山东省乐陵市第一中学高中数学(人教B版)必修四导学案2.1.2 向量的减法(无答案)

2.1.3 向量的减法1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)[基础·初探]教材整理1 向量的减法阅读教材P 84倒数“第7行”以上内容，完成下列问题.图2-1-191.向量减法的定义：已知向量a ，b (如图2-1-19)，作OA →＝a ，作OB →＝b ，则b ＋BA →＝a ，向量BA →叫做向量a 与b 的差，并记作a －b ，即BA →＝a －b ＝OA →－OB →.2.向量减法的两个重要结论：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(2)一个向量BA →等于它的终点相对于点O 的位置向量OA →减去它的始点相对于点O 的位置向量OB →，或简记“终点向量减始点向量”.在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________.【解析】 d －a ＝d ＋(－a )＝AD →＋DB →＝AB →＝c .【答案】 c教材整理2 相反向量阅读教材P 84倒数“第6行”～P 85“例1”以上部分内容，完成下列问题.1.相反向量的定义：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作－a .2.相反向量的性质：(1)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(2)－(－a )＝a ；(3)零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.3.向量减法的理解：在向量减法的定义式b ＋BA →＝a 的两边同时加(－b )，由b ＋(－b )＝0得BA →＝a ＋(－b )，这就是说，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的有________.①a 与b 的长度必相等；②a ∥b ；③a 与b 一定不相等；④a 是b 的相反向量.【解析】 因为0的相反向量是0，故③不正确.【答案】 ③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]向量减法及其几何意义(1)AC →可以写成：①AO →＋OC →；②AO →－OC →；③OA →－OC →；④OC→－OA →.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④(2)化简：①AB →＋OA →－OB →＝________；②OB →－OA →－OC →－CO →＝________.(3)已知菱形ABCD 的边长为2，则向量AB →－CB →＋CD →的模为________，|AC →|的范围是________.【精彩点拨】 (1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法则求向量和的关键是“共起点”.(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后用加法a ＋(－b )即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.【自主解答】 (1)因为AO →＋OC →＝AC →，OC →－OA →＝AC →，所以选D.(2)①AB →＋OA →－OB →＝AB →＋(OA →－OB →)＝AB →＋BA →＝0；②OB →－OA →－OC →－CO →＝(OB →－OA →)－(OC →＋CO →)＝AB →.(3)因为AB →－CB →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，又|AD →|＝2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AD →|＝2.又因为AC →＝AB →＋AD →，且在菱形ABCD 中，|AB →|＝2，所以||AB →|－|AD →||<|AC →|＝|AB →＋AD →|<|AB →|＋|AD →|，即0<|AC →|<4.【答案】 (1)D (2)①0 ②AB →(3)2 (0,4)1.向量加法与减法的几何意义的联系：(1)如图所示，平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)类比||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |可知||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.2.向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相连且为和.(2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.[再练一题]1.下列各式中不能化简为AD →的是( )A.(AB →－DC →)－CB →B.AD →－(CD →＋DC →)C.－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)D.－BM →－DA →＋MB →【解析】 选项A 中(AB →－DC →)－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →；选项B 中AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →；选项C 中－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－CB →－MC →－DA →－BM →＝BC →＋CM →＋AD →＋MB →＝(MB →＋BC →＋CM →)＋AD →＝AD →.【答案】 D利用已知向量表示其他向量如图2-1-20所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE→＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：图2-1-20(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →；(3)BF →－BD →.【导学号：72010045】【精彩点拨】 运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a ，b ，c ，d ，e ，f 的和与差来表示.【自主解答】 (1)∵OB →＝b ，OD →＝d ，∴AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(2)∵OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，∴AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c .(3)∵OD →＝d ，OF →＝f ，∴BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d .1.解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.2.通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB →”改为“BA →”.[再练一题]2.如图2-1-21，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.图2-1-21【解】 ∵四边形ACDE 为平行四边形，∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .[探究共研型]向量减法的三角不等式及其取等条件探究1 若|AB |＝8，|AC |＝5，则|BC |的取值范围是什么？【提示】 由BC →＝BA →＋AC →及三角不等式，得|BA →|－|AC →|≤|BA →＋AC →|≤|BA →|＋|AC →|，又因为|BA →|＝|AB →|＝8，所以3≤|BC →|＝|BA →＋AC →|≤13，即|BC →|∈[3,13].探究2 已知向量a ，b ，那么|a |－|b |与|a ±b |及|a |＋|b |三者具有什么样的大小关系？【提示】 它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(1)当a ，b 有一个为零向量时，不等式显然成立.(2)当a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.同理可证||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且共线时，①当向量a 与b 同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.②当向量a ，b 反向时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图(3)所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.综上所述，得不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.设a 和b 的长度均为6，夹角为2π3，则|a －b |等于________.【精彩点拨】 画出平行四边形数形结合求解.【自主解答】 作OA →＝a ，OB →＝b ，则|a －b |＝|BA →|，在Rt △BCO 中，∠BOC ＝π3，|BO →|＝6，∴|BC →|＝33，∴|a －b |＝|BA →|＝2|BC →|＝6 3.