第5章 特殊平行四边形检测卷-2020春浙教版八年级数学下册课时训练

浙教版数学八年级下册第五章综合测试卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC＝BD，AB＝CD，AB∥CDB.AD//BC，∠A＝∠CC.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为( )A.平行四边形B、矩形C、菱形 D. 正方形4．在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连结EF，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( )A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5. 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是( )A.S1 > S2B.S1 = S2C.S1<S2D.S1、S2的大小关系不确定6．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连结EF.若EF ＝3，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长为( ) A ．4 B ．4 6 C ．47 D ．287．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′处，则点C 的对应点C′的坐标为( ) A ．(3，1) B ．(2，1) C ．(1，3) D ．(2，3)8．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为( ) A.54 B.52 C.53 D.659．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC ，DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连结DE ，EH ，DH ，FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH ＋∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从中心O3走2走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31 2 m，则长方形花坛ABCD的周长是( )A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是_______________________．(补充一个即可)12．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为_________．13、如图9，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP ＝1，则PP′＝______________.14、已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm，则其面积为______________cm2.15．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，则PE＋PC的最小值是____________．16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是_________________．(填序号)17．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF ⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为________________m.18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB＝3，BC＝5，则CF的取值范围为__________________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，是一个菱形的花坛，花坛的周长为40 m，沿着花坛相对的两个顶点分别修建了两条小路，这两条小路的长度之比为3∶4，请你计算这个花坛的面积是多少？(小路的宽度忽略不计)20. (6分) 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．21．(6分)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点F 是AD 的中点，过点D 作DE ∥AC ，交CF 的延长线于点E ，连结BE ，AE.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形ADBE 的形状，并证明你的结论．22．(6分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止．点P ，Q 的速度的速度都是1 cm/s ，连结PQ ，AQ ，CP ，设点P ，Q 运动的时间为t(s)．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？ (2)当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？ (3)分别求出(2)中菱形AQCP 的周长和面积．EBA23．(6分)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连结AF，DE，DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．24. (8分)如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.(1)试说明OE＝OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.图1 图225．(8分)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连结CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF.②CF＝BC－CD.(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系．②若连结正方形对角线AE，DF，交点为O，连结OC，探究△AOC的形状，并说明理由．参考答案 1-5 BCCCA 6-10 CDDDC11. ∠ABC ＝90°或AC ＝BD 12. 14或15. 2 5 16. ②③④ 17. 4600 18. 53≤CF≤319. 解：设两条小路将于点O ，则AB ＝40 m÷4＝10(m)，又∵AC ∶BD ＝3∶4，，∴OA ∶OB ＝3∶4，设OA ＝3x m ，OB ＝4x m ，则由勾股定理得(3x)2＋(4x)2＝102，解得x ＝2，∴OA ＝6 m ，OB ＝8 m ，∴S △OAB ＝12×OA×OB ＝24(m 2)，∴S 菱形ABCD ＝4S △OAB ＝96 m 220.解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=．又ACE △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥．∴平行四边形ABCD 是菱形； （2）ACE △是等边三角形，60AEC ∴∠=．EO AC ⊥，1302AEO AEC ∴∠=∠=．2AED EAD ∠=∠，15EAD ∴∠=．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=．四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠=．∴四边形ABCD 是正方形．21. 解：(1)证△AFC ≌△DFE 得CF ＝EF ，又AF ＝DF ，∴四边形ACDE 是平行四边形 (2)四边形ADBE 是矩形，由(1)知，四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ∥BC ，AE ＝CD ＝BD ，∴四边形ADBE 是平行四边形，又AB ＝AC ，CD ＝BD ，∴AD ⊥BC ，∴四边形ADBE 是矩形 22. 解：(1)当四边形ABQP 是矩形时，BQ ＝AP ，即：t ＝8－t ，解得t ＝4(2)当AQ ＝CQ 时，四边形AQCP 是菱形，即t 2＋42＝8－t 时，四边形AQCP 为菱形，解得t ＝3(3)当t ＝3时，CQ ＝5，则周长为4CQ ＝20 (cm)，面积为4×8－2×12×3×4＝20(cm 2)23. 解：(1)∵CF ＝BE ，∴CF ＋EC ＝BE ＋EC ，即EF ＝BC.∵在▱ABCD 中，AD ∥BC 且AD ＝BC ，∴AD ∥EF 且AD ＝EF.∴四边形AEFD 是平行四边形．∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°.∴四边形AEFD 是矩形(2)∵四边形AEFD 是矩形，DE ＝8，∴AF ＝DE ＝8.∵AB ＝6，BF ＝10，∴AB 2＋AF 2＝62＋82＝100＝BF 2.∴∠BAF ＝90°.∵AE ⊥BF ，∴△ABF 的面积＝12AB·AF ＝12BF·AE.∴AE ＝AB·AF BF ＝6×810＝24524. 解：(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BOE=∠AOF ＝90°，OB ＝OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE ＝90°=∠AFO+∠MAE ，所以∠MEA ＝∠AFO ，所以Rt △BOE 可以看成是绕点O 旋转90°后与Rt △AOF 重合，所以OE=OF ；(2)OE ＝OF 成立.证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BOE=∠AOF ＝90°，OB ＝OA 又因为AM ⊥BE ，所以∠F+∠MBF ＝90°＝∠B+∠OBE ，又因为∠MBF ＝∠OBE ，所以∠F ＝∠E ，所以Rt △BOE 可以看成是由Rt △AOF 绕点O 旋转90°以后得到的，所以OE=OF ；25. 解：(1)①∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠DAF ＝∠CAF ＋∠DAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF(SAS)，∴∠ACF ＝∠ABD ＝45°，∴∠ACF ＋∠ACB ＝90°，∴BD ⊥CF ；②由①△BAD ≌△CAF 可得BD ＝CF ，∵BD ＝BC －CD ，∴CF ＝BC －CD(2)与(1)同理可得BD ＝CF ，∴CF ＝BC ＋CD(3)①与(1)同理可得，BD ＝CF ，∴CF ＝CD －BC ；②∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，则∠ABD ＝180°－45°＝135°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠CAF ＝90°，∠DAF ＝∠BAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF(SAS)，∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°，∴∠FCD ＝∠ACF －∠ACB ＝90°，则△FCD 为直角三角形，∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点，∴OC ＝12DF ，∵在正方形ADEF 中，OA ＝12AE ，AE ＝DF ，∴OC ＝OA ，∴△AOC 是等腰三角形。

第5章特殊平行四边形单元检测试题（满分100分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A.对角线相等的四边形B.对角线垂直的四边形C.对角线互相平分且相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是（）A.甲量得窗框两组对边分别相等B.乙量得窗框对角线相等C.丙量得窗框的一组邻边相等D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等3. 四边形ABCD是平行四边形，还需要补充一个条件使它为矩形，下列条件正确的是（）A. AO=BOB. AB=ADC. ∠BOA=90∘D. ∠BAC=90∘4. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分5. 在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE // CA，DF // BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90∘，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个6. 如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A.△ABD与△ABC的周长相等B.△ABD与△ABC的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍7. 如图，▱ABCD，从下列四个条件：从①AB=BC，②∠ABC=90∘，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，不能使▱ABCD为正方形的是（）A.①②B.②③C.①③D.②④8. 已知正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，“爱琢磨”学习小组的小明说“若EG⊥FH，则EG=FH”，小红说“若EG=FH，则EG⊥FH”．则他们的说法（）A.小明正确B.小红正确C.都正确D.都不正确9. 在四边形ABCD中，如果AB // CD，AB=BC，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件不可以是（）A.AB=DCB.AD // BCC.AC⊥BDD.AB=AD10. 如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的（）A.1 8B.14C.17D.2√2二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=7，则▱ABCD的周长为________．12. 木工师傅做一个宽60cm，高80cm的矩形木框，为稳固起见，制作时需要在对角顶点间加一根木条，则木条的长为________cm．13. 正方形ABCD的对角线AC=8，则它的边AB=________．14. 如图，在四边形ABCD中，AD // BC，且AD=BC，若再补充一个条件，如∠A=________度时，就能推出四边形ABCD是矩形．15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．16. 点P是四边形ABCD内一点，若PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则给△APB添加一个条件________使四边形EFGH为正方形.17. 如图，菱形ABCD中，AB=5cm，BD=6cm，则AC的长为________cm．18. 若矩形的一条对角线长为2，两条对角线的一个交角为60∘，则矩形两邻边中较长的一边长为________．19. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，若DE // AC，CE // BD，则OE的长为________．20. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F，若添加条件________，则四边形AEDF是矩形；若添加条件________，则四边形AEDF是菱形；若添加条件________，则四边形AEDF是正方形．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BC于点E，BE:ED=1:3，AD=6cm，求AE的长．22. M为平行四边形ABCD的边AB的中点，且MD=MC，你能说明平行四边形ABCD一定为矩形吗？说明你的理由．23. 如图，已知E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE=AC．（1）求∠E的度数；（2）若AB=√2cm，求S△ACE．24. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积．25. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）求∠ACB的度数．26. 如图，点F是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE，AG．（1）求证：△ADG≅△CDE．（2）当CE平分∠ACD时，DG=2，求tan∠AGD的值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：如图所示：∵ 四边形EFGH是矩形，∵ ∠E=90∘，∵ EF // AC，EH // BD，∵ ∠E+∠EAG=180∘，∠E+∠EBO=180∘，∵ ∠EAO=∠EBO=90∘，∵ 四边形AEBO是矩形，∵ ∠AOB=90∘，∵ AC⊥BD，故选：B．2.【答案】D【解答】解：A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确．故选D．3.【答案】A【解答】解：当AO=BO时，可得AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定；当AB=AD时，可判断平行四边形ABCD是菱形；当∠BOA=90∘时，可判断平行四边形ABCD是菱形；当∠BAC=90∘时，不能判断平行四边形ABCD是矩形.故选A.4.【答案】B【解答】A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；5.【答案】A【解答】解：∵ DE // CA，DF // BA，∵ 四边形AEDF是平行四边形；∵ ∠BAC=90∘，∵ 四边形AEDF是矩形；∵ AD平分∠BAC，∵ ∠EAD=∠FAD，∵ ∠FAD=∠ADF，∵ AF=DF，∵ 四边形AEDF是菱形；∵ AD⊥BC且AB=AC，∵ AD平分∠BAC，∵ 四边形AEDF是菱形；故①②③正确．故选A．6.【答案】B【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是菱形，∵ AB=BC=AD，∵ AC<BD，∵ △ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵ S△ABD=12S平行四边形ABCD，S△ABC=12S平行四边形ABCD，∵ △ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的1，故此选项错误；2故选：B．7.【答案】B【解答】解：A、∵ 四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90∘时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 当②∠ABC=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ 当②∠ABC=90∘时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．8.【答案】A【解答】证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，∵ 四边形ABCD是正方形，∵ ∠B=∠C=90∘，BC=AB，∵ EM⊥CD∵ 四边形BCME是矩形，∵ EM=BC，同理HN=AB，∵ EM=HN，由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，∵ ∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90∘，∵ ∠EON=∠HOG，∵ ∠FHN=∠MEG，∵ △HFN≅△EGM，∵ EG=HF；小明的说法是正确的；如图，在BC上找两个点F和F′，使BF′=CF取AD的中点H，连接FH和F′H，易证HF=HF′，作EG⊥HF′，其中点E在AB上，点G在CD上，由上题可知EG=F′H=FH，但HF和EG不互相垂直，小红的说法是错误的．故选：A．9.【答案】D【解答】解：A、∵ AB // CD，AB=DC，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∵ ▱ABCD是菱形，故本选项错误；B、∵ AB // CD，AD // BC，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∵ ▱ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵ AB=BC，AC⊥BD，∵ BD平分AC，且∠ABD=∠CBD，∵ AB // CD，∵ ∠ABD=∠CDB，∵ ∠CBD=∠CDB，∵ AC⊥BD，∵ AC平分BD，∵ 四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D、AB // CD，AB=BC，AB=AD，四边形ABCD可以是以AB、CD为底边的等腰梯形，故本选项正确．故选D．10.【答案】A【解答】∵ 由图知：小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，∵ 计算得小正方形的面积=92，∵ 大正方形面积＝6×6＝36，∵ 小正方形的面积：大正方形面积的＝1:8．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】28【解答】解：∵ AC平分∠DAB，∵ ∠DAC=∠BAC，∵ 四边形ABCD为平行四边形，∵ ∠B=∠D，在△ADC和△ABC中，{∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，∵ △ADC≅△ABC，∵ AD=AB，∵ 四边形ABCD为菱形，∵ AD=AB=BC=CD=7，▱ABCD的周长为：7×4=28，故答案为：28．12.【答案】100【解答】解：设这条木板的长度为x厘米，由勾股定理得：x2=802+602，解得x=100cm．故答案为100．13.【答案】4√2【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，∵ AB=BC，∠ABC=90∘，故AC=√2AB，即AB=4√2．故答案为：4√2．14.【答案】90【解答】解：∵ 四边形ABCD中，AD // BC，且AD=BC，∵ 四边形ABCD为平行四边形，∵ 有一个角为90∘的平行四边形是矩形，∵ 添加∠A=90∘就能推出四边形ABCD是矩形，故答案为：90．15.【答案】∠BAD=90∘【解答】解：∵ 四边形ABCD为菱形，∵ 当∠BAD=90∘时，四边形ABCD为正方形．故答案为∠BAD=90∘．16.【答案】△APB是等腰直角三角形【解答】解：如图：连接AC,BD，设AC,BD交点为O，AC与EH交于点N，AP与BD交于点M，∵ ∠APB=∠CPD，∴ ∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，{AP=BP，∠APC=∠BPD，PC=PD∴ △APC≅△BPD(SAS)，∴ AC=BD，∵ 点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，∵ EH//FG，EF//HG，EF=12AC,FG=12BD，∵ 四边形EFGH是菱形，∵ △APC≅△BPD，∴ ∠CAP=∠DBP，∵ ∠AMO=∠BMP，∴ ∠BOA=∠APB=90▱，∵ ∠EHG=∠ENO=∠AOB=∠NHG=90∘,∵ 四边形EFGH是正方形，故答案为：△APB是等腰直角三角形.17.【答案】8【解答】解：如图所示：∵ 菱形ABCD中，AB=5cm，BD=6cm，∵ BO=3cm，∠AOB=90∘，则AO=√AB2−BO2=4(cm)，故AC=2AO=8cm．故答案为：8．18.【答案】√3【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵ 四边形ABCD为矩形，且AC=BD=2，∵ AO=BO=1．∵ ∠AOB=60∘，∵ △AOB为等边三角形，∵ AB=AO=1．在Rt△ABC中，AB=1，AC=2，∵ BC=√AC2−AB2=√3．故答案为：√3．19.【答案】5【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，∵ BO=OD=4，AO=OC=3，AC⊥BD，∵ CD=5.∵ DE // AC，CE // BD，∵ 四边形ODEC是平行四边形，且AC⊥BD，∵ 四边形ODEC是矩形，∵ OE=CD=5.故答案为：5.20.【答案】∠BAC=90∘,AD平分∠BAC,∠BAC=90∘且AD平分∠BAC【解答】解：∵ DE // AC交AB于E，DF // AB交AC于F，∵ 四边形AEDF为平行四边形，∵ 当∠BAC=90∘时，四边形AEDF是矩形；当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形；当∠BAC=90∘且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形．故答案为∠BAC=90∘，AD平分∠BAC，∠BAC=90∘且AD平分∠BAC．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∵ 四边形ABCD是矩形，BD=AO，∵ ∠BAD=90∘，OB=OD=12∵ BE:ED=1:3，∵ BE=OE，∵ AE⊥BC，∵ AB=AO，∠AED=90∘，∵ AB=OB=AO，∵ ∠ABO=60∘，∵ ∠ADE=30∘，AD=3cm．∵ AE=12【解答】解：∵ 四边形ABCD是矩形，BD=AO，∵ ∠BAD=90∘，OB=OD=12∵ BE:ED=1:3，∵ BE=OE，∵ AE⊥BC，∵ AB=AO，∠AED=90∘，∵ AB=OB=AO，∵ ∠ABO=60∘，∵ ∠ADE=30∘，AD=3cm．∵ AE=1222.【答案】解：依题意，AM=BM，BC=AD，MD=MC⇒△MBC≅△MAD⇒∠A=∠B.又ABCD为平行四边形⇒∠A=∠B=90∘⇒平行四边形ABCD为矩形．【解答】解：依题意，AM=BM，BC=AD，MD=MC⇒△MBC≅△MAD⇒∠A=∠B.又ABCD为平行四边形⇒∠A=∠B=90∘⇒平行四边形ABCD为矩形．23.【答案】解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AB=BC，∠B=90∘，∠ACB=45∘．∵ CE=AC．∵ ∠CAE=∠E，∵ ∠CAE+∠E=∠ACB，∵ ∠CAE+∠E=45∘，∵ ∠E+∠E=45∘，即∠E=22.5∘（2）∵ ∠B=90∘，∵ △ABC是Rt△．由勾股定理，得AC=√2+2=2，∵ EC=2．∵ S△ACE=2×√22=√2．【解答】解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∵ AB=BC，∠B=90∘，∠ACB=45∘．∵ CE=AC．∵ ∠CAE=∠E，∵ ∠CAE+∠E=∠ACB，∵ ∠CAE+∠E=45∘，∵ ∠E+∠E=45∘，即∠E=22.5∘（2）∵ ∠B=90∘，∵ △ABC是Rt△．由勾股定理，得AC=√2+2=2，∵ EC=2．∵ S△ACE=2×√22=√2．24.【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形∵ AD // BC，∠A=90∘，∵ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵ 在△DMO和△BNO中{∠MDO=∠NBO BO=DO∠MOD=∠NOB∵ △DMO≅△BNO(ASA)，∵ OM=ON，∵ OB=OD，∵ 四边形BMDN是平行四边形，∵ MN⊥BD，∵ 平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵ 四边形BMDN是菱形，∵ MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=(8−x)2+42，解得：x=5，∵ S菱形BMDN=DM⋅AB=5×4=20．【解答】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形∵ AD // BC，∠A=90∘，∵ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵ 在△DMO和△BNO中{∠MDO=∠NBO BO=DO∠MOD=∠NOB∵ △DMO≅△BNO(ASA)，∵ OM=ON，∵ OB=OD，∵ 四边形BMDN是平行四边形，∵ MN⊥BD，∵ 平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵ 四边形BMDN是菱形，∵ MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=(8−x)2+42，解得：x=5，∵ S菱形BMDN=DM⋅AB=5×4=20．25.【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AB // CD，∵ ∠OCF=∠OAE，在△OCF和△OAE中，{∠OCF=∠OAE ∠COF=∠AOECF=AE，∵ △COF≅△AOE(AAS)，∵ OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵ BE=BF，OE=OF，∵ BO⊥EF，∵ 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90∘，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∵ ∠BAC=∠ABO，又∵ ∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90∘，解得∠BAC=∠ABO=30∘，∵ ∠ACB=90∘−∠BAC=60∘．【解答】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∵ AB // CD，∵ ∠OCF=∠OAE，在△OCF和△OAE中，{∠OCF=∠OAE ∠COF=∠AOECF=AE，∵ △COF≅△AOE(AAS)，∵ OE=OF；（2）解：如图，连接OB，∵ BE=BF，OE=OF，∵ BO⊥EF，∵ 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90∘，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∵ ∠BAC=∠ABO，又∵ ∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90∘，解得∠BAC=∠ABO=30∘，∵ ∠ACB=90∘−∠BAC=60∘．26.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=180∘−∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=∠CDE，又∵ EF⊥AC，∵ ∠AEF=90∘−∠CAD=45∘，∵ ∠DEG=∠AEF=45∘，在Rt△EDG中，∠DGE=90∘−∠DEG=45∘，∵ ∠DGE=∠DEG，∵ DG=DE．在△ADG与△CDE中，{DG=DE∠ADG=∠CDE，AD=CD∵ △ADG≅△CDE(SAS)；（2）解：tan∠AGD=√2+1．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=180∘−∠ADC=90∘，∵ ∠ADG=∠CDE，又∵ EF⊥AC，∵ ∠AEF=90∘−∠CAD=45∘，∵ ∠DEG=∠AEF=45∘，在Rt△EDG中，∠DGE=90∘−∠DEG=45∘，∵ ∠DGE=∠DEG，∵ DG=DE．在△ADG与△CDE中，{DG=DE∠ADG=∠CDE，AD=CD∵ △ADG≅△CDE(SAS)；（2）解：tan∠AGD=√2+1．。

