《精品》冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：17圆锥曲线的综合应用(含解析)

专题17 圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)． 【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义． ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键.【变式探究】(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.【变式探究】(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)． 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4， 可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 题型二 圆锥曲线的几何性质例2、 (2018·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， 则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点， 设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1. 又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N两点，则FM →·FN →等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析 设|F 1B |＝k ()k >0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2 答案 A解析 根据正弦定理可知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73.又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ， 则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二 圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x . 题型三 直线与圆锥曲线例3、(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 【变式探究】(2018·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin∠OAB ，而∠OAB ＝π4， 所以|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128. 所以k 的值为12或1128. 【变式探究】[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)．∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.【变式探究】(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；学_科网(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1， 即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2， 即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2. 由已知|FQ |＝3c 2， 有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22， 整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)， 即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝ (c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2， 所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ， 所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点． (1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率； (2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a 3a 2＋b2，求椭圆的短轴与长轴的比值． 解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝2b 2a ＝12a ， 即a 2＝4b 2， 故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ， 得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2， ∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·8a 2b 4a 2＋b 2 ＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12， ∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程；(2)求|OB ||OD |的值． 解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0.所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2， y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以(1－mx 0)216m 4＝x 2012m 2， 解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0. 所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43， 故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.。

圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M .2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．二、圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝＝.ca1－(b a )2(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝＝.c a1＋(b a )22．双曲线－＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．x 2a 2y 2b 2ba三、直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．【高考题型示例】题型一、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)[2018·天津卷]已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与x 2a 2y 2b2双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1x 24y 212x 212y 24C.－＝1 D.－＝1x 23y 29x 29y 23【解析】如图，不妨设A 在B 的上方，则A ，B .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝＝＝2b ＝6，∴(c ，b 2a )(c ，－b 2a )bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 22bc c b ＝3.又由e ＝＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴ a ＝.c a3∴ 双曲线的方程为－＝1.x 23y 29故选C.①②联立，解得a ＝3且b ＝4，可得双曲线的方程为－＝1.x 29y 216(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝x3答案　C解析　如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设＝a ，则由已知得＝2a ，|BF ||BC |由抛物线定义，得＝a ，故∠BCD ＝30°，|BD |在Rt△ACE 中，∵＝|AF |＝3，＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |，|AE ||AC |∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，＝3a ＝3.|FC |∴p ＝＝＝，|FG |12|FC |32因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.题型二　圆锥曲线的几何性质例2、(2018·北京)已知椭圆M ：＋＝1(a >b >0)，双曲线N ：－＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆Mx 2a 2y 2b 2x 2m 2y 2n2的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．答案　－1　23解析　方法一　双曲线N 的渐近线方程为y ＝±x ，则＝tan 60°＝，∴双曲线N 的离心率e 1满足e ＝1＋nm n m321＝4，∴e 1＝2.n 2m 2由Error!得x 2＝.a 2b 23a 2＋b 2如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2.∴＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0，4a 2b 23a 2＋b2∴3－－2＝0，解得＝2－3.6b 2a2(b 2a 2)b 2a23∴椭圆M 的离心率e 2满足e ＝1－＝4－2.2b 2a23∴e 2＝－1.3方法二　双曲线N 的渐近线方程为y ＝±x ，n m则＝tan 60°＝.n m3又c 1＝＝2m ，∴双曲线N 的离心率为＝2.m 2＋n 2c 1m如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋＝2a ，3∴a ＝.1＋32∴椭圆M 的离心率为＝＝－1.c 2a 21＋33【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为的直线与C 交于M ，N23两点，则·等于( )FM → FN →A ．5B ．6C ．7D ．8答案　D解析　由题意知直线MN 的方程为y ＝(x ＋2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error!或Error!不妨设点M 的坐标为(1,2)，点N 的坐标为(4,4)．又∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．FM → FN →∴·＝0×3＋2×4＝8.FM → FN →故选D.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与Cx 23的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A. B ．3 C ．2 D ．4323答案　B解析　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝± x .13设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，1333所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝.3则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝·tan 60°＝3.3故选B.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的x 2a 2y 2b2弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，Bx 2a 2y 2b2两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝，则椭圆E 的离心率为( )35A. B. C. D.12233222答案　D解析　设|F 1B |＝k ，(k >0)依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .∵cos∠AF 2B ＝，35在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ，∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－(2a －3k )(2a －k )，65化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ，∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形．∴c ＝a ，椭圆的离心率e ＝＝.22ca 22(2)已知双曲线M ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，＝2c .若双曲线M 的右支上存在x 2a 2y 2b 2|F 1F 2|点P ，使＝，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )a sin ∠PF 1F 23csin ∠PF 2F 1A. B.(1，2＋73)(1，2＋73]C ．(1,2) D.(1，2]答案　A解析　根据正弦定理可知＝，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1|PF 2||PF 1|所以＝，即|PF 2|＝|PF 1|，|PF 2||PF 1|a 3c a3c＝2a ，|PF 1|－|PF 2|所以＝2a ，解得＝，(1－a 3c )|PF 1||PF 1|6ac3c －a而>a ＋c ，即>a ＋c ，|PF 1|6ac3c －a整理得3e 2－4e －1<0，解得<e <.2－732＋73又因为离心率e >1，所以1<e <，故选A.2＋73【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(2018·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，x 2a 2y 2b2点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )36A. B. C. D.23121314答案　D解析　如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝，|BF 2|＝1，3故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan∠PAB ＝＝＝，|PB ||AB |3a ＋236解得a ＝4，所以e ＝＝.c a 14故选D.(2)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点且与双曲线C 的一条渐近线垂直，x 2a 2y 2b 2(23a ，0)以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝c ，则双曲线C 的423渐近线方程为( )A ．y ＝±x B ．y ＝±x 23C ．y ＝±2x D ．y ＝±4x答案　B解析　方法一　由题意可设渐近线方程为y ＝x ，b a则直线l 的斜率k l ＝－，a b 直线l 的方程为y ＝－，a b (x －23a )整理可得ax ＋by －a 2＝0.23焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝＝，|ac －23a 2|a 2＋b 2|ac －23a 2|c则弦长为2＝2＝c ，c 2－d 2c 2－(ac －23a 2)2c 2423整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得＝0.(e －1)(e －2)(e 2＋3e －2)又双曲线的离心率e >1，则e ＝＝2，c a所以＝ ＝＝，ba c 2－a 2a 2(c a)2－13所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .3方法二　圆心到直线l 的距离为＝，c 2－(223c )2c3∴＝，|ac －23a 2|cc 3∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴c ＝2a ，b ＝a ，3∴渐近线方程为y ＝±x .3题型三　直线与圆锥曲线例3、(2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解　(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝.2k 2＋4k2所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝.4k 2＋4k2由题意知＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.4k 2＋4k2因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.【变式探究】(2018·天津)设椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为，x 2a 2y 2b 253点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6.2(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若＝sin∠AOQ (O|AQ ||PQ |524为原点)，求k 的值．解　(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 ＝，c 2a 259又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝b ，2由|FB |·|AB |＝6，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.2所以椭圆的方程为＋＝1.x 29y 24(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝，而∠OAB ＝，y 2sin ∠OABπ4所以|AQ |＝y 2.2由＝sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.|AQ ||PQ |524由方程组Error!消去x ，可得y 1＝ .6k9k 2＋4由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组Error!消去x ，可得y 2＝.2kk ＋1由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝3，两边平方，9k 2＋4整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝或k ＝.121128所以k 的值为或.121128【变式探究】[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为的直线与C 交于M ，N23两点，则·＝( )FM → FN →A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝(x ＋2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error!或Error!不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．FM → FN →∴·＝0×3＋2×4＝8.FM → FN →故选D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.【变式探究】(2017·天津)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，x 2a 2y 2b 2△EFA 的面积为.b 22(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 3c 2与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为.1m由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为＋＝1，x 2c y c即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝，y ＝， 2m －2 c m ＋23c m ＋2即点Q 的坐标为.( 2m －2 c m ＋2，3c m ＋2)由已知|FQ |＝，3c 2有2＋2＝2，[ 2m －2 c m ＋2＋c ](3c m ＋2)(3c 2)整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝(m ＝0舍去)，43即直线FP 的斜率为.34进而可得|FP |＝ ＝， c ＋c 2＋(3c 2)25c 2所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝－＝c .5c 23c 2由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝×＝，3c 2349c 8所以△FQN 的面积为|FQ ||QN |＝.1227c 232同理△FPM 的面积等于.75c 232由四边形PQNM 的面积为3c ，得－＝3c ，75c 23227c 232整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.x 216y 212【变式探究】已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．x 2a 2y 2b2(1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝a ，求椭圆的离心率；12(2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝，求椭圆的短轴与长轴的比值．2a 3a 2＋b 2解　(1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝＝a ，2b 2a 12即a 2＝4b 2，故e ＝＝＝＝.c aa 2－b 2a 21－b 2a 232(2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立Error!消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0，Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，2a 2c a 2＋b 2a 2 c 2－b 2 a 2＋b 2∴|AB |＝|x 1－x 2|1＋1＝·＝·2 x 1＋x 2 2－4x 1x 228a 2b 4a 2＋b 2＝＝，4ab 2a 2＋b 22a 3a 2＋b 2∴a 2＝2b 2，∴＝，b 2a 212∴＝，即椭圆的短轴与长轴之比为.2b 2a 2222【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x )(x 0≠0)．20(1)求直线AB 的方程；(2)求的值．|OB ||OD |解　(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0.所以直线AB 的方程y －x ＝2x 0(x －x 0)，20即y ＝2x 0x －x ，20即直线AB 的方程为2x 0x －y －x ＝0.20(2)由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－x ，20所以AB 的中点坐标为.(x 02，0)设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 0.12由Error!联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x ＝0.1420Δ＝(mx 0－1)2－4×m 2×＝1－2mx 0>0，x 204即mx 0<.12因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝，1－mx 0m 2y 1y 2＝3y ＝.2x 204m 2所以＝， 1－mx 0 216m 4x 2012m 2解得mx 0＝－3±2，满足Δ>0.3所以点D 的纵坐标y D ＝－＝，x 02m x 206±43故＝＝4±6.|OB ||OD ||y B ||y D |3。

