第十七章反比例函数17．2实际问题与反比例函数第1课时（共3课时）课前预习篇1．利用反比例函数解决实际问题的基本过程是：建立函数模型，从实际问题中求得函数解析式，应用函数性质求解．2．用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；以便写出正确的二是要分清自变量和函数函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图像和性质，特别是图像，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题．典例剖析篇【例1】王先生驾车从A地前往300km外的B地，他的车速平均每小时v（km），A地到B 地的时间为t（h）．（1）以时间为横轴，速度为纵轴，画出反映v、t之间的变化关系的图像．（2）观察图像，回答：①当v>100时，t的取值范围是什么？②如果平均速度控制在第每小时60km至每小时150km之间，王先生到达B地至少花费多少小时？【解析】先求出v与t之间的函数关系式，再根据关系式画出函数的图像，值得注意的是，在解决实际问题时，函数图像一定要注意自变量和函数值的取值范围，实际图像一般只有一部分图像．图像画好后，可根据图像的性质求解．解：（1）因为v=300, 所以300vt ．这是一个反比例函数，因为0,0v t,所以图像只有第一象限的分支，大致图像如下：（2）由图像可知，v随t的增大而减小．①当v=100时，t=3．所以，当v>100时，t＜3．因为t＞0,所以0＜t＜3．②当60＜v＜150时，2＜t＜5，即如果王先生速度控制在每小时60km至每小时150km之间，那么他到达B地花费的时间至少为2小时．基础夯实篇1．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（C）A．小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系．C ．一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的体积V 之间的关系D ．花100元买某一商品时，商品单价a 与商品的件数x 之间的关系2．面积一定的△ABC ，一边长为x ，这边上的高为y , 则y 关于x 的变化规律用图像表示大致是（ C )3．矩形面积为3 cm 2，则它的宽y (cm)与x (cm)长之间的函数图像位于（D ） A ．第一、三象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第一象限 4．已知函数y =k (x +1)和ky x=，那么它们在同一坐标系中的图像大致位置是（ B ）5．如图，A 是反比例函数10y x=图像上的一点，过A 作x 轴的垂线，垂足为点B ，当点A 在其图像上沿x 增大的方向移动时，△ABO 的面积将会（ D ）． A ．减小 B ．增大C ．先增大后减小D ．不变6．如图，AA 、B 、C 向xy 轴作垂线，构成S 3的大小关系是（D ）A ．S 1＝S 2B ．S 1＜C ．S 1＞S 2D ．S 1＝7．已知甲, a L,那么的函数图像大致是( C )．8．如图，1P 、2P 、3P 是双曲线上的三点．过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形11PAO 、22P A O 、33P A O ，设它们的面积分别是S 1、 S 2、 S 3 则( D )．A ．S 1< S 2< S 3B ．S 2< S 1< S 3C ．S 1< S 3< S 2D ．S 1= S 2= S 39．A 、B 两地之间的高速公路长为300km ，一辆小汽车从A 地去B 地，假设在途中是匀速直线运动，速度为v km/h ，到达时所用的时间是t h ，那么t 是v 的 反比例 函数，t 可以写成v 的函数关系式是 300t v=． 10．（2010绵阳）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1．2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 40千米∕时 ．11．收音机刻度盘的波长λ和频率f 分别用米（m ）的千赫兹（kHz ）为单位标刻的．波长λ和频率f 满足关系式300000f λ=，这说明波长λ越大，频率f 就越 __越小___．决胜中考篇12．（2010肇庆）如图6是反比例函数y=xn 42-的图像的一支，根据图像回答下列问题： （1）图像的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？ （2）若函数的图像经过（3，1），求n 的值．（3）在这个函数图像的某一支上任取点A （a 1,b 1）和点B （a 2,b 2）,如果a 1＜a 2，试比较b 1和b 2的大小． 解：（1）图像的另一支在第三象限，因为反比例函数的图像在一、三象限， 所以2n-4＞0,即n ＞2． (2)因为反比例函数y=xn 42-的图像经过（3，1） 所以1=342-n n=3．5 (3)因为反比例函数解析式为：y=x3,3＞0 所以y 随x 的增大而减小 因为a 1＜a 2， ，所以b ＞1b 2．13．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图像．（1）请你根据图像提供的信息求出此蓄水池的蓄水量． （2）写出此函数的解析式（3）若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （4）如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 解：（1）由图像可知：4×12＝48，因此蓄水池为48m 3． （2）设V ＝t k，由上题可知k ＝48，则函数V 与t 之间的函数关系式为V ＝t48 （3）当t ＝6时，V=48÷6＝8，即若要6h 排完水，每小时的排水量为8m 3．（4）当V ＝5时，t ＝48÷5＝9．6，即若每小时排水5m 3，那么要9．6小时将水排完． 14．（2010嘉兴）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）满足函数关系：kt v=，其图像为如图所示的一段曲线且端点为A （40，1）和B （m ，0．5）． （1）求k 和m 的值；（2）若行驶速度不得超过60 km/h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？解：（1）将（40，1）代入k t v=，得140k =，解得40k =．函数解析式为：40t v =．当0.5t =时，400.5m=，解得80m =．所以，40k =，80m =． （2）令60v =，得402603t ==． 结合函数图像可知，汽车通过该路段最少需要23小时．15．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km/h ，视野为80度．