等边三角形
【导入】如图，在△ABC 中，
AB=AC
，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AB 交AC 于点E ，△ADE 是等腰三角形吗？为什么？
1. 的三角形叫做等边三角形。
2.等边三角形的三个角是什么关系？试证明。
如图：△ABC 是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C
总结：
等边三角形的三条边 。
等边三角形的三个角 ，每个角等于 。 练习： 1.如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则∠BAD 的度数为 。
2.如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=10cm ，则线段DC 的长为 cm ．
3.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度．
4.如图，△ABC 是等边三角形，BC ⊥CD ，且AC=CD ，则∠BAD 的度数为（ ）
三．例题.如图，已知△ABC 与△ADE 都是正三角形． 问：（1）EB 与DC 相等吗？为什么？
（2）∠BDC 与图中哪个角相等？为什么？
A
C
已知：如图等边三角形ABC 中，D 是AC 中点，过C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE ，求证：BD=AE ．
四．如图:△ABC 是等边三角形,作线段AD ⊥BC 垂足为D 。 则有：1. △ABD 是 三角形，∠BAD= °。
2.BD 与CD 有怎样的数量关系？与BC 呢？
3.BD 与AB 有怎样的数量关系？
总结：在 三角形中，30°角所对的 边是 边的 。
练习：
1.在Rt △ABC 中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm ，则BC 的长 。
2.如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=3， 则∠1的度数为 ，AB= ．
3.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 中点，DE ⊥AC 于E ，若CE=1， 则AB= 。
4.如图，已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4． 求：（1）线段AF 的长度；（2）线段BE 的长度．
A C
5.如图，已知在△ABC中，120
，，的垂直平分线EF交AC于点E，交BC
=∠=?
AB AC BAC AC
于点F，试说明2
=．
BF CF
6.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2= 。
7.如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数
是。
8.如图，等边三角形ABC的边长为2，BC边上的高交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则AE的长是．
直角三角形
一、知识要点
1、直角三角形的判定定理: .
2、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中, 上的中线等于的一半.
3、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么
.
4、直角三角形性质定理(三):在直角三角形中,如果一条直角边等于斜
边的一半,那么 .
(定理一、二通常用于证明线段之间的倍分关系;定理三通常用于求三角形中
角的度数)
5、斜边、直角边定理:
(1)定理内容: .
(2)定理作用: .
6、角平分线的判定定理
(1)定理内容: .
(2)用符号语言表示:如图,∵ ,
∴ .
二、知识运用典型例题
例1：已知:△ABC中,∠ACB=90°,CD是高, ∠A=30°.求证:BD=1
4
AB.
A
D
O
P
B
例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=1
2
AC. 则∠A=_____.
例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC
上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.
例4：如图3，AD 求证：（1） （2）
例5：已知如图，为B 、C.试说明EB=FC.
A
D
C
B
例6：（2007，南充）如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还
是角平分线？请说明你判断的理由．
巩固练习
1、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.
2a B.3a C.4
a
D.以上结果都不对 2、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:5
3、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .
4、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
5、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .
6、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .
7、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.
A
B
C
D F
E
A B
D E
8、如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD,求证:AD=BC.
