【期末专练】人教A版数学必修四2.4.1《平面向量数量积物理背景及其含义》表格教学设计

1．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )A ．0B ．2 2C ．4D ．8解析：选B.|2a －b |＝ (2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8＝2 2.2．已知|i |＝|j |＝1，i ⊥j ，且a ＝2i ＋3j ，b ＝k i －4j .若a ⊥b ，则k 的值是( )A ．6B ．－6C ．3D ．－3解析：选A.∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(2i ＋3j )·(k i －4j )＝2k －12＝0，∴k ＝6.3．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2 θ≠a 2·b 2，选C.4．已知向量a ，b 满足(a －b )·(2a ＋b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选B.(a －b )·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b －2b ·a －b 2＝2|a |2－|a ||b |cos θ－|b |2＝－4，∴cos θ＝－12. 5．(2013·石家庄质检)已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π 解析：选B.∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.6．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影为－2，则|a |＝________.解析：∵|a |·cos 120°＝－2，∴|a |·(－12)＝－2，∴|a |＝4.答案：47．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________.解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2－3a ·b ＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32. 答案：－328．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )，∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )，即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1.答案：19．如图，在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·BC →；(2)AB →·CD →；(3)AB →·DA →.解：(1)AD →·BC →＝|AD →|2＝9；(2)AB →·CD →＝－|AB →|2＝－16；(3)AB →·DA →＝|AB →||DA →|cos(180°－60°)＝4×3×(－12)＝－6. 10．已知|a |＝1，|b |＝2，(1)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |；(2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．解：(1)当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos θ＝1×2×cos 60°＝22. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2. ＝ 1＋2×22＋2＝ 3＋2； (2)∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝0a 2－a ·b ＝0，a ·b ＝a 2＝1，cos θ＝a ·b |a ||b |＝11×2＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 （检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．给出以下五个结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3. 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1 B.77 C ．－1 D.277 答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝a －2b a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D. 5．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k－12＝0，解得k ＝6.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16 答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝10米，F 与水平方向的夹角为60°，|F |＝5牛顿，物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________.答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7，|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°. 10．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ，b 的夹角为60°.(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2. ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0，∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.。

第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a ⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0． 思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a ＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b|a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ． 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a .若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.自测自评1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5，8)，则(a＋b)·b等于(C)A．－34 B．34C．55 D．－55解析：a＋b＝(－3，5)，∴(a＋b)·b＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C.2．已知a·b＝12，且||a＝3，||b＝5，则b在a方向上的投影为4．3．设i，j是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i－j)·(－3i＋2j)等于(A)A．－92 B.92C．－8 D．8解析：(2i－j)·(－3i＋2j)＝－6i2＋7i·j－2j2＝－6|i|2＋7|i||j|cos 60°－2|j|2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC→·CA →＝－20．基础提升1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R ，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 2 3．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若⎝⎛⎭⎫CA →＋CB →·⎝⎛⎭⎫CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC→·CB →＝0， 所以AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D.巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1， ∴⎩⎨⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，∴⎩⎨⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②；∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°， ∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1.∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角，∴⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b <0.又⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b ＝λa 2＋⎝⎛⎭⎫λ2＋1a ·b ＋λb 2， ∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，5－212∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋212，＋∞. 9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ⎝⎛⎭⎫π－C ＝－||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ⎝⎛⎭⎫π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ⎝⎛⎭⎫π－B ＝－||c ||a cos B . ∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD→|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ， ∴|CD→|＝|AD →|. ∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB→|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB→·DA →.解析：(1)因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD→·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB→|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos 120°＝4×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律． 3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。

课下能力提升(十九) [学业水平达标练]题组1 向量数量积的运算 1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立； (3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( )A.92B ．3 C ．2 D.12A.49B.43 C ．－43 D ．－49题组2 向量的模5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．126．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．7．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a||b|＝________．题组3 两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°9．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－310．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________．11．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值．[能力提升综合练]1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a 与b 的夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为( ) A.322B ．3C ．4D ．52．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A ．2 3 B.32 C.33D. 35．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 6．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 7．已知a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，求实数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？答 案[学业水平达标练]1. 解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2. 解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.3.4.5. 解析：选A 由已知得，a 2＋a ·b －2b 2＝－32，∴|a |2＋|a |×4×cos 2π3－2×42＝－32.解得|a |＝2或|a |＝0(舍)．6. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝（5a －b ）2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝7. 答案：77. 解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.故cos 120°＝（a ＋2b ）·（a －2b ）|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2（a 2＋4b 2）2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12，得a 2b 2＝43，即|a ||b |＝233.答案：2338. 解析：选C 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝0，所以a ·b ＝－12|b |2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12，故θ＝120°.9. 解析：选B 由c ⊥d 得c·d ＝0，即(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，所以2k ＋(3k －8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k ＝6.故选B.10. 解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )．∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )．即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案：111. 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1. 令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24，即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24. [能力提升综合练]1. 解析：选A 由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，而向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝3×22＝322. 2. 解析：选A ∵|a ＋b |＝10， ∴(a ＋b )2＝10， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.① ∵|a －b |＝6，∴(a －b )2＝6， 即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.②由①②可得a ·b ＝1，故选A. 3.4.解析：画出图形知△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°，＝0＋4×5×⎝⎛⎭⎫－45＋5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－25. 答案：－255. 解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：106. 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2， ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ. 则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32.∴θ＝30°.7. 解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b )＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋a ·b|b |22＋|a |2－（a ·b ）2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0，∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小．(2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a·b ＋⎝⎛⎭⎫－a·b|b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0， ∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .。

