关于可测函数列的各种收敛性

83§3.2 可测函数的收敛性教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞<f 则称f 是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e.注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ∉时.+∞<f 令.~c N fI f = 则f ~是处处有限的可测函数并且 a.e..~f f =因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或 f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=−=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 证明 设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥−x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥−1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ⊂由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥−∞=∞=IU n n i i f f εµ 由于+∞<)(X µ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥−= ≥−∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εµεµ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X µ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δµ< ≥−∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥−=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有 .2}1{)(11δδµµδ=≤ ≥−≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<−⊂<−=∞=∞=∞=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<−kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X µ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → µ证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 由测度的单调性立即得到()≤≥−∞→}{lim εµf f n n .0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 即.f f n → µ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X µ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → µ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明 设.f f n → µ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεµ<≥−})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥−µ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{=<−=∞=i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <− 这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E µ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥−==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E µ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥−≤ ≥−=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k µµµU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X µ. 则f f n → µ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明 必要性(此时不需设+∞<)(X µ). 设.f f n → µ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥−εµf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得 .})({δεµ≥≥−f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → µ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(µF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → µ .g g n → µ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → µ特别地, .fg g f n n → µ证明 不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → µ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → µ ■小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题 习题三, 第18题—第28题.。

可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx=+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩ 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i ix f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩ 则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞ ，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩． 然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩ ．我们把(),1,2,,2{}n j x j f = ，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n n j j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+== 趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件： 设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}k n f 依测度收敛于f ，即(())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．。

第四章 可测函数教学目的：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明,Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.§4.1 可测函数及相关性质由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 记=αD 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.我们知道,f 在D 上连续⇔R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为=)(x f )(x E λ⎩⎨⎧=01ED x Ex -∈∈由于 {}αα>∈=)(:x f D x D⎪⎩⎪⎨⎧=D E φ0101<<≤≥ααα是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、{}α≥f 、{}α<f 、{}α≤f 、{}α=f 等的意义同上. 问:定义中α>f 可否换成α<f ?答:可以.定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测;(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α<f 可测; (iv)对任何R ∈α,{}α≤f 可测.其证明就是利用集合的运算. 证明:(i)⇒(ii) {}α≥f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=∞=n f n 11α ,由(i), ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->n f 1α可测,从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∞=n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测.(ii)⇒(iii){}α<f -=D {}α≥f(iii)⇒(iv){}α≤f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=∞=n f n 11α(iv)⇒(i) {}α>f -=D {}α≤f定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<<f 、{}βα<≤f 、{}βα≤≤f 、{}βα≤<f 都是可测集,其中+∞≤<≤∞-βα,λ是广义实数. (ii){}g f >是可测集.证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞=1可测;若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞=1可测.可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集.对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.(ii)分析:⇒>g f x ∃,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则{}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞= 1再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .)()(x f x f n →⎩⎨⎧=01101<≤=x x不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1α>≥x f n n })({1α>=∞=x f n n 可测.(此等式表明至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1x f n n )})(inf {1α<≥x f n n })({1α<=∞=x f n n 可测.(至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k nk n ≥≥=、)(lim x f n n ∞→)(inf sup 1x f k nk n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数.(n x 的上极限k nk n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim1,k nk x ≥sup ↓;n x 的下极限k nk n n n x x ≥≥∞→=inf sup lim 1,k nk x ≥inf ↑)实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.§4.2 可测函数的其它性质设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎1xy处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2ππ+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 =都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为)()(1x a x f K E k nk λ=∑=其中)(x kE λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.下面说明可测函数一定是简单函数的极限.定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ϕ,使对每一D x ∈,)()(x f x k →ϕ,此外(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ϕ满足对每一D x ∈,{}1≥k k ϕ单增收敛于)(x f ;(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ϕ在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >∀,有εϕ<-|)()(|x f x k )提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛.答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则⎩⎨⎧=01)(x f101<≤=x x ,这时)(x f k 在每一点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长21; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长221,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即)(1x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=12111k1)(2)(211)(11-<<≤-≥x f kx f k x f 2,1,0,1-=k(k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由1211-=-k 得1-=k ,由121=k得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类似).)(2x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=22122k2)(2)(212)(22-<<≤-≥x f kx f k x f 8,,6,7 --=k证明:对每一1≥n ,令)(x n ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=nk nn 21 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12⋅+⋅-=(i)显然{}1≥n n ϕ是一列简单函数,现固定D x ∈.若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得n n n n k n 212⋅≤≤+⋅-,并且nnn n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ϕn n k 21-=,nn x x f 21)()(0<-≤ϕ.令∞→n ,即得)()(x f x n →ϕ. 特别,设f 非负.由)(x n ϕ的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ϕ单增.(ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及{}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有nn x f x 21)()(<-ϕ,故{}1)(≥n n x ϕ一致收敛于)(x f .注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关.f 可测⇔{}α>∈)(:x f D x R ∈∀α 是可测集.若0)(=E m ,D E ⊂,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可).说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ⊂.若对每一个E D x -∈,)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极限f 在D 上可测”.注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.一定注意:可测与否与零测集无关.例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测?答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[⊂E ,令⎩⎨⎧==01)()(x x f E λE x E x -∈∈]1,0[则{}α>∈)(:]1,0[x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=]1,0[E φ0101<<≤≥ααα ——→不可测.所以)(x E λ在]1,0[上不可测.例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?答:因{}E x f E x ⊂>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.例题 4.2.3 设D E ⊂,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1f 在D 上可测⇒有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈∀且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.重复定理4.2.2设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.什么叫g f +几乎处处有定义?即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλαf 来证. 此处用方法①最清楚.简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈∀ 所以 )(sin )(sin x f x f n →由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚.f 、g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了.所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关.2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.§4.3 可测函数用连续函数来逼近称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈∀,)()(lim 00x f x f Fx xx =∈→). 前面曾提到n x →⎩⎨⎧01101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续⇒n x 不一致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛⇒)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈∀,0>∀ε,0>∃δ,∀),(0δx x ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε=若改为),(b a 也一样.本节中非常重要的一个结果:定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA 1D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n()(r n A 是1D 里那样的点: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每一1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个)(r n A 都是1D 子集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r n n r nn AA∞=∞←= ,也就是要证1)(1D A r n n =∞= ),易见)(1r n n A ∞= 1D ⊂，这是因为每个1)(D A r n ⊂,现在对1D x ∈∀,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N∃,Nk >∀,有rx f x f k 1)()(<-,说明}1)()({rx f x f x k N n <-∈∞= ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k Nn <-∞= )(r N A =.所以)(1r nn Ax ∞=∈ ,因此⊂1D )(1r nn A ∞= ,于是得到1)(1D A r n n =∞= .即1)(lim D A r n n =∞←. 由测度性质(定理3.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m = (1)又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+<r ε (2)(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .(即0>∀ε有N ,N n ≥∀,E x ∈∀,有ε<-)()(x f x f n (下证)0>∀ε ,有00>r ,使ε<01r ,从而当0r n n >时,对一切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ⊂所以上述结论对E x ∈∀都成立.即n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .))(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-= ))(()(11r n r rA D m -=∞= (由)(11r n r r AD ∞=- )()(11r n r rA D -=∞= ) )()(11r n r rA D m -∑<∞= 112+∞=∑<r r ε2ε=此时有E 的闭子集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上↑ ↑ ↑ ↑ D ⊃ 1D ⊃ E ⊃ F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m 而且n f 在F 上一致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.n R证明:此时),(1n n n cb a F ∞== ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m .(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1== .对每一k ,有闭集k k E F ⊂,使F E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”)则f 沿F F k nk ==1连续.(对k nk F F x 10==∈∀ ⇒00k F x ∈⇒x 充分接近0x 时即 ⇒<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=⇒00k k E F x ⊂∈所以0)(k a x f =.⇒从而)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.⇒即f 沿F 连续.)由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k nk k nk F E m ==-=)]([1k k nk F E m -≤=)(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由第一章习题:-∞=n n A 1n n B ∞=1-⊂∞=n n A (1)n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -⊂≠*).定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f Dx )(s u p x f Dx ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<≠n n n f f m ε,2,1=n令{}*1n n n f f E ≠=∞= ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每一E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞= ),有)()(*x f x f n n = ,2,1=n从而对每一E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理)由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -⊂使2)(ε<--F E D m而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m --=)()(E m F E D m +--≤ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且2||2)(+<-n n n F D m ε,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞== 是闭集而且f 沿n F 连续.(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞= ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞= .此处n n F F +∞-∞== 是闭集是因F x n ∈∀,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又由F x n ∈,当n 充分大时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ⊂∈0.)由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=)]([n n n F D m -≤∞-∞=2||2+∞-∞=∑<n n εε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f Dx ∈≤而得(因D F ⊂).记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *],[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:⎩⎨⎧=01)(x D无理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.000§4.4 测度收敛)()(x f x f n Dn ∞→−→−已经学过三种,即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧测度收敛一致收敛几乎处处收敛逐点收敛4321 {}()εδεδε<≥-⇒>∀∃>∀>∀⇔⇒∈∀>∀∃>∀=-∈∀∈∀f f m N n N f f Dx N n N E m E D x Dx n n ,,0,0,,,00)(,第四种即今天要学习的测度收敛.设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ⇒. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间],1[n kn k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f1)()(]1,0[1≡=x x f λ)()(]21,0[2x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=)()(]31,0[4x x f λ= )()(]32,31[5x x f λ= )()(]1,32[6x x f λ=………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0−→−()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ⇒.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛.例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对∀R x ∈,)()(x f x f n →,但对21=δ,})21|({|≥-f f m n })21({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ⇒f .以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即定理4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ⇒,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n kf 几乎处处收敛于f .(ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ⇒. 证明:(i)此时对每一1≥k ,})21|({|k n f f m ≥-)(0∞→→n ,因此有k n 使 kk n f f m k 21})21|({|<≥- ,2,1=k <<<<k n n n 21 11f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10令})21|{|(1kn pk p f f E k≥-=∞=∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p})21|{|()(k n p k f f m E m k ≥-≤∞= })21|({|k n p k f f m k≥-∑≤∞=kp k 21∞=∑< 121-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 cEE D -=})21|{|(1kn pk p f f k ≥-=∞=∞= 从而对每一E D E x c-=∈,必有10≥p 使∈x }21|{|0k n p k f f k<-∞= ,即0p k ≥∀有kn x f x f k 21|)()(|<-.也即)()(x f x f kn → )(∞→k .说明kn f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说kn f 在D 上几乎处处收敛于f .(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ⇒)任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使δ<-|)(|f x f n E x ∈∀ N n >∀此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -⊂故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ⇒.例4.4.3.设)()(x f x f n ⇒,)()(x g x f n ⇒,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.证明:由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何自然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈⊂}21|:|{n f f E x k ≥-∈ }21|:|{ng f E x k ≥-∈, 从而})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k ,即得})1|:|({ng f E x m ≥-∈0=. 但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