9、如图所示，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且BF＝CE。求证：△ABC是等腰三角形。
作业
1.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E是AC的中点，DE=2cm，∠BCD=20°，那么AC= cm，∠A= °
2.到直角三角形三个顶点的距离相等的点在
3.若直角三角形的斜边上高与斜边上的中线长分别为2cm，3cm，则这个直角三角形的面积为cm2
4.如图，在锐角△ABC中，已知BN、CM均为高，P为BC中点，联结MN、MP、NP，若
∠MPN=60°，则△PMN的形状为
A
C
B
D
第1题图第4题图第5题图
第6题图第7题图第8题图
二、选择题
5.如图所示，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，则∠D的度数为（）
A、35°
B、65°
C、55°
D、45°
6.如图所示，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，E是AC中点，下列结论一定正确的是（）
A.∠4=∠5 B、∠1=∠2 C、∠3=∠4 D、∠B=∠2
7.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC中点，联结DE，则△CDE的周长为（）
A、20
B、12
C、14
D、13
8.如图，已知点D为AB的中点，EA⊥AB，CB⊥AB，AE=AB=2BC，那么下列结论中，不正确的是（）
A、DE=AC
B、∠E+∠C=90°
C、∠CAB=30°
D、∠EAF=∠ADE
三．解答题
9.已知：如图，AD、BE相交于点C，AB=AC，EC=ED，M、F、G分别是AE、BC、CD的中点。
求证：（1）AE=2MF；（2）MF=MG
10.已知：如图，在△ABC 中，∠B=
2
1
∠A ，CD ⊥BC ，CE 是边BD 上的中线。 求证：AC=2
1
BD
11.已知，如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是边AB 的中点，DE ∥AC ，且DE=AC ，联结AE ，
求证：AE=2
1AB
12.如图，△ABC中，∠ABC=90°，E为AC的中点，在图中作点D，使得AD∥BE，且∠ADC=90°，在AD上取点F，使FD=BE，分别联结EF、ED、BD。试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系，并说明理由。
等边三角形 【导入】如图，在△ABC 中， AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AB 交AC 于点E ，△ADE 是等腰三角形吗？为什么？ 1. 的三角形叫做等边三角形。 2.等边三角形的三个角是什么关系？试证明。 如图：△ABC 是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C 总结： 等边三角形的三条边 。 等边三角形的三个角 ，每个角等于 。 练习： 1.如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则∠BAD 的度数为 。 2.如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=10cm ，则线段DC 的长为 cm ． 3.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度． 4.如图，△ABC 是等边三角形，BC ⊥CD ，且AC=CD ，则∠BAD 的度数为（ ） 三．例题.如图，已知△ABC 与△ADE 都是正三角形． 问：（1）EB 与DC 相等吗？为什么？ （2）∠BDC 与图中哪个角相等？为什么？ A C
已知：如图等边三角形ABC 中，D 是AC 中点，过C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE ，求证：BD=AE ． 四．如图:△ABC 是等边三角形,作线段AD ⊥BC 垂足为D 。 则有：1. △ABD 是 三角形，∠BAD= °。 2.BD 与CD 有怎样的数量关系？与BC 呢？ 3.BD 与AB 有怎样的数量关系？ 总结：在 三角形中，30°角所对的 边是 边的 。 练习： 1.在Rt △ABC 中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm ，则BC 的长 。 2.如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=3， 则∠1的度数为 ，AB= ． 3.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 中点，DE ⊥AC 于E ，若CE=1， 则AB= 。 4.如图，已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4． 求：（1）线段AF 的长度；（2）线段BE 的长度． A C
锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c， B c a A b C 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ； 斜边c 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ； 斜边c 锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a . A的邻边b 同理 sin B B的对边b ； cos B B的邻边 a ； tan B B的对边 b ． 斜边c斜边c B的邻边a 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条
，， ，不能理解成sin 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
龙文教育学科教师辅导讲义 课题九（下）第一章、解直角三角形 教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角 三角形中加以解决。会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。 2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。 3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习 品质。 重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 考点及考试要求 教学内容 1.1~1.2锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: sin,cos,tan a b a A A A c c b === ★22 sin sin cos(90)cos,tan,sin cos1 cos A A A B A A B A =-==+= o ★三角函数的单调性：090sin sin1 A B A B ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 090cos cos1 A B B A ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 04590tan1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞ o o o 当时，0 0180tan A A A <<< o o 当时，sin 如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α ∠，b ∠ =,sin CD EF CD b EF OC OE α=== Q sin CD EF < Q,sin sin a b < Q =,tan CD AB CD AB OC OB αα === Q sin,CD AB < Q tan αα ∴< sin 其它均可用上图来证明。 30°，45°，60°的三角函数值（见右表） 例（1）计算： sin60°·tan30°+cos 2 45°= （2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为