八年级数学下第五章《特殊平行四边形》检测题一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．(本题3分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形3．(本题3分)已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．64．(本题3分)菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15．(本题3分)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直6．(本题3分)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形7．(本题3分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则EFC'∠的度数为（）A．122.5°B．130°C．135°D．140°8．(本题3分)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C2D．2A．129．(本题3分)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.510．(本题3分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(共21分)11．(本题3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为_________cm．12．(本题3分)已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．13．(本题3分)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD7，则图中阴影部分的面积为_____．14．(本题3分)如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____．15．(本题3分)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D 作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．16．(本题3分)如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当CEB '为直角三角形时，BE 的长为____17．(本题3分)如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且∠ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．三、解答题(共49分)18．(本题6分)如图，四边形ABCD 是平行四边形， ,AE BC AF CD ⊥⊥，垂足分别为,E F ，且BE DF =．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接EF 并延长，交AD 的延长线于点G ，若30,2CEG AE ︒∠==，求EG 的长．19．(本题8分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD 交于点F，且F是AE的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．20．(本题8分)如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知，2OC=，点D为x轴上一动点，以BD为OA=，4一边在BD右侧作正方形BDEF.（1）若点D与点A重合，请直接写出．．．．点E的坐标.（2）若点D在OA的延长线上，且EA EB=，求点E的坐标.（3）若217OE=E的坐标.21．(本题8分)图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A B C D、、、均为格点，按下列要求画图：⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且,E F为格点；⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且,G H为格点，∠=∠=.CGD CHD9022．(本题9分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F，（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．23．(本题10分)如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)，点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并求出自变量b的取值范围；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图为四边形O A B C''''，试探究O A B C''''与矩形OABC的重叠部分的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．（3）若54b=，试求出（2）中重叠部分四边形的面积参考答案一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．2．(本题3分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形【答案】D【解析】【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．3．(本题3分)已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【详解】解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，∴FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，∴8﹣a＝5．故选C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．4．(本题3分)菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1【答案】B【解析】【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180︒，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=12 AB，∴∠B=30︒，∴∠DAB=150︒，∴∠DAB:∠B=5:1；故选B.【点睛】本题考查菱形的性质.5．(本题3分)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】C【解析】【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确；D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误；故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键．6．(本题3分)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误；故选D．7．(本题3分)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则EFC'∠的度数为（）A．122.5°B．130°C．135°D．140°【答案】A【解析】【分析】由折叠的性质知：EBC'∠、BC F'∠都是直角，因此//BE C F'，那么EFC'∠和∠BEF互补，欲求EFC'∠的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB 的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解．【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，∴∠AEB＝90902565ABE︒-∠=︒-︒=︒；由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；而∠BED＝180°－∠AEB＝115°，∴∠BEF＝157.52BED∠=︒；∵EBC'∠＝∠D＝BC F'∠＝∠C＝90°，∴//BE C F'，∴180BEF EFC'∠+∠=︒∴EFC'∠＝180°－∠BEF＝122.5°．故选A．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键．8．(本题3分)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）B．1 C2D．2A．12【答案】B【解析】【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．【详解】解：如图作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．9．(本题3分)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5【答案】C【解析】【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=12AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，故四边形AEPF为矩形，因为M为EF中点，所以M也是AP中点，即AM=12AP，故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，由1122ABCS AB AC BC AP∆=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125，AM=12AP=61.25=故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.10．(本题3分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.【详解】解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故选：D.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共21分)11．(本题3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为_________cm．【答案】4.【解析】【详解】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OB=12BD，BD=AC=8cm，∴OA=OB=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4cm．考点：矩形的性质．12．(本题3分)已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．【答案】2【解析】【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：菱形的面积=12×1×4=2．故答案为2．【点睛】本题考查了菱形的性质：熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）．记住菱形面积=12ab（a、b是两条对角线的长度）．13．(本题3分)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD7，则图中阴影部分的面积为_____．7【解析】【分析】先证得△ADF≅△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．【详解】解：正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90︒，AD=AB，∵AE⊥DF，∴∠DOA=∠DAF =90︒，∴∠DAO+∠ADF=∠DAO+∠F AO =90︒，∴∠ADF=∠F AO，在△ADF 和△BAE 中，ADF FAO AD ABDAF ABE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADF ≅△BAE ，∴ADF BAE SS =， ∴ADF AOF BAE AOF S S S S -=-， ∴AOF 7S S =阴影 7【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证得阴影部分的面积等于△AOD 的面积．14．(本题3分)如图，矩形ABCD 面积为40，点P 在边CD 上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，足分别为E ，F ．若AC ＝10，则PE +PF ＝_____．【答案】4【解析】【分析】由矩形的性质可得AO =CO =5=BO =DO ，由S △DCO =S △DPO +S △PCO ，可得PE +PF 的值．【详解】解：如图，设AC 与BD 的交点为O ，连接PO ，∵四边形ABCD 是矩形∴AO =CO =5=BO =DO ，∴S△DCO=14S矩形ABCD=10，∵S△DCO=S△DPO+S△PCO，∴10=12×DO×PF+12×OC×PE∴20=5PF+5PE∴PE+PF=4故答案为4【点睛】本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键．15．(本题3分)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D 作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．【答案】13【解析】【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF ＝AF+AE＝13．【详解】解：∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠F AB+∠FBA＝∠F AB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵90 AFB DEAFBA EADAB DA︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．16．(本题3分)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B'处，当CEB 为直角三角形时，BE的长为____【答案】3或3 2【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC2243+，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得32x=，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故答案为：32或3．【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．17．(本题3分)如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．【答案】63【解析】【分析】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，如图，则△BCM≌△BEN，由全等三角形的对应边相等得到CM=NE，进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E 四点共线时取最小值AE．根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE，AH=EH，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论．【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．AB=3，∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=12AH3=33AE=2AH=63故答案为63【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．三、解答题(共49分)18．(本题6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，,⊥⊥，垂足分别为,E F，AE BC AF CD且BE DF=．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接EF 并延长，交AD 的延长线于点G ，若30,2CEG AE ︒∠==，求EG 的长．【答案】(1)详见解析;(2)4．【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得对角相等,再利用角角边证明△ABE≌△ADF 即可．(2)由平行得出∠G=30°,再根据30°特殊三角形的比求出EG 即可．【详解】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠D=∠B,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD,又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AB=AD ,∴平行四边形ABCD 是菱形．(2)∵AG//BC,∴∠G=∠CEG=30°,∠GAE=∠AEB=90°,∵AE=2,∴EG=2AE=4．【点睛】本题考查菱形的判定和三角形全等的判定和性质及特殊的直角三角形,关键在于结合图形熟练运用基础知识．19．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，且F 是AE 的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD 是菱形；（Ⅱ）若AC ＝4，AB ＝5，求四边形ABCD 的面积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.【解析】【分析】（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=12【详解】证明（Ⅰ）∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBE∵F是AE中点∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE∴△ADF≌△BEF∴BE＝AD∵AB⊥AC，E是BC中点∴AE＝BE＝EC∴AD＝EC，且AD∥BC∴四边形ADCE是平行四边形且AE＝EC∴四边形ADCE是菱形；（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC∴S△ABC＝10∵E是BC中点∴S△AEC＝1S△ABC＝52∵四边形ADCE是菱形∴S△AEC＝S△ACD＝5∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.【点睛】本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求三角形的面积．20．(本题8分)如图，以矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.已知，2OA =，4OC =，点D 为x 轴上一动点，以BD 为一边在BD 右侧作正方形BDEF .（1）若点D 与点A 重合，请直接写出．．．．点E 的坐标. （2）若点D 在OA 的延长线上，且EA EB =，求点E 的坐标.（3）若217OE =E 的坐标.【答案】（1）()6,0E ；（2）()8,2E ；（3）()18,2E ，()22,8E --.【解析】【分析】（1）D 与点A 重合则点E 为（6，3）（2）E 作EM x ⊥轴，证明：ABD MDE ∆≅∆即4228OM =++=则点E 为（8，3）（3）分情况解答，D 在点A 右侧，过点E 作EM x ⊥轴，证明：ABD MDE ∆≅∆；D 在点A 左侧，点E 作EM x ⊥轴，证明：ABD MDE ∆≅∆【详解】解：（1） D 与点A 重合则点E 再x 轴的位置为2+4=6∴ ()6,0E .（2）过点E 作EM x ⊥轴，∵∠BAD=∠EMD=∠BDE=90°，∴∠BDA+∠ABD=∠BDA+∠MDE,∴∠ABD=∠MDE，∵BD=DE，ABD MDE ∆≅∆EB EA =，∴点E 在线段AB 的中垂线上，2EM =.2AD EM ∴==,4DM AB ==.4228OM ∴=++=.()8,2E ∴（3）①点D 在点A 右侧，如图，过点E 作EM x ⊥轴，同（2）ABD MDE ∆≅∆设()0AD a a =>，可得：EM a =，6OM a =+()222668OE a a =++= 求得：12a =，28a =-（舍去）()8,2E②点D 在点A 左侧，如图，过点E 作EM x ⊥轴，同上得ABD MDE ∆≅∆设()0AD a a =>，可得：EM a =，6OM a =-()222668OE a a =-+=， 求得：18a =，22a =-（舍去）()2,8E --综上所述：()18,2E ，()22,8E --【点睛】本题考查正方形的性质，解题关键在于分情况作出垂直线.21．(本题8分)图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A B C D 、、、均为格点，按下列要求画图：⑴在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且,E F 为格点；⑵在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且,G H 为格点，090CGD CHD ∠=∠=.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(本题9分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F，（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE【解析】【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP≌△CBP，从而得出结论；(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据P A=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出P A=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，又∵ PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A=PC，∵P A=PE，∴PC=PE；(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵P A=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB．∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A=PC，∠BAP=∠BCP，∵P A=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵P A=PE．∴∠DAP=∠DEP，∴∠DCP=∠DEP．∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC =CE ，∴AP =CE．23．(本题10分)如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)，点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，并求出自变量b 的取值范围；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图为四边形O A B C ''''，试探究O A B C ''''与矩形OABC 的重叠部分的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．（3）若54b =，试求出（2）中重叠部分四边形的面积． 【答案】（1）2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）菱形，理由见解析；（3）54 【解析】【分析】（1）首先求得直线经过点A ，B ，C 时，b 的值；然后分别从若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即312b <≤时与若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3522b <<时分析求解，即可求得S 与b 的函数关系式；（2）首先设O′A′与CB 相交于点M ，OA 与C′B′相交于点N ，则矩形O′A′B′C′与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．根据轴对称的性质易得四边形DNEM 为菱形；（3）过点D 作DH⊥OA，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a ，利用勾股定理求出EN 的长，即可求出结果．【详解】解：（1）∵四边形OABC 是矩形，A （3，0），C （0，1），∴B（3，1），若直线经过点(3,0)A 时，则32b =， 若直线经过点(3,1)B 时，则52b =， 若直线经过点(0,1)C 时，则1b =， ①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即312b <时， 如图1，此时(2,0)E b ，112122S OE OC b b ∴==⨯⨯=； ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即3522b <<时， 如图1，此时3(3,)2E b -，(22,1)D b -，22CD b ∴=-，352BD CD b =-=-，32AE b =-，52BE AB AE b =-=-， ∴S=S 矩形OABC OCD DBE OAE S S S ∆∆∆---=()()211513531122523222222b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯--⨯-⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， S ∴与b 的函数关系式为：2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<< ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）如图3，设O A ''与CB 相交于点M ，OA 与C B ''相交于点N ，则矩形O A B C ''''与矩形OABC 的重叠部分即为四边形DNEM ． 由题意知，//DM NE ，//DN ME ， ∴四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，MED NED ∠=∠， 又MDE NED ∠=∠，M ED MDE ∴∠=∠，MD ME ∴=，∴平行四边形DNEM 为菱形．（3）∵54b =， ∴此时△ODE 的面积为54， ∴OE=5214⨯÷=52， 在直线12y x b =-+中，54b =， 令y=1，则x=12， ∴D（12，1），过点D 作DH OA ⊥，垂足为H ，如图3， 可得：OH=12， ∴EH=OE -OH=5122-=2， 设菱形DNEM 的边长为a ，即DN=NE=a ， ∴HN=EH -EN=2-a ， 在△DHN 中，有()22212a a =+-，解得：a=54， ∴四边形DNEM 的面积=EN DH ⋅=514⨯=54．。