第三章 可测函数为了引进新的积分，我们还需要引进一类重要的函数即可测集上的可测函数，这类函数一方面与数学分析中的连续函数有着密切的联系，另一方面比连续函数更为广泛、应用价值更大.这里我们需要强调，今后所提到的函数都是指定义在n R 中某点集上的单值实函数，且允许它的值可以取±∞（±∞也称为非正常实数，通常的实数称为有限实数或实数）.另外，我们规定：(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞，对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对∞≠b ，o b =∞，对o c ≠，∞=oc， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（ ∞），（-∞）-（-∞）均无意义.§1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节，我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单的可测函数，然后分析这些函数的测度特性从而归纳出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1 设E n R ⊂为一个可测集，)(x f 为定义在E 上的实函数，如果 （1）E = mi i E 1=，其中i E 为两两不交的可测集，（2）在每个i E 上)(x f =i c ，即)(x f = ⎩⎨⎧1C C m1E x E x m ∈∈ ，亦即∑==m i E i x c x f i 1)()(χ，其中)(x i E χ表示i E 的特征函数，则称)(x f 为E 上的简单函数.显然)(x D =⎩⎨⎧01 上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x 及 )sgn(x =⎪⎩⎪⎨⎧-10100<=>x x x 均为其定义域上的简单函数.注 只有当可测集E 的分解为有限不交可测分解，且在每个小可测集上)(x f 的取值为常数时，)(x f 才是E 上的简单函数.可以证明，可测集E 上的两个简单函数)(),(x g x f 的和、差及乘积仍为E 上的简单函数，且当0)(≠x g 时，)()(x g x f 也是E 上的简单函数。

