高中数学中立体几何问题的两种解析方法

高中数学如何利用平面解决立体几何问题立体几何是数学中一个重要的分支，它研究了在三维空间中各种形状的性质和关系。

而平面几何则是研究二维空间中的形状和关系。

尽管平面几何与立体几何看似不同，但高中数学中常常通过运用平面几何的知识和方法来解决立体几何的问题。

本文将探讨高中数学如何利用平面解决立体几何问题的方法和技巧。

一、投影法投影法是一种常见且有效的利用平面解决立体几何问题的方法。

通过将立体图形在某一平面上进行投影，可以使问题转化为更简单的二维问题。

在投影过程中，常用的投影面有平面、柱面、球面等。

以平面投影为例，我们可以利用平行投影或透射投影的原理将三维空间中的立体图形投影到一个平面上，然后通过分析二维平面上的投影图形来解决问题。

例如，在求解两条直线的夹角时，可以将两条直线在平面上进行投影，然后计算投影直线的夹角。

二、截面法截面法也是一种常用的利用平面解决立体几何问题的方法。

通过选取适当位置的切割平面，将立体图形切割成一个个平面图形，从而转化成对平面图形的分析和求解。

在截面过程中，我们可以运用平面几何的知识和技巧来解决立体图形的性质和问题。

举个例子，当我们需要计算一个圆柱体的体积时，可通过在圆柱体内部选择一个与底面平行的截面平面，将圆柱体截成一系列的圆和矩形，然后利用圆和矩形的面积公式来计算截面面积，最后再进行累加求和，从而得到圆柱体的体积。

三、平面切割法平面切割法是利用平面几何中的切割原理来解决立体几何问题的方法。

通过选取适当的切割平面，将立体图形分割成一系列形状简单、易于分析的平面图形，然后运用平面几何的知识和方法来研究和解决问题。

举个例子，在求解球体的体积时，我们可以通过平面切割法将球体切割成无数个圆盘状的薄片，然后对每个圆盘状薄片的面积进行累加求和，最终得到球体的体积。

四、平行四边形法平行四边形法是一种利用平行四边形的性质解决立体几何问题的方法。

当我们遇到需要求解立体图形的长度、角度或者面积时，可以利用平面上平行四边形的性质和定理来进行计算和推导。

高中数学【立体几何】解答题技巧立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.(12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝66DO.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求平面PCB与平面PCE的夹角的余弦值.(1)证明设DO＝a，由题设可得PO＝66a，AO＝33a，AB＝AC＝BC＝a，PA＝PB＝PC＝22a.2分因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.3分又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB ，PC ⊂平面PBC ，PB ∩PC ＝P ， 所以PA ⊥平面PBC .5分(2)解 以O 为坐标原点，OE→的方向为y 轴正方向，OD →的方向为z 轴正方向，|OE →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz .由题设可得E (0，1，0)，A (0，－1，0)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22.7分所以EC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，EP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，22.8分设m ＝(x ，y ，z )是平面PCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·EP →＝0，m ·EC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋22z ＝0，－32x －12y ＝0.不妨取y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，1，2.10分由(1)知AP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，22是平面PCB 的一个法向量. 记n ＝AP →，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝255.所以平面PCB 与平面PCE 的夹角的余弦值为255.12分❶得步骤分：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一定要写全.如第(1)问缺少PA ＝PB ＝PC ＝22a ，遗漏PA ⊥PB 导致扣分，第(2)问建立空间直角坐标系O-xyz .❷得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问缺少PC ∩PB ＝P ，或PB ，PC ⊂平面PAC 等；第(2)问中不写公式cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |而得出余弦值都会各扣去1分.❸得计算分：第(2)问中，向量EC →，EP →，两个平面法向量的坐标及cos 〈m ，n 〉的求值，否则不能得分.1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.(1)求证：D 1F ∥平面A 1EC 1；(2)求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值； (3)求二面角A-A 1C 1-E 的正弦值.(1)证明 以A 为原点，AB ，AD ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，C 1(2，2，2)，D 1(0，2，2).因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以E (2，1，0)，F (1，2，0)， 所以D 1F →＝(1，0，－2)，A 1C 1→＝(2，2，0)，A 1E →＝(2，1，－2). 设平面A 1EC 1的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1E →＝0，即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1＝0，2x 1＋y 1－2z 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝－2，z 1＝1，即m ＝(2，－2，1).因为D 1F →·m ＝2－2＝0，所以D 1F →⊥m .因为D 1F ⊄平面A 1EC 1，所以D 1F ∥平面A 1EC 1. (2)解 由(1)得，AC →1＝(2，2，2). 设直线AC 1与平面A 1EC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，AC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·AC 1→|m |·|AC →1|＝23×23＝39，即直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值为39.(3)解 由正方体的特征可得，平面AA 1C 1的一个法向量为DB →＝(2，－2，0)，则cos 〈DB →，m 〉＝DB →·m |DB →|·|m |＝822×3＝223，所以二面角A-A 1C 1-E 的正弦值为1－cos 2 〈DB→，m 〉＝13.2.在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，CD ∥AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD ＝1，AE ＝AC ＝2，F 为DE 的中点，且点E 满足EB→＝4EG →.(1)证明：GF ∥平面ABC ；(2)当多面体ABCDE 的体积最大时，求平面ABE 与平面DBE 的夹角的余弦值. (1)证明 分别取AB ，EB 的中点M ，N ，连接CM ，MN ，ND ，在梯形ACDE 中，DC ∥EA ，且DC ＝12EA ，M ，N 分别为BA ，BE 的中点，∴MN ∥EA ，且MN ＝12EA ， ∴MN ∥CD ，且MN ＝CD ， ∴四边形CDNM 为平行四边形， ∴CM ∥DN ，又EB→＝4EG →，N 为EB 的中点，∴G 为EN 的中点. 又F 为ED 的中点，∴GF ∥DN ，得GF ∥CM ， 又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)解 在平面ABC 内，过B 作BH ⊥AC ，交AC 于H ，∵平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ，BH ⊂平面ABC . ∴BH ⊥平面ACDE ，则BH 为四棱锥B-ACDE 的高， 又底面ACDE 的面积确定，∴要使多面体ABCDE 的体积最大，即BH 最大，此时AB ＝BC ＝ 2. ∴H 为AC 的中点，连接HF ，易知HB ，HC ，HF 两两垂直.以H 为坐标原点，分别以HB ，HC ，HF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的直角坐标系H-xyz .则A (0，－1，0)，B (1，0，0)， E (0，－1，2)，D (0，1，1).∴AB→＝(1，1，0)，BE →＝(－1，－1，2)，DE →＝(0，－2，1). 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ABE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝x 1＋y 1＝0，n 1·BE →＝－x 1－y 1＋2z 1＝0.取y 1＝－1，得n 1＝(1，－1，0).设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面DBE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝－2y 2＋z 2＝0，n 2·BE →＝－x 2－y 2＋2z 2＝0.取z 2＝2，可得n 2＝(3，1，2). ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22×14＝77.∴平面ABE 与平面DBE 的夹角的余弦值为77.。