高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时作业基础巩固一、选择题1．若|a |＝4，|b |＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2 B ． 3 C ．2 3 D ．4[答案] C[解析] a 在b 方向上的投影为|aa ，b ＝4×cos30°＝23，故选C ．2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c [答案] B[解析] A 中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a |＝|b |，C 错；D 中，若a ·b ＝a ·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确，故选B ．3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12[答案] C[解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72， ∴a 2－a·b －6b 2＝－72.∴|a |2－|a ||b |c os60°－6|b |2＝－72. ∴|a |2－2|a |－24＝0. 又∵|a |≥0，∴|a |＝6.4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3[答案] D[解析] ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0. 又∵|a ＋b |＝2|a |，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4|a |2， ∴|b |2＝3|a |2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b a －b|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |24|a |2＝－2|a |24|a |2 ＝－12，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.5．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心[答案] D[解析] 由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ． 同理PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心． 6．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题：①a 、b 反向⇔a ·b ＝－|a ||b |；②若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ；③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2；④(a ·b )c －(c ·a )b ＝0.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] A[解析] ①由于a 与b 反向所以夹角为180°，因此a ·b ＝|a ||b |cos180°＝－|a ||b |，反应也成立，故①正确；②中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0，又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即②不正确；③中，左边＝9a 2－6a ·b ＋6b ·a －4b 2＝9|a |2－4|b |2＝右边，即③正确；④由于数量积是实数，因此(a ·b )c ，(c ·b )b 分别表示与c ，b 共线的向量，运算结果不为0，故④错误．二、填空题7．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．[答案] 54[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54.8．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] |2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b |2－4|b |cos45°＝10⇔|b |＝3 2. 三、解答题9．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60. (2)(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15b ＝35(a ·b )＝35×(－60)＝－36.(3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.10．已知向量a 与b 的夹角是120°，且|a |＝|b |＝4，求b ·(2a ＋b )的值． [解析] 由题意知，a ·b ＝|a ||b |cos120° ＝16×(－12)＝－8，则b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝－16＋16＝0.能力提升一、选择题1．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6[答案] B[解析] 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×45＝8.2．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[答案] A[解析] 由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a ·b ＝0，即a ·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223|b |，所以a ·b ＝3·(223|b |)2－2b 2＝23b 2，所以a ，b ＝a ·b |a |·|b|＝23b 2223b2＝22，所以a ，b ＝π4，故选A ．3．已知△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 [答案] C[解析] 由AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →， 得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0， ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →， 所以△ABC 是直角三角形，故选C ．4．如右图，O 、A 、B 是平面上的三点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6[答案] D[解析] 由图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋b ＋CP→·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12(42－22)＝6.二、填空题5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． [答案] －13[解析] 本题主要考查了向量运算及夹角分式运用． ∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ， ∴a ·b ＝－|b |2，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13.6．已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.[答案] 1227[解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2， 则a ·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28， 所以|2a －b |＝27. 三、解答题7．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， 即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0， ∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．8．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解析] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋－＝13.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为a a ＋b|a＋b|＝1013＝101313.。

