初三数学讲义

初三数学讲义第一讲将军饮马之线段和最小值问题领跑一线考点定位知识点一轴对称性质成轴对称的两个图形全等，其对应边相等，对应角相等.知识点二“将军饮马”解决线段最值问题的实质是利用轴对称性质“化折为直”，转化为两点之间线段最短或者点到直线垂线段最短.将军饮马基础模型如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上求一点P ，使得PA+PB 最短.做法：1.找出定点和动点2.找河（即动点出现两次点所在直线或线段）3.做对称（做定点的对称点）4.连线计算典例分析例1（2016 某一中滨河分校模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC思路点拨：因为AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”，AD为底边中线，也为BC边上的高线，易得点B、点C关于AD对称.若求BP+EP最小，即求PE+PC最小值，再根据三角形三边关系得PE+PC最小值，即求线段CE的长度.解析：如图，连接PC，△AB＝AC，AD为中线，△点B、点C关于AD对称△PB＝PC，△PB+PE＝PC+PE，在△CPE中，PC+PE≥CE△PE+PC最小值为CE长度，△PB+PE最小值为CE长度，故选B.例2（2015陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD△BC，CD△BC，△ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值.思路点拨：作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC＝BN+NC′，BC′＝BN′+C′N′，△BN+NC′≥BC′，则可得到△BNC周长的最小值，即BN+NC′+BC＝BC′+BC.解析：过点A作AE△BC于E，如图所示：△AD△BC，AE△BC，△ABC＝60°，△CE＝AD＝8，△BE＝4，AE＝BE•3＝43△CC′＝2CD＝2AE＝83△BC＝12，△BC22421′BC CC+=△△BNC周长的最小值为421+12.实战演练1.如图，菱形ABCD中，AB＝2，△BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．2.如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．3.如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD上的点，且MC=2MB，ND=2NC，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是________．4.如图，正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD + PE的最小值.5.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是△BAC的角平分线，E是AD上的动点，F 是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为．6.如图，正方形ABCD的边长是2，△DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．7.如图，在锐角△ABC中，AB＝√2，△BAC＝45°，△BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．8.如图，直线l外有一点D，D到l的距离为3，让腰长为2的等腰直角三角板ABC的腰AB 在直线l上滑动，则AD+DC的最小值为.9.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,E为BC上一动点, P为BD上一动点,则PE+PC最小值为_______.10.如图，矩形ABCD中，AD＝3，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD 上的动点，则AQ+QP的最小值是_______.第二讲 折叠求长度问题知识点一折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 解题步骤知识点二1. 找对应边、对应角2. 设未知数（一般设所求边或其对应相等边）3. 利用勾股定理列方程4. 计算典例分析例1.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在BC 边上，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 恰好落在对角线BD 上的点F 处，求DE 的长．解：△四边形ABCD 为矩形，△AB ＝CD ，AD ＝BC ，△DCB ＝90°，△AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，在Rt△BCD 中，BD ＝222286AC AB +=+＝10，由于折叠△DFE ＝△DCB ＝90°，DF ＝DC ＝6，EF ＝EC ，△△BFE ＝180°−△DFE ＝90°，设EC ＝x ，则BE ＝8−x ，在Rt△BEF 中，由勾股定理得：BE2＝EF 2＋BF 2，△（8−x ）2＝x 2＋42，解得：x ＝3，即：EC ＝3，在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE 2＝CE 2＋DC 2，△DE ＝5363DC CE 2222=+=+例2.如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB ＝6，BC ＝9，求BF 的长．解：△将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上△BC'＝21AB ＝3，CF ＝C'F 在Rt△BC'F 中，C'F 2＝BF 2＋C'B 2，△CF 2＝（9−CF ）2＋9△CF ＝5△BF ＝41.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF △AC 于点F ，连接EC ，AF ＝3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为（ ）A ．B ．3C ．5D ．62.（2017秋•长岭县月考）如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，AE 平分△BAC ，EF △AC 于点F ，求证：BE ＝CF ．3.（2016春•潮南区期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）5.如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若△A＝60°，AD＝6，AB＝12，则AE的长为．6.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，且AC＝8，BC＝6．点P是边AC上一动点，以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP 的长是．7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD．（1）求证：AP＝DG；（2）求AP的长度．8.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．（1）证明：AE＝CF；（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．10．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△AFE△△CFD；（2）若AB＝3，BC＝6，求图中阴影部分的面积．第三讲菱形知识点：菱形定义：有一组临边相等的平行四边形叫做菱形。