第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起 课时安排 2 课时 从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之 —. 锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用. 如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题. 本节首光从梯子的倾斜程度谈起。引入了第—个锐角三角函数——正切. 因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的. 所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA 、cosA、tanA 表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算. 本节的重点就是理解tanA、sinA 、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA 的数学含义. 所以在教学中要
注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念， 使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表 达和思考，特别关注他 们对概念的理解. 第一课时 课题 § 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（一） 教学目标 （一）教学知识点 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. （二）能力训练要求 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2. 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 提高解决实际问题的能力. 3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. （三）情感与价值观要求 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点
1 直角三角形的边角关系（讲义） ? 课前预习 1. 根据两个特殊的直角三角形的相关知识填空： 1 3 2 30° A B C a c =_______， b c =_______，a b =_______，b a =_______． 1 1 2 C A 45° b a c =_______， b c =_______，a b =_______，b a =_______． 2. 我们一般将特殊角度（30°，45°，60°）放到__________中处理，同时不能破坏特殊角． 如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，AB =1，则△ABC 的面积为___________． A B C 3. 小明在操场上放风筝，已知风筝线长为250 m ，拉直的线 与地面所成的锐角为α，小明从点A 移动到点A 3的过程中，风筝也从点B 移动到点B 3，小明研究了α的大小与其所在的直角三角形两直角边比值的关系特征，根据小明提供的数据填空． O B 3 A 3 B 2 A 2 B 1A 1 B A
1 在点A 时，α=∠BAO ，BO =240，AO =70， BO AO =________； 在点A 1时，α=∠B 1A 1O ，B 1O =200，A 1O =150， 11B O A O =_____； 在点A 2时，α=∠B 2A 2O ，B 2O =150，A 2O =200， 22B O A O =____； 在点A 3时，α=∠B 3A 3O ，B 3O =70，A 3O =240， 33B O A O =_____； 小明发现，在α逐渐减小的过程中， BO AO 的值逐渐_______， 进一步探索发现，在α逐渐减小的过程中， BO BA 的值逐渐____，AO BA 的值逐渐__________． ? 知识点睛 1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________， tan A =________． 2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______， 余弦cos A ______，正切tan A ______． 3. 特殊角的三角函数值： 60° 45°30°α正切 tan α 余弦 cos α正弦 sin α 4. 计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________ 中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． ? 精讲精练 1. 下列说法正确的是（ ） A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 3 5 = B C A
直角三角形的边角关系讲义 第1节 从梯子的倾斜程度谈起 本节内容： 正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点） 1、正切的定义 在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。 即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A 例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。 2、坡度的定义及表示（难点 D C B A
例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD?的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．?求加高后的坝底HD的长为多少？ 例4 在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。 4、三角函数的定义（重点）
例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。 本节作业： 1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC= 5 3 ，求CD 的长。 2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD= 3 1 ，求tanA 的值。 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 12 5 ，周长为30，求△ABC 的面积。 5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？ 第2节 30°，45°，60°角的三角函数值
第二讲三角形的角 一、教学内容 1.理解三角形内角、外角的概念； 2.探索并证明三角形的内角和定理； 3.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 5.能够运用三角形内角和定理解决简单问题. 二、思维导图 三、知识重难点 考点：三角形内角、外角的概念. 重难点：能够运用三角形内角和、外角和定理解决简单问题. 易错点： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角．
模块一三角形的内角 一、教学内容 1、三角形的内角 三角形的内角： 2、三角形的内角和 三角形内角和定理． 直角三角形中，． 二、例题精讲 【例1-1】如图，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80° C．60°D．40° 【例1-2】△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠A：∠B：∠C=2：3：7，则这个三角形是（） A.锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 【例1-3】在△ABC 中，∠A=2∠B=80°，则∠C 等于（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 练1-1．下列图形中的x＝． 练1-2．在△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C 等于（） A．45°B．60°C．75°D．90° 练1-3. 在△ABC 中，∠A+∠B=130°，∠A－∠B=30°，则△ABC 中最大角等于（）A.50° B. 60° C.70° D. 80°
