2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题 教师版

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题（教师版）1、（2005年）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解析：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+，设点(),P x y 是1C 上任意一点，则()()()2222211||117A P x y x x x b =-+=-+-+令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=，即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上，222127x x b ∴=-+，解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+(Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则()()()22222||n n n n nA P x x y x x x a x b =-+=-+++令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=，即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n nn n n x a x b ++=++ ，()()()112201nn n n n x x x a n ++∴-++=≥，即()()111220*n nn nn xx a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-，①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k xx a +++-+=，又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}n x 是等差数列2、（2006年）已知函数23)(x x x f +=，数列{x n ｜(x n ＞0)}的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）。

浙江省2005年高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．limn →∞2123nn++++L ＝( ) (A) 2 (B) 4 (C) 21(D)0解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C)解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x >⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C){3，4，5} (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A)10．已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|，则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )解：由|a r －t e r |≥|a r －e r |得|a r －t e r |2≥|a r －e r|2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤r r r r r r r r V 由得,得()0e a e -=r r r ,即()a a e ⊥-r r r,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

浙江高考历年真题之概率大题（教师版）1、（2005年）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值．解析：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球由122335m mpm +=，得1330p = 2、（2006年）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球。

现从甲，乙两袋中各任取2个球。

(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n. 解析：（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A 。

22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅=（Ⅱ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B 。

浙江高考历年真题之解析几何大题（教师版）1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．的最大值．解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=-，()2222224aa a c c a abc ì-=-ïïï=íï=+ïïî由题意由题意,,得 2,3,1a b c \=== ，22 1.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ)()004,,0P y y -¹设2、（2006年）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T 且椭圆的离心率e=23. (Ⅰ)求椭圆方程；求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2AT AF AF ＝ 。

解析：（Ⅰ）过（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为的直线方程为 12x y +=因为由题意得22221112x y a b y x ì+=ïï+íï=-+ïî有惟一解．即2222221()04b a x a x a b +-+=有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab D =+-=¹， 故22(44)0a b +-=又因为又因为 32c =,即22234a b a -= ， 所以224a b = ，从而得2212,,2a b == 故所求的椭圆方程为22212x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得62c =,所以所以 1266(,0),(,0)22F F - 由 22221112x y a b y x ì+=ïï+íï=-+ïî解得解得 121,x x ==, 因此1(1,)2T =.从而从而 254AT =, 因为1252AF AF ×=, 所以21212AT AF AF =× 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程．解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．由2214x y +=，解得21,221x b =±-所以222121||21112S b x x b b b b =-=-£+-=，当且仅当22b =时，．S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b D =-+ ①｜AB ｜＝222212216(41)1||1241k b k x x kk -++-=+=+ ②又因为O 到AB 的距离2||21||1b Sd AB k===+ 所以221b k =+ ③③代入②并整理，得424410k k -+=，解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是的方程是2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+或2622y x =--．4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹。