如果视野f （度）是车速v(km/h)的反比例函数，求f 、v 之间的关系式，并计算当车速为100km/h 时，视野的度数． 解：设f ，v 之间的关系式为(0)kf k v=≠ 当v=50km/h 时，f=80度，故得k=4000，所以4000f v=，当v=100时，f=40（度） 即：当车速为100km/h 时，视野为40度． 15．（2010达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO ．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO 的浓度达到4 mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO 浓度成反比例下降．如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO 浓度y 与时间x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中的CO 浓度达到34 mg/L 时，井下3 km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO 浓度降到4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井? 解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y 与x 的函数关系式为b x k y +=1 由图像知b x k y +=1过点（0，4）与（7，46）所以14746b k b =⎧⎨+=⎩． 解得164k b =⎧⎨=⎩, 所以64y x =+,此时自变量x 的取值范围是0≤x ≤7．(不取x =0不扣分，x =7可放在第二段函数中)因为爆炸后浓度成反比例下降， 所以可设y 与x 的函数关系式为x k y 2=．由图像知x k y 2=过点（7,46），所以4672=k ．所以3222=k ,所以xy 322=，此时自变量x 的取值范围是x ＞7． （2）当y =34时，由46+=x y 得,6x +4=34，x =5 ．所以撤离的最长时间为7-5=2(小时)．所以撤离的最小速度为3÷2=1．5(km/h)． (3)当y =4时，由xy 322=得, x =80．5，80．5-7=73．5(小时)． 所以矿工至少在爆炸后73．5小时能才下井．图第2课时（共3课时）课前预习篇1．进一步学习利用反比例函数的知识分析、解决实际问题．2．渗透数形结合思想，进一步提高用函数观点解决问题的能力．典例剖析篇【例2】制作一种产品,需先将材料加热达到60℃后,再进行操作．设该材料温度为y （℃）,从加热开始计算的时间为x （min ）．据了解,该材料加热时,温度y 与时间x 成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5min 后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y 与x 的函数关系式;(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15 ℃时,须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间？【解析】本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法．（1）由图像知：将材料加热，即当05x ≤≤时，y 与x 是一次函数关系，直线过点（0，15），（5，60）；停止加热时，即5x ≥时，y 与x 是反比例函数关系，图像过点（5，60），易求出函数的关系式；（2）当材料的温度低于15℃时，需停止操作，即令y=15,求对应的自变量的值． 解：（1）将材料加热时，y 是x 的一次函数．可设y=kx+b （05x ≤≤），把（0，15），（5，60）代入，得15560b k b =⎧⎨+=⎩，解得：159b k =⎧⎨=⎩ 所以当05x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系是915y x =+．停止加热时，y 与x 成反比例关系，可设1(5)k y x x=≥，因为点（5，60）在图像上，所以1605k =，1k =300．所以当5x ≥时，y 与x 的函数关系是300y x=．（2）把y=15代入300y x =，得30015x=，x=20． 即从开始加热到停止操作，共经历了20 min ．【点拨】本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数，要注意分类讨论，分别写出函基础夯实篇1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y 元，若该厂每月生产x 只（x 取正整数），这个月的总成本为5000元，则y 与x 之间满足的关系为（ C ） A ．5000x y =B ．x y 35000=C ．x y 5000=D ．xy 5003= 2．（2009娄底）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示． 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系的图像大致是( A )3．（2009恩施）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图像是（ A ）4．京沪高速公路全长约为1262km ，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行驶完全程所需的时间t （h ）与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系是 v t 1262=． 5．为了美化校园，学校共划出84m 2的土地修建四个完全相同的长方形花坛，如果每个花坛的一组邻边分别为x cm ，y cm ，那么y 关于x 的函数关系式为__xy 21=__ 6．如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影则=+21S S 5决胜中考篇 7．（2010重庆潼南）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图像是（ B ）8．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细（横截面积）)(2mm x 的反比例函数，其图像如图所示． （1）写出y 与x 的函数关系式；（2）若当面条的粗细应不小于26.1mm ，面条的总长度最长是多少？ 解：（1）根据题意，设反比例函数为x ky =，则将点P （4，32）代入 得：432k=，解得：k =128，所以反比例函灵敏的关系式为：x y 128=（2）当x 刚好为26.1mm 时， 6.1128=y =80,2H E (F)A B C D9．