北师大版八年级数学下册《五章 分式与分式方程 1. 认识分式 分式的基本性质》公开课教案_15
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第五章分式与分式方程知识点1:分式的概念1、分式的定义:一般地,用A,B表示两个正式,A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母,那么称AB为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件:(1)是形如AB的式子;(2)A,B都整式;(3)分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件:分母不能为0.分式无意义的条件:分母等于0.分式的值为0的条件:分子等于0且分母不等于0.知识点2:分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
字母表示:AB =A·CB·C,AB=A÷CB÷C(C≠0,其中A,B,C均是整式)运用条件:(1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算;(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容:分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个,分式的值不变。
字母表示:AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3:分式的约分与通分4、分式的约分约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分,即A·CB·C =AB(C为整式且C≠0).约分的方法:如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子、分母的公因式;如果分式的分子、分母中至少有一个多项式,那么先分解因式,再约去分子、分母的公因式。
最简分式:分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式。
5、分式的通分通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
用字母表示:将AB 和CD通分,AB=A·DB·D,CD=B·CB·D(分母都为B·D)。
通分的步骤:(1)将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应进行因式分解;(2)确定最简公分母,即各分母的所有因式的最高次幂的积;(3)将分子、分母同乘一个因式,使分母变为最简公分母。
第五章 分式与分式方程第一节 认识分式(一)一、学习准备1、分式的概念:整式A 除以整式B ,可以表示成AB的形式,如果 中含有字母,那么我们称AB为__________。
2、分式与整式的区别:分式一定含有分母,且分母中一定含有 ;而整式不一定...含有分母,若含有分母,分母中一定不含有字母。
3、分式有意义、无意义或等于零的条件: (1)分式AB有意义...的条件:分式的 的值不等于零; (2)分式AB 无意义...的条件:分式的 的值等于零; (3)分式AB的值为零的条件:分式的 的值等于零,且分式的 的值不等于零; 二、教材精读1、理解分式的概念253817233312y x x x xy y x y x y x x -++-, , ,-,-, , , ?些是整式?哪些是分式 在下列式子中,哪例π解:有意义?取何值时, 当例112-x x模块二 合作探究 1、下列代数式:132m -,31,x π,1x ,1xx -,32(1)x y x x --,其中是分式的有:__________________________________________。
2、当x 取何值时,下列分式有意义?()x 211 ()3x 71x 32-- ()132-x x3、当x 取何值时,下列分式无意义?()2x5x 1- ()5x 61x 22-+ ()2x 3x 3+-4、当x 取何值时,下列分式的值为零?()xx +21 ()x x 342- ()45233-+x x()33||4+-x x ()86452+-x x模块三 形成提升1、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?①5x -7,②3x 2-1,③123+-a b ,④7)(p n m +,⑤72,⑥1222-+-x y xy x ,⑦c b +54答:______________________________。
(填序号)2、当x 取何值时,分式2132x x +-无意义?3、当x 为何值时,分式232-+x x 的值为零?4、若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是____________。
第五章分式与分式方程第1节认识分式(第1课时)一、学情分析学生在小学学过分数,其实分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系,其中包括整式与分式等数量关系.在整式的学习中,学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系,建立数学模型的思想.在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力.二、教学分析本节课是分式的起始课,是学生学习了整式、因式分解基础上进行的的,是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式方程的前提,所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点。
因为分式与分数类似,所以为了突破重点和难点,采用了类比的学习方法,让学生学会自主探索,合作交流,老师的讲和学生的学相结合。
分式是表示现实世界中一类量的数学模型,为了让学生体会这一点,在课题引入时从实际生活情景出发,让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。
根据三维教学目标及新课程标准对本节课的要求,结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平,拟定本课的教学目标:知识目标:1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别;2、会判断一个分式何时有意义、何时无意义、何时值为0;3、会根据已知条件求分式的值。
能力目标:1、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.2、培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流.教学重点:了解分式的概念,会判断一个分式何时有意义、何时无意义、何时值为0教学难点:会判断一个分式何时有意义、何时无意义三、教学过程分析本节课共设计了 四个教学环节:点评预习案——自主探索——课堂反馈——自我小结——作业布置第一环节,点评预习案(自学阅读:课本108—109页内容。
)1、 统称为整式;2、问题:下列式子中整式的是a , -3x 2y 3, 5x -1, x 2+xy +y 2, yxy ,19-a a ,3m ,ab c 3、面对目前严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成一原计划的任务。
第五章 分式与分式方程1. 分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别:分式的字母必须含有字母,即未知数;分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件:分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示 或 其中A 、B 、C 为整式(0≠C )注:(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式。
(2)应用基本性质时,要注意C ≠0,以及隐含的B ≠0。
(3)注意“都”,分子分母要同时乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分项,或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分:关键先是分解因式1) 分式的约分定义:利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值。
2) 最简分式:分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母:取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则 C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为 注:分子与分母变号时,是指整个分子或分母同时变号,而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5.分式的运算:1)分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。
2)分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
3)分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4)分式乘方、乘除混合运算:先算乘方,再算乘除,遇到括号,先算括号内的,不含括号的,按从左到右的顺序运算5)分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
第五章分式与分式方程
1.认识分式(一)
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础:学生在小学学过分数,其实分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系,其中包括整式与分式等数量关系.
学生的活动经验基础:在整式的学习中,学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系,建立数学模型的思想.在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力.