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函数列的几种收敛性王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.关键词：函数列；收敛；Several kinds of convergence for the sequence of funcationsWang pei(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.Key words: the sequence of funcations; convergence;一、几种收敛的定义1、收敛的定义定义1：设{}n a为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有ε<-ana,则称数列{}n a收敛于a，定数a称为数列{}n a的极限，并记作limn→∞an=a,或()∞→→naan.定义2：设f为定义在[)+∞,a上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+ ∞时以A 为极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.2、一致收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| fn(x)- f(x)|<ε,则称函数列{fn (x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.3、几乎处处收敛的定义设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作limn→∞ fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于E.用a.c.表示.4、几乎处处一致收敛设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)−→−uc f(x)）=0，（其中“−→−uc”表示不一致收敛于），则称{fn (x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作limn→∞fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn−→−uc f a.e.于E.用a.u.c.表示.5、依测度收敛设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意σ>0有limnmE [|f n-f|≥σ]=0，则称函数列{f n}依测度收敛于f,或度量收敛于f记为：fn(x)⇒ f(x).6、近乎收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,且f n(x)−→−c f(x) (在E- Eσ上)，则称函数列{fn (x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x)−→−c n. f(x)或简记为fn−→−c n. f.用n.c.表示.7、近乎一致收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,，且f n(x)−→−c u. f(x)在E- Eσ上），则称函数列{fn (x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)−−→−c u n.. f(x)或f n−−→−c u n.. f.用n.u.c.表示.8、强收敛设fn (x)，f(x)属于L p,若fn(x)，f(x)得距离)()(f xfxn-敛于0（当n→+ ∞）,则称fn (x)强收敛于f(x),简记为：fn−→−强 f.二、几中收敛的关系1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.取E=(]1,0,将E等分，定义两个函数：f（1）1(x)=⎧⎨⎩⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈1,21x,0,21,01x，f（1）2(x)=⎧⎨⎩.1,21,1,21,0x⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈x，然后将(]10，四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：f（n）j (x)=⎧⎨⎩.2,21,0,2,21x1⎥⎦⎤⎝⎛-∉⎥⎦⎤⎝⎛-∈nnnnjjxjj，j=1,2,…,2n.把{ f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，…，f（n）2n(x), (1)f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何σ>0,E[|f（n）j -0|≥σ]或是空集（当σ＞1），或是⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j（当0<σ≤1），所以m(E[|f（n）j -0|≥σ])≤n21(当σ＞1时，左端为0).于是当N=2n-2+j（j=1,2,…,2n）趋于∞时，n→∞.由此可见lim N→∞ m(E[|f（n）j-0|≥σ])=0,即f（n）j(x)⇒0.但是函数列（1）在(]1,0上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点x0∈(]1,0,无论n多么大，总存在j,使x0∈⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j,因而f（n）j (x)=1，然而f（n）j+1(x)=0或f（n）j-1(x)=0，换言之，对任何x0∈(]1,0，在{f（n）j (x)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为零，所以序列（1）在(]1,0上任何点都是发散的.2．2反过来，一个a.e，收敛的函数列也可以不是依测度收敛的.例2 取E=(0,+∞),作函数列：f（n）(x)=⎧⎨⎩(](),,,0,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,….显然fn (x)→1(n→+∞),当x∈E.但是当0<σ<1时，E[|fn-1|≥σ]=（n, +∞),且m(n, +∞)=∞.这说明{ fn}不依测度收敛于1.2.3尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的.定理1（黎斯F.Riesz）设在E上{fn }测度收敛于f,则存在子列{ fni}在E上a.e.收敛于f.定理2(勒贝格Lebesgue) 设（1） mE<∞;（2） {fn}是E上a.e.有限的可测函数列；（3） {fn }在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,则 fn（x）⇒f(x).定理3设fn（x）⇒f(x)， f n（x）⇒g（x）,则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立.3 几乎处处收敛与近一致收敛3.1 在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理：设mE<+∞,f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若limn→∞f n(x)=f(x)，a.e.于E，则对任何σ>0,存在可测集Eσ⊂E,使得m Eσ<σ,且在E-Eσ上{ f n(x)}一致收敛于f(x).3.2 在一般可测集上（mE=+∞），几乎处处收敛不一定近一致收敛Eτopob定理中mE<+∞的条件不可少.例如考虑可测函数例fn (x)=Χ(0,n)(x),n=1,2,…, x∈(0, ∞).它在(0, ∞)上处处收敛于f(x)≡1,但在(0, ∞)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)≡1.又如取E= (0,+ ∞)，则mE=+∞，作E上函数列：fn (x)=⎧⎨⎩[)().,,0;,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,…, limn→∞fn(x)= f(x)≡1 (0<x<∞)取δ=1, 则对任何可测集Eδ⊂E，若m Eδ<δ=1，故m(E-Eδ)= ∞,于是集E-Eδ无界.取ε=1/2,对任意N存在n=N+1和x0>N+1,且x∈E-Eδ时，| fn(x)-f(x0)|=|0-1|>ε.所以在E-Eδ上{ fn(x)}不一致收敛于f(x).3.3 不论在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理的逆定理成立可说明这一结论.设可测集E上可测函数列fn (x) 近一致收敛于f(x)，则fn(x)几乎处处收敛于f(x).4 近一致收敛与依测度收敛4.1 无论是在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛设f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若{ fn(x)}在E上近一致收敛于f(x)，则fn(x)⇒ f(x).证明由条件对任意δ>0及σ>0,存在N=N(σ,δ)及E的可测子集Eδ，且m Eδ=δ,当n≥N时，对一切x∈E-Eδ，| fn(x)- f(x)|<σ，因此，对任意x 0∈E-Eδ，x∈()()∞=<-NnxfxfEn,σE-Eδ()∞=<-⊂NnnfxfE.x)(σ于是对任何x∈E- ∞=<-NnffEnσ= ∞=≥-NnnffEσ,必有x∈Eδ,即∞=≥-Nn nf fE σ⊂E δ综上所述，对δ>0，σ>0，存在N=N(σ,δ)，当n ≥N 时，m( ∞=≥-Nn n f f E σ)≤m E δ<δ,从而mE[|f n -f|≥σ]<δ.由依测度收敛的定义可知，f n (x)⇒ f(x). 4.2 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.5 几乎处处收敛与强收敛5.1几乎处处收敛不一定强收敛例 f n (x) =⎧⎨⎩.110,0,10,n ≤≤=<<x n x n x 及，显然在[]1,0上f n 处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上f n -f ={dx n n ⎰12}21=n →∞（n →∞）. 5.2 强收敛不一定几乎处处收敛例 )(f k i = ⎧⎨⎩.,1,0,,1,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i x令Φn (x)= )(f k i,Φ(x)=0.则：()()x x n φφ-={()⎰1x n φ}21=k1→0(n →∞),Φn (x)−→−强 Φ(x),而Φn (x)在任一点都不收敛.6 依测度收敛与强收敛6.1强收敛一定依测度收敛可证明，对任何ε>0,设E n (ε)=E{x:|f n (x)-f(x)|≥0},),(|)()(|)(|)()(f|22εεεn n n nmE dx x f x f E dx x f x E ≥-≥-⎰⎰f n →f,∴mE n (ε)→0,即f n (x)⇒f(x). 6.2 依测度收敛不一定强收敛例 E=[]10，，在E 上作函数列如下： f 1(1)(x)=1 x ∈[)10，, f 1(2)(x)= ⎧⎨⎩01 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121,0x x … f i (k)(x)= ⎧⎨⎩01[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i ,11,0,1x (i=1,2…,k) 上述的函数列记为Φ1（x ）, Φ2（x ）, Φ3（x ）,…, Φn （x ）,…,可证Φn （x ）⇒Φ（x ）≡0，但却处处不收敛于Φ（x ）.证明 若ε>1, E n (ε)为空集，显然lim n →∞E n (ε)=0；若0<ε≤1,则E n (ε)=E{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=⎪⎭⎫⎢⎣⎡k i k ,1-i ,所以mE{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=k1，于是当n →∞,显然k →∞.故lim n →∞E n (ε)=0，从而Φn （x ）⇒Φ（x ），而对任x 0∈[)10，,Φn （x 0）中总有无穷个1，无穷个0，即{Φn （x ）}处处不收敛.三、相关命题及证明命题1 f n ..a c E −−→ f ⇔ f n ..n c E−−→ f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E−−→ f ，则∀K ，∃E k ⊂E,使得m E k <k1,且 f n .kc E E -−−−→f 记 E 0= ∞=1k k E ，则m E 0=0,E- E 0= ∞=-1)(k k E E∴ f n .kc E E -−−−→f 且m E 0=0 即f n ..a c E −−→ f 证毕命题 2 f n ...n u c E −−−→f ⇔f n ..n c E−−→f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E −−→f ，则由命题1知 f n ..a c E−−→ f 而 m E<∞,故由叶果洛夫定理有 f n ...n u c E−−−→ f 证毕命题 3 若f n ...n u c E−−−→f ，则f n ⇒f命题 4 若f n ⇒f ，则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证明 任取定{εk }→0,{δk }→0,且∑∞=1k k δ<∞，则由“⇒” 的定义知：可取定 n 1>N(ε1, δk )，使得 m E(|1f n -f|≥ε1)< δ12n > n 1, 2n > N(ε2, δ2), 使得 m E(|1f n -f|≥ε2)< δ2… … …∀ δ>0,由∑∞=1k k δ<∞知，∃K 1，使得∑∞=1k k δ<δ记 E δ=)|(|1k k k n f f E k ε≥-∞= 则 m E δ<δ又∀ δ>0，由{εk }→0，知∃K 2，使得εk 2<ε,于是当k ≥k 0=max{k 1,k 2},且x ∈(E- E δ)时，有 |k n f （x ）-f(x)|< εk <ε∴k n f （x ）..u c E Eδ-−−−→f (k →∞) 且m E δ<δ 即 k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证毕命题 5 f n ⇒f ⇔ {k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）证明∀ σ>0,记a n=m E(|f n -f|≥σ) (n=1,2,…)∀ δ>0, f n ⇒f,则由“⇒”的定义有 lim n →∞a n =lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0故∀ {k n a }⊂{a n },∃ {i n a }⊂{k n a },使得 lim n →∞k n a =0即∀{kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得lim n →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0 亦即1f k n ⇒f （i →∞）“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得lim i →∞i n a =lim i →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0∴ lim n →∞a n =0 即 lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0亦即 f n ⇒f 证毕命题 6 ∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则有{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 证明“⇒”设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则由命题4知：{1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 综上所述，结论成立.“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则由命题3知： 1f k n ⇒f （i →∞）综上述，结论成立.命题7 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ...n u c E−−−→f （m →∞）命题8 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得1f k n ..a c E−−→ f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ..a c E−−→ f （m →∞）. 命题7和命题8的结论是容易证明的，不再叙述.命题9 若f n ..n c E −−→f,则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→f(k →∞）命题10 ∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f （k →∞）⇔{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→ f （k →∞）命题11∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） ⇔ {kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得 1f k n ..a c E−−→ f （i →∞）. 由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论.经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下：从上图清楚你地看出，一致连续这个条件最强，所得到的结果也最多.参考文献[1] 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [2] 周明强. 实便函数论[M]. 北京：北京大学出版社，2007. [3] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社,2001. [5] 赵焕光. 实变函数[M]. 成都：四川大学出版社,2004.。