2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题（教师版）1、（2013年）如图，点(0,1)P -是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径，12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交2C 于,A B 两点，2l 交1C 于另一点D .(Ⅰ)求椭圆1C 的方程；ⅠⅠ()求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程. (Ⅰ)解：依题意得21a b =⎧⎨=⎩ ，所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += ⅠⅠ()设112200(,),(,),(,),A x y B x y D x y 由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ，则1l 的方程为1y kx =-.又圆222:4C x y +=，故点O 到直线1l的距离d =所以||AB ==又12l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=故028.4kx k =-+所以2||4PD k=+ 设ABD ∆的面积为S，则21||||24S AB PD k=⋅=+所以321313S =≤=当且仅当k =. 所求直线1l的方程为1y x =-.(第21题图)2、（2014年）如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.(Ⅰ)已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；ⅠⅠ()若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.解析：（I ）设直线l 的方程为()0y kx m k =+<，由22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()22222222220b a k x a kmx a m a b +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为22222222,a km b m b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由点P 在第一象限，故点P的坐标为22⎛⎫⎝； （II ）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l的距离d =，整理得22d =，因为22222b a k ab k+≥2222a b ≤=-，当且仅当2bk a=时等号成立， 所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.3、（2015年）已知椭圆222y x +=1上两个不同的点A , B 关于直线y =mx +21对称． (I)求实数m 的取值范围；(II)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)解: (I)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 的中点M (x 0, y 0), 则2x 0=x 1+x 2, 2y 0=y 1+y 2显然m ≠0, 故可设直线AB 的斜率k =2121x x y y --=m1-由222121=+y x ,222222=+y x , 相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0 即x 0m2-y 0=0 又点M (x 0, y 0)在直线y =mx +21上, ∴y 0=mx 0+21, 故得x 0=m 1-, y 0=21- 又点M 在椭圆1222=+y x 的内部, 故得41212+m <1, 解得m 2>32 因此, m >36或m <36- (此题用点差法最佳, 简明使得出错的几率小)法二: 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 的中点M (x 0, y 0), 则2x 0=x 1+x 2 显然m ≠0, 故可设直线AB 的方程为y =m1-x +b 由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=22122y x bx m y 得(1+22m )x 2x m b 4-+2(b 2-1)=0有两个不等实根x 1, x 2,∴△=)1)(21(81622-+-b mm b >0 整理得m 2+2-m 2b 2>0 (*)且x 0=21(x 1+x 2)=222+m bm, y 0=m 1-x 0+b =222+m bm又∵点M (x 0, y 0)在直线y =mx +21上, ∴y 0=mx 0+21, 整理得bm =m m 222+-代入(*)式得m 2+22224)2(m m +->0 即4m 2-(m 2+2)>0, 解得m 2>32 因此, m >36或m <36- (其中也可得x 0=m 1-, y 0=21-)(II)由k =m 1-, 则0<k 2<23. 由(I)可得直线AB : y +21=k (x -k ) 即kx -y -k 221-=0∴原点O 到直线AB 的距离d =22121k k ++由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=2221222y x k kx y 得x 2-2kx +21(2k 2+1)1222+-k =0 (利用|x 1-x 2|=∆)∴|AB |=21k +|x 1-x 2|=222222246121128)12(241k k k k k k k-++=+++-+故S △AOB =21|AB |d =8)21(841)46)(12(412222+--=-+k k k ≤22, 且0<k 2<23因此, 当k 2=21即m =2±时, △AOB 的面积S △AOB 有最大值224、（2016年）如图，设椭圆2221x y a+=()1a >.（1）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（2）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 解析：5、 (2017年)如图，已知抛物线x 2=y ，点A （-12，14），B （32，94），抛物线上的点p(x,y)(-12＜x ＜32)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求|PA|·|PQ|的最大值． 解析：。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）1.解析 PQ 取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ．2.解析 由椭圆方程可得：229,4a b ==，所以2225c a b =-=，所以3a =，5c =，53c e a ==.故选B ． 3.解析 有三视图可知，直观图是有半个圆锥与一个三棱锥构成， 半圆锥体积()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，棱锥体积211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+． 故选A ．4.解析 由图可知，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值， 故[)4,z ∈+∞．故选D ．5. 解析 取0,0a b ==；得1M m -=；取0,1a b ==得1M m -=； 取1,0a b ==；得2M m -=； 故与a 有关；与b 无关.故选B ．6.解析 46111466151021S S a d a d a d +=+++=+，5121020S a d =+； 当0d >时，4652S S S +>，当4652S S S +>，有0d >．故选C ．7.解析 导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 8. 解析 依题列分布列1ξ1 0p1p 11p -所以11E p ξ=，()1111D p p ξ=-；22E p ξ=，()2221D p p ξ=-．2ξ1 0p2p 21p -33x-2y=0x+2y=0x+y-3=0y x O因为12102p p <<<，()()21211210D D p p p p ξξ-=--+>⎡⎤⎣⎦.故选A ． 9.解析 设D 在底面ABC 内射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离， 显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边距离相等．动态研究问题．1P P ，所以O 到QR 距离不变，O 到PQ 距离减少，O 到PR 距离变大．所以αγβ． 10.解析 动态研究问题:D D ，OO ．此时有90AOB ，90BOC，90COD，且COAO ，DOBO ．故OB OC OA OBOC OD11.解析 6133=611sin 602S . 12.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+及已知，所以223,2a b ab -==， 解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =． 13.解析 32322(1)(2)(331)(44)xx x x x x x，所以412416a ，54a ．14.解析 取BC 中点为O ，由题知15AO，15sin sin 4CBDOBA， 所以BDC △的面积为115sin 2BC BD OBA ．又2πCBD BDC ，21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC，解得10cos BDC ．ODC BA1AA15.解析 如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上一动点，构造2个全等的平行四边形．所以AB BC +-=+a +b a b ．易知当A ，B ，C 三点共线时，AB BC +最小，此时4AB BC BC +==； 当AO BC ⊥时，AB BC +最大，此时2AB BC AB +==16.解析 解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生）即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有4486C C -种选法；第二步分配职务：4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()442864C C A 701512660-⋅=-⨯=种选法．