第七课 概率问题

概率论与数理统计课后习题答案第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计）求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。

解：μ，σ2的矩估计是 6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。

2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。

求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。

（5）()p p m x p px X P x m xmx,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。

解：（1）X θcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX Xθ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp令mp = X ，解得mXp=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn nni ix x x c θx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn n ni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix nθxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。

第七讲用频率估计概率【学习目标】能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部.所蕴涵的客观规律一频率的稳定性、知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.【基础知识】1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。

把这些随机产生的数据称为随机数。

【考点剖析】考点一：求事件的频率例1．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．考点二：由频率估计概率例2．勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x 小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中m＝，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是度；（4）若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率．考点三：用频率估计概率的综合应用例3．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：转盘总次数20 30 50 100 150 180 240 330 450“和为7”出现的频数7 10 16 30 46 59 81 110 150“和为7”出现的频率0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值．【真题演练】1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（）A．23B．12C．13D．162．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．303．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（）A．抽出的是“朝”字B．抽出的是“长”字C．抽出的是独体字D．抽出的是带“氵”的字4．某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则出现不合格灯泡的频率是_______，在这300个灯泡中估计有_______个为不合格产品．5．“新冠病毒”的英语“NewCoronavirus”中，字母“o”出现的频率是______．6．“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是_______．7．某农场引进一批新菜种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取一定数量的种子进行实验．实验结果如下表所示：实验的菜种数200 500 1000 2000 10000发芽的菜种数193 487 983 1942 9734发芽率0.965 0.974 0.983 0.971 0.973_________．（精确到0.01 ）8．同学们设计了一个用计算机模拟随机重复抛掷瓶盖的实验，记录盖面朝上的次数，并计算盖面朝上的频率，下表是依次累计的实验结果．抛掷次数500 1000 1500 2000 3000 4000 5000盖面朝上次数275 558 807 1054 1587 2124 2650①随着实验次数的增加，“盖面朝上”的频率总在0.530附近，显示出一定的稳定性，可以估计“盖面朝上”的概率是0.530；②若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“盖面朝上”的频率不一定是0.558；其中合理的推断的序号是：________．9．在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有_____个白球．10．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是（精确到0.01），黄球有个；（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．所示：（2）该校初一年级有690名学生，估计该校初一年级近视的学生数．12．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．【过关检测】1．某超市经营某品牌的一种乳制品，根据往年销售经验，每天销售量与当天最高气温t （单位：C ︒）有关．为了制定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温、销售量与最高气温的关系得到下表： 最高气温t （单位：C ︒）天数每天销售量（瓶）20t <15 240 2025t ≤< 30 300 25t ≥45500（1）估计超市今年六月份某一天这种乳制品的销售量不超过300瓶的概率； （2）估计超市这种乳制品今年六月份平均每天的销售量；（3）设进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，结合前三年六月份的销售数据，估计超市今年六月份经营这种乳制品的总利润．2．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有______名学生； （2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为______°． （4）若全校有1830名学生，请计算出“其他”部分的学生人数．3．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次参与调查的共有人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为°；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果我国有6亿人在使用手机；①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？4．某儿童娱乐场有一种游戏，规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动为50000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10000个．（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率；（2）估计袋中白球接近的个数．5．一个不透明的袋子中有12个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的数量．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回袋子中，摇匀后再随机摸出一个球，记下颜……小明重复上述过程，共摸了200次，其中有120次摸到白球，请回答：（1）估计袋子中的白球有多少个？（2）有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，如果彩球池里共有6000个球，那么需准备多少个红球？6．新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．0~20%20%~50%50%~80%80%~100%录播 5 18 14 13直播 2 15 21 12（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于50%的概率；（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为3:5，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在20%以下的共有多少人？7．一个不透明的布袋中装有2个黄球、4个红球和n（n＞0）个蓝球，每个球除颜色外都相同．（1）将布袋中的球搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到蓝球的频率稳定于0.8附近，那么n的值是；（2）甲乙丙三人利用该布袋和球进行摸球游戏，约定由甲从中摸出一个球，摸到黄球甲胜，摸到红球乙胜，摸到蓝球丙胜，已知此游戏对乙最有利，对甲最不利，那么n的值是；（3）若将n个蓝球从布袋中取出，只剩下2个黄球和4个红球，搅匀后任意摸出两个球，用列表或画树状图的方法求两次摸到球的颜色相同的概率．8．某个盒中装有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：）；（2）若盒中有1枚黑棋与3枚白棋，某同学一次摸出两枚棋，请利用画树状图法或列表法求这两枚棋子颜色不同的概率．9．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率．（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有几件．10．一个不透明的布袋中装有2个黄球、4个红球和n（n 0）个蓝球，每个球除颜色外都相同．（1）将布袋中的球搅匀后任意摸出一个球，记录其颜色后放回，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到蓝球的频率稳定于0.8附近，那么n=；（2）若从布袋中取出一些球，只剩下2个黄球和2个红球，搅匀后任意摸出两个球，用列表或画树状图的方法求两次摸到球的颜色相同的概率．11．问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有‘二正、一正一反、二反’三种情况，所以P（一正一反)13=”小颖反驳道：“这里的‘一正一反’实际上含有‘一正一反，一反一正’这两种情况，所以P（一正一反）1. 2 =”（1）________的说法是正确的．（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：很大时，摸到黑球的频率将会接近（结果精确到）；试估计口袋中白球有只；（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率．13．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．14．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的组统计数据：（2）估算盒子里约有白球__________个；（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其它完全相同的球，这x个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少？。