可测函数列稀有的几种收敛之相礼和热创作择要：本文引见了可测函数列稀有的几种收敛：同等收敛、几乎同等收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；同等收敛；几乎同等收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们晓得同等收敛是函数列很紧张的性子，比方它能包管函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一样平常而言函数列的同等收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也纷歧定是同等收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内纷歧致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内同等收敛，这不见阐明了同等收敛的特殊性，也验证了我们平常常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相反相成的”[1]1可测函数列几种收敛的定义1.1同等收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有则称}{()k f x 在E 上同等收敛到()f x ．记作：u k f f −−→(其中u 暗示同等uniform)．1.2点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛． 例1定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上纷歧致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上同等收敛到()f x ． 1.3几乎同等收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f −−→则称{()}k f x 在E 上几乎同等收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．暗示几乎同等almost uniform)．例2定义在[]0,1E =上的函数在[]0,1上收敛却纷歧致收敛．但是只需从[]0,1的右端点往掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就同等收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎同等收敛与0．1.4几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→ 若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在独一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令 恣意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无量多项为1，有无量多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．但是细致观察数列0{()}k f x 虽然有无量多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一现实可以用点集测度言语来刻画．只需k 充足大，对于01,ε<≤点集的测度非常小．现实上1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=．这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有其中02i δ-<．这个不等式阐明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种征象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将笼统出以下定义[3]： 设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处无限的可测函数．若对于恣意给定的0,ε>有则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2可测函数列几种收敛的关系2.1点点收敛与同等收敛的关系由上述定义我们可以晓得u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1．反之则纷歧定成立，如例2．而且还可以得到假如{()}k f x 可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2几乎处处收敛与同等收敛的关系由定义可知有同等收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则否则，如例2．而且还可以得到假如{()}k f x 可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．使用：从数学分析我们晓得同等收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3几乎处处收敛与同等收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB)定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列a.e ．收敛于一个a.e ．无限的函数f 的可测函数，则对于恣意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上同等收敛，且(\)m E E δδ<．注定理中“()m E <∞”不成往掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何负数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上纷歧致收敛于1．这是由于，当时(\)m E E δδ<时，E δ不克不及全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．以是()m x f 在E δ上纷歧致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不成往掉[4]．由定义我们晓得同等收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有紧密的关系，即便上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是同等收敛的(在除往一个测度为恣意小集合的子集上)．使用由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上a.e ．无限的可测函数，则对于恣意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．无限的可测函数“基本上”是连续的(在除往一个测度为恣意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．无限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，(1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩．然后将(0,1]四等分、八等分等等．一样平常的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐一的排成一列： ()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是由于对于任何的0σ>，或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n n j j -(当01σ<≤)，以是(当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见 ()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=，也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．现实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n 多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因此()0()1n j x f =，但是()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．以是序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就阐明依测度收敛的函数列纷歧定处处收敛，也就是说依测度收敛不克不及包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz)[5]设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}in f 在E 上a.e ．收敛于f ． 例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，且(,)m m +∞=∞．这阐明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又阐明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格(Lebesgue)[5]设mE <∞，{}n f 是E 上 a.e ．无限的可测函数列，{}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．无限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不成往掉，缘故原由参看例1．定理也阐明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判别依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}kn f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义晓得这时{}n f 的的任何子序列{}kn f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}kn f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列． （充分性）假如{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得不趋于0．因此必有子序列{}kn f ，使得 这样{}kn f 就不成能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}kn f 依测度收敛于f ，即这与上式矛盾，以是{}n f依测度收敛于f．使用依测度收敛在概率统计中有紧张的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的紧张根据，由中心极限定理我们可以晓得用一个正态分布来模仿一个样本容量较大的样本的概率分布，从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是独一的，而且从本文还可以晓得同等收敛是最强的收敛，它包含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有分歧的意义，在各种理论中作用也各分歧．参考文献：[1]马克思主义基来源根基理概论教材编写课题组．马克思主义基来源根基理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2]华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3]郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4]柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5]程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既根底[M]．高等教育出版社，2003,7．[6]夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与使用泛函分析根底[M]．上海科学技术出版社．1987．[7]茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．。

Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。

Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。

Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。

这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。

下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。

一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。

给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。

Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。

二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。

Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。

目录1．前言 (1)2．概念 (1)2.1 几乎处处收敛 (1)2.2 几乎一致收敛 (1)2.3 依测度收敛 (2)3．三种收敛性之间的区别 (2)3.1 存在可测函数列几乎处处收敛而不依测度收敛 (2)3.2 存在可测函数列依测度收敛而不几乎处处收敛 (2)3.3 存在可测函数列几乎处处收敛而不几乎一致收敛 (4)4．三种收敛性的充要条件 (4)4.1 几乎处处收敛的充要条件 (4)4.2 几乎一致收敛的充要条件 (4)4.3 依测度收敛的充要条件 (6)5．三种收敛性之间的联系 (6)5.1 几乎一致收敛与几乎处处收敛 (6)5.2 依测度收敛与几乎处处收敛 (8)5.3 依测度收敛与几乎一致收敛 (10)5.4 三种收敛之间的关系图： (11)6．结论 (11)7．致谢 (12)8．参考文献 (13)n f 可测函数列三种收敛性的区别与联系摘 要： 对于可测集合E 上的几乎处处有限的可测函数列n f 来说有三种常见类型的收敛：几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛。

本文首先介绍可测函数列三种收敛的概念，并讨论几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛三者之间的关系。