2019年高考专题■圆锥曲线的方程与性质1.椭圆(1)椭圆概念平而内与两个定点斥、鬥的距离的和等于常数2d (大于|斥毘|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有\MF}\-v\MF2\=2a.2 2 2 2椭圆的标准方程为：一+-^y = 1 ( 6Z > /? > 0 )(焦点在X轴上)或丄y + —7 = 1 (d>b>0)(焦点在y轴a~ b~ a~ b~上)。

注：①以上方程中的大小a>b>0f其中b2=a2-c\2 2 2 2②在4 + ^ = 1和£ +匚=1两个方程中都有a>b> 0的条件，要分清焦点的位置，只要看F和于的分a~ b~ a~b~x2 y2一母的大小。

例如椭圆一+ —= 1 ( m>0, /? > 0 , m^n )当m>n吋表不焦点在x轴上的椭圆；当m<n吋m n表示焦点在y轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质x2 v2①范圉：由标准方程—+ ^ = 1知|y|5b,说明椭圆位于直线x = y = ±b所围成的矩形里;a②对称性：在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点(兀刃在曲线上时，点(兀-刃也在曲线上，所以曲线关于兀轴对称，同理，以一兀代替兀方程不变，则曲线关于y轴对称。

若同时以一兀代替兀，-y代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与兀轴、y轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令兀=0,得y = ±b,则B, (O,-/?), B2(0,Z?)是椭圆与)，轴的两个交点。

