2018年上海市华东师范大学附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析-2018.8

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题1.，若集合【解析】【分析】，再求.【详解】由题得={···，-3,-2,2,3,4,5,···}【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.【解析】【分析】.【详解】∵，设所以..故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.【答案】13【解析】【分析】故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.【答案】1【解析】【分析】z的值，再求|z|的大小得解.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.）的反函数【解析】【分析】（,（,因为.因为x≥0，所以，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.【答案】2【解析】【分析】.经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为令.所以常数项为故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】.8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.________【答案】36【解析】【分析】.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，即令为______（结果用最简分数表示）．【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3. 【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转cosθθθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθθ，sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x 轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθθθ）到原点的距离的平方为=，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.、时，函数取得最小值；③函数3；④【答案】-17【解析】【分析】【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】，，所以S＜0再利用充要条件的定义判断得解.S＜0，所以”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.）B.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.，则函数）图像的交点不可能（）A. B. 上 C. 多于三个 D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.4的奇函数，时，，则方程）B. 036162C. 3053234D. 3055252 【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为【详解】结合图像对称性，可知，在（2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（2+2=4，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（6+4=10，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.、均为直角，（1（2.【答案】【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.（1（2.【答案】【解析】【分析】（1.(2)的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2增.∴；，，明显符合，所以此时.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆（10.01米）；（2）若要求0.01平方米）.【答案】【解析】【分析】（1.(2) 连接BD,显然出.②，.（2）连接BD,显然,，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.、（，（1（2（3.【答案】【解析】【分析】（1，所以，再求出抛物线的准线方程和到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得再求出，求得，解方程得【详解】（1与准线为准线的距离（2，消去得，，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∴联立得由第（2）问结论，，，消去a得，据此，，解得【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.满足：对所有，，数列.（1的值；（2），证明：但对任意，列；（3，都存在.【答案】见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），两种情况讨论得到，即满足，且当，所以是数列，，所以不数列；再证明当以列，所以不是列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在当m为偶数，在有解，存在再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意都存在.【详解】（1，，不符；综上所述，.（2，，…，既不是，，…，只需即满足，且当，，∴不是数列；，…，只需即满足，，∴是，∴不是数列；综上，存在数列，但对任意，都不是数列.（3，……，当m为奇数，，当m为偶数，在有解，存在结合函数映射性质可知，当时，，是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 3．．函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】又在R 上为增函数，则反之，若4．下列问题中,a b 、是不相等的正数,比较x y 、、z 的表达式,下列选项正确的是（ ） 问题甲:一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨,面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙:某人散步,第一圈的速度是a ,第二圈的速度是b ,这两圈的平均速度为y ； 问题丙:将一物体放在两臂不等长的天平测量,放在左边时砝码质量为a (天平平衡),放在右边时左边砝码质量为b ,物体的实际质量为z . A ．x y = B ．x z =C ．y z =D ．x y 、、z 互不相同 【答案】D【解析】首先根据条件分别列出,,x y z 与,a b 的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】问题甲：根据圆的面积公式可知2222222a b x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2222a b x +=x ∴=问题乙：设每圈的长度为s ，则2syss a b=+ ，整理为：2aby a b=+； 问题丙：设天平左边的杠杆长为x ，右边的杠杆长为y ，则ax zyby zx=⎧⎨=⎩ ，可得2z ab =，即z =,a b R +∈，并且a b ¹，∴a b +>，2aba b∴<+， 根据不等式可知222a b ab +>，>，2ab a b>>+ ，x z y ∴>>.故选：D【点睛】本题考查合情推理以及基本不等式比较大小，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是用,a b 分别表示,,x y z .二、填空题5．已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则MN =_____________.【答案】(]0,1【解析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂. 【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.6．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以2a c +=,2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥,所以cos C的最小值是【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.7．已知函数()3sin 2cos f x x x =+,若对任意x ∈R 均有()()f x f α≥,则tan α=______.【答案】32【解析】由题意可知()f α是函数的最小值，化简函数()()f x x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，利用()22k k Z παϕπ+=-+∈ 求tan α. 【详解】()3sin 2cos f x x x =+()x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=， 由题意可知，()fα是函数的最小值，()()f ααϕ=+，当()22k k Z παϕπ+=-+∈时，函数取值最小值，22k παϕπ=--+，tan tan 2tan 22k ππαϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 32132sin 2cos 2πϕϕπϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .故答案为：32【点睛】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到()22k k Z παϕπ+=-+∈，并且已知cos ϕ=，sin ϕ=8．设A 、B 、C 是2y x =图像上不同的三点,且OC OA OB λ=+，若A (1,-1),B (1,1),则λ的值为_______. 【答案】3【解析】首先设(),C x y ，根据条件代入坐标得11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，根据2y x =求λ.【详解】 设(),C x y ，OC OA OB λ=+，()()(),1,11,1x y λ=-+∴11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，2y x = ，()211λλ∴-+=+，解得：0λ=或3λ=.当0λ=时，点,A C 重合，故舍去. 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型. 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为244133ππ⨯=，而圆锥的体积公式等于V=SH=3πh=43π，可知其高为4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长，故答案为。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.2．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.3．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：3222k x k k Z ππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A ．2或3 B ．4或3C ．5或6D ．8或7【答案】A【解析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案. 【详解】 函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8， 而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤， 又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =， 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.二、填空题5．函数1arcsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______. 【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案. 【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以2x =-时，arcsin 23y π⎛=-=- ⎝⎭， 12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.6．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题7．()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案. 【详解】()cos f x x x =+12cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,. 故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.8．“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）. 【答案】必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+， 当121a a ==，342a a ==时， 满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = ； 【答案】60 【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列． 所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列． 因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60． 故答案为60．10．已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.【考点】余弦定理；三角形的面积公式.11．