同济大学概率论与数理统计练习

课号：122011 课名：概率论与数理统计 考试考查：考查年级 专业 学号 姓名 任课教师 备用数据：975.0)96.1(,95.0)645.1(=Φ=Φ.()8413.01=Φ，()9772.02=Φ，.488.27)15(,262.6)15(,1315.2)15(,8413.0)1(2975.02025.0975.0====Φχχt.54.17)8(,18.2)8(,306.2)8(,95.0)645.1(,236.9)5(2975.02025.0975.0290.0====Φ=χχχt.8944.0)25.1(=Φ220.950.050.95(8) 1.8595,(8) 2.733,(8)15.507t χχ===220.9750.0250.975(8) 2.306,(8) 2.1797,(8)17.5345,(0.6)0.7257t χχ===Φ=7531.1)15(,95.0)645.1(,8944.0)25.1(95.0==Φ=Φt一、填空题(18分)1, 设821,,,X X X 是取自正态总体),1(2σN 的简单随机样本，X 是其样本 均值；4321,,,Y Y Y Y 是取自正态总体),2(2σN 的简单随机样本，Y 是其样本均值，假设样本821,,,X X X ，4321,,,Y Y Y Y 相互独立，则当非零常数c = 时，统计量X Y c 服从自由度为 的t 分布.2, 设654321,,,,,X X X X X X 是取自正态总体),1(2σN 的简单随机样本，S X ,分别为样本均值和样本标准差，则()=>1X P ，()=<<228472.1,1σS X P . 3, 设521,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本，则当非零常数c = 时，统计量()25242321X X X X X c+++服从自由度为 的F 分布.4, 设12,,n X X X 是取自正态总体()2,σμN 的简单随机样本,()∑−=+−=1121n i i i X Xc T 是2σ的无偏估计,则常数c 的值为 ( )A. n 1 ;B. n 21 ;C. 11−n ; D. )1(21−n .5, 设521,,,X X X 是取自正态总体()2,0σN 的简单随机样本,()()2542321X X X X X cT +++=,其中c 为非零常数,则当=c 时,T 服从自由度为 的 分布.6, 设821821,,,,,,,Y Y Y X X X 是取自正态总体)1,(μN 的简单随机样本，811,8i i X X ==∑8118i i Y Y ==∑，则()=X D ，()=−Y X D ，()=>−5.0Y X P .7, 设521,,,X X X 是取自正态总体),0(2σN 的简单随机样本，则当非零常数c = 时，统计量 ()25242321XX X X X c+++服从自由度为 的t 分布.8, 设随机变量4321321,,,,,,Y Y Y Y X X X 相互独立且服从相同的分布，()21,0σN X 服从正态分布,记∑==4141i i Y Y , 统计量∑∑==−=412312)(i ii iY Y XcT , 其中c 为非零常数,则当=c 时,T 服从自由度为 的 分布.二、 简答题1、 设某商务网站一天内被访问的次数X 服从参数为λ的泊松分布，有人根据近三年该网站的日被访问次数的数据推算出610)(=X E .根据该网站和广告商的协议,该网站每被访问一次网站获利0.10元.假设该网站各天被访问的次数相互独立且服从相同的分布.问:以95%的概率测算该网站在未来的100天里至少可以获利多少元? (要求用中心极限定理解题) .2、 设某厂生产药品的对于治疗某种疾病的治愈率为0.8.现在临床上让患有这种疾病的100个病人服用这个厂生产的这种药品.求在这100个病人中至少有75人治愈的概率的近似值. (要求用中心极限定理解题) .3、 某检验员逐个地对产品进行检验，检验一个产品所需的时间X （单位：秒）是个随机变量，且31)20(,32)10(====X P X P .如果该检验员一天内有效的工作时间为6.7小时，试求该检验员在一天有效工作时间内能检验的产品数量不少于1800个的概率的近似值.（要求用中心极限定理解题）4、 某保险公司开办的一个险种有100万人投保，每人每年支付120元保险费，在一年内投保人意外死亡的概率为0.0006，投保人意外死亡时保险受益人可以向保险公司要求赔付10万元。