【答案】 6 3利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.[再练一题]3.已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.【解】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，再以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，即|a ＋b |与|a －b |是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该四边形为矩形，从而|a －b |＝62＋82＝10.[构建·体系]1.在△ABC 中，若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于( )A.aB.a ＋bC.b －aD.a －b【解析】 CA →＝BA →－BC →＝a －b .故选D.【答案】 D图2-1-222.如图2-1-22，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A.a －b ＋cB.b －(a ＋c )C.a ＋b ＋cD.b －a ＋c【解析】 DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .【答案】 A3.若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →【解析】 因为O ，E ，F 三点不共线，所以在△OEF 中，由向量减法的几何意义，得EF →＝OF →－OE →，故选B.【答案】 B4.已知a ，b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________.【导学号：72010046】①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同；②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反；③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模；④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同.【解析】 当a ，b 方向相同时有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |，当a ，b 方向相反时有||a |－|b ||＝|a ＋b |，|a |＋|b |＝|a －b |.因此①②④为真命题.【答案】 ①②④5.化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →).【解】 法一：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →的相反向量是( )A.a －bB.b －aC.a ＋bD.－a －b【解析】 ∵BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∴BD →的相反向量为－(b －a )＝a －b .【答案】 A2.已知平面内M ，N ，P 三点满足MN →－PN →＋PM →＝0，则下列说法正确的是( )A.M ，N ，P 是一个三角形的三个顶点B.M ，N ，P 是一条直线上的三个点C.M ，N ，P 是平面内的任意三个点D.以上都不对【解析】 因为MN →－PN →＋PM →＝MN →＋NP →＋PM →＝MP →＋PM →＝0，MN →＋NP →＋PM →＝0对任意情况是恒成立的.故M ，N ，P 是平面内的任意三个点.故选C.【答案】 C3.(2016·天津和平区期末)在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.AB →＋BC →＝CA →B.BC →＋CD →＝BD →C.AB →＋AD →＝AC →D.AB →－AD →＝BD →【解析】 由向量加减法法则知AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，C 项只有四边形ABCD 是平行四边形时才成立，AB →－AD →＝DB →.故选B.【答案】 B4.给出下列各式：①AB →＋CA →＋BC →；②AB →－CD →＋BD →－AC →；③AD →－OD →＋OA →；④NQ →－MP →＋QP→＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】 ①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0；③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.【答案】 A5.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )【导学号：72010047】图2-1-23A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0【解析】 因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立.BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立.AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立.BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立.【答案】 A二、填空题6.如图2-1-24所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)图2-1-24【解析】 由题意，在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BA →＝OA →－OB →＝a －b ，所以CD →＝BA →＝a －b ，所以OD →＝OC →＋CD →＝a －b ＋c .【答案】 a －b ＋c7.在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，且|a ＋b|＝|a －b|，则四边形ABCD 的形状是________.【解析】 由平行四边形法则知，|a ＋b|，|a －b|分别表示对角线AC ，BD 的长，当|AC →|＝|BD →|时，平行四边形ABCD 为矩形.【答案】 矩形三、解答题8.图2-1-25如图2-1-25，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →.(2)用b ，c 表示DB →.(3)用a ，b ，e 表示EC →.(4)用d ，c 表示EC →.【解】 因为AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，所以(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ；(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c ；(3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e ；(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .9.(2016·泰安高一检测)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |；(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.【证明】 如图，在等腰Rt △ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，得|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b .于是由|AM →|＝|CM →|，得|a －b |＝|a |.(2)在△MCB 中，MB →＝AM →＝a －b ，所以CB ＝MB －MC ＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b ).从而由|CB →|＝|CA →|，得|a ＋(a －b )|＝|b |.[能力提升]1.平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( )A.A ，B ，C 三点必在同一直线上B.△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D.△ABC 必为等腰直角三角形【解析】如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|.∴四边形ABCD 是矩形，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.【答案】 C2.已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a|＝|b|＝|a －b|＝2，求|a ＋b|与△OAB 的面积.【解】 由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b ，由于|a|＝|b|＝|a －b|，则OA ＝OB ＝BA ， ∴△OAB 为正三角形，∴|a ＋b|＝|OC →|＝2×3＝23，S △OAB ＝12×2×3＝ 3.。