解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326C C 种选法和2女2男有2226C C 种选法；第二步分配职务：4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有 ()()1322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法．17.解析 因为()f t t a a =-+，[]4,5t ∈最大值为{}max (4),(5)f f ， 即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩解得 4.55a a =⎧⎨⎩或4.55a a ⎧⎨⎩，所以 4.5a ． 18.解析 （1）由2sin3π21cos 32π=-，22211322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z ，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.19.解析 （1）如图所示，设PA 中点为F ，联结EF ，FB .因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以//EF AD 且1=2EF AD ， 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC 且=EF BC ， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ， 因此//CE 平面PAB .（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N .联结PN 交EF 于点Q ，联结MQ . 因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，//MQ CE . 由PAD △为等腰直角三角形得PN AD ⊥.由DC AD ⊥，N 是AD 的中点得BN AD ⊥.所以AD ⊥平面PBN ， 由//BC AD 得BC ⊥平面PBN ，那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，联结MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC所成的角.设1CD =.在PCD△中，由2PC =，1CD =，PD =CE =，在PBN △中，由1PN BN ==，PB =14QH =，在Rt MQH △中，14QH =，MQ =，所以sin 8QMH ∠=，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8. H QPN F D BCEA20.解析 （1）因为(1x '-=，()e e x x--'=-， 所以()(()12e 11e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=->⎪ ⎭⎝=.（2）由()()12e 0x x f x --'==，解得1x =或52x =. 因为又())21e 02x f x -=，所以()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解析 （1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+. 因为)112PA x k ⎫=+=+⎪⎭，)2(1)1Q k k PQ x x -+=-=所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<， 令()()()311,11f k k k k =--+-<<，因为()()()2421f k k k '=--+，所以()f k 在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 因此当12k =时，PA PQ ⋅取得最大值2716. 22. 解析 （1）用数学归纳法证明：0n x >. 当1n =时，110x =>，假设n k =时，k 0x >，那么1n k =+时，若10k x +，则()110ln 10k k k x x x ++<=++，矛盾，故10k x +>. 因此()*0n x n >∈N ，所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>. 因此()*10n n x x n +<<∈N.（2）由()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++. 记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++.()()()()()222122222ln 1ln 1ln 10111x x x x xf x x x x x x x x -++++'=-+++=++=+++++，知函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f =， 因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=，()*1122n n n nx x x x n ++-∈N . （3）因为()11111ln 12n n n n n n x x x x x x +++++=+++=，得112n nx x +，以此类推，21111,,22nn x x x x -， 所以112112112n n n n n n x x x x x x x x ----⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，得112n n x -，1122n n n n x x x x ++-， 111112022n n x x +⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故212n n x -.综上，()*121122n n n x n --∈N .。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++++∞→2321lim nnn （ ）A ．2B ．1C ．21D ．0 2．点（1，－1）到直线01=+-y x 的距离是（ ）A ．21B ．23 C ．22 D ．223 3．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则（ ）A ．21B ．134 C ．59-D ．4125 4．在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A ．74B ．121C ．－74D ．－1216．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,. 有如下两个命 题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题7．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知4-<k ，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ）A ．1B ．－1C ．12+kD ．12+-k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(P n f N n P Q P N n n n f ∈∈===∈+=记， P Q n f N n Q (},)(|{则∈∈= )Q Q ( =)P（ ）A ．{0，3}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则 （ ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e ）C ．e ⊥（a －e ）D ．（a +e ）⊥（a －e ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 11．函数∈+=x x xy (2R ，且)2-≠x 的反函数是 . 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图).现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ， 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于 .13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种 数是 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cos sin sin 3)(2x x x x f +-= （Ⅰ）求)625(πf 的值； NDABC（Ⅱ）设ααπαsin ,2341)2(),,0(求-=∈f 的值.16．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式； （Ⅱ）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线x l 与轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q的坐标（用m 表示）.18．如图,在三棱锥P —ABC 中,,,kPA BC AB BC AB ==⊥点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB ； （Ⅱ）当21=k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小; （Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?P19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p .（Ⅰ）从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸5次停止的概率; ( ii ) 记5次之内 (含5次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（Ⅱ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是52, 求p 的值.20．设点)2.(),0,(1-n n n n n x P x A 和抛物线),(:2*∈++=N n b x a x y C n n n 其中n n n x n a ,21421----=由以下方法得到：)2,(,1221x P x 点=在抛物线1121:b x a x y C ++=上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上的最短距离，……，点)2,(11n n n x P ++在抛物线上n n n b x a x y C ++=2:上，点1)0,(+n n n P x A 到的距离是A n到C n 上点的最短距离. （Ⅰ）求12C x 及的方程；（Ⅱ）证明}{n x 是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。