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【解析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．12．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m ∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数， 所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉ 当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉ 当3n =时，得2381m -=，此时6m =， 所以9m n +=， 故答案为：9. 【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.13．在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(t a n t a n )t a n t a n t a n t a n A C BA B C+=++________． 【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++ ()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B CA C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭． 故答案为：2201714．已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______. 【答案】lg 3【解析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案. 【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg3n n n n ++=+所以123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lglg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ ()13131lg lg 331n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ 所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3. 【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.三、解答题15．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A7∴sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3． （2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=14． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 16．已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）； （2）求1limnn n u u →∞-. 【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩； 【解析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限. 【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+， 所以()32n n n S +=， 当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. （2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a =+则()111lim lim nn n n n n n a uu na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==； 当a b ¹时，11n n n n n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--- 则111n n n n n n u a b u a b++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17． 已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=； （1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值. 【答案】（1）π或3π； （2）； （3）19；【解析】试题分析：(1)4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22x x +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值. 试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或， arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18．（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos 7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案. 【详解】（1）()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-所以原式得证. （2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos2cos 21k x k x x k x +=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a ---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kk a =-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos2cos2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=- ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos2cos2cos 22k x kx x k x +=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-； （3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈ cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos 7π为无理数，所以1cos,cos cos777mm πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112cos cos cos777m mm m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos16,7m m m N π≤≤∈不是有理数. 【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。

2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A．只有B．在直线上C．多于三个D．在第二象限【答案】C【解析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.4．已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A．B．036162 C．3053234 D．3055252【答案】D【解析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、解答题5．如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.6．设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.7．如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9．设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列. （3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题10．设全集，若集合，，则______【答案】【解析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．计算：______【答案】【解析】设，求出，即得解. 【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知向量，，则________【答案】13【解析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．如果复数满足，那么________【答案】1【解析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解.【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14．（）的反函数________【答案】（）【解析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．方程的解为________【答案】2【解析】由题得，即，解方程再检验即得解. 【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解. 【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17．已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距. 【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】由题得，，再求其轴截面的面积. 【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N =（ ）A ．()1,0B ．(){}1,0C ．{}0D ．R【答案】D【解析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且y R ∈，故M N R ==，所以M N R =.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ． 【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。

3．若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a bb a+>.成立的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数. 【详解】 由110a b<<可知0b a <<.由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<=③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确. 综上所述，正确的个数为3个. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.4．定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（ ） A ．-a b B ．+a bC ．4D ．2【答案】D 【解析】将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和. 【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =.下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.二、填空题5．若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B =______.【答案】{}[]20,1-【解析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集. 【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ={}[]20,1-.故答案为：{}[]20,1-.【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题.6．若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）【答案】{}2,1,1,3,5--【解析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A . 【详解】 依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--. 【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 7．在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.【答案】详见解析【解析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】 依题意可知U U C AB C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为：【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题. 8．命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________. 【答案】设,a b ∈R ，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠. 【解析】直接利用逆否命题的定义求解即可. 【详解】逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件， 所以 “,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是 “,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”, 故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”. 