2015年高中数学1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教版必修4

1. 6三角函数模型的简单应用一、教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力二、教学目标1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、根据解析式作出图象并研究性质；3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 4.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

三、教学重点难点重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型， 并调动相关学科的知识来解决问题．由图象求解析式时ϕ的确定。

四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

五、教法分析数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

六、教学程序及设计意图 （一）创设情境、激活课堂生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图1­6­1为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1­6­10．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图1­6­2所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图1­6­2y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图1­6­3中曲线对应的函数解析式是( )图1­6­3A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图1­6­4表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图1­6­4A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图1­6­5，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图1­6­5(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。

1.6 三角函数模型的简单应用
1.知识与技能
(1)能根据图象建立解析式.
(2)能根据解析式作出图象.
(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
(4)能利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
2.过程与方法
通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.
3.情感、态度与价值观
本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力;培养他们的探索精神和应用意识.
重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
难点:将某些实际问题抽象为三角函数模型.
1.如图为弹簧振子的振动图象.
(1)振动的振幅是 cm,频率是;
(2)如果从A点计算起,那么到点止,质点做了一次全振动.
解析:∵振动距离最大为2 cm,
∴振幅为2 cm,周期T=0.8 s.∴频率为.
∵点A到E点为一个周期.
∴A到E,质点做了一次全振动.
答案:(1)2(2)E
2.如图所示,设单摆小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数,近似满足关系α=A sin,其中ω>0.
已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π s小球回到初始位置,那么A=;α作为时间t的函数解析式是.
解析:∵t=0时,α=,
∴=A sin ,∴A=.
又∵周期T=π,∴=π,解得ω=2.
∴函数解析式是α=sin(t∈[0,+∞)).
答案:α=sin,t∈[0,+∞)。

《三角函数模型的简单应用》的教学设计一．教学设计1、思路：依据《课标》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。

依据学生的认知规律和水平，本节课将例1与例2调整了一下顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图，即由数到形。

既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法。

复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决例2打下一个良好的基础和准备工作，在讲解例2中，着重要注意以下几个方面的问题。

A、要和学生共同体验并总结求y=Asin(ωx+ )+B函数的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验。

B、注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由高中数学知识到数学本质的理解。

C、注意实际问题与数学问题的相匹配。

之后本节课设有一道与学生学习相关的人体节律问题，通过解决可用三角函数模型描述出自身问题，让学生增强学习三角函数的兴趣，并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型，并教会学生如何使用多媒体手段来模拟或解决生活中遇到的一些问题，为下一节的学习做一个准备工作。

2、设置：在每一个例题中都设置一个小结，养成一个边学、边练、边体验、边总结的学习习惯，并及时纠正在学习中出现的错误，总结经验。

3、本节设置了一些实际应用情景的练习题目，旨在加强和巩固。

第②问是为讲解下一节做准备。

二．教案：三角函数模型的简单应用〈一〉课本要求会用三角函数来解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的高中数学模型。

〈二〉⒈知能目标（目标设计）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型。

⒉情感目标：切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

⒊智育目标：体会和感受高中数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。

〈三〉知能要点梳理学习本节课的目标是加强用三角函数模型刻画周期变化现象，本节课从四个层次介绍三角函数模型的应用。

1.6 三角函数模型的简单应用〖学习目标〗：1、运用函数()sin y A x B ωϕ=++的性质解决生活中的实际问题； 〖重点难点〗：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并利用相关知识解决问题。

〖学法指导及使用说明〗：1、认真阅读教材60P 例1，做好导学案；2、感受数学建模的过程，成功体验数学的实际应用；3、能力拓展题可选做。

一、自主学习 1、回顾旧知（1）解决数学建模的一般程序：①审题，②建模，③求解，④还原。

（2）教材60P 例1 某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x B ωϕ=++，①求这一天的最大温差；②写出这段曲线的函数解析式。

（3）（教材65P 练习1T ）下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将移至何处？（4）（《学海导航》34P 练习1T ）交流电的电压U （单位：V ）与时间t （单位：s ）的关系可用1006U t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭表示，则电压值的最大值是 V ，第一次获得这个最大值的时间是 s .二、合作探究展示：例1 （《学海导航》34P 例1）在一个港口，两次高潮发生时间相距12h ，低潮时水的深度为8.4m ，高潮时水的深度为16m ，一次高潮发生在10月10日4:00，涨潮落潮时，水的深度d 与时间t 近似满足关系式：()sin d A x h ωϕ=++。

