【数学专题】两角和与差的余弦正弦正切基础练习

两角和差的正弦余弦正切公式练习题、选择题给出如下四个命题①对于任意的实数a 和B,等式cos （〉• J =cos ：・ cos ? -sin 〉sin 一：恒成立； ②存在实数a , B,使等式cos （： • J =cos ： cos 1si n ： sin 一：能成立;函数y = 2sin x(sin x - cosx)的最大值是当 x [-32】时，函数 f (x) = sin x . 3cosx 的B、丫都是锐角，恥已伽叫伽⑴,则a + 0+丫等于（③公式tan （：：亠〉） 冷去成立的条件是"尹Z ）且—）；④不存在无穷多个 a 和 B, 使 sin(：--)二 sin ： cos ： - cos sin -；其中假命题是A.①②B.②③ C •③④ 2. B . 2 -1C.2D. 23. 4. 5. 6. 7. A.最大值为1,最小值为—1B.最大值为 1,C •最大值为2,最小值为-2 D.最大值为2,则cos （＞ - ■）的值3已知 tang ■ - ) = 7,tan ： tan : A. 已知 A.-<p 2 56 65 sin15 si n30A.—4函数 A. 2, 最小值为--21最小值为- ::一二,COS (： _ :)3一，则 sin2〉二 B.—色65sin 75的值等于B.— 81 tanxC.C.65 56JID.— 65 56D.-4f (x)二 tan(x ), g(x), h(x)二 cot( x)其中为相同函数的是41 -ta nx 4f (x)与g(x)B. g(x)与 h(x)C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)8.12. sin 20 cos70 sin10 sin50 的值是14.在△ ABC 中, tan A tan B tanC = 3、. 3，A.39. 设tan ：和tan (…-v)是方程x * 2 - px ・q=0的两个根，A. p+q+1=0B. p — q+仁0C. p+q —仁010. 已知cos 1 =a,si n =4si n(：;亠『)则tan (卅亠『J 的值B.4p 、q 之间的关系是 D. p — q — 1=0f 2A. 心B.J-a 2 a —4C. a _4 _.1-a 2D.1 — a2 一 a11. 在△ ABC 中, C 90； ,则tan A tanB 与1的关系为A. tanA tanB 1C. tanA tanB =1B. tanA tanB ：：1 D. 不能确定A. 1B. _2C. 1422、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） -cos 2 :的值为D.3 ~413.已知 sin(：;亠『■) sin( I ； ：;) = m ，则 cos 2: 2tan B = tanA tanC 则/ B=1 i20. 已知 a , B€(0, n)且 tanC - ：),tan ，求 2 --的值.21.证明：tan?x-tan 「2sinx2 2 cosx+cos2x22.已知△ ABC 勺三个内角满足：A+C=2B + = _丄仝 求cos —cos A cosC cosB219.求证: tan(x y) tan(x - y)sin 2xcos 2 x 「sin 2 yC 的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、 1. C 2 . A 3 . D 4 . D 5 . B 6 . C 7 . C 8 . B 9 . B 10 . D 11. B 12 . A二、 13 . m 14 . 1 15 . —2—J 3 16 . [、■一3[—〒,〒]17 .原式=sin( 3x)cos( 3x) -sin(3x)433<2sin50 ± i(-\,'2sin 50)-4(sin 50「-_)18 . x-sin(50 ±45 ),.为=sin95、=cos5：x^ sin5‘=cos85'', tan( 1 -2: ) =tan75>2. 3 .19 证： 左 _ sin(x y)sin(x - y)sin[(x y) (x - y)]cos(x y) cos(x - y)cos x cos y 「sin x sin ysin2xcos 1 2 x -(cos 2x 亠sin 2 x)sin 2y22 .由题设 B=60°, A+C=120，设 aA —C知 A=60° + a ,C=60 ° -a,220 . tan ：二一， tan （2圧卜）=1,3n3 - 4-p sin 3x XCOS — 2 2 3 . x-cos xsi n —2 2 sin x 2sin x3 COS — x 2xcos — 2 3 x cos x cos — 2 2cosx 亠cos2x sin 2x2 :~2~cos x-sin y3X )=¥15 .若 sin( j 24 )二cos(24 - v),则 tan(v ■ 60 ) = ________ . ___J 216.若sinx ・siny ',则cosx cosy 的取值范围是2三、解答题(本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分)八 ar 、 z r . 31 31 31 JI17.化间求值：sinq-3x) cos(§ -3x) -cos(石 3x) sin(：3x).18.已知—<90，且如,8「是方程八如50心『50闰=0的两根, 求tanr -2 ）的值.L-cos A cosCcos二=-2 2,即 cos 22故cos 心。