同理令y = 0得x = ±tz,即A,(—d,0), 卷(G,0)是椭圆与兀轴的两个交点。

圆锥曲线的综合问题【2019年咼考考纲解读】1. 圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题•2. 试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大. 【重点、难点剖析】一、范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.⑵设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线I的斜率为k(k丰0), l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围.【解析】解法一⑴ 设点Mx, y)，由2MQ= AQ得A(x, 2y),由于点A在圆C： x2+ y2= 4上，则x2+ 4y2= 4,2x 2即动点M的轨迹E的方程为.+ y = 1.42x 2(2)由(1)知，E的方程为，+ y2= 1,4因为E与y轴正半轴的交点为B,所以B(0,1),所以过点B且斜率为k的直线I的方程为y = kx+ 1( k丰0).y = kx+ 1,由丿x22得(1 + 4k2) x2+ 8kx= 0,4 + y = 1，5 r,, 8k设0X1, y1), F(X2, y2)，因此X1 = 0, X2=—〔十你2,I BP =、1 + k2| X1 —x2|「［第十k2.由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P, T,满足| BR = | BT| ,此时直线BP的斜率k>0, 记直线BT的斜率为k1,且k1> 0,总工k,小8|幻| 「 --- 2则回=1+ 4^吋,故阳k 仆斗加严，所以吞一吞=0,即(1 + 4k 2) k ? + k = (1 + 4 k ?) k 2+ k 4, 所以(k 2— k 1)(1 + k 2+ k ?- 8k 2k 1) = 0,由于 幻工k ,因此1 + k 2+ k 1— 8k 2k 1= 0,2221 91因为 k > 0,所以 8k i — 1 > 0,所以 k = 8+ ―朋——>^.又k > 0,所以k > ,2.又 k& k ,所以 1 + k 2 + k 2 — 8k 2k 2z 0, 所以8k 4— 2k 2— 1工0.又k > 0，解得k 工 所以 k c 42,22u 2 宀.根据椭圆的对称性，k C —a, — 2 U — 2 , — 4也满足题意.综上所述，k 的取值范围为 —a, — ； u — 22, — 42 u 42,22u 2,+a .解法二 (1)设点 Mx , y ), A (x 1, yd ，则 Qx 1,0).2 X 1 — x = 0, 因为2MQ= AQ 所以 2(X 1 — x ,— y ) = (0，— y"，所以厂 —2y = —y 1,因为点A 在圆C: x 2 + y 2= 4上，所以x 2+ 4y 2 = 4,2 x 2所以动点M 的轨迹E 的方程为一+ y = 1.42x 2⑵ 由(1)知，E 的方程为4 + y = 1,所以B 的坐标为(0,1)，易得直线l 的方程为y = kx +1( k 丰0).ry = kx + 1,由 S x 2 2得(1 + 4k 2) x 2 + 8kx = 0,4+y = 1，| BF f =1 +前刘―= 1 + ：；2 1 +2 22264k 1 + k X + (y — 1)=1 + 4k2 2k 2+ 1 8k 1— 1 =1 98+ .谄-X 1 = x ,解得彳M = 2y .设巳X 1, y",P ( X 2, y 2)因此 X 1 = 0, X 2= — 8k21 +则点P 的轨迹方程为依题意，得(*)式在y €( —1,1)上有两个不同的实数解.2 2264k 1 +k设 f (x ) = 3x + 2x — 5+——1 + 4k 22( — 1v x v 1),1易得函数f (x )的图象的对称轴为直线 X =— 3, 3要使函数f (x )的图象在(—1,1)内与x 轴有两个不同的交点, 〔△= 4— 4 X 3X — 5 + 则$'f — 1> 0,__ 424k — 4k + 1> 0,Ioo整理得64k 1 + k厂4+1 + 4k2 2 > 0，r" 4 24k — 4k + 1 > 0 , 即弋2【方法技巧】1.解决圆锥曲线中范围问题的方法2 2■ 2264k 1 + k x + y —= 1+ 4k 2 2，由<2,2 ,x + 4y = 4,得 3y 2 + 2y — 5 + 誉+^匚=0( -1 v y v 1).(*)64 k 2 1 + k 2 1 + 4k 2 2所以得k €,+m,所以k 的取值范围为"> 8,k 2 工2,22, - 42 °8k 2— 1> 0 ,42 °一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化.2 •圆锥曲线中最值的求解策略(1) 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.(2) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.由题意可知，圆 M 的半径r 为=^2 弋1 + k 1 \‘1 + 8k 1 =32…r= 3|AB由题设知⑶构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域2 2一 x y \f 2【变式探究】(2017 •山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E ：云+ ^2= 1(a >b >0)的离心率为-y ，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程;2所以椭圆E 的方程为:+ y 2= 1.⑵设丿(心产)，肌m k)联立方程彳得（4爲 + 2）y-4诟JUT- 1—0. 由題青知丿4 >5 「 , - 2 耘 _ 1且 十-莎十 也-一亦TT?⑵ 如图，动直线I : y = k i x —f 交椭圆E 于A , B 两点,C 是椭圆E 上一点，直线 00的斜率为k 2,且k i k 2=#M 是线段OC 延长线上一点，且|M0 = 2：3,O M 的半径为|M0, OS 0T 是O M 的两条切线，切点分别为S , T .求/ SOT 的最大值，并求取得最大值时直线I 的斜率.所以 a =<J 2, b = 1, 乎，2c = 2,所以 c = 1 ,/曰 2 8k2 2 1得X = 1+ 4k2, y= 1 + 4k1,因此I OC = /+ / = 1+8：2由题意可知，sin / SOT2 r + | O(p r2 运寸1 + k1 \1 + 8k13 1 + 2k21 + 2k21=2,即卩t =2时等号成立，此时k 1=± 2,/ SOT 1…,/ SOT n---- <，因此 -------- < —2 2 2 6'n所以/ SOT 的最大值为3・综上所述，/ SOT 的最大值为才，取得最大值时直线I 的斜率为站=±¥.【变式探究】已知 N 为圆C 1：(X + 2)2+ y 2= 24上一动点，圆心 C 关于y 轴的对称点为C 2,点M P 分别是 线段 GN, GN 上的点，且 M P- C 2N = 0, C 2N= 2CP. (1) 求点M 的轨迹方程；(2) 直线I : y = kx + m 与点M 的轨迹r 只有一个公共点 P ,且点P 在第二象限，过坐标原点O 且与I 垂直的2 2直线I '与圆X + y = 8相交于A B 两点，求△ PAB 面积的取值范围. 解(1)连接MG,令 t = 1 + 2k 1, 因此r 10C 32小 1则 t >1, t € (0,1),t2t 2+ t — 1当且仅当所以sin设直线l '与l 垂直交于点 Q因为 C 2N= 2C 2P, 所以P 为C 2N 的中点, 因为 MP- c N= 0, 所以M PL CN所以点M 在 C 2N 的垂直平分线上， 所以 |MN = | MC ,因为 |MN + | MC | =|M© + |MC = 2 6>4, 所以点M 在以G , C 2为焦点的椭圆上， 因为a =r 』6, c = 2,所以b 2= 2,2 2所以点M 的轨迹方程为x +2 = 1.y = kx + m(2)由y 2=1,(3 k 2+ 1) x 2 + 6kmx + 3吊-6= 0,因为直线I : y = kx + m 与椭圆r 相切于点P, 所以 △= (6 km )2- 4(3k 2+ 1) (3 吊一6) =12(6 k 2 + 2-吊)=0，即 m = 6k 2 + 2, & /口 - 3km m 解得 X = 3k 2+ 1 , y = 3k 2 + 1, 即点P 的坐标-3kmm3k 2+ 1 3 k 2 + 1 ,因为点P 在第二象限，所以k >0, m >0, 所以 m = \/6k 2 + 2,所以点P 的坐21'3 k 2 + 1 ,则| PQ 是点P 到直线l '的距离,1且直线I '的方程为y =— x ,k2 2k 3k 4+ 4k 2 + 12 23k+k 2+4当且仅当3k 2 =右，即『=罟时，|PQ 有最大值372 1所以 S ^PAB = 2 X4 2 X| PQ W4— 4, 即厶PAB 面积的取值范围为(0, 4 3— 4]. 