目录入门检测:1.一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ．<2分钟>【答案】(1,02)，(0,1-)2. 已知一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小，且kb ＞0，则这个函数的大致图象是( )<2分钟>A ．B ．C ．D ．【答案】B3. 将正比例函数y=3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（ ）． <2分钟>A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =-【答案】B4. 如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点C 是第一象限内的直线上的一个点，且△BOC 的面积为2，求点C 的坐标. <5分钟>【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y , ∵直线AB 经过点A （1，0），点B （0，－2），∴0,2,k b b +=⎧⎨=-⎩解得2,2.k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为22-=x y .(2) ∵△BOC 的面积为2，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∴CD=2.又∵点C 在第一象限内，∴点C 的横坐标是2. 代入22-=x y ，得到点C 的纵坐标是2. ∴点C 的坐标是（2，2）.5. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x. （1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象. <5分钟>【答案】解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+.x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<.(2)-2 -1 -7-6 -5-4-3 -3 -4 -5 -6 -7 12 3 4 5 6 7-1 -2 76 5 4 3 2 1 o yx-2-1-7-6-5-4-3-3-4-5-6-71234567-1-27654321oyx第一讲 二次函数的概念与解析式1.1二次函数的定义及图像 二次函数的定义一般地，形如2(,,0)y axbx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数，其中，x 是自变量，,,a b c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【例1】已知函数y=（m+2）x 2m m+是关于x 的二次函数，则满足条件的m 值为______．【答案】m=1【练习1.1】若y=（m －3）232m m x -+是二次函数，求m 的值．【答案】m=0【例2】若y=（k －3）22k x -+x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】分情况讨论：当k －3=0，即k=3时，y=x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=2且k －3+1≠0，即k=－2时，y=－4x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=1时，即k=±3时，y=x 2+（3－4）x+1，或y=x 2－（3+4）x+1均是二次函数，还有k 2－2=0时综合上知k=3或－2或±3或±2【练习2.1】若y=（k －2）22k x -+4x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】21.2 二次函数的性质 与a 有关的性质一函数形式：2(0)y ax a =≠开口：0a >，开口向上；0a <,开口向下.a 相同⇔抛物线的形状大小相同.a越大开口越小，a越小开口越大.对称轴：y 轴（0x =）顶点：原点（0,0）【例3】二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( ) ； (2)221x y =如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．【答案】(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．【练习3.1】若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3【答案】B⏹ 与a 有关的性质二【例4】已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3【答案】C【练习4.1】若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m ___n （填“<”或“=”或“>”）【答案】>⏹ 与a 、b 有关的性质对称轴在y 轴左侧，,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，,a b 异号.（左同右异） 对称轴在y 轴上，b=0.【例5】判断下列二次函数的对称轴的位置 (1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝3x 2－2x (3)y ＝100－5x 2 (4)y ＝(x －2)(2x ＋1)(5)y ＝ax 2－6bx ＋10（a<0,b<0）【答案】左，右，0，右，右【练习5.1】已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x =1和x =3时，函数值相等；③4a +b =0；④当y =－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B与c 有关的性质抛物线与y 轴正半轴相交，0c >；负半轴相交，0c <.抛物线经过原点，c=0【例6】判断下列二次函数与y 轴的交点的位置 (1)y ＝2x 2＋3x ＋10 (2)y ＝－3x 2－2x －3 (3)y ＝100x －5x 2(4)y ＝(x －3)(2x ＋1) (5)y ＝x 2－6x ＋a 2+2a+3【答案】正，负，原点，负，正.【练习6.2】已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a-b+c<0；其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C1.3二次函数的解析式的求法一般式【例7】已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式.【答案】解：设抛物线解析式为：由题意知：⎩⎨⎧=--=+15b c b c解得：⎩⎨⎧-=-=32b c∴抛物线解析式为232--=x x y【练习7.1】已知：如图，二次函数22y axbx =+-的图象经过A 、B 两点，求出这个二次函数解析式.【答案】解：（1）由图可知A （－1，－1），B （1，1） 依题意，得21,21a b a b --=-⎧⎨+-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴ y ＝2x 2＋x －2．顶点式【例8】以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式.【答案】解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， 抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++.【练习8.1】已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．【答案】解：设这个二次函数的关系式为2)1(2--=x ay得：2)10(02--=a 解得：2=a∴这个二次函数的关系式是2)1(22--=x y ， 即224.y x x =-双根式【例9】已知抛物线与x 轴相交于两点A(1，0)，B(-3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点3,2D m ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．【答案】解：(1) ∵抛物线与y 轴相交于点C(0，3),∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++. ∵抛物线与x 轴相交于两点(1,0),(3,0)A B -， ∴30,9330.a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：232y x x =-+-. （2）∵点3(,)2D m 是抛物线上一点，∴2(23339)224m =-⨯+=--. ∴119942242ABD D S AB y ∆==⨯⨯=.【练习9.1】已知抛物线过点A (2,0),B (－1,0),与y 轴交于点C ,且OC ＝2.则这条抛物线的解析式是（ ）A.22y x x =--B.22y x x =-++C.22y x x =--或22y x x =-++D.22y x x =---或22y x x =++【答案】C1.4二次函数与图形变换 ⏹ 平移【例10】将函数234y x x =+-向左平移3个单位，向下平移2个单位后的解析式为．【答案】276y x x =++【练习10.1】将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-【答案】A【练习10.2】把抛物线y ＝－x 2＋4x －3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是( ) A ．y ＝－(x ＋3)2－2 B ．y ＝－(x ＋1)2－1 C ．y ＝－x 2＋x －5D ．前三个答案都不正确【答案】B⏹ 对称【例11】抛物线234y x x =+-关于x 轴对称的图像解析式为，关于y 轴对称的图像解析式为，关于原点对称的图像解析式为.【答案】234y x x =--+；234y x x =--；234y x x =-++【练习11.1】某抛物线先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折得到新的解析式为223y x x =+，则原抛物线解析式为.【答案】223y x x =-+ 旋转【例12】填空(1)将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为. (2)将抛物线223y x x =++绕点（1,1）旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为.【答案】（1）21y x =--（2）269y x x =-+-【练习12.1】将抛物线 224=+y x 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）A ． 22=-y xB ． 224=-+y xC ． 224=--y xD ． 224=-y x【答案】C课后作业:1. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+【答案】C2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．函数有最小值 B ．当－1 <x < 2时，0y > C ．0a b c ++< D ．当12x <，y 随x 的增大而减小【答案】B3.已知抛物线y =x 2－4x +5，求出它的对称轴和顶点坐标.【答案】解：y =x 2－4x +5 = x 2－4x +4+1 =(x －2)2+1.∴抛物线的对称轴为x =2.顶点坐标为（2，1）.4. 抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【答案】解：设平移后抛物线的表达式为22y x bx c =++．∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴3,382.c b c =⎧⎨=++⎩解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩所以平移后抛物线的表达式为2243y x x =-+．解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. ∴设平移后抛物线的表达式为()221y x k=-+．∴()23221k=⨯-+．∴1k =．所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+．5.已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）的值为 ； （2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y的大小.【答案】解：（1）m = 0 . （2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >.6.已知直线y=mx+n 经过抛物线y=ax2+bx+c 的顶点P(1，7)，与抛物线的另一个交点为M （0，6），求直线和抛物线的解析式【答案】解：（1）∵ 直线y mx n =+经过点P （1，7）、M （0，6），∴7,6.m n n +=⎧⎨=⎩解得 1,6.m n =⎧⎨=⎩∴ 直线的解析式为6y x =+． ∵ 抛物线2y ax bx c=++的顶点为P （1，7），∴ 2(1)7y a x =-+．∵ 抛物线经过点M （0，6）， ∴2(01)76a -+=．解得1a =-．∴ 抛物线的解析式为226y x x =-++．7.抛物线2y x bx c =++（b ，c 均为常数）与x 轴交于(1,0),A B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ．．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】解:(1) ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,3)C , ∴c=3 .∴23y x bx =++.又∵抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A , ∴b=-4 .∴243y x x =-+. （2）点P 的坐标为(5,8)或(1,8)-．入门检测:1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．<1分钟>A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A2. 已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（）<2分钟> A ．042>-ac b B ．042=-ac b C ．042<-ac b D ．042≤-ac b【答案】A3．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象为( ) <2分钟>【答案】B4. 抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（）<2分钟> A .b ＝2，c ＝2 B.b ＝2，c ＝0 C .b ＝－2，c ＝－1 D.b ＝－3，c ＝2 【答案】B5．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．<2分钟> A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【答案】D6．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x… 2-1-0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）<4分钟>①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x = ④在对称轴左侧y 随x 增大而增大 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C7．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）<1分钟> A ．0，5 B ．0，1 C ．—4，5 D ．—4，1 【答案】D8．由二次函数y ＝－x 2＋2x 可知（）<2分钟>A ．其图象的开口向上B ．其图象的对称轴为x ＝1C ．其最大值为－1D ．其图象的顶点坐标为（－1，1） 【答案】B。

