x - 1 DA3 22003 年全国高中数学联赛天津赛区初赛一、选择题(每小题5 分,共30 分)1. 已知函数f ( x) =则f ( x) 可化简为( ) .(A) cos 2 x (B) sin 2 x b cos B , A≠B ,则△ABC 的内切圆半径等于.9. 已知f ( x)=2 x + 3. 若y = g ( x) 的图像与y = f -1( x + 1) 的图像关于直线y = x 对称,则g (3) 的值等于.10. 若集合 A = { x| - 2 ≤x ≤5} , B = { x| m + 1 ≤(C) cos x - sin x (D) cos x2 - sinx2 x ≤2 m - 1} ,且 A ∩B = B ,则实数m 的取值范围是2.已知正数a1, a2, , a7构成等比数列. 若前5 项的和为7 2 + 6 ,后5 项的和为14 2 + 12 ,则a6等于( )(A) 4 (B) 4 2 (C) 8 (D) 8 23.已知正三棱柱ABC - A1B1C1中, E 是BC 的中点, D 是AA1上的一个动点,且AD = m . 若A E ∥1平面DB 1C ,则m 的值等于( ) ..11.已知点A ( m , n) 在直线x + 3 y = 41 上,其中0 < n < m . 若点A 关于直线y = x 的对称点为B ,点B 关于y 轴的对称点为C ,点C 关于x 轴的对称点为D ,点D 关于y 轴的对称点为E ,且五边形ABCDE 的面积为451 ,则点A 的坐标为.12.设{ a n}是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为零,且各项之和等于2 004. 则该数(A) 13 (B) 12(C) 23(D)1列的第2 项a2的值等于.三、解答题(每小题20 分,共60 分)4. 有20 张卡片分别写着数字1 ,2 , ,19 ,20. 将它们放入一个盒中,有4 个人从中各抽取一张卡片, 取到两个较小数字的二人在同一组,取得两个较大数字的二人在同一组. 若其中二人分别抽到 5 和14 , 则此二人在同一组的概率等于( ) .解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.13.关于x 的不等式a2+ 2 a - sin2 x - 2 a cos x > 2 的解集是全体实数. 求实数 a 的取值范围.x2 y214.已知A ( x1, y1) 、B ( x2, y2) 是椭圆a2+b2=(A) 12 (B) 251(C) 551(D) 7511 ( a > b > 0) 上的两个动点, O 为坐标原点,且OA ⊥OB . 求线段AB 长的最小值.5.设二次函数f ( x) = ax2+ bx + c (其中 a 、b 、c 为整数) ,有 4 个学生计算函数值, 甲得到: f ( 7) = - 1 ;乙得到: f (1)= 3 ; 丙得到: f (4)= - 4 ; 丁得到: f (2) = 4. 其中有且仅有1 个学生计算错误,则计算错误的学生是( ) .(A) 甲(B) 乙(C) 丙(D) 丁6.在4 到18 之间选择两个不同的质数,然后用它们的乘积减去它们的和,得到的数可以是( ) .(A) 21 (B) 60 (C) 119 (D) 231二、填空题(每小题5 分,共30 分)7.函数f ( x) = log1 ( x2- 5 x + 6) 的单调递增区间为.8.在△ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c. 若 a 、b 、c 成等差数列,且 c = 10 , a cos A =15. 已知函数 f ( x) = x2+ x - 2.(1)试求函数g ( x) = | f( x) | - f ( x)的解析式;(2)若a > 0 时,直线y = ax + b 与曲线y = g ( x) 交于三个不同的点,试确定 a 与b 的关系式,并画图表示以 a 、b 为坐标的点( a , b) 所在的区域.参考答案一、1. A.因为sin4 x + 4cos2 x = ( sin2 x - 2) 2 ,所以,sin4 x + 4cos2 x = 2 - sin2 x .同理, cos4 x + 4sin2 x = 2 - cos2 x .故 f ( x) = cos2 x - sin2 x = cos 2 x .2.C.sin4 x + 4cos2 x - cos4 x + 4sin2 x .3 x - 222 2x - 1 22004 年第 2 期 37因 为 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5= a 1 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 7 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7+ 6 ,T + 1 = 232 = 2 ×116 = 4 ×58不合题意 ,所以 ,T + 1 = 120 = (11 - 1) ×(13 - 1) , T = 119.= a 1 q 2 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 14 2+ 12 ,二 、7. ( - ∞,2) .