第七章概率§2 古典概型知识点1 古典概型的辨析1。

☉%757￥＊＊0@%☉(2020·福建莆田六中单元训练）下列模型中,是古典概型的为（).A。

从一部分零件中任意抽取一个,测其长度B.种一粒种子,观察它是否能够发芽C。

抛掷一枚均匀的骰子,观察向上的面的点数D。

统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率答案：C解析：根据古典概型的定义进行判断.选项A中长度的值出现的可能性不一定相同，因此不是古典概型；选项B中发芽与不发芽的可能性不一定相等,不是古典概型;选项D不是随机试验，故不是古典概型；选项C中，出现的结果为1点至6点,结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上的可能性相同,满足古典概型的两个特点,因此是古典概型.2。

☉％@27＊83＃＠％☉（2020·山西怀仁一中单元训练)下列问题中是古典概型的是( ).A。

种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B。

掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率C。

在区间[1，4］上任取一个数，求这个数大于1。

5的概率D。

同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案:D解析:A，B两项中的各个样本点的发生不是等可能的；C项中样本点总数无限；D项中各个样本点的发生是等可能的,且是有限个。

故选D。

3.☉%＊4*＠28￥4%☉（多选）(2020·湖南岳阳一中月考）下列概率模型中,不是古典概型的有（）。

A。

从区间[1,10]内任意取出一个数,求取到1的概率C.从含有1的10个整数中任意取出一个整数,求取到1的概率B。

向一个正方形ABCD内投掷一点P,求P恰好与A点重合的概率D.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率答案：ACD解析：根据古典概型的定义考虑，AC中的样本点有无限多个，因此不属于古典概型。