《向量的减法》◆教材分析在数的运算中，减法是加法的逆运算，与数的减法一样，向量减法同样作为向量加法的逆运算引入。

通过数形结合的方式对向量减法的计算方法进行讲述，更有利于学习者的接受，也便于将向量减法具体应用于图形计算中。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）初步了解向量减法的意义和计算方式；（2）理解向量加法和向量减法之间的关系；（3）将向量减法应用到具体图形中。

【过程与方法能力目标】（1）通过对平面几何中各线段的分析掌握向量的减法的具体应用；（2）培养分析问题解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过学习向量的概念，培养学生认真严谨的态度和绘图能力，增强学生对方向的认知能力。

【教学重点】 向量减法在具体图形中应用的讲解。

【教学难点】对向量减法定义的理解。

多媒体课件。

一、温故而知新1.具有大小和方向的量称为向量。

2.具有方向的线段，叫做有向线段。

3.同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量。

4.两个向量a ⃗ 和b ⃗ 同向且等长，即a ⃗ 和b ⃗ 相等，记作a ⃗ =b ⃗ 。

5.通过有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线，叫做向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的基线，如果向量的基线相互平行或重合，则称这些向量共线或平行。

可知：共线向量的方向相同或相反，向量a ⃗ 平行于向量b ⃗ ，记作a ⃗ //b ⃗ 。

6.长度等于零的向量，叫作零向量。

7.向量加法的三角形法则。

要点：尾首相接，首位相连。

8.向量加法的平行四边形法则。

要点：起点相同，邻边作形。

9.向量加法满足交换律和结合律。

（1）a +b ⃗ =b ⃗ +a（2）(a +b ⃗ )+c =a +(b ⃗ +c )二、新课导入1.在数的运算中，减法是加法的逆运算，与数的减法一样，向量减法同样作为向量加法◆教学重难点 ◆ ◆课前准备◆ ◆教学过程。

同角三角函数的基本关系式【学习目标】：1 了解同角三角函数基本关系式的推导2 能运用公式解决简单的求值、化简、证明等问题【重、难点】：基本关系式运用及角的终边所在位置与符号关系【自主学习】在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理，可得1.平方关系：sin 2x+cos 2x=2.商数关系：=x x cos sin =x x sin cos3.倒数关系：sin αcsc α=cos αsec α= tan αcot α= 【自我检测】 1.下面四个命题中可能成立的一个是（ ）A.21cos 21sin ==αα且B.sin α=1且cos α=－1C.tan α=1且cos α=－1D.α在第二象限时，tan α=ααcos sin -2.已知cos α=-53,α∈（0，π），则tan α等于（ ） A.34 B.-34 C.±34 D.±43 3.已知sin α=54 且tan α＜0，则cos α= . 4.已知ααααtan ,cos ,31sin 为第二象限角，求且=5.化简：（1）00280tan 80sin 1∙- （2）ααcos )tan1(2+6.证明：（1）1cos 2sin cos 222-=-ααα （2）1sin 2cos sin 244-=-ααα同角三角函数的基本关系式（一）（自研自悟）1. 已知sin α=53，求cos α、tan α的值.2.ααααcos ,sin ,5tan 是第二象限角，求且已知-=3.已知的值求ααααtan ,270180,55cos s 00<<-=-in【收获总结】【自练自提】1.若β∈（0，2π），且ββββcos sin sin 1cos 122-=-+-，则β的取值范围是（）A. C.[π，23π） D.[23π，2π）2.已知αααtan sin ,53cos 和求-=3.已知sin α+cos α=51，且0°＜α＜180°，求ta n α的值.同角三角函数的基本关系式（二）（自学自测）【学习目标】：能熟练运用公式解决求值、化简、证明等问题【重、难点】：基本关系式运用及角的终边所在位置与符号关系【自主学习、课前自测】：1.求证 （1）ααααcos sin 21cos sin 2+=+）（ （2）ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-【注】ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+可相互转化2.求证：（1）ααα222tan 1tan sin += （2）αα22tan 11cos +=（3）αααα2tan 1tan cos sin +=【注】αααααtan cos cos sin sin 22可转化为c b a ++练习：1.已知求下列各式的值,4tan -=α（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- （2）α2sin （3）ααsin cos 2- （4）ααcos sin 32.已知 5cos 5sin 3cos 2sin -=+-αααα, 那么=αtan __________同角三角函数的基本关系式（二）（自研自悟）1.（1）51cos sin =+αα已知，求ααc o s s i n （2）57cos sin =-αα已知，求ααc o ss i n2.已知41cos sin =αα，（1）若αααcos sin +是第一象限角，求 （2）若αααcos sin +是第三象限角，求3.已知81-cos sin =αα，（1）αααcos sin -是第二象限角，求若 （2）αααcos sin -是第四象限角，求若【收获与总结】【自练自提】1.已知2tan =α， 求（1）ααααcos 2sin cos sin 2+- （2）ααααcos 2cos sin sin 2-+2. 已知81c o s s i n =αα， （1）24παπ<<若求ααsin cos - （2）ααπαπsin cos ,2345-<<求若。