2 .函数y =2sin x(sin x - cosx)的最大值是A. 1.2两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3cos(a? 3 = cos _ocos_^sin 一 o (sin 3 tan a±a n 3 tan(a _3=1?^门 a an 32.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a=2sin_ a os_a 2 . 2 2 . 2 cos 2a= cos a — sin a=2cos a — 1 =1 一 2sin a 小 2ta n a tan2 a= ~ ~ . 1 — tan a3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ aan_ 3.2 1 +cos 2a .2 1 — cos 2a(2)cos a=2 , sin a= 2 • (3)1 + sin 2 a= (sin a+cos c)2, 1 — sin 2 a= (sin a — cos ”2, sin a±cos a= 2sin4.函数 f(M = asin a+bcos o(a , b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©，其中 tanb©= a 一、选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数a 和3 ,等式cos （-：」“）二cos 〉cos ：-sin 〉sin :恒成立； ②存在实数a , 3 ,使等式cos （二=cos > cos ：• sin 〉sin :能成立； ③公式 tan (二 1'-') tan ： an l成立的条件是：Z ）且 1 — tan 篇 tan - 2 (k ・ Z)；2 ④不存在无穷多个 a 和 3,使 sin(：；- \:,) = sin ： cos - cos ：sin : 其中假命题是A.①②B.②③ C •③④ D. 23. 当 x •[,]时，函数 f (x)二 sin x • 3cosx 的 2 24.5.6.7.8. A.最大值为1,最小值为—1 C •最大值为2,最小值为—2 已知 tan （隈亠『；）=7,tan ：tan : A. 已知 A. —< P <a <2 56 65 sin15 si n30 B.最大值为1,D.最大值为2, 2-,则 COS （「一-）的值最小值为一丄21最小值为- sin 75的值等于 函数 f(x) =tan(x), g(x) 4A. A.f (x)与g(x) B. B 、 都是锐角,B.D 」2C.C.1 tanx65 56D.- 4,h （x ）=cot （ x ）其中为相同函数的是1 - ta nx 4g(x )与 h(x)( C . h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)l,tan5 C.乞：6[•等于（ 3设tan 和tan(— ■- J 是方程x 2 px 0的两个根， 4 A . p+q+1=0 B . p — q+仁0 C . p+q —仁0 10 .已知 cos ： =a,si n> =4si n(-：」“'),则 ta n (二 ■■-')的值是 9. A 1 -a 2 a -4 D .P 、D . B . - a —4 C. • a _4 「1-a 2 D.11.在△ ABC 中, C 90，则 tan A tanB 与 1 的关系为 A. tanA tanB 1 C. tanA tanB =1 B. tanA tanB ：1 D.不能确定12. sin 20 cos70 sin10 sin50 的值是 A. 1B . AC. 1422二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上） 13 .已知 sin （二■ ■■- ） sin （ 一： -〉）= m ，则 cos 2〉-cos 2 -的值为D.q 之间的关系是 p — q — 1=01 - a2 a —414.在△ ABC中, tan A tan B tan C =3、. 3 , tan2 B = ta nA ta nC 则/ B=15 .若sin( 24 )二cos(24 七),则tan(:? ,60 ) = _______ . _____16. 若sin x siny -,则cosx cosy的取值范围是2 ------------------------------------------------------------三、解答题(本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分)17. 化简求值：sin( 3x) cos( 3x) -cos(-3x) sin( 3x).4 3 '6 ' '4:::90 ,且cos , cos :是方程x2一 1「2sin50x曲50 --=0的两根,求tan（7 -2〉）的值.19.求证: tan(x y) tan(x - y) sin 2x_ 2 ~2~cos x -sin y20 .已知a , B €( 0, n T ta「4，求2—的值.21.证明: 3 xtan—x -tan—2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足：A+C=2B + = _丄乙求cos=C的值.cos A cosC cosB 2两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1. C 2 . A 3 . D 4 . D 5 . B 6 . C 7 . C 8 . B 9 . B 10 . D11. B 12 . A二、13 . m 14 . - 15 . —2—J3 16 .【0 込3 [_^'〒]三、17.原式=sin( 3x)cos( 3x) -sin( 3x) cos( 3x)=—2-.4 3 3 4 4、疚sin50 3J(Y'-sin50$2—4(sin 250 丄)18. x - sin(50 ±45 ),.x-i =sin95；=cos5【x2= sin5‘=cos85'',tan( 1 -2: ) =tan75>2 . 3 .19.20.21.22.证：左=sin(x y) sin(x - y) _ sin[(x y) (x - y)]cos(x+y) cos(x-y) cos2x cos2y — sin2x sin2ysin2xcos2 x -(cos2x 亠sin2 x)sin2ysin 2x2 :~2~cos x-sin y1 tan ,3 tan（2：「「）=1,n3-4-p.3 x 3 . x, sin 一x cos—- cos xsin —sin x 2si nx 右.左=- - - -3 x 3 x cosx 亠cos2xCOS cos—cos x cos—- - - -由题设B=60°A+C=120 设—捋知A=60+aC=60 ° - a ,1cos A cosCcos二2 3cos :42=-2 2,即cos -2。