高一立体几何题型及解题方法
高一立体几何是数学中的一个重要部分，也是高中数学中难度较大的内容之一。

下面介绍一些高一立体几何的题型及解题方法。

1. 空间向量题型
空间向量题型是高一立体几何中比较基础的题型，需要掌握空间向量的基本概念和运算规律。

解题时需要根据向量的定义和性质，运用向量加法、数乘等基本运算法则，求解向量的模长、方向余弦等相关量。

2. 空间几何体积题型
空间几何体积题型是高一立体几何中比较常见的题型，需要掌握各种几何体的面积和体积公式，并能够灵活运用这些公式进行计算。

解题时需要注意几何体的立体图形，确定所求的体积或面积，再根据公式进行计算。

3. 立体图形的相似题型
立体图形的相似题型需要掌握几何体的相似性质和基本比例关系，能够根据相似性质推导出几何体的相关量。

解题时需要注意几何体的相似条件，确定所求的比例关系，再根据比例关系求解相关量。

4. 空间几何位置关系题型
空间几何位置关系题型需要掌握空间中点、线、面的位置关系及相关性质。

解题时需要注意点、线、面的位置关系，确定所求的相关量，再根据相关性质进行计算。

总之，高一立体几何的题型比较多，需要学生具备扎实的基础知
识和灵活的解题思路，加强对几何图形和空间位置关系的理解和掌握，才能顺利解决高一立体几何的各种题型。

讲透重点难点高中数学立体几何高中数学立体几何的重点和难点主要集中在以下几个方面：1.空间想象力：立体几何要求学生对三维空间有清晰的认识和想象力。

这包括理解点、线、面的位置关系，以及通过平面图形想象出立体图形。

2.截面与投影：理解并掌握各种几何体（如柱体、锥体、球体等）的截面和投影是立体几何的关键。

学生需要了解如何通过平面去截取几何体得到不同的截面图形，以及如何将三维图形投影到二维平面上。

3.空间距离与角度：计算空间中的距离和角度是立体几何的另一个重要内容。

学生需要掌握空间中两点间的距离公式，以及线面角、二面角等角度的计算方法。

4.空间向量：空间向量是解决立体几何问题的重要工具。

学生需要理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算（如加法、减法、数乘、点积、叉积等），并能够应用空间向量解决各种立体几何问题。

5.几何体的表面积与体积：计算几何体的表面积和体积是立体几何的常见题型。

学生需要掌握各种几何体（如柱体、锥体、球体等）的表面积和体积公式，并能够灵活应用这些公式解决问题。

为了突破这些难点，学生可以采取以下策略：1.多做练习：通过大量的练习，加深对立体几何概念和方法的理解，提高解题能力。

2.归纳总结：及时归纳总结所学的知识点和方法，形成自己的知识体系，便于记忆和应用。

3.借助工具：利用图形计算器或计算机软件等工具，辅助进行空间想象和计算，提高解题效率。

4.寻求帮助：遇到难题时，及时向老师或同学请教，共同探讨解决问题的方法。

总之，高中数学立体几何需要学生具备扎实的基础知识和良好的空间想象力，通过不断的练习和总结，逐步掌握解题技巧和方法。

高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略立体几何的解答题型主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再计算几何体的体积．试题背景有折叠问题、探索性问题等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及转化与化归思想的应用能力.题型一线面位置关系的证明题型概览：空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，应用向量证明线、面的位置关系的关键是把空间线面位置关系的判定定理和性质定理与空间向量建立对应关系，把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算，通过运算解决证明问题．这里以传统方法为例建立审题程序与答题模板，向量方法参照本专题题型二．如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E、F分别为MA、DC的中点，求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.[审题程序]第一步：利用中位线、平行四边形的性质在四边形MNCB内确定与EF平行的直线；第二步：在平面MAC和平面BND中寻找与另一平面垂直的直线；第三步：应用面面垂直、菱形的性质，由线线垂直解决．[规范解答](1)如图，取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝12ND，F、G分别为DC、NC的中点，FG∥ND且FG＝12ND，所以FG与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.(2)如图，连接BD、MC.因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：1．(2016·北京西城区高三期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH.在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF.因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(3)由(1)得AC⊥平面BDEF.因为AO＝2，四边形BDEF的面积S▱BDEF＝3×22＝62，＝4.所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13×AO×S▱BDEF同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.题型二求空间几何体的体积题型概览：计算几何体的体积，关键是根据条件找出相应的底面和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．(2)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(3)等体积法：一般利用三棱锥的“等积性”求三棱锥体积，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．注意两点：一是求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；二是利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N－BCM的体积．[审题程序]第一步：由线线平行或面面平行证明(1)；第二步：由N 为PC 中点，推证四面体N －BCM 的高与P A 的关系； 第三步：利用直接法求四面体的体积．[规范解答] (1)由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：2．(2016·深圳一模)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是正三角形，E是SB的中点，且AE⊥平面SBC.(1)证明：SD∥平面ACE；(2)若AB⊥AS，BC＝2，求点S到平面ABC的距离．[解](1)证明：连接BD，交AC于点F，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵E是SB的中点，∴EF∥SD.∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE.(2)∵AB⊥AS，BC＝BS＝2，且E是SB的中点，∴AE＝1.∵AE⊥平面SBC，BS、CE⊂平面SBC，∴AE⊥BS，AE⊥CE.∴AB＝AE2＋BE2＝ 2.又侧面SBC 是正三角形，∴CE ＝3， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴△ABC 是底边长为2，腰长为2的等腰三角形， ∴S △ABC ＝12×2×4－12＝72.设点S 到平面ABC 的距离为h .由V 三棱锥S －ABC ＝V 三棱锥A －SBC ，得13h ·S △ABC ＝13AE ·S △SBC ，∴h ＝AE ·S △SBC S △ABC ＝237＝2217.题型三 立体几何中的探索性问题题型概览：如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的某一个存在性条件(如存在某个定点、定直线、定值等)，这种试题称为存在探索型试题．解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的特殊条件，即要求的存在性条件．若能求出，则存在；若不能求出，则不存在．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，E 在线段B 1C 1上，B 1E ＝3EC 1，AC ＝BC ＝CC 1＝4.(1)求证：BC ⊥AC 1；(2)试探究：在AC 上是否存在点F ，满足EF ∥平面A 1ABB 1？若存在，请指出点F 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．[审题程序]第一步：由B 1E ＝3EC 1及EF ∥平面A 1ABB 1猜想点F 的位置；第二步：在平面A 1ABB 1内探求与EF 平行的直线或寻找经过EF 与平面A 1ABB 1平行的平面； 第三步：由线线平行或面面平行推理论证．[规范解答] (1)证明：∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1. 又∵BC ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C . 又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1.(2)解法一：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图1，在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1.又AF∥A1C1且AF＝3，4A1C1∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG.又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.解法二：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图2，在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG. ∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB.又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC⊥AB；(2)若AA1＝26，侧棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，求PC的长；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：取AB的中点N，连接MN，CN，则MN⊥底面ABC，MN⊥AB.因为△ABC是正三角形，所以NC⊥AB.因为MN∩NC＝N，MN⊂平面MNC，NC⊂平面MNC，所以AB⊥平面MNC，所以AB⊥MC.(2)由(1)知MC⊥AB，若存在点P使得MC⊥平面ABP，则必有MC⊥BP.过M作MQ⊥B1C1，垂足为Q，连接QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QC⊥BP即可，此时Rt△QC1C与Rt△PCB相似，QC1C1C ＝PCCB，所以PC＝QC1·CBC1C＝3×426＝6，点P恰好是CC1的中点．。