【感悟提升】 解决范围问题的常用方法(1) 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解. (2) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. ⑶构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.2213【变式探究】已知椭圆 C ： a + b^ = 1(a >b >0)的一条切线方程为 y = 2x + 2\[2，且离心率为 2 (1)求椭圆C 的标准方程；⑵ 若直线l : y = kx + m 与椭圆C 交于A B 两个不同的点，与 y 轴交于点 M 且AM= 3MB 求实数 m 的取值范围.将 y = 2x + 2 2代入，得 8x 2 + 8 2x + 8 — a 2= 0,22由△ = 128— 32(8 — a ) = 0，得 a = 4，2故椭圆C 的标准方程为x 2+ y = 1.4所以| PQ = 3+ 1=詁6— 2,(1)由题意知，离心率 e= 2c a，23； a ， 1 b = 2a ， 2 2y 4x'• ~2+ ~2= 1 a a⑵根据已知，得M0，m，设 A ( x i , kx i + m ) , B (X 2, kx 2 + m ), 」y = kx + m , 2 22由 2 2得(k + 4)x + 2mkx^ m i -4 = 0,4x + y = 4,LT2、2、2 2且 △ = 4mk — 4( k + 4)( m - 4)>0 ,即 k 2- m +4>o ,• 1<m <4，解得—2<n T — 1 或 1<nT2, 综上所述，实数 m 的取值范围为(—2, - 1) U (1,2). 题型二定点、定值问题2例2、(2018 •北京)已知抛物线 C: y = 2px 经过点F (1,2)，过点Q 0,1)的直线I 与抛物线 交点A , B,且直线FA 交y 轴于M 直线PB 交y 轴于N (1) 求直线I 的斜率的取值范围；⑵ 设O 为原点，6l\=入Q O QN =Q O 求证：—+ —为定值.入 3(1)解 因为抛物线y 2= 2px 过点(1,2), 所以2p = 4,即p = 2. 故抛物线C 的方程为y 2= 4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.x i + X 2 = -2 kmk 2 + 4，X l X 2 = k 2+ 4'由AM= 3MB 得一x i = 3x 2,即卩 x i =- 3x 2, 2/. 3( X i + X 2) + 4x 1X 2= 0,12k 2 m n吊一•- k 2+2+k 2+ 4 =0,即 mk 2+ m -k 2- 4= o ,当 m = i 时，mk 2+ m -k 2-4= 0不成立,• k 2=.22■/ k -m +4>0，即 (4 - m ) mm - 1 >0,c 有两个不同的4- m 4 - m设直线l的方程为y= kx + 1(k丰0), y2= 4x , 2 2由得kx + (2k-4)x +1 = 0.y = kx +1,依题意知 △ = (2 k — 4) 2-4X k 2 X 1>0, 解得k <0或0<k <1.又PA PB 与 y 轴相交，故直线I 不过点(1 , — 2). 从而k 工―3.所以直线I 的斜率的取值范围是(一汽一3) U ( — 3,0) U (0,1)⑵证明 设机心対，方(心 刃, 2 j — 41宙（1）知買:+益=1 7：~直线PA 的方程为y — 2—~一 (x-1), 圧一 1令 F 得点序的纵坐标为幵=士孑+厂二^+*Xi~ 1JQ — 1同理得点卅的纵坐掠为/尸二^2宙芮=」乔：拆左苗，得人=1「乃》耳=1一”—（±-1 2x^2 — f JC + JG 、~k-l2 2L4_ i F卜F--------- =2.打一 1 【方法技巧】 1 •定点问题的求解策略(1) 动直线I 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y = kx + t ,由题设条件将t 用k 表示为t = mK 得y = k ( x + m ，故动直线过定点(—m,0) •(2) 动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.1所以、+ 入1为定值.□2 •定值问题的求解策略定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的no【变式探究】 已知倾斜角为 4的直线经过抛物线 r : y 2= 2px (p >0)的焦点F ,与抛物线r 相交于A B 两点,且 | AB = 8.(1)求抛物线r 的方程；⑵ 过点 只12,8)的两条直线丨1,丨2分别交抛物线 r 于点C,D 和E ,F ,线段CD 和EF 的中点分别为 M N.如果直线l i 与丨2的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点.p(1)解 由题意可设直线 AB 的方程为y = x -2，2A = 9p 2-4X 鲁=8p 2>0,令 A (X 1, y" , 0X 2, y 2), 则 X 1 + X 2= 3p ,由抛物线的定义得|AB = X 1 + X 2+ p = 4p = 8, --p = 2.•••抛物线的方程为 y 2 = 4x .(2) 证明 设直线丨1,丨2的倾斜角分别为 a , 3 ,n由题意知，a , 3工2 .直线I 1的斜率为k ,则k = tan a . •••直线丨1与丨2的倾斜角互余，n 、sin• tan 3 = tan 2 —a =— cos_ cos a _1_1sin a sin a tan a 'COS a1•直线l 2的斜率为..k•直线CD 的方程为y — 8 = k (x — 12), 即 y = k (x - 12) + 8.由 y ; x -2, y 2= 2px ,2消去y 整理得x 2- 3px + p = 0,由片k X -12+ 8, y = 4x,4• y c + y D = k ，4 16• X c + X D = 24+ R 2 — k , •点M 的坐标为（12+ A 8,令 1 一以匚代替点M 坐标中的k ，可得点N 的坐标为(12 + 2k 2 — 8k, 2k ),11 2 1 1 (r k 厂<k —k) k+k -4•••直线MN 的方程为1 2y — 2k = 1[X — (12 + 2k — 8k )],厂 + k — 4k即 f + k — 4 y = X —10,2 2X y 例3. （2018 •全国川）已知斜率为 k 的直线I 与椭圆C ：二+ ?= 1交于4 3m )( m >0).（1）证明：k <—2⑵ 设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P + F A + F B= 0.证明：| FA , 列的公差.(1)证明设 A (X 1, y" , 0X 2, y 2),2 2 2 2“X 1 y 1X 2 y 2则7+ 3=1, X T 盯1y 1 一 y 2两式相减，并由X L X 2= k ，_ X1+ X 2 y 1+ y 2 得=+亍k =°.消去x 整理得 ky 2— 4y + 32 — 48k = 0,设 q x c , y c ), Q XD , y D ),2 1— k 显然当 X = 10 时，y = 0, 故直线 MN 经过定点(10 , 0). 题型三 探索性问题 A , B 两点，线段 AB 的中点为 M 1 ,I Fp , |F B I 成等差数列，并求该数则(X 3- 1, y 3)+ (x i - 1, y i ) + (X 2- 1, y 2)= (0,0).由(1)及题设得 X 3= 3— (X 1 + X 2) = 1,y 3=— (y 1 + y 2) = — 2n <0.又点P 在C 上，所以m = 4,从而 P £，— I] |FP | = I ，2 ( X 1X 1-+ 3 1—4 = 2 — 2.同理|FB | = 2 —善.所以 |FA | + | FB | = 4— 2(X 1 + X 2)= 3.故 2| FP | = |FA | + |FB |，即 |FA |, |FP | , |FB | 成等差数列. 设该数列的公差为 d ,贝U 2|d | =|| F B — | F A || =；|X 1 — X 2| = 2X 1 + X 2 2— 4x 1X 2.②将m= 4代入①得k =— 1,所以I 的方程为y = — x + 4,代入C 的方程, 并整理得7X 2— 14X + 4= 0.4故X 1 + X 2= 2,灭风二；1，代入②解得|d | =，~~~.28 28 所以该数列的公差为 328 1或— 3221.2 2【变式探究】已知椭圆 C ： %+ X2= 1(a >b >0)的上、下焦点分别为 F 1, F 2，上焦点R 到直线4x + 3y + 12= 0a b1的距离为3，椭圆C 的离心率e = 2. (1)求椭圆C 的方程;由题设知X1 ； X2 y 1 + y 22 = m是k ——4m ① 由题设得0<叶3, 1 k <—2.