两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。

3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。

专题22两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (4)【考点1】公式的基本应用 (4)【考点2】公式的逆用及变形 (5)【考点3】角的变换问题 (6)【分层检测】 (7)【基础篇】 (7)【能力篇】 (8)【培优篇】 (9)考试要求：1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φtan φf (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φtan φ1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-2．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）．A ．38B ．18-C ．34D ．14-+3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473二、多选题6．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【考点1】公式的基本应用一、单选题1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C ．2D ．22．（2024·山东枣庄·模拟预测）在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．BC D 二、多选题3．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）如图，角α，()0πβαβ<<<的始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．N 为 AB 的中点，则下列说法中正确的是（）A ．N 点的坐标为cos ,sin 22βαβα--⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．cos 2OM βα-=C ．()1cos cos coscos 222βααβαβ+-+=D ．若αβ+的终边与单位圆交于点C ，分别过A ，B ，C 作x 轴的垂线，垂足为R ，S ，T ，则CT AR BS <+4．（2024·全国·模拟预测）已知角α的终边过点()1,2P -，则（）A ．sin cos 12sin cos αααα-=-+B ．2sin 3sin cos 2ααα-=C ．3cos25α=D ．π1tan 43α⎛⎫+=-⎪⎝⎭三、填空题5．（2024·江西鹰潭·二模）已知π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭.6．（2024·河北承德·二模）已知1tan 3x =，则sin sin cos3cos2cos2cos x xx x x x+=.反思提升：1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.【考点2】公式的逆用及变形一、单选题1．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（）A ．1-B ．C ．12-D ．122．（2024·江西·模拟预测）若πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=（）A ．85B ．1C ．65D ．43二、多选题3．（2024·安徽·三模）已知函数()sin f x x x =，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦D ．()f x 在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增4．（2023·全国·模拟预测）已知π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin sin sin αγβ+=，cos cos cos βγα+=，则下列说法正确的是（）A ．()1cos 2αγ+=B ．()1cos 2βγ+=-C ．π3βα-=D ．π3βα-=-三、填空题5．（2024·江西·模拟预测）已知()3cos 5αβ+=，2cos cos 5αβ=，则()cos 22αβ-=.6．（2023·四川成都·二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()tan sin tan tan 12tan tan A A B C B C -=，sin sin B C >，且sin sin sin b B c C ma A +=，则实数m 的取值范围为．反思提升：1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.【考点3】角的变换问题一、单选题1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫-= ⎝⎭（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-2．（2024·贵州贵阳·一模）已知,αβ满足ππ1tan()3,tan()6122αβ+=-=，则)tan(2αβ+=（）A ．13-B ．13C ．34D ．23二、多选题3．（23-24高三上·河南洛阳·开学考试）已知π02αβ<<<，cos 5β=，()cos 10βα-=，则（）A ．sin β=B ．()sin βα-=C ．4sin25β=D ．π4α=4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()5cos13αβ+=，()3sin 5αβ-=，则（）A ．()12sin 13αβ+=-B ．()4cos 5αβ-=C ．63sin 265α=D ．()12tan 5αβ+=三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 69αβαβ+=+=-，则sin2αβ+=，()cos αβ-=．6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）若α是锐角，π1sin()34α-=，则cos α=．反思提升：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α－β2，π3＋α＝π2－α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝π2等.【基础篇】一、单选题1．（2024·湖南·二模）若锐角,αβ满足()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B C ．13D 3．（23-24高三下·安徽六安·()0,πα∈，且3sinα4cosα5+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·江西南昌·二模）已知ππ12cos 2cos cos 312124x x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-C ．78D ．78-二、多选题5．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =++的图象为C ，以下说法中正确的是（）A ．函数()f x 的最大值为12B ．图象C 关于π8,0⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D ．函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π4可得到12y x =+6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列四个式子中，计算正确的是（）A ．cos13cos17sin13sin172︒︒-︒︒B ．()sin π2sin 2+=C ．ππsincos 88=D ．22cos 22.5cos 67.52︒-︒=7．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（）A ．1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒=-B ．tan24tan361tan24tan36︒︒︒-︒+=C ．ππsin1212=D ．sin1054︒=三、填空题8．（2024·广西·二模）已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭.9．（2024·全国·二模）已知6cos tan 7sin ααα=-，则cos2α=.10．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知33πcos ,π52θθ=-<<，则2sin sin cos 222θθθ+=.四、解答题11．（23-24高一下·北京房山·期中）设函数π()sin cos cos sin 002f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，由下列三个条件中的两个来确定：①(0)2f =-；②最小正周期为π；③06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)写出能确定函数()f x 的两个条件，并求出()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及相应的x 的值．