（1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深()d m 和时间()t h 之间的函数关系。

（2）10月10日17:00该港口水深为多少？（3）10月10日这一天港口共有多少时间水深低于10.3m 。

变式题：（《学海导航》35P 变式题）设()y f x =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数()y f t =的图象可近似地看成函数()sin y k A x ωϕ=++的图象，下面的函数中，最能表示数据间的对应关系的函数式是：（ ）（A ）[]123sin0246y t t π=+∈， （B ）[]123sin 02462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，（C ）[]123sin02412y t t π=+∈，（D ）[]123sin 024122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，方法规律总结：给定模型确定解析式的关键：三、能力拓展例2（《学海导航》35P 例2）如图所示，摩天轮的半径为40cm ，O 点距地面的高度为50cm ，摩天轮作匀速圆周转动，每3m i n 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低处。

1.6三角函数模型的简单应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用•通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力•培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力•由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等•三维目标1. 能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型2. 通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力.3. 通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.（问题导入）既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”，面临一个实当问题选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用.推进新课新知探究提出问题①回忆从前所学，指数函数、对数函数以及幕函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的？②数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？③上述的数学模型是怎样建立的？④怎样处理搜集到的数据？活动:师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程•对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型•对还没有进入状态的学生，教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法•在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据T画散点图T选择函数模型T求解函数模型T检验T用函数模型解释实际问题•这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解•新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知.讨论结果：①描述现实世界中不同增长规律的函数模型•②简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述•数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法③解决问题的一般程序是：1 °审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2。

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高中数学必修四1.6三角函数模型的简单应用导学案
1.6 三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1. 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

【新知自学】
知识回顾：
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>;0，ω>;0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由
ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ω
x4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝_____ ___中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来
研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重
专注下一代成长，为了孩子。

§1.6三角函数模型的简单应用02学习目标1、会用“五点法”画函数y sin()A x ωϕ=+的图象2、能根据图象求函数y sin()A x ωϕ=+的解析式. 学习重难点：重点：根据图象求函数y sin()A x ωϕ=+的解析式 难点：三角函数模型的实际应用 二、课堂探究例1、情境：圣米切尔山的涨潮、落潮----圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后，法国第三大景点。

它的最大特点是"在水中央"，潮涨时整座山几乎四面环"海"，潮退时则一片荒漠。

问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。

一般地，早潮叫潮。

晚潮叫汐。

在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。

下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻：003：006：00 水深/米 5.0 7.5 5.0 时刻 9：00 12：00 15：00 水深/米 2.5 5.0 7.5 时刻 18：00 21：00 24：00 水深/米5.02.55.0（1） 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？哪个是因变量？（2） 大约什么时间港口的水最深？深度约是多少？大约什么时间港口的水最浅？深度约是多少？ （3） 在什么时间范围内，港口的水深增长？在什么时间范围内，港口的水深减少？ （4） 试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情况。

（可以徒手画，也可以引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图，进行观察）探讨问题系列二：（5） 选用一个适当的函数（最好是三角函数，但不一定必须是三角函数）来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时间的水深近似值。

（6） 货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（7） 若某船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m 的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？根据函数图象求解析式例2、已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．变式训练：如图是函数y sin()A x ωϕ=+的图像(0A ω>，>0)，确定A ωϕ、、的值。

1.6《三角函数模型的简单应用》导学案【学习目标】1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的貳要函数模型.2通过对三处函数的应用，发展数学应用愆识，求对现实世界屮蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.［重点难点】重点:'' 精确模型的应用一一由图彖求解析式，由解析式研究图彖及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题屮抽取基本的数学关系来建立数学模型【学法指导】预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用［知识链接］1、三篇函数可以作为描述现实世界中________ 现象的一种数学模型.2、y=|sinx|是以______________ 为周期的波浪型曲线.【学习过程】自主探究；问题一、如图，某地一天从6〜14时的温度变化Illi线近似满足函数y = Asin（cox^（p） + b.（1）求这一天6〜14时的最大温差;（2）写出这段曲线的函数解析式问题二、画出函数y= sinx的图象并观察其周期.问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为》为此时太阳直射纬度，°为该地的纬度 .当地夏半值,年5取正值，冬半年》取负值.如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为％的楼房北血盖一新楼，要使新楼一层止午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？【基础达标】1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份岀厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元棊础上按月随止眩|11|线波动的，并己知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品川件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.【拓展提升】1、设）u /⑴是某港口水的深度关于时间心寸）的函数，其.中05/524,下表是该港口某一天从0 至24经长期观察，函数y = f（/）的图象可以近似地看成函数y = k + Asin（血+ 0）的图象根据上述数据，函数y = 的解析式为（）A. y = 12 + 3sin —,Z G[0,24]B. y = 12 + 3sin（— + G [0,24]兀t 71D. y = 12 + 3sm(—+-),/€ [0,24]JL厶厶2、从高出海面仞"的小岛A处看正东方向有一只船B,俯角为30°看正南方向的一船C的俯角为45°,则此时两船间的距离为( ).A. 2hmB. \l2hmC. ・D. 2\j2hm 3、如图表示电流T与时间t的函数关系式：T =Asin（COt +（p）在同一周期内的图象。