初三上数学辅导讲义(一) 一元二次方程的解法一、用配方法解方程1．(1)x 2－2x －12＝0 (2)2x 2－4x －1＝0二、用公式法解方程2．(1)5x 2＋2x －1＝0 (2)6x 2＋13x ＋6＝0三、用因式分解法解方程3．(1)x 2－6x ＋9＝4 (2)9(x －2)2＝4(x ＋1)2四、选择适当的方法解方程4．(1)x 2－4x ＋1＝0 (2)3x (x －1)＝2x －2五、利用一元二次方程根的定义解方程5．(2014·济宁)若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两根是m ＋1，2m －4，则ba＝___．6．(2014·内江)关于x 的方程m(x ＋h)2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是：x 1＝－3，x 2＝2，则方程m(x ＋h －3)2＋k ＝0的解是( )A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝2 六、利用一元二次方程根的判别式解方程7．关于x 的一元二次方程mx 2－(3m －1)x ＋2m －1＝0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的解．一元二次方程的根与系数的关系知识点：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝____，x 1x 2＝____． 一、直接求两根之和与两根之积1．一元二次方程x 2＋3x ＝1的两根之和与两根之积分别是( ) A ．3，1 B ．－3，－1 C ．3，－1 D ．－3，1 二、求相关对称式的值2．设x 1x 2是一元二次方程2x 2－x －3＝0的两根，求下列代数式的值． (1)x 12＋x 22 (2)x 2x 1＋x 1x 2 (3)x 12＋x 22－3x 1x 2三、已知方程的一根求另一根与待定系数3．已知x ＝3是关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0的一根，则另一根是__ __，m ＝__ __． 4．已知2＋3是关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0的一个根，求方程的另一个根，及m 的值．四、与判别式结合求待定系数的值5．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．6．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．练习1．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：(1)4x2＋1＝7x，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；(2)3x2－1＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；(3)x2－6x＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____；(4)2x2－(m＋1)x－m＝0，x1＋x2＝____，x1·x2＝____．2．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2－1＝____．3．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程．4．(2014·常州)已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则m＝___，另一个根为____．5．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．6．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．7．对于任意的非零实数m，关于x的方程x2－4x－m2＝0的根的情况是(C)A．有两个正实数根B．有两个负实数根C．有一个正实数根，一个负实数根D．没有实数根8．(2014·烟台)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(D)A．－1或5 B．1 C．5 D．－19．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝__－1__．10．(2014·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为__23__．11．关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.(1)a为何值时，方程的一根为0?(2)a为何值时，两根互为相反数？12．(教材变形题)学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出1x1＋1x2，x12＋x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，得1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝23.”(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．13．(2014·鄂州)已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．初三上数学辅导讲义(二)应用一元二次方程一、利用一元二次方程解决几何问题列一元二次方程解应用题的步骤可归结为__审__、__设__、__列__、__解__、__验__、__答__．1．从一块正方形的木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是()A．8 cm2B．8 cm2或64 cm2C．64 cm2D．36 cm22．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程() A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48,第2题图),第3题图)3．小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为() A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm4．(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是120 cm2，如果它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.5．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走___m后，他与购物中心的距离为340 m.6．(2014·牡丹江)现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得____．7．(教材习题改编)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB 边向点B以1 cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时出发，经过____秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．9．为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m 的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)10．如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？11．如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.(1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．12．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程__ _，解方程，得x1＝____，x2＝__ __，∴点B将向外移动___米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．二、利用一元二次方程解决营销问题1．商品利润＝__售价__－__进价__．利润率＝__利润进价__×100%.2．平均增长率公式为b ＝__a (1＋x )n __，其中a 为起始量，b 为终止量，x 为平均增长率，n 为增长次数．平均降低率公式为b ＝__a (1－x )n __，其中a 为起始量，b 为终止量，x 为平均降低率，n 为降低次数．知识点一：利润问题1．(2014·泰安)某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是( )A ．(3＋x )(4－0.5x )＝15B ．(x ＋3)(4＋0.5x )＝15C ．(x ＋4)(3－0.5x )＝15D ．(x ＋1)(4－0.5x )＝15 2．某种T 恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，每件应降价__ __元．3．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？知识点二：增降率问题4．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是( )A ．438(1＋x )2＝389B ．389(1＋x )2＝438C ．389(1＋2x )＝438D ．438(1＋2x )＝389 5．(2014·海南)某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是( )A ．100(1＋x )2＝81B ．100(1－x )2＝81C ．100(1－x %)2＝81D ．100x 2＝816．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2 000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2 880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__ __．7．(2014·宜宾)某企业五月份的利润是25万元，预计七月份利润将增加11万元，则六、七月份的平均增长率是_ __．8．某汽车配件公司4月份产值1 000万元，到6月份总产值到达了3 640万元，则平均每月产值的增长率是__ __．9．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则()A.50(1＋x2)＝196B.50＋50(1＋x2)＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19611．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求两轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？12．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销售，决定降价销售(根据市场调查，单价每降价1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果销售这批旅游纪念品共获利1 250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？13．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？14．某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降价0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为___万元；(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)知识点三：传播问题1．(2014·天津)要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队员之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( B )A.12x (x ＋1)＝28B.12x (x －1)＝28 C ．x (x ＋1)＝28 D ．x (x －1)＝28 2．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，请你用学过的一元二次方程模型分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效地控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？知识点四、面积问题7．已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为__ __．8．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？(3)若墙长为a 米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？9．要在一块长52 m ，宽48 m 的矩形绿地上，修建同样宽的 两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案． 小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m ，剩余的四块 绿地面积共2300平方米．小颖设计的方案如图②所示，BC ＝HE ＝x ，AB ∥CD ，HG ∥EF ，AB ⊥EF ，∠1＝60°. (1)求小亮设计方案中甬路的宽度x ；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x 与小亮设计方案中的x 取值相同)10．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面如图所示)．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元(池墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x .。