12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函数2()22cos f x x x =+．(1)求π()3f 的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()f x 的单调递增区间．【能力篇】一、单选题1．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（）A ．12B ．14C ．34-D ．14-二、多选题2．（2024·云南昆明·一模）古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 α（0360α︒<<︒）所对的弦长记为crd α.例如60︒圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd6060︒=.则（）A ．crd3030︒=B ．若crd 120α=，则180α=︒C ．crd α=D ．crd crd crd()αβαβ+>+（0360αβ︒<+<︒）三、填空题3．（2024·北京海淀·二模）已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a .四、解答题4．（2024·北京海淀·二模）已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.(1)求ω的值；(2)若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ(2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【培优篇】一、单选题1．（2024·江苏·二模）正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q-ABC 共底面ABC ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P 和点Q 在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为α，β，则当αβ+最大时，tan()αβ+=（）A ．13-B ．23-C ．-1D ．43-二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）在单位圆22:1O x y +=上任取一点(,)P x y ，圆O 与x 轴正半轴的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为(),()x f y g θθ==，则下列说法中正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B ．()()1f g θθ+>对于0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦恒成立C ．设()()()h f g θθθ=+，若()(0)h ωθω>在[0,]θπ∈上有且仅有3个极值点，则91344ω≤<D ．函数2()(2)t f g θθ=+的最大值为2三、填空题3．（2021·浙江·模拟预测）若向量x y ，满足2212x y += ，则21||2x x y ++ 的最大值是.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．16 B.13 C ．12 D ．232．△ABC 中，若cos A ＝45，tan(A －B )＝－12，则tan B ＝( ) A ．12 B ．13C ．2D ．3 3．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R)的最大值等于( ) A ．5 B ．92 C ．52D ．2 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos π3＋2α＝( ) A ．－78 B ．－14 C ．14 D ．785．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bC ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、填空题6. sin 250°1＋sin 10°________. 7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 8．已知0＜θ＜π，tan θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. 三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x. (1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．722．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则tan α＝________. 3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题答案A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．16 B.13 C ．12 D ．23A [因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A ．] 2．△ABC 中，若cos A ＝45，tan(A －B )＝－12，则tan B ＝( ) A ．12 B ．13C ．2D ．3 C [由cos A ＝45得sin A ＝35，所以tan A ＝34. 从而tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan A －B1＋tan A tan A －B ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－34×12＝2.] 3．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R)的最大值等于( ) A ．5 B ．92 C ．52D ．2 B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos π3＋2α＝( ) A ．－78 B ．－14 C ．14 D ．78A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.] 5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bC ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.] 二、填空题6. sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 31010 [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010.] 8．已知0＜θ＜π，tan θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. －15 [由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1. ∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． [解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π， 所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. 10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x. (1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值． [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )．由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角，∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C ．12D ．72C [∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴sin α＋cos α＝12.] 2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则tan α＝________. 17 [因为π4＜α＋π4＜π2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝43， 所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝43－11＋43×1＝17.] 3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈ ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈ ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈ . 7分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，9分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.12分。