解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法高中数学中的立体几何问题是学习者常常遇到的难点之一。

掌握解决这类问题的技巧和方法，有助于提升学习效率和解题能力。

本文将介绍一些解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法，帮助学习者更好地理解和应对这个领域的挑战。

一、画图准确在解决立体几何问题时，准确的图形是解题的基础。

因此，学习者需要养成细心观察和准确描绘图形的习惯。

画图时，应注意每一个线段、角度和形状的相对关系。

可以使用直尺、圆规等工具帮助画出准确的图形，避免出现不必要的错误。

二、理解立体几何基本概念在解决立体几何问题时，理解立体几何的基本概念非常重要。

这些基本概念包括平行、垂直、对称、相似、全等等。

学习者应该熟悉并理解这些概念的几何定义和性质，以便在解题过程中能够准确地运用它们。

三、运用立体几何定理和定律高中数学中有许多立体几何的定理和定律，学习者需要熟悉并灵活运用。

例如，平行线与截线定理可以用来确定平行线与平面的关系；空间中两条垂直平分线的交点在该线段的中点等。

运用这些定理和定律，可以简化解题过程，提高解题效率。

四、利用立体几何等距原理利用立体几何等距原理是解决数学中立体几何问题的重要方法。

该原理指出，如果两个几何体的形状和大小完全相同，则它们的性质和关系也相同。

在解题过程中，如果能够找到两个或多个形状完全相同的几何体，就可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易解决问题。

五、建立几何模型为了更好地理解和解决立体几何问题，学习者可以尝试建立几何模型。

几何模型能够帮助学习者形象地展示和观察问题，从而更容易找出解题的思路和方法。

通过动手实践建立几何模型，能够增加对立体几何性质和关系的直观认识，提高解题的准确性和效率。

六、多思考、多练习解决立体几何问题需要思维的灵活性和逻辑推理能力。

学习者应该养成多思考、多练习的习惯，通过大量的练习来提高解题的技巧和速度。

在解题过程中，遇到困难或者不理解的地方，可以请教老师或者同学，进行思路的交流和互动，有助于拓宽解题思路和提高解题能力。

讲透重点难点高中数学立体几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学立体几何是数学中的一个重要分支，涉及内容广泛，包括空间几何体的基本性质、体积表面积的计算、空间几何体之间的关系等等。

在学习立体几何的过程中，往往会遇到一些重点和难点问题，下面就让我们来一一讲解。

一、常见的难点问题1. 空间几何体的基本概念和性质：在学习立体几何时，首先要掌握各种空间几何体的基本概念和性质，如平行六面体、正方体、棱台、棱锥等。

这些几何体的性质涉及到各种角、棱、面的关系，需要认真学习和掌握。

2. 体积和表面积的计算：计算空间几何体的体积和表面积是立体几何中的重要内容。

对于不规则的几何体，如圆柱、圆锥等，更需要动脑筋来计算其体积和表面积。

这就需要学生掌握各种计算公式和方法，如用积分法计算体积、表面积公式的推导等。

3. 空间几何体之间的关系：在解决实际问题时，需要对不同空间几何体之间的关系有深入的了解。

比如正方体、球体、圆柱体等之间的关系，学生需要灵活运用几何知识，才能解决这些问题。

二、针对难点问题的解决方法1. 多做题：在解决立体几何的问题时，多做练习题是非常重要的。

通过大量的练习，可以加深对立体几何问题的理解，掌握解题的方法和技巧。

2. 学会应用数学工具：在解决立体几何问题时，学会应用数学工具是至关重要的。

比如学会运用向量、坐标系等数学工具来解决几何问题。

3. 多请教老师：如果遇到难以理解的问题，不妨多请教老师。

老师会给予指导和帮助，帮助学生解决疑惑。

三、总结高中数学立体几何是一个需要细心、灵活和耐心的学科，在学习过程中往往会遇到一些难点和重点问题。

通过多做题、学会应用数学工具、多请教老师等方法，可以帮助学生更好地掌握立体几何知识，提高解题的能力和水平。

希望同学们在学习立体几何的过程中能够克服困难，取得更好的成绩。

【文章2000字】以上所述，就是关于讲透重点难点高中数学立体几何的文章，希望对同学们有所帮助。

如果有不足之处，还望谅解。

高中数学立体几何解题方法与技巧高中数学立体几何是数学的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积、表面积以及它们之间的关系。