二、教学任务分析
本节课是分式的起始课,是学生学习了整式、因式分解基础上进行的的,是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式方程的前提,所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点。
因为分式与分数类似,所以为了突破重点和难点,采用了类比的学习方法,让学生学会自主探索,合作交流,老师的讲和学生的学相结合。
分式是表示现实世界中一类量的数学模型,为了让学生体会这一点,在课题引入时从实际生活情景出发,让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。
根据三维教学目标及新课程标准对本节课的要求,结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平,拟定本课的教学目标:
1、了解分式的概念,明确分式和整式的区别;
2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.
3、培养学生观察、归纳、类比的思维,让学生学会自主探索,合作交流.
三、教学过程分析
本节课共设计了6个教学环节:知识准备——情景引入——自主探索——练习提高——课堂反馈——自我小结
第一环节知识准备
活动内容:温故而知新
问题:下列子中那些是整式?
a , -3x 2y 3, 5x -1, x 2+xy +y 2,
ab
c m a a y xy n m ,3,19,,2-- 活动目的:
因为分式概念的学习是学生通过观察,比较分式与整式的区别从而获得分式的概念,所以必须熟练掌握整式的概念.
注意事项:
学生能够比较准确的找出哪些是整式,有些学生会简单的认为“分数”形式的代数式不是整式,其实这不是判别的关键,而是看分母中是不是含有字母。
第二环节 情景引入
活动内容:
以一个“土地沙化”的问题情景引入,让学生思考讨论,用式分式表达题目中的数量关系:
问题情景(1):面对目前严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成一原计划的任务。
这一问题中有哪些等量关系?
如果设原计划每月固沙造林x 公顷,那么原计划完成一期工程需要 个月,
实际完成一期工程用了 个月。
问题情景(2):新华书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a 元,现降
价x 元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b 元.降价销售开始时,新华书店这种图书的库存量是多少?
活动目的:
让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程;通过问题情景,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型;体会分式的意义,发展符号感.
注意事项:
要给学生一定的思考时间,让学生积极投身于问题情景中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.
第三环节 自主探索
活动内容:
以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念,体会分式的意义. 讨论内容:对前面出现的代数式如下,它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?
活动目的:
让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念. 注意事项:
学生通过观察、类比,及小组激烈的讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解,还可理解为字母是可以表示任何数的。
这样获得的知识,理解的更加透彻,掌握的更加牢固,运用起来会更灵活。
第四环节 练习提高
活动内容: 例题(1)当 a =1,2时,分别求分式 的值;
解:(1)当 a =1时, (2)当 a =2时, (2)当 a 取何值时,分式 有意义?
解:当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.
由分母2a =0,得a =0,
所以,当a 取零以外的任何数时,分式 都有意义. 活动目的:
让学生体会分式的意义,理解如果a 的取值使得分母的值为零,则分式没有意义,反之有意义.
注意事项:
通过例题讲解,让学生从两方面来理解,一是分式分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零。
学生基本能够通过计算出分式的值,但对于分式什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度, 需要通过x
a b x x -+,32400,2400a a 21+1121121=⨯+=+a a 43221221=⨯+=+a a a a 21+a a 21+
与分数进行类比,多举例才能理解的更深刻。
第五环节 课堂反馈
活动内容:
1、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
答:(2)、(4)是整式,(1)、(3)是分式.
活动目的:
考察学生对分式、整式概念的理解.
注意事项:
学生完成的较好,能抓住分式与整式概念的区别,准确的判断出分式、整式. 活动内容:
2、x 取什么值时,下列分式无意义?
解:(1)因为当分母的值为零时,分式没有意义.
由2 x -3=0,得x =
23 所以当x = 2
3 时, 分式无意义. (2)因为当分母的值为零时,分式没有意义.
由5x +10=0,得x = -2
所以当x = -2 时, 分式无意义.
活动目的:让学生体会分式的意义,知道如果a 的取值使的分母的值为零,则分式
没有意义,反之有意义.
3、把甲、乙两种饮料按质量比x :y 混合在一起,可以调制成一种混合饮料.调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料?
活动目的:体会分式可以表示现实情景中的数量关系,分式是表示现实世界中的一类量的数学模型,学会列分式。
注意事项:学生通过类比分数的分母不能为零,基本能理解分式的分母也不能为y x xy x x b a a b 221)4(41)3(2)2(,2)1(+-+-+32)
1(-x x 10
51
)2(+-x x
零。
在学习中,有些学生错误的理解为只是分式的分母中的字母不为零,应该及时纠正,是整个分母不为零分母可能是单项式,也可能是多项式。
第六环节自我小结
活动内容
这节课你有哪些收获?
1、学习了分式的概念,掌握了整式与分式的异同.
2、知道当分式的分母不等于零时分式才有意义.
3、在学习新知识时,可把它与所学的旧知识比较,通过观察、类比、归纳它们的异
同的方法来学习新知识.
4、我们应该多种树,保护人类生存环境.
活动目的
让学生畅所欲言,大胆谈自己的收获和感想,鼓励和引导学生发现和挖掘新事物.注意事项:
检查学生这节课的学习情况,是否把握了重难点,对于没有提到的,要给予补充,对于容易出错的,如当分式的分母不等于零时分式才有意义,要给予强调,另外,还要让学生掌握学习新知识的方法,如可把它与所学的旧知识比较,通过观察、类比、归纳它们的异同的方法来学习新知识.
让可能多的学生谈谈自己的收获,只要积极的正确的都要给予肯定,并及时的鼓励。