练1-4. 如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD 的度数是（）A．85°B．90° C．95°D．100° 【例2】如图，△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（） A．90°B．135° C．150°D．270° 练2-1. 如图，将直角三角形沿虚线截去顶角后，则∠1+∠2 的度数为（）A．225°B．235° C．270°D．300° 练2-2. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( ) A.360° B.250° C.180° D.140° 【例3-1】如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线BE，CD 相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC 的度数
没有什么细节因细小而不值得你去做，也没有什么大事大到尽了力还不能办到! 第二讲 等腰三角形和直角三角形 【典型例题】 【例1】1.下列的真命题中，它的逆命题也真的是( )． A 全等三角形的对应角相等 B 两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形 C 等边三角形是锐角三角形 D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2.下列命题中正确的是( )． A 两个全等的三角形是关于某直线对称的轴对称图形 B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形 C 关于某直线对称的两个三角形是全等形 D 关于某直线对称的两个三角形不一定是全等形 【例2】 1.在ABC ?中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若6,4AC BC ==,求BCF ?的周长. 2. 2.如图：已知，在ABC ?中， AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于D 、E 两点.且0150BAC DAE ∠+∠=,求BAC ∠的度数. 3.如图,,AC AD BC BD ==,AB 与CD 相交于点E .求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线. 4.如图,,,A B C 表示三个村庄,现三个村庄决定要集资建一口水井,向三个村庄供水.已知在这三个村庄连线所成的三角形区域内的任何一处都可以打出水,问:将水井建在何处,才能使到这个村庄的距离相等. 题2:1.如图, 在ABC ?中,AC 的垂直平分线交AC 于E ,交BC 于D ,ABD ?的周长为12,5AE =,则ABC ?的周长为___________.
【例3】1.已知,如图,AD 是ABC ?的角平分线,,DE DF 分别是,ABD ACD ??的高. 求证:AD 垂直平分EF 2.已知：在Rt ABC ?中，两个锐角的平分线BO 、AO 相交于点O ,求∠AOB 的度数． 3.已知:ABC ?中,(1)如图1,若点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点,则1902o P A ∠=+ ∠. (2)如图2,若点P 是ABC ∠和外角ACE ∠的角平分线的交点,则90o P A ∠=-∠. (3) 如图3,若点P 是外角CBF ∠和外角BCE ∠的角平分线的交点,则1902 o P A ∠=-∠. 图1 图2 图3 上述说法正确的有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 4.如图,ABC ?中,AD 平分BAC ∠.求证:AB BD AC CD =. 5.如图：在直角三角形ABC 中，锐角C 的平分线交对边于E ，又交斜边上的高AD 于O ，过O 引//OF CB 交AB 于F ,求证：AE BF =． 6.如图，在ABC ?中，0 45B ∠=，AD 平分BAC ∠，AD 的中垂线EF 交BC 的延长线于点F 。求CAF ∠的 度数。 7.如图：ABC ?中，8AB =，4AC =，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线交于D ，DE AB ⊥，DF AC ⊥， E 、 F 为垂足．求BE 的长．
直角三角形性质应用（讲义） 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 1 30° 2 3 42 1 1 A B A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂 线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A B C D E 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． F E C B A 4 3 2 4 3 2 第3题图 第5题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相 交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 4. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________． 5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角 形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10 B ．C ．10 或 D ．10 或 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若 ∠CBD =30°，则AD DC =_________． 7. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ， ∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________． D C B A
∠A的邻边b ∠A的对边a 斜边c C B A (1) 3 4C B A 解直角三角形 24．1锐角三角函数 锐角三角函数概念： 规定：在Rt △BC 中，∠C=90， ∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ． 在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= = a c ． sinA ＝ A a A c ∠=∠的对边的斜边 把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记作cosA ，即cosA= = ； 把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切， = a b ． 记作tanA ，即tanA= 例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求值． sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB= sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB= A ∠的邻边斜边a c A A ∠∠的对边 的邻边_( 2 ) _ 13 _5 _ _C _B _A
特殊角的三角函数值： 30°45°60°siaA cosA tanA 例2：求下列各式的值． （1）cos260°+sin260°．（2）cos45 sin45 ? ? -tan45°． 练习：1、2、计算：
解直角三角形： 角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有以下等量关系 (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边 的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ； (2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)已知： 32 sin = A ，6=c ，求a 、b ；
内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问题。 板块一 勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形 中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 C A B c b a （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： ()2 2222142. ABCD S a b c ab a b c =+=+?∴+=正方形 D C B A （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： ()2 2222142. S c a b ab a b c =-+?∴+=正方形EFGH G F E H （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 2()()11 2222 ABCD a b a b S ab c +-= =?+梯形 222.a b c ∴+= 中考要求 勾股定理