九年级人教版数学讲义你好！欢迎使用九年级人教版数学讲义。

下面我将详细介绍该讲义的主要内容。

一、目录九年级人教版数学讲义主要包括以下内容：第一章：实数与数轴第二章：一次函数第三章：三角形第四章：四边形第五章：圆第六章：统计初步第七章：数学思想方法二、主要内容1. 实数与数轴：本章主要介绍实数的概念和性质，以及数轴的表示方法和基本性质。

通过本章的学习，学生可以更好地理解实数与数轴上的点之间的对应关系。

2. 一次函数：本章主要介绍一次函数的概念、性质和图像，以及一次函数在生活中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握一次函数的基本思想和解题方法。

3. 三角形：本章主要介绍三角形的边角关系、三角形的分类（等腰三角形、直角三角形、一般三角形）、三角形的稳定性在实际中的应用等。

通过本章的学习，学生可以掌握三角形的基本性质和解题方法。

4. 四边形：本章主要介绍平行四边形、矩形、菱形、正方形等基本概念和性质，以及它们在实际中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握四边形的基本性质和解题方法。

5. 圆：本章主要介绍圆的基本概念、性质和定理，以及圆在实际中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握圆的性质和解题方法，并提高空间想象能力。

6. 统计初步：本章主要介绍数据的收集、整理、描述和分析方法，以及统计在生活中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握统计的基本思想和解题方法。

7. 数学思想方法：本章主要介绍数学思想和方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，以及这些思想和方法在解题中的应用。

通过本章的学习，学生可以提高数学思维能力和解题能力。

三、作业与练习九年级人教版数学讲义提供了大量的作业与练习，包括选择题、填空题、解答题等，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

学生可以通过完成这些作业与练习，加深对所学内容的理解，并提高应用所学知识解决实际问题的能力。

四、教学建议教师在教学过程中，可以根据学生的实际情况和教材内容，适当调整教学进度和难度，注重培养学生的数学思维能力和解题能力。

九年级数学知识点讲义一、整式与分式1. 整式的定义与性质定义：由常数和代数式通过加、减、乘运算组成的代数式称为整式。

性质：整式的加法、减法、乘法仍为整式。

2. 分式的定义与性质定义：形如a/b的表达式称为分式，其中a、b为整式，且b≠0。

性质：分式的乘法、除法仍为分式，分式可以约分。

二、方程与不等式1. 一元一次方程- 定义：形如ax+b=0的方程称为一元一次方程，其中a、b为已知数，x为未知数。

- 解方程的方法：同解法、异解法等。

2. 一元一次不等式- 定义：形如ax+b>0的不等式称为一元一次不等式，其中a、b为已知数，x为未知数。

- 解不等式的方法：解集的表示、图解法等。

3. 二元一次方程组- 定义：由两个未知数的一元一次方程组成的方程组称为二元一次方程组。

- 解二元一次方程组的方法：代入法、消元法等。

三、平面图形与空间图形1. 平面图形的分类与性质- 分类：点、线、线段、射线、角、多边形等。

- 性质：点是没有长度、面积和体积的；线段是有一定长度的，且有起点和终点；角是由两条射线共同确定的。

2. 平面图形的面积与周长- 面积：正方形、长方形、三角形、圆等的面积计算公式。

- 周长：正方形、长方形、三角形、圆等的周长计算公式。

3. 空间图形的分类与性质- 分类：点、线、面、体等。

- 性质：点是空间中没有长度、面积和体积的；线是有一维长度的；面是有二维面积的；体是有三维体积的。

四、函数与图像1. 函数的定义与性质- 定义：输入一个或多个数值，输出唯一一个数值的对应关系称为函数。

- 性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2. 平移、伸缩与反转变换- 平移：函数图像在横轴或纵轴方向上移动。

- 伸缩：函数图像在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩。

- 反转：函数图像关于横轴或纵轴进行翻转。

3. 常见函数的图像与性质- 一次函数：y=ax+b，图像为直线。

- 二次函数：y=ax^2+bx+c，图像为抛物线。

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

第一讲 相似图形一、图形的相似1、相似图形、相似多边形的定义：形状相同的图形叫做相似图形（本质特征---形状相同。

图形的相似可以看成一个图形的放大或缩小。

）2、比例的基本性质 若dc b a =，则ad=bc.(黄金分割点：把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是（15-）：2≈0.618，由于按此比例设计的造型最能引起人的美感，因此称为黄金分割)典型例题：例1、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm例2、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．(1)求AD 的长．(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．例3、如图，一块长3m 、宽1.5m 的矩形黑板ABCD 如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm ．边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？为什么？思考：若将例3中问题一般化，设矩形ABCD 的一组邻边长分别是a,b ，边框宽为x ，那么满足什么条件可以使得两矩形相似呢？例4、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”例5、猜想性质：棱长为1的正方体的体积V1=1，棱长为2的正方体的体积V2=8，棱长为3的正方体的体积V3=27，…，由此可得：)32()31()21(332331321278,271,81======V V V V V V ，…，由此猜想立体相似具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的______； 问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm 的每条1元，鱼长13cm 的每条1.5元．买哪种鱼合算呢小强数学成绩非常棒，只见他稍做思考，立即做出了合理的决定．你知道小强买的是哪种鱼？为什么呢？专项训练：1、已知23=y x ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A ．32=x y B ．2x=3y C ．25=+y y x D ．4522=++y x 2、如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） A.2:1 B.1:2 C.3:1 D.1:33、下列四组图形中，一定相似的是（ ）A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形4、已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝（ ） A.215- B.215+ C.3 D.25、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 两点分别在AB ，DC 上，若AE ＝4，EB ＝6，DF ＝2，FC ＝3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）A.1:2B.2:3C.2:5D.4:96、如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？二、相似三角形的判定1、判定方法：（只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边的比相等”就可以得到三角形相似的判定定理）（1）定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似。