2020年精品试题芳草香出品第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义A 级 基础巩固一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a·b 为 ( ) A.13 B.43C ．3D ．2 解析：由数量积的几何意义知所以a·b ＝23×3＝2. 答案：D2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6，两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 答案：A3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：|a －b |＝（a －b ）2＝ a 2＋b 2－2a·b ＝3，设向量a 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a －b ）|a ||a －b |＝22－12×3＝32， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π6. 答案：A4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：因为AB →＝DC →，即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0，即对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．答案：B5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a·b ＝6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2＝|a |2－2|a |－96＝－72，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6.答案：C二、填空题6．给出以下五个结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为________．解析：①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．若|a |＝，|b |＝1，a ·b ＝－9，则a 与b 的夹角是( )A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°【答案】B【解析】设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝1×cos θ＝－9⇒cos θ＝2-⇒θ＝150°．故选B 。

2．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b【答案】B【解析】|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，即2a ·b ＝－2a ·b ，所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ．3．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2【答案】A【解析】设向量a ·b 夹角为θ，则cos θ＝122||||363⋅=-=-⋅⨯a b a b ，则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝6×23⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－4． 4．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1B ．32C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵(a －m b )⊥a ，∴(a －m b )·a ＝0，∴a 2－m ·a ·b ＝0,9－m ×3×2×cos 60°＝0，∴m ＝3．5．在△ABC 中，若2AB ＝AB CD BA BC CA CB ⋅+⋅+⋅，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【解析】因为2AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ＝AB ·(AC －BC )＋CA ·CB ＝AB ·AB ＋CA ·CB ，所以CA ·CB ＝0，即CA ⊥CB ，所以三角形为直角三角形，选D ．二、填空题6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________．【答案】18【解析】设AC 与BD 交于O 点，设∠PAC ＝θ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2|AP ||AO |cos θ＝2|AP |2＝2×32＝18．7．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b ||b |＝________．【答案】【解析】由|2a －b |==，得|b |2－|b |－6＝0，解得|b |＝8．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】π3【解析】∵(a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴a 2＋a ·b －2b 2＝－6．∴1＋a ·b －2×4＝－6．∴a ·b ＝1．∴cos 〈a ，b 〉＝·11||||122==⨯a b a b ．∴〈a ，b 〉＝π3． 三、解答题9．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ≠±b ，求a ＋b 与a －b 的夹角．【答案】 π2【解析】易知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，又a ≠±b ，∴a ＋b 与a －b 的夹角为π2． 10．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时，(1)求t 的值(用a ，b 表示)；(2)求证：b 与a ＋t b 垂直．【答案】(1)2t ⋅=-a b b (2) 见解析 【解析】(1)解：|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝222222()t ⋅⋅⎛⎫++- ⎪⎝⎭a b a b b a b b ．当2t ⋅=-a b b 时，|a ＋t b |取最小值．(2)证明：(a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －2⋅a b b×b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。