两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1 •两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin acos B±cos osin 3 cos(a? 3 = cos ocos Pn — o(si n3 . .-------- tan a±a n 3tan ，a _3= 1 ?八门 aan 32 •二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin aos acos 2a= cos a — sin a= 2cos a —[=[ 一 縛0.啜a n a tan z~ 〜1 ——tan a3 •有尖公式的逆用、变形等 (1) tan a±an 3= tan( a±3(1 ?tan aan3. — 2 1 + cos 2a .2 1 一 cos 2a (2) cos a= 2 , sin a= 2 •4 •函数 f （M = asin a+ bcos o （a, b 为常数），可以化为 f （ a = a 2 + b 2sin （a+ ©，其中 tan b©= a一、选择题1 •给出如下四个命题①对于任意的实数a 和3，等式cos （-： j “）二cos 〉cos : -sin 〉sin :恒成 立； ②存在实数a , 3，使等式cos （—=cos> cos : • sin ） sin :能成立；③公式tan （二1，- 叫一^丄成立的条件是：Z ）且 (k ・ ') 1 — tan 篇 tan ・ 2 Z)； ④不存在无穷多个 a 禾CI 3,使 sin(： ； -= sin : cos - cos ：2sin :其中假命题是A.①②B.(2X3) C -③④2 •函数y =2sin x(sin x - cosx)的最大值是A. 1.2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c)2, 1sin 2 a= (sin aD. 2cos 7 sin a±cos a= 2sin23 •当x •口时、函数 f （x ）二 sin x • 3cosx 的 22 A.最大值为1，最小值为一1 B.最大值为1, C •最大值为2,最小值为一24・已知tan （隈亠『；）=7,tan ：tan : D.最大值为2,2■，则 COS （ 「一・）的值最小值为一丄2最小值为・1A.5.已知——<P<a<2A. 56 65C.65 566. sin15 si n30 sin 75 的值等于C.D.- 4tanx 、 ------- ,h 是1 ・ ta nx函数 f(x) =tan(x ), g(x)-4(x) =cot (X）其中为相同函数的A.f (x)与 g(x) B. g(x )与 h(x) c . h(x)与 f (x) D. f (x)与 g(x)及 h(x)8.B 、都是锐角,A.B.I,tan5C.乞：6[•等于（9.设tan 和tan(— ■- J 是方程x 2 px 0的两个根，4A . p+q+1 =0B ・ p — q+仁 0C ・ p+q 一仁 010 •已知cos ： A 1 -a 2a -4=a,si n> =4si n(-： _ ')的值是B ・・a ——4“'），则 tan（二C.・a_4「1-a 2q 之间的尖系是 p — q — 1=01 - a2 a —411 •在△ ABC 中，C 90 则tan A tanB 与1的尖系为A. tanA tanB 1 C. tanA tanB =1B. tanA tanB ： 1 D ・不能确定12. sin 20 cos70 sin10 sin50 的值是A.1 B . A 4 2 13 •已知 sin (二 COS? ■的值为)sin (214.在厶 ABC 中，tan A tan B tan C =3、. 3 , tan 2 B = ta nA ta nC 则 / B=15 •若 sin( 24 )二 cos(24 七)，则 tan( : ? ,60 ) = ______16.若sin x siny ■，则cosx cosy 的取值范围是2 .... .......... ....…… ............ .......... ... ……一三、解答题（本大题共74分，17- 21题每题12分，22题14分）―* 1：：：90 ,且 COS , COS :是方程 X 2 「2sin50x 曲 50 …=0 的两根,求 tan (7-2> )的 值.cos x ・sin y17.化简求值：sin(3x) sin( 433x) cos( 3x)・cos(- 3x).‘6'*419.求证：tan(x y) tan(x - y)sin 2x 20 •已知 a , B €( 0, n 严「 4 ,求J 的值.3 xtan— x -tan—2sin x cosx cos2x422 •已知△ ABC 的三个内角满足：A+C=2B + 二—丄乙 求cos=C 的值.cos A cosC cosB2两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、 1.C2.A3. D4. D5. B6.C7.C8. B9. B10. D11. B12 . A二、 13 . m 14 .・ 15 . —2—J3 16 .【Q 込Q〔-A r —I —丨、疚 sin50 3J(Y ,-sin50$2 —4(sin 250 丄)sin(50 ±45 )，三.17■原式二Sin(3x)cos( 3x) -sin( 4 33x) cos(3x)=—2 ・.3 44.x-i =sin 95； =cos5x 2= sin5c =cos85M ,tan( 1 -2:) =tan75>2 . 3 .19. 证:7r r=sin(x y) sin(x ・sin[(x y) (x - y)lcos(x+y) cos(x-y) cos2 x cos2 y — sirP x sin? ysin2x sin 2xcos2 x ・(cos2x - 亠sin? x)sin2y 2 >2-cos x・sin y20. 单，3 tan (2:4・3n r 「)T,3 x 3 . y21 . -7CCO __________________升hcco voin _________■ ■sin x 2si nx右.3 X 3 X acax _m<:2Yaca■ecu■ecu v ecu■ ■22. 由题设B=60°A+C=120 设一捋知A』屮C=60。

