二次函数的图像与性质

2-4二次函数的图像与性质

基 础 巩 固

一、选择题

1．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≤2或a ≥3

B ．2≤a ≤3

C ．a ≤－3或a ≥－2

D ．－3≤a ≤－2

[答案] A

[解析] 由于二次函数的开口向上，对称轴为x ＝a ，若使其在区间(2,3)上是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3.

2．(文)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)

D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 [答案] C

[解析] 因为f (x )满足f (4)＝f (1)，所以二次函数对称轴为x ＝4＋12＝52，又3－52＝52－2，即x ＝3与x ＝2离对称轴的距离相等，所以f (3)＝f (2)．

(理)若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )<0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．与m 有关 [答案] B

[解析] ∵f (x )＝x 2

－x ＋a 的对称轴为x ＝1

2，

而－m ，m ＋1关于1

2对称， ∴f (m ＋1)＝f (－m )<0，故选B.

3．(2012·长沙调研)已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1

A ．f (x 1)＝f (x 2)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)

D ．与a 的值有关

[答案] C

[解析] 根据函数的图像开口向下，对称轴为x ＝1

4，又依题意得x 1<0，x 2>0，且x 1与x 2关于y 轴对称，则x 1到x ＝1

4的距离大于x 2到x ＝14的距离，即14－x 1>x 2－1

4，故f (x 1)

4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )

[答案] D

[解析] 若a <0，则只能是A 或B 选项，A 中－b

2a <0，∴b <0，

从而c >0，与A 图不符；B 中－b

2a >0，∴b >0，∴c <0，与B 图不符．若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，当b >0时，有c >0与C 、D 图不符，当b <0时，有c <0，此时－b

2a >0，f (0)＝c <0，故选D.

5．(文)“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] ①∵a <0，ax 2

＋1＝0，∴x 2

＝－1

a >0，

∴ax 2＋1＝0有一个负根，∴充分性成立．

②若ax 2

＋1＝0有一个负根，那么x 2

＝－1

a >0，可得a <0，∴必要

性成立．

(理)一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )

[答案] C

[解析] 选项A 中，一次函数的斜率a >0，而二次函数的开口向下，相矛盾，排除A ，同理排除D.

y ＝ax 2

＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b 2a ，当a >0，b >0时，x ＝－b

2a <0，

∴排除B.当a <0，b <0时，x ＝－b

2a <0，∴C 符合．

6．(2012·合肥质检)若f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )

A ．(－12，14)

B ．(－14，1

2) C ．(14，12) D ．[14，12]

[答案] C

[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧

f (－1)·

f (0)<0，f (1)·

f (2)<0，

解得14

7．(2012·上海文，6)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________． [答案] log 23

[解析] 本题考查了指数方程的解法，4x －2x ＋1－3＝0.

(2x )2－2×2x －3＝0，令t ＝2x ，则t 2－2t －3＝0，解得t ＝3或t ＝－1(舍去)，则2x ＝3，所以x ＝log 23.

8．(文)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________.

[答案] 6

[解析] 二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为x ＝1，即－a ＋2

2＝1，所以a ＝－4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x ＝1也是对称的，所以a ＋b

2＝1，∴b ＝6.

(理)(2012·厦门质检)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．