第五章 特殊的平行四边形一、单选题1．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AC=BDC ．AB=BCD ．AD=BC2．如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（2，3），则 CE 的长是（ ）A B ． C ．4 D 3．如图点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接PB 、PD ，若1AE =，8PF =，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．94．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，则菱形的周长为（ ）A．40B．30C．28D．205．顺次连结一四边形各边的中点，若所得的四边形是一个菱形，则原四边形一定是（）．A．矩形B．对角线相互垂直的四边形C．平行四边形D．对角线相等的四边形6．下列命题正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．有一组对边平行的四边形是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．有一组邻边相等的四边形是菱形7．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直⊥于点E，8．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE aBF=，则EF的长为（）⊥于点F，若4BF aDE=，3A．1B．5C．7D．129．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长GT=)交EG于点T，交FG于点P，则(A ．B ．C ．2D ．110．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，矩形内部有一动点P 满足13PAB ABCD S S =V 矩形，则点P 到A B 、两点的距离之和PA PB +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．2二、填空题 11．菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 为AD 的中点,若OE=3,则菱形ABCD 的周长为________.12．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为_______．13．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．<）的边长分别为a，b，B、C、G 14．如图，正方形ABCD与正方形ECGF（CE AB三点在同一条直线上，CE在边CD上，连接AF，M为AF的中点，连接DM、CM，ab=，则图中阴影部分的面积为___________（用含a的代数式表示）.若20三、解答题15．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时．（1）证明：EF＝EG；（2）求AF的长．16．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．17．过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若CE=4，求AC的长．18．四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．（1）求证：∠AFD=∠EBC；（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．答案1．B 2．A 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．B 11．24 12．75︒13．614．215 4a+15.证明：（1）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG；（2）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10，∴FH2HE6，∴AF＝FH＝6．16.（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝4，∴DF＝DB＝DA＝12AB＝2，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝2，∴四边形BEFD的周长为：2×4=8．17.解：（1）四边形ACED是平行四边形，理由是：在正方形ABCD中，AD//BC，即AD//CE．又∵DE//AC，∵四边形ACED是平行四边形．（2）∵四边形ACED是平行四边形，∵AD=CE=4．在正方形ABCD中，∵ABC=90°，AB=BC=AD=4．在Rt∵ABC中，AC=== 18.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中{DC=CB∠DCE=∠BCEEC=EC，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD.（2）分两种情况,①当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°.②当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．综上：∠EFB=30°或120°。

第5章特殊平行四边形一、选择题(每小题5分，共30分)1．正方形的对称轴共有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．如图5－Z－1，已知菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是()图5－Z－1A．6 3 m B．6 m C．3 3 m D．3 m3．如图5－Z－2，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，DA，CD，BC的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为()图5－Z－2A．3 B．4C．6 D．84．如图5－Z－3，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为()图5－Z－3A．2 B．4C．2 3 D．4 35．如图5－Z－4，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，则下列说法正确的是()图5－Z－4A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形6．如图5－Z－5所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连结EF，在移动的过程中，EF 的最小值为()图5－Z －5A ．1 B. 2 C.32D. 3 二、填空题(每小题6分，共24分)7．如图5－Z －6，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是DB ，DC 的中点．若AB ＝10，则EF ＝________．图5－Z －68．如图5－Z －7，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE ＝AC ，则∠DCE 的度数是________．图5－Z －79．如图5－Z －8，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为________．图5－Z －810．如图5－Z －9，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE ＝3，Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 的周长的最小值为________．图5－Z －9三、解答题(共46分)11．(10分)如图5－Z －10，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连结DE ，CE . (1)求证：△ADE ≌△BCE ；(2)若AB ＝6，AD ＝4，求△CDE 的周长．图5－Z－1012．(10分)如图5－Z－11，已知两个菱形ABCD，CEFG，其中点A，C，F在同一条直线上，连结BE，DG.(1)在不添加辅助线的情况下，写出其中的两对全等三角形；(2)求证：BE＝DG.图5－Z－1113．(13分)已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连结EA，EC.图5－Z－12(1)如图5－Z－12①，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；(2)如图②，若P为线段AB的中点，连结AC，判断△ACE的形状，并说明理由．14．(13分)如图5－Z－13，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件________________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证__________________，________________________，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，____________________，即可得证．图5－Z－131．D2．B [解析] 易知△ABC 为等边三角形，所以AC ＝AB ＝6 m. 3．B4．B [解析] ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO ＝BO ＝CO ＝DO . ∵∠AOB ＝60°， ∴△ABO 是等边三角形． ∵AB ＝2，∴AO ＝BO ＝AB ＝2，∴AC ＝2AO ＝4. 故选B.5．D [解析] 根据DE ∥AC ，DF ∥AB ，可证明四边形AEDF 是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD ⊥BC ，无法判定四边形AEDF 是矩形，所以A 错误；若AD 垂直平分BC ，可以判定四边形AEDF 是菱形，所以B 错误； 若BD ＝CD ，无法判定四边形AEDF 是菱形，所以C 错误；若AD 平分∠BAC ，则∠EAD ＝∠FAD ＝∠ADF ，所以AF ＝DF .又因为四边形AEDF 是平行四边形．所以四边形AEDF 是菱形，故D 正确．故选D.6．D [解析] 连结DB ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ， 而∠A ＝60°，∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形， ∴∠ADB ＝∠DBC ＝60°，AD ＝BD .在Rt △ADH 中，∵AD ＝AB ＝2，∠ADH ＝90°－∠A ＝30°， ∴AH ＝1，DH ＝ 3.在△ADE 和△BDF 中，∵⎩⎨⎧AD ＝BD ，∠A ＝∠DBF ，AE ＝BF ，∴△ADE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠BDF ，DE ＝DF ，∴∠BDF ＋∠BDE ＝∠ADE ＋∠BDE ＝∠ADB ＝60°， ∴△DEF 为等边三角形， ∴EF ＝DE ，而当点E 运动到点H 时，DE 的值最小，其最小值为3， ∴EF 的最小值为 3. 故选D.7．5 [解析] 由菱形的性质可知：BC ＝AB ＝10. 又∵E ，F 分别是DB ，DC 的中点， ∴EF ＝12BC ＝5(三角形的中位线定理)．8．112.5°9．12 [解析] ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形的面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积＝12×24＝12.10．611．解：(1)证明：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝90°. ∵E 是AB 的中点， ∴AE ＝BE .在△ADE 与△BCE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS )．(2)由(1)知：△ADE ≌△BCE ，则DE ＝CE . 在Rt △ADE 中，AD ＝4，AE ＝12AB ＝3，由勾股定理知，DE ＝AD 2＋AE 2＝42＋32＝5，∴△CDE 的周长＝2DE ＋CD ＝2DE ＋AB ＝2×5＋6＝16.12．解：(1)答案不唯一，如△ADC ≌△ABC ，△GFC ≌△EFC . (2)证明：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是菱形，∴DC ＝BC ，CG ＝CE ，∠DCA ＝∠BCA ，∠GCF ＝∠ECF . ∵∠ACF ＝180°，∴∠DCG ＝∠BCE .在△BCE 和△DCG 中，∵BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ， ∴△BCE ≌△DCG ，∴BE ＝DG .13．解：(1)证明：∵四边形ABCD 和四边形BPEF 是正方形， ∴AB ＝BC ，BP ＝BF ＝PE ＝FE ，∠P ＝∠F ＝90°， ∴AP ＝CF .在△APE 和△CFE 中，∵⎩⎨⎧AP ＝CF ，∠P ＝∠F ，PE ＝FE ，∴△APE ≌△CFE ， ∴EA ＝EC .(2)△ACE 是直角三角形． 理由：∵P 为AB 的中点，∴PA ＝PB .又∵PB ＝PE ，∴PA ＝PE .∵∠APE ＝180°－∠BPE ＝90°，∴∠PAE ＝45°.又∵∠CAB ＝45°，∴∠CAE ＝90°，即△ACE 是直角三角形． 14．解：(1)证明：∵EH 平分∠BEF ， ∴∠FEH ＝12∠BEF .∵FH 平分∠DFE ，∴∠EFH ＝12∠DFE .∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°，∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE )＝12×180°＝90°.∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH )＝180°－90°＝90°.同理可得∠EGF ＝90°.∵EG 平分∠AEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF .∵点A ，E ，B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°，∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF )＝12×180°＝90°，即∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形．(2)答案不唯一，例如：由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证▱MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件FG 平分∠CFE ，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即证△MGE ≌△QFH ，易证GE ＝FH __，∠GME ＝∠FQH __，故只要证∠MGE ＝∠QFH ，易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，__∠GEF ＝∠EFH __，即可得证．。