因为函数 f ( x ) = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的定义域为二式相除 ,得 q = 2. 3x 2- 5 x + 6 > 0 , 即 x < 2 或 x > 3. 又 x 2 - 5 x + 6 =又 a 1 , a 2 ,, a 7 是正数 ,则 q = 2 . 代入上式 ,可得 a 1 = 2 . 所以 , a 6 = a 1 q 5 = 8.3. D.5 21 5x - 2 - 4 , 其递减区间为 - ∞, 2, 所以 ,f x = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的单调递增区间为 过 AA 1 、A E 作平面 A 1 A EF 与平面 BCC 1 B 1 交于EF . 设 EF 与 B 1 C 交于点 O ,连结 DO . 因为 AA 1 ∥平面 BCC 1 B 1 , A E ∥平面 DB 1 C ,所以 ,AA 1 ∥EF , A E ∥DO .故四边形 A EOD 是平行四边形 ,即 AD = EO . 又因为 E 是 BC 的中点 , 所以 , O 为 B 1 C 的中点 ,也是 EF 的中点 ,即 AD = EO = 1 EF = 1AA 1 ., AD = m = 1. DA 14. D.由于有二人分别抽到 5 和 14 两张卡片 另外二 人需从剩下的 18 张卡片中抽取 ,共有 18 ×17 种情况. 若抽取 5 和 14 的二人在一组 ,则有两种情况.(1) 5 和 14 为较小数 ,另二人需从 15～20 的 6张卡片当中抽取 ,有 5 ×6 种 ;(2) 5 和 14 为较大数 ,另二人需从 1～4 的 4 张卡片当中抽取 ,有 3 ×4 种 ;于是 ,抽到 5 和 14 两张卡片的二人在同一组的 5 ×6 + 3 ×4 = 7 .18 ×17 515. B.因 为 f ( m ) - f ( n ) = ( m - n ) ( am + an + b ) , 则( m - n ) | ( f ( m ) - f ( n ) ) .验 证 : (7 - 1) 8 ( - 1 - 3) , (7 - 4) | ( - 1 + 4) ,(7 - 2) | ( - 1 - 4) , (1 - 4) 8 (3 + 4) , (1 - 2) | (3 - 4) , (4 - 2) | ( - 4 - 4) .于是 ,乙计算错误.6. C.设选择的两个质数为 x 、y ,所得到的数为 T ,则T = xy - ( x + y ) . 于 是 ,T + 1 = xy - x - y + 1 = ( x - 1) ( y - 1) .因为 x 、y 均为大于 4 的质数 , 则 x 、y 均为奇数 , ( x - 1) 、( y - 1) 均为偶数. 所以 ,4| ( T + 1) . 然而 ,4822 ,4861 ,4| 120 ,4| 232 ,又 ( - ∞,2) .8. 2.设 △ABC 的内切圆半径为 r . 因为 a cos A =b cos B ,根据正弦定理 ,得 b sin A = a sin B . 所以 ,sin 2 A = sin 2 B .因为 A ≠B ,则 A + B = 90°. 所以 , △ABC 是直角三角形 , ∠C = 90°, a 2 + b 2 = c 2 .又因为 c = 10 ,且 a 、b 、c 成等差数列 ,所以 ,a = 6 ,b = 8 , (8 - r ) + (6 - r ) = 10.解得 r = 2.9. 7 .2由已知得 y = f ( x ) 的反函数为 f - 1 ( x ) = x + 3. 所以 ,f - 1 ( x + 1) =x + 4.x - 1又 g ( x ) 为 f - 1 ( x + 1) 的反函数 ,求 g (3) 的值 , 即解方程 3 =x + 4 ,于是 , g (3) = 7. 10. m ≤3.由 A ∩B = B ,可知 B 是 A 的子集. 当 B = Ø时 , m + 1 > 2 m - 1 ,得 m < 2 ; 当 B ≠Ø时 ,有- 2 ≤m + 1 , 2 m - 1 ≤5 , m + 1 ≤2 m - 1.解得 2 ≤m ≤3. 所以 m ≤3.11. (11 ,10) .由对称性可得 B ( n , m ) 、C ( - n , m ) 、D ( - n ,- m ) 、 E ( n , - m ) .五边形 ABCDE 的面积为S 五边形ABCDE = 2 m ×2 n +1×2 m ×( m - n ) = m ( m + 3 n ) = 41 m ,故 41 m = 451. 所以 , m = 11 , n = 10.2 2 因此概率等于π221 12 2 2 2 2θ 2 2 1 θ 因此 ,点 A 的坐标为(11 ,10) .12. 668.