这几种概念是伴随测度的建立而产生的新的收敛性，相对其他两种收敛性来说，依测度收敛的收敛条件是比较弱的，与熟知的处处收敛有很大的差异。

Egorov 定理、Riesz 定理和Lebesgue 定理等揭示了这几种收敛之间的关系。

关键词： 几乎处处收敛 几乎一致收敛 依测度收敛 中图分类号：O 17Difference and Connection between Three Types of Convergence of Measurable Function SequenceJiang Zhong (Tutor ：You Xuexiao)(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi Hubei435002,China)Abstract : For the measurable function sequencewhich is finite almost everywhere on the measurable set E ,there are three types of common convergence: convergence almost everywhere, convergence almost uniform and convergence in measurable. This article has first described the concepts of those three types of convergence, and then discussed the relationship among convergence almost everywhere,convergence almost uniform and convergence in measurable . Those concepts are the new convergence,which are arised with the establishment of measure. Comparing with the other twotypes of convergence, the conditions of convergence inmeasurable are relatively weak, and has large differencewith the well-known convergence almost everywhere. TheEgorov theorem, Riesz theorem and Lebesgue theorem and soon reveal the relationship among these types of convergence.Keywords: Convergence almost everywhere Convergence almost uniform Convergence in measurable可测函数列三种收敛性的区别与联系蒋忠（指导教师，游雪肖）（湖北师范学院 数学与应用数学 湖北 黄石 435002）1．前言本文介绍了几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛，它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性。

实变函数试题库一、填空题1.设1[,2],1,2,,n A n n==则lim ____________.n n A →∞=2.()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为 .3.设E是2R中函数1cos 0 00x x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，，的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4.若集合nE R ⊂满足E E '⊂, 则E 为__________集.5.若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:____.6.设E 是闭区间[]a b ，中的全体无理数集, 则_________.mE =.7.若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上 .8.设nE R⊂,0nx R ∈,若____________________,则称x 是E 的聚点.9.设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有_____________, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10.设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j n f x , 使得___________.11. 11,1n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭=______________. 12.111,n n n n n ∞=-+⎛⎫⎪⎝⎭= ______________. 13. (0,1)到(,)a a b +的双射是______________.14. E 的全体聚点所组成的集合包含于E 的充要条件是______________.15. [0,1]中无理数集的外测度为______________.16. nR 中所有开集生成的σ代数记为B ，称B 中的集合为______________.17. 若*0m A =，则对任意的点集B ，必有*()m AB =______________.18. 当E 为闭区间时，*m E =______________.19. 设函数()f x 在可测集E 上几乎处处有限，若对任意给定的0δ>，存在E 中的一个闭集F ，使(\)m E F δ<，且()f x 在F 上连续，则()f x 是可测集E 上的 ______________.20. 是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写）______________. 21．如果___________，则称E 是自密集，如果_____________，则称E 是开集，如果_____________，E E ⊂'则称E 是______________.22．设G 表示为一列开集}{i G 之交集：∞==1i iG G ，则G 称为______________.23. 若F 表示为一列闭集}{i F 之并集：∞==1i iF F ，则F 称为______________.24. ,a b R ∀∈(b a >)，f 在E 上可测，则()E f a ≥-()E f b ≥= ______________. 25. Cantor 集的外测度为______________. 26．(Fatou 引理)设}{n f 是可测集qR E ⊂上一列非负可测函数，则__________.二、选择题1. 设C 为[0,1]中Cantor 集, 则下面说法错误的是: ( ) A. C 是闭集. C. C =∅. B. C 是完全集. D. C 是可数集2. 设()f x , ()()1,2,k f x k =是上几乎处处有限的可测函数, 关于函数列(){}k f x 的各种收敛性之间的关系, 正确的是( )A. 若()(),m k E f x f x −−→ 则()()..a e k E f x f x −−→. B. 若()()..a e k E f x f x −−→, 则()().m k Ef x f x −−→C. 若()m E <+∞, 且()(),m k E f x f x −−→ 则()()..a e k E f x f x −−→. D. 若()m E <+∞, 且()()..a e k E f x f x −−→, 则()()m k Ef x f x −−→. 3. 下列关于开集和闭集的性质中, 错误的是( ) A. ,n R ∅既是开集, 又是闭集. B. n R 中的开集和闭集一样多.C. 设1{}k k G ∞=是nR 中的一个开集列, 则其并集1k k G ∞=是开集.D. 设1{}k k F ∞=是nR 中的一个闭集列, 则其交集1k k F ∞=是闭集.4. 在下面命题中正确的是( ) A.若E 为n R 中的无界集, 则()m E =+∞.B. 若E 为n R 中的可测集, 且E 中至少有一个内点, 则()0m E >.C. 设E 是[]0,1中的可测集, 且()1m E =, 则()1m E =. D. 若()0m E =, 则E 为n R 中的可数集. 5. 下列命题正确的是( )A. 若()f x 在点集E n R ⊂上可测, 则()f x 在E 上可测, 反之亦然.B. 若()f x 在点集E n R ⊂上可测, 则()2f x 在E 上可测, 反之亦然.C. 若()f x 在点集上可测, 则()3f x 在E 上可测, 反之亦然.D. 设点集E n R ⊂, 则()E x χ是n R 上的可测函数. 三、判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1.若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.2.设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.3.点集1{12}E n=，，，，是闭集. 4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若nE R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.6. 若E 与它的真子集对等，则E 一定是有限集．7. 凡非负可测函数都是L 可积的．8.设A 为1R 空间中一非空集，若.a A ≤'则.a A ≤9.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ⊂，且0)(=-F E m ．10.)(x f 在[]b a ,上L 可积，则)(x f 在[]b a ,R 可积且[]⎰⎰=b a ba dx x f R dx x f L ,)()()()(四、计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设ni E R E B ⊂⊂，,且i B 为可测集, 1,2,i =.根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4.设P 是集, 32ln(1),() , [0,1]x x P f x x x P ⎧+∈⎪=⎨∈-⎪⎩，求10()()d . L f x x ⎰.5.设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为1126n n =，，，， 求10()d . f x x ⎰. 6.求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集． 8.nR 上全体有理数点集的外测度为零． 9.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E，则h f ≤e a .于E ．10.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0)()(lim 0=-+⎰→dx x f t x f ba t ．11. 1220lim()sin 1m mxL mxdxm x →∞+⎰.12、证明 1lim =n mn n m nA A ∞∞→∞==。

可测函数列的几种收敛的关系
1. 一致收敛：如果函数列 {fn(x)} 对于任意给定的ε > 0，都存
在一个 N，使得当 n > N 时，对于任意的 x ∈ E，都有|fn(x) − f(x)| < ε，则称函数列 {fn(x)} 在 E 上一致收敛于 f(x)，记作
fn(x) → f(x) (x ∈ E)。

一致收敛意味着收敛速度足够快，也意
味着极限函数与原函数的交换次序是可以进行的。

2. 逐点收敛：如果对于任意的 x ∈ E，函数列 {fn(x)} 都收敛
于 f(x)，即lim_n→∞ fn(x) = f(x)，则称函数列 {fn(x)} 逐点收
敛于 f(x)，也叫点态收敛。

3. 均方收敛：如果对于任意的ε > 0，有lim_n→∞ ∫[a,b] |fn(x)
− f(x)|² dx = 0，则称函数列 {fn(x)} 在 [a,b] 上均方收敛于 f(x)，记作 fn(x) ⇀ f(x) (a ≤ x ≤ b)。

均方收敛意味着收敛速度足够快，但是极限函数与原函数的交换次序一般是不可进行的。

4. 平均收敛：如果对于任意的ε > 0，有lim_n→∞ ∫[a,b] |fn(x)
− f(x)| dx = 0，则称函数列 {fn(x)} 在 [a,b] 上平均收敛于 f(x)，记作 fn(x) ⟶f(x) (a ≤ x ≤ b)。

