利用轴对称求最短距离问题

第一章平移、对称与旋转第4 讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。

另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。

（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。

）三、重难疑点•轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1）AB与AP+PB相等吗为什么（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点，••• PB=PB ,••• AB =AP+PB , ••• AB =AP+PB(2)如图：连接 AN, BN B ' N,TAB' =AP+PB• AN+NB=AN+NB> AB', • AN+N > AP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想,利用两点之间的线段最短得出结果。

13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。

轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。

根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。

2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。

3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。

4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。

5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。

6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。

7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。

以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。

加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?·B ·A·B·Aa·B·Aa·A′图1M·A′MNa 图2图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。

设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。

在连接A′B的线中，线段A′B最短。

因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。

如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。

因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。

∴AM+BM= A′M+BM= A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。

点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。

思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，1159AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF22292525中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长222得AE＝BE＝最小， y值略。

数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。

使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。

奶站问题的讨论以及解决策略奶站问题中中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”。

一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。

基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）2、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．应用1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174C 、17178D 、33、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小4、两个点在矩形内部例：已知矩形ABCD 内有两个点M 、N ，过M 击球到CD 边P ，然后击到BC 边Q ，然后到N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。

与轴对称相关的线段之和最短问题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。

通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。

本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。

若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。

二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。

使四边形PAQB 的 周长最小。

为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型 (一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少 作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E 中，ME B'CDAAE = AC+CE = 10+30 = 40EB' = 30所以：AB' = 50总费用为：50×3 = 150万2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

三角形第3节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。

所以最短路径问题，需要考虑轴对称。

典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′.∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′，AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+【诊断自测】1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为3，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 的坐标为（1，0），P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（ ）A ．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.答案：见解析解析：（1）∵M与P关于OA对称∴OA垂直平分MP.∴EM=EP.又∵N与P关于OB对称∴OB垂直平分PN.∴FP=FN.∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，∵OA垂直平分MP，∴OM=OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON=OP.∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.∴∠MON=2∠AOB=70°∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．2B． C．20 D．2答案：A解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==2．故选：A．例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。

利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。

二、典型例题：（1）、以菱形为媒介的最短距离问题：如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是多少？（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E 分析：根据“两点之间线段最短”，可知：连接AB，与直线的交点即为P点.此基本类型为：一线（直线）两定点（点A、B）。

分析：作点A关于直线的对称点A′，连接AA′，则直线就是线段AA′的垂直平分线，根据“垂直平分线上一点到线段两端点的距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A′的距离。

事实上，这个问题就可以转化成：在直线异侧各有点A′、B,在直线上找一点p，使PA′+PB最小。

即：一线两定点的问题。

由（1）得，连接BA′，与直线的交点即为点P。

分析：由题意知：首先找点B或者点M关于AC所在直线的对称点。

由菱形的轴对称性不难发现：点D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。

那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。

由正方在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？（3）、以圆为媒介的最短距离问题：如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值（4）、以二次函数为媒介的最短距离：如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y 轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P 点坐标。

三、巩固加深：（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°, ∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC 的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB及直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要及河垂直）解：1.将点B 沿垂直及河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸及点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

重难点：轴对称之“将军饮马”模型【知识梳理】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P 使得PA +PB 最小？这个问题的难点在于PA +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接PA ’，则PA ’=PA ，所以PA +PB =PA ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，PA ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军营河类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【考点剖析】 类型一：两定一动 例1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】 在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式1】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM+PN+MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P’、P’’，化PM+PN+MN 为P’N+MN+P’’M ．当P’、N 、M 、P’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．P OBAMNP''A类型二：两定两动例2.如图，已知直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线l 2的距离为4，PQ =304，在直线l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且P A +AB +BQ 最小，此时P A +BQ =______．【答案】16． 【详解】作PE ⊥l1于E 交l2于F ，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l2于B ，作BA ⊥l1于A ，此时PA+AB+BQ 最短．作QD ⊥PF 于D ．在Rt △PQD 中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ，∴四边形ABCP 是平行四边形，∴PA=BC ，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．【变式1】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为A()A．3B．4C．D．【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．【变式2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是A B．2C．D．4【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．EAFC D B()NMDCBAB C类型三：一定两动例3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。