D中硬币不均匀,则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等,不是古典概型。

4.☉%#0216＃￥＠％☉(2020·湖北团风中学单元检测）下列试验中,是古典概型的有（填序号）。

第七章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列事件是必然事件的是()A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.异性电荷相互吸引C.在标准大气压下,水在1 ℃时结冰D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数2.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是()A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”3.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:则样本数据落在(10,40]上的频率为()A.0.13B.0.39C.0.52D.0.644.某大学外语系有6名志愿者,其中志愿者A1,A2,C只通晓英语,志愿者B1,B2,B3只通晓俄语.现从这6名志愿者中选出2名,组成一个能通晓两种语言的小组,则C被选中的概率为()A.15B.14C.13D.255.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.96.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面向上”,事件B=“第二枚硬币正面向上”,则()A.事件A与事件B互为对立事件B.事件A与事件B为互斥事件C.事件A与事件B相等D.事件A与事件B相互独立7.(2021江苏南通期中)一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为0.1,第二道工序的次品率为0.2,则该件产品的正品率为()A.0.98B.0.72C.0.70D.0.288.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是()A.920B.925C.380D.19400二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,则下列不是对立事件的为()A.恰有1名男生和恰有2名男生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名男生和全是男生D.至少有1名男生和全是女生10.(2022湖南长沙月考)如图所示的电路中,5只盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是()A.A ,B 两个盒子串联后畅通的概率为23 B.D ,E 两个盒子并联后畅通的概率为130 C.A ,B ,C 三个盒子混联后畅通的概率为56D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为2936 11.下列概率模型是古典概型的为( )A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B.同时掷一次两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( ) A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 .14.(2022广东佛山检测)某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.7,故我们用0,1,2表示手术不成功,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.15.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队,每两队要进行一场比赛,记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5,0.6,0.8,甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3,0.2,0.1,最后得分大于等于7胜出,则甲胜出的概率为.16.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45,35,25,且各轮问题能否正确回答互不影响,则该选手被淘汰的概率为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200千米,遇到红灯个数的概率如下表所示:(1)求表中字母a的值;(2)求至少遇到4个红灯的概率;(3)求至多遇到5个红灯的概率.18.(12分)盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球,其中1号与2号是黑球,3号、4号与5号是红球,从中有放回地每次取出1个球,共取两次.(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率;(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.19.(12分)(2020全国1,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?20.(12分)某单位开展岗前培训期间,甲、乙2人参加了5次考试,成绩统计如下:(1)根据有关统计知识回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗,你认为选谁合适?请说明理由.(2)根据有关概率知识解答以下问题:若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.21.(12分)某中学为了丰富学生的业余生活,开展了一系列文体活动,其中一项是同学们最感兴趣的.且各场比赛互不影响.3对3篮球对抗赛,现有甲、乙两队进行比赛,甲队每场获胜的概率为25(1)若采用三局两胜制进行比赛,求甲队获胜的概率;(2)若采用五局三胜制进行比赛,求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.22.(12分)(2022贵州贵阳检测)为了推进新高考改革,某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课,同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣,该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动,本次活动共进行两轮比赛,第一轮是综合知识小测验,满分100分,并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题,第二轮从6个难度升级且分别涉及“时事政治”“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”和“逻辑推理”六个方面的题目中随机抽选3个题目进行作答,以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]进行分组绘制而成的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛?(2)已知李华比较擅长“时事政治”类题目,不太擅长“逻辑推理”类题目,若李华成功进入了第二轮比赛,求他刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率.第七章测评1.B四个选项都是随机事件,根据定义可知B选项是必然事件.故选B.2.C对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;但C中的两个事件不可能同时发生,是互斥事件,故选C.3.C由题意可知频数在(10,40]的有13+24+15=52,由频率=频数÷总数可得0.52.故选C.4.C从这6名志愿者中选出2名组成通晓两种语言的小组的样本点为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(C,B1),(C,B2),(C,B3),共有9个.