学好立体几何，需要掌握一些解题方法与技巧。

下面将介绍一些常用的解题方法与技巧。

一、立体几何的基本概念与性质：在学习立体几何之前，首先需要掌握一些基本概念与性质。

例如：1.空间几何图形的基本要素：点、直线、平面。

2.空间几何体的基本要素：线段、直线、面、多面体等。

3.空间几何体的性质与关系：例如四边形的内角和等于360度，平面与直线的位置关系等。

二、图形的投影与视图：解题时，往往需要在二维平面上进行推导与计算。

因此，需要了解图形的投影与视图的概念与方法。

1.图形的平面投影：例如将三维图形的投影投到一个平面上，可以简化问题的分析与计算。

2.三视图的绘制：根据题目中的给定条件，绘制三个视图，有助于理清问题的关系和结构。

三、平行与相似：平行和相似是解决立体几何问题常用的关键性质。

掌握平行线与平行面的性质，以及相似三角形的性质，对解题有很大帮助。

1.平行线及其性质：例如平行线的万能定理、内线定理、等角对内线等。

2.平行面及其性质：例如平行面的性质、平行面截平行线的性质等。

3.相似三角形及其性质：例如相似三角形的比例定理、角平分线定理、海伦公式等。

四、体积与表面积：在解体积与表面积的问题时，需要掌握各种几何体的计算公式与基本相应的性质。

1.体积计算：例如长方体、正方体、三棱柱、圆柱、圆锥、球体等几何体的体积公式与相关性质。

2.表面积计算：例如长方体、正方体、三棱柱、圆柱、圆锥、球体等几何体的表面积公式与相关性质。

五、解题的方法与技巧：1.运用三角形的相似性质：当我们遇到复杂的几何体时，可以通过寻找相似三角形来简化问题的分析。

2.运用等高线的思想：当题目中出现高度或等高的条件时，可以利用等高线的思想来求解。

3.利用平行投影和垂直投影：平行投影和垂直投影是解决立体几何问题常用的方法，可以通过不同的投影方式简化问题的分析与计算。

高中数学立体几何题解题方法立体几何是高中数学中的一个重要内容，也是让很多学生头疼的难点。

在解立体几何题时，我们需要灵活运用各种几何定理和方法，合理利用图形的性质，从而找到解题的突破口。

本文将以一些常见的立体几何题型为例，介绍解题方法和技巧，帮助高中学生更好地应对这一部分的考试。

一、平面与立体图形的相交关系在解立体几何题时，我们经常会遇到平面与立体图形相交的情况。

这类题目的考点主要是理解和应用平面截立体图形的性质。

例如下面这道题：【例题】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AA1上，且满足AP：PA1=2：1，平面P与正方体的交线与平面BCD1所围成的立体图形的表面积为多少？【解析】首先，我们可以通过观察得知，平面P与正方体的交线与平面BCD1所围成的立体图形是一个四棱锥。

接下来，我们需要确定这个四棱锥的底面和高。

由于平面P与正方体的交线与底面BCD1相交于一条直线，而且AP：PA1=2：1，所以这条直线被分成了3等分，即BP：PA1=1：2。

由此可以得出BP=2，PA1=1。

由于正方体的棱长为2，所以BP的长度为2，即正方形BCDP的边长为2。

而四棱锥的高等于AP的长度，所以四棱锥的高为2。

根据四棱锥的底面和高，我们可以计算出四棱锥的表面积。

四棱锥的底面是一个正方形，边长为2，所以底面积为2²=4。

四棱锥的侧面是四个等边三角形，边长为2，高为2，所以每个三角形的面积为√3，四个三角形的总面积为4√3。

因此，平面P与正方体的交线与平面BCD1所围成的立体图形的表面积为4+4√3。

通过这道题，我们可以看出，解决平面与立体图形相交的问题，关键在于确定交线所围成的图形的形状和大小，然后利用几何定理计算出相应的面积或体积。

二、立体图形的体积计算在解立体几何题时，计算立体图形的体积是一个常见的考点。

对于不同的立体图形，我们需要运用不同的计算公式。

下面是一道与球体体积计算相关的题目：【例题】一个半径为5cm的球体，被一个平面截下一个球冠，球冠的高度为3cm。

高中数学中的立体几何解题技巧作者：王文杰来源：《文理导航》2012年第32期高中数学中的立体几何是重点和难点之一，作为培养空间思维的立体几何，其基础知识的掌握及应用程度取决于我们对空间图形的认识与处理及正确思维方法的选择。

为此，笔者现就立体几何解题中几种常见的技巧予以分解，以供同仁参考。

1、巧作辅助图形，采用特殊化法例：求棱长为a的正四面体A-BCD的体积和外接球的半径。

解析：由于正四面体的六条棱相等，易联想到正方体的六个面的对角线相等。

于是构作辅助图形，即将正四面体补成正方体DE. 由AB=a，易得正方体棱长AE=■a，V■=V■-4V■=■a■由正方体是球的内接正方体，易知外接球半径为■a.例：在三棱锥P—ABC中，三条棱PA，PB，PC两两互相垂直。

设D为底面ABC内任一点，若PD与平面PAB，面PBC所成角分别为30°，45°.求PD与平面PAC所成角的正切值。

解析：本题若直接求解非常冗繁，但若考虑到题设条件，则以PD所在直线为对角线，PA、PB、PC所在线段为三条棱构作辅助图形长方体，使问题特殊化：即求该长方体的对角线PM与侧面PAC所成角的正切值。

设PD与侧面PAB，PBC，PAC所成角分别为α，β，γ.则依据长方体性质有：sin2α+sin2β+sin2γ=1.由条件知α=30°，β=45°.∴sin2γ=1-（sin2α+sin2β）=■.∴tanγ=■为所求。

评注：通过构造辅助图形，使原命题特殊化来解答某些立体几何问题，不但可以简化解题过程，优化问题解答，而且能开拓解题的思维视野，使问题解答独辟蹊径。

2、寻找主要矛盾，采用“隔离法”例：二面角α-l-β为30°，点A在平面α内，点A到直线l的距离为2，点A在平面β内的射影为B，B在平面α内射影为点A′，点A′在面β内射影为B′.求点B′到棱l的距离。

解析：本题由于条件太复杂，干扰因素太多，不便于分析。

高中数学立体几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形的性质和变化。

在高中数学中，解析几何尤其在立体几何的研究中发挥了重要作用。

本文将介绍高中数学立体几何中的解析几何方法，并探讨其在求解问题和证明定理中的应用。

一、直线的方程在立体几何中，直线是研究的基本对象。

通过解析几何方法，我们可以方便地求解直线的性质和方程。

1. 直线的斜率和截距直线的斜率和截距是直线方程中的两个重要参数。

给定直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式求得直线的斜率k，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)直线的截距可以通过截距公式求得，即b = y - kx其中b为直线与y轴的交点，也是直线的截距。