第二章平面向量2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与EF 共线的向量； （2）确定与EF 相等的向量； （3）OA 与BC 相等吗？【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上； （2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等； （4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当ABCD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3. 四边形ABCD 中，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ≠，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。

2.1.3 向量的减法明目标、知重点 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.1.向量的减法(1)已知向量a ，b (如图)，作OA →＝a ，作OB →＝b ，则b ＋BA →＝a ，向量BA →叫做向量a 与b 的差，记作a －b ，即BA →＝a －b ＝OA →－OB →.(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(3)一个向量BA →等于它的终点相对于点O 的位置向量OA →减去它的始点相对于点O 的位置向量OB →，或简记“终点向量减始点向量”. 2.相反向量(1)与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作－a (如图).显然a ＋(－a )＝0.(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.[情境导学] 上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题. 探究点一 向量的减法思考1 a 的相反向量是什么？－a 的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？ 答 与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作－a ，并且有a ＋(－a )＝0－a 的相反向量是a 即－(－a )＝a . 规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？答 向量的减法也有类似法则，定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.思考3 向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a ，b, c ，若a ＋c ＝b ，则c 等于什么？ 答 a ＋c ＝b ⇔c ＝b －a .小结 (1)－AB →＝BA →；(2)－(－a )＝a ；(3)－0＝0；(4)a ＋(－a )＝0；(5)若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. 探究点二 向量减法的法则思考1 向量减法的三角形法则是什么？答 当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.思考2 请你利用向量减法的三角形法则作出非共线向量a 与b 的差向量a －b? 答 利用三角形法则.在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . 思考3 若a ＋b ＝c ＋d ，则a －c ＝d －b 成立吗？ 答 成立.移项法则对向量等式适用.例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，A B →＝m ，B C →＝n ，C D →＝p ，D E →＝q ，E A →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r . 解 延长AC 到Q .使CQ ＝AC ， 则m －p ＋n －q －r ＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r )＝A C →－C A →＝A C →＋C Q →＝A Q →. 如图所示.例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). 解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝CB →－CB →＝0.反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →). 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.例3 如图，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a ，b 表示向量AC →，DB →吗？解 由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ； 同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.跟踪训练3 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OA →. 解 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →；∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1.在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( ) A.AB →B.BA →C.CD →D.DB → 答案 A解析 AC →－AD →＝DC →＝AB →.2.在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0答案 C解析 ∵AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，A 正确； ∵AD →－BA →＝AD →＋AB →＝AC →，B 正确； ∵AB →－AD →＝AB →＋DA →＝DB →，C 错误；∵AD →＝BC →，∴AD →＝－CB →，∴AD →＋CB →＝0，D 正确. 3.在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝______. 答案 0解析 原式＝(BC →－AD →)＋(BA →－CD →)＝0＋0＝0.4.已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 答案 13解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13. ∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a －b |＝|BA →|＝13. [呈重点、现规律]1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a －b ＝a ＋(－b ).2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.一、基础过关1.四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( ) A.a －b ＋c B.b －(a ＋c ) C.a ＋b ＋c D.b －a ＋c 答案 A2.化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ → 答案 B3.若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →答案 B4.如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0 答案 A解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.5.化简下列各式： ①AB →－AC →＋BC →； ②AB →＋CA →＋BD →－CD →； ③OA →－OD →－DA →；④NQ →－PQ →＋MN →－MP →.结果为零向量的个数是________. 答案 4解析 ①AB →－AC →＋BC →＝CB →＋BC →＝0；②AB →＋CA →＋BD →－CD →＝CA →＋AB →＋BD →＋DC →＝CD →＋DC →＝0； ③OA →－OD →－DA →＝DA →－DA →＝0；④NQ →－PQ →＋MN →－MP →＝NQ →＋QP →＋PM →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.6.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________. 答案 CA →7.已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示OD →.解 方法一 如图所示， O D →＝O A →＋A D →＝a ＋B C →＝a ＋(O C →－O B →)＝a ＋c －b .方法二 O D →＝O A →＋A B →＋B C →＋C D →＝O A →＋B C →＋(A B →＋C D →)＝O A →＋B C →＋0 ＝O A →＋(B O →＋O C →)＝a ＋(－b ＋c )＝a －b ＋c . 二、能力提升8.若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)答案 C解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|. ∴3≤|AC →－AB →|≤13.∴3≤|BC →|≤13.9.边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )A.1B.2C.32D. 3 答案 D解析 如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连接AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →. 在△ABD 中，AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3.10.若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 所在基线的夹角是________. 答案 30°解析 设OA →＝a ，OB →＝b ， 则a －b ＝BA →， ∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →|， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠BOA ＝60°.∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA . ∴a 与a ＋b 所在基线的夹角为30°.11.如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .解 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示，作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .12.已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如右图所示：则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB . 在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6， 由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10.所以|a －b |＝10. 三、探究与拓展13.如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →. 证明 作直径BD ，连接DA 、DC ， 则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ， CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ， 故四边形AHCD 是平行四边形. ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC → ＝OA →＋OB →＋OC →.。