课后集训基础达标1.下列各式：①（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·(λb );②|a ·b |=|a |·|b |；③（a +b ）·c =a ·c +b ·c ;④(a ·b )·c =a ·（b ·c ）.正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解析：考查平面向量数量积的运算律，注意结合律不成立.④错，②错.答案：C2.若a ·c =b ·c （c ≠0）,则（ ）A ．a =bB ．a ≠bC ．|a |=|b |D ．a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影必相等解析：由a ·c =b ·c 得（a -b ）·c =0,∵c ≠0,∴a -b =0或(a -b )⊥c ,故A 、B 、C 均错，选D.答案：D3.设向量|a |=8，e 是单位向量，当它们的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为（ ） A ．4 B ．34 C ．24 D ．8+23 解析：a 在e 方向上的投影为：|a |cosθ=8×21=4,故选A. 答案：A4.(2004全国Ⅰ，3)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a +3b |等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．4解析：|a +3b |=13960cos 61||96||22=+︒•+=+•+b b a a ,故应选C.答案：C5.已知a ·b =0，|a |=2，|b |=3，且（3a +2b ）·（k a -b ）=0,则实数k 的值为（ ） A ．23 B ．-23 C ．±23 D ．1 解析：由（3a +2b ）·(k a -b )=3k|a |2-3a ·b +2k a ·b -2|b |2=0得12k-18=0,所以k=23. 答案：A6.在△ABC 中已知||=|AC |=4,且·AC =8，则这个三角形的形状是_______________. 解析：AB ·AC =|AB ||AC |cosα=4×4cosα=8,∴cosα=21， ∴α=60°∵|AB |=|AC |,∴这个三角形是正三角形.答案：等边三角形综合运用7.已知|a |=a ，|b |=b ，a 与b 的夹角为θ,则|a -b |等于（ ） A.θcos 222ab b a ++ B.θsin 222ab b a ++C.θcos 222ab b a -+D. θsin 222ab b a -+解析：|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=a 2+b 2-2abcosθ,所以|a -b |=θcos 222ab b a -+.答案：C8.(2005北京理，3)若|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则a 与b 夹角为（ ）A.30°B.60°C.120°D.150°解析：由c ⊥a ，得c ·a =0.∵c ·a =（a +b ）·a =a 2+a ·b=1+1×2·cosθ=0，∴cosθ=-21. ∴a 与b 夹角为120°.答案：C9.若向量a ，b ，c 满足a +b +c =0,且|a |=3，|b |=1，|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =_____________.解析：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )∴a ·b +b ·c +c ·a =.132)413(0222-=++- 答案：-13拓展探究10.求证△ABC 的三条高线交于一点.思路分析1：假设两条高线交于一点，证明另一条高线也经过此点.证法1：如右图，已知AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.设BE 、CF 交于H ，且令=b ，AC =c ，=h ，可得=h -b ，CH =h -c ,BC =c -b .∵BH ⊥AC ,CH ⊥AB ,∴(h -b )·c =0,(h -c )·b =0.∴(h -b )·c =(h -c )·b .运算并化简得,h ·(c -b )=0.∴AH ⊥BC .∴AH 与AD 重合.∴AD 、BE 、CF 相交于一点H. 思路分析2：在△ABC 中任取一点P ，设PA ⊥BC ，PB ⊥AC,证明PC ⊥AB 即可.证法2：如右图，设P 为△ABC 内一点，令=a ，=b ，=c .则=b -a ，BC =c -b ,CA =a -c .当PA ⊥BC ，PB ⊥CA 时，有a ·（c -b ）=0,b ·（a -c ）=0.也就是a ·c -a ·b =0. ①b ·a -b ·c =0.②①+②得a ·c -b ·c =0,∴(a -b )·c =0.∴PC ⊥.备选习题11.(2005天津文，12)已知|a |=2，|b |=4，a 与b 的夹角为3π,以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为____________.解析：较短对角线长度为|a -b |，∵|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=4-2×2×4·cos 3π+16=12, ∴|a -b |=32. 答案：3212.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°,求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.解：由|m |=1,|n |=1,夹角为60°,得m ·n =21. 则有|a |=|2m +n |=744)2(222=+•+=+n n m m n m . |b |=79124)32(222=+•-=-m n m n m n .所以a ·b =（2m+n ）·(2n-3m)=m·n-6m 2+2n 2=-27,得cosθ=21727-=-.所以a 、b 夹角为120°. 13.设O 、A 、B 、C 为平面上的四个点，OA=a ,OB =b ,OC =c ，且a +b +c =0,a ·b =b ·c =c ·a =-1，求|a |+|b |+|c |的值.解：∵a ·（a +b +c ）=a ·0=0，即a 2+a ·b +a ·c =0，a 2-1-1=0，∴|a |=2.同理，|b |=2，|c |=2.∴|a |+|b |+|c |=32.14.如右图所示，设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB =4i +2j , AC =3i +4j ,证明：△ABC 是直角三角形，并求它的面积.证明：CB =AC AB -=（4i+2j ）-(3i+4j)=i-2j.∵AB ·CB =（4i +2j ）·(i -2j )=4i 2+2i ·j -8i ·j -4j 2=4|i |2- 6|i ||j |cos90°-4|j |2=0,∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形.S △=21|AB |·|BC |=21·|4i +2j |·|i -2j |=2122)2()24(j i i i -•+=2122224441616j j i i j j i i +•-•+•+ =212222||490cos ||||4||||490cos ||||16||16j j i i j j i i +︒-•+︒+ =215210520==⨯. 15.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如下图所示，在ABCD 中，=，=，+=+=，∴||2=|+|2=（+）2 =AD AB •++222. 而-=，∴||2=|-|2 =AD AB AD AB •++222.∴||2+||2=2222AD AB + =2222AD DC BC AB +++.∴命题得证.2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课前导引问题导入已知两个恒力F 1=i +2j ，F 2=4i -5j 作用于同一质点，由A （20，15）移动到点B （7,0），其中i 、j 是x 轴，y 轴上的单位向量，试求F 1、F 2分别对质点所做的功.思路分析：∵A(20,15),B(7,0),∴=(7-20,0-15)=(-13,-15)=-13i -15j .又由于i ⊥j ,所以i ·j =0;力F 1对物体所做的功W 1=F 1·=（i +2j )·(-13i -15j ）=-13i 2-41i ·j -30j 2=-13-30=-43(焦耳)；F 2对物体做的功是W 2=F 2·=（4i -5j ）·(-13i -15j )=-52i 2+5i ·j +75j 2=-52+75=23(焦耳)实际上，若F 1=i +2j =（1，2），=（-13，-15），F 1·=1×(-13)+2×(-15)=-43(焦耳)，即两向量对应坐标的积，这是这节课将要学习的两向量数量积的坐标运算.知识预览1.a =（x 1,y 1）,b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y2.2.若有向线段AB ，A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则||=212212)()(y y x x -+-;若=（x,y ），则||=22y x +.3.a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4.两向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则求两向量的夹角θ的公式为： cosθ=222221212121y x y x y y x x +•++.。