(2)解由题意得F (1,0).设 P (X 3, y 3),于是 | FA | = —X 1 —]"+ y 1=X1即 X 2(y 1-1) + X 1( y 2-1) = 0.(*)解 ⑴由已知椭圆厂的方程为M +& b设椭圆的焦点尺(6 ri, 由岛到直线的距禽为3,又楠圆卞的离心率戶二所以又几 求得3-4, F=3・⑵存在•理由如下：由(1)得椭圆E设直线AB 的方程为y = kx + 1( k z 0),y =kx +1,联立 x 2y 21消去 y 并整理得(4 k 2+ 1)x 2+ 8kx - 12= 0,△ =(8 k )2+ 4(4 k 2+ 1) X 12= 256k 2+ 48>0.由于PM =入 P A P B—+ — qPAPP B所以PM 平分/ APB所以直线PA 与直线PB 的倾斜角互补, P A P B否存在点P ,使得PM=入 —+二一?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.Q PA 丨PB 丿设 A (x 1, yd , R X 2, y 2),假设存在点 P (0 , t )满足条件,所以 k pA + k pB = 0.将 y i = kx i + 1, y 2= kx 2+1 代入(*)式,整理得 2kx i X 2+ (1 — t )(x i + X 2) = 0,整理得 3k + k (1 — t ) = 0,即卩 k (4 — t ) = 0, 因为k 工0,所以t = 4.〉 PA PB所以存在点 P (0,4)，使得PM=入 —— + ——QPA |PE|) 【感悟提升】 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1) 当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.2 2x y4的椭圆—+ 2 = 1(a >b >0)过点a bP 1, 2，点F 是椭圆的右焦点.(1)求椭圆方程；⑵在x 轴上是否存在定点 D 使得过D 的直线I 交椭圆于A, B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且A , F , E 三点共线？若存在，求 D 点坐标；若不存在，说明理由.解 (1)••• 2 a = 4,••• a = 2,2 2•椭圆方程为4 + 3 =匸 (2)存在定点D 满足条件.设 D ( t, 0)，直线 l 方程为 x = my + t ( nr 5 0),x = my +1 ,联立 x 2 y 2_+一=1, 4 32 2 2消去 x ，得(3m + 4)y + 6mt • y + 3t — 12= 0,所以一2k • 124k 2+ 1 —t x — 8k 4k 2+ 10,【变式探究】已知长轴长为将点P 1, 3代入 2 22+ b 2= 1，得 b 2= 3设A(X1, y" , E(X2, y2)，则日X2, —y2),广一6mtyi+y2=3m+ 4，i2且△ >0.3t - 12l y iy2=丽T4由A F, E 二点共线，可得(X2 —1)y i + (X i —1) y2= 0,即2myy2+ (t —1)( y i + y2)= 0,23t —12 —6mt二 2 m-——2 , + (t —1) • —2 , = 0,3m+ 4 ' ) 3m + 4 '解得t = 4,2此时由△ >0得m>4.•••存在定点D(4,0)满足条件，且m满足m>4.题型四圆锥曲线中的存在性问题2 2x y例4、椭圆E： a2+含=1(a>b> 0)的右顶点为A,右焦点为F,上、下顶点分别是CF交线段AB于点D且| BD = 2| DA.(1) 求E的标准方程；(2) 是否存在直线I，使得I交E于M N两点，且F恰是△ BMN^垂心？若存在，求说明理由.【解析】(1)解法一由题意知F(c, 0) , A(a, 0), B(0 , b), C(0，—b),所以直线AB的方程为a+ b= 1,直线CF的方程为c —y= 1,a b c bT T T 厂2ac 2因为|BD = 2|DA ,所以BD= 2DA所以BD= o BA得——=a ,3 a+ c 3解得a= 2c ,所以b=/a2—c2= “』3c.因为|AB = 7 ,即a2+ b2= 7 ,所以7c= 7 ,2 2所以c = 1 , a= 2 , b= p3,所以E的标准方程为X + y = 14 3解法二如图，设E的左焦点为G连接BG由椭圆的对称性得BG/ CF,B, C | AB = .7,直线l的方程；若不存在,得, X—b= 1 cb2ac XD= a+ c3k = 33，1厂1 VRucI GF I BD | 则 |FA|=咸=2，即 I GF = 2| FA |，由题意知 F ( c, 0)，则 | GF = 2c , | FA = a -c ,所以 2c = 2( a - c )，得 a = 2c , 所以 b =「J a 2- c 2=「(3c .因为| AB =寸7,即寸a + b =寸7,即卩(7c = 7,所以 c = 1, a = 2, b =・』3,2 2所以E 的标准方程为x +y =i. 4 32 2x VL⑵ 由(1)知，E 的方程为4 + 3 = 1,所以B (0 , 3) , F (1,0),所以直线BF 的斜率k BF =-3.假设存在直线I ,使得F 是厶BMN 勺垂心，连接 BF,并延长，连接 MF 并延长，如图，则 BF 丄MN MFL BN设 I 的方程为 y = jx + m Mx i , y i ) , N X 2 , y 2),因为 MH BN 所以MF ・BN= 0.因为 MF = (1 — X 1,— y 1), BN = (X 2, y — 3),y=^x + m由2 2匸+y -= i .4 十 3 '得，13x 2+ 8、3mx+ 12(卅―3) = 0,由△= (8 3n )2— 4X 13X 12(卅一3) > 0 得,39—3 v *39 3X l + X 2 =X 1X 2 =12 2' m —.13所以(1 — X 1) X 2— y« y 2 — -J 3) = 0,整理得(1 —申司以1 + X 2) — 3X 1X 2— m +寸3m= 0, 13屮( 8 J3m"— 4 .12 m- 3 “ —13 厂 3 13整理得 21m — 5、3m- 48= 0,解得 m= 丫 3或 n =—豊］3当m= 3时，M 或N 与B 重合，不符合题意，舍去； 当m =—1加时，满足-；9< m v 界所以存在直线I ，使得F 是厶BMN 勺垂心，l 的方程为y = ^X —打2 2【变式探究】已知圆 O: X + y = 4,点F (1,0) , P 为平面内一动点，以线段 FP 为直径的圆内切于圆 Q 设 动点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；一 1 一 一⑵ M N 是曲线C 上的动点，且 直线MN 经过定点(0 ,刁，问在y 轴上是否存在定点 Q 使得/ MQ =Z NQQ 若存在，请求出定点 Q,若不存在，请说明理由.解析：(1)设PF 的中点为S ,切点为T ,连QS ST ,则|QS + |SF = |QT = 2,取F 关于y 轴的对称点F ', 连接 F ' P,所以 | PF = 2| QS ，故 | F' P | + | FP = 2(| QS + | SF |) = 4, 所以点P 的轨迹是以F ', F 分别为左、右焦点，且长轴长为4的椭圆,2 2则曲线C 方程为X + y = 1.4 3 (2)假设存在满足题意的定点Q,设Q0 , m ,—m + 3m= 0, 所以1 — 3 m 即(1 — X )X2+ m + 1+ m = 0,当直线MM 勺斜率存在时，设直线 MN 勺方程为y = kx + M>i , y i ) , N (x 2, y0 .2 2x y匕 +3 = i,联立，得iy = kx +则△> 0, x i + X 2 = 3-4k .,-ii XiX2= 3 + 4k 2,由/ MQO / NQO 得直线MQ 与NQ 勺斜率之和为零，易知 x i 或X 2等于y i - m y 2 — m时，不满足题意，故七;-+—=i i kx i + 2 - m kx 2+ 2 - m 2kx i X 2+ + = X i X 2 X i + x 2X 1X2 J — ii 门 、、—4k 4k m — b即 2kXiX2+ 2-m (Xi + X2) = 2k • 3+ 4k 2+ 2- m 3+ 4k 2 = 3+ 4k 2= 0,当k ^0时，m = 6，所以存在定点(0,6)，使得/ MQO / NQO 当k = 0时，定点(0,6)也符合题意. 易知当直线 MN 的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意. 综上，存在定点(0,6)，使得/ MQ =Z NQO 2 2消去 x ,得(3 + 4k )x + 4kx - 11 = 0,。