人教数学A 版教材必修4第一章三角函数Ⅱ教学设计一、教材分析1、本单元的教学内容的范围 1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算 1.2 任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义 1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式 1.2.4诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质 1.3.3已知三角函数求值2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用 （1）三角函数在高中课程中的地位和作用三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学（Ⅰ）中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。

主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。

因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。

本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。

（2）本章知识结构1）知识和技能目标 （1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

② 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）απαπ±±,2，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象，了解三角函数的周期性。

③ 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0，正切函数在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）。

④ 理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ ⑤ 结合具体实例，了解)sin(φω+=x A y 的实际意义；能借助计算器或计算机画出)sin(φω+=x A y 的图象，观察参数φω,,A 对函数图象变化的影响。

1.6 三角函数模型的简单应用1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律； 2．能根据实际问题的意义，利用三角函数模型解决有关问题，为决策提供依据．1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的图象与性质 (1)图象的画法：“五点法”和变换法． (2)定义域：__. (3)值域：__________.当x ＝________(k ∈Z )时，y 取最大值A ＋b ；当x ＝________(k ∈Z )时，y 取最小值－A ＋b .(4)周期：T ＝__.(5)奇偶性：当且仅当φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是__函数；当且仅当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是__函数．(6)单调性：单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ，2k π＋π2－φω(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ，2k π＋3π2－φω(k ∈Z )．(7)对称性：函数图象与__轴的交点是对称中心，即对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0，对称轴与函数图象的交点的__坐标是函数的最值，即对称轴是直线x ＝k π＋π2－φω，其中k ∈Z .(8)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距__个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的________．【做一做1－1】 y ＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6的周期与最大值分别是( )A ．12π，7B ．12π，－7C ．12,7D ．12，－7【做一做1－2】 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝π6C ．x ＝π2D ．x ＝2π3【做一做1－3】 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (x )的解析式是__________．2．三角函数模型的应用(1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机．(2)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(3)建立三角函数模型的步骤如下：【做一做2】 某地一天从6～14时的温度变化满足y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6,14]，则最高气温和最低气温分别是( )A ．10，－10B ．20，－20C ．30,20D ．30,10答案：1．(2)R [－A ＋b ，A ＋b ] 2k π＋π2－φω 2k π－π2－φω (4)2πω (5)奇 偶(6)2k π－π2－φω 2k π＋π2－φω(7)x 纵 (8)半 四分之一【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 B【做一做1－3】 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6 由图象得A ＝2，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，则2πω＝2，解得ω＝π.则有f (x )＝2sin(πx ＋φ)，函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，即2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 又|φ|＜π2，则φ＝π6.【做一做2】 D 由6≤t ≤14，得3π2≤π8t ＋3π4≤5π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4∈[－1,1]，可得y min＝－10＋20＝10， y max ＝10＋20＝30.解三角函数应用题的步骤剖析：(1)审清题意，读懂题．三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．(3)讨论变量关系．根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，转化为讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质，从而得到所求问题的理论参考值．(4)作出结论．根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论．题型一 在生活中的应用【例1】 如图，某动物种群数量12月1日低至700,6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量作为月份t 的函数表达式； (2)估计当年3月1日动物的种群数量．分析：(1)根据曲线求出函数表达式；(2)由表达式求出当年3月1日即t ＝3时对应的函数值．反思：在生活中，呈周期变化的现象，常用三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 来描述，通过讨论其图象和性质来解决实际问题．题型二 在物理中的应用【例2】 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示． 求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 分析：(1)开始时的电压即t ＝0时电压E 的值； (2)电压值每周期重复出现一次； (3)电压的最大值可由关系式求出．反思：由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键．答案： 【例1】 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800，又周期T ＝2(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.则有y ＝100sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2.∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝3时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3－π2＋800＝800，即当年3月1日种群数量约是800.【例2】 解：(1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150秒，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏，令100πt ＋π6＝π2，解得t ＝1300.即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值．1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数解析式为s ＝π6sin 2π6t ⎛⎫+⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________s.2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝π300sin 50π3t ⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．I ＝π300sin 50π3t ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．I ＝π300sin 100π3t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．I ＝π300sin 100π3t ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__________s 往复一次．4．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝__________.5．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?答案：1．1 单摆来回摆动一次所用的时间为一个周期，即T ＝2π2π＝1(s)． 2．C 由图象得周期T ＝112150300⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝150，最大值为300，经过点1,0150⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω＝2πT＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝1300sin 100π150ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭. ∴2πsin 3ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝0，取φ＝π3.∴I ＝π300sin 100π3t ⎛⎫+⎪⎝⎭.3．0.8 由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次． 4．ππ2sin 644x ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 由题意得8,4,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4. ∴f (x )＝π2sin 64x ϕ⎛⎫++⎪⎝⎭. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝3π2sin 64ϕ⎛⎫++⎪⎝⎭. ∴3πsin 4ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝1，取φ＝π4-.∴f (x )＝ππ2sin 644x ⎛⎫-+⎪⎝⎭.5. 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝2ππ40sin 5032t ⎛⎫-+⎪⎝⎭.(2)令2ππ40sin 5032t ⎛⎫-+⎪⎝⎭＞70，∴2ππsin 32t ⎛⎫-⎪⎝⎭＞12，∴2k π＋π6＜2ππ32t -＜2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3＜2π3t ＜2k π＋4π3，∴3k ＋1＜t ＜3k ＋2.令k ＝0得1＜t ＜2.因此，共有1 min 距地面超过70 m.。

