2014-2015学年湖北省襄阳市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰好的是（）
①平行②垂直③相交④斜交．
A．①③②④B．①②③④C．①④②③D．②①④③2．（5分）下列四个判断：
①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；
②R2统计量是用来刻画回归效果的统计量，R2的值越大，说明回归模型拟合效果
越好；
③废品率x%和每吨生铁的成本y元之间的回归直线方程是=2x+256，这表明废
品率每增加1%，生铁的成本平均每吨增加2元；
④“某彩票的中奖概率为”意味着买1000张这种彩票就一定能中奖．
其中，正确的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
3．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
4．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）
A．[0，π）B．[0，]∪[，π）
C．[0，]D．[0，]∪（，π）
5．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
6．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”
正确的反设为（）
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
7．（5分）过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）
A．2x+y﹣12=0B．2x+y﹣12=0或2x﹣5y=0
C．x﹣2y﹣1=0D．x﹣2y﹣1=0或2x﹣5y=0
8．（5分）阅读下列的算法，其功能是（）
第一步：m=a；
第二步：b＜m，则m=b；
第三步：若c＜m，则m=c；
第四步：输出m．
A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序
C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值
9．（5分）将参加夏令营的600名学生编号：001，002，…，600，采用系统抽样
方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到483在第Ⅱ营区，从484到600在Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）
A．25，16，9B．26，16，8C．25，17，8D．24，17，9 10．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P（如图所示），若光线QR经过△ABC的重心，则AP=（）
A．B．C．D．
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
11．（5分）已知变量x、y满足，则z=x﹣2y的最大值为．
12．（5分）运行图中程序框内的程序，在两次运行中分别输入﹣4和4，则运行结果依次．
13．（5分）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是．14．（5分）如图所示茎叶图中，若甲组数据的众数是12，则乙组数据的中位数是．
15．（5分）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（填序号）①充分条件；②必要条件；③充要条件．
16．（5分）已知P是直线3x+4y+3=0上的动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是．17．（5分）把正整数排列陈如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排出一列，得到数列{a n}．
（1）a32=；
（2）若a n=2080，则n．
三、解答题（共5小题，满分65分）
18．（12分）已知两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：﹣y+3=0．
（1）若直线m经过点（，4），且被l1、l2所截得的线段长为2，求直线m的方程；
（2）若直线n与l1、l2都垂直，且与坐标轴构成的三角形的面积是2，求直线n的方程．
19．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．20．（13分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高一年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：
（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，那么可以估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？
（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S的值．
21．（14分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
22．（14分）已知点A（0，1）、B（0，﹣1）、C（2，0）、D（2，1），直线l：y=2，点R是圆O：x2+y2=1上的动点，直线RA、RB分别交直线l于点E、F．
（1）若点E的坐标是（2，2），求△ROA的面积；
（2）当点R变化时，以EF为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标，
若不过定点，请说明理由；
（3）对于线段AC上的任意一点P，若在以D为圆心的圆上总存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆D的半径r的取值范围．
2014-2015学年湖北省襄阳市高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰好的是（）
①平行②垂直③相交④斜交．
A．①③②④B．①②③④C．①④②③D．②①④③
【解答】解：两直线可能平行，可能相交，而相交又分为垂直和斜交；
∴M，N，E，F依次为①③②④．
故选：A．
2．（5分）下列四个判断：
①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；
②R2统计量是用来刻画回归效果的统计量，R2的值越大，说明回归模型拟合效果
越好；
③废品率x%和每吨生铁的成本y元之间的回归直线方程是=2x+256，这表明废
品率每增加1%，生铁的成本平均每吨增加2元；
④“某彩票的中奖概率为”意味着买1000张这种彩票就一定能中奖．
其中，正确的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：对于①，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故①错误；
对于②，根据相关性指数的定义和性质可知，相关指数R2是用来刻画回归效果
的，R2的值越大，
说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好．故②正确；
对于③，废品率x%和每吨生铁的成本y元之间的回归直线方程是=2x+256，类比一次函数，可得
废品率每增加1%，生铁的成本平均每吨增加2元，故③正确；
对于④，“某彩票的中奖概率为”，说明该种彩票中奖的概率较小，买1000张这种彩票
不一定能中奖，故④错误．
其中正确的个数为2．
故选：C．
3．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．
故选：D．
4．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）
A．[0，π）B．[0，]∪[，π）
C．[0，]D．[0，]∪（，π）
【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1
∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）