2. 直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不能同时为0。

这个方程可以表示任意的直线。

3. 直线的向量方程直线的向量方程形式为r = a + tb，其中r为直线上一点的位置矢量，a为直线上已知的一点的位置矢量，b为直线的方向向量，t为参数。

二、平面的方程除了直线的方程，解析几何方法还可以用来求解平面的方程。

1. 平面的点法向式方程平面的点法向式方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且至少有一个不为0。

这个方程中的A、B、C为平面的法向量的分量。

2. 平面的截距式方程平面的截距式方程可以表示为 x/a + y/b + z/c = 1，其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。

三、解析几何在立体几何中的应用解析几何方法在立体几何中具有广泛的应用，可以用来求解各种问题和证明定理。

1. 直线与平面的交点通过解析几何方法，我们可以求解直线与平面的交点。

给定直线的参数方程和平面的方程，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关于参数的方程组，通过解方程组可以求解直线与平面的交点。

高中数学学习中的立体几何解题方法立体几何是高中数学中的重要内容之一，通常涉及到空间几何体的性质、体积、表面积等。

解决立体几何题目需要掌握一定的解题方法和技巧。

本文将介绍几种常用的立体几何解题方法，帮助同学们更好地应对这一知识点。

I. 平面图解法平面图解法是解决立体几何题目最常用的方法之一。

它通过将空间几何体投影到平面上，转化为平面几何问题进行求解。

在使用平面图解法时，需要注意以下几点：1. 绘制准确的平面图。

根据实际情况，选择合适的比例，绘制几何体的平面图。

注意标注各个重要点、线段、角度等信息，以便后续的计算。

2. 使用相似三角形。

在平面图中，经常需要计算几何体的某个边长或者角度，利用相似三角形的性质可以快速地求解。

通过观察平面图和实际几何体之间的关系，找到相似三角形，建立等比例关系，求解未知量。

3. 运用面积关系。

平面图解法中，面积关系也是常用的解题思路。

通过计算平面图中的面积，可以得到几何体的体积、表面积等指标。

掌握好各类几何形状的面积计算方法，能够更快速地解决问题。

II. 线段比例法线段比例法是解决立体几何问题的另一有效方法。

它基于几何体内部的线段比例关系，通过构建方程求解未知量。

使用线段比例法时，需要注意以下几点：1. 确定比例关系。

观察几何体内部的线段关系，根据题目要求建立合适的比例关系。

可以利用相似三角形的性质，或者运用平行线的截线定理，找出线段的比例关系。

2. 构建方程。

根据确定的比例关系，建立方程式。

可以利用已知的线段长度和未知量之间的比例关系，列出方程式，从而求解出未知量的数值。

3. 检查结果。

在使用线段比例法求解立体几何问题时，需要对解得的结果进行验证。

将求解得到的数值代入原始方程式中，检查是否等式成立，以确保结果的准确性。

III. 空间平移法空间平移法是解决立体几何题目的一种常用方法，它通过将几何体在空间中进行平移，转化为其他几何体的性质进行分析。

使用空间平移法时，需要注意以下几点：1. 明确平移方向和距离。

高中数学解题方法系列：立体选择题立体几何选择题有两种形式：一是线线、线面、面面关系的判断题，二是求角或距离．一、线线、线面、面面关系1．（江西，文7）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是：A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，以长方体为构图框架；②条件中，有“平面、直线”，一般地固定平面，移动直线，对选择项逐一检验．检验A：显然，b⊥m,c⊥m,所以：A×．检验B：正确，B√．检验C：显然d⊥m,d∥α,故C×．检验D：显然β∥m,且β⊥α，所以：D×．2．（天津，文4）设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是：A．a⊥α，b∥β,a⊥β；【⇒a⊥b】B．a⊥α，b⊥β,a∥β；【⇒a⊥b】C．a在α内，b⊥β,a∥β；【⇒a⊥b】D．a在α内，b∥β,a⊥β．【⇒a⊥b】解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，条件中出现：“a∥β”，在构图时，把a、β画为同一个平面；②若条件中出现：“b∥β”，在构图时，把b画在平面β内；③本题选项的条件多，验证选项时，从两个平面平行入手：故先检验C．本题【C】．3．（安徽，理4）已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A．若m//α，n//α，则m//n；B．若m⊥γ,β⊥γ,则α∥β；C．若m//α，m∥β,则α∥β；D．若m⊥α,n⊥α,则m//n．解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，若选项的结论中有“α∥β”，则首先检验：条件是否足以保证两个平面不重合；本题直接淘汰B、C；②若选项的结论中有“m//n”，则首先检验：条件是否足以保证两条直线不相交；本题直接淘汰A；故【D】4．（浙江，文9）对于两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得A．直线a在α内，直线b也在α内B．直线a在α内,b∥αC．a⊥α，b⊥αD．直线a在α内,b⊥α解析：①存在性命题结构：“若p…，必定存在…，使得q…”⇔“必定存在…，若p…，则q…”，“使得”＝“⇒”，“必定存在…”是大前提．②命题“两条不相交的空间直线a和b”⇔命题“a∥b，或a、b异面”；求解方法是：构造命题，逐一验证．A：“必定存在平面α，若a∥b，或a、b异面，则直线a在α内，直线b也在α内”，×；B：“必定存在平面α，若a∥b，或a、b异面，则直线a在α内,b∥α”，√；C：“必定存在平面α，由a∥b，或a、b异面⇒a⊥α，b⊥α”，×；D：“必定存在平面α，由a∥b，或a、b异面⇒直线a在α内,b⊥α”，×．评注：①存在性命题结构：“若p…，必定存在…，使得q…”的理解要到位；②“两条不相交的空间直线a和b”⇔“a在α内,b∥α”．5．（海南，文12）已知平面α⊥平面β，α∩β＝L，点A∈α，A 不有直线L 上，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β解：根据条件和解题原则：①先画平面α、β和交线L；②由解题原则，把m 画为与L 重合；③由解题原则：若结论中有平行，则考察条件是否能保证元素的不重合，所以首先淘汰A、C；④在长方体左侧面内，变动AC，故【B】．6．已知a、b 为异面直线，则：①经过直线a，存在惟一平面α，使b∥α；②经过直线a，存在惟一平面α，使b⊥α；③经过直线a、b 外任意一点，存在平面α，使a∥α，b∥α；上述命题中，真命题的个数为A．0B．1C．2D．3解：（1）构造长方体；（2）条件中的“异面直线”，视为“相交直线”，①√；②×；③×二、求角或距离及球中的计算1．（09、四川、理、15）已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是_________________；解：不妨设棱长为2，补成直四棱柱．计算即得：90度．评注：补形可以减轻思维压力，降低计算难度．2．（09、浙江、理5）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11B A 所成角的余弦值是________________；解：设棱长为2，则DE＝1，AE＝3⇒AD＝2⇒cos 2θ＝23，又cos 1θ＝21．∵cosθ＝cos 1θ·cos 2θ＝43，∴AD 与平面11B A 所成角的余弦值是43．评注：在求角或距离时，三面角公式是不能省略的工具．3．（09、重庆）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d，若h＞d，则dh的取值范是______________；解：设底边长为1，侧棱长为λ，在11Rt BB D ∆中，111B D B D ==，由三角形面积关系得：h＝1B H ＝222+λλ．又d＝12+λλ．h d==．【分式型函数的值域的求解途径】所以：当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以(3h d ∈．评注：点到直线、点到平面的距离，作垂线时的垂足位置的确定，是用三垂线定理或逆的应用．其图形特征：一般存在垂面、垂线．作辅助线时，要注意寻找上述元素．4．（09、四川、文理）在半径为3的球面上有A、B、C 三点，∠ABC＝90度，BC＝BA，球心O 到平面ABC的距离是2，则B C 、两点的球面距离是_________________；解：①由题设知截面圆的半径r＝2；②BC＝22·＝3；③球心角∠BOC＝3π；④B C 、两点的球面距离＝3π·3＝π．评注：球面距离＝球心角·球半径，求解程序：①求截面圆的半径；②求弦长；③求弦所对的球心角；④求球心角所对的弧长．5．（08、武汉市二月调考）从空间任意一点O，引射线OA、OB、OC、OD 两两所成的角都等于θ，则cos θ＝__________________；解：①构造正四面体A－BCD，则点O 是正四面体A－BCD 的中心；②延长AO 与底面BCD 相交于H，则H 是△BCD 的中心；③设正四面体A－BCD 的棱长为a，则正四面体的高AH＝36a 外接球的半径R＝AO＝46a，内切球的半径r＝OH＝126a；④在△OCD 内，OC＝OD＝R＝46a，CD＝a，由余弦定理：cosθ＝464621)46()46(222⨯⨯-+＝－31．6．（09、成都市调考）三棱锥A－BCD 的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s＝8π，则侧棱的长＝__________________；解：补形为正方体．则三棱锥A－BCD 的外接球＝正方体的外接球＝正四面体E－BCD 的外接球．设外接球的半径为R，由s＝4π2R ＝8π⇒R＝2⇒正方体的对角线AE＝22；设三棱锥A－BCD 的侧棱的长＝a，则32a ＝2AE ＝8⇒a＝362．评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方体图形之间的依托关系，数量关系．【巩固练习】（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥（B）若l α⊥，l m //，则m α⊥（C）若l α//，m α⊂，则l m//（D）若l α//，m α//，则l m//解析：选B，可对选项进行逐个检查。