中考数学高频考点突破——轴对称的应用——最短距离问题一、综合题1．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c 的图象经过点A （2，0），B （5，0），过点D （0， 54）作y 轴的垂线DP 交图象于E 、F ．（1）求b 、c 的值和抛物线的顶点M 的坐标；（2）求证：四边形OAFE 是平行四边形；（3）将抛物线向左平移的过程中，抛物线的顶点记为M′，直线DP 与抛物线的左交点为E′，连接OM′，OE′，当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式． 2．（1）问题提出：如图①在 ABC 中， AD 是 ABC 边 BC 的高，点E 是 BC 上任意一点，若 3,AD = 则 AE 的最小值为_ ；（2）如图②，在等腰 ABC 中， ,120,AB AC BAC DE =∠=︒ 是 AC 的垂直平分线，分别交 BC AC 、 于点 D E 、 ， 1DE cm = ，求 ABD 的周长；（3）问题解决：如图③，某公园管理员拟在园内规划一个 ABC 区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路 AB BC 、 和 AC ，满足 90,BAC ∠=︒ 点 A 到 BC 的距离为 2km .为了节约成本，要使得 ,,AB BC AC 之和最短，试求AB BC AC ++ 的最小值(路宽忽略不计).3．（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD 中， 10AD = ， 12AB = ，点E 为AD 的中点，点P 为矩形ABCD 内以BC 为直径的半圆上一点，则PE 的最小值为 ；（2）【问题探究】如图2，在ABC 中，AD 为BC 边上的高，且 4AD BC == ，点P 为 ABC 内一点，当 12PBC ABC S S = 时，求 PB PC + 的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC ，如图3， 2003BC = 米，90C ∠=︒ ， 60ABC ∠=︒ ，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P ，使得120APB ∠=︒ ，并在 ABP 内种植当季蔬菜，边BC 的中点D 为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC 边上取点E ，并沿PE 、DE 修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（ PE DE + ）尽可能小，问 PE DE + 的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.4．如图1，已知直线l 的同侧有两个点A ，B ，在直线l 上找一点P ，使P 点到A ，B 两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l 的对称点，对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(5，4)，动点P 在x 轴上，求PA+PB 的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，则CF+EF+DE 的最小值为 。

最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题问题作法图形原理类型一BA 连接AB，与l的交点即为点PPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短类型二 BAl 作点A关于l的对称点A’,连接A’B,与l的交点即为点PBAPA’AP+PB的最小值为A’B的值，两点之间，线段最短类型三L2PL1在直线l1，l2上分别找点M,N，使△PMN周长最小分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P’,P’’,连接P’P’’,与两直线的交点为M,NL2P’’M PN L1P’PM+PN+MN的最小值为P’P’’的值，两点之间，线段最短类型四L1PQL2在直线L1,L2上分别找点M,N，使四边形PMNQ的周长最小做点P,Q分别关于直线L1,L2的对称点P’,Q’,连接P’Q’,与两直线的交点M,NL1M PQN L2PM+MN+PN的最小值为P’Q’的值，两点之间线段最短（二）用平移解决造桥选址问题例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ aMN由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。

这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小？如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。

因此，线段A’B最短。

因此，线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。

L2A MA’ BN例2，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。

现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？PL1L2Q 1L2解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。

轴对称--最短路径问题1、如果A,B 两个村庄位于小河MN 的同侧，如图,为了解决两村村民的喝水问题，政府决定在小河边挖一口井，并使井到A,B 两村距离和最短，请你找出适合挖井的位置.NMBA2、如图，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 周长最短.3、如图，点P 为马厩，AB 为草地边缘（下方为草地），CD 为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.4、如图，已知点A(-2，1)及点B(3，4)，在x 轴上取一点C ，C'，通过作图可知，当点C 的坐标为 时，使得AC+BC 最小.请在图中标出c'，使得BC'-AC'最大.5、如图1，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，最小值是 ；图图图图1P DCBAOP C BAP E DCB AP E D CBA（图2） （图3）6、如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）。

A ．2.4B ．4C ．4.8D ．57、如图3，ABC ∆中，5AC BC ==，6AB =，4CD =，CD 为ABC ∆的中线，点E 、点F 分别为线段CD 、CA 上的动点，连接AE 、EF ，则AE EF +的最小值为 .8、已知如图所示，∠MON=400，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当∆PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数．N PBMO A9、如图，∠AOB=300，点P 位于∠AOB 内，OP=3，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求∆PMN 的最小周长.NMPBAO。