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2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编(2019北京理数) （4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A)a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2(C ）a =2b (D ）3a =4b(2019北京理数） （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程;（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．(2019北京文数） （5)已知双曲线2221x y a-=(a >0)a =（ （B)4（C ）2（D)12(2019北京文数） （11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．(2019北京文数） （19）（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若｜OM ｜·｜ON ｜=2，求证：直线l 经过定点．（2019江苏) 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .（2019江苏） 17．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．(2019全国Ⅰ理数) 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，(),过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ理数) 16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =,120FB F B ⋅=,则C 的离心率为____________．(2019全国Ⅰ理数） 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1)若｜AF |+｜BF ｜=4，求l 的方程； (2）若3AP PB =，求|AB ｜．（2019全国Ⅰ文数） 10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒(2019全国Ⅰ文数） 12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ文数） 21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4，⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．(2019全国Ⅱ理数)1. 若抛物线13)0(2222=+>=py p x p px y 的焦点是椭圆的一个焦点，则p=________A 。

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用方面，我们可以寻找符合条件的等量关系和进行等价转换，数形结合。

需要注意的是，定义的适用条件也要考虑清楚。

典型例题：例1：已知动圆M与圆C1：(x+1)^2+y^2=36内切，与圆C2：(x-1)^2+y^2=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：已知方程x^2/y^2+1=1表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断焦点位置之前，需要先将圆锥曲线化成标准方程。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题：例1：已知方程x^2/a^2+y^2/b^2=1表示的焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围。

例2：已知方程9-x^2/5-y^2/k=0，求k的取值使得方程为椭圆或双曲线。

题型三：圆锥曲线焦点三角形问题圆锥曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

常用正弦、余弦定理求解。

同时，PF，PF' = n，m+n，m-n，mn，m+n这四个关系也有应用。

典型例题：例1：椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求ΔF1PF2的面积。

例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求ΔF1PF2的面积。

双曲线的标准方程为什么？题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在求离心率、渐近线时，需要利用a、b、c三者的相等或不等关系式进行计算，同时注重数形结合思想和不等式解法。

典型例题：例1：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，渐近线方程为y=(b/a)x，求a、b、c的大小关系式和渐近线的最值或范围。