高中立体几何辅助线技巧高中立体几何辅助线技巧立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的三维图形。

在高中数学学习过程中，立体几何是一个非常重要的部分，而辅助线技巧则是解决立体几何问题的关键。

本文将为大家介绍一些高中立体几何辅助线技巧。

一、平行四边形法平行四边形法是解决平面内两直线或两平面之间的夹角问题时经常使用的方法。

具体步骤如下：1. 画出两个相交直线或平面。

2. 在其中一个直线或平面上任选一点，连一条与另一个直线或平面相交于该点的直线。

3. 在另一个直线或平面上找到与上述直线相交于同一点的另一条直线。

4. 连接这两条相交于同一点的直线所构成的平行四边形对角线。

5. 平行四边形对角线所在的直线就是原来两个相交直线或平面之间夹角所在的位置。

二、垂足法垂足法主要用于求解空间内点到某个面或某条直线距离最短的问题。

具体步骤如下：1. 画出一个点和一个面或一条直线。

2. 连接该点到面或直线上的垂线。

3. 在垂线上找到垂足点。

4. 连接该点和垂足点，这条连线就是点到面或直线的最短距离。

三、平面几何基本定理法平面几何基本定理法主要用于解决空间内平行关系和相交关系的问题。

具体步骤如下：1. 画出两个平行或相交的直线或平面。

2. 根据平面几何基本定理，选择适当的辅助线，将图形分割成几个简单的部分。

3. 利用简单部分之间的关系，求出所需结果。

四、向量法向量法主要用于解决空间内向量运算相关问题。

具体步骤如下：1. 画出所需向量及其所在位置。

2. 根据向量运算公式，选择适当的辅助向量，并进行计算得到所需结果。

五、截距法截距法主要用于求解空间内某个图形与坐标轴之间的交点坐标。

具体步骤如下：1. 画出所需图形及其所在位置。

2. 根据图形与坐标轴的交点坐标关系，选择适当的辅助线，并进行计算得到所需结果。

综上所述，以上五种高中立体几何辅助线技巧在解决立体几何问题时非常实用。

在学习过程中，我们应该灵活运用这些技巧，提高解决问题的效率和准确性。

关于高中数学立体几何问题的解析方法研究
高中数学立体几何问题是一个比较复杂的数学问题，对于学生
来说，需要掌握一定的解析方法才能够有效解决这类问题。

以下是
一些解析方法的研究：
1. 几何画图法
几何画图法是解决立体几何问题的常用方法。

通过画图能够更
加直观的了解和掌握几何结构，从而更好的解决问题。

2. 矢量计算法
矢量计算法是一种简单易用的解决立体几何问题的方法。

借助
矢量的概念，可以很快地推导出相关的数学公式，从而解决立体几
何问题。

3. 空间向量法
空间向量法是一种比较高级的解决立体几何问题的方法，它通
过空间向量之间的运算，可以有效的推导出相关的数学公式，进而
快速解决问题。

4. 向量积法
向量积法是一种基于向量乘积的解决问题的方法，它通常应用
于计算体积等相关问题。

它需要求出向量积的模长和方向，从而计
算对应的数值。

总之，解决立体几何问题的方法有很多种，不同方法的适用范
围和优缺点不同，需要根据具体的问题情况选择合适的方法。

同时，良好的几何直观感和数学逻辑能力也是有效解决问题的关键。

考点透视x 、y 、r 表示点的坐标，将题目中的三角函数式转化，通过讨论参数x 、y 、r 的正负与大小关系，来判断点的位置、角的象限、三角函数式的符号以及三角函数值的大小关系．例4.在平面直角坐标系中， AB ， CD ， EF ， GH 是单位圆上的四段弧（如图），点P 在其中的一段圆弧上，角α以x轴的非负半轴为始边、OP 为终边，若sin α+cos α<0，且cos α<sin α<tan α，则P 所在的圆弧是（）.A. ABB. CDC.EF D. GH解：设点P (x ,y )，则r 2=x 2+y 2=1，因为sin α+cos α<0，且cos α<sin α<tan α，由三角函数的定义，可得y +x <0，且x <y <y x，解得x <y <0，所以点P 位于第三象限，由图可知点P 所在的圆弧是GH ，故答案为D ．根据已知条件设出动点的坐标，结合三角函数的定义，巧妙转化三角不等式，进而确定参数x 、y 的正负与大小关系，便可通过数形结合，判断出对应动点所在的位置．例5.（2021年高考数学北京卷，第14题）若点A (cos θ，sin θ)关于y 轴的对称点为B (cos (θ+π6)，sin (θ+π6)），则θ=_____．解：根据三角函数的定义，可知点A 、点B 分别是角θ、角θ+π6的终边与单位圆的交点，因为点A 、B 关于y 轴对称，所以角θ的终边与角θ+π6的终边关于y 轴对称，则12æèöøθ+θ+π6=π2+k π，k ∈Z ，解得θ=5π12+k π，k ∈Z .本题中涉及了对称点，需根据三角函数的定义，构造出单位圆，将A 、B 两点看作角θ、角θ+π6的终边与单位圆的交点.再根据两点之间的对称关系建立关系式，确定满足条件的角的取值．利用三角函数的定义，可将问题转化为关于圆上点的坐标的问题，通过代数运算求得问题的答案；也可将问题转化为角所在的象限问题，通过分析图形中角的终边和位置，建立角之间关系式.借助三角函数的定义，综合运用三角函数的基本公式和圆的性质，可使问题得以转化，这样能化繁为简，达到事半功倍的效果．（作者单位：甘肃省临夏州积石山县积石中学）立体几何是高中数学中的重要板块.立体几何问题对同学们的抽象思维能力和空间想象能力有较高的要求.求解立体几何问题的方法很多，如向量法、割补法、转化法、构造法等.