九年级数学上册讲义一、特殊的平行四边形考点一：直角三角形斜边上的中线的性质1.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BD 平分∠ABC ，P 是BD 的中点，若AD=6，则CP 的长为（ ） A.3 B. 3.5 C.4 D. 4.52.如图2，平行四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点.若CE=2,则CD=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5总结：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 考点二：特殊的平行四边形1.如图3，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC 的周长等于（ ）A.20B.15C.10D.52.如图4，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ）A.75°B.65°C.55°D.50°3.如图5,在菱形ABCD 中,∠A=110°,E,F 分别是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P,则∠FPC=( )A.35°B.45°C.50°D.55° 【课堂练】4.如图6，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6．若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为______.如图7，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，E 为AB 的中点，P 为对角线BD 上一点，AB=4，PA+PE 的最小值为（ ）A.4B.2C.32D.33如图8，在菱形ABCD 的边长是6，∠ABC=60°，点E 、F 、G 是BC 、CD 、BD 上的任意一点，则EG+FG 的最小值是（ ） A.33 B.2 C.32 D.6【课堂练】7.如图9，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）A.3.5B.3C.2.8D.2.5【课堂练】8.如图10，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为( ). A.3 B.2.4 C.4 D.4.89.如图11，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为________.10.如图12，在矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为______.【课堂练】11.在□ABCD 中，AB=10，BC=14，E 、F 分别为边BC 、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为（ ） A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8【课堂练】12.如图13，在矩形ABCD 中，AD=2AB,点M 、N 分别在AD 、BC 上，连接BM 、DN.若四边形MBND 是菱形，则MD AM 等于（ ） A.83 B.32 C.53 D.5413.如图14，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT=（ ） A.2 B.22 C.2 D.1【课堂练】14.如图15，边长为6的大正方形中有两个小正方形.若两个小正方形的面积分别为21S S ，,则1S +2S 的值为（ ） A.16 B.17 C.18 D.19【课堂练】15.如图16，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ） A.B ．C ．D ．考点三特殊的平行四边形的判定【课堂练】1.如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线2.如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形.3.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形. 求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形.4.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACD平分线于点F．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．考点四探究问题1如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD 与CF交于点M．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2=a2+b2+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．2.（1）请在图①中，作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由。

初三数学讲义几何初步一．课前练一练二．教学内容（一）教纲要求1、线段的定义、中点。

2、线段的比较、度量3、线段公理。

4、直线公理，垂线性质5、对顶角的性质。

6、平行线的性质、判定7、射线的定义。

8、射线的性质9、等角的余角(补角)相等、对顶角相等10、垂线、垂线段等概念、垂线段最短的性质11、用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线12、线段的垂直平分线及其性质13、探索平行线性质14、用三角尺和直尺过已知直线外一点作这直线的平行线15、度量两平行线间的距离（二）基础知识1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.（三）例题1．下图中，∠1和∠2是同位角的是2．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．163． 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4． 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C ．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D ．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°5． 如图（2）所示，1l ∥2l ，AB ⊥1l ，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°6． 适合C B A ∠=∠=∠3121的△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7． 一个n 边形的内角和等于它外角和的5倍，则边数n 等于（ ） A ．24 B ．12 C ．8 D ．6 8．如图,AD=12DB, E 是BC 的中点,BE=15AC=2cm,线段DE 的长,求线段DE 的长.9．(08益阳) 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ．(1) 求∠EDB 的度数； (2) 求DE 的长．EDBA图（2）21l l αCBA一、 教学练习1. 于直线AB ，线段CD ，射线EF ，在下列各图中能相交的是（ ）2. 如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）A 、1∠=3∠B 、31801∠-︒=∠C 、3901∠+︒=∠D 、以上都不对3. P 为直线l 外一点，C B A 、、为l 上三点，且l PB ⊥，那么（ ）A 、PC PB PA 、、三条线段中PB 最短 B 、线段PB 叫做点P 到直线l 的距离C 、线段AB 是点A 到PB 的距离D 、线段AC 的长度是点A 到PC 的距离4. 如图，115︒∠=,90AOC ︒∠=,点B 、O 、D 在同一直线上，则2∠的度数为（ ）A 、75︒B 、15︒C 、105︒D 、165︒5. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）A 、南偏西50度方向B 、南偏西40度方向C 、北偏东50度方向D 、北偏东40度方向（2） 作图并分析1、⑴在图上过A 点画出直线BC 、直线AC 的垂线；⑵在图上过B 点画出直线AC 的垂线，过C 点画出直线AB 的垂线。

初三数学总复习代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

新入九年级数学教程讲义(九年级全册共34个课时)1. 引言本教程讲义旨在为新入九年级的学生提供一份全面而简洁的数学研究指南。

通过系统性地研究本讲义的内容，学生将能够巩固和扩展他们在八年级学到的数学知识，并为进一步的研究打下坚实的基础。

2. 课时安排本教程共分为34个课时，每个课时涵盖了九年级数学的核心概念和重要技巧。

以下是每个课时的简要概述：- 课时1-4：代数运算及多项式- 课时5-8：线性方程及不等式- 课时9-12：函数与方程组- 课时13-16：平面几何基础- 课时17-20：平面几何进阶- 课时21-24：立体几何基础- 课时25-28：立体几何进阶- 课时29-32：概率与统计- 课时33-34：三角函数入门3. 研究目标通过研究本教程的内容，学生将能够达到以下目标：- 掌握基本的代数运算及多项式求解技巧- 理解线性方程及不等式的概念和解法- 学会函数与方程组的运用和解决- 掌握平面几何基础的知识和技巧- 进一步研究平面几何的高级概念和方法- 理解立体几何基础概念和计算技巧- 进一步研究立体几何的高级概念和解题方法- 掌握基本的概率与统计知识和计算技巧- 入门研究三角函数的基本概念和计算方法4. 研究资源为了更好地掌握本教程的内容，学生可以参考以下研究资源：- 本教程讲义：详细记录了每个课时的核心知识点和解题方法- 数学课本：作为补充材料，用于进一步巩固和扩展所学的数学知识- 题集：提供大量练题和解答，让学生能够熟练掌握所学内容- 在线研究平台：提供互动研究和辅导功能，帮助学生更好地理解和应用所学知识5. 总结通过认真研究本教程讲义，并结合其他研究资源的使用，学生将能够全面而系统地研究九年级数学课程。