浙教版2020年八年级数学下册：第5章特殊平行四边形单元测试卷含答案时间：120分钟班级：________姓名：________得分：________一、选择题(每小题3分，共30分)1．关于▱ABCD的叙述，正确的是( C )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C )A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角3．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( C )A．AE＝AF B．EF⊥AC C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线4．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点．如果AC＝10，BC＝8，那么EF的长为( A )A．3 B．4 C．5 D．6第3题图第4题图5．将一张矩形纸对折再对折，如图，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形的是(D)第5题图A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形6．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( D) A．(3，1) B．(2，1) C．(1，3) D．(2，3)7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于( A )A．245B．125C．5 D．48．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( D )A．95B．125C．165D．185第6题图第7题图第8题图9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为( D )第9题图A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AEF，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①点G是BC中点；②FG＝FC；③S△FGC＝910.其中正确的是( B )第10题图A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积为__23 __．第11题图第12题图12．在正方形ABCD中，∠DAE＝25°，AE交对角线BD于E点，则∠BEC等于__70°__．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，连接DE，EF，FD，当△ABC满足条件__AB＝AC或∠B＝∠C或BD＝CD或AD平分∠BAC__时(至少填两种)，四边形AEDF是菱形．第13题图14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为__26__．第14题图第15题图第16题图15．如图，矩形ABCD的面积为20，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，则▱AO1C2B 的面积为__5__．16．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为__13__ cm.三、解答题(共66分)17．(6分)如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF ＝BE .解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD ＝BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE (HL)，∴DF ＝BE .18．(8分)矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，CE ，AF 分别交BD 于G ，H 两点．求证：(1)四边形AFCE 是平行四边形；(2)EG ＝FH .(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵E ，F 分别是AD ，BC的中点，∴AE ＝12 AD ，CF ＝12BC ，∴AE ＝CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形； (2)∵四边形AFCE 是平行四边形，∴CE ∥AF ，∴∠DGE ＝∠AHD ＝∠BHF ，∵AD ∥BC ，∴∠EDG ＝∠FBH ，在△DEG 和△BFH 中，⎩⎨⎧∠DGE ＝∠BHF ，∠EDG ＝∠FBH ，DE ＝BF ，∴△DEG≌△BFH (AAS)，∴EG ＝FH .19．(8分)如图，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E .(1)求证：△DCA ≌△EAC ； (2)只需添加一个条件，即______________，可使四边形ABCD 为矩形，请加以证明．解：(1)略；(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得：△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD＝BC(答案不唯一).20．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连结AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．(1)证明：∵四边形ABDE为平行四边形，∴AB∥ED，AB＝ED，∴∠B＝∠EDC.∵AB＝AC，∴ED＝AC，∠B＝∠ACD.∴∠ACD＝∠EDC.∴△ADC≌△ECD(SAS)(2)证四边形ADCE是平行四边形且∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形21．(10分)如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.(1)求证：四边形EFNM是矩形；(2)已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．解：(1)证明：过点E，F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G，H.∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，∴EG＝ME＝ME′＝12MM′，同理可证：FH＝NF＝N′F＝12NN′，∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′＝NN′，∴ME＝NF＝EG＝FH，又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，∴四边形EFNM是矩形．(2)∵∠2＝12∠DAB，∠5＝12∠DCB，∴∠2＝∠5，由(1)知GE＝NF，∴△GEA≌△NFC，∴AG＝CN，在Rt△DME和Rt△DGE中，∵DE＝DE，ME＝EG，∴△DME≌△DGE，∴DG＝DM，∴DM＋CN＝DG＋AG＝AB＝5，∴MN＝CD－DM－CN ＝9－5＝4.∵四边形EFNM是矩形．∴EF＝MN＝4.22．(12分)如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.(1)求证：△ECG≌△GHD；(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；(3)若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．解：(1)略；(2)证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC＝GP，而AG＝AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC＝AP，由(1)可得EG＝DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC＝PD，∴AD＝AP＋PD ＝AC＋EC；(3)四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD，∴AE＝AF＝FG，由(1)得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．23．(12分)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD 上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.(1)对角线AC的长是________，菱形ABCD的面积是________；(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由；(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．解：(1)12；96；(2)OE＋OF的值不变．理由：连接AO，AC，AC交BD于点G，则S△ABD＝S△ABO＋S△ADO，∴12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF，可得OE＋OF＝9.6，即OE＋OF的值是定值，故不变；(3)变化，同(2)方法可求得OE－OF＝9.6.。

浙教版数学八年级下册第五章特殊的平行四边形检测试卷班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________一、选择题（10小题，每题3分，共30分)1．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是8，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小房子”，则图中阴影部分的面积是（）A．4 B．8 C．16 D．322．矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．63．矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1，4)、B(1，1)、C(5，1)，则点D的坐标为( )A．(5，5) B．(5，4) C．(6，4) D．(6，5)4．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝EB，那么∠EBC等于( )A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8， E是CD的中点，则OE的长等于（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为( )A．2 B．3 C．4 D．57．如图，四边形内有一点，，，若，则的大小是（）A． B． C． D．8．如图，从下列四个条件①AB＝BC，②AC⊥BD，③∠ABC＝90°，④AC＝BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形，下列四种选法错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．①④9．如图，在梯形ABCD中，，，，，，则CD的长为A．B．3 C．D．10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF 中点，则AM的最小值为( )A．B．C．D．二、填空题（8小题，每题3分，共24分)11．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是_____12．如图，E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，且BE＝AC，则∠BED＝_____．13．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，则菱形ABCD的面积是_____．14．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH 的长等于_____．15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是的中点。

浙教版八年级下册第5章《特殊平行四边形》测试卷考试时间：100分钟满分：120分班级：___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．156．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为cm2．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．23．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的矩形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B、D进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线垂直的矩形是正方形，所以C选项错误；D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确．故选：D．2．（3分）下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形【分析】依据正方形的判定方法、菱形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C．3．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．故选：C．4．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A．B．8C．D．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，由直角的性质可求AM的长，即可求菱形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC＝3，∵∠ABC＝60°，AM⊥BC∴BM＝，AM＝BM＝∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝故选：A．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．6．（3分）已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．7．（3分）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°【分析】由矩形的性质可得AO＝BO＝CO＝DO，可得DO＝2OE，可求∠EDO＝30°，可得∠EOD＝60°，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．8．（3分）如图，直线m∥n，直线l与m、n分别相交于点A和点C，AC为对角线作四边形ABCD，使点B和点D分别在直线m和n上，则不能作出的图形是（）A．平行四边形ABCD B．矩形ABCDC．菱形ABCD D．正方形ABCD【分析】依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．【解答】解：取AC的中O，过点O任意作直线交直线m、n于B、D，则四边形ABCD 为平行四边形，故A不符合题意；过点C作m的垂线，垂足为B，过点A作n的垂线，垂足为D，则ABCD为矩形，故B 不符合题意；取AC的中点O，过点O作AC的垂线交直线m、n于点B，D，则ABCD为菱形，故C 不符合题意．AC为对角线作四边形ABCD，ABCD不一定为正方形，故D错误，符合题意．故选：D．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC ＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝∴DE＝；故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（）A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故选：C．11．（3分）下列可以判断是菱形的是（）A．一组对边平行且相等的四边形B．对角线相等的平行四边形C．对角线垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．12．（3分）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD 面积的，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，∴A'D＝1，A'C＝DA'＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的，∴阴影部分的面积＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）已知矩形的两邻边的长分别为3cm和6cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积为9cm2．【分析】根据菱形的判定定理，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，又菱形的面积为两条对角线乘积的一半，由此即可解得答案．【解答】解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG ＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，∴△AEH≌△DGH，∴EH＝HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH∴EH＝HG＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形．∴四边形的面积＝×3×6＝9．故答案为9．14．（3分）在矩形ABCD中，AE＝CF＝AD＝1，BE的垂直平分线过点F，交BE于点H，交AB于点G，则AB的长度为．【分析】如图作EM⊥BC于M，连接EF．首先证明四边形ABME是矩形，在Rt△EFM 中，利用勾股定理求出EM即可解决问题；【解答】解：如图作EM⊥BC于M，连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABM＝∠EMB＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM＝1，AD＝BC＝3，∵GF垂直平分BE，∴BF＝EF＝2，MF＝BF﹣BM＝1，在Rt△EFM中，EM＝＝＝，∴AB＝EM＝，故答案为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×12×5＝×13•CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案为：．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点EF，则ED的长为．【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE＝BE＝4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得x，即可求出BE的长．【解答】解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．∴DE＝AD＝AE＝，故答案为：．17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为2．【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝AB＝4，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴OA＝AB＝4，∴OB＝＝4，∵点E、F分别为AO、AB的中点，∴EF为△AOB的中位线，∴EF＝OB＝2．故答案为2．18．（3分）如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．【解答】解：连接PM、PN．∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN．∵AP2+3PB2＝1，∴（2PM）2+3（PN）2＝2，整理得PM2+PN2＝在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，所以MN＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF＝BE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DF＝5，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）由平行线和角平分线定义得出∠DF A＝∠DAF，证出AD＝DF＝5，由勾股定理求出DE＝＝4，即可得出矩形BFDE的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠DF A，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，由勾股定理得：DE＝＝4，∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝5×4＝20．20．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．①求证：四边形DEBF是平行四边形；②当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？【分析】①根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB＝CD，再求出BE＝DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；②过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE＝AD，解直角三角形即可得到结论．【解答】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝CF，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形；②解：当BE＝9时，∴四边形DEBF为矩形．理由是：过点D作DE⊥AB于点E，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°在Rt△ADB中，∠A＝60°，∠ABD＝30°，AB＝2AD＝12，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，∴当BE＝9时，∠DEB＝∠DEA＝90°，即平行四边形DEBF是矩形．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．22．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接OE，CD．（1）求证四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于E点，连接EO，若CE＝3，DE＝4，求OE的长．【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；（2）由勾股定理可求DC＝BC＝5，由勾股定理可求BD的长，由直角三角形的性质可求OE的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，且AB＝BC，∴AD＝BC，且AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵DE⊥BC，CE＝3，DE＝4，∴CD＝5，∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD＝5，BO＝DO∴BE＝BC+CE＝8，∴BD＝＝＝4，∵BO＝DO，DE⊥BC∴OE＝BD＝223．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵AE垂直平分BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠F AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠F AE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE．∵AF∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝AB＝2，∴PH＝，DH＝5，∴tan∠ADP＝＝．24．（10分）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3，求证：（1）EF+EG＝AE；（2）CE+CG＝AF．【分析】（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，则MN∥BC，MN＝BC，BM ＝CN，∠N＝90°，证明△BEF≌△BEM（ASA），得出EF＝EM，BF＝BM，证明△MNG ≌△ABE（ASA），得出MG＝AE，即可得出结论；（2）由（1）得出BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，得出BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，由线段的和差即可得出结论．【解答】证明：（1）延长AB、GE交于点M，作MN⊥DC于N，如图所示：则MN∥BC，MN＝BC，BM＝CN，∠N＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠EBF＝90°，AB＝BC＝MN，∴∠EBM＝90°，∵∠2＝∠3，∠3＝∠BEM，∴∠2＝∠BEM，在△BEF和△BEM中，，∴△BEF≌△BEM（ASA），∴EF＝EM，BF＝BM，∵MN∥BC，∴∠NMG＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠NMG＝∠1，在△MNG和△ABE中，，∴△MNG≌△ABE（ASA），∴MG＝AE，∵MG＝EM+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝AE；（2）由（1）得：BM＝CN＝BF，△MNG≌△ABE，∴BE＝GN＝CG+CN＝CG+BM，∴CE+CG＝BC﹣BE+GN﹣CN＝AB﹣BE+BE﹣BF＝AB﹣BF＝AF．25．（12分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC 上，EF与AC相交于点O，AG＝CH，BE＝DF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当EG＝EH时，连接AF①求证：AF＝FC；②若DC＝8，AD＝4，求AE的长．【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF ＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）①由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH＝∠EAG，又∵CD＝AB，BE＝DF，∴CF＝AE，又∵CH＝AG，∠FCH＝∠EAG∴△AEG≌△CFH（SAS），∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，∴∠FHG＝∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）①如图，连接AF，∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG＝CH，∴EF垂直平分AC，∴AF＝CF；②设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．。