难点自选专题三 “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略[全国卷3年考情分析]解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明．考法·策略(一) 依据关系来证明[典例](2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .[解](1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 则点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22.又M (2,0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x －2， 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y1x1－2＋y2x2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝错误!.将y ＝k (x －1)代入x22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k22k2＋1，x 1x 2＝2k2－22k2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k＝4k3－4k －12k3＋8k3＋4k2k2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB 成立．[题后悟通] 几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[应用体验]1．设椭圆E 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而得a ＝5b ，c ＝a2－b2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b6.又AB ―→＝(－a ，b )，从而有AB ―→·NM ―→＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB ―→·NM ―→＝0，故MN ⊥AB .考法·策略(二) 巧妙消元证定值[典例] 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解](1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.又c ＝a2－b2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4.又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PA 的方程为y ＝y0x0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y0x0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y0x0－2.直线PB 的方程为y ＝y0－1x0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x0y0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x0y0－1.所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x0y0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y0x0－2＝错误!＝2x0y0－2x0－4y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．[题后悟通] 解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等．[应用体验]2．(2019届高三·湘东五校联考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，已知P (2,3)，Q (2，－3)是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线P Q 两侧的动点．当A ，B 运动时，满足∠AP Q ＝∠BP Q ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．解：(1)由题意知椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4， ∴椭圆C 的方程为x216＋y212＝1.(2)直线AB 的斜率是定值，理由如下： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵∠AP Q ＝∠BP Q ，∴直线PA ，PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)， 由错误!得(3＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－48＝0， ∴x 1＋2＝错误!，将k 换成－k 可得x 2＋2＝错误!＝错误!， ∴x 1＋x 2＝16k2－123＋4k2，x 1－x 2＝－48k3＋4k2，∴k AB ＝y1－y2x1－x2＝错误!＝错误!＝错误!， ∴直线AB 的斜率为定值12.考法·策略(三) 构造函数求最值[典例]在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，A (0,22)，B (0，－22)，S△ABC ＝223.动点P 的轨迹为曲线E ，曲线E 过点C 且满足|PA |＋|PB |的值为常数．(1)求曲线E 的方程．(2)过点Q (－2,0)的直线与曲线E 总有公共点，以点M (0，－3)为圆心的圆M 与该直线总相切，求圆M的最大面积．[解](1)由已知|AB |＝42， S △ABC ＝12|AB ||AC |＝223，所以|AC |＝13.因为|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝6＞|AB |＝42，所以曲线E 是以点A ，B 为焦点的椭圆且2a ＝6,2c ＝4 2.所以a ＝3，c ＝22⇒b ＝1，所以曲线E 的方程为x 2＋y29＝1.(2)由题意可设直线方程为y ＝k (x ＋2)，联立错误!消去y ，得(9＋k 2)x 2＋4k 2x ＋4k 2－9＝0，则Δ＝(4k 2)2－4(9＋k 2)(4k 2－9)≥0，解得k 2≤3.因为以点M (0，－3)为圆心的圆M 与该直线总相切，所以半径r ＝|2k ＋3|1＋k2. 令r 2＝f (k )＝错误!，则f ′(k )＝错误!＝错误!.由f ′(k )＝0，得k ＝23或k ＝－32，当k ＝23时符合题意，此时可得r ＝|2k ＋3|1＋k2＝13.即所求圆的面积的最大值是13π.[题后悟通] 最值问题的2种基本解法[应用体验]3．(2018·合肥一检)在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2.以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E 恰好经过点⎝⎛⎭⎫1，22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上． 设椭圆E 的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则b ＝c ， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的方程为x22b2＋y2b2＝1.又椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，22，∴12b2＋12b2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x22＋y 2＝1.(2)∵点(－2,0)在椭圆E 外，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由错误!消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＞0，得0<k 2＜12，从而x 1＋x 2＝－8k21＋2k2，x 1x 2＝8k2－21＋2k2，∴|MN |＝1＋k2|x 1－x 2|＝21＋k2·错误!. ∵点F 2(1,0)到直线l 的距离d ＝3|k|1＋k2，∴△F 2MN 的面积S ＝12|MN |·d ＝3错误!.令1＋2k 2＝t ，则t ∈(1,2)，∴S ＝3错误!＝3错误!＝3－1＋3t －2t2＝3－2⎝⎛⎭⎫1t －342＋18，当1t ＝34，即t ＝43错误!时，S 有最大值，S max ＝错误!，此时k ＝±错误!. ∴当直线l 的斜率为±66时，可使△F 2MN 的面积最大，其最大值为324.考法·策略(四) 找寻不等关系解范围[典例]已知点A ，B 分别为椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，点P (0，－2)，直线BP 交E 于点Q ，PQ―→＝32QB―→，且△ABP 是等腰直角三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．[解](1)由△ABP 是等腰直角三角形，知a ＝2，B (2,0)， 设Q (x 0，y 0)，由PQ ―→＝32QB ―→，得x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程，解得b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，设方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x24＋y2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，则x 1＋x 2＝16k 1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k2.由直线l 与E 有两个不同的交点，得Δ＞0，则(－16k )2－4×12×(1＋4k 2)＞0，解得k 2＞34.①由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则OM ―→·ON ―→＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0， 则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k2－2k ·16k1＋4k2＋4＞0，解得k 2＜4.②联立①②可知34＜k 2＜4，解得32＜k ＜2或－2＜k ＜－32，故直线l 斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. [题后悟通] 范围问题的解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围，(如本例)；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；(5)利用函数值域的求法，确定所求范围；(6)利用已知，将条件转化为n 个不等关系，从而求出参数的范围(如本例)．[应用体验]4．已知A ，B 分别为曲线C ：x2a2＋y 2＝1(y ≥0，a ＞0)与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B 且与x 轴垂直，M 为l 上位于x 轴上方的一点，连接AM 交曲线C 于点T .(1)若曲线C 为半圆，点T 为的三等分点，试求出点M 的坐标．(2)若a ＞1，S △MAB ＝2，当△TAB 的最大面积为43时，求椭圆的离心率的取值范围．解：(1)当曲线C 为半圆时，得a ＝1.由点T 为的三等分点，得∠BOT ＝60°或120°. 当∠BOT ＝60°时，∠MAB ＝30°，又|AB |＝2， 故△MAB 中，有|MB |＝|AB |·tan 30°＝233，所以M ⎝⎛⎭⎫1，233.当∠BOT ＝120°时，同理可求得点M 坐标为(1,23)．(2)设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋a )，则k ＞0，|MB |＝2ka ，所以S △MAB ＝12·2a ·2ka ＝2，所以k ＝1a2，代入直线方程得y ＝1a2(x ＋a )，联立错误!解得y T ＝错误!，所以S △TAB ＝12·2a ·2a a2＋1＝2a2a2＋1≤43，解得1＜a 2≤2，所以椭圆的离心率e ＝1－1a2≤22， 即椭圆的离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，22.考法·策略(五) 确定直线寻定点[典例](2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解](1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a2＋1b2>1a2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝1.故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2， 可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t22.则k 1＋k 2＝4－t2－22t －4－t2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k2＋1，x 1x 2＝4m2－44k2＋1.而k 1＋k 2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m －1x1＋kx2＋m －1x2＝错误!.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m2－44k2＋1＋(m －1)·－8km4k2＋1＝0.解得m ＝－2k －1.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝kx －2k －1＝k (x －2)－1，所以l 过定点(2，－1)．[题后悟通] 直线过定点问题的解题模型[应用体验]5．(2018·贵阳摸底考试)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．解：(1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，∴2k2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k BD ＝y2＋y1x2－x1＝y2＋y1y224－y214＝4y2－y1，∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y2－y1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1， ∵y 21＝4x 1，y 2＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)．考法·策略(六) 假设存在定结论(探索性问题)[典例] 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(G 在M ，H 之间)，设直线l 的斜率k ＞0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．[解](1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，b ＝3，c2＝a2－b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x24＋y23＝1消去y 并整理得，(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，由Δ＞0，解得k ＞12.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2，x 1＋x 2＝－16k4k2＋3.假设存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形，则PG ―→＋PH ―→＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)， GH ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))，(PG ―→＋PH ―→)·GH ―→＝0，即(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0， 所以(1＋k 2)·－16k4k2＋3＋4k －2m ＝0，解得m ＝－2k 4k2＋3＝－24k ＋3k.因为k ＞12，所以－36≤m ＜0，当且仅当3k ＝4k 时等号成立，故存在满足题意的点P ，且m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－36，0.[题后悟通] 探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．[应用体验]6．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x22＋y2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y1＋y22＝t9，且－3<t <3.由PM ―→＝NQ ―→，得⎝⎛⎭⎫x1－x3，y1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.也可由PM ―→＝NQ ―→，知四边形PM Q N 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段P Q的中点，所以y 0＝53＋y42＝t9，⎭⎫可得y4＝2t －159又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾．因此不存在满足条件的直线．。