糖果工作室 原创 欢迎下载！第 1 页 共 11 页绝密★考试结束前2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)23．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩NQ ∧)∪(Q ∧∩NP ∧)＝( )(A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7} 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则(A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之函数与导数大题（教师版）1、（2005年）已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＝2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．解析：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即，∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故(Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2、（2006年）设0)1(,0)0(,0.23)(2>>=++++=f f c b a c bx ax x f 若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a ＞0且-2＜ab＜-1；(Ⅱ)方程0)(=x f 在（0，1）内有两个实根.解析：（I ）证明：因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0，3a +2b +c >0由条件a +b +c =0，消去b ，得a >c >0由条件a +b +c =0，消去c ，得a +b <0，2a +b >0，故12-<<-ab（II ）抛物线c bx ax x f ++=23)(2的顶点坐标为)33,3(2ab ac a b --在12-<<-a b 的两端乖以31-，得32331<-<a b又因为f (0)>0，f (1)>0，而03)3(22<-+-=-aacc a a b f ，所以方程0)(=x f 在区间)1,3(3,0(aba b --与内分别有一实根。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++++∞→2321lim nnn （ ）A ．2B ．1C ．21D ．0 2．点（1，－1）到直线01=+-y x 的距离是（ ）A ．21B ．23 C ．22 D ．223 3．设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=)]21([,1||,11,1||,2|1|)(2f f x x x x x f 则（ ）A ．21 B ．134 C ．59-D ．4125 4．在复平面内，复数2)31(1i ii+++对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是 （ ）A ．74B ．121C ．－74D ．－1216．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα⊂⊂m l ,. 有如下两个命 题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题7．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边 界的阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知4-<k ，则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ） A ．1 B ．－1C ．12+kD ．12+-k9．设})(|{}.7,6,5,4,3{},5,4,3,2,1{),(12)(P n f N n P Q P N n n n f ∈∈===∈+=记， P Q n f N n Q (},)(|{则∈∈= )Q Q ( =)P （ ）A ．{0，3}B ．{1，2}C ．{3，4，5}D ．{1，2，6，7}10．已知向量a ≠e ，|e |=1满足：对任意∈t R ，恒有|a －t e |≥|a －e |. 则 （ ）A ．a ⊥eB ．a ⊥（a －e ）C ．e ⊥（a －e ）D ．（a +e ）⊥（a －e ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. 11．函数∈+=x x xy (2R ，且)2-≠x 的反函数是 .12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E(如图).现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ， 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于 .13．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种N DABC数是 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数.cos sin sin 3)(2x x x x f +-= （Ⅰ）求)625(πf 的值； （Ⅱ）设ααπαsin ,2341)2(),,0(求-=∈f 的值.16．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式； （Ⅱ）解不等式.|1|)()(--≥x x f x g17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线x l 与轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线11),1|(|:l P x m x l 为>=上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q的坐标（用m 表示）.18．如图,在三棱锥P —ABC 中,,,kPA BC AB BC AB ==⊥点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC.（Ⅰ）求证OD//平面PAB ； （Ⅱ）当21=k 时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小; （Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?BCPDAo19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p .（Ⅰ）从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸5次停止的概率; ( ii ) 记5次之内 (含5次) 摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（Ⅱ）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是52, 求p 的值.20．设点)2.(),0,(1-n n n n n x P x A 和抛物线),(:2*∈++=N n b x a x y C n n n 其中n n n x n a ,21421----=由以下方法得到：)2,(,1221x P x 点=在抛物线1121:b x a x y C ++=上，点A 1（x 1，0）到P 2的距离是A 1到C 1上的最短距离，……，点)2,(11n n n x P ++在抛物线上n n n b x a x y C ++=2:上，点1)0,(+n n n P x A 到的距离是A n到C n 上点的最短距离. （Ⅰ）求12C x 及的方程； （Ⅱ）证明}{n x 是等差数列.数学试题（理科）参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。