同济大学20XX 年秋季学期《概率统计》期中试卷 卷面总分：100分 答题时间：120分钟 专业 1 姓名 学号一 选择题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）1.对于任意两事件A 与B ，若B B A =⋃，则（ ）A B a ⊂)( A B b ⊃)( φ=B A c )( 1)|()(=A B P d 2.设随机变量),0(~2σN X ,则( ))()22()(σσσσ<<-<<<-X P X P a )()22()(σσσσ<<-><<-X P X P b )()22()(σσσσ<<-=<<-X P X P c中哪个大和无法确定)()22()(σσσσ<<-<<-X P X P d 3.设X 和Y 相互独立,且)1,0(~N X ,)4,1(~N Y ,则有( )21)0()(=≤+Y X P a 21)1()(=≤+Y X P b 21)0()(=≤-Y X P c 21)1()(=≤-Y X P b4.下列关于数字特征的运算律,正确的是( ) )()()()(Y E X E XY E a = )()()(X aD aX D b = )()()()(Y D X D Y X D c ±=± )()()()(Y E X E Y X E c ±=±二 填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）1.设在一次试验中，事件A 出现的概率为3.0，则在三次独立试验中,事件A 至少出现1次的概率为 ；2.已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)|(=A B P ,则)(B A P ⋃= ；3.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则)1(>X P = ；4.设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式，有≤≥-)2|)((|X E X P ；三 解答题（本大题共7小题，共84分）1.(10分)设有两个实数,满足条件10<<X ，10<<Y ，求31>XY 的概率。

2.2 试确定常数c ,使得下列函数成为概率函数:(1)(),1,...,P X k ck k n ===;(2)()P X k ==/!,k c k λ1,k = 2,...,∞,其中0λ>.2.3 把一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体.从这些小立方体中随机地取一个,它有X 个面涂有红色,试求X 的概率函数.2.4 已知随机变量X 的概率函数如下.试求一元二次方程232(1)0t Xt X +++=有实数根的概率.2.6 设随机变量(,)X B n p :,已知(1)(1)P X P X n ===-.试求p 与(2)P X =的值.2.9 已知某商店每周销售的电视机台数X 服从参数为6的泊松分布.试问,周初至少应进货多少才能保证该周不脱销的概率不小于0.99.假定上周没有库存,且本周不再进货.2.10 某地有3000个人参加了人寿保险,每人交纳保险金10元,一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元,假定该地一年内人口死亡率为0.1％,且死亡是相互独立的.试求保险公司一年内赢利不少于1万元的概率.2.13 某台仪器由三只不太可靠的元件组成,第i 个元件出故障的概率1,1,(2)i p i i ==+2,3.假定各元件是否出故障是相互独立的.设X 表示该仪器中出故障的元件数.试求X 的概率函数.2.14 把一颗骰子独立地上抛两次,设X 表示第一次出现的点数,Y 表示两次出现点数的最大值.试求:(1)X 与Y 的联合概率函数;(2)()P X Y =与22(10)P X Y +<;(3)X ,Y 的边缘概率函数；(4)已知事件{4}Y =发生时X 的条件概率函数；(5)已知事件{4}X =发生时Y 的条件概率函数.2.15 两名水平相当的棋手奕棋三盘．设X 表示某名棋手获胜的盘数,Y 表示他输赢盘数之差的绝对值.假定没有和棋,且每盘结果是相互独立的.试求(1)X 与Y 的联合概率函数;(2)X ,Y 的边缘概率函数.2.16 一个箱子中装有100件同类产品,其中一、二、三等品分别有70,20,10件．现从中随机地抽取一件.试求1X 与2X 的联合概率函数.其中1,0,i X ⎧=⎨⎩如果抽到如果抽到非i i 等品等品,i =1,2,3.2.18 已知随机变量X ,Y 的联合概率函数如下.当α,β取何值时X 与Y 相互独立?2.19 已知随机变量X ,Y 的概率函数如下.已知(0)1P XY ==.(1)试求X 与Y 的联合概率函数；(2)X 与Y 是否相互独立?为什么?2.24 已知随机变量X 服从集合{2,1,0,1,2}--上的均匀分布.试求2Y X =与Z X =的概率函数.2.26 已知X 与Y 的联合概率函数如下.（1）分别求max{,}U X Y =,min{,}V X Y =的概率函数；（2）试求U 与V 的联合概率函数.2.27 设随机变量X 与Y 独立向分布,它们都服从0-1分布(1,)B p ．记随机变量Z 如下(1)试求Z 的概率函数;(2)试求X 与Z 的联合概率函数;(3)当p 取何值时,X 与Z 相互独立？1,0,Z ⎧=⎨⎩如果如果X Y X Y ++为零或偶数;为奇数.。