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题. 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得.9．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤【解析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】 依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤. 故答案为：1a ≤ 【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【答案】116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.11．函数y =______.【答案】[)[]1,00,2-【解析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈-.故答案为：[)[]1,00,2-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题. 12．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．【答案】【解析】试题分析：当时，不等式变形为，解集为，符合题意；当时，依题意可得，综上可得．【考点】一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．13．对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.【答案】1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域.【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.14．设2019a b +=，0b >，则当a =______时，12019a a b+取得最小值.【答案】20192018-【解析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值. 【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a b a b =且0a <时等号成立，即20192018a =-. 故答案为：20192018- 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题15．已知：a 、b 是正实数，求证：22a ba b b a++≥.【答案】见解析.【解析】由基本不等式得出22a b a b+≥，22b a b a +≥，然后利用同向不等式的可加性可得出证明. 【详解】由基本不等式得出22a b a b +≥=，22b a b a +≥=，上述两个不等式当且仅当a b =时，等号成立，由同向不等式的可加性得2222a b a b a b b a +++≥+，即22a b a b b a++≥.【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，属于中等题.16．解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.【答案】(][],31,5-∞-【解析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集. 【详解】由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦.由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为：(][],31,5-∞-.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17．缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务.①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：2012年1月1日实行：2018年10月1日试行：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？【答案】（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【解析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税. 【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除， 如2018年10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18．已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z +==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅，D C =∅. （1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P . ①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【解析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据DB ≠∅，DC =∅，求得a 的值.（2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =. 根据题意D B ≠∅，D C =∅，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合DC =∅，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-. （2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =-.①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。

华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B.036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。

第九章 简单几何体9.1 棱柱、棱锥、棱台 1.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：A2．已知长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的角分别是α、β、γ，写出一个α、β、γ满足的关系式． 解：见题2解析图．设A CD A CB A CC αβγ∠=∠=∠=，，′′′′．γβαD 'C 'B'A'D C BA题2解析图由于cos cos cos DC BC C CA C A C A Cαβγ===，，，′′′′ 则2222222cos cos cos 1DC BC C C A C αβγ++++==′′．3．如图9-15，在棱锥P ABCDE -中，与底面平行的平面截棱锥得多边形A B C D E ′′′′′，点P 在底面、截面的射影分别是H 、H ′，求证：图 915C 'D 'E'H 'DHECBAP（1）PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE =====′′′′′′． （2）截面A B C D E ′′′′′与底面ABCDE 相似． （3）22A B C D EABCDE S PH S PH =′′′′′′．证明：（1）如图所示，连接A H ′′和AH ．A H ′′和AH 分别是平面ABCDE ′′′′′和平面ABCDE 与平面PAH 的交线． 由于平面A B C D E ′′′′′∥平面ABCDE ， 则PH PA A H AH PA H PAH PH PA=，，′′′′△′′△∥． 同理可证，PH PB PH PC PH PD PH PE PH PB PH PC PH PD PH PE====，，，′′′′′′′′． 则PH PA PB PC PD PE PH PA PB PC PD PE=====′′′′′′． （2）由于PA PB PA PB=′′，P ∠是公共角， 则PA B PAB △′′△∽，A B PA PH AB PA PH==′′′′． 同理可证，B C PH C D PH D E PH E A PH BC PH CD PH DE PH EA PH====，，，′′′′′′′′′′′′． 由于截面A B C D E ′′′′′与底ABCDE 的对应边成比例， 则截面A B C D E ′′′′′与底ABCDE 相似． （3）由（2）知，2222A B C D EABCDE S A B PH S AB PH ==′′′′′△′′′． 4．以1，l ，1? 解：3个．5．四面体OABC 中，OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，点P 满足OP lOA mOB nOC =++，其中l m n ，，为正数且1l m n ++=．若直线OP 是由到面OBC 、面OCA 和面OAB 的距离相等的点构成，求二面角A OB C --的余弦值（用l ，m ，n 表示）． 解：1OP lOA mOB nOC m n l AP mAB nAC P =++++=⇒=+，，在面ABC 上． OA ⊥面ABC ，AB AC ⊥，则P 在面ABO 的垂足在AB 上．又ABP ABCSAP mAB nAC AB AC n S =+⊥⇒=，△△．同理ACP BCP ABC ACP ABPABC ABC ABCS S S S S m l S S S --===，△△△△△△△△．则cos ABO P ABO ABP ACO P ACO BCP S V S nA OBC S V S l--∠--====△△△△．6．如图9-16，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，E 是1A B 的中点，F 在棱1CC 上，当点F 使得1A F BF +最小时，求异面直线AE 与1A F 所成的角．图 916B 1N 1C 1A 1H GFENC BA解：如图可知F 为中点时，满足题意．由于12GH AH ==，则AG ．又由于1A F =EG =AE =． 则222AE EG AG +=，则90AEG ∠=︒．7．如图9-17，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线118BD BD =，与侧面11BB C C 所成角为30︒，求：D 1C 1B 1A 1DCBA图 917（1）1BD 与底面ABCD 所成角． （2）异面直线1BD 与AD 所成角． （3）正四棱柱的全面积．解：（1）在正四棱柱1A C 中，由于11D C ⊥面11BB C C ， 则11D BC ∠是1D B 与侧面11BB C C 所成角，即1130D BC ∠=︒． 由于18BD =，则1114D C BC ==，， 由于1111A B C D 是正方形，则11114B C D C ==，1D D ⊥平面ABCD ，则1D BD ∠是1D B 与底面ABCD 所成角，在1Rt D DB △中，11BD B D ==18BD =，则11cos BD D BD BD =则145D BD ∠=︒， 即1BD 与底面ABCD 所成角为45︒． （2）由于11AD A D ∥，则11A D B ∠是1BD 与AD 所成角（或补角）． 由于11D A ⊥平面11AA B B ，则111D A A B ⊥， 11Rt A D B △中，11148A D BD ==，，则111cos 2A DB ∠=，则1160A D B ∠=︒， 即异面直线AD 与1BD ，所成角为60︒． （3）11Rt BB C △中，114B C =，1BC =则1BB =则2(44441)S =⨯+⨯⨯=全．8．如图9-18，已知三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等，90CAB ∠=︒，AC AB PB a D ===，为BC 中点，E 点在PB 上且PC ∥截面EAD ．求：图 918BF EDACP（1）AE 与底面ABC 所成角． （2）PC 到平面EAD 的距离． 解：（1）证明：由于PA 、PB 、PC 与底面ABC 所成角相等， 则顶点P 在底面上的射影为底面Rt CAB △的外心． 而Rt CAB △的外心在斜边BC 的中点D 处， 即PD ⊥平面ABC ， 而PD ⊆平面PBC ，则平面PBC ⊥底面ABC ．由于PC ∥截面EAD ，PD ⊆平面PBC ， 且平面PBC 平面EAD DE =，则PC ∥截面DE ，而D 为BC 中点， 则E 为PB 的中点． 过E 作EM PD ∥，则EM 与BC 的交点，M 为BD 的中点，连接AM ， 由于PD ⊥底面ABC ，则EM ⊥底面ABC ． 则EAM ∠为AE 与底面ABC 所成的角．AC AB PB a ===，则AE ，而PB PC a BC ===，，则CPB △为等腰直角三角形．在Rt AEM △中，sin EM EAM AE ∠===． 则AE 与底面ABC，所以成角为arc sin （2）等体积法，可得：12a ．9．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有__________个． 解：24个．10．如图9-19，ABCD A B C D -′′′′为正方体．任作平面α与对角线AC ′垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 则（ ）．E 'D 'C 'B 'A 'DC BA图919A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD -′与C D B C -′′′后，得到一个以平行平面A BD ′与D B C ′′为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ′′剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B A ′′，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A ′平行的线段（如题10解析图中1E E ′），显然11E E A A =′′，故l 为定值．正确选项为B ．A 1E 1B 1D 'DC BB'E'A'题10解析图11．如图9-20，长方体1111ABCD A B C D -，AB a =，BC b =，1A A c =，E 为11D C 中点，若平面11A BC 与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则sin θ=__________．cbaD ABC ED 1C 1B 1A 1图920解：sin θ=．