平均收敛比逐点收敛更强，但是
收敛速度可能不够快。

83§3.2 可测函数的收敛性教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.设),,(µF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念.几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ⊂), 则称P (关于测度µ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.−µ, 或者)(x P a.e.在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x µ 特别地, 当测度空间),,(µF X 是完备的时候如此.例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e.例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ∉时,+∞<f 则称f 是几乎处处有限的, 记为+∞<f , a.e.注1 设f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集N, 使得当N x ∉时.+∞<f 令.~c N fI f = 则f ~是处处有限的可测函数并且 a.e..~f f =因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的.注意, f 几乎处处有限与 a.e.M f ≤是不同的概念. a.e.M f ≤表示84存在一个零测度集N , 使得f 在c N 上有界. 显然 a.e.M f ≤蕴涵f 几乎处处有限. 但反之不然. 例如, 设),10(1)(≤<=x xx f .)0(+∞=f 则f 在)1,0(上关于L 测度是几乎处处有限的, 但在)1,0(中并不存在一个L 零测度集N 和,0>M 使得在N −)1,0(上, .)(M x f ≤ 初学者常常在这里发生误解, 应当引起注意.可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性. 设E 是X 的子集. )1(,≥n f f n 定义在E 上的函数. 若对任意0>ε, 存在,0>N 使得当N n ≥时, 对一切E x ∈成立,)()(ε<−x f x f n 则称}{n f 在E 上一致收敛于f , 记为..un f f n →定义1 设}{n f 为一可测函数列, f 为一可测函数.(1) 若存在一个零测度集N , 使得当N x ∉时, 有)()(lim x f x f n n =∞→, 则称}{n f 几乎处处收敛于f , 记为f f n n =∞→lim a.e., 或f f n → a.e.. (2) 若对任给的0>ε, 总有.0})({lim =≥−+∞→εµf f n n则称}{n f 依测度收敛于f , 记为.f f n → µ(3) 若对任给的0>δ, 存在可测集δE , δµδ<)(E , 使得}{n f在c E δ上一致收敛于f , 则称}{n f 几乎一致收敛于f , 记为n nf lim =f a.un., 或 f f n → a..un..容易证明, 若将两个a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若,a.e.f f n → g f n → a.e., 则g f = a.e.. 其证明留作习题.例3 设))),,0[(),,0([m +∞+∞M 为区间),0[∞+上的Lebesgue 测度空间. 其中)),0[(+∞M 是),0[∞+上的L 可测集所成的σ-代数, m 是1R 上的L 测度在),0[∞+上的限制. 令85.1),(1)(),1(≥−=n x I x f n n n则对任意,0>x ).(0)(∞→→n x f n 当0=x 时)(x f n 不收敛于0. 但,0})0({=m 因此在),0[∞+上.0a.e. → n f 由于对,21=ε ).(,0)),[]1,0([})21({/+∞→ → +∞=+∞∪=≥n n n m f m n 因此}{n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测度收敛.例4 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,)(≥=n x x f n n则对任意0>δ, }{n f 在]1,0[δ−上一致收敛于0.由于δδ=−])1,1((m 可以任意小, 因此0a..un. → n f . 又显然.0a.e. → n f例5 设)]),1,0[(],1,0[(m M 是]1,0[上的Lebesgue 测度空间. 令.1,,,1,1[≥=−=n n i ni n i A i n L 将}{i n A 先按照n 后按照i 的顺序重新编号记为}{n E . 显然.0)(→n E m 令)()(x I x f n E n =, 1≥n ,.0)(=x f对任意0>ε, 由于.,0)(})({∞→→=≥−n E m f f m n n ε故}{n f 依测度收敛于f . 但}{n f 在]1,0[上处处不收敛. 事实上, 对任意]1,0[0∈x , 必有无穷多个n E 包含0x , 也有无穷多个n E 不包含0x . 故有无穷多个n 使得,1)(0=x f n 又有无穷多个n 使得.0)(0=x f n 因此}{n f 在0x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大.几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明).引理2 设+∞<)(X µ. 若.a.e.f f n → 则对任意0>ε有86.0)}{(lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 证明 设0>ε是一给定的正数. 任取X x ∈, 若对任意,1≥n 存在,n i ≥ 使得.)()(ε≥−x f x f i 则)()(x f x f n 不收敛于. 这表明IU ∞=∞=≥−1}{n n i i f fε)}.()(:{/x f x f x n → ⊂由于,a.e.f f n → 因此由上式知道.0}{1=≥−∞=∞=IU n n i i f f εµ 由于+∞<)(X µ, 由测度的上连续性, 我们有0}{}{lim 1=≥−= ≥−∞=∞=∞=∞→IU U n n i i n i i n f f f f εµεµ. ■ 容易证明, 若,a..un.f f n → 则f f n → a.e.(其证明留作习题). 下面的定理表明当+∞<)(X µ时, 其逆也成立.定理3 (叶戈洛夫)若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.a..un.f f n →证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → 由引理2 , 对任意0>ε, 有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 于是对任意的0>δ和自然数1≥k , 存在自然数k n 使得.2}1{k n i i k k f f δµ< ≥−∞=U 令.}1{1U U ∞=∞=≥−=k n i i kk f f E δ 由测度的次可数可加性我们有 .2}1{)(11δδµµδ=≤ ≥−≤∑∑∞=∞=∞=k k k n i i k k f f E U 往证在c E δ上, }{n f 一致收敛于f . 事实上, 由De Morgan 公式得87.1,}1{}1{1≥<−⊂<−=∞=∞=∞=k k f f k f f E kk n i i k n i i c I I I δ (1) 对任意0>ε, 取k 足够大使得.1ε<k则由(1)式知道, 当k n i ≥时对一切c E x δ∈, 有.1)()(ε<<−kx f x f i 即在c E δ上}{n f 一致收敛于f . 这就证明了f f n → a..un.. 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件+∞<)(X µ不能去掉. 例如, 若令),()(),[x I x f n n +∞= .1≥n 则}{n f 在1R 上处处收敛于0. 但容易知道}{n f 不是几乎一致收敛于0.定理4 若+∞<)(X µ, 则f f n → a.e.蕴涵.f f n → µ证明 设+∞<)(X µ, .a.e.f f n → . 由引理2 , 对任意0>ε有.0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 由测度的单调性立即得到()≤≥−∞→}{lim εµf f n n .0}{lim =≥−∞=∞→U n i i n f f εµ 即.f f n → µ ■ 本节例3表明, 在定理4中, 条件+∞<)(X µ不能去掉.定理5 (Riesz)若,f f n → µ 则存在}{n f 的子列}{k n f , 使得.a.e.f f k n →证明 设.f f n → µ 对任意0>ε和0>δ, 存在1≥N , 使得当Nn ≥时, 有δεµ<≥−})({f f n .于是对任意自然数1≥k , 存在自然数k n , 使得.21})1({k n k f f k <≥−µ (2)88我们可适当选取k n 使得L ,2,1,1=<+k n n k k . 往证.a.e.f f k n → 令L I ,2,1,}1{=<−=∞=i k f f E ik n i k . 对任意i E x ∈, 当i k ≥时, .1)()(kx f x f k n <− 这表明}{k n f 在i E 上收敛于f . 令.1U ∞==i i E E 则}{k n f 在E 上收敛于f . 往证.0)(=c E µ 由De Morgan 公式, 我们有.}1{11I IU ∞=∞=∞=≥−==i i i k n c i c k f f E E k 利用(2)容易得到.1)(1≤c E µ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有.021lim })1({lim }1{lim )(=≤≥−≤ ≥−=∑∑∞=∞→∞=∞→∞=∞→i k k i ik n i ik n i ck f f k f f E k k µµµU 这就证明了.a.e.f f k n → ■定理6 设+∞<)(X µ. 则f f n → µ当且仅当}{n f 的任一子列}{k n f 都存在其子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n证明 必要性(此时不需设+∞<)(X µ). 设.f f n → µ 显然}{n f 的任一子列}{k n f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在}{k n f 的子列}{k n f ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n充分性. 用反证法. 若}{n f 不依测度收敛于f , 则存在,0>ε 使得.0}({/ → ≥−εµf f n 于是存在0>δ和}{n f 的子列}{kn f , 使得 .})({δεµ≥≥−f f kn 由此知}{k n f 的任何子列}{k n f ′都不能依测度收敛于f . 由定理4, }{k n f ′也不89能a.e.收敛于f . 这与定理所设的条件矛盾. 故必有.f f n → µ ■定理5和定理6给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题. 而几乎处处收敛是比较容易处理的.例 6 设)1(,,,≥n g f g f n n 是有限测度空间),,(µF X 上的几乎处处有限的可测函数, ,f f n → µ .g g n → µ 又设h 是2R 上的连续函数. 则).,(),(.g f h g f h n n → µ特别地, .fg g f n n → µ证明 不妨设)1(,,,≥n g f g f n n 都是处处有限的. 设),(k k n n g f h 是),(n n g f h 的任一子列. 由定理6, 存在}{k n f 的子列}{k n f ′使得).(a.e.∞→′ → ′k f f k n 同理存在}{k n g ′的子列, 不妨仍记为}{k n g ′, 使得).(a.e.∞→′ → ′k g g k n 既然h 是连续的, 因此有).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′这表明),(n n g f h 的任一子列),(k k n n g f h , 都存在其子列),(k k n n g f h ′′使得).,(),( a.e.g f h g f h k k n n → ′′ 再次应用定理6, 知道).,(),(.g f h g f h n n → µ 特别地, 若取,),(xy y x h = 则得到.fg g f n n → µ ■小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛性之间有一些蕴涵关系. 其中最重要的是Egorov 定理和Riesz 定理.利用Riesz 定理,可以把较难处理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.习题 习题三, 第18题—第28题.。