其中C被选中的样本点有(C,B1),(C,B2),(C,B3),共3个,所以所求概率为39=13.故选C.5.C因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.6.D抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A发生与否与事件B无关,事件B发生与否与事件A无关,所以事件A与事件B相互独立.故选D.7.B该件产品的正品需要满足的条件是第一道工序和第二道工序都是正品,则该件产品的正品率为P=(1-0.1)×(1-0.2)=0.72.故选B.8.D击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中,及甲前两次均未击中、乙第二次才击中,所以其概率为P=14×15×34+14×15×14×45=380+1100=19400,故选D.9.ABC A是互斥事件,不是对立事件,理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.B不是互斥事件,从而也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生.C不是互斥事件,从而也不是对立事件,理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.D 是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.故选ABC .10.CD A ,B 两个盒子串联后畅通的概率P=(1-12)×(1-13)=13,A 错误;D ,E 两个盒子并联后畅通的概率P=1-15×16=2930,B 错误;A ,B ,C 三个盒子混联后畅通的概率P=1-23×14=56,C 正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率P=2930×56=2936,D 正确.故选CD .11.ABD 古典概型的特点:①一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;②每个样本点发生的可能性是均等的,即等可能性.显然A,B,D 符合古典概型的特征,所以A,B,D 是古典概型;C 选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.故选ABD .12.ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立.在A 中,2个球都是红球为A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B 中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P (A )P (B )=1-23×12=23,C 正确;2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.0.95 记事件A={抽得甲级品},B={抽得乙级品},C={抽得丙级品},因为事件A ,B ,C 互为互斥事件,且三个事件对立,所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为P (A )=1-P (B )-P (C )=0.95.14.0.4 根据题意,10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有569,683,537,989,共4个, 则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4.15.0.446 两队比赛,一队胜、平、负是互斥事件,因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2,0.2,0.1,所以甲胜的概率为P=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×0.1+0.5×0.2×0.8+0.2×0.6×0.8=0.446.16.101125 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i=1,2,3),则P (A 1)=45,P (A 2)=35,P (A 3)=25. 则该选手被淘汰的概率为P=P (A 1+A 1A 2+A 1A 2A 3)=P (A 1)+P (A 1)P (A 2)+P (A 1)P (A 2)P (A 3)=15+45×25+45×35×35=101125.17.解(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)设事件A为遇到红灯的个数为4,事件B为遇到红灯的个数为5,事件C为遇到红灯的个数为6个及以上,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯,则至多遇到5个红灯为事件D.则P(D)=1-P(D)=1-0.03=0.97.18.解由题知,共有25个样本点,(1)2个球中恰好1个黑球为13,14,15,23,24,25,再交换一下,共有12个样本点,故概率P=1225. (2)取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球,即全是黑球为11,12,21,22,共4个样本点,即P=1-425=2125.19.解(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-5×20-75×20100=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30×17+0×34-70×21100=10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务. 20.解(1)甲的平均成绩为x 甲=82+82+79+95+875=85,乙的平均成绩为x 乙=95+75+80+90+855=85,故甲、乙二人的平均水平一样.甲的成绩的方差为s 甲2=15∑i=15(x i -x 甲)2=31.6,乙的成绩的方差为s 乙2=15∑i=15(x i -x 乙)2=50,∴s 甲2<s 乙2,故应派甲合适.(2)从5次考试的成绩中,任意取出2次,所有的样本点有10个,其中,满足至少有一次考试两人“水平相当”的有:(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(82,75)、(79,80)和(95,90)、(87,85)和(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共有7个样本点,故所求事件的概率等于710.21.解设A i (i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i 场比赛获胜. (1)所求概率为P (A 1A 2)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=252+35×252×2=44125.(2)所求概率为P (A 1A 2A 3A 4)+P (A 1A 2A 3A 4)+P (A 1A 2A 3A 4)=25×353×3=162625.22.解(1)设学生在第一轮比赛中至少得到x 分才能进入第二轮比赛, ∵0.007×20=0.14<0.2,0.007×20+0.015×20=0.44>0.2, ∴x 在区间[60,80)内,且80-x 20×0.3+0.14=0.2,解得x=76,故估计学生在第一轮比赛中至少得到76分才能进入第二轮比赛. (2)由题意得,李华成功进入了第二轮比赛, 从6个题目中抽选3个题目共有20种不同的可能,刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目,即再从“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”4个题目中选择2个题目,共有6种不同的可能,故李华成功进入了第二轮比赛,刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率为P=620=310.。