《概率论与数理统计》期末试卷（基础卷）一．填空题（本题满分22分，每空2分）1、设A ,B 是两个相互独立的事件,()=0.4P A B ⋃,()0.2P A =, 则()P B = ,()P A B -= ,()P A B = .2、设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 .3、设X 服从区间)4,1(-上的均匀分布，则(2)P X <= ，Y 表示对X 作3次独立重复观测中事件}2|{|<X 出现的次数，试求)1(=Y P = .4、设()1234,,,X X X X 是取自总体X 的一个样本,(0,2)X N ,样本均值为X ，样本方差为2S ,则()E X = ,()D X = , 2()E S = .二.（本题8分）有甲、乙、丙三个箱子，甲箱中有四个白球和两个黑球，乙箱中有三个黑球和三个白球，丙盒中有两个白球和四个黑球，现随机的选一个箱子，再从箱子中任取两球。

求（1）取出两个白球的概率；（2）当取出的两个球为白球时，此球来自甲箱的概率.三.（本题12分）设随机变量X 的分布函数为22,0()0,0x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩. 其中,A B 为常数. (1)求常数,A B ; (2)求X 的概率密度函数；(3)求概率(12)P X <<; (4)求2(),(),()E X E X D X .四.（本题12分）设随机变量,X Y 相互独立，(,)X Y 的联合分布律为求常数,,a b c 的值。

五.（本题12分）若),(Y X 的联合密度函数为221,1(,)0,x y f x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他(1) 分别求Y X ,边缘密度函数；(2) 求 Y X ,的数学期望()E X 和()E Y ；(3)求11(,)44P X Y ≤≤.六.（本题8分）假设总体X 服从正态分布(,500)N μ，总体Y 服从正态分布(,625)N μ，现从这两个总体中各独立抽取了样本容量为5的样本1515,,,,,X X Y Y ，即合样本1515,,,,,X X Y Y 相互独立.(1)求随机变量Y X -的概率密度函数,其中Y X ,分别为两个正态总体的样本均值；(2)求概率()30≤-Y X P .七.（本题6分）假设一个复杂系统由400个相互独立工作的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,试用中心极限定理求该系统中至少有348个部件正常工作的概率.八.（本题8分）设()12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为()1,01,(0)0,x x f x θθθ-⎧<<=>⎨⎩其余未知.试求： (1)θ的矩估计1;θ (2) θ的极大似然估计2θ.九.（本题12分）假定婴儿的体重X 服从正态分布()22,,,N μσμσ未知,现从医院随机抽查了4个婴儿,得到他们的体重数据（单位：kg ）：3.1, 3.9, 3.2, 3 .（1）由数据计算样本均值x ,样本方差2s ;（2）求μ的双侧99%置信区间;（3）求2σ的双侧99%置信区间;（()220.9950.9950.0053 5.84,(3)12.83,(3)0.07t χχ===）.《概率论与数理统计》期末试卷（综合卷）一．填空题（本题满分22分，每空2分）1、已知()0.3,()0.4,()0.32,P A P B P A B ===则()P A B ⋃=___ __，()P AB = ，()P A B ⋃= .2、设随机变量X 的概率函数为1(1)(1)(2)3P X P X P X =-=====,记{}1.5A X =≤，Y 表示在三次重复独立试验中事件A 发生的次数,则()P A = ，()2P Y == .3、 设随机变量X 的密度函数为,02()0,cx x f x <<⎧=⎨⎩其他，则常数c = ，()E X = .4、设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，()~,1i X N μ,221234()()Y a X X b X X =-+-,其中0ab ≠,则当常数a = ,b = 时，Y 服从自由度为 的 分布.二.（本题8分）一公司为联赛生产比赛用乒乓球.自动包装机把白色和黄色的乒乓球混装，每盒装12只,每盒装白球的个数X 服从离散型均匀分布（即X 取各可能值的概率相等）. 为检查某一盒子中装有白球的数量，从盒中任取一球.(1) 求从盒中取到的球为白球的概率；(2）如果发现从盒中取到的球是白球，求此盒全是白球的概率.三.（本题10分）设随机变量,X Y 相互独立且服从相同的分布，X 的密度函数为23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，记{}{}{}1,11A X B X Y =≤=≤⋂≤，求 ()P A 、()P A B -和()P A B ⋃.四.（本题8分）设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，11(0)0.6,(1)0.4P X P X ====.(1)求随机变量14Y X X =的分布律；(2)求行列式1234X X X X 的分布律.五.（本题12分）设离散型随机变量,X Y 均只取0,1这两个值.()()0,00.21,10.3P X Y P X Y ======，，且随机事件{}1=X 与{}1=+Y X 相互独立.(1) 求),(Y X 的联合概率函数；(2)分别求,X Y 的边缘概率函数；(3)求22Y X Z +=的概率函数和协方差),cov(Z X .六.（本题12分）设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为,01;(,)0,cy y x f x y <<<⎧=⎨⎩其余. 求 (1) 常数c ;(2) X ,Y 的边缘密度函数;（3）X 和Y 相互独立吗？为什么？（4）求概率()1P X Y +≥.七.（本题8分）某次考试共有100道4选1的选择题,某位同学由于平时学习不用功,他决定采用随机的方法选择每道题目的答案.用下列两种方法计算他最后考试及格的概率,（1）二项分布精确计算的方法（答案用概率函数表示）;（2）中心极限定理近似计算的方法（答案用数字表示）.八.（本题12分）设n X X X 21,是取自总体X 的一个样本,X 的密度函数为(1),01;()0,x x f x ββ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其余.其中β未知,1β>-. （1）求β的极大似然估计ˆβ;（2）设1=+1αβ-,求α的极大似然估计ˆα;（3）ˆα为α的无偏估计吗？请说明理由.九.（本题8分）设某厂生产的零件重量X (单位：克)服从正态分布2(,)N μσ，现从该厂生产的零件中抽取了9只零件,测得其重量(单位：克)为19,,x x ，并由此算出99211414,19044.32i i i i xx ====∑∑.试求μ和2σ的置信水平为0.95的双侧置信区间.。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