导学案：2.1.3向量的减法
一、【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】
重点：向量减法法则的运用；
难点：对向量减法定义的理解.
三、【学习目标】
1、掌握向量减法的运算，并理解其几何意思；
2、学会用两种角度理解向量减法运算；
四、自主学习
1、填空：
(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是___ _______.
(2)
2、求作—
例1已知平行四边形ABCD ，=，=，用，分别表示向量,。

五、合作探究
1、 设点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，则
（1）_____=-; （2）______=-；
（3）______=-； （4）______=-； （5）_____=-.
2、已知平行四边形ABCD ，设=，=，用，分别表示：
（1）CB CD ,； （2）CA BD ,.
3、已知平行四边形ABCD ，它的顶点A ，B ，C ，D 相对于点O 的位置向量分别记作，，，，求证+=+
4、化简：
（1）)()(---=________；
（2）_________=++-+；
（3）________=--AD BF AF .
六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：
七、当堂检测（见大屏幕）。

向量共线的条件与轴上向量坐标运算（自学自测）【学习目标】1.掌握平行向量基本定理并立即两向量共线的条件及单位向量的含义；（重点）2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关位置（难点）【自主学习】1．平行向量基本定理：___________________________ .2．给定一个非零向量，与叫向量的单位向量，的单位向量0a = .3．规定了方向和长度单位的直线叫 ，取其单位向量，使的方向与l 同向，对于轴上任一向量一定存在惟一实数x ，使＝x ，反过来，任给一实数x ，总能作一个向量e x a =，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致.x 叫。

当与同向时， 当与反向时 .4．设x 1=，x 2=，于是如果=，则，反之如果x 1＝x 2，则 ，b a +＝ 轴上两个向量相等的条件是 轴上两个向量和的坐标等于5．数轴上两点间的距离公式.【自我检测】 1．设a ，b 是两个非零向量，下列结论中不正确的是（ ）A ．若3＝4，则与同向B ．若2+3＝2+3，则＝，=C ．若a 与b 不共线，且m a =n b ，则m=n=0D ．若x ＝m a ,n =，则x ∥2．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ）则＝（ ）A ．λ（+）；λ∈(0,1)B ．λ(+);λ∈(0,22) C ．λ（-），λ∈（0,1）D ．λ（-），λ∈（0，22） 3．给出下列命题：①若λa ＝λb （λ≠0）；则b a =；②若0a 为单位向量，a 与0a 平行，则= ③设＝λ11e +λ22e （λ1，λ2∈R ）则当1e 与2e 共线时，与1e 也共线.正确个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 向量共线的条件与轴上向量坐标运算（自研自悟）1.已知非零向量b a ,不共线，若k k +--8共线，求实数k 的值2．设，为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足2+=，-=4，35--=，证明四边形ABCD 是梯形.3．（选作） O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足=+λ+），λ∈［0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【自练自提】1．设1e ，2e 是两个不共线的向量，则向量212e e -=，与向量21e e λ+=（λ∈R ）共线，当且仅当λ的值为（ ） A ．0B ．－1C ．－2D ．－212．设22=（5+），82+-=，)(3-=，则共线的三点是（ ） A ．A 、B 、CB ．B 、C 、D C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D3．△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点，满足=++，则点P 与△ABC 的关系是（ ）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在△ABC 的AC 边的三等分点上 4.1e 、2e 是两个不共线的向量，212e m e +=，213e e +=，若A 、B 、C 三点共线， 则m ＝ ____________________.。

平面向量基本定理（自学自测）【学习目标】1.了解平面向量基本定理及其意义2会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示。

3.理解直线的向量参数方程。

【学习重点】会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示 【自主学习】1．平面向量基本定理：如果1e 和2e 是平面内的两个 的向量，那么对该平面内任一向量，存在惟一的一对实数a 1，a 2，使.（理解并记忆）2．不共线向量1e ，2e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组，记为，=a 11e +a 22e 叫做向量关于基底｛1e ，2e ｝的.3．点O 是AB 外的一点，对直线AB 上的任意一点P,存在实数t ，使，该等式叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数， 特殊地，当点M 是AB 的中点时，OM =.（两个方程式都要求记忆） 【自我检测】1．设O 两对角线的交点，下列向量组：①与AB；②与；③CA 与DC ；④OD 与OB.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．若a 、b 不共线，λ0a b m += ，λ、μ R ，则 （）A ．0a = ，0b =B ．0a = ，μ=0C ．λ=0,0a =D ．λ=0，μ＝03.已知向量1e 和2e 不共线，实数x 、y 满足（3x －4y ）1e +（2x －3y ）2e =61e +32e ，则x －y ＝（ ） A ．3B ．－3C ．0D ．24.已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB a = ，AD b =，试以、为基底表示、。