本文主要介绍解答立体几何问题的两种常用方法：割补法和转化法.一、割补法割补法是解答几何图形问题的重要方法.在解答一些不规则图形问题时，我们可以采用割补法，将图形补成或者分割成规则的图形，这样就能将问题转化为熟悉的、简单的规则图形的体积、表面积、边长、角度问题，然后利用简单规则图形的性质、体积公式、表面积公式，以及两点间的距离公式、勾股定理来快速求得问题的答案.例1.如图1，已知在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为1的正方形，ΔADE ,ΔBCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF =2，则该多面体的体积为（）.A.B. C.43 D.32解：如图1所示，分别作AG ,BH 垂直于EF ，连接DG ,CH ，由于AB ,CD ,EF 三条直线互相平行，所以DG ,CH 都垂直于EF ，因为EF =2，所以GH =1,EG =FH =12，由于BF =AB =1,∠BFE =π3,BH=，所以S ΔBCH，则V =V ADG -BCH +2V E -ADG =12×1×1+2×13×12×1×2123.郭首东36考点透视我们根据题意添加辅助线，将几何体分割为一个三棱柱ADG -BCH ，两个全等的三棱锥E -ADG 和F -BCH ，再利用三棱柱和三棱锥的体积公式进行求解即可.运用割补法解题，同学们需要具备较强的观察能力，能够通过观察和想象，确定几何体的组成部分，对其进行合理的拆分、割补，以顺利求得问题的答案.二、转化法在解答立体几何问题时，通常要用到转化法，常用的转化技巧有：（1）将两个平面之间的距离、异面直线之间的距离、点到平面的距离转化为两点之间的距离；（2）将空间角转化为平面角；（3）将空间中的线段转化为平面图形的边.运用转化法，通过等价转化将复杂问题、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题，这有利于提升解题的效率.例2.如图2，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中AB =BC =2,BB 1=2，∠ABC =90∘，E ,F 分别为AA 1,C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为（）.A.2C.3D.解：（1）把面ABB 1A 1和面BCC 1B 1在同一个平面内展开.由于直三棱柱的底面为等腰直角三角形，所以线段EF 就是直角三角形A 1EF 的一条边，由勾股定理得EF =A 1E 2+A 1F 2=；（2）把面ABB 1A 1和面A 1B 1C 在同一个平面内展开.设BB 1的中点为G ，则线段EF 就是直角三角形EFG 的一条边，由勾股定理得EF=GE 2+GF 2=；（3）把面ACC 1A 1和面A 1B 1C 1开，过F 作平行于CC 1的直线，过E 作平行于AC 的直线，两直线交于点H ，则EF 就是直角三角形EFH 的一条边，由勾股定理得EF =GH 2+GH 2，综上可知，从E 到F 两点的最短路径的长度为.我们很难根据图形和题意确定从E 到F 两点的最短路径，于是运用转化法，将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各个面展开，将问题转化为平面图形中两点之间的距离最短问题，利用直角三角形的性质和勾股定理，快速求得问题的答案.运用转化法解题，能大大减少运算量.图3图4例3.如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图4所示的几何体.(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD =1，二面角C -AB -D 的平面角的正切值为6，求二面角B -AD -E 的余弦值．(1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD =D ，所以AB ⊥平面ADC .(2)解：过点E 作EF ∥DC 交BD 于点F ，因为DC ⊥平面ABD ，所以EF ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD .过点F 作FG ⊥AD 于点G ，连接GE ，所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE ，所以二面角B -AD -E 的平面角为∠EGF .由中位线的性质得EF =12CD =，FG =12AB =2，所以EG =EF 2+FG 2=2，所以cos∠EGF =FG EG =12.所以二面角B -AD -E 的余弦值为12.对于第一个问题，需采用转化法，根据线面垂直的判定定理，将空间中线面垂直的问题转化为平面内的两条直线垂直的问题来求解.对于第二个问题，要先根据二面角的定义，添加辅助线，确定二面角的平面角；再利用转化法，将立体几何中的二面角问题转化为求平面角∠EGF 的大小，根据三角形中位线的性质和勾股定理求得二面角的大小.总之，无论是运用割补法还是运用转化法求解立体几何问题，我们都需要根据几何体的结构特征，添加合适的辅助线，将复杂的问题简单化，灵活运用平面几何图形的性质以及相关定理求相关线段的长或角的大小.（作者单位：江苏省高邮市第一中学）图237。