同济大学2020-2021学年金融系概率论与数理统计（二）试卷课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A、B为两事件，P（B）>0，若P（A|B）=1，则必有（）A．A B B．P(A)=P(B)C．P(A B)=P(A) D．P(AB)=P(A)2．设事件A，B互不相容，已知P（A）=0.4，P(B)=0.5，则P(A B)=（）A．0.1 B．0.4C．0.9 D．0.13．已知事件A，B相互独立，且P（A）>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（）A．P(A B)=P(A)+P(B) B．P(A B)=1－P（A）P（B）C．P(A B)=P(A)P(B) D．P(A B)=14．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（）A．0.002 B．0.04C．0.08 D．0.1045．已知随机变量X的分布函数为F(x)=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ，则P }{1X ==（ ）A ．61B ．21C ．32D ．16．已知X ，Y 的联合概率分布如题6表所示题6表F （x,y ）为其联合分布函数，则F （0，31）= ( )A ．0B ．121C ．61D ．417．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它0y ,0x e )y x (则P （X ≥Y ）=（ ）A ．41B ．21C ．32D ．438．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（ ）A ．－21B ．0C ．21D ．29．设X1，X2，……，Xn 是来自总体N （μ，σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式（ ）A ．P{}ε<μ-n X ≥22n εσ B ．P{}ε<μ-X ≥1－22n εσC ．P {}ε≥μ-X ≤1－22n εσ D ．P {}ε≥μ-n X ≤22n εσ10．设总体X~N （μ,σ2），σ2未知，X 为样本均值，Sn2=n 1∑=-n1i iXX()2，S2=1n 1-∑=-n1i iXX()2，检验假设Ho:μ=μ0时采用的统计量是（ ）A ．Z=n /X 0σμ-B ．T=n /S X n 0μ-C ．T=n /X 0σμ- D ．T=n /S X 0μ-二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。

第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] （A ）C A C B ； （B ）C AB ； （C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ] （A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) A B 一定为不可能事件 (D) A B 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A {抽到的三个产品全是合格品}2A {抽到的三个产品全是废品}（B ）1B {抽到的三个产品全是合格品} 2B {抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C {抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C {抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D {抽到的三个产品中有2个合格品} 2D {抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B 不等价的是[ C ]（A ）A AB （B ）()A B B（C ）A B（D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B 表示 [ C]（A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x Bx x ，则AB表示 [ A]（A ）{|01}xx （B ）{|01}x x（C ）{|12}x x（D ）{|0}{|1}x xx x 7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为[ A]（A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）CAB CB A BCA ；（D ）A BC .8、设随机事件,A B 满足()0P AB ，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件(B),A B 互不相容(C)AB 一定为不可能事件(D)AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB，则称A 与B互不相容或互斥。

同济大学概率论与数理统计 复习试卷1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是（ ）（A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； （B ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件。