浙江高考历年真题之解析几何大题（教师版）1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== ，221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021y k m =-，021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时，12F PF ∠最大，(,,||1Q m m ∴>2、（2006年）如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率e=23。

(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为12xy += 因为由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+12112222x y b y a x 有惟一解，即0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b 有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠故4422-+b a =0又因为e 2c =即22234a b a -= ， 所以224a b = 从而得2212,,2a b == 故所求的椭圆方程为22212x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）得2c =, 所以12(,0),(22F F -，从而M （1+46，0） 由 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+12112222x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T =因为126tan 1-=∠T AF ，又21tan =∠TAM ，62tan =∠2TMF ，得 1266112162tan -=+-=∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=，当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ②又因为O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+=，解得，2213,22k b ==， 代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =-+或22y x =--． 4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹。

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之三角函数大题（教师版）1、（2005年）已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．(Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41sin α的值．解：(Ⅰ) 25125sin,cos 626ππ==225252525sin cos 6666f ππππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭(Ⅱ) ()1cos 2sin 2222f x x x =-+，11sin 224f ααα⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭216sin 4sin 110αα--=，解得sin α=()0,,sin 0απα∈∴> ，故sin α=2、（2006年）如图，函数R x x y ∈+=),sin(2ϕπ,(其中0≤ϕ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）。

(Ⅰ)求ϕ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求的夹角与PN PM 。

解：（I ）因为函数图像过点（0，1），所以1sin 2=ϕ，即21sin =ϕ因为20πϕ≤≤，所以6πϕ=。

（II ）由函数)6π+π=x 2sin(y及其图象，得)0,61(-M ，)2,31(P ，)0,65(N所以)2,21(--=，)2,21(-=，从而>=<,cos =1715，故1715arccos ,>=<。