由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理学院：统计与数学学院 班级：09信息与计算科学摘要：可测函数列的收敛性有很多种,如几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛等.叶果洛夫(Egoroff)定理给出了几乎处处收敛与几乎一致收敛的某种关系,黎茨(Riesz)定理给出了依测度收敛与几乎处处收敛的某种关系,那么几乎处处收敛与依测度收敛还有什么关系？本文就此问题进行证明.关键字：叶果洛夫(Egoroff)定理、勒贝格(Lebesgue)定理、依测度收敛、几乎处处收敛定义1 如果存在P E ⊂,0P μ=使在E P -上{}n f 收敛于f ,则称{}n f 几乎处处收敛于f ,记为..a e n f f −−→.定义2 (1)如果0ε∀>,∃自然数N ,当n N >时对一切x E ∈,有|()()|n f x f x ε-<,则称{}n f 一致收敛于f .(2)如果0δ∀>,存在可测子集E E δ⊂使()E E δμδ-<且在E δ上n f 一致收敛于f ,则称{}n f 基本一致收敛于f 或几乎处处一致收敛于f .定义3 如果0σ∀>,成立[]lim ||0n n E f f μσ→∞-≥=,则称{}n f 依测度收敛于f ,记为n n f f f f μ⇒−−→或.定理一(叶果洛夫(Egoroff)定理) 设E μ<+∞,{}n f 是E 上一列可测函数且..e α收敛于一个..e α有限的可测函数f ,则{}n f 基本一致收敛于f ,即0δ∀>,E E δ∃⊂使()E E δμδ-<且在E δ上一致收敛于f .定理二(叶果洛夫(Egoroff)定理的逆定理) 设{}n f 是定义在可测集E 上的一列可测函数,且在E 上n f 基本一致收敛于f ,则在E 上必有..a e n f f −−→.定理三(黎茨(Riesz)定理) 设{}n f 是定义在可测集E 上的一列可测函数,且在E 上n f f ⇒,则存在{}n f 的子序列{}j n f 使在E 上..()ja e n f f j −−→→∞ 定理四(勒贝格(lebesgue)定理) 设E μ<+∞,{}n f 是定义在E 上的一列可测函数,且在E 上..a e n f f −−→,则n f f ⇒.定理中的条件：1E μ<+∞2{}()n f x 是E 上一列几乎处处取有限的可测函数 3lim ()()..n n f x f x a e →∞=于E ,|()|..f x a e <+∞于E .n f f ⇒的含义是：对于事先给定的无论怎样小的误差σ,使|()()|n f x f x σ-≥那些点x 的集合的测度随n 无限增大而趋于0,[]lim ()0n n E f f μσ→∞-≥=可以用N εσ--语言描述为0σ∀>,0ε>,E 自然数(,)N σε∈当n N ≥时有[]||n E f f μσε-≥<.证明：由叶果洛夫(Egoroff)定理0ε∀>,∃可测子集E E ε⊂使()E E εμε-<且{}()n f x 在E E ε-上一致收敛于()f x由一致收敛性定义可知：对任意0σ>,∃自然数N 当n N ≥时 恒有|()()|n f x f x δ-<,x E ε∈ 当 n N ≥有[]|()()|n Ef x f x E E εδ-≥⊂-所以 当n N ≥有[]|()()|()n E f x f x E E εμδμε-≥≤-<所以根据n f f ⇒的含义再由[]|()()|()n E f x f x E E εμδμε-≥≤-< 可得()()n f x f x ⇒ 即n f f ⇒注意：1定理E μ<+∞的条件不可少 取(0,)E =+∞,令()1f x ≡且n=1,2,3…显然()()n f x f x →在E 上处处成立,但()0,1δ∀∈有()()||,n E f f n δ-≥=+∞,()||n E f f μδ-≥=+∞在E 上{}n f 不依测度收敛于f.2勒贝格(lebesgue)定理的逆定理不成立取(0,1]E =并令()()n j f x = (n=1,2,3…;j=1,2,3….) 把(){}n j f 中的函数先按n 的大小,再按j 的大小排成(1)1()f x ,(2)1()f x ,….()1()n f x …(1)2()f x ,(2)2()f x …()2()n f x …设()()n j f x 是这序列第N(n,j)项,即()()()n j N f x f x =0δ∀>有[]|0|=|0|nN j E f E f μδμδ⎡⎤-≥-≥≤⎣⎦0(当N →∞)时即0()N f N ⇒→∞ 但当0(0,1]x ∀∈时,无论n 如何j ∃使01(,]22n nj jx -∈ 因()0()1n j f x =而()10()0n j f x +=或()10()0n j f x -=这就是说()0{()}n j f x 中即含有恒等于1的子列又含有等于0的子列 所以它是发散的参考文献：实变函数与泛函分析简明教程 高等教育出版社 张晓岚编著。

可测函数列的几种收敛性关系段胜忠;杨国翠【摘要】对可测函数列的几种收敛性的定义和性质进行归纳和总结,讨论他们之间的关系,并给出相应的证明,从而使各种收敛之间的关系更加明了.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2014(033)005【总页数】3页(P12-14)【关键词】可测函数列;一致收敛;几乎处处收敛;依测度收敛;强收敛;弱收敛【作者】段胜忠;杨国翠【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛、强收敛、弱收敛是经典实变函数和泛函分析理论中几种重要的收敛关系。