2、 设一批产品中一、二、三等品各占60％、30%、10％，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ,在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 .3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足(),()P X a P X b αβ≤=≥=。

记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ） （A))(1βα+-=p ； (B))(1βα+-≥p ；（C ） )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p .4、 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4x x x f ,则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数为=)(y f Y .5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ）()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =；()()()0.D D X D Y =6、 设12,,nX X X 相互独立且服从相同的分布，∑====ni iX n X X D X E 1111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得()≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 .7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布，()1,0~1N X .()()2542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时，Y 服从自由度为 的F 分布。

概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案2习 题 一1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。

两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C种，b 球也可放入三个盒子的任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ⨯=种。

（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。

三粒种子发芽共有8121212=⨯⨯C C C种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数 1025==Cn 。

34则,AB AB各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？解： 设kA =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。

此随机试验E 的样本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A AA A A A =,A B S ∴=φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。

3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问,,,,A B C AB AC各表示什么事件？解： =A “三件都是正品”，=B “三件中至多有一件废品”，=C “三件中至少有一件废品”， ,AB A AC φ==.4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设1A 表示“第一次射击击中飞机”，2A 表示“第二次射击击中飞机”，试用21,A A 及它们的对立事件表示下列各事件:=B “两弹都击中飞机”； =C “两弹都没击中飞5机” =D “恰有一弹击中飞机”；=E “至少有一弹击中飞机”。

习 题 一1．下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。

两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ⨯=种。

（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。

三粒种子发芽共有8121212=⨯⨯C C C 种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。

（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。

解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。

（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。

解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。

a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。

b 球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有212=C 个。

c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。

三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=⨯⨯C C 种。

2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。

此随机试验E 的样本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =,A B S ∴=φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。

P （A ）（C ）=0（D ）P （AB ）=P （A ）P （B ）同济大学09学年第一学期 专业级《概率统计》期中试卷考试形式：（闭卷）题号（型）二四总分得分一、填空题（共30分，每空2分）： 1. 事件A,B,C 中至少有一个发生可表示为 表示为.（）2. ______________________________________________________ 设P （A ）=0.4，P（B）=0.3，P （AB ）=0.4，则P \AB ）=.3. 一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球.每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率 为，至少取3次才能取到黑球的概率为.x <—1Y 二2X +1，则EY 二二、选择题（共10分，每小题2分）1.设事件A,B 互不相容，且P （A ）>0,P （B ）>0，则有（，三个事件都发生可表示为，都不发生可4.设随机变量X的分布函数F 0=<0.4 0.8—1<x <1，则X 的分布列为5.进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数,分布，其数学期望为，方差为.若每次射击命中目标的概率都是0.4，则X 服从6． 设连续型随机变量X 〜e6）,（九〉0），则k = 时，P （X >2k }=47． 8.已知随机变量X 〜P （2）,则Y =2X —10的数学期望EY =，方差DY =/）「0.25—2<x <2已知随机变量X 的概率密度函数为f 6）=<则X 服从_I 0x <—2,x >2 .分布，设随机变量A ）B ）2.设F (x )与F (x )分别为任意两个随机变量的分布函数，令F (x )=aF (x )+bF (x )，则下列各组数中能1212使FG 丿成为某随机变量的分布函数的有(31(C )a=,b=-22设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，且f (-x )=f (x ),F (x )是X 的分布函数，则对任意实数a,)三、计算题(共50分，每小题10分)1．城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率。

总复习4备用数据：(1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ=,220.9750.0250.975(8) 2.3060,(8) 2.1797,(8)17.5345t χχ===。

一. 填空题(共20分)1.(6分) 设()0.4,()0.3,()0.5P A P B P A B ==⋃=，则()P AB = ,()P A B -= , ()P A B = .2.(6分) 设随机变量X 的密度函数为 ,02()0,cx x f x <<⎧=⎨⎩其他，则常数c = ，()E X = ，X 的中位数为 .3.(4分) 设随机变量X 的概率函数为1(1)(1)(2)3P X P X P X =-=====,记{}1.5A X =≤，Y 表示在三次重复独立试验中事件A 发生的次数,则()P A = ，()2P Y == 。

4. (4分)设随机变量1234,,,X X X X 相互独立且服从相同的分布，()~,1i X N μ, 221234()()Y a X X b X X =-+-,其中0ab ≠,则当常数a = ,b = 时，Y 服从自由度为 的 分布。