故选：B．
5．（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
∴所求概率为．
故选：B．
6．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”
正确的反设为（）
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”
可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数
∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
故选：B．
7．（5分）过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）
A．2x+y﹣12=0B．2x+y﹣12=0或2x﹣5y=0
C．x﹣2y﹣1=0D．x﹣2y﹣1=0或2x﹣5y=0
【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点（5，2），可得直线的斜率为，
故直线的方程为y=x，即2x﹣5y=0．
当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为，
把点（5，2）代入可得，解得k=6．
故直线的方程为，即2x+y﹣12=0．
故选：B．
8．（5分）阅读下列的算法，其功能是（）
第一步：m=a；
第二步：b＜m，则m=b；
第三步：若c＜m，则m=c；
第四步：输出m．
A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序
C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值
【解答】解：逐步分析算法中的各语句的功能，
第一步是把a的值赋值给m，
第二步是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，
第三步是比较c与a，b中的较小值的大小，并将两数的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．
故选：D．
9．（5分）将参加夏令营的600名学生编号：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到483在第Ⅱ营区，从484到600在Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）
A．25，16，9B．26，16，8C．25，17，8D．24，17，9【解答】解：从600名学生中抽取容量为50的样本，组距是=12；
又抽得第一个号码为003，
∵3+12（k﹣1）≤300，∴k≤+1，且+1的整数部分是25，
∴从001到300应抽取的人数是25；
又∵3+12（k﹣1）≤483，∴k≤41，
∴从301到483应抽取的人数是41﹣25=16；
∴从484到600应抽取的人数是50﹣41=9；
即三个营区被抽中的人数依次为25、16、9．
故选：A．
10．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P（如图所示），若光线QR经过△ABC的重心，则AP=（）
A．B．C．D．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
可得B（1，0），C（0，1）
∴BC的方程为x+y﹣1=0，△ABC的重心G为（，），
设M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，设点P（a，0）
则M（1，1﹣a），N（﹣a，0），
由光的反射原理可知，M，Q，R，N四点共线，
∴k MN=k NG
即，解得a=，
故选：D．
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
11．（5分）已知变量x、y满足，则z=x﹣2y的最大值为3．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣．
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最小，
此时z最大，由可得，
即A（5，1）
代入目标函数z=x﹣2y，得z=3．
∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3．
故答案为：3
12．（5分）运行图中程序框内的程序，在两次运行中分别输入﹣4和4，则运行结果依次﹣1，20．
【解答】解：当x=﹣4时，
不满足外层分支条件x＞2，故执行外层分支的ELSE分支
同时不满足内层分支条件x≥0，故执行内层分支的ELSE分支
∴y=x÷2=﹣2，
退出分析后，由y=y+1得y=﹣1
当x=4时，
满足外层分支条件x＞2，
∴y=3+x2=19，
退出分析后，由y=y+1得y=20
故答案为：﹣1，20
13．（5分）方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是（﹣2，
）．
【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，所以D2+E2﹣4F＞0
即a2+（2a）2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，∴3a2+4a﹣4＜0，解得a的取值范围是（﹣2，
）．
故答案为：（﹣2，）．
14．（5分）如图所示茎叶图中，若甲组数据的众数是12，则乙组数据的中位数是9．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；
当甲组数据的众数是12时，x=y=2；
∴乙组数据按从小到大的顺序排列为2、3、6、12、21、24；
∴该组数据的中位数是=9．
故答案为：9．
15．（5分）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的①（填序号）①充分条件；②必要条件；③充要条件．
【解答】解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；
∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件．
故答案为：①．
16．（5分）已知P是直线3x+4y+3=0上的动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0
的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0
∴圆心C（1，1）、半径r为：1
根据题意，若四边形面积最小
当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=2
∴|PA|=|PB|==
∴四边形PACB的面积的最小值是2|PA|r=．
故答案为：．
17．（5分）把正整数排列陈如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排出一列，得到数列{a n}．
（1）a32=56；
（2）若a n=2080，则n1063．
【解答】解：图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有个数，
（1）当k=7时=28；当k=8时=36，
所以a32应该在第8行，的第四个数，
因为第7行最后一个数是49，所以第8行的数依次为50、52、54、56，…，
则a32=56；
（2）由45×45=2025，46×46=2116知a n=2080出现在第46行，
因为第46行第一个数为2026，所以第+1=28个数是2080，
则n=+28=1063，
故答案为：（1）56，（2）1063．
三、解答题（共5小题，满分65分）
18．（12分）已知两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：﹣y+3=0．
（1）若直线m经过点（，4），且被l1、l2所截得的线段长为2，求直线m的方程；
（2）若直线n与l1、l2都垂直，且与坐标轴构成的三角形的面积是2，求直线n的方程．
【解答】解：（1）平行线l1，l2之间的距离d==1，