2019二卷数学圆锥曲线
2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分，是许多考生心中的痛点。

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它涉及的知识点广泛，对思维能力要求高，因此难度较大。

在2019年的高考数学二卷中，圆锥曲线部分更是成为了一个难点，许多考生在此部分失分严重。

圆锥曲线部分主要考察了椭圆的性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系等知识点。

其中，最让考生头疼的是计算问题。

由于涉及到的数学公式较多，计算过程繁琐，很多考生在解题过程中出现了错误，导致最终答案不准确。

为了更好地掌握圆锥曲线部分的知识点，考生需要在平时的学习中多加练习。

通过大量的练习，考生可以逐渐掌握解题技巧，提高计算能力和思维敏捷度。

此外，考生还需要注重基础知识的学习，掌握椭圆的基本性质和标准方程，以便在解题时能够灵活运用。

除了练习和基础知识的学习，考生还需要注意一些细节问题。

例如，在解题过程中要仔细审题，避免因为看错题目或理解错误而导致失分。

同时，考生还需要注意计算的准确性和速度，在考试时合理安排时间，避免因为时间不够而影响最终成绩。

总之，2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分难度较大，需要考生在平时的学习中多加练习，注重基础知识的学习和细节问题的处理。

只有这样，考生才能够在考试中取得更好的成绩。

圆锥曲线1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( ) A.62 B.52 C. 3 D ．2 答案 A2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.25答案 B解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2c sin π3＝2R ， ∴R ＝233c ， ∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2， 则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2， 可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32， ∴e ＝c a ＝23. 3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.4．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)解析 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)， 令＝－c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a ， 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，D (0，b )， 可得AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b －b 2a ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b 2a ， 若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0，即0－2b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b 2a <0， 化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<2，又e >1，可得1<e <2；若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0， 即c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a －b <0， 化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0， 由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0， 又e >1，可得e >2＋2；又AB →·DB →＝2b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋b 2a >0， ∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．5．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥轴，则|MN |＝2b 2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ |2|MN |＝42＝2 2. 方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为，则MN 的方程为y ＝(＋1)，M (1，y 1)，N (2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧ y ＝k x ＋1x 22＋y 2＝1，整理得(22＋1)2＋42＋22－2＝0，Δ＝82＋8>0.由根与系数的关系，得1＋2＝－4k 22k 2＋1，12＝2k 2－22k 2＋1， 则|MN |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝22k 2＋12k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝，P (3，y 3)，Q (4，y 4)， 则⎩⎨⎧ y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2， 则|OP |2＝23＋y 23＝21＋k 21＋2k 2， 又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝81＋k 21＋2k 2， 所以|PQ |2|MN |＝2 2.综上，|PQ |2|MN |＝2 2. 6．已知抛物线C ：y 2＝2p (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆2－p ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________． 答案 ±22解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由2－p ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2， 所以直线l 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，可得|CD |＝2p ， 若直线l 的斜率不存在，则l ：＝p2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在． ∴可设直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (1，y 1)，B (2，y 2)， 联立⎩⎨⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，化为2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2p k 2＋p 24＝0， 所以1＋2＝p ＋2p k2， 所以|AB |＝1＋2＋p ＝2p ＋2p k2， 由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2p k2＝6p ， 可得2＝12，所以＝±22. 7．已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1由题意得2b a≤1， 所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2，所以e 2≥34， 又因为0<e <1，所以32≤e <1. 8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为＝ty －1，由⎩⎨⎧ x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，消去，得(4＋3t 2)y 2－6t y －9＝0， 显然Δ>0恒成立，设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝ 36t 24＋3t 22＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2| ＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)． 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为2＋y 2＝12.。

圆锥曲线1．已知F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF2→＝13F2B →，则该双曲线的离心率为( ) A.62 B.52C. 3 D ．2 答案 A解析 由F 2(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为d ＝bc a2＋b2＝b ，即|AF2→|＝b ，则|BF2→|＝3b . 在△AF 2O 中，|OA →|＝a , |OF2→|＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ，tan ∠AOB ＝4b a ＝2×b a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A. 2．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.25答案 B()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3， 可得|PF 1||PF 2|＝43()a2－c2， 则由三角形面积公式12()|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a2－c2·32， ∴e ＝c a ＝23. 3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH ，AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于长半轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，且点F 不在定直线AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.4．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)解析 设双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)， 令x ＝－c ，可得y ＝±b c2a2－1＝±b2a，设A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b2a ，D (0，b )， 可得AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，b －b2a ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－c ，－b －b2a ， 若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0，即0－2b2a ·⎝⎛⎭⎪⎫b －b2a <0， 化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a <2， 又e >1，可得1<e <2；若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0，即c 2－⎝⎛⎭⎪⎫b2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2a －b <0， 化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0， 又e >1，可得e >2＋2；又AB →·DB →＝2b2a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋b2a >0， ∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞)．5．已知直线MN 过椭圆x22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ|2|MN|＝________. 答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴，则|MN |＝2b2a ＝22＝2，|PQ |2＝4，|PQ|2|MN|＝42＝2 2. 方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ|2|MN|＝22； 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程错误!整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－4k22k2＋1，x 1x 2＝2k2－22k2＋1， 则|MN |＝1＋k2错误! ＝22＋2k2＋1.直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x22＋y2＝1，解得x 2＝21＋2k2，y 2＝2k21＋2k2， 则|OP |2＝x 23＋y 23＝错误!， 又|PQ |＝2|OP |， 所以|PQ |2＝4|OP |2＝错误!，所以|PQ|2|MN|＝2 2. 综上，|PQ|2|MN|＝2 2. 6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x2－px ＋y 2－34p 2＝0交于C ，D 两点，若|AB |＝3|CD |，则直线l 的斜率为________． 答案 ±22 解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由x 2－px ＋y 2－34p 2＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2， 所以直线l 过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，可得|CD |＝2p ， 若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝p 2，|AB |＝2p ，|CD |＝2p ，不符合题意， ∴直线l 的斜率存在．∴可设直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y2＝2px ，化为x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2p k2x ＋p24＝0， 所以x 1＋x 2＝p ＋2p k2， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k2， 由|AB |＝3|CD |，所以2p ＋2p k2＝6p ， 可得k 2＝12，所以k ＝±22. 7．已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1由题意得2b a≤1， 所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2，所以e 2≥34， 又因为0<e <1，所以32≤e <1. 8．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty －1，x24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝错误!＝ 错误!＝错误!，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2| ＝6t2＋14＋3t2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 2＝－1718(舍去)． 又圆O 的半径r ＝|0－t×0＋1|1＋t2＝11＋t2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.。