12．如图9-21，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，906ACB AC ∠=︒=，，1BC CC P ==是1BC 上一动点．求1CP PA +的最小值．C 1B 1A 1PCB A图921解：将直三棱柱111ABC A B C -侧面展开可得：d =13．设棱台的两底面积分别为S 、S ′，它的中截面的面积为0S，求证：=． 证明：如题13解析图所示，因为棱台的中截面与两底面平行，所以多边形ABCDE ，00000A B C D E A B C D E ，′′′′′相似，因此2222000000S AB S A B S A B S A B ==，′′′，0000AB A BA B A B ==′′． 题13解析图D 0C 0B 0A 0E 0B'D 'C 'E'A'EDBA两式相加，又因为00A B 是梯形ABB A ′′的中位线，00000022A B AB A B A B A B +===，′′故=．14．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，AB DC ∥，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =PB PD ⊥． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．（2）求二面角P AB C --的大小． （3）设点M 在棱PC 上，且PMMCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ． 解：（1）21PO BO DO DO =⋅=，，取AB 中点E ，连DE ，故DE BC ∥，连PE ，故PDE ∠（或其补角）为异面直线PD 与BC所成角，PDDE BC ==2PE =，则222cos 2PD DE PE PDE PD DE +-∠==⋅ （2）连OE ，PE ，可证得OE AB ⊥，PE AB ⊥，则PEO ∠为二面角P AB C --的平面角，sin PO PEO PE ∠==π4PEO ∠=． （3）222cos 2PB PC BC PB PC BC BPC PB PC +-=∠=⋅ 若PC ⊥面BMD ，则PC BM ⊥，则cos PM PB BPC MC =⋅∠==则2PMMC=． 9.2 简单多面体与欧拉定理1．已知：一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：2-4V F =． 证明：由于每个定点都有三条棱，而每条棱有两个顶点， 则32E V =，代入欧拉公式得322V F V +-=，即24V F =-．2．是否存在七条棱的简单多面体?解：假设存在七条棱的简单多面体，由欧拉定理可得：279F V +=+= （*）因为多面体至少四个面，至少四个顶点，即4F ，4V ，故（F ，V ）只可能为（4，5）或（5，4），我们考虑最简单的多面体——四面体。

上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题，则，设全集1.，若集合______【答案】【解析】【分析】.先求出得解，再求【详解】由题得，所以···}.-3,-2,2,3,4,5,={···，故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.计算：2.______【答案】【解析】【分析】. ，即得解，求出设.，设【详解】∵.所以所以.所以故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量________，则，13 【答案】【解析】【分析】- 1 -.由题得，即得.【详解】由题得，∴13故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知. 识的理解掌握水平和分析推理计算能力________4.，那么如果复数满足1 【答案】【解析】【分析】的值，再求，所以方程没有实数根，由求根公式求出z由题得. |z|的大小得解，所以，所以方程没有实数根，【详解】∵1故答案为：【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌. 握水平和分析推理计算能力________5.）的反函数（【答案】（）【解析】【分析】. ,再求出原函数的值域即得反函数求出）（，设）所以,，【详解】设（.因x≥0，所，所以y≥0，所以反函数因为x≥0，所以，.，故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的. 理解掌握水平和分析推理计算能力________方程6.的解为- 2 -【答案】2【解析】【分析】，即，解方程再检验即得解由题得.【详解】. 经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解2故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力________81的二项展开式中，所有项的系数之和为在7.，则常数项为8 【答案】【解析】【分析】.由题得再利用二项式展开式的通项求常数项得解，所以n=4,得】由为式二n=4, ，所以项展开的通项题【详解，令..所以常数项为8故答案为：【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】，，且，即得双曲线的焦距，解方程组即得.- 3 -8.，∴，【详解】，所以该双曲线的焦距为，且8故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和.分析推理计算能力________9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为36 【答案】【解析】【分析】. ，，再求其轴截面的面积由题得.，【详解】由题得，所以36故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力时，他投，首先，他令胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列10.，当的概率，否则，令，即令一次骰子，若所得点数大于，则 ______（结果用最简分数表示）．为【答案】【解析】【分析】.的概率轮，要使得胡涂涂同学掷了3，分两种情况讨论，再利用古典概型求、11，胡涂涂同学掷了3轮，二轮点数为有两种情况，要使得，①一轮点数为【详解】，三轮点数26，二轮点数为1、、、，三轮点数为5、61；②一轮点数为23、45、、、、234 为1；.∴由古典概型得所求的概率故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌.握水平和分析推理计算能力已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为11.- 4 -_______【答案】【解析】【分析】=1. 22，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y为了简化问题，我们可以设单位圆x2+y2=1，a画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC 即为椭圆的，ba和，我们可以求出b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为bOD即为椭圆的.从而推导出离心率，第（cosθ，sinθ），即圆上的点P2+y2=1x【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆，第二步变换，绕着一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），所以据此得到单位圆的直观图（cosθ+45°，即投影点顺时针旋转sinθ，sinθ）sinθ，θ为参数，消去参数可得方，sinθ程y=方程参的数为，x=cosθ+为，=1.2(x-y)+8y2得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了- 5 -，根据椭圆上的点到原点的距离b，OD即为椭圆的该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a. ，从而推导出离心率a和b最大为a，最小为b，我们可以求出sinθ）到原点的距离的平方为椭圆上的点（cosθ+sinθ，=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析. 推理能力是（）的下列结论：①，关于函数的，12.设R、取得最小值；③函数；④的最小值是零点；②3中有且时，函数- 6 -________仅有一个是错误的，则-17 【答案】【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，.，解方程组得且，0ac【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果＜）且.c＜0，则函数在定义域内也没有最小值则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，，.且，解方程组得，-17故答案为：【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解. 掌握水平和分析推理能力二.选择题”的（13.的各项的和为已知无穷等比数列，则“）”是“ B. 充分非必要条件A. 充要条件既非充分也非必要条件D. 必要非充分条件C.A 【答案】【解析】【分析】再利用充要条件的先根据已知得＜，因为，所以S0，所以0.，. 定义判断得解0.【详解】由题得0，所以＜S，因为，，∴.”的是充要条件∴“”是“A故答案为：项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这n【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前.些知识的理解掌握水平和分析推理能力- 7 -、、）无解，则必有（ 14.的方程组：）已知关于（其中D.C.A. B.B 【答案】【解析】【分析】，其中不同时为1、.所以当ab=1,且a,b由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.、1，，其中所以当ab=1,且a,b不同时为.∴，即:B故选【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 和分析推理能力已知（R）图像的交点不可能（，则函数15.）与）（R在直线 C. 多于三个A. 只有D. 在第二象上 B.限C 【答案】【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的（RR）与结合函数（最多个数得解.（【详解】结合函数）与R（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有个交点，在第三、第四象限，因为函数R）在第2个交点，在第二象限，最多有1（三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点. 故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.方程416.已知是周期为的奇函数，且当，时，在- 8 -，则方程区间）内有唯一解在区间上所有解的和为（ C. 3053234D. 3055252B. 036162A.D 【答案】【解析】【分析】均有三个解，的图像，分析得到在在同一个坐标系下作出函数y=为解的在区和上间所有称，且均有对性，所以，】解【详2×1=2，第0,2结合图像对称性，可知，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为，所以在（2+2=4，0,2上的三个解的和为三个交点的横坐标为2，4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2,4 在（2×3=6，第三个交点的横坐标为，2,4上的三个解的和为所以在（6+4=10均有三个解，，且均有对称性，所以结合图像对称性，可知，在上所有解的和为∴在区间，D故选：【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合.分析推理能力解答题三..、17.如图，三棱锥中，、、均为直角，，- 9 -1）求三棱锥的体积；（.）求异面直线所成角的大小（2与 (2)(1) 【答案】【解析】【分析】为坐以点B.(2) BCD,（1）由题得AB⊥平面，再求出三棱锥的体积先求出轴建立空间直角坐标系，利用向量法所在直线为z所在的直线为y轴，以BA标原点，以BD.求异面直线所成角的大小与BCD,AD=AB⊥平面1）由题得【详解】 ,BD=，（所以三棱锥.的体积,所以）2（轴建立空间直zBAyBDB如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在直线为- 10 -B(0,0,0),A(0,0,1),角坐标系，则,,所以所以异面直线，与所成角的余弦.所成角为与∴异面直线【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.，函数18..R设）若，解不等式；（1，使得上单调递增. （2）求所有的在区间(1) 【答案】 (2)【解析】【分析】）由题得1再解不等式得解.(2)（在区间分类讨论，，数形结合分析得到使得和上单调递增. 的a的取值范围】（1解）由题得【详.，即，二次函数）若（2在区间y=，上单调递增.∴；，，；当，当，，明显符合，所以此时. 综上，【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单- 11 -调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为19.150°的两面墙，另两边是长度均.为8米的篱笆、平方米，求的长（结果精确到）若0.01米），；（1面积的最大值（结果精确到）若要求0.01平方米），求花坛（2.(1)10.05 (2) 平方米【答案】【解析】【分析】①，因为，由正弦定理得（1，即所以）设显然BD,，再利用余弦定理和基本不等式求②，解①②即得解.(2) 连接.，再求花坛出面积的最大值，由正弦定理得）设，，∴（【详解】1②，因为所以.解①②得.所以由正弦定理得,,显然2（）连接BD,由余弦定理得平方米. ，即最大值为∴【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.已知抛物线，直线、（），与20.恰有一，与恰有一个公共点，个公共点与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；- 12 -和且）设的夹角大小. （3是平面上一点，满足，求(3)(1) (2) 【答案】【解析】【分析】恰有一个公共点，，因为），，所以（1与点和方程出抛物线的准准线的距离.（2）线得由可，再求到以.(3) 由题得，所得得，再立与求与出，联，联立，求得，根据，和，即得得解方程，所以的夹角为.，（1，）【详解】，恰有一个公共点∵，与，∴准线的距离到准线为，所以点因为抛物线.得，可得）由（2，消去，，∴整理得得与，联立，联立得3（与）由题得，联立得，∵，与，∴a得）问结论，，，，消去由第（2，据此，，∵∴的夹角为和，解得∴，，∴.- 13 -【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.时，，，若数列，且当设满足：对所有，21.满足为“，函数则称，数列数列”，设R，（）.数列，求的值；，而是）若（1存在但对任意，证明：都不是使得（2），设数是数列，，列；是（，证明：对任意）设，使得数列，都存在.3(1) (2)见证明；(3)【答案】见证明【解析】【分析】先证明当分，）.(2) ，，（1两种情况讨论得到，即满足，所以是只需数列，，且当，所以不，，且当，所，即满足，只需，数列；再证明当是m为奇数，在归纳，得到：以当是不所，以数是列.(3)通过数列有解，存在；，m有解，存在为偶数，在当，.，所以对任意都存在再结合函数映射性质可知，，当时，，.是数列使得，），1；，，当（【详解】.当，不符；综上所述，，，- 14 -数列，也不是，，…，既不是，数列；（2，）当，数列，也不是，，数列；当，…，既不是，，数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是，，，，，，…，只需当，，∴不是，且当，数列；即满足，∴是数列，，当，，，，，…，只需，，∴不是，数列，即满足，∴是，且当数列；都不是数列，使得，是综上，存在数列，但对任意.，，当）有解，存在；3（；，，当有解，存在；，当，有解，存在有解，存在，当；，……，m存在当为奇数，有解，，在；m有解，存在为偶数，在；，当时，，结合函数映射性质可知，当.，都存在是，使得数列∴对任意【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 15 -。