精品文档 精品文档 §4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切

一、选择题

1.cos13计算sin43cos43-sin13的值等于（ ）

A.12 B.33 C.22 D. 32 解析 原式=1sin(43-13)=sin30=2，故选A. 答案 A 2.已知锐角α满足cos 2α＝cos π4－α，则sin 2α等于( )

A.12 B．－12 C.22 D．－22 解析：由cos 2α＝cos π4－α 得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12. 答案：A 3．已知x∈－π2，0，cos x＝45，则tan 2x等于( )．

A.724 B．－724 C.247 D．－247 解析 ∵x∈－π2，0，cos x＝45.∴sin x＝－35，

∴tan x＝－34.∴tan 2x＝2tan x1－tan2x＝2×－341－－342＝－247. 精品文档 精品文档 答案 D 4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4 B.3π4 C.π4和3π4 D．－π4和－3π4 解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin2α＝255，cos β＝1－sin2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A 5．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝( )． A.33 B．－33 C.539 D．－69 解析 对于cos α＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝ cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2， 而π4＋α∈π4，3π4，π4－β2∈π4，π2， 因此sinπ4＋α＝223，sinπ4－β2＝63， 则cosα＋β2＝13×33＋223×63＝539. 答案 C 精品文档 精品文档 6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( ) A.45 B．－237 C．－247 D．－83 解析 由sin(π＋α)＝－35，得sinα＝35，又α是第二象限角，故cosα＝－

2009届高考一轮复习4.3两角和与差的正弦、余弦、正切基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2007·江西高考）若3)4tan(=α-π，则αcot 等于（ ） （A ）2- （B ）21- （C ）21 （D ）22. 已知),2(),1sin 2,1(b ),sin ,2(cos a ππ∈α-α=αα= ，若52b ·a = ，则)4tan(π+α的值为（ ）（A ）31 （B ）72 （C ）32 （D ）713. 化简=-x sin 6x cos 2（ ）（A ）)x 6cos(22+π （B ）)x 3cos(22+π（C ）)x 6cos(22-π （D ）)x 3cos(22-π4. 已知βα,都是锐角，21)cos(,21sin =β+α=α，则=βcos （ ）（A ）21（B ）23 （C ）231- （D ）213-5. 设向量)20cos ,20(sin b ),25sin ,25(cos a ︒︒=︒︒= ，若t 是实数，且b t a u +=，则|u |的最小值是（ ）（A ）2（B ）1（C ）22 （D ）21 6. 已知βα-=β-α=α,,1010)sin(,55sin 均为锐角，则β等于（ ） （A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