(2009河池)为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例；药物释放完毕后，y 与x 成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为11(0)y k x k =≠，由题意，得：912x =，解得：134k = 所以药物释放过程中y 与x 的函数关系式为3(012)4y x x =≤≤． 设药物燃烧结束后函数解析式为2(0)2ky k x =≠，由题意，得2912k =，解得：2108k =．所以物释放完毕后y 与x 的函数关系式为108(12)y x x=≥ （2） 当0.45y 时，即1080.45x，因为0x ，所以 解之，得240min 4x h =．所以从消毒开始经过4 h 学生才返可回教室第3课时（共3课时）课前预习篇反比例函数在物理、化学等学科中有广泛的应用，物理学中的一些定理、公式与反比例函数紧密相关： （1）压力（F ），压强（P ），受力面积（S ）三者之间，当F 一定时，压强P 是受力面积S 的反比例函数，其关系式为：SFP =．例函数关系，其关系式为：pV m =． （3）电流（I ），电压（U ），电阻（R ）三者之间，当U 一定时，电流I 是最阻R 的反比例函数，其关系式为：RI U=（4）在使用杠杆时，如果阻力f 与阻力臂1l 不变，则动力F 是动力臂l 的反比例函数：ll F 1f =典例剖析篇【例1】（2010安顺）某气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）A ．不大于3524 m 3B ．不小于3524 m 3C ．不大于3724 m 3D ．不小于3724 m 3【解析】本题涉及了反比例函数及其图像，不等式等相关知识，利用生活实例作为试题背景，考查知识的活学活用．由VKP =,过A(0．8,120),所以K=96,结合图像可知，当P ＞140，V ＜14096，当P ≤140时，V ≥3524． 【答案】B【例2】对于取消市场上使用的杆秤的呼声越来越高，原因在于一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小称砣，使砣较轻，从而欺骗顾客．（1）如图，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个用的是较轻的秤砣？（2）在称同一物体时，所称得的物体质量y （千克）与所用秤砣质量x (千克)之间满足__________关系．（3）当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？ 【解析】设重物的质量为G （定值），重物的受力点到支点的距离为L （定值），图①、图②中秤砣的受力点到支点的距离分别表示为L 1、L 2，根据杠杆原理得：物体的质量（G ）与阻解：（1）因为GL=x 1 L 1=x 2 L 2因为L 1＞L 2，所以x 1＜x 2所以图②是用与秤配套的秤砣，图①则是用的较轻的秤砣．（2）反比例（3）函数L=xk (k ＞0)，当x 变小时，L 增大的性质．基础夯实篇1．（2010菏泽）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa ）是气球体积V （m 3）的反比例函数，其图像如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（C ）A ．不大于54m 3 B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 32．用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是R I P 2=，下面说法正确的是（ B ）A ．P 为定值，I 与R 成反比例B ．P 为定值，2I 与R 成反比例C ．P 为定值，I 与R 成正比例D ．为定值，与成正比例 3．压力、压强、受力面积之间的关系为：压力=压强⨯受力面积．所以在以下结论中，正确的为( C )A ．受力面积一定时，压力与压强成反比例B ．压强一定时，压力与受力面积成反比例C ．压力一定时，压强与受力面积成反比例D ．受力面积、压强及压力中的任何两个量均成反比4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图像如图3所示，当V=10 m 3时，气体的密度是（ D ）A ．5kg/m 3B ．2kg/m 3C ．100kg/m 3D ．1kg/m 35．物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算公式为． 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P 与受力面积S 之间的关系用图像表示大致为（ C ）决胜中考篇6．(2009青岛)一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应（ A ）A ．不小于4．8ΩB ．不大于4．8ΩC ．不小于14ΩD ．不大于14Ω7．一封闭电路中，当电压是6V 时，回答下列问题：（1）写出电路中的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系式．（2）如果一个用电器的电阻是5Ω，其最大允许通过的电流为1A ，那么只把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧坏？试通过计算说明理由．解：（1）RI 6= （2）会烧坏．因为当电阻R=5Ω时，12.156 A I ==A ，所以该用电器要被烧坏．8．舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培．（1）求I 与R 之间的函数关系式；（2）当电流I=0．5安培时，求电阻R 的值．解：（1）设U I R =（U 为常数，且U ≠0）由题意得：25U = 所以U=10 ， 所以I 与R 之间的函数关系为：10I R= （2）当I=0．5时，100.5R = 所以R=209．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强()Pa p 是木板面积()2m S 的反比例函数，其图像如下图所示．（1）请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；（2）当木板面积为20.2m 时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa ，木板的面积至少要多大？解：（1）()6000p S S=> （2）当0.2S =时，60030000.2p ==． 即压强是3000Pa ．（3）由题意知，6006000S ≤，0.1S ∴≥． 即木板面积至少要有20.1m ．。