高中数学立体几何的相关题型及解题思路在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，也是许多学生感到困惑和头疼的地方。

本文将介绍一些常见的立体几何题型，并给出相应的解题思路和技巧，希望能够帮助高中学生和他们的父母更好地应对这一考点。

一、体积计算题体积计算题是立体几何中最基础的题型之一，常见的题目有计算立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等的体积。

解决这类题目的关键在于熟练掌握各种几何体的体积公式，并能够根据题目给出的条件灵活运用。

例如，某题给出一个长方体的底面积为12平方厘米，高为5厘米，要求计算其体积。

我们可以直接应用长方体的体积公式V=底面积×高，代入已知数据计算得出答案为60立方厘米。

二、表面积计算题表面积计算题也是立体几何中常见的题型之一，常见的题目有计算立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等的表面积。

解决这类题目的关键在于熟练掌握各种几何体的表面积公式，并能够根据题目给出的条件灵活运用。

例如，某题给出一个正方体的边长为3厘米，要求计算其表面积。

我们可以直接应用正方体的表面积公式S=6a^2，其中a为边长，代入已知数据计算得出答案为54平方厘米。

三、立体图形的相似题立体图形的相似题是立体几何中较为复杂的题型之一，常见的题目有判断两个立体图形是否相似、计算相似立体图形的比例等。

解决这类题目的关键在于观察立体图形的形状和比例关系，并能够利用相似三角形的性质进行推理。

例如，某题给出一个正方体ABCDA'B'C'D'，另一个正方体EFGHE'F'G'与之相似，要求计算两个正方体的体积比。

我们可以观察到两个正方体的边长比为AE/AA'=EF/EE'=FG/FF'=...=1/2，而体积与边长的关系为V=k^3，其中k为边长的比值。

因此，两个正方体的体积比为(1/2)^3=1/8。

四、立体图形的投影题立体图形的投影题是立体几何中较为抽象的题型之一，常见的题目有计算某个立体图形在某个平面上的投影面积或投影长度等。

分析高中数学立体几何的解题技巧高中数学立体几何是数学中一个重要的分支，它关注的是空间图形的性质和计算，在学习过程中需要掌握一些解题技巧:1. 画图必须准确在解题时，画图是一个非常重要的环节。

我们必须确保画出的图形准确无误，以便更好地理解其性质和计算。

因此，我们建议使用直尺，教科书或专业工具来绘制准确的图形。

2. 善于使用画线法画线法也是立体几何解题中常用的技巧之一。

通过画出有助于分析几何形状的线条，我们可以更好地理解空间图形的性质。

例如，在许多梯形和棱柱的问题中，画出一条垂直线可以将图形分成两个更容易计算的部分。

3. 在三维空间中使用等式解立体几何问题也需要使用等式来计算数量和比例。

但不同于平面几何，我们必须考虑三个方向，因此在等式的设计上需要更加仔细。

我们可以使用代数方法和图形相似性来辅助解题，但在设计等式时也需要首先明确方向。

4. 熟练掌握体积公式立体几何的一个重要概念是体积，我们必须掌握各种图形体积的计算方法和公式。

熟练掌握这些公式，利用代数式子求解可以显著提高解决问题的效率。

5. 注意空间图形的相似性空间图形的相似性可以是解决立体几何问题的另一个关键技巧。

通过使用相似三角形、平行矩形和比例等概念，我们可以更好地理解空间图形和计算其性质。

这是立体几何中最常用且关键的解题技巧之一。

总之，在解答立体几何问题中，不仅需要熟练掌握公式和术语，还需要善于运用这些技巧来理解和计算空间图形的性质。

同时，我们也需要重视图形的准确性，尤其是在画图时，以避免出现误差。

以上技巧旨在帮助学生更快、更准确地解决立体几何问题，希望有所帮助。

分析高中数学立体几何的解题技巧学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。

1.平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由未知想要性质，由澄清想要认定，即为分析法与综合法结合找寻证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中采用的频率最低，在证明线线横向时应优先考量。

2.空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算是;若用向量，那就是一证、二算是。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面阿芒塔的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式排序.(3)二面角①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式3.空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离:经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形为解，也可以借助面积成正比谋出点至直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离: . -般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直直奔做出公垂线的情况下，可以转变为线面距离解(这种情况中考不搞建议)。

(3)求点到平面的距离: - 般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点做出平面的垂线，进而排序;也可以利用“三棱锥体积法”轻易谋距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。

求直线与平面的距离及平面与平面的距离-般均转化为点到平面的距离来求解。

高中数学知识点归纳立体几何的应用立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是空间中的物体，关注的是物体的形状、大小、位置以及它们之间的关系。

在高中数学的学习中，立体几何是一个重要的知识点，也是数学应用题中常见的内容之一。

本文将对高中数学中涉及到的立体几何的应用进行归纳和总结。

1. 体积与表面积的计算体积和表面积是衡量一个物体特性的两个重要指标。

在立体几何中，我们经常需要计算不同物体的体积和表面积。

下面以一些常见的物体为例，介绍其体积和表面积的计算方法。

1.1 立方体立方体是三维空间中的一个立体图形，它的六个面都是正方形。

我们知道，立方体的体积等于边长的立方，表面积等于六个正方形的面积之和。

例如，已知一个立方体的边长为a，则它的体积可以表示为V = a³，表面积可以表示为S = 6a²。

1.2 长方体长方体是一种形状类似长方形的立体图形，它的六个面都是矩形。

对于一个长方体，它的体积等于长、宽、高三个边长的乘积，表面积等于所有矩形的面积之和。

例如，已知一个长方体的长、宽、高分别为l、w、h，则它的体积可以表示为V = lwh，表面积可以表示为S = 2lw + 2lh + 2wh。

1.3 圆柱体圆柱体是一种由两个平行圆底和连接两个底的曲面组成的立体图形。

对于一个圆柱体，它的体积等于底面积与高的乘积，表面积则包括底面积和侧面积两部分。

例如，已知一个圆柱体的底面半径为r，高为h，则它的体积可以表示为V = πr²h，表面积可以表示为S = 2πr² + 2πrh。

2. 空间几何的应用立体几何不仅仅是计算体积和表面积，它还有很多实际应用。

在现实生活中，我们经常会遇到一些与立体几何相关的问题，例如测量物体的体积或表面积、设计建筑的空间布局等。

下面以一些具体的例子介绍立体几何的应用。

2.1 包装设计在商品包装设计中，立体几何的应用非常常见。

设计师需要根据产品的形状和尺寸，选择合适的包装形式，并确定包装盒的大小和结构。