八年级数学下册第五章特殊的平行四边形单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，丝带重叠的部分一定是()A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是()A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直3．矩形ABCD中，已知5AD=，则AC长为()AB=，12A．9B．13C．17D．204．如图，正方形ABCD中，1AB=，则AC的长是()A．1B．2C．3D．25．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若2EF=，6AC=，则菱形ABCD的面积为()A．67B．12C．15D．1056．已知四边形ABCD中，AB BC CD DA===，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是()A．AC BD∠=︒D．ABC BAC∠=∠ABC=C．90⊥B．AC BD7．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是()A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由4条短木棒和4条长木棒组成的三个全等的菱形，其中20AB cm =，当BAD ∠由60︒变为120︒时，衣架的总长度BE 拉长了( )A ．(20320)cm -B ．(40340)cm -C ．(60303)cm -D ．(60360)cm -9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，连结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ，连结EF ．若1AE =，则EF 的值为( )A ．3B ．10C ．23D ．410．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．6B ．12C ．24D ．不能确定二．填空题（共10小题）11．在菱形ABCD 中，周长为16，30ABC ∠=︒，则其面积为 ．12．在矩形ABCD 中，再增加条件 （只需填一个）可使矩形ABCD 成为正方形．13．长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是 2cm ．14．如图， 点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若2OM =，6BC=，则OB的长为．15．如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交于P，则BPD∠的度数为．16．如图，四边形ABCD是菱形，50⊥于H，连DAB∠=︒，对角线AC，BD相交于点O，DH AB 接OH，则DHO∠=度．17．如图，已知点O为ABCMN BC，分别交AB于AC点M、N，∆内角平分线的交点，过点O作//若12AB=，∆的周长是．AC=，则AMN1418．如图，菱形ABCD中，130⊥于E，对角线AC与BD相交于O，连接OE，∠=︒，BE CDADC则BEO∠=︒．19．如图，ABCDBC=，折叠ABCDY使C落在A处，折痕为EF，点AB=，4∠=︒，3BY中，60E、F分别在BC、AD上，则AF=．20．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E，F分别是BC，CD的中点，连结BF，DE，则图中阴影部分的面积是2cm三．解答题（共8小题）21．如图：正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE CF=，连接AE，BF交于点O，点M为AB中点，连接OM，求证：12OM AB=．22．如图，正方形ABCD中，AB AD=，G为BC边上一点，BE AG⊥，于E，DF AG⊥于F，连接DE．（1）求证：ABE DAF∆≅∆；（2）若1AF=，4EF=，求四边形ABED的面积．23．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，使得CF AF=，过点A作AE FC⊥于点E．（1）求证：AD AE=．（2）连结CA，若70DCA∠=︒，求CAE∠的度数．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作//DE AC 且DE OC =，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE CD =；（2）若菱形ABCD 的边长为6，60ABC ∠=︒，求AE 的长．25．如图，在ABC ∆中，DE 分别是AB ，AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若6CE =，120BEF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．26．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若4AC =，3BD =，求ADE ∆的周长．27．如图，平行四边形ABCD 中，9AD cm =，32CD cm =，45B ∠=︒，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1/cm 秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(06)t 剟（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；（3）作MP BC⊥于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．⊥于P，NQ AD28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，60∠=︒，点A的COA坐标为(6,0)，点B的坐标为(10,43)．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒(0)t>．（1）当运动2秒时，求APQ∆的面积．（2）求点C的坐标和平行四边形OABC的周长；（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？参考答案一．选择题（共10小题）1．如图，丝带重叠的部分一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．都有可能【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，因为两条彩带宽度相同，所以//AB CD ，//AD BC ，AE AF =．∴四边形ABCD 是平行四边形．ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅Y Q ．又AE AF =．BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形．故选：C ．2．能判定一个平行四边形是矩形的条件是( )A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线相等D ．两条对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．【解答】解：A 、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C 、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D 、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C ．3．矩形ABCD 中，已知5AB =，12AD =，则AC 长为( )A ．9B ．13C ．17D ．20【分析】由勾股定理可求出BD 长，由矩形的性质可得13AC BD ==．【解答】解：如图，矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，5AB =，12AD =， ∴222251213BD AB AD =+=+=，13AC BD ∴==，故选：B ．4．如图，正方形ABCD 中，1AB =，则AC 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．2【分析】在直角三角形ABC 中，利用勾股定理可直接求出AC 的长；【解答】解：在Rt ABC ∆中，1AB BC ==，2222112AC AB BC ∴=+=+=；故选：B ．5．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若2EF =，6AC =，则菱形ABCD 的面积为( )A ．67B ．12C ．15D ．105【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得3AF FC ==，BF AC ⊥，由三角形中位线定理可求4BC =，由勾股定理可求BF 的长，即可求解．【解答】解：如图，连接BFQ 四边形ABCD 是菱形AB BC ∴=，且点F 是AC 中点3AF FC ∴==，BF AC ⊥E Q ，F 分别是AB ，AC 的中点24BC EF ∴== 227BF BC CF ∴=-=1372ABC S AC BF ∆∴=⨯⨯= ∴菱形ABCD 的面积267ABC S ∆==故选：A ．6．已知四边形ABCD 中，AB BC CD DA ===，对角线AC ，BD 相交于点O ．下列结论一定成立的是( )A ．AC BD ⊥B ．AC BD = C ．90ABC ∠=︒ D ．ABC BAC ∠=∠【分析】证出四边形ABCD 是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：Q 四边形ABCD 中，AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥；故选：A ．7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，//AB CD，180BAD ADC∴∠+∠=︒，又BAD ADC∠=∠Q，90BAD ADC∴∠=∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．8．如图，是伸缩衣架的实物图和示意图，它是由4条短木棒和4条长木棒组成的三个全等的菱形，其中20AB cm=，当BAD∠由60︒变为120︒时，衣架的总长度BE拉长了()A．(20320)cm-B．(40340)cm-C．(60303)cm-D．(60360)cm【分析】根据菱形的性质分别得出BAD∠由60︒变为120︒前后BE的长，进而得出答案．【解答】解：当60BAD∠=︒时，连接BD，Q四边形ABCD是菱形，则AB AD=，ABD∴∆是等边三角形，20AB BD cm∴==，如图所示：过点A作AF BD⊥于点F，120BAD∠=︒Q，60BAF∴∠=︒，则30B∠=︒，故3cos3020103() BF AB cm =︒==，则203BD cm=，可得衣架的总长度BE拉长了：320332060360⨯⨯=-．故选：D．9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，连结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ，连结EF ．若1AE =，则EF 的值为( )A ．3B ．10C ．23D ．4【分析】根据题意可得2AB =，ADE CDF ∠=∠，可证ADE DCF ∆≅∆，可得1CF =，根据勾股定理可得EF 的长．【解答】解：ABCD Q 是正方形AB BC CD ∴==，90A B DCB ADC ∠=∠=∠=∠=︒DF DE ⊥Q90EDC CDF ∴∠+∠=︒且90ADE EDC ∠+∠=︒ADE CDF ∴∠=∠且AD CD =，90A DCF ∠=∠=︒ADE CDF ∴∆≅∆1AE CF ∴==E Q 是AB 中点2AB BC ∴==3BF ∴=在Rt BEF ∆中，2210EF BE BF=+=故选：B ． 10．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．6B ．12C ．24D ．不能确定【分析】由矩形ABCD 可得：14AOD ABCD S S ∆=矩形，又由15AB =，20BC =，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由1122AOD APO DPO S S S OA PE OD PF ∆∆∆=+=+g g ，代入数值即可求得结果． 【解答】解：连接OP ，如图所示：Q 四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，90ABC ∠=︒， 14AOD ABCD S S ∆=矩形， 12OA OD AC ∴==， 15AB =Q ，20BC =，2222152025AC AB BC ∴=+=+=，1115207544AOD ABCD S S ∆==⨯⨯=矩形， 252OA OD ∴==， 111125()()7522222AOD APO DPO S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF ∆∆∆∴=+=+=+=⨯+=g g g ， 12PE PF ∴+=．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．在菱形ABCD 中，周长为16，30ABC ∠=︒，则其面积为 8 ．【分析】如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，由菱形的性质可求4AB BC ==，由直角三角形的性质可求2AE =，即可求解．【解答】解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，Q 菱形ABCD 的周长为16，4AB BC ∴==，30ABC ∠=︒Q ，AE BC ⊥， 122AE AB ∴==， ∴菱形ABCD 的面积8BC AE =⨯=，故答案为：8．12．在矩形ABCD 中，再增加条件 AB BC = （只需填一个）可使矩形ABCD 成为正方形．【分析】由添加条件得出AB BC =，即可得出矩形ABCD 为正方形．【解答】解：AB BC =Q ，∴矩形ABCD 为正方形，故答案为：AB BC =．13．长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是 48 2cm ．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：Q 长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，∴另一边长为221068cm -=，∴它的面积为28648cm ⨯=．故答案为：48．14．如图， 点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若2OM =，6BC =，则OB 的长为 13 ．【分析】已知OM 是ADC ∆的中位线， 再结合已知条件则DC 的长可求出， 所以利用勾股定理可求出AC 的长， 由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出 ．【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，90D ∴∠=︒，O Q 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB ，OM ∴是ADC ∆的中位线，2OM =Q ，4DC ∴=，6AD BC ==Q ，22213AC AD CD ∴=+=，1132BO AC ∴==， 故答案为：1315．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交于P ，则BPD ∠的度数为 112.5︒ ．【分析】根据菱形的性质对角线平分每一组对角以及正方形性质得出，22.5DBF FBE ∠=∠=︒，进而利用三角形外角性质求出即可．【解答】解：Q 正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交于P ， 45DBC BDC ∴∠=∠=︒，22.5DBF FBE ∠=∠=︒，BPD ∴∠的度数为：9022.5112.5PBC BCP ∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：112.5︒．16．如图，四边形ABCD 是菱形，50DAB ∠=︒，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠= 25 度．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD OB =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH OB =，然后根据等边对等角求出OHB OBH ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等求出OBH ODC ∠=∠，然后根据等角的余角相等解答即可．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，OD OB ∴=，90COD ∠=︒，DH AB ⊥Q ，12OH BD OB ∴==， OHB OBH ∴∠=∠，又//AB CD Q ，OBH ODC ∴∠=∠，在Rt COD ∆中，90ODC DCO ∠+∠=︒，在Rt DHB ∆中，90DHO OHB ∠+∠=︒， 1252DHO DCO DAB ∴∠=∠=∠=︒， 故答案为：25．17．如图，已知点O 为ABC ∆内角平分线的交点，过点O 作//MN BC ，分别交AB 于AC 点M 、N ，若12AB =，14AC =，则AMN ∆的周长是 26 ．【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出MOB MBO ∠=∠，推出BM OM =，同理CN ON =，代入三角形周长公式求出即可．【解答】解：BO Q 平分ABC ∠，MBO CBO ∴∠=∠，//MN BC Q ，MOB CBO ∴∠=∠，MOB MBO ∴∠=∠，OM BM ∴=，同理CN NO =，BM CN MN ∴+=，AMN ∴∆的周长是121426AN MN AM AN CN OM ON AB AC ++=+++=+=+=． 故答案为：26．18．如图，菱形ABCD 中，130ADC ∠=︒，BE CD ⊥于E ，对角线AC 与BD 相交于O ，连接OE ，则BEO ∠= 25 ︒．【分析】由菱形的性质得出1652BDC ADC ∠=∠=︒，OB OD =，求出906525OBE ∠=︒-︒=︒，由直角三角形斜边上的中线性质得出12OE BD OB ==，即可得出答案． 【解答】解：在菱形ABCD 中，130ADC ∠=︒，1652BDC ADC ∴∠=∠=︒，OB OD =， BE CD ⊥Q ，90BED ∴∠=︒，906525OBE ∴∠=︒-︒=︒，12OE BD OB ==， 25BEO OBE ∴∠=∠=︒． 故答案为：25．19．如图，ABCD Y 中，60B ∠=︒，3AB =，4BC =，折叠ABCD Y 使C 落在A 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，则AF = 135．【分析】连接AC 、CF ．由题意四边形AECF 是菱形，设AF CF CE AE x ====，在Rt ABH ∆中，3AB =，60B ∠=︒，可得32BH =，332AH =，推出35422EH x x =+-=-，在Rt AEH ∆中，根据222AH EH AE +=，列出方程即可解决问题．【解答】解：连接AC 、CF ．由题意四边形AECF 是菱形，设AF CF CE AE x ====，在Rt ABH ∆中，3AB =，60B ∠=︒， 32BH ∴=，332AH =， 35422EH x x ∴=+-=-， 在Rt AEH ∆中，222AH EH AE +=Q ，222335()()22x x ∴+-=， 135x ∴=， 故答案为135． 20．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连结BF ，DE ，则图中阴影部分的面积是 3232cm【分析】连接BD ，可看出阴影部分的面积等于12正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．【解答】解：连接BD ，EF ．Q 阴影部分的面积ABD =∆的面积BDG +∆的面积(G 为BF 与DE 的交点）， BCD ∴∆的面积ABD =∆的面积12=正方形ABCD 的面积28cm =， Q 点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，//EF BD ∴，12EF BD =， GEF GBD ∴∆∆∽，2DG GE ∴=，BDE ∴∆的面积12BCD =∆的面积． BDG ∴∆的面积23BDE =∆的面积13BCD =∆的面积283cm =， ∴阴影部分的面积2832833cm =+=， 故答案为：323．三．解答题（共8小题）21．如图：正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE CF =，连接AE ，BF 交于点O ，点M 为AB 中点，连接OM ，求证：12OM AB =．【分析】证明ABE BCF ∆≅∆，再推导出90AOB ∠=︒，在Rt ABO ∆中，M 点是斜边AB 中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒，又BE CF =，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆．BAE CBF ∴∠=∠．90ABO CBF ∠+∠=︒Q ，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，即90AOB ∠=︒．在Rt ABO ∆中，M 点是斜边AB 中点，12OM AB ∴=． 22．如图，正方形ABCD 中，AB AD =，G 为BC 边上一点，BE AG ⊥，于E ，DF AG ⊥于F ，连接DE ．（1）求证：ABE DAF ∆≅∆；（2）若1AF =，4EF =，求四边形ABED 的面积．【分析】（1）易知90AFD BEA∠=∠=︒，再利用同角的余角相等证明BAE ADF∠=∠，由正方形的性质可知AD AB=，则用AAS可证ABE DAF∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】证明：（1）Q四边形ABCD是正方形，AB AD∴=，DF AG⊥Q，BE AG⊥，90AEB DFA∴∠=∠=︒．90BAE DAF∴∠+∠=︒，90DAF ADF∠+∠=︒，BAE ADF∴∠=∠，()ABE DAF AAS∴∆≅∆；（2）ABE DAF∆≅∆Q，145DF AE AF EF∴==+=+=，∴四边形ABED的面积11215541522ABE ADE DFES S S∆∆∆=++=⨯⨯⨯+⨯⨯=．23．如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，使得CF AF=，过点A作AE FC⊥于点E．（1）求证：AD AE=．（2）连结CA，若70DCA∠=︒，求CAE∠的度数．【分析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出FCA DCA∠=∠，由AAS证明ADC CAE∆≅∆，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出CAE CAD∠=∠，求出9020CAD DCA∠=︒-∠=︒，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：CF AF=Q，FCA CAF∴∠=∠，Q四边形ABCD是矩形，//DC AB∴∴，DCA CAF∠=∠，FCA DCA∴∠=∠，AE FC⊥Q，90CEA∴∠=︒，90CDA CEA∴∠=∠=︒，在ADC∆和CAE∆中，CDA CEADCA FCAAC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CAE∴∆≅∆()AAS，AD AE∴=；（2）解：ADC CAE∆≅∆Q，CAE CAD∴∠=∠，Q四边形ABCD是矩形，90D∴∠=︒，90907020CAD DCA∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAE∴∠=︒．24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作//DE AC且DE OC=，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE CD=；（2）若菱形ABCD的边长为6，60ABC∠=︒，求AE的长．【分析】（1）只要证明四边形OCED是平行四边形，90COD∠=︒即可；（2）在Rt ACE∆中，利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是菱形，12DE AC=，AC BD ∴⊥，DE OC =．//DE AC Q ，∴四边形OCED 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，四边形OCED 是平行四边形，∴四边形OCED 是矩形，OE CD ∴=．（2）解：Q 菱形ABCD 的边长为6，6AB BC CD AD ∴====，BD AC ⊥，12AO CO AC ==． 60ABC ∠=︒Q ，AB BC =，ABC ∴∆是等边三角形，6AC AB ∴==，AOD ∆Q 中BD AC ⊥，6AD =，3AO =， 2233OD AD AO ∴=-=，Q 四边形OCED 是矩形，33CE OD ∴==，Q 在Rt ACE ∆中，6AC =，33CE =，22226(33)37AE AC CE ∴=+=+=．25．如图，在ABC ∆中，DE 分别是AB ，AC 的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若6CE =，120BEF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积．【分析】（1）从所给的条件可知，DE 是ABC ∆中位线，所以//DE BC 且2DE BC =，所以BC 和EF 平行且相等，所以四边形BCFE 是平行四边形，又因为BE FE =，所以是菱形；（2）由BEF ∠是120︒，可得EBC ∠为60︒，即可得BEC ∆是等边三角形，求得6BE BC CE ===，再过点E 作EG BC ⊥于点G ，求的高EG 的长，即可求得答案．【解答】（1）证明：D Q 、E 分别是AB 、AC 的中点，//DE BC ∴且2DE BC =，又2BE DE =Q ，EF BE =，EF BC ∴=，//EF BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又BE EF =Q ，∴四边形BCFE 是菱形；（2）解：120BEF ∠=︒Q ，60EBC ∴∠=︒，EBC ∴∆是等边三角形，6BE BC CE ∴===，过点E 作EG BC ⊥于点G ， 3sin 606332EG BE ∴=︒=⨯=g ， 633183BCFE S BC EG ∴=⋅=⨯=菱形．26．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若4AC =，3BD =，求ADE ∆的周长．【分析】（1）先根据菱形的性质得出//AB CD ，AC BD ⊥，再证明//DE AC ，然后根据平行四边形的定义证明即可；（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出22 2.5AD CD AO DO ==+=，再由平行四边形的性质得出 2.5AE CD ==，4DE AC ==，进而求出ADE ∆的周长．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AC BD ⊥，//AE CD ∴，90AOB ∠=︒．DE BD ⊥Q ，即90EDB ∠=︒，AOB EDB ∴∠=∠，//DE AC ∴，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）解：Q 四边形ABCD 是菱形，4AC =，3BD =，2AO ∴=， 1.5DO =，22 2.5AD CD AO DO ==+=．Q 四边形ACDE 是平行四边形，2.5AE CD ∴==，4DE AC ==，ADE ∴∆的周长 2.5 2.549AD AE DE =++=++=．27．如图，平行四边形ABCD 中，9AD cm =，32CD cm =，45B ∠=︒，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1/cm 秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(06)t 剟（1）求BC 边上高AE 的长度；（2）连接AN 、CM ，当t 为何值时，四边形AMCN 为菱形；（3）作MP BC ⊥于P ，NQ AD ⊥于Q ，当t 为何值时，四边形MPNQ 为正方形．【分析】（1）先由平行四边形的性质得出32AB CD cm ==．再解直角ABE ∆，即可求出AE 的长度；（2）先证明四边形AMCN 为平行四边形，则当AN AM =时，四边形AMCN 为菱形．根据AN AM =列出方程2223(6)t t +-=，解方程即可；（3）先证明四边形MPNQ 为矩形，则当QM QN =时，四边形MPNQ 为正方形．根据QM QN =列出方程|26|3t -=，解方程即可．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形，32AB CD cm ∴==．在直角ABE ∆中，90AEB ∠=︒Q ，45B ∠=︒，2sin 323()AE AB B cm ∴=∠==g ；（2）Q 点M 、N 分别以A 、C 为起点，1/cm 秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(06)t 剟，AM CN t ∴==，//AM CN Q ，∴四边形AMCN 为平行四边形，∴当AN AM =时，四边形AMCN 为菱形．3BE AE ==Q ，6EN t =-，2223(6)AN t ∴=+-，2223(6)t t ∴+-=， 解得154t =． 故当t 为154时，四边形AMCN 为菱形；（3）MP BC ⊥Q 于P ，NQ AD ⊥于Q ，//QM NP ，∴四边形MPNQ为矩形，=时，四边形MPNQ为正方形．∴当QM QNBE=，Q，3==AM CN t∴==--=--=-，936AQ EN BC BE CN t t∴=-=--=-（注：分点Q在点M的左右两种情况），QM AM AQ t t t|(6)||26|Q，==QN AE3∴-=，|26|3t解得 4.5t=．t=或 1.5故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．28．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，60∠=︒，点A的COA坐标为(6,0)，点B的坐标为(10,43)．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒(0)t>．（1）当运动2秒时，求APQ∆的面积．（2）求点C的坐标和平行四边形OABC的周长；（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？【分析】（1）如图1中，作QE x⊥轴于E，BF x⊥轴于F．求出PA．QE即可解决问题．（2）利用平行四边形的性质解决问解即可．（3）如图2中，当点Q在射线BC上时，CQ PA=时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作QE x⊥轴于E，BF x⊥轴于F．(6,0)A Q ，(10B ，3)，6OA ∴=，10OF =，43BF =， 1064AF ∴=-=，228AB AF BF =+=， 当2t =时，2OP =，4PA =，4AQ =， Q 四边形OABC 是平行四边形， 60BAF COA ∴∠=∠=︒，QE AE ⊥Q ，90AEQ ∴∠=︒，sin 6023EQ AQ ∴=︒=g ，114234322PAQ S PA QE ∆∴==⨯⨯=g g（2）Q 四边形OABC 是平行四边形， 6OA BC ∴==，//BC OA ， (10B Q ，43)，(4C ∴，43)，6OA BC ==Q ，8OC AB ==， ∴四边形OABC 的周长2(68)28=⨯+=．（3）如图2中，当点Q 在射线BC 上时，CQ PA =时，A ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形．|142||6|t t∴-=-，解得203t=或8，t∴为203s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．。

浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形测试题（附答案）一、单选题（共12题；共36分）1.如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（）A. 70B. 74C. 144D. 1482.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ).A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直且平分C. 对角线相等D. 对角线平分一组对角3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成2和3两部分,则该矩形的周长是( ).A. 12B. 14C. 16D. 14或164.如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于( )A. 110°B. 115°C. 120°D. 125°5.关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是( )A. 若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形C. 若AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形D. 若AB=AD,则平行四边形ABCD是正方形6.已知ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是( )A. B. C. D.7.矩形的边长是，一条对角线的长是，则矩形的面积是（）A. B. C. . D.8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A. AO=BOB. AC=ADC. AB=BCD. OD=AC9.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是（）A. OA=OC OB=ODB. AC=BDC. AB=BCD. AC⊥BD10.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AB∥CD；②AB=CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．则下列各组组合中，不能推出四边形ABCD为菱形的是（）A. ①②④B. ③④⑤C. ①②⑤D. ①②⑥11.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相垂直B. 对角线相等且互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直平分12.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形二、填空题（共9题；共27分）13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为__△________cm．14.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=70°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF=________°.15.菱形的面积为24，一条对角线长为6，则它的周长是________.16.如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形，且0B=OD,请你添加一个适当的条件: ________使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)17.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=1，则AC的长是________．18.已知菱形的一条对角线的长为12cm，另一条对角线的长为5cm，则这菱形的面积为________cm2．19.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．20.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,AB=5,则菱形ABCD的面积为________.21.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝________．三、作图题（共1题；共12分）22.图1，图2，图3是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，A，C两点都在格点上，连结AC，请完成下列作图:（1）以AC为对角线在图1中作一个正方形，且正方形各顶点均在格点上（2）以AC为对角线在图2中作一个矩形，使得矩形面积为6，且矩形各顶点均在格点上（3）以AC为对角线在图3中作一个面积最小的平行四边形，且平行四边形各顶点均在格点上四、综合题（共2题；共25分）23.如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．24.如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．（1）试说明：；（2）在图1中，若在上，且，则成立吗？为什么？（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，BC∥AD(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E 是AB 的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长.答案一、单选题1. B2. C3. D4. A5. C6. A7. C8. C9.B 10. A 11.D 12.C二、填空题13. 9 14. 75 15. 20 16. 答案不唯一，如或或或等17.2 18.30 19. 3 20. 24 21.三、作图题22. （1）解：正方形ABCD为所求作的正方形（2）解：矩形ABCD为所求作的矩形（3）解：平行四边形ABCD为所求作的平行四边形.(画出下列一种即可)四、综合题23. （1）证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠ADF，由题意知，BE=DF，在△BEC与DFA中，，∴△BEC≌△DFA中（SAS），∴CE=AF，同理：AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形．（2）解：如下图，由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm，则∠1＝∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠EAF=90°，此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm.即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．24. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=90°. 在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF.（2）若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立，理由如下：由（1）△BCE≌△DCF知∠BCE=∠DCF，CE=CF.∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°-45°=45°，∴∠GCF=∠GCE，在△GCE和△GCF中，，∴△GCE≌△GCF（SAS），∴GE=GF，即：GE=DF+GD=BE+GD.（3）如下图：过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由第（2）问及题设知，四边形ABCG是正方形，且DE=BE+DG，设DG=x，则AD=6-x，DE=BE+x，AE=6-BE，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，即：（6-x）2+（6-BE）2=（BE+x）2，解得：x=，∴DE=BE+DG=BE+=.。

浙教版2019-2020学年度第二学期八年级数学测试第5章特殊平行四边形 考试时间：100分钟；满分120分题号一 二 三 总分 得分评卷人得分 一、单选题1．（3分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．（3分）若菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm ，则菱形的面积是( ) A ．4 2cm B ．23cm C ．223cm D ．3 2cm 3．（3分）小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．等腰梯形D ．无法确定 4．（3分）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45° 5．（3分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，AO ＝3，∠ABC ＝60°，则菱形 ABCD 的面积是（ ）A ．18B ．18C ．36D ．36 6．（3分）如图，下列条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是（ ）A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO7．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC 于点E，则AE的长是（）A．53cm B．25cm C．48cm5D．24cm58．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A落在y轴上，点C落在x轴上，随着顶点C由原点O向x轴正半轴方向运动，顶点A沿y轴负半轴方向运动到终点O，在运动过程中OD的长度变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）A．7B．27C．35D．26评卷人得分二、填空题11．（4分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．12．（4分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123∠+∠+∠=____度.13．（4分）如图，在△ABC 中，AB=AC=12，BC=8，BE 是高，且点D、F 分别是边AB、BC 的中点，则△DEF 的周长等于_____________________．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．15．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝_____度．16．（4分）如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝6，BC ＝8，则EF 的长为______．17．（4分）如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2, 那么阴影部分的面积为_________.18．（4分）有一张长方形纸片ABCD ，如图（1），将它折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，如图（2）；再将∠A 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为MN ，如图（3）．如果AD=4cm ，MD=1cm ，那么DB= cm ．评卷人得分 三、解答题19．（8分）如图，在矩形ABCD 中，,DE AC BF AC ⊥⊥，垂足分别为,,E F DE BF =，连接,DF BE ．求证：四边形DEBF 是平行四边形．20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝2，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．∆的周22．（8分）正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果APQ ∠的度数．长为2，求PCQ23．（8分）如图，△ABC 的中线AD 、BE 、CF 相交于点G ，H 、I 分别是BG 、CG 的中点．（1）求证：四边形EFHI 是平行四边形；（2）①当AD 与BC 满足条件 时，四边形EFHI 是矩形；②当AG 与BC 满足条件 时，四边形EFHI 是菱形．24．（9分）如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E（1）求证：EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．25．（9分）如图（1）是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点P 在滑槽MN 上，下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均为20cm ，且20AB CD CP DM cm ====.（点D 是固定点）（1）当点P 向下滑至点N 处时，测得60DCE ︒∠=时①求滑槽MV 的长度②此时点A 到直线DP 的距离是多少？（2）当点P 向上滑至点M 处时，点A 在相对于（1）的情况下向左移动的距离是多少？参考答案1．B2．C3．D4．B5．B6．C7．D8．A9．D10．A11．512．13513．1614．1515．9016．117．-218．219．见解析20．（1）见解析；（221．（1）证明见解析；（2）4．22．45°.23．（1）证明见解析；（2）①AD⊥BC；②2AD=3BC24．（1）见解析；（2）运动到AC的中点时；（3）运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB 为直角的直角三角形时25．（1）①②60（2）-60答案第1页，总1页。

第5章特殊平行四边形单元测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分对角2. 下列命题中，真命题是（）A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形3. 如图，正方形的周长为，为上一点，，，则四边形的周长是（）A. B. C. D.4. 如图所示，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是( )A.当时，四边形是矩形B.当时，四边形是正方形C.当时，四边形是菱形D.当时，四边形是菱形5. 矩形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形6. 如图，是菱形的对角线、的交点，、分别是、的中点．下列结论：①＝；②四边形也是菱形；③四边形的面积为；④＝；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（）A.个B.个C.个D.个7. 如图，矩形中，，，则的长为( )A. B. C. D.8. 如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则的长为（）A. B. C. D.9. 已知：如图，在矩形中，，，那么等于（）A. B. C. D.10. 如图，在锐角中，延长到点，点是边上的一个动点，过点作直线，分别交、的平分线于，两点，连接、，在下列结论中：①＝；②＝；③若＝，＝，则的长为；④当＝时，四边形是矩形．其中正确的是（）A.①④B.①②C.①②③D.②③④二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 如图，宽度为的两个长方形纸条所交锐角为，则两纸条重叠部分的面积是________．12. 一个菱形的边长为，一条对角线长为，则这个菱形另一条对角线长为________．13. 正方形的面积为，则它的边长为________，一条对角线长为________．14. 如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是________．15. 如图，正方形中，，延长到，使，则的面积是________．16. 点是四边形内一点，若，，，点分别是的中点，则给添加一个条件________使四边形为正方形.17. 如图，将两张对边平行且宽度相等的纸条交叉叠放在一起，若，，则重合部分的面积为________．18. 如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为________．19. 李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方．商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐（如图所示）．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？________（填是或否）．20. 如图，边长为的正方形和边长为的正方形排放在一起，和分别是这两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计60分，）21. 如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为，求证：四边形为矩形.22. 如图，在矩形中，的角平分线交对角线于点，，，垂足分别是，．判定四边形的形状，并证明你的结论．23. 如图，是矩形对角线的交点，，．（1）求证：四边形是菱形．（2）若＝，＝，求四边形的面积．24. 如图：在中，、分别平分与它的邻补角，于，于，直线分别交、于、．（1）求证：四边形为矩形；（2）试猜想与的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形是菱形，试判断的形状，并说明理由．25. 如图所示，四边形是正方形，、交于点，平分，垂直，交于点，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．26. 在一张长、宽的矩形纸片内，要折出一个菱形，小明同学按照取两组对边中点的方法折出菱形（见方案一），小亮同学沿矩形的对角线折出，的方法得到菱形（见方案二）．（1）你能说出小明、小亮所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小明和小亮同学的折法中，哪种菱形面积较大？备注：以上内容仅显示部分，需完整版请下载！。