c b a c b a E D C B A 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 板块一、勾股定理 【例1】 下列说法正确的是（ ） A. 若a b c ，，是ABC ?的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ?的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ?的三边，90A ∠=?，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ?的三边，90C ∠=?，则222a b c += 【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 【巩固】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【例3】 已知直角三角形两边x ，y 的长满足224560x y y --+，则第三边长为______________． 【巩固】 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 【例4】 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，， 当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定 C B A 【巩固】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶 端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”） 例题精讲
直角三角形的边角关 系教案
第一章直角三角形的边角关系 §1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起 教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 二、师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆想一想书本P 3 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关， 而与直角三角形的大小无关。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
标准教案 教学内容—勾股定理 知识精要 1勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 2逆定理 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 热身练习 1分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）. A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 2等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（ ）. A.56 B.48 C.40 D.30 3要从电杆离地面5m 处向地面拉一条长为13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）. A.10m B.11m C.12m D.13m 4在?ABC 中，AB=15，AC=13,高AD=12,则?ABC 的周长（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 5 直角三角形的两条边为a ，b ，则斜边上的高为（ ） A.a+b 2 B.22a b 2+ C.1222a b + D.22a b + 6如图在?ABC 中，90C ∠=?,D 为BC 的中点， DE AB ⊥于E 点，则22AE BE -=（ ） A.2AC B.2BD C.2BC D.2DE 7已知一个三角形三条边长之比为3：4：5，则这个 三角形三边上的高之比为 （ ） A.3:4:5 B.5:4:3 C.20:15:12 D.10:8:2
8如图在ABC ?中，AD BC ⊥于点D ，且2AD BD DC =?，判断在ABC ?是不是直角三角形？ 9如图在ABC ?中，90,ACB AC BC ∠=?=,M 是ABC ?内一点，且3,1,2,AM BM CM ===，求BMC ∠的度数。 10如图在ABC ?中，3,4,5AB AC BC ===,现将它折叠，使点C 与点B 重合， （1）画出折痕DE;(2)求折痕DEA 的长。 B D C A C M A B A
三角形复习 知识精要 1．全等三角形: 、的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:__ _____、__ ____、___ ___、___ ___. 3. 全等三角形的性质：全等三角形____ _______，__ _________. 4. 全等三角形的面积、周长、对应高、、相等。 5.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形。 （2）性质： （3）判定方法： 6.等边三角形的定义与性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边相等。 每个内角等于60° 7.等边三角形的判定 热身练习 一．选择题 1.△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△DEF,则补充的这个条 件为（） A.BC=EF B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠C=∠F 2.如图1已知△ABC的六个元素,则图2中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是( ) 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.0 3.使两个直角三角形全等的条件是( ) A.两条边对应相等 B.一条边对应相等 C.两锐角对应相等 D.一锐角对应相等
4.图3是将矩形纸片沿对角线折叠得到的,图中(包括实线、虚线在内)共有全等三角形( )对. 图3 （5题图） A.2 B.3 C.4 D.5 5. ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 6.如图4，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）． 图4 7．填补下列证明推理的理由 如图，△ABC 中，D 是边BC 的中点，延长AD 到点E ，且CE ∥AB ． 求证：△ABD ≌△ECD 证明：∵CE ∥AB （已知） ∴∠B ＝∠DCE （ ） ∵D 是边BC 的中点（ ） ∴BD ＝CD （ ） ∵AE 、BC 相交 ∴∠ADB ＝∠EDC （ ） 在△ABD 和△ECD 中, ∠B ＝∠DCE ，BD ＝CD ，∠ADB ＝∠EDC ∴△ABD ≌△ECD （ ） 精解名题 例1. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。求证：BF CE =。 C A B B ' A ' A C E B D Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｅ
直角三角形 教学内容 一、直角三角形的性质： 除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角 ⑵直角三角形斜边的中线等于 ⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半 二、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法： ⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形 ⑵有两个角的三角形是直角三角形 ⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形 三、勾股定理和它的逆定理： 1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形 注意： 1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）