本文的目的在于对可测函数列的几种收敛性的相互关系给出总结和证明，从而为偏微分方程研究中所使用的弱收敛方法提供理论依据。

定义1.1设fn(x)(n=1,2,3…)，f(x)均为定义在可测集Ω上的几乎处处有限的可测函数，若满足，则称{fn(x)}在Ω上一致收敛于f(x)，记为定义1.2设{fn(x)}是定义在可测集Ω上的一列可测函数，若存在Ω中的点集E，满足m(E)，∀x∈Ω\E，则称{fn(x)}在Ω上几乎处处收敛于f(x)，记为fn(x)→f(x),a.e.于Ω。

定义1.3设{fn(x)}是定义在可测集Ω上的一列可测函数，若∀σ＞0有0，则称函数列{fn(x)}在Ω上依测度收敛于f(x)，记为fn(x)⇒f(x)。

定义1.4设fn(n=1，2，3…)，f∈Lp(Ω)，若当n→∞时，有||fn-f||→0，则称fn强收敛于f，记为定义1.5设fn(n=1,2,3…)，f∈Lp(Ω)，若对每一个g∈Lq(Ω)（q为p的共轭数），当n→∞时，有则称fn弱收敛于f，记为fn(x)（1）一致收敛与几乎处处收敛的关系若函数列fn(x)一致收敛于f(x)，则几乎处处收敛于f(x)。

逆命题一般不成立。

例如函数列fn(x)=xn(n=1,2,3…)在Ω=［0,1］上几乎处处收敛于零,但并不一致收敛于零。

可测函数（一）可测函数的定义1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：∀a∈R, 有{x |f(x) > a}可测，则f(x) 可测；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},满足limφn = f (x) , 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n→∞通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。

2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。

简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。

通过简单函数，对可测函数及L 积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。

3、可测函数列的等价条件。

（二）可测函数列的收敛性由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。

实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。

对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。

可测函数列{f n (x) }处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。

(x) }几乎处处收敛（2）若{f n (x) }依测度收敛f(x)，则必有子列{f ni于f (x)。

（3）几乎一致收敛函数列{f n(x)}一定依测度收敛于同一函数；反之，若{fn (x) }依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x) 。

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。

鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。

单调测度空间上可测函数序列的收敛性定理王玉环;胡小莉;李军【摘要】本文给出了单调测度空间上可测函数序列的几个收敛性定理.经典测度论中相应的一些结果得到进一步推广.【期刊名称】《中国传媒大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(023)002【总页数】9页(P57-65)【关键词】单调测度;几乎处处收敛;依测度收敛【作者】王玉环;胡小莉;李军【作者单位】中国传媒大学,北京100024;中国传媒大学,北京100024;中国传媒大学,北京100024【正文语种】中文【中图分类】O159在经典测度(即可加测度)理论中，Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理等几个著名定理刻画了可测函数序列的几种收敛性之间的关系。

在非可加测度理论中，由于失去了在经典测度论中这些定理赖于生存的σ-可加性，因此可加测度理论中的许多重要结论在非可加测度情形中已失效。

测度论中的许多重要定理对于仅有单调性的非负集函数不再成立。

另一方面，测度的σ-可加性对于这些经典定理仅仅是充分的而不是必要的。

因此，要使测度论中的许多重要定理在非可加测度理论中仍然成立，那么必须在集函数满足单调性的基础上附加较σ-可加性更弱的一些结构。

在文献[1，2，3，6]中，关于可加测度的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理被有效地推广到了非可加测度空间上(更详细的综述见文献[4])。

本文中我们进一步讨论单调测度空间上可测函数序列的收敛性。

经典测度论中与上述重要定理相关的一些结果([7])被推广到了单调测度空间。

在单调测度空间中附加集函数的不同的连续性，可得到可测函数序列几乎处处收敛或者几乎一致收敛的充分必要条件。

我们还将呈现一种强形式的Lebesgue定理。

设X是一个非空集合，∑是由X的某些子集组成的σ-代数，并设集函数是一个单调测度(或称单调集函数)，即μ满足以下条件：(1)μ(φ)=0；(2)∀A，B∈∑，A⊂B⟹.当μ是单调测度时，称为单调测度空间.定义2.1[5] 可测函数序列称在X上几乎处处收敛于f，记作f，如果存在可测子集E⊂X，满足=0且在X\E上， .定义2.2[5] 可测函数序列称在X上几乎一致收敛于f，记作f，如果对于任意的ε>0，存在一个子集Eε∈∑，满足<ε且在Eε上，fn一致收敛于.定义2.3[5] 设是一个单调测度，如果对于∀⊂∑且An↑A，必有，则称为μ为下连续的.定义2.4[5] 设是一个单调测度，如果对于∀{An}⊂∑且An↓A，且存在某个n0使得<∞，必有，则称为μ是上连续的.定义2.5[2] 设是一个单调测度，如果对于∀⊂∑且An↓A，并且，有，则称μ是强序连续的.定义2.6[4] 单调测度称为σ-弱零可加，如果对于∀⊂∑且，有.定义2.7[1] 单调测度称满足条件，如果对于满足下列条件的每一组双重序列⊂：对于任意固定的m=1、2…，和，存在单调递增的自然数序列i∈N和i∈N，使得.定义2.8 设，…是可测集E∈∑上几乎处处有限的可测函数，是一个单调测度，若对任给的ε>0，有则称在E上强依测度收敛于，记作f.在文献[1]中，呈现了单调测度空间上的Egoroff定理，我们陈述如下：定理3.1[1] 设是单调测度空间，则对于任意的f和n，⟹当且仅当μ满足条件.下面我们给出单调测度空间上Egoroff定理的另一种形式。

函数收敛的语言实变函数分析语言和集合语言间的转换：背景：已知是可测集上的可测函数列，为上的可测函数，而有零测子集；让在或者上一致收敛是不可能的，我们只能考察是否存在一致收敛的子列，或者将限制在一个比或稍小的集合上使得在这个集合上一致收敛；这里我们先从里不收敛至的点集开始着手；不收敛于的一系列语言描述：分析语言：；集合语言：；解读：对于分析语言，对不同的，可能各不相同，这一点在集合语言里就得以体现出来了：对应于；对应，这个集合把的关系均反映出来了；而对于不同的，可能是不同的，则构造出这样的集合，这个集合表示了所有不收敛的点构成的集合；由于可能有不可数多个，为了保证不可数多个可测集的并集还是可测的，需要将集合的并运算可数化（，则当时，有）；2、函数的逼近相关概念：背景：函数逼近常常是用我们认为好（或者说简单，易于理解）的函数去逼近我们认为不好（或者说复杂，难于理解）的函数，通常我们采用不同的收敛意义对不好的函数进行逼近，因此函数逼近可以相应的有很多含义。

首先，我们将所有能用得到的函数列的收敛意义的概念进行整理：收敛/：对于固定的，，（或者称），当时，有，这里称为极限函数；逐点收敛：，，（或者称），当时，有，这里称为极限函数；此时函数列的逐点收敛和函数列的收敛是一个含义；一致收敛：，（或者称），当时，，有，这里称为极限函数；同时额外给出其他两个常见的判别法：柯西（Cauchy）准则：，，当时，，，有在定义域上一致收敛到；余项准则：在定义域上一致收敛到；几乎处处收敛：已知为上的广义实值函数，若满足和两个条件，则称在上是几乎处处收敛于；每个收敛性的关系：对于逐点收敛和一致收敛，逐点收敛是指在每个点，函数列都收敛到，但是不同点收敛快慢可能不一样；而一致收敛是指对所有定义域中的，收敛到有几乎相同的收敛速度；那么十分明显的是，一致收敛能推出收敛/逐点收敛/处处收敛，而处处收敛能推出几乎处处收敛，所以收敛性的强度比较是：一致收敛收敛/逐点收敛/处处收敛几乎处处收敛。