华东师范大学二附中2021届高一下学期数学3月阶段测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b 的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D. .【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以, , ,.选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°∴△ABC为直角三角形或等边三角形．故选：C．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．【此处有视频，请去附件查看】三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC. 【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题. 18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。

2018-2019学年上海市华东师范大学二附中高一下学期数学3月阶段测试题一、单选题1．若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A．B．C．D．.【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以,, , .选A.2．“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．3．已知中，且，，则是（）A．正三角形B．直角三角形C．正三角形或直角三角形D．直角三角形或等腰三角形【答案】C【解析】由tan A +tan Btan A tan B ，推导出C ＝60°，由，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】 ∵tan A +tanB tan A tan B ， 即tan A +tan B （1﹣tan A tan B ）， ∴tan （A +B ），又A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°， ∵，∴,∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60° ∴△ABC 为直角三角形或等边三角形． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用． 4．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-= B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C【解析】试题分析：由已知得， sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得， sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以()sin cos cos sin cos ,sin cos sin 2παβαβααβαα⎛⎫-=-==- ⎪⎝⎭，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C【考点】同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．二、解答题5．如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．6．在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．7．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题.8．如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y 的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．三、填空题9．已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．10．求值：______________.【答案】1【解析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．11．已知，则的值为_______________.【答案】【解析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．12．已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.13．在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是.【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.【考点】1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.14．已知，则____________.【答案】【解析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．15．已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.16．已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．17．在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．18．在中，，则____________.【答案】【解析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos （A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.如果α是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.函数，的反函数是（）A. B.C. D.3.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2a cos B=c，且满足 sin A sin B（2-cos C）=sin2+，则△ABC为（）A. 锐角非等边三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形4.已知函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，则（）A. 函数一定是奇函数B. 函数一定是奇函数C. 函数一定是偶函数D. 函数一定是偶函数二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.2019°是第______象限．6.已知角α的终边经过点P（2，-3），则sinα=______7.已知tanα=2，则=______．8.函数y=的定义域为______．9.已知，，，则=______．10.已知，在第二象限，则=______．11.方程5sin x=4+2cos2x的解集为______．12.已知，则=______．13.将函数y=sin2x的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：①该函数的解析式为；②该函数图象关于点，对称；③该函数在，上是增函数；④若函数y=f（x）+a在，上的最小值为1，则．其中正确判断的序号是______（写出所有正确判断的序号）．14.已知△ABC中，7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sin A sin B sin C，则=______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知．（1）求sinαcosα的值；（2）若α为第二象限的角，求的值．16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中＞，＞，＜＜）的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为，．（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若，，求函数f（x）的最大值和最小值．17.如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y=f（t）均近似地满足函数f（t）=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产，求m的最小值．点（不含端点），过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）若△AEF外接圆的直径长为，求EF的值；（2）求BC的取值范围；（3）问点D在何处时，△DEF的面积最大？最大值为多少？答案和解析1.【答案】B【解析】解：α是第三象限的角，则α（2kπ+π，2kπ+），k Z，所以（kπ+，kπ+），k Z；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：B．先写出角α的范围，再除以3，从而求出角的范围，看出是第几象限角．本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：函数的反函数是y=-cosx，x[0，π]，故选：D．根据反三角函数的定义即可求出本题主要考查反正弦函数的定义和性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A-B=0，即A=B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）=（1-cosC）+=1-cosC，-[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-cosC，∴-（-cosC-1）（2-cosC）=1-cosC，即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，整理得：cos2C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A-B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，即函数f（x+1）一定为偶函数，故选：D．由三角函数图象的性质及函数图象的平移得：函数f（x）=cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，即函数f（x+1）一定为偶函数，得解．本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移，属中档题．5.【答案】三【解析】解：2019°=360°×5+219°，是第三象限角．故答案为：三．根据终边相同的角化为k•360°+α，k Z，α[0°，360°）即可．本题考查了终边相同的角的定义与应用问题，是基础题．6.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点P（2，-3），则x=2，y=-3，r=|OP|==，∴sinα==，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：tanα=2，则===．故答案为：直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值，考查计算能力．8.【答案】[2kπ-，2kπ+]，k Z【解析】解：根据函数y=，可得cosx≥0，可得2kπ-≤x≤2kπ+（k Z），故函数的定义域为[2kπ-，2kπ+]，k Z，故答案为：[2kπ-，2kπ+]，k Z．根据函数y=，可得cosx≥0，再结合余弦函数的图象，求得x的范围．本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由，得-cos，即cos，∴sinα=，则tanα==．∴=-cot（）=-tanα=．故答案为：．由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由诱导公式求．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．10.【答案】2【解析】解：若在第二象限，∴cosα=-，则=====2，故答案为：2根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．11.【答案】{x|x=arcsin+2kπ，或x=π-arcsin+2kπ，k Z}【解析】解：方程5sinx=4+2cos2x可化为5sinx=4+2（1-2sin2x），即4sin2x+5sinx-6=0，解得sinx=，或sinx=-2（不合题意，舍去）；所以该方程的解集为{x|x=arcsin+2kπ，或x=π-arcsin+2kπ，k Z}．故答案为：{x|x=arcsin+2kπ，或x=π-arcsin+2kπ，k Z}．方程化为关于sinx的一元二次方程，求出sinx的值，再写出方程的解集．