平面向量基本定理（自研自悟）1.在平行四边形ABCD 中，设AC a = ，BD b =，试用基底a ，b 表示AB ，BC 。

2.已知点P 在直线AB 上且AP tAB =，O 是直线AB 外一点，设OA a = ，OB b =求【结论】B A P 、、三点共线的向量参数方程式为：3 设非零向量12,e e不共线，则（1） 若12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ，123()CD e e =-，求证：A 、B 、D 三点共线（2） 试确定实数k 的值，使1212k e e e k e ++与共线【反思与小结】【自练自提】1. 已知是单位向量，若2+=5, －2=3,则在以下关于，的四个命题中：①同向 ②反向 ③共线 ④不共线，其中真命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③2.下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的有（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3. 如图，已知梯形ABCD 中AB ∥CD ，23AB DC =，E 、F 分别是AB ，CD 的中点，若＝1e ，＝2e ，则＝，＝，＝.。

向量的减法 (自学自测)【学习目标】1.弄清楚向量减法的定义，知道向量减法与加法的关系及满足哪些运算律；2.会用向量减法的三角形法则作两个向量的差。

【学习重点】向量减法的三角形法则。

【学习难点】向量减法法定义的理解。

【课前自学】1．如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以 ________为起点，以 ______ __________的终点的向量，即OA OB -＝2 如图1，请用三角形法则分别作出向a 和b 的差2．与向量 ，叫的相反向量，记作 ，显然()a a +-＝ 。

3．一个向量减去另一个向量等于加上 。

【课前自测】1．化简()()AB CD AC BD ---= 。

2．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，则下列四式中正确的有（ ）个①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+③AB AC DB DC --= ④AB BC AD DC +-=阿A ．1B ．2C ．3D ． 43．如图四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，BC c =，则＝（）A ．a b c -+B ．a b c ++C ．()b a c -+D ．b a c -+4．化简AB AC BD CD AD -+-+等于（ ）A ．B ．C ．D ．5 如图，在平行四边形AB CD 中，下列结论错误的是（ ）A ．AB DC = B ．AD AB AC += D CC ．AB AD BD -= D ．0AD CB ®+=2.1.2课题：向量的减法 (自研自悟)1．已知平行四边形ABCD ，用→AB ,→AD 分别表示→AC ,→DB .2.已知向量,,,,--a b c d a b c d 求做，3．点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，求证AD BE CF O +++=【自练自提】1．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有（） A ．AD O =B ．AB O =或AD O =C ．四边形ABCD 是矩形D ．四边形ABCD 是正方形 2．已知一个点O 到ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为，，，则＝ 3．若∥且||a b a b +<-，则与的关系为 。

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 二、新课1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

易知-(-a ) = a.（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - bA作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.OabBa ba -b注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减向量。

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？ 变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？ AOOB C5． 练习：1。

§2.1.3向量的减法（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：一、新知导学 1、如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以 为起点， 为终点的向量。

2、一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量＿＿＿减去它的始点相对于点O 的位置向量＿＿＿，或简记为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

如图：则a -b =OA -OB = 。

2、若AB =a ，则BA = ，与向量a 方向相反，等长的向量叫做 ，a +(-a )= 。

3、一个向量减去另一个向量等于加上。

二、课前自测1、平行四边形ABCD 中，若AB =a ，AD =b ，则（ ）A 、CD =a ，BD =a -bB 、CD =-a ，BD =a -bC 、CD =-a ，BD =b -aD 、CB =b ， BD =b -a 2、平行四边形ABCD 中，若|AB +AD |=|AB -AD |，则必有（ ）A 、AD =0B 、AB =0或AD =0C 、ABCD 是矩形 D 、ABCD 是正方形O AB，AB=a，AD=b，用a，b分别表示向量AC，DB。

中，若AB=a，AD=b，BC=c，则DC=（、a-b+c B、b-(a+c)C、a+b+c D、b-a+c、已知向量a，b，c与d，求作a-b，c-d。

a bcdAD、化简：）MN MP NQ PQ -+-= ）RS RT ST -+= ）BD DC AB AC ++-= 、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 则BA BC OA OD --+= 、下面给出4个式子：①AB BC CA ++；②OA OC BO CO +++；③AB AC BD CD -+-； ④NQ QP MN MP ++-。

其中值为0的是（ ）、①③④D 、①②③、给出下列结论：①若OD OE OM +=，则OM OE OD -=； ②若OD OE OM +=，则OM DO OE +=； ③若OD OE OM +=，则OD EO OM -=； ④若OD OE OM +=，则DO EO MO +=。