希望本教程能够成为学生们研究数学的有力工具，帮助他们在数学领域取得优秀的成绩和进一步的发展。

初三数学讲义第一章：整数整数是数学中的基本概念之一，它包括正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是不大于也不小于零的整数。

我们可以通过数轴来表示整数，数轴上的每个点对应一个唯一的整数。

第二章：有理数有理数是整数和分数的统称，包括正有理数、负有理数和零。

有理数可以用分数的形式表示，其中分子和分母都是整数，并且分母不能为零。

有理数的加法、减法、乘法和除法运算规则与整数类似，我们可以通过运算法则来进行计算。

第三章：代数式代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，它可以表示数与数之间的关系。

代数式中的字母代表未知数，可以根据具体情况进行求解。

代数式可以进行加法、减法、乘法和除法运算，也可以进行化简和展开等操作。

第四章：方程与不等式方程是含有未知数的等式，它表示两个代数式之间的相等关系。

方程的解是使得方程成立的未知数的值，可以通过变量的代入和化简来求解。

不等式是含有不等关系的代数式，通过不等式可以表示数的大小关系。

不等式的解是使得不等式成立的数的取值范围。

第五章：函数函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值。

函数可以用图像、表格或公式来表示，通过函数可以描述数的变化规律。

函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等多种类型，每种类型函数都有其特定的性质和应用。

第六章：几何与图形几何是研究空间和图形性质的数学分支，它包括平面几何和立体几何两个方面。

平面几何研究二维图形，如点、线、面和多边形等；立体几何研究三维图形，如立方体、圆柱体、球体和锥体等。

通过几何可以研究图形的性质、相似关系、投影和旋转等问题。

第七章：统计与概率统计是研究数据收集、整理、分析和解释的学科，通过统计可以获取数据的规律和趋势。

概率是研究随机事件发生可能性的学科，通过概率可以预测事件发生的可能性。

统计与概率常常结合在一起应用，可以进行统计推断和概率计算，用来解决实际问题。

第八章：数学思维与方法数学思维是指运用数学知识和方法进行问题分析和解决的思维方式。

九年级(上册)数学讲义全
目录
1. 第一单元：数与式
2. 第二单元：一元一次方程与一元二次方程
3. 第三单元：图形与运动
4. 第四单元：图形的计算
5. 第五单元：统计与概率
第一单元：数与式
本单元主要介绍数与式的基本概念和运算方法。

学生将研究整数、有理数、实数等数的性质及运算法则，了解数与式在数学中的重要性。

第二单元：一元一次方程与一元二次方程
本单元重点研究一元一次方程和一元二次方程的解法和应用。

学生将掌握解一元一次方程的几何意义和解一元二次方程的方法，培养解实际问题的能力。

第三单元：图形与运动
本单元以平面图形和立体图形为主题，介绍图形的基本性质和
运动的概念。

学生将研究图形的特征、分类以及图形间的运动变化，提升几何思维能力。

第四单元：图形的计算
本单元主要介绍图形的计算方法。

学生将研究图形的面积、周长、体积等计算公式，掌握应用这些公式解决实际问题的技巧。

第五单元：统计与概率
本单元重点介绍统计与概率的基本概念和统计分析方法。

学生
将研究数据的收集、整理、描述和分析，了解概率的计算方法和应
用场景。

以上是九年级(上册)数学讲义的内容概要，通过学习这些知识，学生将能够全面提高数学素养，为进一步学习数学打下坚实的基础。

第01讲二次函数课程标准学习目标①二次函数的定义②2ax y =的图像与性质③2ax y =的平移与一般形式的平移1.掌握二次函数概念，能够通过二次函数的概念解决相关题目。

2.掌握2ax y =型二次函数的图像与性质，能够熟练解决有关题目。

3.掌握二次函数2ax y =与c bx ax y ++=2的平移，并能够通过平移规律解决相关题目。

知识点01二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。

其中：x 是自变量，a 是函数解析式的二次项系数；b 是函数解析式一次项系数；c 是函数解析式的常数项。

()02≠++=a c bx ax y 又是二次函数的一般形式。

判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。

题型考点：①判断二次函数关系。

②根据二次函数定义求值。

【即学即练1】1．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得，4y+2πx＝20，∴2y+πx＝10，∴y＝，即y与x是一次函数关系，∵S＝y2﹣πx2，即满足二次函数关系，故选：B．【即学即练2】2．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．C．y＝2x2﹣2x+2D．y＝2x+2【解答】解；A．，关系式不是整式，故不是二次函数；B．，关系式不是整式，故不是二次函数；C．y＝2x2﹣2x+2，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；D．y＝2x+2，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；故选：C．【即学即练3】3．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．4D．0或4【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故选：C ．知识点02二次函数2ax y =的图像1.二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，有开口方向，顶点，对称轴。