把答案填在题中横线上） 7. =︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ________。

8.（2007·江苏高考）若53)cos(,51)cos(=β-α=β+α，则=βαtan ·tan _______。

第三节三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝01cos αcos β＋sin αsin β．(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝02cos αcos β－sin αsin β．(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝03sin αcos β－cos αsin β．(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝04sin αcos β＋cos αsin β．(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝05tan α－tan β1＋tan αtan β．(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝06tan α＋tan β1－tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin2α＝072sin αcos α．(2)公式C 2α：cos2α＝08cos 2α－sin 2α＝092cos 2α－1＝101－2sin 2α．(3)公式T 2α：tan2α＝112tan α1－tan 2α．3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.1．两角和与差正切公式的变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.2．降幂公式：sin αcos α＝12sin2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan 2α＝1－cos2α1＋cos2α.3．升幂公式：1－cos α＝2sin 2α2，1＋cos α＝2cos 2α2，1±sin αsin α2±cos .4．其他常用变形sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．半角公式(1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()(2)当α是第一象限角时，sin α2＝1－cos α2.()(3)存在实数α，使tan2α＝2tan α.()答案(1)√(2)×(3)√2．小题热身(1)(多选)cos α－3sin α化简的结果可以是()A ．12cos B ．C ．12sin D ．答案BD解析cos α－3sin α＝α－32sin αcos π3－sin α故选BD.(2)(人教A 必修第一册习题5.5T4改编)已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2＝()A ．2－5B ．2＋5C ．5－2D ．±(5－2)答案C 解析∵sin α＝55，cos α＝255，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.故选C.(3)(人教B 必修第三册习题8－2B T3改编)已知θsin θ＝45，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案－255－55解析∵θsin θ＝45，∴cos θ＝－35，θ2∈sin θ2＝－1＋352＝－255，cos θ2＝－1－352＝－55.(4)(人教A 必修第一册复习参考题5T13改编)已知α为锐角，且(tan10°－3)sin α＝－2cos40°，则α＝________．答案80°解析因为(tan10°－3)sin α＝－2cos40°，所以sin α＝－2cos40°tan10°－3＝－2cos40°cos10°sin10°－3cos10°＝＝－2cos40°cos10°－2sin50°＝cos10°＝sin80°，又α是锐角，所以α＝80°.第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式考点探究——提素养考点一和、差、倍角公式的简单应用例1(1)(2024·海南海口模拟)若tan αtan β＝2，则cos(α－β)cos(α＋β)的值为()A ．－3B ．－13C ．13D ．3答案A解析由题意，得cos(α－β)cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝1＋21－2＝－3.故选A.(2)(2024·九省联考)已知θtan2θ＝－，则1＋sin2θ2cos 2θ＋sin2θ＝()A ．14B ．34C ．1D ．32答案A解析由θtan2θ＝－得2tan θ1－tan 2θ＝－4(tan θ＋1)1－tan θ，则－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝－12，因为θ所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－12，则1＋sin2θ2cos 2θ＋sin2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝tan 2θ＋1＋2tan θ2＋2tan θ＝14＋1－12＋(－1)＝14.故选A.【通性通法】直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略策略一记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”策略二注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用策略三注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用【巩固迁移】1．(2024·安徽亳州模拟)已知sinα＝35，α，若sin(α＋β)cosβ＝4，则tan(α＋β)＝()A．－167B．－78C．167D．23答案C解析因为sinα＝35，α所以cosα＝－1－sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，因为sin(α＋β) cosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosβ＝sinα＋cosαtanβ＝35－45tanβ＝4，所以tanβ＝－174，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－34－1741＝167.故选C.2．(2023·河北保定模拟)已知锐角θ满足2cos2θ＝1＋sin2θ，则tanθ＝()A．13B．12C．2D．3答案A解析∵2cos2θ＝1＋sin2θ，∴2(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2，即2(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2，又θ为锐角，∴sinθ＋cosθ>0，∴2(cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ，即cosθ＝3sinθ，∴tanθ＝13.故选A.考点二和、差、倍角公式的逆用与变形用例2(1)(2023·湖北武汉模拟)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝()A．12B．22C．32D．1答案B解析sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝sin(180°－71°)cos(360°－64°)＋cos71°sin64°＝sin71°cos64°＋cos71°sin64°＝sin(71°＋64°)＝sin135°＝22.故选B.(2)(2024·广西梧州模拟)1＋tan7π121－tan7π12＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3答案A解析因为1＋tan7π121－tan 7π12＝tan π4＋tan7π121－tan π4tan7π12＝tan 10π12＝tan5π6＝tan π6＝－33.故选A.【通性通法】公式逆用与变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．【巩固迁移】3．(2024·福建永安三中模拟)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为()A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案B解析由两角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12.故选B.4．(2023·江苏常州二模)已知sin α－3cos α＝1，则sin2________．答案12解析已知sin α－3cos α＝1，则α－32cos1，所以＝12，令β＝α－π3，则α＝β＋π3，即sin β＝12，所以22β2cos2β＝1－2sin 2β＝12.5．tan50°－tan20°－33tan50°tan20°＝________．答案33解析tan50°－tan20°－33tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20°＝33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33.考点三角的变换例3(1)(2024·四川绵阳模拟)已知＝23，则α()A ．－59B ．59C ．－13D ．13答案A解析απ＋2αα2＝－1－2sin－＝－59.故选A.(2)已知α，βsin(α＋β)＝－35，＝1213，则________．答案－5665解析因为α，β所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，1213，所以cos(α＋β)＝45，513，所以cos α＋βcos(α＋βsin(α＋β＝45××1213＝－5665.【通性通法】1．三角公式求值中变角的解题思路思路一当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式思路二当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2.常用的拆角、配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－．【巩固迁移】6．(2023·山东烟台模拟)已知tan(α＋β)＝12，tan(α－β)＝13，则tan(π－2α)＝()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案B解析∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1.又tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan(π－2α)＝－1.故选B.7．已知0＜x ＜π4，＝513，则cos2x________．答案2413解析cos2x ＝cos 2x －sin 2x 22(cos x －sin x )＝2(cos x ＋sin x )＝由0＜x ＜π4得0＜π4－x ＜π4，∴＝1213，所以原式＝2×1213＝2413.课时作业一、单项选择题1．sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案A解析sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝cos(70°－10°)＝cos60°＝12.故选A.2．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝－35，则cos C 的值为()A．725B．1825C．2425D．－2425答案C解析在△ABC中，由cos A＝45，得sin A＝1－cos2A＝35，由cos B＝－35，得sin B＝1－cos2B＝45，∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－45×＋35×45＝2425.故选C.3．(2023·广东茂名模拟)tan70°tan10°＋1tan70°－tan10°＝()A．－33B．33C．－3D．3答案B解析tan70°tan10°＋1tan70°－tan10°＝1tan70°－tan10°1＋tan70°tan10°＝1tan60°＝33.故选B.4．已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos2α，则sin α()A．－710B．710C．－7210D．7210答案D解析sin2α－2＝2cos2α⇒sin2α－2＝2(1－2sin2α)⇒sinα＝±255，因为α为第三象限角，所以sinα＝－255，cosα＝－1－sin 2α＝－55，所以sin2α＝2sinαcosα＝45，cos2α＝1－2sin2α＝－35，所以α＝22(sin2α－cos2α)＝7210.故选D.5．(2023·保定模拟)已知＝223，则sin2θ的值为()A．79B．－79C．29D．－29答案B解析由＝223，得sin θcos π4－cos θsin π4＝22(sin θ－cos θ)＝223，即sin θ－cos θ＝43，等式两边同时平方，得1－sin2θ＝169，所以sin2θ＝－79.6．若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，则sin2αcos β＝()A ．23B ．13C ．16D ．112答案B解析由sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，得sin2αcos β－cos2αsin β＝16①，sin2αcos β＋cos2αsin β＝12②，由①＋②，得2sin2αcos β＝23，所以sin2αcos β＝13.7．已知α，β＝45，＝513，则sin(α－β)的值为()A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365答案A解析由题意可得α＋π6∈β－5π6∈－π2，所以＝－35，＝－1213，所以sin(α－β)＝－＝－45×513＋＝1665.8．(2023·重庆南开中学质检)已知α2，则sin αcos α＋32cos2α的值为()A ．15B ．25C ．35D ．45答案D解析由α且2，得sin αcos α＋32cos2α＝12sin2α＋32cos2α＝α＝sincostan 1＝2×222＋1＝45，所以sinαcos α＋32cos2α的值为45.故选D.二、多项选择题9．(2023·云南昆明模拟)已知α，β，γsin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是()A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案AD解析由题意，知sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sinβsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝12，故A 正确，B 错误；∵α，β，γsin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3故C 错误，D正确．故选AD.10．设θ的终边在第二象限，则1－sin θcos θ2－sin θ2的值可能为()A ．1B ．－1C ．－2D ．2答案AB解析∵θ的终边在第二象限，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2k ∈Z ，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2|sin θ2－cos θ2|cos θ2－sinθ2，故当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2>0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin θ2－cos θ2cos θ2－sin θ2＝－1；当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2<0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2＝1.故选AB.11．(2023·海南海口模拟)已知α∈(π，2π)，sin α＝tan α2＝tan β2，则()A ．tan α＝3B ．cos α＝12C ．tan β＝43D ．cos β＝17答案BD解析因为sin α＝tan αcos α＝tan α2，所以cos α＝12，又α∈(π，2π)，所以sin α＝－32，tan α＝－3，故A 错误，B 正确；因为tan β2＝sin α＝－32，所以tan β＝2tanβ21－tan 2β2＝－43，cos β＝cos 2β2－sin 2β2sin 2β2＋cos 2β2＝1－tan 2β21＋tan 2β2＝17，故C 错误，D 正确．故选BD.三、填空题12．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝________．答案4解析(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.13．(2023·青岛模拟)已知tan2θ＝－22，π4<θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin＝________．答案－3＋22解析由tan2θ＝－22，即2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22.因为π4<θ<π2，所以tan θ＝2且cos θ≠0，则2cos 2θ2－sin θ－12sin＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－21＋2＝－3＋2 2.14．(2023·邢台模拟)已知α，β均为锐角，35，＝513，则sin(α＋β)＝________，cos(2α－β)＝________．答案3365204325解析因为＝－35，＝513，所以α＋π3为第二象限角，β－π3为第一象限角，所以＝45，＝1213，所以sin(α＋β)＝＝3365，cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)＝－cos2＝－cos 2sin 2＝－1213cos 2513sin 2－12132cos 1－1013sin ＝204325.15．已知αβtan α＝cos2β1－sin2β，则()A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案B解析tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2β(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝∵αβ∈α＝π4＋β，即α－β＝π4.故选B.16．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为()A ．－18B ．－8C ．8D ．18答案A解析将π＝4sin52°代入1－2cos 27°π16－π2，可得1－2cos 27°π16－π2＝－cos14°4sin52°16－16sin 252°＝－cos14°16sin52°cos52°＝－cos14°8sin104°＝－cos14°8sin(90°＋14°)＝－cos14°8cos14°＝－18.17．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则()A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．＝6＋236D ．＝23－66答案AC解析∵sin α2＝33，α∈(0，π)，∴α2∈cos α2＝1－sin 2α2＝63，∴cos α＝1－2sin 2α2＝1－＝13，故A 正确；sin α＝2sin α2cos α2＝2×33×63＝223，故B 错误；sin α2cosπ4＋cos α2sin π4＝33×22＋63×22＝6＋236，故C 正确；sin α2cos π4－cos α2sin π4＝33×22－63×22＝6－236，故D 错误．故选AC.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α、钝角β的终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解(1)由题意，知OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝12OA ·OM sin α＝55，所以sin α＝255，又α为锐角，所以cos α＝55.因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×＋255×210＝－1010.(2)因为sin α＝255，cos α＝55，sin β＝210，cos β＝－7210，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝255×－55×210＝－31010，又cos(α－β)＝－1010，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－22，因为α为锐角，sin α＝255＞22，所以α所以2α又β所以2α－β－π2，所以2α－β＝－π4.。