2.1.3向量减法学习目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 二、新课1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。

易知-(-a ) = a.（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量. →→=-00 。

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - bA作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， OB = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减向量。

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )OAaBb -ba +abOa bBa ba -b4．探究：１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a-b？三、例题：例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.例2、平行四边形ABCD中，=a，=b，用a、b表示向量、.变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？变式三：a+b与a-b可能是相等向量吗？A BD CbadcAB C5． 练习：1。

2019-2020年新人教B版高中数学（必修4）2.1.3《向量的减法》word教
案
一教学目标
1 知识与技能；
（1）进一步理解掌握向量加法及减法运算法则。

（2）熟练掌握向量加法与减法法则及运算律
（3）掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
（4）掌握实数与向量的积的运算律；
2 过程与方法
（1）通过几何直观得出各个运算法则，体会向量运算的几何意义；
（2）由实例体验向量的运算在实际问题中的应用
3 情感，态度，价值观：
通过本节的学习，让学生认识到向量在加，减和数乘运算中的联系，体现事物普遍联系的观点二教学重点与难点
1 教学重点————向量的加减和数乘运算；
2 教学难点————对向量运算法则的理解
三教学方法
采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

小结
作业解二：设=，=
则+= ，即+= ；-= ，即-=
∴=(-)，=(+)
即=(-) =(+)
分层次留作业，学
生分层完成
对教
材的
知识
适当
深化
有利
于提
高学
生的
认知
水平
通过
适当
的练
习熟
练掌
握运。

2. 2.2《向量的减法运算及其几何意义》导学案【学习目标】1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何总义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.【重点难点】教学朿点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.【学法指导】复习回顾向量的加法法则及其运算律，为本节新授内容做好铺垫C【知识链接】向量加法的法则：______________________________________ 0向■量加法的运算定律：_______________________ 0例：在四边形中，CB+BA+BC二—.解：CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD ・提出疑惑：向量有加法运算，那么它有减法吗？【学习过程】一、提出课题：向量的减法1、用“相反向量”定义向量的减法(1)“相反向量”的定义：___________________________________________________ 。

.(2)规定：零向量的相反向量仍是________________ -(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是______________ a + (-a)二0如果“、b互为相反向量，贝'J a = -b. b = -a, a + b = 0(3)向量减法的定义：_________________________________________________________即：______________________ 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2、用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = 则x叫做a与〃的差，记作 ____________ 。

求作差向量：己知向量a、b,求作向量•: (a・b) + b = a + (") + b = a + O = a作法：注意:表示•强调：差向量“箭头”指向_________________________2。

人教版高中必修4(B版)2.1.3向量的减法课程设计一、设计背景及意义向量的减法是高中数学中的一个重要概念。

通过本课程的学习，学生可以深入理解向量的性质，进一步掌握向量的运算。

本课程旨在使学生掌握向量的减法的概念、方法和其应用，通过多种形式进行知识的巩固和应用能力的培养，提高学生的综合运用能力、分析问题的能力、解决问题的能力和创新能力。

二、教学目标•掌握向量减法的定义和基本性质。

•熟练掌握向量减法的运算方法。

•能够应用向量减法解决实际问题。

•培养学生的思维创新能力和应用能力。

三、教学重难点1. 教学重点•向量的减法的概念和方法。

•向量减法运算法则的掌握和应用。

•向量减法在几何分析和物理问题中的应用。

2. 教学难点•向量的减法与平移向量、负向量的区别和联系。

•向量减法运算中符号的运用。

四、教学过程设计1. 导入环节####（1）出示简单问题出示一个排列组合问题，通过让学生相互讨论来引导学生感受数学问题的巧妙之处，培养学生自信和兴趣。

####（2）引入向量对向量的定义和性质进行简单描述，通过难易程度、表现形式、运算法则等方面对比向量与数的不同点，引导学生逐步进入向量的学习。

2. 讲解与练习####（1）引入向量的减法依次从向量的定义开始对向量减法的概念进行引入，并结合示例进行授课。

在讲解中引导学生对向量的减数和差的关系进行理解。

####（2）向量减法运算法则的掌握通过练习题的方式让学生进一步熟悉向量减法运算法则，掌握向量差的性质和规律，提高学生解决向量减法问题的技巧。

####（3）向量减法在几何分析和物理问题中的应用通过具有实用性的例题和实际应用题，进一步加强学生对向量减法的掌握，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

3. 总结与拓展####（1）归纳向量减法的定义和运算法则要求学生总结本节课所学习的向量减法的定义、性质和运算法则，并对其进行归纳和总结。

####（2）拓展向量的应用领域进一步拓宽学生的视野，引导学生理解向量在数学、物理、计算机等领域中的实际应用场景，激发学生的兴趣和探索精神。

人教版高中必修4(B版)2.1.3向量的减法课程设计一、教学目标1.学生能够掌握向量的减法的概念和方法；2.学生能够运用向量的减法解决实际问题；3.学生能够理解向量的减法的本质和意义。

