．y ＝2（x+1）2+4 B ．y ＝2（x ﹣1）2+4 C ．y ＝2（x+2）2+4 D ．y ＝2（x ﹣3）2+45．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°6．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ）A ．23B ．1.15C ．11.5D ．12.5 7．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2321x x =+B ．3230x x --C ．221x y -=D ．20x y +=8．如图在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相似的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．∠ADE=∠C C ．AD DEAB BC= D ．AD AEAC AB= 9．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2）10．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．3B ．234C 1433D 223312．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结论正确的有（ ）①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51BC AC -=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的15．将抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）A ．23(1)2y x =++B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =-+D ．23(1)2=--y x二、填空题16．若m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，则6m 2﹣9m 的值为_____．17．已知一组数据：4，4，m ，6，6的平均数是5，则这组数据的方差是______. 18．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.19．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .20．若圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面展开图的面积为_____cm 2． 21．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．22．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．23．如图是二次函数2y ax bx c=++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c++>的解集是_______.24．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为_________．25．如图，已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为13+，则这个正方形的边长为_____________26．如图，平行四边形ABCD中，60A∠=︒，32ADAB=.以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F.若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r，则12rr的值为______.27．方程290x 的解为________.28．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．29．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．30．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________三、解答题31．如图，平行四边形ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE ∆沿直线AE 翻折至AFE ∆的位置，AF 与CD 交于点G .（1）求证：CG BF CD CF ⋅=⋅； （2）若3AB =8AD =，求DG 的长. 32．下表是某地连续5天的天气情况（单位：C ︒）： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 最高气温 5 7 6 8 4 最低气温－2－213（1）1月1日当天的日温差为______C ︒（2）利用方差判断该地这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大. 33．某校九年级（2）班A 、B 、C 、D 四位同学参加了校篮球队选拔. （1）若从这四人中随杋选取一人，恰好选中B 参加校篮球队的概率是______； （2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B 、C 两位同学参加校篮球队的概率.34．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m －1（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）将该二次函数的图像向下平移k （k ＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k 的取值范围是 ．35．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝60cm ．动点P 以6cm /s 的速度在矩形ABCD 的边上沿A →D 的方向匀速运动，动点Q 在矩形ABCD 的边上沿A →B →C 的方向匀速运动．P 、Q 两点同时出发，当点P 到达终点D 时，点Q 立即停止运动．设运动的时间为t (s )，△PDQ 的面积为S (cm 2)，S 与t 的函数图象如图②所示． （1）AB ＝ cm ，点Q 的运动速度为 cm /s ；（2）在点P 、Q 出发的同时，点O 也从CD 的中点出发，以4cm /s 的速度沿CD 的垂直平分线向左匀速运动，以点O 为圆心的⊙O 始终与边AD 、BC 相切，当点P 到达终点D 时，运动同时停止．①当点O 在QD 上时，求t 的值；②当PQ 与⊙O 有公共点时，求t 的取值范围．四、压轴题36．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：162y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：12y x =交于点A .（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.37．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x（1）用关于x的代数式表示BQ、DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形．38．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝34，OB＝8．（1）求OA、AB的长；（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．①当t为何值时，点Q与点D重合？②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．39．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 40．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】 【分析】作辅助线，连接OA ，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r ，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接OA ，设圆的半径为r ，则OE=r-2， ∵弦AB CD ⊥, ∴AE=BE=4，由勾股定理得出：()22242r r =+-， 解得：r=5， 故答案为：A. 【点睛】本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.2．B解析：B 【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90． 故选B ．3．A解析：A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可. 【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴AB =∴sinBC A AB ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.4．A解析：A 【解析】 【分析】只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可． 【详解】解：原抛物线y ＝2（x ﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）． 所以，平移后抛物线的表达式是y ＝2（x+1）2+4， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可． 【详解】∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°， 故选D ． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6．C解析：C 【解析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，故选：C ．【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.．7．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】解：A ． 2321x x =+是一元二次方程，故本选项符合题意；B ． 3230x x --是一元三次方程，故本选项不符合题意；C ． 221x y -=是二元二次方程，故本选项不符合题意；D ． 20x y +=是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选A ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．【详解】解：A 、∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故A 选项错误；B 、∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故B 选项错误；C 、AD DE AB BC =不能判定△ADE ∽△ACB ，故C 选项正确； D 、AD AE AC AB=，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故D 选项错误． 故选：C ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9．D【解析】【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.【详解】∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）．故选D ．10．C解析：C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误；由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a ＞0，所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限，所以，A 选项错误，C 选项正确．故选C ．11．C解析：C【解析】【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，∴易证AE ⊥BC ，∵A 、C 关于BD 对称，∴PA ＝PC ，∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB= ＝2，∵BD ＝∴PD ＝23⨯=∴点H 的横坐标b ，∴a +b ＝33=； 故选C ．【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．A解析：A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A ．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．13．C解析：C【解析】【分析】①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC ∽△BCD ,从而确定②是否正确,根据AD =BD =BC ,即BC AC BC AC BC -=解得BC=12AC ，故④正确. 【详解】①BC是⊙A的内接正十边形的一边,因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,又因为BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;又∵△ABD中，AD+BD＞AB∴2AD＞AB,故③错误.