整体设计教学分析产生随机数的方法有两种:(1)由试验产生的随机数:例如我们要产生1—25之间的随机整数,我们把25个大小形状等均相同的小球分别标上1,2,3,…,24,25,放入一个袋中,把它们充分搅拌.然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数.一般当需要的随机数个数不是太多时,可以用这种方法产生随机数.如果需要随机数的量很大,这种方法就不是很方便,因为速度太慢.(2)用计算器或计算机产生随机数:由于计算机或计算器产生的随机数是根据确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),具有类似随机数的性质,但并不是真正的随机数,称为伪随机数.在随机模拟中,往往需要大量的随机数,这时会选择用计算机产生随机数.这部分内容是新增加的内容,是随机模拟中最简单、易操作的部分,所以要求每个学生会操作.具体教学时,教师可以在课堂上带着学生用计算器操作一遍,然后让学生模拟掷硬币的试验或掷骰子的试验,并统计试验的结果.根据试验结果,教师可以设计一些与上一章统计部分相联系的问题,通过知识的相互联系,可以帮助学生更好地理解概率的意义和一些统计思想.例如:①每个学生模拟掷一个硬币的试验20次,统计出现正面的频数与频率,并可用频率估计概率,在此基础上进一步提出问题:这个估计的精度如何?误差大吗?②如果全班有50人,每人得到一个频率,那么有50个观测数据,计算这50个数据的平均数和标准差,并根据统计中的平均数和标准差的含义和计算的具体数值,解释这个模拟结果,通过这个过程,可以使学生进一步理解频率是概率的估计值,以及平均数和标准差的含义等.不同的计算器产生随机数的操作步骤可能不同,教科书中仅是以一种计算器为例给出产生随机数的步骤.教学中,可以让学生自己看计算器的说明书,按说明书的提示进行操作.很多软件都能产生随机数,教科书中以Excel软件为例,主要考虑到这个软件比较普遍,多数教师对它比较熟悉.教师在讲授这部分内容之前应该熟悉一下Excel软件,特别是产生随机数的函数、画统计图的功能及对统计数据结果的处理功能.用随机模拟的方法模拟随机现象称为统计试验.这里必须明确随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验得到的结果可能是不同的.三维目标1.通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,了解随机数的概念；体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率.通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.重点难点教学重点：学会利用随机数实验来求简单事件的概率.教学难点：学会利用计算器、计算机求随机数的方法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1复习上一节课的内容：（1）古典概型.我们将具有①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.（2）古典概型计算任何事件的概率计算公式:P（A）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.本节课我们学习（整数值）随机数的产生,教师板书课题.思路2在第一节中,同学们做了大量重复试验,有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了,那么,有没有其他方法可以代替试验呢？答案是肯定的,这就是我们将要学习的内容（整数值）随机数的产生.推进新课新知探究提出问题（1）在掷一枚均匀的硬币的试验中,如果没有硬币,你会怎么办？（2）在掷一枚均匀的骰子的试验中,如果没有骰子,你会怎么办？（3）随机数的产生有几种方法,请予以说明.（4）用计算机或计算器（特别是TI图形计算器）如何产生随机数？活动：学生思考或讨论,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同最后汇总方法、结果和感受.讨论结果：（1）我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,用计算器做模拟掷硬币试验. （2）我们可以分别用数字1、2、3、4、5、6表示出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,用计算器做模拟掷骰子试验.（3）可以由试验产生随机数,也可用计算机或计算器来产生随机数.①由试验产生的随机数：例如我们要产生1—10之间的随机数,可以把大小形状均相同的十张纸片的背后分别标上：1,2,3,…,8,9,10,然后任意地抽出其中一张,这张纸上的数就是随机数.这种产生随机数的方法比较直观,不过当随机数的量比较大时,就不方便,因为速度太慢.②用计算机或计算器（特别是TI图形计算器）产生随机数：利用计算机程序算法产生,具有周期性（周期很长）,具有类似随机数性质,称为伪随机数.在随机模拟时利用计算机产生随机数比较方便.（4）介绍各种随机数的产生.①计算器产生随机数下面我们介绍一种如何用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数值的随机数.例如,要产生1—25之间的取整数值的随机数,按键过程如下：以后反复按键,就可以不断产生你需要的随机数.同样地,我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,利用计算器不断地产生0,1两个随机数,以代替掷硬币的试验.按键过程如下：②利用TI图形计算器产生随机数的方法只要输入RAND（N）(其中N为任意整数,如图：RAND（20）表示1到20的随机数.)利用TI图形计算器产生随机数的速度很快而且很方便.③介绍利用计算机产生随机数（主要利用Excel软件）先让学生熟悉Excel软件特别是产生随机数的函数,画统计图的功能,以及了解Excel软件对统计数据进行处理的功能.我们也可以用计算机产生随机数,而且可以直接统计出频数和频率.