第5章特殊平行四边形一、选择题(每小题5分，共30分)1．正方形的对称轴共有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．如图5－Z－1，已知菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是()图5－Z－1A．6 3 m B．6 m C．3 3 m D．3 m3．如图5－Z－2，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，DA，CD，BC的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为()图5－Z－2A．3 B．4C．6 D．84．如图5－Z－3，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为()图5－Z－3A．2 B．4C．2 3 D．4 35．如图5－Z－4，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，则下列说法正确的是()图5－Z－4A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形6．如图5－Z－5所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连结EF，在移动的过程中，EF 的最小值为()图5－Z －5A ．1 B. 2 C.32D. 3 二、填空题(每小题6分，共24分)7．如图5－Z －6，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是DB ，DC 的中点．若AB ＝10，则EF ＝________．图5－Z －68．如图5－Z －7，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE ＝AC ，则∠DCE 的度数是________．图5－Z －79．如图5－Z －8，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为________．图5－Z －810．如图5－Z －9，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE ＝3，Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 的周长的最小值为________．图5－Z －9三、解答题(共46分)11．(10分)如图5－Z －10，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连结DE ，CE . (1)求证：△ADE ≌△BCE ；(2)若AB ＝6，AD ＝4，求△CDE 的周长．图5－Z－1012．(10分)如图5－Z－11，已知两个菱形ABCD，CEFG，其中点A，C，F在同一条直线上，连结BE，DG.(1)在不添加辅助线的情况下，写出其中的两对全等三角形；(2)求证：BE＝DG.图5－Z－1113．(13分)已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连结EA，EC.图5－Z－12(1)如图5－Z－12①，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；(2)如图②，若P为线段AB的中点，连结AC，判断△ACE的形状，并说明理由．14．(13分)如图5－Z－13，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过点G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过点H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件________________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证__________________，________________________，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，____________________，即可得证．图5－Z－131．D2．B [解析] 易知△ABC 为等边三角形，所以AC ＝AB ＝6 m. 3．B4．B [解析] ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO ＝BO ＝CO ＝DO . ∵∠AOB ＝60°， ∴△ABO 是等边三角形． ∵AB ＝2，∴AO ＝BO ＝AB ＝2，∴AC ＝2AO ＝4. 故选B.5．D [解析] 根据DE ∥AC ，DF ∥AB ，可证明四边形AEDF 是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD ⊥BC ，无法判定四边形AEDF 是矩形，所以A 错误；若AD 垂直平分BC ，可以判定四边形AEDF 是菱形，所以B 错误； 若BD ＝CD ，无法判定四边形AEDF 是菱形，所以C 错误；若AD 平分∠BAC ，则∠EAD ＝∠FAD ＝∠ADF ，所以AF ＝DF .又因为四边形AEDF 是平行四边形．所以四边形AEDF 是菱形，故D 正确．故选D.6．D [解析] 连结DB ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ， 而∠A ＝60°，∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形， ∴∠ADB ＝∠DBC ＝60°，AD ＝BD .在Rt △ADH 中，∵AD ＝AB ＝2，∠ADH ＝90°－∠A ＝30°， ∴AH ＝1，DH ＝ 3.在△ADE 和△BDF 中，∵⎩⎨⎧AD ＝BD ，∠A ＝∠DBF ，AE ＝BF ，∴△ADE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠BDF ，DE ＝DF ，∴∠BDF ＋∠BDE ＝∠ADE ＋∠BDE ＝∠ADB ＝60°， ∴△DEF 为等边三角形， ∴EF ＝DE ，而当点E 运动到点H 时，DE 的值最小，其最小值为3， ∴EF 的最小值为 3. 故选D.7．5 [解析] 由菱形的性质可知：BC ＝AB ＝10. 又∵E ，F 分别是DB ，DC 的中点， ∴EF ＝12BC ＝5(三角形的中位线定理)．8．112.5°9．12 [解析] ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形的面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积＝12×24＝12.10．611．解：(1)证明：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝90°. ∵E 是AB 的中点， ∴AE ＝BE .在△ADE 与△BCE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∴△ADE ≌△BCE (SAS )．(2)由(1)知：△ADE ≌△BCE ，则DE ＝CE . 在Rt △ADE 中，AD ＝4，AE ＝12AB ＝3，由勾股定理知，DE ＝AD 2＋AE 2＝42＋32＝5，∴△CDE 的周长＝2DE ＋CD ＝2DE ＋AB ＝2×5＋6＝16.12．解：(1)答案不唯一，如△ADC ≌△ABC ，△GFC ≌△EFC . (2)证明：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是菱形，∴DC ＝BC ，CG ＝CE ，∠DCA ＝∠BCA ，∠GCF ＝∠ECF . ∵∠ACF ＝180°，∴∠DCG ＝∠BCE .在△BCE 和△DCG 中，∵BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ， ∴△BCE ≌△DCG ，∴BE ＝DG .13．解：(1)证明：∵四边形ABCD 和四边形BPEF 是正方形， ∴AB ＝BC ，BP ＝BF ＝PE ＝FE ，∠P ＝∠F ＝90°， ∴AP ＝CF .在△APE 和△CFE 中，∵⎩⎨⎧AP ＝CF ，∠P ＝∠F ，PE ＝FE ，∴△APE ≌△CFE ， ∴EA ＝EC .(2)△ACE 是直角三角形． 理由：∵P 为AB 的中点，∴PA ＝PB .又∵PB ＝PE ，∴PA ＝PE .∵∠APE ＝180°－∠BPE ＝90°，∴∠PAE ＝45°.又∵∠CAB ＝45°，∴∠CAE ＝90°，即△ACE 是直角三角形． 14．解：(1)证明：∵EH 平分∠BEF ， ∴∠FEH ＝12∠BEF .∵FH 平分∠DFE ，∴∠EFH ＝12∠DFE .∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°，∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE )＝12×180°＝90°.∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH )＝180°－90°＝90°.同理可得∠EGF ＝90°.∵EG 平分∠AEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF .∵点A ，E ，B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°，∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF )＝12×180°＝90°，即∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形．(2)答案不唯一，例如：由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证▱MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件FG 平分∠CFE ，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即证△MGE ≌△QFH ，易证GE ＝FH __，∠GME ＝∠FQH __，故只要证∠MGE ＝∠QFH ，易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，__∠GEF ＝∠EFH __，即可得证．。

第5章达标检测卷一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若BD＝6，则四边形CODE的周长是()A．10 B．12C．18 D．242．正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，6，则正方形的面积为() A．33 B．36 C．48 D．493．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于()A．75°B．60°C．50°D．45°4．如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( ) A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD5．已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O 作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F(不与顶点重合), 则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为()A．它们周长都等于10 cm，但面积不一定相等B．它们全等，且周长都为10 cmC．它们全等，且周长都为5 cmD．它们全等，但周长和面积都不能确定6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形C．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y＝kx(x>0)的图象上，若点C的坐标为(4，3)，则k的值为()A．12 B．20 C．24 D．328．如图，菱形ABCD的对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm，则这个菱形的面积是()A．20 cm2B．24 cm2C．40 cm2D．48 cm29．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC等于()A．10°B．15°C．22.5°D．30°10．如图，在菱形ABCD中，AC＝6 cm，BD＝8 cm.则菱形AB边上的高CE的长是()A.245cm B.485cm C．5 cm D．10 cm二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为________cm.13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝2AD，F，E分别是BA，BC的中点，则下列结论正确的是________．①△ABC是等腰三角形；②四边形EF AM是菱形；③S△BEF ＝12S△ACD；④DE平分∠CDF.14．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________．(请写出正确结论的序号)15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．(1)△ABC的面积为________；(2)与△ABC的面积相等的正方形的边长为________．16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，EF⊥EC，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________．三、解答题(本题有7小题，共66分)17．(8分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC的平分线和△ABC 的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE.求证：AB＝DE.18．(8分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为12，菱形ABCD 的周长是48 cm，求：(1)两条对角线的长度；(2)菱形ABCD的面积．19．(8分)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在同一平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．20．(10分)如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH.四边形EFGH是什么特殊四边形？请说明理由．21．(10分)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连结EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD交AE于点G，CF交AE于点O.求证：四边形CGFE是菱形．23．(12分)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．答案一、1.B 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7．D 8.B 9.B 10.A二、11.3.5 12.9 13.①②③14．①② 15.(1)12 (2)2 316．35 点拨：设CD ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠D ＝90°.∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°，∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.∵∠A ＝90°，∴∠AEF ＋∠AFE ＝90°.∴∠AFE ＝∠DEC .在△AFE 和△DEC 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠DEC ，∠A ＝∠D ，EF ＝CE ，∴△AFE ≌△DEC ，∴AE ＝DC ＝x .∵DE ＝2，∴AD ＝BC ＝x ＋2.∵矩形ABCD 的周长为24，∴2(x ＋x ＋2)＝24，解得x ＝5，即CD ＝AE ＝5，∴AD ＝7，∴矩形ABCD 的面积为5×7＝35.三、17.证明：∵AD ，AE 分别是∠BAC 的平分线与△ABC 的外角∠BAF 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAD ＋∠EAB ＝12(∠BAC ＋∠F AB )＝90°.∵BE ⊥AE ，∴∠BEA ＝90°，∴∠BEA ＋∠DAE ＝180°，∴DA ∥BE .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠F AB ＝∠ABC ＋∠ACB ＝2∠ABC ，双∵∠F AB ＝2∠EAB .∴∠ABC ＝∠EAB ，∴AE ∥BD ，∴四边形AEBD 为平行四边形．又∵∠BEA ＝90°，∴四边形AEBD 为矩形，∴AB ＝DE .18．解：(1)在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为12，∴∠ABC ＝60°，∠BAD ＝120°，∴∠ABO ＝30°.∵菱形ABCD 的周长是48 cm ，∴AB ＝BC ＝DC ＝AD ＝12 cm ，∴AO ＝6 cm ，则BO ＝6 3 cm ，故AC ＝12 cm ，BD ＝12 3 cm.(2)菱形ABCD 的面积为：12×12×123＝723(cm 2)．19．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ADB ＝∠DBC .根据折叠的性质得∠ADB ＝∠BDF ，∠F ＝∠A ＝90°，∴∠DBC ＝∠BDF ，∠C ＝∠F .∴BE ＝DE . 在△DCE 和△BFE 中，⎩⎨⎧∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ，∴△DCE ≌△BFE .(2)解：在Rt △BCD 中，∵CD ＝2，∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴BD ＝4.∴BC ＝2 3.在Rt △ECD 中，易得∠EDC ＝30°.∴DE ＝2EC .∴(2EC)2－EC2＝CD2.∵CD＝2，∴CE＝23 3.∴BE＝BC－EC＝43 3.20．解：四边形EFGH是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠EHA＝∠HGD，∴四边形EFGH是菱形．∵∠HGD＋∠GHD＝90°，∴∠EHA＋∠GHD＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．21．(1)证明：如图，连结AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴易得∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝AC.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)解：四边形AECF的面积不变．由(1)知△ABE≌△ACF，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝4 3.故S 四边形AECF ＝4 3. 22．证明：∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥EC .又∵EF ⊥AB ，AE 是∠BAC 的平分线，∴FE ＝CE .在Rt △AEF 与Rt △AEC 中，⎩⎨⎧FE ＝CE ，AE ＝AE ，∴Rt △AEF ≌Rt △AEC ，∴AF ＝AC .又∵AE 平分∠BAC ，∴OC ＝OF .∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∴CD ∥EF ，∴∠GCO ＝∠EFO .在△GCO 和△EFO 中，⎩⎨⎧∠GCO ＝∠EFO ，CO ＝FO ，∠COG ＝∠FOE ，∴△GCO ≌△EFO ，∴CG ＝EF ，∴四边形CGFE 是平行四边形．又∵FE ＝CE ，∴四边形CGFE 是菱形．23．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACE ＝∠BCE .又∵MN ∥BC ，∴∠NEC ＝∠BCE .∴∠NEC ＝∠ACE .∴OE ＝OC .∵CF 是∠ACD 的平分线，∴∠OCF ＝∠FCD .又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD.∴∠OFC＝∠OCF.∴OF＝OC.∴OE＝OF.(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．又∵MN∥BC，∴当∠ACB＝90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF.∴四边形AECF是正方形．(3)不可能理由如下：连结BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝12∠ACB＋12∠ACD＝12(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能是菱形．。