②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,∴BC CDAB BC=,又AB=AC,故②正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC-=,解得AC,故④正确,故选C．【点睛】本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 14．D解析：D【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x12-)2+14，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝12，故选项B错误；当x＝12时取得最大值14，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．15．A解析：A【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【详解】抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()231y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2312y x =++．故选：A ．【点睛】此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 二、填空题16．3【解析】【分析】把m 代入方程2x2﹣3x ＝1，得到2m2-3m=1，再把6m2-9m 变形为3（2m2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是方程2x2﹣3x ＝1的一个根，解析：3【解析】【分析】把m 代入方程2x 2﹣3x ＝1，得到2m 2-3m=1，再把6m 2-9m 变形为3（2m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，∴2m 2﹣3m ＝1，∴6m 2﹣9m ＝3(2m 2﹣3m)＝3×1＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．8【解析】【分析】根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为： （表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S2表示方差.）【详解】解：∵4，4，，6，6的平均数是5，∴4+4解析：8【解析】【分析】根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为：2222121n S x x x x x x n （x 表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S 2表示方差.）【详解】解：∵4，4，m ，6，6的平均数是5，∴4+4+m+6+6=5×5,∴m=5,∴这组数据为4，4，m ，6，6，∴22222214545556565=0.85S ，即这组数据的方差是0.8.故答案为：0.8.【点睛】本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.18．50【解析】【分析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出，，计算即可.【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,∴∵DC=CB∴∵AB 是直解析：50【解析】【分析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，再利用圆周角定理求出ACB ∠，CAB ∠，计算即可.【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,∴DAB 180DCB 80∠∠=︒-=︒∵DC=CB∴1CAB 402DAB ∠=∠=︒ ∵AB 是直径∴ACB 90∠=︒∴ABC 90CAB 50∠∠=︒-=︒故答案为：50.【点睛】本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键. 19．【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如解析：133【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如图所示，∵四边形MEGH为正方形，∴NE GH∴△AEN~△AHG∴NE:GH=AE:AG∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9∴NE=20 9同理可求BK=8 9梯形BENK的面积：1208143 2993⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭∴阴影部分的面积：1413 3333⨯-=故答案为：13 3.【点睛】本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.20．15【解析】【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm∴圆锥的母线长∴圆锥的侧面展开图的面积故填：.【点睛】解析：15π【解析】【分析】先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算.【详解】∵圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm∴圆锥的母线长5()cm ==∴圆锥的侧面展开图的面积()23515cmππ=⨯⨯=故填：15π.【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 21．【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为=π．故答案为：π．【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．解析：π【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【详解】∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°， ∴此扇形的弧长为603180π⨯=π． 故答案为：π．【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键． 22．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接D解析：4 5【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF∴323x x DE x x DF∴45 DEDF,∴45 CECF.故答案为：4 5 .【点睛】本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.23．【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x解析：15x -<<【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.故答案为15x -<<【点睛】要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.24．【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.【详解】解：解析：9【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.【详解】解：如图所示，∵∠CEB =∠DBF =90°，∠CFE =∠DFB ，CE=DB =1，∴△CEF ≌△DBF ，∴BF =EF =12BE =12，∵BF∥AD，∴△BOF∽△AOD，∴11248 BO BFAO AD===，∴89AO AB=，∵221417 AB=+=，∴817 AO=.故答案为：817 9【点睛】本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.25．【解析】【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+E 2【解析】【分析】将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形，即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC，表示Rt△GMC的三边，根据勾股定理即可求出正方形的边长.【详解】解：如图，将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置，连接EF,GC,BG，过点G作BC 的垂线交CB的延长线于点M.设正方形的边长为2m，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°，∵△ABE 绕点A 旋转60°至△AGF ，∴,,60,AG AB AF AE BAG EAF BE GF ==∠=∠=︒=,∴△AEF 和△ABG 为等边三角形，∴AE=EF,∠ABG=60°，∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC ，∴GC=13∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，∴在Rt △BGM 中，GM=m ，3m ，Rt △GMC 中，勾股可得222GC GM CM =+， 即：222(32)(13)m m m ++=+， 解得：2m =， ∴边长为22m =2.【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，两点之间线段最短，勾股定理.能根据旋转作图，得出EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC 是解决此题的关键.26．1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.【详解】设AB=a ，∵∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形中，，∴∠D=120解析：1【解析】【分析】设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12r r 的值. 【详解】设AB=a ， ∵32AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，∴l 1弧长EF=12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.27．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这解析：3x =±【解析】【分析】这个式子先移项，变成x 2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x 2=9，解得x =±3．故答案为3x =±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．28．【解析】【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的解析：60【解析】【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝12lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝12lr＝12×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝12lr是解题的关键．29．4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=解析：4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=0.4．故答案为：0.4．30．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，当直线y=-2x+b处于直线m的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A，当直线处于直线n的位置时，此时直线n过点B（4，0）与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b处于直线m、n之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m的位置：联立y=-2x+b与y=x2-4x并整理：x2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1；当直线过点B时，将点B的坐标代入直线表达式得：0=-8+b，解得：b=8，故-1＜b＜8；故答案为：-1＜b＜8．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A、B两个临界点，进而求解．三、解答题31．（1）见解析；（283 3【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD，通过两角对应相等证明△FCG∽△FBA，利用对应边成比例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE的长,再由折叠性质求出BF长，结合（1）的结论代入数据求解.【详解】解（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC∴∠GCF=∠B, ∠CGF=∠BAF,∴△FCG∽△FBA,∴CG CF AB BF= ,∴CG CF CD BF∴CG BF CD CF⋅=⋅.。