初三数学基础知识讲义第一讲：数与式一、重点知识回顾1．实数分类(无理数)三个非负数 有效数字及科学记数法2．相反数 绝对值 倒数3．算术平方根 乘法公式 因式分解二、难点问题致疑非负数性质的应用；绝对值的化简；算术平方根的计算．三、例题分析：例1：在数轴上表示a 、b 、c 三个数的点的位置如图所示：化简：|c b ||c a ||b a |+--+-．分析：由图形可知：a>0，b<0，c<0得出：a －b>0，a －c>0，b ＋c<0．因此：原式)c b ()c a ()b a (++-+-==2a ．归纳：见数轴，首先确定a 、b 、c 的符号由此判断出a －b ，a －c ，b ＋c 的正负根据)0a (a |a |≥=，)0a (a |a |＜-=去掉绝对值符号．强化练习：1．当－1＜x ＜2时，化简22)2()1(-++x x ＝32．当a ＜0时，化简||2a a -a 2-=例2：7.3896精确到0.01的近似值为＿＿＿＿．保留四个有效数字的近似值为＿＿＿＿．分析：一个数的近似值精确到0.01，就要对千分位的数字进行四舍五入，结果为7.39有效数字的概念是指一个数字从左边第一个不是零的数字起到某一位数字起，所有数字称为有效数字．结果为7.390．归纳：这类问题的解决，关键要弄清概念．强化练习：(2007．淮安)温家宝总理在2007年政府工作报告中指出，今年全国财政安排农村义务教育经费2235亿元，将2235亿元用科学记数法表示为＿＿＿＿．310235.2⨯例3：已知：实数x 、y 满足0|2y 2x |1y 3x 2=+-+--则2x －34y ＋425算术平方根是________． 分析：∵0a ≥，|b |≥0．∴1y 3x 2--和|2y 2x |+-都是※※数． 又∵0|b |a =+，∴得出a=b=0．由此⎩⎨⎧=+-=--02y 2x 01y 3x 2解得⎩⎨⎧==3y 4x 代入原式=22433442=+⨯-⨯．22归纳：非负数，在实数中是一重要概念，常见的非负数有三个，|a|≥0，2b ≥0，c ≥0．应用非负数的性质时，通常需要进行配方、变形，这里提醒考生注意．强化练习：1．若|a －b ＋1|与4b 2a ++互为相反数，求2008)b a (-的值．(1)2．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且a ，b 满足04b 4b 1a 2=+-+-．求c 的取值范围．(1＜c ＜3)3．已知2x 44x y +-+-=．求3xy 的值．(24) 例4：已知：2008y1x 1=-．求y x y 2y x +-⨯+-的值． 分析：此类题从应两方面入手． 从已知加以变形2008x yx y =-．∴xy 2008x y =-． 另一方面从所求代数式入手，原式=x y y 2)x y (-⨯+-- 再将上面结果整体代入：原式10041003x y 2008x y 2x y 2008-=+-= 归纳：这类化简题目很多，常见方法是进行恒等变形，整体代入，变形的技巧是代数式的各种法则的应用．强化练习：1．如果3a 1a =+，则=+22a1a _______(7) 2．已知：01b a 2=-+，求)b a (1b a a )b a (22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-的值 (1)3．(2007．天津)已知：x ＋y=7．xy=12．当x ＜y 时，计算y 1x 1-的值． (2007·济南) 4．已知：21x 6=-，2y y 2=-．化简 )754()755(22x xy y x x xy y x -+--+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141或 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 例5：计算1121=－，3122=－，7123=－，15124=－，31125=－．……归纳各计算结果中28个位数字规律，猜测122008- 28个位数字是______．分析：对找规律的题目，关键在于认真观察题目所给已知条件，尽可能多的把过程写出来，并按顺序加以排列，发现每隔4个数，结果中的个位数字相同，抓住这个特色，用2008÷4=502，余数为0，说明22008－1的个数字为5．归纳：找规律的题目，最重要的是观察题目特色，对较复杂的题目，需要展示变化过程排序． 强化练习：1．(2007．山东)根据以下10个乘积，回答问题．11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．(1)将以上各乘积分别写成一个“22－○ ”的形式，并写出其中一个的思考过程．(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来．(3)试由(1)(2)猜想一个一般性的结论(不要求证明)． 402211=+==+=+n n b a b a b an n b a b a b a b a -≥-≥-≥- 332211n n b a b a b a b a ≤≤≤≤ 3322112．(2006·北京)用“”定义新运算，对于任意实数a 、b ，都有a b=1b 2+，例如74=24＋1=17．那么53=__10__，当以为实数时． m (m 2)=________． (26)3．有一个数位转换器，原理如图当输入的x 为64时，输出的是_______)22(输入x 算术平方根输入y是有理数 是无理数例6：计算：221145cos )3.14(-⎪⎭⎫ ⎝⎛--︒+︒-π 分析：掌握各个概念0a =1(a≠0)．2245cos =︒． 0122＜-，422122==⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 代入：原式22242211--=--+=． 强化练习：1．01)31()32(12+-+- )333(+=) 2．已知m=－2，求3m 29m 63m m 2-÷--+的值．(－5) 3．已知12x -=，12y +=，求xy y x +的值．(6) (一)、例7：已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数． 求b a cd b a b a +-+-2222的值． 分析： a －b 互为相反数，∴0b a =+．∴22b a =，1ba -=． 又c 、d 互为倒数，∴1cd =．因式原式=2)1(10-=-+-．强化练习：1．已知：x 、y 是实数，且2)1y x (-+与4y x 2+-互为相反数．求x y 的负倒数． (－2) 2．已知m 是满足3-＜a ＜6的所有实数a 的和．N 是满足不等式2237x －≤的最大整数解．求m ＋N 的平方根． (±2)．3．13．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不同)，甲每次买100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元/kg ，第二次单价为y 元/kg ．(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款_____元，乙两次共购买______kg 粮食．(2)若甲两次购买粮食的平均单价为每千克1Q 元，乙两次购粮的平均单价为每千克2Q 元，则1Q =_______，则2Q =______．(3)若规定谁两次购粮的平均价格低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两个的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．答案: (1))y 100x 100(+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y 100x 100 (2)29x Q 1+=，y x 2x y Q 2+= (3)0Q Q 21＞- ∴二次购粮方式全合并．(二)、练习4：有一道题“先化简、再求值”．4x 14x x 42x 2x 22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-，其中3x -=．小玲做题时把“3x -=”错抄成了“3x =”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?提示：化简得4x 2+，无论3x =或3-结果都一样． 练习5：课堂上，李老师给出大家这样一道题，当x=3，225-，37+时． 求代数式1x 2x 21x 1x 2x 22+-÷-+-的值． 小明一看“太复杂了，怎么弄呢?”．你能帮助小明解决这个问题吗?请你写出具体过程． 提示：化简得21，与x 无关． (三)、例8：阅读下列材料并解决有关问题：我们知道⎪⎩⎪⎨⎧-==)0()0(0)0(||＜＞x x x x x x 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x ＋1|+|x －2|时，可令x ＋1=0和x －2=0，分别求得x=－1，x=2(称－1，2分别为|x ＋1|与|x －2|的零点值)．在实数范围内，零点值x=－1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)x ＜－1；(2)－1≤x ＜2；(3)x ≥2．