3、（2007年）已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C = ． 4、（2009年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 解：（Ⅰ）因为cos22A =，所以23cos 2cos 125A A =-=，4sin 5A =． 又由3AB AC =·，得cos 3bc A =，所以5bc =．因此1sin 22ABC S bc A ==△． （Ⅱ）由（Ⅰ）知5bc =．又6b c +=， 所以51b c ==，或15b c ==，．由余弦定理，得2222cos 20a b c bc A =+-=，所以a =．5、（2010年）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.412cos -=C （I ）求C sin 的值； （II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长. 解：（Ⅰ）因为21cos 212sin 4C C =-=-，及0C π<<，所以sin C =（Ⅱ）当2,2sin sin a A C ==时，由正弦定理sin sin a cA C=，得 4.c =由21cos 22cos 1,4C C =-=-及0C π<<得cos C =由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2120b ±-=解得b =4 4.b bc c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或6、（2011年）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈ 且214ac b =. （Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值； (Ⅱ) 若角B 为锐角，求p 的取值范围。

2005年高考理科数学浙江卷试题及答案第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分中，只有一项是符合题目要求的1．limn →∞2123nn ++++L ＝( )(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)02．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A) 21 (B) 32(C)2(D)23．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A) 21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C) (3，4，5} (D){1，2，6，7}10．已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|，则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡的相应位置?11．函数y ＝2xx +(x ∈R ，且x ≠－2)的反函数是_________． 12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．13．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．14．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分明过程或演算步骤15．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41sin α的值．N16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＝2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．成角的(Ⅰ)当k ＝21时，求直线PA 与平面PBC 所大小；(Ⅱ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值．20．设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．2005浙江卷试题及答案参考答案每小题5分，满分50分（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 每小题4分，满分16分（11）()2,11xy x R x x=∈≠-且；（12）90︒；（13）2；（14）8424 三、解答题：（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14分解：（1）25125sin ,cos 6262ππ==Q ，（2）()12sin 22f x x x =+ 216sin 4sin 110αα--=，解得sin α=故sin α=（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及满分14分解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上 ∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故(Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2210x x -+≤当1x <时，2210x x +-≤，解得12x -≤≤ 因此，原不等式的解集为11,2⎡-⎢⎣（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102F PF PF M π<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠设直线1PF 的斜率011y k m =+，直线2PF 的斜率021ykm =-， 0||y =时，12F PF ∠最大，（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面， OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥=Q ，，OP ABC ⊥Q 又 平面，.PA PB PC ∴==又OD PA ∥，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影∵D 是PC 的中点，A若点F 是PBC ∆的重心，则B ，F ，D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=Q ，即k =反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心方法二：OP ABC ⊥Q 平面，,OA OC AB BC ==，以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a=则,0,0,0,,222A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设OP h =，则()0,0,P h (Ⅰ)Q D 为PC的中点，1,0,42OD a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，又1,0,,,//22PA a h OD PA OD PA ⎛⎫=-∴=-∴ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，(Ⅱ)12k =Q，即2,,,0,PA a h PA ⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭u u u r ， 可求得平面PBC的法向量1,1,n ⎛=- ⎝r ，cos ,30||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅u u u r ru u u r r u uu r r ， 设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则sin |cos ,|30PA n θ=〈〉=u u u r r， （Ⅲ）PBC∆的重心1,,663G a h ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，1,,663OG a a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,OG PBC OG PB ⊥∴⊥u u u r u u u rQ 平面，又2211,,0,63PB h OG PB a h h ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，PA a ∴==，即1k =，反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力满分14分解：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，； 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk k n n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球由122335m mpm +=，得1330p = （20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础满分14分解：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+， 设点(),P x y 是1C 上任意一点，则1||A P ==令()()()222117f x x x x b =-+-+ 则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+- 由题意得()20f x '=，即()()()222122127270x x x b x -+-+-= 又()22,2P x 在1C 上，222127x x b ∴=-+ 解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则||n A P ==令()()()222n n n g x x x x a x b =-+++ 则()()()()2222n n n n g x x x x a x b x a '=-++++ 由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n n n n x x x a x b x a +++-++++= 又1212n n n n n x a x b ++=++Q ，()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥，即()()111220*n n n n n x x a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-， ①当1n =时，11x =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-， 则当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=，又11242k k a k -=---，1122112k k k k k x a x k ++-∴==++， 即1n k =+由①②知，等式对*n N ∈成立，故{}x是等差数列n。