二、教学重点和难点1.教学重点：向量的减法的概念和方法；2.教学难点：向量的减法的本质和意义。

三、教学内容及安排1. 引入（5分钟）通过寓教于乐的方式引入向量的减法的概念和方法，例如通过游戏模拟两个向量的减法过程，或者通过实际示例引导学生理解。

2. 讲解（25分钟）1.向量的减法的定义和性质；2.向量的减法的计算方法；3.向量的减法和加法的关系。

3. 练习（25分钟）1.几何向量的减法计算练习；2.应用题练习。

4. 总结（5分钟）提醒学生复习和总结向量的减法的基本知识点，强调向量的减法的本质和意义。

5. 课后作业（10分钟）布置作业：习题4.2.3及课后拓展题。

四、教学方法1.讲解法：通过讲解向量的减法的概念和方法来引导学生理解；2.演示法：通过几何图形和实际应用举例来解释向量的减法的计算方法；3.练习法：通过练习向量的减法的计算方法和实际应用，提高学生的解决问题能力。

五、教学评估1.讨论课：提出实际问题，让学生在组内进行讨论，并总结向量的减法的本质和意义；2.个人作业：检测学生掌握向量的减法的知识点和解决问题的能力。

六、教学资源1.人教版高中必修4(B版)；2.多媒体投影仪；3.教学PPT。

七、教学反思本节课通过多种教学方法，引导学生理解向量的减法的概念和方法，提高学生解决问题的能力。

但是，教师需要关注学生的学习状态，及时调整教学策略，提高教学效果。

课题：2.2.2 向量减法运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能了解相反向量的概念；会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法提高学生观察、归纳、迁移能力和动手能；培养学生的转化思想3、情感、态度与价值观注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规律、尊重规律的观念。

【教学重点】向量的减法运算及其几何意义。

【教学难点】向量减法的理解【课型】新授课【教学过程】一、导入新课当两个向量相加时，能轻易的在图中表示出来，但是当两个向量想减时，在现有的知识的基础上，能表示出来吗？二、温故知新复习向量加法运算及其几何意义1、向量加法的三角形法则2、向量加法的平行四边形法则二、新知探究提出问题1①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？师生活动师:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义引导学生思考,相反向量有哪些性质生:①向量也有减法运算②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量与数的相反数是-类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a③=a-b,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量规定:零向量的相反向量是零向量④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现师生共同得出;任一向量与其相反向量的和是零向量,即a-a=-aa=0所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,ab=01平行四边形法则如图,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a-b=a-b又b BC=a,所以BC=a-b由此,我们得到a-b的作图方法2三角形法则如图,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义提出问题2①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢生:①AB=b-a②上黑板板演三、应用示例例1、如图31,已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d图3设计意图:让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;变式训练设计意图:掌握用两个向量表示几何图形中的其他向量的方法,这是用向量证明几何问题的基础课堂练习课本P87练习1~3四、课堂小结1先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图2教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论五、作业布置课本习题2.2 A组5、（4）~（7）6、7、8备选例题：例3、判断题:1若非零向量a与b的方向相同或相反,则ab的方向必与a、b之一的方向相同2△A BC中,必有AB BC CA=03若AB BC CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点4|ab|≥|a-b|设计意图:根据向量的加、减法及其几何意义解决相关问题解:1a与b方向相同,则ab的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时ab=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥2由向量加法法则AB BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论3因为当A、B、C三点共线时也有AB BC AC=0,而此时构不成三角形4当a与b不共线时,|ab|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定当a、b为非零向量共线时,同向则有|ab|>|a-b|,异向则有|ab|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|ab|=|a-b|综上所述,只有2正确例4、若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是A[3,8] B3,8 C[3,13] D3,13设计意图：重要性质||a|-|b||≤|ab|≤|a||b|的运用解析:BC=AC-AB1当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;2当AB、AC反向时,|BC|=85=13;3当AB、AC不共线时,3<|BC|<13综上,可知3≤|BC|≤13答案:C备选练习：12021高考模拟已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于bc c b-c解析:如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA AD=OA BC=OA OC-OB=a-bc答案:B2若AC=ab,DB=a-b①当a、b满足什么条件时,ab与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|ab|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,ab平分a与b所夹的角？④ab与a-b可能是相等向量吗？解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线由平行四边形法则,得AC=ab,DB=AB-AD=a-b由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？|a|=|b|②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？a、b互相垂直③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？a、b相等④ab与a-b可能是相等向量吗？不可能,因为对角线方向不同说明:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟。