专题6-3

专题6-§3-2化学电源（同步练习）班级姓名座号一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.利用离子反应“Fe＋2Fe3＋=3Fe2＋”设计原电池，下列设计不合理的是( )①铜片、铁片、FeCl3溶液组成的原电池②石墨、铁片、Fe(NO3)3溶液组成的原电池③铁片、锌片、Fe2(SO4)3溶液组成的原电池④银片、铁片、Fe(NO3)2溶液组成的原电池A.①②B.②③C.③④D.②④2.下列有关锌锰干电池的说法中正确的是( )A.锌外壳是负极，石墨棒是正极材料B.在外电路中电子从石墨棒流向锌外壳C.电流从锌外壳流到石墨棒上D.电池内部阳离子从石墨棒向锌外壳移动3.(2020·湖北四地七校期中联考)如图是某化学课外活动小组设计的用化学电源使LED 灯发光的装置。

下列有关该装置的说法正确的是( )A.铜为负极，其附近的溶液变蓝，溶液中有Cu2＋产生B.其能量转化的形式主要是化学能→电能→光能C.如果将锌片换成铁片，电路中的电流方向将发生改变D.如果将稀硫酸换成柠檬汁，LED灯将不会发光4.(2020·河北保定一中高一期中)某兴趣小组设计的简易原电池装置如图所示。

该电池工作时，下列说法正确的是( )A.锌片作正极B.碳棒上有气泡产生C.可将电能转化为化学能D.电子由碳棒经导线流向锌片5.(2019·吉林第三中学阶段测试)原电池总反应离子方程式为Mg＋2H＋=Mg2＋＋H2↑，能实现该反应的原电池是( )A.正极为铜，负极为镁，电解质溶液为稀盐酸B.正极为铜，负极为铁，电解质溶液为稀硫酸C.正极为石墨，负极为镁，电解质溶液为CuSO4溶液D.正极为银，负极为镁，电解质溶液为NaCl溶液碱性锌锰电池铅－硫酸蓄电池原电池银锌纽扣电池2B.图Ⅰ所示电池放电过程中，硫酸浓度不断增大C.图Ⅰ所示装置工作过程中，电解质溶液中Cu2＋浓度始终不变D.图Ⅰ所示电池中，Ag2O是氧化剂，电池工作过程中被还原为Ag7.(2019·山东邹平一中高一)某普通锌锰干电池的结构如图所示。

第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值． 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S Q PF 1∆＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，则y 1＝－3k ＋6k 2＋k 43＋4k 2，y 2＝－3k －6k 2＋k 43＋4k 2，S Q PF 1∆＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S Q PF 1∆＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴S Q PF 1∆∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S Q PF 1∆＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.得x 1,2＝(8－2bk )±－32kb ＋642k 2，则x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0， 设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 216＋y212＝1，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0， x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)， 可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的斜率为定值12.热点三 圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 (1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解.解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)， 则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1,2＝8k 2±64k 4－16(1＋4k 2)(k 2－1)2(1＋4k 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3．探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )．即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0， 故d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 2＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 押题精练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12. ∴x 1,2＝8k 2±64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)2(1＋2k 2)， ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)， y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2， ∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析 设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23， 将坐标代入，得(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49， 化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53. 3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1) B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1， 所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|， 即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1， 因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11．已知点A 、B 的坐标分别是(0，－1)、(0,1)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－12. (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点D (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，试求△OEF 面积的取值范围．(O 为坐标原点)解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵k AM ·k BM ＝－12. ∴y ＋1x ·y －1x ＝－12. 整理，得x 22＋y 2＝1(x ≠0)， 即M 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋2，①将①代入x 22＋y 2＝1得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ>0，解得k 2>32. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－4k －4k 2－62k 2＋1，x 1＝－4k ＋4k 2－62k 2＋1，则|x 1－x 2|＝24k 2－62k 2＋1. S △OEF ＝S △OED －S △OFD ＝12OD ·|x 1|－12OD ·|x 2|＝12OD ·|x 1－x 2|＝12×2·|x 1－x 2|＝|x 1－x 2| ＝ 16(k 2－32)(2k 2＋1)2. 令k 2－32＝t (t >0)，所以k 2＝t ＋32(t >0)，所以S △OEF ＝|x 1－x 2|＝ 16t (2t ＋4)2＝ 4t (t ＋2)2 ＝2t t 2＋4t ＋4＝21t ＋4t ＋4≤214＋4＝22， 故△EOF 面积的取值范围是(0，22]．12．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．(1)解 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解 点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*) 由已知得T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，所以TM →·TN →＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214)＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得． y 1＝35，故M (－85，35)， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明 设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。

第3讲 电解池的工作原理及应用 金属的腐蚀与防护[考纲要求] 1.了解电解池的工作原理，能写出电极反应和电池反应方程式。

2.理解金属发生电化学腐蚀的原因、金属腐蚀的危害、防止金属腐蚀的措施。

考点一 电解的原理 1．电解定义在________作用下，电解质在两个电极上分别发生______和__________的过程。

2．能量转化形式________转化为________。

3．电解池 (1)构成条件①有与________相连的两个电极。

②__________(或__________)。

③形成____________。

(2)电极名称及电极反应(如图)(3)电子和离子移动方向①电子：从电源________流向电解池的________；从电解池的________流向电源的________。

②离子：阳离子移向电解池的________； 阴离子移向电解池的________。

4．分析电解过程的思维程序(1)首先判断阴、阳极，分析阳极材料是惰性电极还是活泼电极。

(2)再分析电解质水溶液的组成，找全离子并分阴、阳两组(不要忘记水溶液中的H ＋和OH －)。

(3)然后排出阴、阳两极的放电顺序阴极：阳离子放电顺序：Ag ＋>Fe 3＋>Cu 2＋>H ＋(酸)>Fe 2＋>Zn 2＋>H ＋(水)>Al 3＋>Mg 2＋>Na ＋>Ca 2＋>K ＋。

阳极：活泼电极>S 2－>I －>Br －>Cl －>OH －>含氧酸根离子。

(4)分析电极反应，判断电极产物，写出电极反应式，要注意遵循原子守恒和电荷守恒。

(5)最后合并两个电极反应式得出电解反应的总化学方程式或离子方程式。

5．用分析电解过程的思维程序分析电解下列物质的过程，并总结电解规律(用惰性电极电解)电解质(水溶液) 电极方程式 被电解 的物质 电极产物 溶液pH 变化的原因、结果 电解质溶液复原 阳极阴极含氧酸(如H 2SO 4)阳极：_________水减少，酸溶液的浓加_______阴极：_________ ___ 度____，pH____强碱(如NaOH) 阳极：____________阴极：____________水减少，碱溶液的浓度____，pH____加____活泼金属的含氧酸盐(如KNO3、Na2SO4) 阳极：____________阴极：____________水减少，盐溶液的浓度____，pH__________(若为水解的盐)加____无氧酸(如HCl)，除HF外阳极：____________阴极：____________________(如Cl2)H＋放电，c(H＋)减小，pH____不活泼金属的无氧酸盐(如CuCl2)，除氟化物外阳极：____________阴极：____________________(如Cl2)________(如Cu)pH基本不变加______活泼金属的无氧酸盐(如NaCl) 阳极：__________阴极：__________________(如Cl2)H＋放电，c(H＋)减小，c(OH－)增大，pH____不活泼金属的含氧酸盐(如CuSO4) 阳极：____________阴极：_________________(如Cu)OH－放电，c(OH－)减小，c(H＋)增大，pH____加____或_______1．分别写出用惰性电极电解上述5中各物质的化学方程式或离子方程式：(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________； (3)________________________________________________________________________； (4)________________________________________________________________________； (5)________________________________________________________________________。

2018届江苏高考英语一轮复习精品资料●模块六Unit 3重点知识突破一、重点词汇词汇-1. ensure【原句呈现】Roosters are supposed to drive bad spirits away from the wedding ceremony, and hens are thought toensure good luck for the marriage.【考点聚焦】▲ensure 意义的识别；▲相关短语。

【考题研读】①To _______ the child’s quick recovery, the doctor gave him a new kind of antibiotic (抗生素).A. makeB. ensureC. engageD. cause【答案与解析】B。

句意：为了确保孩子迅速恢复，医生给他注射了一种新的抗生素。

ensure 确保；make 制造，使得，成为；engage 预订，使忙碌；cause 导致。

②It is our responsibility to _______ that the country’s healthcare publications are beneficial to the people.A. satisfyB. compromiseC. quarrelD. ensure【答案与解析】D。

句意：我们的职责是确保国家卫生保健方面的出版物对人民有益。

ensure 确保，保证；satisfy 使满意；compromise 妥协；quarrel 争吵。

③We should try all means to ensure ourselves _______ all possible risks.A. withB. fromC. out ofD. due to【答案与解析】B。

ensure sb. from/against sth.确保某人免受……。

6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）1．（2022·湖北）在数列{}n a 中，111,72n n a a a n +=-=-，则数列{}n a 中最大项的数值为___．2．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅，则n a =_______.3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +-=-，n *∈N ，则n a =______． 4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N .求数列{}n a 的通项公式 ；5．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+，求数列{}n a 的通项公式 .6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+，则98S =______．1．（2022·浙江）已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是______2．（2022·上海）若数列{}n a 的首项11a =，且112(2)n n n a a n --=⋅≥，则数列{}n a 的通项公式为_______.3．（2022·江苏）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S = 4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于 5．（2022·安徽）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，则{}n a 的通项公式为___________. 1．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．2．（2022·湖北）数列{}n a 中，已知11S =，22S =且1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ），则此数列{}n a 的通项公式为__________.3．（2022·上海市七宝中学）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*1103n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为__________．题组一 累加法题组二 累乘法题组三 公式法4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =．求数列{}n a 的通项公式5．（2022·天津·静海一中）已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =，，且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+，,求2a 的值，并证明：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列；6．（2022·全国·单元测试）数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N ．求{}n a 的通项公式； 7．（2022·四川）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈． (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ：9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn 是正项数列{an }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．10．（2022·海南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S，14a =，1224n n S a n +=+-．求数列{}n a 的通项公式；1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．21n a n =+ C ．2n a n = D ．1n a n=2．（2022·江西）已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =______．题组四 构造等差数列4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________.1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n - B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n na a n a +=∈+，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________.4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =且121n n a a +=+，若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立，则实数λ的取值范围为___________.题组五 构造等比数列6.3 利用递推公式求通项（精练）（提升版）1．（2022·湖北）在数列{}n a 中，111,72n n a a a n +=-=-，则数列{}n a 中最大项的数值为___． 【答案】10【解析】当2n ≥时()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()9211251n n =-+-+++()()1925 12n n --+=+()2286410n n n =-+-=--+，所以当4n =时，数列{n a }中最大项的数值为10.故答案为：10.2．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅，则n a =_______.【答案】212n -【解析】因为数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅，所以当1n ≥时，111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+⋅⋅⋅+-+()()2123212143222232214n n n n --+-=++⋅⋅⋅++=⨯+=-.所以212n n a -=，*2,N n n ≥∈，因为12a =，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为212n n a -=，*N n ∈故答案为：212n -3．（2022·黑龙江双鸭山）已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +-=-，n *∈N ，则n a =______． 【答案】222,n n n N *-+∈.【解析】因为121n n a a n +-=-，n *∈N ， 所以当1,n n N *>∈时，有123n n a a n --=-， 因此有：11222211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+，即2(231)(1)(23)(25)(27)111222n n n a n n n n n -+-=-+-+-+++=+=-+，当1n =时，适合上式，所以222,n a n n n N *=-+∈，故答案为：222,n n n N *-+∈.题组一 累加法4．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N.求数列{}n a 的通项公式 ； 【答案】1n a n=【解析】(1)因为()111n n a a n n +=-+，所有1111(1)1n n a a n n n n+-=-=-++，当2n ≥时，211121a a -=-，321132a a -=-，……，1111n n a a n n --=--，相加得1111n a a n -=-，所以1n a n =，当1n =时，11a =也符合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n=5．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+，求数列{}n a 的通项公式 .【答案】1312n n a n -=--【解析】根据题意，可得到1132n n n a a -+-=-，2132n n n a a --∴-=-，31232n n n a a ----=-，……2131 2.a a -=-=将以上()-1n 个式子累加可得，2313(1)(2221)n n n a a n ---=--++⋯++, 2n ≥11a =，11123231212n n n a n n --∴-=--=---，又 11a =满足，所以1312n n a n -=--6．（2022·全国·江西科技学院附属中学）已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+，则98S =______．【答案】1465119800【解析】依题意，11(23)n n n n n a a a a +++=-，则1123n n n n a a n a a ++-+=，故11123n nn a a +-=+， 21115a a -= ，32117a a -= ，43119a a -= ，…，11121n n n a a --=+， 累加可得，111(215)(1)2n n n a a ++--=()()31n n =+- ， ()()()13132nn n n n a =+-+=+ ()2n ≥ ，当n =1时，113a = 也成立，故1111(2)22n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，9811111111131114651123243598100229910019800S ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：1465119800. 1．（2022·浙江）已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈，则数列{}n a 的通项公式是______【答案】2(1)n a n n =+【解析】∵*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈∵()12n n na n a +=+，即12n n a na n +=+，∵()32121123123451n n a a a n nn a a a n n --⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅≥+，∵2(1)n a n n =+.n=1也适合故答案为：2(1)n a n n =+. 2．（2022·上海）若数列{}n a 的首项11a =，且112(2)n n n a a n --=⋅≥，则数列{}n a 的通项公式为_______.【答案】(1)22n n n a -=【解析】 数列{}n a 中，11a =，()1122n n n a a n --=⋅≥，∴112n n n aa --=，∴321121n n n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⋯⨯211222n -=⨯⨯⨯⋯⨯12(1)2n ++⋯+-=(1)22n n -=．故答案为：(1)22n n n a -=． 3．（2022·江苏）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S = 【答案】2n n ⋅B【解析】由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥）所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯，所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+.故选：B 4．（2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于 【答案】(n ＋1)3【解析】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(Sn ＋1)＝()221nn a n ++，得4(Sn－1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4an ＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，题组二 累乘法即()3311nn n a a n -+=，所以an ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,an ＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3， 经验证n ＝1时也符合，所以an ＝(n ＋1)35．（2022·安徽）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，则{}n a 的通项公式为___________. 【答案】()12n n n a +=【解析】根据题意，数列{}n a 中，11a =，*2()3n n n S a n N +=∈，23n n n S a +=∵，1113n n n S a --+=∵， ∵-∵可得：1(2)(1)33n n n n a n a a -++=-，变形可得：111n n a n a n -+=-， 则12112113(1)()()()()()()11212n n n n n a a a n n n n a a a a a n n ---++=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=--； 1n =时，11a =符合(1)2n n n a +=；故答案为：(1)2n n n a +=． 1．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，211312112a S ==⨯-⨯+=，当2n ≥时，()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合，所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，2．（2022·湖北）数列{}n a 中，已知11S =，22S =且1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ），则此数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】*21122n n n a n N n -=⎧=∈⎨≥⎩，，，【解析】由1121,2a S S ===得：2211a S a =-= 1123n n n S S S +-+=（2n ≥且n ∈+N ）题组三 公式法()112n n n n S S S S -+=∴--（2n ≥且n ∈+N ）即12n n a a +=（2n ≥且n ∈+N ）∴数列{}n a 是第二项起公比为2的等比数列， 22n n a -∴=（2n ≥且n ∈+N ）又211a a =不满足上式， *21122n n n a n N n -=⎧∴=∈⎨≥⎩，，，3．（2022·上海市七宝中学）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*1103n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【解析】由1103n n S a +-=得：()1103n n n S S S +--=，即14n n S S +=，又111S a ==，∴数列{}n S 是以1为首项，4为公比的等比数列，14n n S -∴=；当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⋅；经检验：11a =不满足234n n a -=⋅；故答案为：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 4．（2022·湖南·长郡中学一模）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =．求数列{}n a 的通项公式 【答案】21n a n =-【解析】(1)∵1141,1n n n S a a a +=⋅+=，∵1122413S a a a =+⇒=．当2n ≥时，1141n n n S a a --=+，∵11144n n n n n n S S a a a a -+--=-，∵()114n n n n a a a a +-=-，∵0n a ≠，∵114n n a a +--=．∵数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．∵212a a -=，∵{}n a 为等差数列，通项公式为21n a n =-．5．（2022·天津·静海一中）已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =，，且2*121n n nS a n N n +=⋅∈+，,求2a 的值，并证明：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列；【答案】234a =，证明见解析 【解析】(1)证明：因为114a =，且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+，．令1n =，有1121314S a a ===⋅，解得234a =， 由2121n n n S a n +=⋅+，有()()211221n n n S a n n --=⋅≥-， 两式相减有()()221122121n n n n n a a a n n n +-=⋅-⋅≥+-，化简整理得()122121n n a a n n n +=≥-+， 又1114a =，2134a =，所以1121214n n a a n n +==⋅⋅⋅=-+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列．6．（2022·全国·单元测试）数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N ．求{}n a 的通项公式； 【答案】21n a n n=+(1,)n n ≥∈N 【解析】由212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=，当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得()2211n n n a n a n a -=--， 则()()111n n n a n a -+=-， 因为112a =，所以0n a ≠， 所以()1121n n a n n a n --=≥+， 则2113a a = 3224a a=111n n a n a n --=+， 以上各式相乘得：()121n a a n n =+，所以()212n a n n n=≥+， 当1n =时，上式也成立， 所以21n a n n=+；7．（2022·四川）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈． (1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1)12a =；(2)2n a n =.【解析】(1)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得22211(113)3(11)0a a -+--+=，即21160a a +-=，解得：13a =-(舍)或12a =.(2)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，得2(3)()0n n S S n n +--=，即2n S n n =+或3n S =-（舍） 当1n =时，12a =．当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=．验证1n =时上式成立，2n a n ∴=．8．（2022·广东佛山·二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ： 【答案】121,3a a ==；21n a n =-；【解析】因()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=，取1n =和2n =得：12112312()222()3()6a a a a a a a a +-=⎧⎨++-+=⎩， 即211224a a a a -=⎧⎨+=⎩，解得121,3a a ==，由()()111n n nS n S n n +-+=+得：111n n S S n n +-=+，数列{}n S n 是首项为1111S a ==，公差1d =的等差数列，则n S n n =，即2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =满足上式，因此，21n a n =-，所以121,3a a ==，数列{n a }的通项公式21n a n =-.9．（2021·江苏省灌云高级中学）设Sn 是正项数列{an }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 【答案】(1)3(2)a n ＝2n ＋1【解析】(1)由所给条件知，当n ＝1时21111113424S a a a ==+- ，整理得()()21111230,310a a a a --=-+= ，由于10a > ，得13a = ；(2)由条件得2423n nn S a a =+-① ，()21114232n n n S a a n ---=+-≥② ，∵- ∵得2211422n n n n n a a a a a --=-+- ，整理得：（an ＋an －1）（an －an －1－2）＝0，因为：an ＋an －1＞0，∵an －an －1＝2（n ≥2），{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，()12121n a a n n =+-=+ ，故21n a n =+ .10．（2022·海南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，1224n n S a n +=+-．求数列{}n a 的通项公式；【答案】31nn a =+【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，1224n n S a n +=+-， 当2n ≥时，1226n n S a n -=+-，两式相减可得11122224(26)2n n n n n n n a S S a n a n a a -++=-=+--+-=-+， 即132n n a a +=-，可得113(1)n n a a +-=-，即1131n n a a +-=-， 当1n =时，12224a a =+-，所以210a =，所以2111013141a a --==--， 所以数列{}1n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=，即31nn a =+，所以数列{}n a 的通项公式31nn a =+.1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．21n a n =+ C ．2n a n = D ．1n a n=【答案】B题组四 构造等差数列【解析】因为数列{}n a 的首项11a =，且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+，则20a ≠，30a ≠，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a ≠， 由122n n n a a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以，11112n n a a +-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为12，111122n n n a -+∴=+=，因此，21n a n =+. 故选：B.2．（2022·江西）已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.【答案】12n n -⋅ 【解析】由题设，()1112222n n n n a a n --=+≥，即()1112222n n n n a a n ---=≥，而1122a =， ∵{}2n n a 是首项、公差均为12的等差数列，即11(1)2222n n nn a =+-=， ∵n a =12n n -⋅.故答案为：12n n -⋅3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】23n n +【解析】∵()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，∵()113312n n n n a a n --=+≥，即()113312n n n n a a n ---=≥．又11a =，1133a ⋅=，∵数列{}3n n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，∵()33112nn a n n =+-⨯=+，∵数列{}n a 的通项公式23n n n a +=．故答案为：23nn +. 4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】()213nn a n =-⋅．【解析】由11323n n n a a ++=+⨯，得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∵11233n n n na a ++-=， 即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∵213n n a n =-，得()213n n a n =-⋅． 5（2022·四川宜宾·二模（理））在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________. 【答案】121n - 【解析】因为11a =，213a =，()11123n n n n n a a a a a +-+=-，显然0n a ≠，所以111123n n n n n n a a a a a a ++--=-，同除11n n n a a a -+得11231n n n a a a -+=-，所以1111112n n n n a a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，所以1111211n n n n a a a a +--=-，所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，所以1111222n n n n a a -+-=⨯=，所以132212111111111111n n n n n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211222212112nn n n ---=++++==--所以121n na =- 故答案为：121n - 1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列．所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n n na =-． 故选：A2．（2021·山西师范大学实验中学）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+，设()13n n a x a x ++=+，则132n n a a x +=+，所以，722x =，可得74x =，所以，177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且171144a +=，题组五 构造等比数列由题意可知，对任意的n *∈N ，704n a +≠，则174374n n a a ++=+， 所以，数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，且该数列的首项为114，公比为3，所以，1711344n n a -+=⋅，因此，1117344n n a -=⋅-.故答案为：1117344n -⋅-. 3．（2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n na a n a +=∈+，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________. 【答案】2234n n +--【解析】数列{}n a 满足*111,()23n n n a a a n N a +==∈+，整理得：1123n n n n a a a a +++=，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又1134a +=，故13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以1113422n n n a -++=⋅=，所以1231n n a +=-，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和24(12)323412n n n T n n ++--==-- 故答案为：2234n n +--4．（2021·陕西·西北工业大学附属中学）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =且121n n a a +=+，若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立，则实数λ的取值范围为___________.【答案】3λ≤【解析】由题设112(1)n n a a ++=+，112a +=，则{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12n n a +=，则21nn a =-，12(12)2212n n n S n n +-=-=---，则1222n n S n n ++=+-在N n *∈上递增，所以2min (2)2123n S n +=+-=，要使2n S n λ≤+恒成立，则3λ≤.故答案为：3λ≤。

第2课时化学电源发展目标体系构建1.知道化学电源的分类方法。

2.熟悉几种常见化学电源的组成和工作原理。

3.了解化学电源广泛的应用及废旧电池对环境的危害，设想其处理方法。

一、化学电源的原理与分类1．原理：原电池原理。

2．优点：化学电源的能量转化率比燃料燃烧高得多。

3．分类⎩⎨⎧一次电池：用过之后不能复原，如锌锰干电池等；二次电池：充电后能继续使用，如铅蓄电池、镍氢电池等；燃料电池：燃料不贮存在电池内部，可持续使用，能量利用率高，如氢氧燃料电池、甲醇—空气燃料电池。

一次电池和二次电池是否指分别只能使用一次和两次的电池？[提示]一次电池是不可充电电池，电量一旦放完就无法再次使用；二次电池是可充电电池，电量放完后可进行充电，可反复使用多次。

二、常见化学电源的组成电池名称电极材料电解质溶液负极正极锌锰干电池锌石墨棒氯化铵等银锌纽扣电池锌氧化银氢氧化钾溶液铅蓄电池铅二氧化铅硫酸镍氢电池贮氢合金泡沫氧化镍氢氧化钾溶液氢氧燃料电池H2放电O2放电氢氧化钾溶液甲醇－空气燃料电池甲醇放电O2放电氢氧化钾溶液什么是燃料电池？燃料电池中燃料需要燃烧吗？[提示]燃料电池是通过燃料与氧化剂分别在两个电极上发生氧化还原反应，将化学能直接转化为电能的装置，燃料不需要燃烧。

三、电解池1．电解池是将电能转化为化学能的装置。

2．实例：电解水制得氢气和氧气；电解饱和食盐水制备烧碱、氯气和氢气。

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)太阳能电池不属于原电池。

(√)(2)二次电池充电时，充电器的正极接二次电池的正极。

(√)(3)铅蓄电池放电时的负极发生还原反应。

(×)(4)Zn具有还原性和导电性，可用作锌锰干电池的负极材料。

(√)2．下列有关电池的说法中不正确的是()A．手机上用的锂离子电池属于二次电池B．铜锌原电池工作时，电子沿外电路从铜电极流向锌电极C．甲醇燃料电池可把化学能转化为电能D．锌锰干电池中，锌电极是负极B[手机上用的锂离子电池是可充电电池，A正确；铜锌原电池中，Cu为正极，Zn为负极，外电路中电子由负极流向正极，B错误；甲醇燃料电池是将甲醇内部的化学能转化为电能的装置，C正确；锌锰干电池中，Zn为负极，D正确。

专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3，∴选项D 正确． 故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末） ） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根 故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是5-C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数 【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确． 故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________． 【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5． 故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ） A ．非负数才有平方根B ．非负数的算术平方根是非负数C ．任何数都有两个平方根D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确． 故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______． 【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1． 故答案为：-1．【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为364m ，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m ，则它的棱长需要增加__________m ． 【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a ， ∵体积为64m 3，∴=4m ；设体积达到125m 3的棱长为b ，则=5m ， ∴b-a=5-4=1（m ）． 故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1- 【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.0=， 8与﹣8互为相反数； （2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0， 解得x ＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求2+a b 的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b-1的平方根是±4， ∴3a+b-1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（ ） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a-15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得： 2n +1+4﹣3n ＝0， ∴n ＝5， ∴2n +1＝11， ∴m ＝112＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0， ∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5， ∴a +b +c ＝3+0+5＝8， ∴a +b +c 的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a 的两个不同平方根分别是22x -和63x -，则a =______．【答案】36.【解析】解：由题意得： 2x-2+6-3x=0， 解得x=4，a=62=36 故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x ，y 为实数，且20x +=，则2021x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B.【解析】解：由题意得： x+2=0，y-2=0 ∴x=-2，y=2∴2021202122x y ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____． 【答案】0或﹣1或﹣12.﹣2x ﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12． 故答案为：0或﹣1或﹣12． 知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值 （1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4（2）（2x-1）3=-27 2x-1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3(2)（x-2）2=8116 x-2=94或x-2=-94x=174或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值． （2）已知a =5，b 2=9，（c-1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab-bc-ca 的值． 【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2， 由n 2=9，得n=±3， 由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5， 由b 2=9得：b=±3， 由（c-1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39． 【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根． 【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x-18=0， 解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x-18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521； （2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0， 解得：d=±6，c=±3． 当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根）， 当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3． 【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A ，B ，C ，D 的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B ，C ，A ，D 的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a 经过D ，C ，A ，B 的顺序运算后，结果是55，a 是多少？ 【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11． 【解析】解：（1）①()23256-⨯--+⎡⎤⎣⎦ =(-6+5)2+6=1+7 =7②()25526--⨯+⎡⎤⎣⎦， =(5+5)2×2+6 =100×2+6 =206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55， 整理得：（a+6）2=25， a+6=5或a+6=-5 ∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x +1的算术平方根是0=4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的值． 【答案】12.【解析】解：∵2x +1的算术平方根是0， ∴2x +1＝0， ∴2x ＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ）A ．4BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（ ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C.1.3331013.33==≈⨯=． 故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈≈______． 【答案】0.07746.7.746=0.0774*******≈ 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①31000100==，又1000593191000000<<，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．==，1000＜195112＜1000000【解析】解：（1100∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，<<，∴56<<，可得5060由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.===，则【变式5－1】（2020·0.5325______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，===⨯=1.1471011.47故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．10）C．D【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：≈≈≈，2.714=_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.2714≈，0.5848∴1001000.584858.48≈⨯=，≈，58.48≈=100∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如==-=-，现对85进行如下操作：[5]5,1,[ 3.5]4第1次第2次第3次，这样对85只需3次操作后−−−→=−−−→=−−−→=85931就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.=，x为正整数，则1≤，【解析】解：设1∴1≤y<4，即最大正整数是3；=，y为正整数，则3≤，设3∴9≤y<16，即最大正整数是15；=，z为正整数，则15≤，设15∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以-1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =_________， 若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________； （2）在（1）的条件下，求代数式x -4y 算术平方根． 【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2， 故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9， 代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）.【解析】解：(1)14−141+=1120，=1120(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t=19.6340=0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求+a b的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=，∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<，∴3a =，∵34<< ∴b=3∴33+=【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简a b a ++-的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0， 原式=-a-b+（-a ）+b =-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c ， ∴a-c<0，a+b<0， 原式=-b-（c-a ）+(a+b) =-b-c+a+a+b =2a-c.。