期末复习五特殊平行四边形复习目标必备知识与防范点一、必备知识：1．矩形的性质及判定：（1）矩形的________ 个角都是直角；矩形的对角线________ ；矩形既是________对称图形，又是________ 对称图形，它至少有________ 条对称轴．（2）有一个角是________ 的________ 是矩形；有________个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的________是矩形．2．菱形的性质及判定：（1）菱形的________ 条边都相等；菱形的对角线________ ，并且每条对角线平分________ ．（2）一组________ 相等的________ 是菱形；四条边相等的四边形是________ ；对角线的平行四边形是菱形．3．正方形的性质及判定：（1）正方形的________个角都是直角，四条边都________ ；正方形的对角线________ ，并且________，每条对角线平分一组________ ．（2）有一组________相等，并且有一个角是________ 的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的________ 是正方形；有一个角是直角的________ 是正方形．二、防范点：1．矩形、菱形、正方形的判定书写要规范；2．矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑.例题精析考点一矩形的性质与判定例1 （1）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8C．6 D．5（2）如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD. 正确的结论是________ .（3）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O. ①若矩形的一组邻边为3和4，则对角线长是________；②若矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是________ ；③若∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC= ________ .（4）如图，矩形ABCD中，点R沿CD边从点C向点D运动，点M在BC边上运动，E、F分别是AM、MR的中点，则EF的长度随着点M、点R的运动________（填①变短；②变长；③不变）.（5）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，则S△ACF=________ .反思：（1）解题的根据是熟记各种特殊几何图形的特征．（2）熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．（3）正确把握三角形中位线等于第三边的一半的性质是解题关键．（4）熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．（5）熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．例2 （1）下列判断不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（2）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（3）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE、BF．当∠ACB为________ 度时，四边形ABFE为矩形．（4）在平面直角坐标系上，有点A（-2，-2），B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为________ 时，四边形ABCD是矩形．反思：熟练掌握矩形的判定，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．考点二菱形的性质与判定例3 （1）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E. 有以下结论：①BD=CE；②DA=DE；③∠EAC=90°；④∠ABC=2∠E. 则成立的结论是________ .（2）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是.（3）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连结OE，则线段OE的长等于________ cm．（4）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连结EF，在移动的过程中，EF的最小值为________ .反思：熟记菱形性质是解题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．例4 （1）平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，-2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形（2）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC. 从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________（只填写序号）．（3）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=2DE．①求证：四边形BCFE是平行四边形；②当∠ACB=60°时，求证：四边形BCFE是菱形．反思：掌握平行四边形、菱形的判定方法，利用数形结合是解题的关键．考点三正方形的性质与判定例5 （1）如图，ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是________ .（2）（菏泽中考）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF ＝2，则四边形BEDF的周长是________ ．反思：（1）解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题.（2）从对称角度看图形结构，寻求两个图形的公共线段DB，从而求解.例6 （1）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF ∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是________ .（2）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM 的中点，当AB∶AD= ________ 时，四边形MENF是正方形．反思：熟练应用平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定方法是解题关键．考点四特殊平行四边形的开放探究例7 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.【探究展示】（1）证明：AM＝AD＋MC；（2）AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.反思：（1）常规辅助线：“中点＋平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段＝两线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过E作EH⊥AM于H，再证HM ＝CM得证.考点五特殊平行四边形的变换例8 已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：①连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误反思：利用作图的方法，再运用矩形的判定，并进行推理论证是解决问题的关键．例9 已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）：（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求折痕EF的长.反思：利用特殊平行四边形的变换，再运用矩形、菱形的性质及判定，求解一些简单的计算及推理问题.考点六特殊平行四边形的综合运用例10 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF，BF.（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AE＝x，求△EBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）求△GCF面积的最小值.反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住△GDH≌△HAE（HL），证明∠GHE＝90°；（2）解第（2）小题的关键是构造△FNG≌△HAE，△FEM≌△HGD；（3）求△GCF面积的最小值要抓住GC边上的高不变，GC最小只要DG最大，DH＝4，∴GH＝HE最大，∴点E与点B重合时，△GCF的面积取最小.校内练习1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A＝x°，则∠FPC的度数为（）2．如图所示，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为.3．（南充中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG 绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是________.（填序号）4. 定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD=180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，求∠BPC的度数；（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．5．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD 剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？写出所拼四边形对角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果）.6．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图2），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．7．如图，在正方形ABCD中，DE与HG相交于点O.（1）如图1所示，若∠GOD＝90°，①求证：DE＝GH；②连结EH，求证：GD＋EH≥DE；（2）如图2所示，若∠GOD＝45°，AB＝4，HG＝2，求DE的长.参考答案【必备知识与防范点】1. （1）四相等中心轴两（2）直角平行四边形三平行四边形2. （1）四互相垂直平分一组对角（2）邻边平行四边形菱形互相垂直3. （1）四相等相等互相垂直平分对角（2）邻边直角矩形菱形【例题精析】例1 （1）如图，连结OP，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴××6×8=×5·PE+×5·PF，解得PE+PF=4.8．故选：B．（2）①②③（3）①5 ②57.5°和32.5°③8 （4）①（5）10例2 （1）C （2）B （3）60 （4）（-4，0）例3 （1）②③④（2）20 （3）3（4）连结DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ADH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．例4 （1）B （2）②（3）①∵D，E为AB，AC中点，∴DE为△ABC的中位线，DE=BC，∴DE∥BC，即EF∥BC，∵EF=2DE，∴EF=BC，∴四边形BCFE为平行四边形．②∵四边形BCFE为平行四边形，∠ABC=90°，∠ACB=60°，E为AC的中点，∴BC=CE=BE，∴四边形BCFE是菱形．例5 （1）65°（2）8例6 （1）①②③④（2）1∶2例7 （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD ∥BC. ∴∠DAE=∠ENC.∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE. ∴∠ENC=∠MAE. ∴MA=MN. 在△ADE和△NCE中，∴△ADE≌△NCE（AAS）. ∴AD=NC. ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.（2）AM=DE+BM成立.证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图2所示. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC. ∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°. ∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE. 在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE （ASA）. ∴BF=DE，∠F=∠AED. ∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE. ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM. ∴∠F=∠FAM. ∴AM=FM. ∴AM=FB+BM=DE+BM.（3）探究展示（1）AM＝AD＋MC仍成立；（2）AM＝DE＋BM不成立.例8 C例9 （1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF. ∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，∴∠CEF=∠AEF，AE=CE，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF. ∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵AE=EC，∴四边形AECF为菱形.（2）连结AC，∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=3cm，AF=CF，∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，则CF=5cm，BF=4cm，由面积可得：·AC·EF=AF·BC，即·3·EF=5×3，∴EF=cm.例10 （1）在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和Rt△EAH中，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；（2）过F作FM⊥AB，垂足为M，交DC延长线于点N，连结GE，∴FN⊥CD，∵CD∥AB，∴∠DGE=∠MEG，∵GH∥EF，∴∠HGE=∠FEG，∴∠DGH=∠MEF，在Rt△HDG和Rt△FME中，∴Rt△HDG≌Rt△FME，∴DH=MF，∵AH=2，∴DH=MF=4，∵AE=x，∴BE=10-x. ∴S△EBF=BE·FM=2（10-x）=20-2x. 同理可证Rt △AHE≌Rt△NFG，∴FN=AH=2，∵AH=2，AE=x，∴HE=HG==，∴DG==，∴CG=10-，∴S△GCF=CG·FN=10-，若△EBF的面积是△CGF面积的2倍，则20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程无解，所以不存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍.（3）当点E与点B重合时，△GCF的面积取最小，最小值为10-2.【校内练习】1. D2.3. ①②4. （1）∵点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，∴∠BPC=180°-∠APD=180°-63°=117°.（2）如图，连结AP、CP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．而DP=DP，∴△ADP≌△CDP，∴∠APD=∠CPD．又∠APB+∠APD=180°，∴∠APB+∠CPD=180°，即点P为菱形ABCD的一个“互补点”．5. （1）图1是矩形，两条对角线长相等，均为2；图2是平行四边形，两条对角线长为4和4；图3是平行四边形，两条对角线长为2和2；图4是一般的四边形，两条对角线长为2和.6. （1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB ∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为58.7. （1）①作DM∥GH交BC延长线于点M，如图1，∵正方形ABCD中，GD∥BC，∴四边形GHMD为平行四边形，则GH=DM，GD=MH，∴∠GOD=∠MDE=90°，∴∠MDC+∠EDC=90°，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠MDC=∠ADE，在△ADE和△CDM中，∴△ADE≌△CDM，∴DE=DM，∴DE=GH；②连结EM，∵DM=DE，∠EDM=90°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=DM=DE，∵MH+EH≥EM，GD=MH，∴EH+GD≥EM，∴GD+EH≥DE；（2）过点D作DN∥GH交BC于点N，如图2，则四边形GHND是平行四边形，∴DN=HG，GD=HN，∵∠C=90°，CD=AB=4，HG=DN=2，∴CN==2，∴BN=BC-CN=4-2=2，作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，在△ADM和△CDN中，∴△ADM≌△CDN（ASA），∴AM=NC，DM=DN，∵∠GOD=45°，∴∠EDN=45°，∴∠ADE+∠CDN=45°，∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，在△MDE和△NDE中，∴△MDE≌△NDE（SAS），∴EM=EN，即AE+CN=EN，设AE=x，则BE=4-x，在Rt△BEN中，22+（4-x）2=（x+2）2，解得x=，∴DE=。

2020年浙教新版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．242．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形4．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能5．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A 为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16B．15C．14D．137．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56B．192C．20D．以上答案都不对8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB？A．1B．2C．3D．49．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形10．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB 于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6二．填空题（共8小题）13．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8cm，DB＝6cm，菱形的边长是cm，面积是cm2．14．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA 平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．15．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．16．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为度．17．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是．18．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是．三．解答题（共8小题）21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．23．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13．求证：四边形ABCD是矩形．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．27．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）28．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．2020年浙教新版八年级数学下册《第5章特殊平行四边形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．24【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC【分析】根据菱形的性质逐项分析即可得到问题答案．【解答】解：由菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质可知OA＝OC，故选项D成立；由菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可知选项A，C成立；所以B不一定正确．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较容易解答，关键是掌握菱形的定义与性质．3．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形．【解答】解：如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱形的判定方法利用数形结合是解题的关键．4．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．【点评】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．5．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．故选：A．【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A 为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16B．15C．14D．13【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键．7．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56B．192C．20D．以上答案都不对【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2＝202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．【解答】解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为20，∴（3x）2+（4x）2＝202，解得：x＝4，∴矩形的两邻边长分别为：12，16；∴矩形的面积为：12×16＝192．故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB？A．1B．2C．3D．4【分析】当AP＝BQ时，可得到PQ为平行四边形，然后依据矩形的性质可得到PQ∥AB，然后求得AP＝BQ的次数即可．【解答】解：当AP＝BQ时，AB∥BQ．∵AP∥BQ，AP＝BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴QP∥AB．∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．∴点Q可在BC间往返4次．∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．【点评】本题主要考查的是矩形的性质，计算出点Q在BC间往返的次数是解题的关键．9．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形【分析】画出图形，根据角的平分线的性质和平行线的性质，三角形内角和定理及矩形的判定定理求答．【解答】解：根据图形，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，则得到：∠1+∠3＝90°，根据三角形内角和定理得到：∠AFB＝∠EFG＝90°，同理，平行四边形的相邻角的平分线一定互相垂直，因而平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成四边形，四边形的四个内角一定是直角，即四边形是矩形．故选：A．【点评】本题解决的关键是根据平行四边形的对边平行，利用平行线的性质．10．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．11．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C、∵四边形CEDF是平行四边形，∵∠AEC＝120°，∴∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，正确；D、当AE＝ED时，不能得出四边形CEDF是菱形，错误；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB 于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．二．填空题（共8小题）13．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8cm，DB＝6cm，菱形的边长是5cm，面积是24cm2．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，则可利用勾股定理计算出AB＝5，即得到菱形的边长为5cm，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算菱形ABCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝3，在Rt△ABO中，AB＝＝＝5（cm），菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）．故答案为：5，24．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．14．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，通过证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF＝CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG＝AB＝CD＝FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF＝∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO＝BD＝BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG＝∠EPG＝90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG＝EG＝AB，∴EG＝EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF＝BE，∵GP＝BE＝GF，∴GP＝FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE＝∠FPE＝90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP＝∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．15．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为6．【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB＝BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3cm与∠ABC＝60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积＝底×高计算即可．【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S＝AB×3＝BC×3，四边形ABCD∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，＝BC•AE＝2×3＝6．∴S四边形ABCD故答案是：6．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．16．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为45度．【分析】平行四边形ABCD的面积等于矩形面积的．且它们的底相等，所以平行四边形ABCD的高等于矩形高的．过点C作AB的垂线垂足是E，运用三角函数求解即可．【解答】解：过点C作AB的垂线垂足是E，如图所示：∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的，∴BC＝CE，∵sin∠CBE＝＝，∴∠CBE＝∠A＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、面积的计算、三角函数的运用；通过作辅助线构造直角三角形，运用三角函数是解决问题的关键．17．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是矩形．【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．【解答】已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO＝∠ENO＝90°，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN＝90°，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．【点评】本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：①一个角是直角的平行四边形是矩形．②三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形．18．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC＝EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．【解答】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．【点评】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：（4，2）．【分析】根据题意和旋转变换的性质、平移的性质画出图形，根据坐标与图形的变化中的旋转和平移性质解答．【解答】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′＝OD＝2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、平移的性质，掌握坐标与图形的变化中的旋转和平移性质是解题的关键．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是答案不唯一（如：AB＝BC，或AC⊥BD等）．【分析】要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是矩形，使AB＝AC，即可满足题意．【解答】解：由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB＝AC．可进一步确定其为正方形，故答案为：AB＝AC．【点评】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一对领边相等的矩形是正方形．三．解答题（共8小题）21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．23．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF 为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得BD＝CD＝6，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求DH＝3，即可求DF＝BF的长，即可得菱形BEDF的面积．【解答】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°∴∠DBC＝30°＝∠C∴DB＝DC＝6∵DH⊥BC，∠C＝30°∴DC＝2DH＝6∴DH＝3∵DF∥AB，∴∠A＝∠FDC＝90°，且∠C＝30°，DC＝6∴DC＝DF∴DF＝2∵四边形BEDF为菱形∴BF＝DF＝2＝BF×DH＝2×3＝6∴S四边形BEDF【点评】本题考查了菱形的性质与判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形．（2）方法一：解直角三角形求出BC＝2．AB＝2，根据矩形和菱形的性质得出，S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，即可求出菱形的面积．方法二：解直角三角形求出BC＝2．AB＝DC＝2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝1，OE＝2OF＝2，即可求出菱形的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，………………………………2分∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OD，………………………………4分∴▱OCED是菱形；………………………………5分（2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝2，AB＝2，………………………………6分∵S △COD ＝S 矩形ABCD ＝S 菱形OCED ，………………………………8分∴S 菱形OCED ＝×2×2＝2．………………………………10分方法二：解：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BC ＝2，∴AB ＝DC ＝2， 如图，连接OE ，交CD 于点F ，∵四边形OCED 为菱形，∴F 为CD 中点，∵O 为BD 中点，∴OF ＝BC ＝1，∴OE ＝2OF ＝2，∴S 菱形OCED ＝×OE ×CD ＝×2×2＝2．【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．25．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13． 求证：四边形ABCD 是矩形．【分析】利用平行线的性质得出∠ADC ＝90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B ＝90°，进而得出答案．【解答】证明：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，∴∠ADC ＝90°，又∵△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，满足132＝52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．27．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB，（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM 和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN 中，由勾股定理，解得x．【解答】解：（1）如图①AH＝AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，。