1.6 三角函数模型的简单应用（第2课时）一、导入新课思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用. 二、推进新课、新知探究、提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？②请做下题：若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R (其中ω＞0,|φ|＜2π)的最小正周期是π,且f(0)=3,则( )A.ω=21,φ=6π B.ω=21,φ=3πC.ω=2,φ=6πD.ω=2,φ=3π活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中.讨论结果:①略 ②D 三、应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin6πx+5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y ≥5.5时就可以进港. 令2.5sin6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2. 由计算器可得 2 0.2=0.201 357 92≈0.201 4.如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4. 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2.由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2. 因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.图8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I A=Isin ωt,I B=Isin(ωt+120°),I C=Isin(ωt+240°),则I A+I B+I C=________.答案:0例2 图9是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.图9解:结合函数模型和图象: (1)单摆振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ ；(3)单摆在0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值； (4)单摆在0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL,可得L=224πgT =0.16 m.点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.变式训练1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+.(1)求函数f(x)的解析式； (2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ). ∴φ＝2π. ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cos ωx. 相邻两点P(x 0,1),Q (x 0+ωπ,－1).由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4.解得ω＝1.∴f(x)＝cosx.(2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32. 两边平方,得sinxcosx ＝185.2.小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x ∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm 只能代表21个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x ∈R .同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x,x ∈R .3.求方程lgx ＝sinx 实根的个数. 解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.四、课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.五、作业图11如图11,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少?当L取最大值时,θ为多大?分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==.21sinsincoscos2gttvaLhtvaLsθθ由①②,整理得v0cosθ=taL cos,v0sinθ=taL sin-+21gt.∴v 02+gLsin α=41g 2t 2+22t L ≥2222241tL t g •=gL.运动员从A 点滑至O 点,机械守恒有mgh=21mv 02, ∴v 02=2gh.∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20a g gha g v -=-=200(m), 即L max =200(m).又41g 2t 2=222t h s +=22t L , ∴t=g L 2,s=Lcos α=v 0tcos θ=2gh ·gL2·cos θ, 得cos θ=cos α.∴θ=α=30°.∴L 最大值为200米,当L 最大时,起跳倾角为30°.。

1.6三角函数模型的简单应用教学冃的.【知识与技能】1 •掌握三角函数模型应用基本步骤：（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图 象；（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2. 利用收集到的数据作H 撒点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型..【过程与方法】•练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题3、一根为Lem 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，若心，即心渗=24.8”.4、略（学生看书） •二、应用举例: 例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=As\n ｛（ox+（p ）+b （1） 求这一天6~14时的最大温差;（2） 写出这段曲线的函数解析式.本题是研究温度随时I'可呈周期性变化的问题.问题给出了某个时I'可段的温度变化曲线， 要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式•也就是利用函数模型来解决问题.要特别 注意自变量的变化范围. 例2画出函数y =|sin”的图象并观察其周期. j=|siiir| ，-2龙 一龙一艺 .-InX2 2本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学离开平衡位置的位移s （单位:cm ）与时间t （单位:s ）的函数关系是$ = 3si7G [0,+OO），（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知萨980cm/s2,要使小球摆动的周期恰好是1秒, 线的长度1应当是多少？问题的常用方法.显然，函数y二与止弦函数有紧密的联系.练习：教材P65而1题例3如图，设地球表面某地正午太阳高度角为&,力为此时太阳直射纬度，0为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是& =90°—| °-8当地夏半年趣正值，冬半年諏负值.如果在北京地区（纬度数约为北纬40。

）的一幢高为加的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前而的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？木题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽彖为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。

1.6 三角函数模型的简单应用一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学设想：三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.例2 2007全国高考函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )A.(,)B.(,)C.(π,)D.(,2π)答案:C例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC＝=≈2.000h0,即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.四、课堂小结1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.五、作业1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系图5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－,0),第二个零点为(,0),∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.解:如以下两例:①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.。