设等差数列的首项和公差分别为 a 和 d ,项数 为 n , 则 na + 1 n ( n - 1) d = 2 004 , 即a 2b 2 ( a 2 + b 2)= ( a 4 + b 4 ) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 ( s in 4θ+ cos 4θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )= ( a 4 + b 4) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 (1 - 2sin 2θ·cos 2θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )[ 2 a + ( n - 1) d ] n = 2 004 ×2 = 23×3 ×167.≠= ( a 2 - b 2 ) 2 sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 24 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )由于 n 为奇数 , d 0 ,= ( a 2- b 2 ) 2 sin 2 2θ+ 4 a 2 b 2当 n = 501 时 , a + 250 d = 4 ,不合题意 ; 当 n = 167 时 , a + 83 d = 12 ,不合题意 ; 当 n = 3 时 , a + d = 4 ×167 = 668. 4 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) 2.当且仅当θ= kππ( k ∈Z ) 时等号成立. 所以 , a 2 = 668.三、13. 设 t = cos x ,则原不等式化为 t 2 - 2 at + a 2 + 2 a - 3 > 0 , t ∈[ - 1 ,1 ] .±4因此 ,线段 AB 长的最小值为2 aba 2 +b 2a 2 +b 2.于是 ,所求问题转化为函数 f ( t ) = t 2 - 2 at + a 2 +2 a -3 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值是正数.15. (1) g ( x ) =0 ,x ≤- 2 或 x ≥1 ,- x 2 - x + 2 , - 2 < x < 1.因为函数 f ( t ) = ( t - a ) 2+ 2 a - 3 ,所以 ,只须对该函数的图像(抛物线) 的对称轴 t = a 相对于区间[ - 1 ,1 ]的 3 种位置分别讨论.(1) 当 a ≤- 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是增函数 ,此时最小值为 f ( - 1) . 所以 ,a ≤- 1 ,f ( - 1) = a 2 + 4 a - 2 > 0.解 得 a < - 2 - 6 .(2) 当 - 1 < a < 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值为 f ( a ) . 所以 ,- 1 < a < 1 , f ( a ) = 2 a - 3 > 0.此时 , a 的值不存在.(3) 当 a ≥1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是减函数 ,此时最小值为 f (1) . 所以 ,a ≥1 ,f (1) = a 2 - 2 > 0.解得 a > 2 .因此 ,满足条件的 a 的取值范围为 a < - 2 - 或 a > 2 .14. 根 据 题 意 不 妨 设 A ( r 1 cos θ, r 1 sin θ) , π(2) 由题设条件 , a > 0 时 ,直线 y = ax + b 与曲线 y = g ( x ) 交于三个不同的点 ,只须直线与曲线在- 2 < x < 1 的范围内有两个交点. 由方程组y = ax + b ,y = - x 2 - x + 2 ( - 2 < x < 1) ,消去 y ,得x 2 + ( a + 1) x + b - 2 = 0.于是 ,只须二次函数 φ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + b- 2 的图像在 - 2 < x < 1 的范围内与 x 轴有两个交点. 此时 , a 、b 应同时满足以下条件 :Δ = ( a + 1) 2 - 4 ( b - 2) > 0 ,- 2 < - a + 1 < 1 , 2φ( - 2) > 0 , φ(1) > 0 ,b <1( a + 1) 2 + 2 , 4即 - 3 < a < 3 , b > 2 a , b > - a .又已知 a > 0 , 所 以 , 2 a < b <1 ( a + 1)2 + 2 ,且 0B r 2 cos θ+2 , r 2 sin θ+,则4B ( - r sin θ, r cos θ) , A B 2 = r 2 + r 2 , < a < 3 即为所求. 2 r 2 cos 2θ a2 + r 2 sin 2θ a 2 + 2r 2 sin 2θ b 2 r 2 cos 2θ b 2= 1 , r 2 == 1 , r 2= 1 2a 2b 2b 2 cos 2θ+ a 2 sin 2θ, a 2 b 2 b sin + a cos . 以 a 、b 为坐标 的点 ( a , b ) 所在的区域为图 1 中阴影 图 1部分(不含边界) .2 2a 2b 2 ( a 2 + b 2) (李果民 提供)6 ≥故r1 + r2 =( b2cos2θ+ a2sin2θ) ( b2s in2θ+ a2cos2θ)。