从而化简代数式|x ＋1|+|x －2|可分以下3种情况：(1)当x ＜－1时，原式=－(x ＋1)－(x －2)=－2x ＋1；(2)当－1≤x ＜2时，原式=x ＋1－(x －2)=3；(3)当x ≥2时，原式=x ＋1＋x －2=2x －1．综上讨论，原式=⎪⎩⎪⎨⎧---+-.)2x (1x 2)2x 1(3)1x (1x 2≥，＜≤，＜通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|x ＋2|和|x －4|的零点值；(2)化简代数式|x ＋2|+|x －4|．提示：(1)求|x ＋2|和|x －4|的零点值．x=－2和x=4．(2)化简|x ＋2|+|x －4|当x ＜－2时，原式=－(x ＋2)－(x －4)=2－2x当－2≤x ＜4时，原式=(x ＋2)－(x －4)=6当x ≥4时，原式=(x ＋2)＋(x －4)=2x －2．概括：遇到几个绝对值的和的化简，应按照上例所说，取零点，分段化简，这是解这类题的基本方法．强化练习：1．化简：|x －1|－|2x ＋6|提示： 当x ＜－3时，原式=x+7当－3≤x ＜1时，原式=-3x-5当x ≥1时，原式=-x-72．观察下列各式及其验证过程：322322+=． 验证：322122)12(2122223232222233+=-+-=-+-==． 833833+=． 验证：833133)13(3133)33(8383322233+=-+-=-+-==． (1)按照上述两等式及其验证过程的基本思路猜想1544的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n 为自然数，且n ≥2)表示的等式，并给予证明． 提示：(1)15441544+=(验证：略) (2)1n n n 1n n n22-+=-．(证明略)第二讲：方程(组)及不等式(组)一、重点知识回顾：1．方程、方程解的概念．2．一元二次方程的四种解法及根的判别式．3．分式方程及增根的判断．4．不等式性质(3)的应用．5．列方程(组)、不等式(组)解应用题．二、难点问题致疑1．方程解的应用．2．增根的判断．3、解应用题．三、例题分析：例1：(2007·兰州)已知关于x 的方程mx ＋2=2(m －x)的解满足0121x =--．求m 值． 分析：方程的解满足方程．由0121x =--，求出x 的值．21x 23x 21-==，，代入原方程，求出10m 1=，52m 2= 强化练习：1、(2007·青海)已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-.3n m 4n 2m 则m ＋n=_____(－1) 2、(2007·杭州)专项P16=10．(略)3、若⎩⎨⎧=-=3y 2x 且方程3x －3y=m 和5x ＋y=n 的公共解．求n 3m 2-的值．(246) 例2：如图，是一个正方体的展开图，标注字母“a ”的面是正方体的正面．如正方体相对的两个面上的代数式的值相等．求x 、y 的值．分析：首先要弄清正方体的展开图中哪两个面是相对的面．再根据题意相对两个面的代数式的值相等．列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=5x 2y x 51y 3a 解为⎩⎨⎧==1y 3x 强化练习：1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x °， ∠2=y °，则可得到方程组为( D )A ．⎩⎨⎧=+-=180y x 50y xB ．⎩⎨⎧=++=180y x 50y xC ．⎩⎨⎧=+-=90y x 50y xD ．⎩⎨⎧=++=90y x 50y x 2、如下图所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数．(1)图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x 、y 的值；(2)把满足①的其他6个数填入图②中的方格内．提示: 2x+3+2=2+(-3)+4y=2x+y+4y ⎩⎨⎧=-=1y 1x3、(2007·北京)在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图，，其中a ，b ，c ，是三个连续偶数(a<b)，d ，e 是两个连续奇数(d ＜e)，且满足a ＋b ＋c=d ＋e ，例如．请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图： ． 答案:结果不唯一,可以是6,8,10,11,13 ; 还可以是10,12,14,17,19.例3：已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--6m x 2m 21x 31＜＜的解集为3m 6x +＜，求m 的取值范围．分析：不等式组的解集是不等式组中每个不等式解集的公共部分，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++2m3x 3m 6x ＜＜，∵解集为3m 6x +＜，如图，∴6m ＋3≤3＋2m ，解得：m ≤0．值得注意的是：2336m m +=+，也是m 范围中的值． 强化练习：1．已知关于x 的不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集为x ＜1．求a 的取值范围．(a ＜－1)．2．不等式组⎩⎨⎧-+1x 42x 3a x ＜＞的解集为x ＞3，求a 的取值范围．(a ＜3)．3．关于x 的不等式组⎩⎨⎧---0a x 1x 25＞≥无解．求a 的取值范围．(a ＞3) 例4：某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组( )A ．⎩⎨⎧=+=+66y 3x 227y x B ．⎩⎨⎧=+=+100y 3x 227y x C ．⎩⎨⎧=+=+66y 2x 327y x D ．⎩⎨⎧=+=+100y 2x 327y x 分析：列方程解应用题，最重要的了解题意，寻找相等的系列方程，题目中给出两个已知条件．一是学生总数为40人，二是40人共捐款100元．其它条件在一被墨水污染看不清楚的表格中，分析其中条件发现：捐一元钱的人数是6人，捐4元钱的有7人，那么可没捐2元钱的人数为x ，捐3元钱的人数为y 人．则总人数40=6＋x ＋y ＋7，总钱数100=1×6＋2x ＋3y ＋4×7．化简得⎩⎨⎧=+=+66y 3x 227y x 此题可解． 概括：解应用题过程中，若遇到的问题比较复杂，一般可采取列代数式，列表和图示法进行分析，只要把题目中的已知是未知量及隐含在题目中的相等关系找出来，应用题就不难解决了．强化练习：1．2006年“五·一”节，小华、小颖、小明相约到“心连心”超市调查“农夫山泉”矿泉水的日销售情况．图2-3-1是调查后三位同学进行交流的情景．请你根据上述对话，解答下列问题：(1)该超市的每瓶“农夫山泉”矿泉水的标价为多少元；(2)该超市今天销售了多少瓶“农夫山泉”矿泉水．(温馨提示：利润=售价－进价 利润率= 进价利润100%) 解: 设每瓶矿泉水的标价为x, 根据对话易得: 80%x-1=20%*1解得x=1.5(元) 售价=80%*1.5=1.2(元) ,则共销售了360/1.2=300(瓶).2．右图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，则(1)a ，c 的关系是：_______，(2)当a ＋b ＋c ＋d=32时，a=_______．(c=a ＋5，a=5)例5：某学校计划组织385名师生租车去旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。

初三数学学生辅导讲义一、 知识要点：1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d cb a =，则称线段dc b a ,,,成比例线段。

2．bc ad d c b a dcb a =⇔=⇔=::，其中dc b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：ab c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d bc b b ad c b a ±=±⇔=；⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b ab b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。

二、 例题分析：例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________ 例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a =B.c c b d d a +=+C.c dba =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ） 例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。