二．（10分）设随机变量,X Y 相互独立且服从相同的分布，X 的密度函数为23,02()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他， 记{}{}{}1,11A X B X Y =≤=≤⋂≤，求 ()P A 、()P A B -和()P A B ⋃.三．(16分) 设随机变量12,X X 相互独立且服从相同的分布,12(),1,2,3k P X k k ===.记随机变量 12Z X X =+.（1）求 1(,)X Z 的联合概率函数； （2）求Z 的概率函数；（3）问：1,X Z 是否相互独立？请说明理由；（4）求1(),()E X E Z 。

四．（16分）设随机变量(,)X Y 服从区域 2(,):2x G x y y x y ⎧⎫=≥≥⎨⎬⎩⎭且上的均匀分布. (1) 求(,)X Y 的联合密度函数; (2）分别求,X Y 的边缘密度函数;（3）问：,X Y 是否相互独立？请说明理由； （4）求 (1,1)P X Y ≤≤.五．(10分). 假设一个复杂系统由400个相互独立工作的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,试用中心极限定理求该系统中至少有348个部件正常工作的概率..六．(12分) 设某厂生产的零件重量X （单位：克）服从正态分布2(,)N μσ，现从该厂生产的零件中抽取了9只零件,测得其重量（单位：克）为19,,x x ，并由此算出99211414,19044.32i i i i xx ====∑∑.分别求μ和2σ的置信水平0.95的双侧置信区间.七.(16分)设12,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，2n ≥，X 的密度函数为221(ln ),0()20,x x f x μσ⎧⎫-->⎨⎬=⎩⎭⎩其他 ，其中 2,μσ 未知。