设直线m与l1所成的锐角为θ，则sinθ=，∴θ=30°．
直线m的倾斜角为90°或30°．
∴直线m的方程为x=或，即x=或．
（2）直线l 1的斜率，
∵n⊥l，∴直线n的斜率k=，
设直线n的方程为y=x+b，
令y=0，解得x=，令x=0，解得y=b．
∴=2，解得b=±2．
∴直线n的方程为y=x±2．
19．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=﹣2．
又，
∴2b+a=0，即a=﹣2b=4．∴z=4﹣2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4﹣2i，
∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i
对应的点在复平面的第一象限，
∴
解得a的取值范围为2＜a＜6．
20．（13分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高一年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成
绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：
（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，那么可以估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？
（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S的值．
【解答】解：
（1）①为8，②为0.44，③为6，④为0.12；…（4分）
（2）
（0.28+0.12）×800=320，
即在参加的800名学生中大概有320名同学获奖；…（9分）（3）由流程图得S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4=65×0.16+75×0.44+85×0.28+95×
0.12=78.6．
输出S的值为78.6…（15分）
21．（14分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型
用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件
依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个
二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，
等价于
即，
“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、
（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个
∴所求的概率为
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面积为S（Ω）=16
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}
其面积为
∴所求的概率P（B）=
22．（14分）已知点A（0，1）、B（0，﹣1）、C（2，0）、D（2，1），直线l：y=2，点R是圆O：x2+y2=1上的动点，直线RA、RB分别交直线l于点E、F．
（1）若点E的坐标是（2，2），求△ROA的面积；
（2）当点R变化时，以EF为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由；
（3）对于线段AC上的任意一点P，若在以D为圆心的圆上总存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆D的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）若点E的坐标是（2，2），直线RA的斜率即直线AE的斜率=，直线RA的方程，即AE得方程，为y=x+1，即x﹣2y+2=0，求得圆心O到直线
RA的距离为d==，
故弦长RA=2=，∴△ROA的面积为•RA•d=••=．
（2）设点R（x0，y0），则+=1，RA的方程为y=x+1，再把y=2代入可得x E=．
同理求得x F=，∴E（，2），F（，2），
∴EF=|﹣|=||，故EF的中点（，2），
故以EF为直径的圆截y轴得到的弦长为2=2=2，为定值．
∴以EF为直径的圆必定经过定点（0，2+）、（0，2﹣）．
（3）直线AC的方程为x+2y﹣2=0，设P（m，n）、N（x，y），则M（），∵M、N在圆D上，∴，即，
根据关于x、y的方程组有解，
可得以点D（2，1）为圆心、以r为半径的圆和以点（﹣m+4，﹣n+2）为圆心、
以2r 为半径的圆有交点，
∴（2r ﹣r ）2≤（﹣m +4﹣2）2+（﹣n +2﹣1）2≤（2r +r ）2．
由于点P 在线段AC 上，故有m +2n ﹣2=0，∴r 2≤5n 2﹣2n +1≤9r 2
对于任意的
n
∈[0，1]都成立．
而函数f （n ）=5n 2﹣2n +1在∈[0，1]上的值域为[，4]，∴r 2≤，4≤9r 2． 又线段AC 和圆D 无公共点，∴（2﹣2n ﹣2）2+（n ﹣1）2＞r 2，求得r 2＜， 故r 的范围是[，
）．
赠送—高中数学知识点
二次函数
（1）一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所
涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令
2()f x ax bx c =++，
从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2b
x a
=-
③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔
x y
1
x 2x O
∙
a
b x 2-
=k
<a 0
)(<k f
②x 1≤x 2＜k ⇔
③x
1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0
④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔
x
y
1
x 2
x 0
>a O ∙
∙
1
k
2k 0)(1>k f 0
)(2>k f a
b x 2-
=
x
y
1x 2
x O
∙
<a 1
k ∙
2
k 0
)(1<k f 0
)(2<k f a
b x 2-
=
⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2
⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合
⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值
设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01
()2
x p q =
+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -
<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a
->，则()m f q =
①若02b x a -
≤，则()M f q = ②02b x a
->，则()M f p =
(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -
<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()
2b M f a =- ③若2b q a
->，则()M f q =
x
x
x
x
>
O
-
=f (p) f (q)
()2b f a
-0
x x
>O -=f
(p) f
(q)
()2b f a
-0x x
f
x
f
x
①若
2
b
x
a
-≤，则()
m f q
=②
2
b
x
a
->，则()
m f p
=．
x
<
O
-
=
f
(p)
f
(q)
()
2
b
f
a
-
x
x
<
O
-
=
f
(p)
f
(q)
()
2
b
f
a
-
x。