下面以掷硬币为例给出计算机产生随机数的方法.每个具有统计功能的软件都有随机函数.以Excel软件为例,打开Excel软件,执行下面的步骤：(1)选定A1格,键入“=RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1.(2)选定A1格,按Ctrl+C快捷键，然后选定要随机产生0，1的格,比如A2至A100,按Ctrl+V快捷键,则在A2至A100的数均为随机产生的0或1,这样我们很快就得到了100个随机产生的0,1,相当于做了100次随机试验.(3)选定C1格,键入频数函数“=FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”,按Enter键,则此格中的数是统计A1至A100中,比0.5小的数的个数,即0出现的频数,也就是反面朝上的频数.(4)选定D1格,键入“=1-C1/100”,按Enter键,在此格中的数是这100次试验中出现1的频率,即正面朝上的频率.同时可以画频率折线图,它更直观地告诉我们:频率在概率附近波动.上面我们用计算机或计算器模拟了掷硬币的试验,我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法.应用示例思路1例1 利用计算器产生10个1—100之间的取整数值的随机数.解：具体操作如下：键入反复操作10次即可得之.点评：利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中有着广泛的应用.变式训练利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数.解：具体操作如下：键入反复按键10次即可得到.例2 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有两天下雨的概率是多少?活动：这里试验出现的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型求概率的公式.用计算器或计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是40%.解决步骤：（1）建立概率模型：模拟每一天下雨的概率为40%,有很多方法,例如用计算机产生0—9的随机数,可用0,1,2,3表示下雨,其余表示不下雨（当然,也可以用5,6,7,9表示下雨,其余表示不下雨）,这样可以体现下雨的概率为40%.（2）进行模拟实验,可以用Excel软件模拟的结果（模拟20个）：可用函数“RANDBETWEEN（1,20）”.（3）验证统计结果（略）.注意：用随机数模拟的方法得到的仅仅是20次的模拟结果,是概率的近似值,而不是概率.随着模拟的数量不断地增加（相当于增加样本的容量）,模拟的结果就越接近概率.关于例2的实际操作,有条件的可以让学生自己上机动手或利用计数器来演算. 点评：掌握产生随机数的方法,特别是用计算机模拟的方法,还要建立适当的模型.思路2例1 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少？活动：学生审题,教师提示指导,其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.我们用1,2,3,4表示投中,用5,6,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如：产生20组随机数：812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431,257,393,027,556.这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表示恰有两次投中,它们分别是812,932,271,191,393,即共有5个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为205=25%. 点评：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题.（2）对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.（3）随机函数RANDBETWEEN （a,b ）产生从整数a 到整数b 的取整数值的随机数.例2 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来.知能训练1.本节练习4.答案：(1)61. (2)略.(3)应该相差不大,但会有差异.存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的,但在200次试验中,该事件发生的次数又是有规律的,所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.2.0表示反面朝上,1表示正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验.解：具体操作如下：键入拓展提升某班有45个人,现要选出1人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选生甲的机会有多大？（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选生甲的机会.课堂小结随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的中考中都采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.作业习题3.2A组5、6,B组1、2、3.设计感想本堂课首先复习古典概型及其概率计算,接着设计了试验不能实现的问题,指出可以用随机数来替代试验,举出了三种随机数的产生方法,同学们要切实领会,用事例说明了模拟试验的作用,真实感受到随机数模拟试验带来的好处,在日常和实际生活中,充分利用随机数模拟试验,达到最快最准的效果.。