2011-2012第二学期概率练习答案第一章练习一一、填空：1、b 表示不中，z 表示中（1） zzz,zzb,zbz,bzz,zbb,bzb,bbz,bbb （2）0,1,2,3,4,5 （3）z,bz,bbz,bbbz,bbbbz. …2、（1）√（2）×（3）√（4）×（5）√3、略4、（1）∅（2）]2,5.1[)1,5.0()25.0,0[⋃⋃（3）B5. （1）不相容A 与D ，B 与D ，C 与D ，A 与C; 对立事件B 与D;A 包含于B,C 包含于B （2）121二、解答题：1、（1）6664033552513=C C (2) 10829015522434=C C C(3) 2598960624552148113=C C C (4) 259896010982404552331224113=C C C C 2、（1）12524523454=⨯⨯⨯（2）62596544224=C 第一章练习二一、1-5 1、 ( A ) 2、(A ) 3、（1）√（2）×（3）√（4）√（5）√,二、1、0.4， 2、0.2,0.2 3、2/3 4、0.82 三、1、（1）0.4 （2）0.2 2、(1) 9/2)/(12=A A P ; (2) 10/39/2)()|()(11221⨯==A P A A P A A P ;(3) 10/39/28/7)()|()(21213321⨯⨯==A A P A A A P A A A P 3、设M 表示数学挂科，E 表示英语挂科，（1）25.02.005.0)()()/(===M P ME P M E P ,(2) 3/115.005.0)()()/(===E P ME P E M P (3) 3.005.015.02.0)()()()(=-+=-+=⋃EM P M P E P E M P第一章练习三一、1、132、0.22*0.833、3225)1(p p C -4、0.684二、（1）√（2）×（3）×（4）√三、1.设i A 表示第i 次抽到的是坏灯泡)2,1(=i由全概率公式可知4.05/34/25/24/1)()|()()|()(1121122=⨯+⨯=+=A P A A P A P A A P A P2.设321,,A A A 分别表示乘火车，轮船，飞机，事件B 表示某人迟到.9/418.008.0)()()|()|(18.04.004.02.02.05.0)()|()()|()()|()(222332211====⨯+⨯+⨯=++=B P A P A B P B A P A P A B P A P A B P A P A B P B P3.(1)1/6 (2)1/44. 82210911010)43()41()43)(41()43(1C C ---第一章练习四（小结）一、1、 ( C ) 2、( B ) 3、 (A) 4、 （A ）5、（B ）二、1、0.6 2、（1-p ）(1-q ) 3、0.243 4、0.7，0； 0.58，0.12；5、31三、1、64/117 2、a/a+b 3、2ln 2/14/3)411(141-=-⎰dx x4.(1)n nnk k N --第二章练习一 一、 1、01230.0010.0270.2430.729X P 2、)2,1,0(!}{ ===-k k e k X P k λλ3、1{}(1),1,2k P X k p p k -==-= 4、4/5,1/5 二、1、23456789101112123456543213636363636363636363636X P2、（1）22325334333366661342X C C C C PC C C C 即234133111020202XP3、（1）123477711030120120XP（2）137{}()(),1,21010k P X k k -==⨯=4、因!22λλλλ--=e e，得2=λ， 所以22432!42}4{--===e e X P 5、因95)1(1}0{1}1{2=--==-=≥p X P X P ，所以31=p 故2719)1(1}0{1}1{3=--==-=≥p Y P Y P 第二章练习二一、1、C ，2、B ，3、D二、1、1()F a -，()()F b F a -，0 2、81 ，1653、1120.30.30.4YP - 4、14，43 三、1、（1）因1)41(422=-+⎰⎰dx xkxdx ，得41=k（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+<≤<==⎰⎰⎰∞-4142)41(420800)()(2202x x dx x dx x x x x dx x f x F x x（3）32272.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=212065013110)(x x x x x F 3、⎩⎨⎧<≥=-000)(x x xe x f x.第二章练习三答案一、1、A ，2、C ，3、D ，4、D 二、1、014911711530530Y P2、1()a μσ--Φ，1)()(-+Φ+-Φσμσμa a ，)()(2σμσμ+Φ--Φ-a a3、0.34134、)()(aby F y F X Y -=； 三、1、1)2(2-Φ，2、（1）41--e ,⎩⎨⎧-<-≥=--101)(1y y e y f y Y3.（1）⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他016441)(y y y f Y （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他04ln 2ln 21)(z e z f zZ4. ，且＝由21+ηξξ～），（10N ，故η～），（－41N 第二章练习四答案一、1、D ，2、C ，3、D ，4、C 5、A 二、1、1， 2、21)0(1=Φ-， 3、0.5， 4三、1、(1)因1}{1==∑+∞=k k X P ,所以可得C =1(2)43431321211}3{=⨯+⨯+⨯=≤X P , ))1(1)1(1)1(1}{2112221121+-+=+⨯++⨯+=≤≤n n n n n n n n n X n P2、 104/1)(4/3≤<=-y yy f Y3、（1）因1}{1==∑+∞=k k X P ,所以可得101=a ， （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=4,143,6.032,3.0211.01,0)(x x x x x x F ， （3）04、因222{24}{0}()(0)0.3X P X P σσσ-<<=<<=Φ-Φ=，故222{0}{}()0.2X P X P σσσ-<=<-=Φ-=.5、47,23=-=b a 6、（1）A=1，B=1- （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00)(22x x xex f x（3）212}21{--+-=<<ee X P第三章练习一答案二、1、 Y X 0 10 212210P P 21212110P C C 1 21212110P C C 21222P P 即 Y X 0 10 2215 3351 3356612、⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ),(0),(6),(3.(1)k=1/4 (2) ⎩⎨⎧≤≤+==⎰∞+∞-其它02014/1),()(x x dy y x f x f X(3)19/244.因⎩⎨⎧∉∈=Gy x Gy x y x f ),(0),(1),(，所以有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰-∞+∞-其它01021),()(x x dy dy y x f x f x xX ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其它010110111),()(11y y dx y y dx dx y x f y f yy Y第三章练习二答案一、1、0.34，2、55,2128，3、⎩⎨⎧≥≥=+-其它00,0),()(y x e y x f y x 二、1、因为对所有的i,j ，都有}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====2、(1)因⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--=其它0,))((),(1d y c b x a c d a b y x f得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0,)()(1b x a a b x f X ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它0)()(1dy c c d y f Y ，所以对任意的实数x,y ，都有)()(),(y f x f y x f Y X =成立，故x 与y 是独立的。

概率论与数理统计_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在正态总体中，样本均值是总体均值的极大似然估计量。