主动成长夯基达标1.有四个式子:①0·a =0;②0·a =0;③0-=;④|a ·b |=|a |·|b |.其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1解析：0·a 表示零向量与任意向量a 的数量积,数量积是一个数,而不是向量;0·a 表示实数与向量a 的积,其结果应为零向量,而不是零;对a 、b 数量积的定义式两边取绝对值,得|a ·b |=|a |·|b ||cosθ|,只有θ=0,π时,|a ·b |=|a |·|b |才成立.只有0-AB =-AB =BA 正确.答案：D2.在△ABC 中,=a ,BC =b ,且a ·b ＞0,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析：由两向量夹角的概念,a 与b 的夹角应为180°-∠B.因为a ·b =|a |·|b |cos(180°-B)=-|a |·|b |cosB ＞0,所以cosB ＜0.又因为∠B ∈(0°,180°),所以∠B 为钝角.所以△ABC 为钝角三角形.答案：C3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D.4解析：|a +3b |2=(a +3b )2=a 2+9b 2+6|a |·|b |cos60°=13.答案：C4.若a 为非零向量,a ·b =0,则满足此条件的向量b 有( )A.1个B.2个C.有限个D.无限个解析：由数量积性质知a ·b =0⇒a ⊥b ,而垂直于a 的向量有无限多个.答案：D5.|a |=4,a 与b 的夹角为30°,则a 在b 方向上的投影为___________.解析：a 1=|a |cos30°=4×3223=. 答案：326.边长为2的等边△ABC 中,设=c ,BC =a ,CA =b ,则a ·b +b ·c +c ·a =_____________. 解析：由题意知〈a ,b 〉=32π,〈b ,c 〉=32π,〈c ,a 〉=32π, ∴a ·b +b ·c +c ·a =3|a |·|b |cos 32π=3×2×(-21)=-3. 答案：-37.对任意向量a 、b ,|a |·|b |与a ·b 的大小关系是________________.解析：由数量积定义a ·b =|a |·|b |cos 〈a ,b 〉,由于cos 〈a ,b 〉∈［-1,1］,所以|a |·|b |≥a ·b . 答案：|a |·|b |≥a ·b8.已知△ABC 中,a =5,b =8,∠C=60°,求BC ·CA . 解：因为|BC |=a =5,|CA |=b =8,〈BC , CA 〉=180°-∠C=180°-60°=120°,所以BC ·CA =|BC |·|CA |·cos 〈BC ,CA 〉=5×8cos120°=-20.9.已知a 、b 是非零向量,当a +t b (t ∈R )的模取最小值时,(1)求t 的值;(2)已知a 与b 共线同向,求证:b ⊥(a +t b ).(1)解：令m=|a +t b |,θ为a 、b 夹角,则m 2=|a |2+2a ·t b +t|b |2=t 2|b |2+2t|a |·|b |cosθ+|a |2=|b |2(t+||||b a cosθ)2+|a |2sin 2θ. ∴当t=-||||b a cosθ时,|a +t b |有最小值|a |2sinθ. (2)证明:∵a 与b 共线且方向相同,故cosθ=1.∴t=-||||b a .∴b ·(a +t b )=a ·b +t|b |2=|a |·|b |-|a |·|b |=0. ∴b ⊥(a +t b ). 10.设平面内两向量a 、b 互相垂直,且|a |=2,|b |=1,又k 与t 是两个不同时为零的实数.(1)若x=a +(t-3)b 与y=-k a +t b 垂直,求k 关于t 的函数关系式k=f(t);(2)求函数k=f(t)的最小值.解：(1)∵a ⊥b ,∴a ·b =0.又x ⊥y,∴x·y=0,即［a +(t-3)b ］·［-k a +t b ］=0.-k a 2-k(t-3)a ·b +t a ·b +t(t-3)b 2=0.∵|a |=2,|b |=1,∴-4k+t 2-3t=0,即k=41(t 2-3t). (2)由(1),知k=41(t 2-3t)=41(t-23)2-169,当t=23时,函数最小值为-169. 走近高考11.(2004浙江高考)已知平面上三点A 、B 、C 满足||=3,||=4,||=5,则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =______________. 解析：因为|AB |2+|BC |2=|CA |2,所以△ABC 为直角三角形,其中∠B=90°. 所以AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =0+|BC |·|CA |cos(π-C)+| CA |·|AB |·cos(π-A)=-4×5×54-5×3×53=-25.答案：-2512.(经典回放)已知直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB |=3,则OA ·OB =__________.解析：依题意作出示意图,由垂径定理易知∠AOB=120°,∴||||=•·cos ∠AOB=1·1·cos120°=-21. 答案：-21。

基础达标1．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 夹角为( )． A ．150° B.120° C ．60°D.30°解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. 答案 B2．(2012·北京海淀区一模)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )． A ．矩形 B.菱形 C ．直角梯形D.等腰梯形 解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形． 答案 B3．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )． A ．－25 B.－20 C ．－15D.－10解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴|AB →＋BC →＋CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CA →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2AB →·CA →＝9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋AB →·CA →)＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 答案 A4．已知|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为150°，则a 在e 方向上的投影为________．解析 a 在e 方向上的投影为|a |cos 150°＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－4 3.答案 －4 35．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7.答案 76．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，i ，j 为相互垂直的单位向量，那么a ·b ＝________.解析 将两已知等式相加得，2a ＝－6i ＋8j ，所以a ＝－3i ＋4j .同理将两已知等式相减得，b ＝5i －12j ，而i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ·b ＝(－3i ＋4j )·(5i －12j )＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案 －637．(2012·金华一中高一期中)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13. (2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析 设a ，b 的夹角为α.方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，即|a |2－4|a |·|b |·cos α≥0，∴cos α≤12，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B9．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案 －8或510．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值． 解 (1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1.即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， ∴a ·b ＝k 2＋14k .∵k 2＋1≠0， ∴a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)∵a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.∴k2＋14k＝12.∴k＝1.。