3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。（请画图） 4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形 边角线判定 直角三角形 2 2 2c b a= + 两 锐 角 互 余 CD=AD=BD (斜边上的中线等于 斜边的一半) 应用： ①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角 形； ②等腰Rt△斜边上的 中线把它分为两个全 等的等腰Rt△。 ①若∠A+∠B=90°，则 △ABC为Rt△; ②若2 2 2c b a= +， 则△ABC为Rt△; ③若CD=AD=BD， 则△ABC为Rt△; 黄金 直角三角形 2:3 :1 : : = c b a 等腰 直角三角形 2 :1:1 : : = c b a 1、掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质 2、掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；
13．3 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 基础题 知识点1等边对等角 1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( ) A．30°B．75°C．150°D．125° 2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( ) A．30°B．40°C．75°D．120° 3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________． # 4．等腰直角三角形的底角的度数为________． 5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD. 知识点2三线合一 7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是() A．过顶点的直线 B．底边的垂线 : C．顶角的角平分线所在的直线
D．腰上的高所在的直线 8．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( ) A．35°B．45°C．55°D．60° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________． ： 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数． 中档题 13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()
解直角三角形 1．（2015·湖南省衡阳市，第12题3分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔 顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）． A．B．51 C．D．101 2. （2015?浙江滨州,第12题3分）如图,在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为( ) A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变 3. 如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（） (3题) （4题） A．（11﹣2）米B．（11﹣2）米C．（11﹣2）米D．（11﹣4）米 4.（2015?山东日照，第10题4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（） A．B．C．D．
5.湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（） （6题）A．34米B．38米C．45米D．50米 6.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( ) A.5米 B.6米 C. 8米 D. 米 二.填空题 1. 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为. （1题）（2题）（3题）（5题） 2. 如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为． 3．（2015?广东广州,第15题3分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ． 4. 在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=． 5.（2015?山东东营,第14题3分）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．
初二直角三角形复习同 步讲义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段 教学内容 一、直角三角形的性质： 除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角 ⑵直角三角形斜边的中线等于 ⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半 二、直角三角形的判定： 除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法： ⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形 ⑵有两个角的三角形是直角三角形 ⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形 三、勾股定理和它的逆定理： 1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足 逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形 注意： 1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、 2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图） 3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。（请画图） 4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形 边角线判定
直角 三角形 2 2 2c b a= + 两 锐 角 互 余 CD=AD=BD (斜边上的中线等 于斜边的一半) 应用： ①斜边上的中线把 Rt△分成两等腰三 角形； ②等腰Rt△斜边 上的中线把它分为 两个全等的等腰 Rt△。 ①若∠A+∠B=90°， 则△ABC为Rt△; ②若2 2 2c b a= +， 则△ABC为Rt△; ③若CD=AD=BD， 则△ABC为Rt△; 黄金 直角 三角形2:3 :1 : : = c b a 等腰 直角 三角形 2 :1:1 : : = c b a 四、线段的垂直平分线和角的平分线 1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线 2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等 3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等 5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在 注意：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。 2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】 1、了解逆命题和逆定理的概念； 2、掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质 3、掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算； 4、掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。 考点一：角的平分线 例1 如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是． 思路分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可． 解：如图，过D作DE⊥BC于E，