答案:正确2.样本方差是总体方差的矩估计。

答案:错误3.样本均值是总体均值的矩估计。

答案:正确4.设X是一个随机变量，称X的概率分布为总体分布。

答案:正确5.【图片】（结果保留三位小数）答案:0.1906.在问题1中，自由度是。

答案:17.X~Poisson(3), Y~Poisson(2), X与Y相互独立 , 则X+Y服从的分布为：答案:Poisson(5)8.（1）设两个离散型随机变量【图片】独立同分布，都仅取-1和1两个取值，且【图片】,则下列成立的是：答案:9.【图片】是某一连续型随机变量的概率密度函数的充要条件是【图片】.答案:错误10.从5双不同的鞋子当中任意取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的概率是________.(结果请用保留三位小数表示)答案:0.61911.若连续型随机变量的概率密度函数连续，则【图片】.答案:正确12.设【图片】的联合概率函数为【图片】,则概率值【图片】=___________.答案:113.【图片】当【图片】=______时，【图片】与【图片】相互独立？（结果请用小数表示）答案:0.514.两名水平相当的棋手弈棋三盘，设【图片】表示某名棋手获胜的盘数，【图片】表示他输赢盘数之差的绝对值.假定没有和棋，且每盘结果是相互独立的.则【图片】与【图片】的联合概率函数为：【图片】答案:正确15.某地有3000个人参加了人寿保险,每人交纳保险金10元,一年内死亡时家属可以从保险公司领取2000元,假定该地一年内人口死亡率为0.1％,且死亡是相互独立的.则保险公司一年内赢利不少于1万元的概率为______.（结果请保留四位小数）答案:0.999716.已知某商店每周销售的电视机台数【图片】服从参数为6的泊松分布.那么周初至少应该进货_____台，才能保证该周不脱销的概率不小于0.99.假定上周没有库存，且本周不再进货.答案:1217.某系统由4个电子元件构成,各个元件是否正常工作是相互独立的,该种产品的使用寿命达到1000小时以上的概率为0.3,求4个电子元件在使用了1000小时以后最多只有一个损坏的概率为__________.(结果请保留四位小数) 答案:0.083718.某人投篮命中率为40%，假定各次投篮是否命中相互独立.设【图片】表示他首次投中时累计已投篮的次数，则【图片】取值为奇数的概率是_______.(结果请用小数表示)答案:0.62519.【图片】（结果请用小数表示）答案:0.420.把一个表面涂有红色的立方体等分成1000个小立方体，从这些小立方体中随机抽取一个，它有【图片】个面涂有红色，那么【图片】的值为__________.(结果请保留三位小数)答案:0.10421.已知某个国家在飞行中失联的轻型飞机中有80%会被找到.在这些被找到的飞机中有60%的装有紧急定位仪,而没有找到的飞机中有90%未装紧急定位仪.假定,该国现有一架轻型飞机失联了,若它未装紧急定位仪,那么它会被找到的概率是_______.(结果请用小数表示)0.6422.某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4、1/3、5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2、1/4、1/5,从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,则此人属于乙班的概率为________.（结果请保留三位小数）答案:0.28623.5名篮球运动员独立地投篮,每个运动员投篮的命中率都是80％.他们各投一次,那么至少有4次命中的概率是__________.（结果请保留两位小数）答案:0.7424.（1）矩估计原理在于大数定理.答案:正确25.在置信水平相同的情况下，样本量越多，区间长度越窄.答案:正确26.矩估计利用样本矩替代总体矩，可以利用二阶矩甚至阶矩计算总体的未知参数.正确27.极大似然估计必须知道总体的概率函数或密度函数.答案:正确28.某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,那么他发现全是不合格品的概率为____________.(结果请保留五位小数)答案:0.0000229.甲、乙两人各自独立作同种试验,已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6、0.8. 已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下,甲成功但乙未成功的概率是_________.（结果请保留两位小数）答案:0.1330.甲、乙两人各自独立作同种试验,已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6、0.8.那么两人中只有一人试验成功的概率是_________.（结果请用小数表示）答案:0.4431.设两个事件A和B互不相容，已知【图片】,则条件概率【图片】是_______.（结果请用小数表示）答案:0.2532.向平面区域【图片】内等可能的投点，则点落入直线【图片】与【图片】之间的概率为________(结果请保留两位小数).答案:0.4133.在长度为20分钟的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机，长信号持续时间为4分钟，短信号持续时间为2分钟.那么这两个信号互不干扰的概率为__________（结果请用小数表示）.答案:0.72534.在样本量相同的情况下，置信水平越高，区间长度越窄.答案:错误35.为了保证一定的置信水平，又要使得区间的长度不大于某一常数，只有增加样本的容量n，通过掌握更多的信息来实现．答案:正确36.极大似然估计法借助样本观测值，取使得样本观测值达到概率最大时的未知参数取值.答案:正确37.二阶样本中心距是总体方差的无偏估计量.答案:错误38.假设检验依据的原理是“小概率原理”，即发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的.答案:正确39.可以找到一个拒绝域，同时使得在降低第一类错误概率的同时也能降低第二类错误概率。