本题考查了三角函数方程的求解与应用问题，是基础题．12.【答案】【解析】解：由，得2sinα=，∴，则tanα=．由tan==1，解得tan =（舍）或．∴===．故答案为：．由已知等式求得tanα，展开二倍角的正切求得tan，再由两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是中档题．13.【答案】③④【解析】解：根据题意知，f（x）=sin（x），令x=则，y=≠0∴①②错误；由三角函数的性质知③④正确；故答案为③④．运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题．本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用．14.【答案】【解析】解：7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sinAsinBsinC，由正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA，∴a2=，又a2=b2+c2-2bccosA，∴=b2+c2-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）==≥2=2，当且仅当b=c时取等号．即2sin（A-θ）≥2，其中tanθ=2，sinθ=，cosθ=．即sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，∴sin（A-θ）=1．∴A-θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k N*．∴sin（A+）=sin（θ+++2kπ）=cos（θ+）=（cosθ-sinθ）=×（-）=-．∴=cos（）=sin（A+）=．故答案为：-．由已知结合正弦定理可得：7b2+3c2=2a2+2bcsinA，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）==≥2=2，进一步得到sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，可得sin（A-θ）=1．得到A=θ++2kπ，k N*．求出sin（A+），再由诱导公式得答案．本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：（1）∵，∴平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=，得2sinαcosα=-1=-，得sinαcosα=-．（2）若α为第二象限的角，sinα＞0，cosα＜0，则=+===-．【解析】（1）利用同角三角函数关系，利用平方进行计算即可（2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）由题意有：A=2，T=π，即ω==2，由当x=时，函数f（x）取最大值，即2×+φ=2k，解得φ=2kπ，又0＜φ＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），令2kπ≤2x+，得：k，（k Z）故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）．函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，k]（k Z）．（2）当，，则2x+[，]，所以2sin（2x+）[1，2]，故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．【解析】（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：A=2，T=π，即ω==2，由当x=时，函数f（x）取最大值，即2×+φ=2k，解得φ=2kπ，又0＜φ，所以φ=，即f（x）=2sin（2x+），（2）由三角函数的值域的求法得：当，则2x+[，]，所以2sin（2x+）[1，2]，得解．本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域，属中档题．17.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由图知T=12=，∴ω=，…（1分）A+b=5，b-A=3，可得：A=1，b=4，…（3分）∴f（t）=sin（x+φ）+4，代入（0，5），得φ=+2kπ，又0＜φ＜π，∴φ=…（5分）即f（t）=sin（t+）+4，…（6分）（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）=cos t+4；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）=cos（t+m）+4；两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）=cos（t+m）+cos t+8（t≥0）；------（8分）依题意，有f（t+m）+f（t）=cos（t+m）+cos t+8≤9恒成立，即cos（t+m）+cos t≤1恒成立，展开有：（cos m+1）cos t-sin m sin t≤1恒成立，------（10分）∵（cos m+1）cos t-sin m sin t=A cos（t+ϕ），（其中，A=，cosϕ=；sinϕ=）；∴A=≤1，-----------------------（11分）整理得到：cos m≤-，------------------------（12分）依据余弦函数图象得：+2kπ≤m≤+2kπ，（k Z），即12k+4≤m≤12+8，取k=0得：4≤m≤8∴m的最小值为4．-----------------------（14分）【解析】（1）根据图象最值求A，b，根据周期求出ω，利用特殊点求出φ的值，可求函数f（t）的解析式．（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，依题意，有f（t+m）+f（t）=cos（t+m）+cos t+8≤9恒成立，展开由三角函数恒等变换化简整理可得：cos m≤-，依据余弦函数图象得：+2kπ≤m≤+2kπ，（k Z），取k=0得m的范围，从而可求m的最小值．本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵在锐角△ABC中，，∴sin A=，∵△ bc•，∴bc=13，∵△AEF外接圆的直径长为，由正弦定理可得，==，∴EF=3；（2）在△ABC中，由余弦定理得，BC2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-10≥2bc-10=16，当且仅当b=c=时取等号，∴BC≥4；BC的取值范围：[4，+）；（3）设，则，∵，∴AB•AC=，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴，，∴，，∵===-，∴当x=3时，的最大值为，．∴当x=3时，三角形ABD与三角形ADC面积相等∴D为BC的中点，∴当D为BC的中点时，△DEF的面积最大，最大值为．【解析】（1）根据面积为6可得bc，然后由正弦定理可得EF；（2）用余弦定理得到BC2=b2+c2-2bccosA，然后用重要不等式可得BC的范围；（3）设，然后根据面积关系将△DEF的面积用x表示出来，再用一元二次函数求其最大值即可．本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

华二附中高一期中数学试卷一、填空题1.若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B ⋃=______.2.若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）3.在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.4.命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________.5.已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.6.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为________________7.函数y =______.8.若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为_______．9.对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f gf gf g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.10.设2019a b +=，0b >，则当=a ______时，12019a a b+取得最小值.二、选择题11.已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N ⋂=（）A.()1,0 B.(){}1,0 C.{}0 D.R12.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件13.若110a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a b b a +>.成立的个数是（）A.1B.2C.3D.414.定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（）A.a b- B.a b+ C.4D.2三、解答题15.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b +≥+.16.解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.17.缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务.①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：2012年1月1日实行：级数应纳税收入额（含税）税率（%）速算扣除数一不超过1500元的部分30二超过1500元至4500元的部分10105三超过4500元至9000元的部分20555四超过9000元至35000元的部分251005五超过35000元至55000元的部分302755六超过55000元至80000元的部分355505七超过80000元的部分45135052018年10月1日试行：级数应纳税收入额（含税）税率（%）速算扣除数一不超过3000元的部分30二超过3000元至12000元的部分10210三超过12000元至25000元的部分201410四超过25000元至35000元的部分252660五超过35000元至55000元的部分304410六超过55000元至80000元的部分357160七超过80000元的部分4515160（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18.已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z+==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅ ，D C =∅.（1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P .①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.华二附中高一期中数学试卷一、填空题1.若集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x =<，则A B ⋃=______.【答案】{}[]20,1- 【分析】解一元二次方程求得集合A ，解不等式求得集合B ，由此求得两个集合的并集.【详解】由()()22210xx x x +-=+-=解得2x =-或1x =，故{}2,1A =-.由1<得01x ≤<，故[)0,1B =.所以A B ⋃={}[]20,1- .故答案为{}[]20,1- .【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查一元二次方程的解法，考查不等式的解法，属于基础题.2.若全集{}|26,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}|2,3,A x x n n n N ==≤∈，则U C A =______.（用列举法表示）【答案】{}2,1,1,3,5--【分析】分别求得集合,U A 的元素，由此求得U C A .【详解】依题意{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U=--，{}0,2,4,6A =，所以{}2,1,1,3,5U C A =--.故答案为{}2,1,1,3,5--.【点睛】本小题主要考查集合补集的概念和运算，属于基础题.3.在如图中用阴影部分表示集合()U U U C C A C B _____.【答案】详见解析【分析】先用阴影部分表示U U C A B C ，再用阴影部分表示()U U U C C A C B .【详解】依题意可知U U C A B C 表示为：故()U U U C C A C B 表示为：故答案为【点睛】本小题主要考查利用文氏图表示集合的并集和补集的运算，属于基础题.4.命题“设,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的逆否命题是：________.【答案】设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠.【分析】直接利用逆否命题的定义求解即可.【详解】 逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件，所以“,,a b R ∈若0,ab =则0a =或0b =”的否命题是“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”,故答案为“,,a b R ∈若0b ≠且0b ≠，则0ab ≠”.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于简单题.逆否命题是将原命题的条件与结论都否定，然后将条件当结论，结论当条件求得.5.已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】1a ≤【分析】解一元二次不等式求得集合B ，根据P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，判断出A 是B 的真子集，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】依题意()()254140xx x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥.由于P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，故1a ≤.即a 的取值范围为1a ≤.故答案为1a ≤【点睛】本小题主要考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为________________【答案】116【详解】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.7.函数y =______.【答案】[)[]1,00,2- 【分析】根据偶次方根被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意2401010x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪-≠⎩，2210x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩，解得[)[]1,00,2x ∈- .故答案为[)[]1,00,2- .【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查不等式的解法，属于基础题.8.若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为_______．【答案】[4,0]-【详解】试卷分析：当0m =时，不等式变形为10->，解集为∅，符合题意；当0m ≠时，依题意可得20{4040m m m m <⇒-≤<∆=+≤，综上可得40m -≤≤．考点：一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与x 轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．9.对定义域是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定函数()()()()(),,,,,,f g f gf g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D⎧∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩，设函数()()2f x x x R =-∈，()()231g x x x =-+≥，则函数()h x 的值域是______.【答案】1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据()h x 函数的定义求得()h x 的解析式，由此求得()h x 的值域.【详解】根据()h x 函数的定义可知()()()223,12,1x x x h x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩，即()2276,12,1x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩，对于()22761y x x x =-+-≥，其图像开口向下，对称轴为74x =，所以当74x =时有最大值为2771276448⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，没有最小值，即18y ≤.对于()21y x x =-<，21y x =-<-.故函数()h x 的值域是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分段函数解析式和值域的求法，属于基础题.10.设2019a b +=，0b >，则当=a ______时，12019a a b+取得最小值.【答案】20192018-【分析】利用已知条件，将12019a a b+转化为2220192019a a ba ab ++，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时a 的值.【详解】2120192019a a a b a b a b ++=+222122019201920192019a a b a a b =++≥-+，当且仅当22019a ba b=且a<0时等号成立，即20192018a =-.故答案为20192018-【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、选择题11.已知集合{}|1,M y x y x R =+=∈，{}|1,N y x y x R =-=∈，则M N ⋂=（）A.()1,0B.(){}1,0 C.{}0 D.R【答案】D【分析】根据y 的取值范围，求得M N R ==，由此求得两个集合的交集.【详解】对于集合,M N ，两个集合的研究对象都是y ，且R y ∈，故M N R ==，所以M N R = .故选D.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.12.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【详解】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B ．【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题．13.若11a b <<，则下列不等式中，①2ab b <；②22a b >；③2a b +<④2a b b a +>.成立的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【分析】根据110a b<<得到0b a <<，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数.【详解】由110a b<<可知0b a <<.由b a <两边乘以负数b 得2b ab >，故①正确.由0b a <<得()()22220,b a b a b a b a -=+->>，故②错误.由0b a <<，结合基本不等式有()()22a b a b -+-+=-<，故③正确.由0b a <<，结合基本不等式有2a b b a +>=，故④正确.综上所述，正确的个数为3个.故选C.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.14.定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->，已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为（）A.a b -B.a b+ C.4D.2【答案】D 【分析】将不等式111x a x b+≥--转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得x 构成的区间的长度和.【详解】原不等式111x a x b +≥--可转化为()()()220x a b x ab a b x a x b -+++++≤--①，对于()220x a b x ab a b -+++++=，其判别式()220a b ∆=-+>，故其必有两不相等的实数根，设为12,x x ，由求根公式得1x =，2x =下证12b x a x <<<：构造函数()()22f x x a b x ab a b =-+++++，其两个零点为12,x x ，且12x x <.而()()220f a a a b a ab a b b a =-++⋅+++=-<，所以12x a x <<，由于b a <，且()()220f b b a b b ab a b a b =-++⋅+++=->，由二次函数的性质可知12b x a x <<<.故不等式①的解集为(](]12,,b x a x ⋃，其长度之和为()1212x b x a x x a b -+-=+-+()22a b a b =++-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.三、解答题15.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b aba b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b abab+-+-+-==.0a > ，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab +-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.16.解不等式组：9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩.【答案】(][],31,5-∞- 【分析】分别求得分式不等式和绝对值不等式的解集，求两者的交集得到不等式组的解集.【详解】由97212x x ≥-+得970212x x -≥-+，()()50212x x x -≤-+，解得()1,2,52x ⎛⎤∈-∞-⋃ ⎥⎝⎦.由12x +≥得12x +≤-或12x +≥，解得3x ≤-或1x ≥.所以不等式9721212x x x ⎧≥⎪-+⎨⎪+≥⎩的解集即()(][)(][]1,2,52,31,5,31,x x x ⎧⎛⎤=-∞-⋃⎪ ⎥⇒∈-∞-⋃⎝⎦⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎩.故答案为(][],31,5-∞- .【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查绝对值不等式的解法，考查不等式组的求解，属于基础题.17.缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务.①个人所得税率是个人所得税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入－起征点金额－专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元.下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：2012年1月1日实行：级数应纳税收入额（含税）税率（%）速算扣除数一不超过1500元的部分30二超过1500元至4500元的部分10105三超过4500元至9000元的部分20555四超过9000元至35000元的部分251005五超过35000元至55000元的部分302755六超过55000元至80000元的部分355505七超过80000元的部分45135052018年10月1日试行：级数应纳税收入额（含税）税率（%）速算扣除数一不超过3000元的部分3二超过3000元至12000元的部分10210三超过12000元至25000元的部分201410四超过25000元至35000元的部分252660五超过35000元至55000元的部分304410六超过55000元至80000元的部分357160七超过80000元的部分4515160（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额＝应纳税收入额×适用税率－速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？【答案】（1）何老师10月份应缴纳683.8元个人所得税，增加收入424.4元（2）详见解析【分析】（1）先计算出10月份的扣税，再计算出9月份的扣税，两者作差，计算出何老师增加的收入.（2）直接按当前级数税率计算，则多算了前面级数的金额，所以要扣除.这样计算可以减少运算量，能使财务人员迅速计算出个人所得税.【详解】（1）10月份，13404371050004694--=，∴30003%169410%259.4⨯+⨯=；9月份，13404371035006194--=，∴15003%300010%169420%683.8⨯+⨯+⨯=；增加收入683.8259.4424.4-=元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，如2018年10月的表中，21030007%=⨯，1410900010%300017%=⨯+⨯，2660130005%900015%300022%=⨯+⨯+⨯，依此类推.【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用，属于基础题.18.已知集合{}22|190D x x ax a =-+-=，{}2|22,B y y x x y Z +==-++∈，集合|C x y x Z ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，且集合D 满足D B ≠∅ ，D C =∅ .（1）求实数a 的值；（2）对集合{}()12,,,2k A a a a k =⋅⋅⋅≥，其中()1,2,,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅，定义由A 中的元素构成两个相应的集合：(){},|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，(){},|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(),a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ，若对任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P .①请检验集合B C ⋃与B D 是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；②试判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）2a =-（2）①B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P ；()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =②m n <，证明见解析【分析】（1）先求得集合,B C 所包含的元素，根据D B ≠∅ ，D C =∅ ，求得a 的值.（2）根据（1）求得,,B C D ，由此求得,B C B D ⋃⋃.①根据性质P 的定义，判断出B C ⋃不具有性质P ，B D 具有性质P .根据集合,S T 的定义求得,S T .②根据①所求,S T ，求得,m n ，由此比较出两者的大小关系.【详解】（1）对于集合B ，222y x x =-++开口向下，对称轴为1x =，当1x =时3y =，故{}1,2,3B =对于集合C ，由201x x -≥+，解得()12x x Z -<≤∈，所以{}0,1,2C =.根据题意D B ≠∅ ，D C =∅ ，所以3D ∈，解得5a =或2a =-，经检验，5a =不符合D C =∅ ，故舍去，2a =-满足题意，即2a =-.（2）由（1）得{}3,5D =-，{}1,2,3B =，{}0,1,2C =，{}0,1,2,3B C ⋃=，{}5,1,2,3B D =- .①B C ⋃中,00B C B C ⋃-∈⋃∈，故B C ⋃不具有性质P ；B D 中任意元素,a B D a B D ∈-∉ ，故B D 具有性质P ；根据集合,S T 的定义，求得()(){}1,2,2,1S =，()()(){}2,1,3,1,3,2T =；②由①知，2,3m n ==，故m n <.【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题.。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉。

睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑。

”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C【解析】本题符合函数周期性特点．【详解】函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”．打油诗作者【横刀向天笑】→【睡觉】→【拿起刀】→【横刀向天笑】→⋯⋯每三句重复出现一样的内容，符合函数周期性的特点．故选：C．【点睛】打油诗作者通过循环句式，表达了面对将要发生的灾难时，豁达坦然的心境，诙谐中透露出自己的无奈和寂寞．2．函数x xx xe eye e--+=-的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断 【详解】()x xx x e e y f x e e --+==-，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞()()x xx xe ef x f x e e --+-==--，()y f x ∴=为奇函数，()y f x ∴=的图象关于原点对称，又2211x x x x x e e y e e e --+==+--，∴函数()y f x =在(,0)-∞，(0,)+∞为减函数，故排除A 、C 选项.又当0x > 时21x e >，210x e ->，2201x e >-，22111x e +>-即()f x 的图象在0x >时恒在1y =的上方，故排除D 选项，正确答案为B . 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质． 3．已知()()122018122018R f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且集合()(){}221M a f a a f a =--=+，则集合(){}N f a a M =∈的元素个数有（ ）A.无数个B.3个C.4个D.2个【答案】A【解析】先判断函数()f x 奇偶性，由2(2)(1)f a a f a --=+进而2|2||1|a a a --=+解得a ，另外当[1x ∈-，1]时()4074342f x =，联立）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩剟剟得到a 的范围，根据()f a 的解析式可以得到()f a 的个数，从而得到结果． 【详解】函数()|2018||2017||1||1||2017||2018|f x x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++， ()|2018||2017||1||1||2017|f x x x x x x ∴-=--+--+⋅⋅⋅+--+-++⋅⋅⋅+-+|2018||2018||2017||1||1||2017||2018|()x x x x x x x f x +-+=-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++=，即函数()f x 是偶函数，当[1x ∈-，1]时，()4074342f x =；当[2x ∈-，1]-时，()22(342018)24074336f x x x =-+++⋅⋅⋅+=-+ 若2(2)(1)f a a f a --=+，则221a a a --=+①，或22(1)a a a --=-+②；2121111a a a ⎧---⎨-+⎩剟剟③ 由①得223(1)(3)0a a a a --=+-=， 即(1)(3)0a a --=，解得1a =-或3a =； 由②得210a -=，解得1a =或1a =-； 由③a综上1a =a3a =； 又()40721434f =，当1a -剟时()4074342f a =1a <时()24074336a a f =-+，有无数个 ()4520212101201540743483f =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=()f a ∴的值有无数个．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数性质，方程与不等式的解法，集合的性质，考查了推理与计算能力，属于难题．4．下列命题中正确的命题是（ ）A.若存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()()12f x f x <，则说函数()y f x =在区间[],a b 上是增函数：B.若存在[],i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，i 、*N n ∈），当123n x x x x <<<⋅⋅⋅<时，有()()()()123n f x f x f x f x <<<⋅⋅⋅<，则说函数()y f x =在区间[],a b 上是增函数；C.函数()y f x =的定义域为[)0,+∞，若对任意的0x >，都有()()0f x f <，则函数()y f x =在[)0,+∞上一定是减函数：D.若对任意[]12,,x x a b ∈，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[],a b 上是增函数. 【答案】D【解析】比值大于零，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由增函数的定义可得结论． 【详解】由增减函数的定义可以判断对于A 选项，存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()()12f x f x <，无法说明函数的增减性，故A 错误；对于B 选项，同选项A ，只是存在，不是任意的，故B 错误；对于C 选项，只能说明函数()f x ，[)0,x ∈+∞在0x =处取得最大值，无法说明增减性，故C 错误；对于D 选项，对任意1x ，2[x a ∈，]b ，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-成立，即有12x x >时，12()()f x f x >，12x x <时，12()()f x f x <， 由增函数的定义知：函数()f x 在区间[a ，]b 上是增函数，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查增函数、减函数的定义，熟记定义是解题的关键．属基础题．二、填空题 5．函数()lg 1x y x+=的定义域是______.【答案】()()1,00,-⋃+∞【解析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：10x x +>⎧⎨≠⎩，解得：1x >-且0x ≠， 故函数的定义域是(1-，0)(0⋃，)+∞， 故答案为：(1-，0)(0⋃，)+∞． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．6．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则()2f -=_______ 【答案】0【解析】根据奇函数性质得()00f =，再根据条件求()2.f - 【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()2f x f x +=-，所以()()222f f -+=--，即()20.f -= 【点睛】已知函数的奇偶性求函数值，首先抓住奇偶性求一些函数具体数值，再充分利用有关()f x 的方程，解得所求的值.7．已知cos 5α=，02πα-<<，则tan α=______.【答案】2-【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求出sin α，然后得到tan α． 【详解】因为cos 02παα=-<<，所以sin α==，所以sin tan 2cos ααα===-；故答案为：2- 【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，三角函数值的范围，考查计算能力． 8．2020是第______象限角. 【答案】三【解析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为：三． 【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题． 9．已知函数()y f x =与()1y fx -=互为反函数，若函数()()1,R 1x af x x a x x --=≠-∈+的图像过点()2,3，则()4f =______. 【答案】1 【解析】根据()123f -=得7a =-，再根据1()4fx -=解得1x =即可．【详解】因为1()f x -过(2,3)，所以()123f -=，所以2321a-=+，解得7a =-，所以17()1x f x x -+=+， 由741x x +=+解得1x =，所以()41f =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反函数点(),x y 在原函数()f x 上则点(),y x 在反函数()1f x -上，属基础题．10．若关于x 的方程12xa a -=，()0,1a a >≠有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】102a <<【解析】先画出1a >和01a <<时的两种图象，根据图象可直接得出答案． 【详解】据题意，函数|1|(0,1)x y a a a =->≠的图象与直线2y a =有两个不同的交点．1a >时01a <<时由图知，021a <<，所以1(0,)2a ∈， 故答案为：1(0,)2． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象与性质，考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想．11．屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为______元（保留整数） 【答案】53877【解析】利用等比数列的前n 项和公式直接求解． 【详解】屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元， 且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为：2345(10.025)(10.025)(10.025)(10.025)(10.025)+++++++++51.025(10.025)5387710.025-=≈-．故答案为：53877． 【点睛】本题考查他可取回的钱数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知函数()()14245xx f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[]0,2上存在零点，则实数k 的取值范围______.【答案】(][),45,-∞-⋃+∞【解析】换元令2x t =，则[1t ∈，4]，即22()24(5)(1)5(4)f t k t k t k k t k =--+=--+在[1，4]上有零点，根据零点判定定理即可求得结论． 【详解】令2x t =，则[1t ∈，4]，22()24(5)(1)5(4)f t k t k t k k t k ∴=--+=--+在[1，4]上有零点，()()140f f ∴≤即可，即5(4)(420)0k k -+-…， 解得5k …或4k -…， 故答案为：(-∞，4][5-，)+∞． 【点睛】此题是中档题．考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系，体现了转化的能力，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力． 13．下列命题正确的序号为______.①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数； ③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件； ④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上； 【答案】③④【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断真假性即可． 【详解】对于①，不是所有的周期函数都有最小正周期，如()0,1,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，∴①错误；对于②，()0f x =，{0}x ∈，是偶函数，它有反函数，∴②错误；对于③，()f x 是单调函数时，()f x 存在反函数，充分性成立， ()f x 存在反函数时，()f x 不一定是单调函数，如1()f x x=，(0)x ≠，必要性不成立，是充分不必要条件，③正确；对于④，原函数与反函数的图象有偶数个交点时，则它们的交点必关于直线y x =对称， 也可能都不在直线y x =上，④正确； 综上所述，正确的命题序号是③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题利用命题真假的判断考查了函数的定义与性质的应用问题，是中档题． 14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是___________．【答案】)+∞【解析】根据奇函数的定义求出函数()f x 的解析式，可得)=2()f f x ，可将())f x t f +≥对任意的[,2]x t t ∈+均成立转化为x t +≥对任意的[],2x t t ∈+恒成立，即可求解.【详解】由题意得：当0x <时，2()f x x =-，所以()f x 是R 上的增函数且()f x 为奇函数，()f x 的解析式为22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩.由题意得)=2()f f x 成立，从而原不等式等价于())f x t f +≥对任意的[,2]x t t ∈+均成立，即x t +≥对任意的[],2x t t ∈+恒成立∴1)x t ≤对[],2x t t ∈+恒成立∴t ≥【点睛】本题主要考查利用奇函数求解析式的方法.解答本题的关键是利用转化思想，将())f x t f +≥对任意的[,2]x t t ∈+均成立转化为x t +≥对任意的[],2x t t ∈+恒成立.三、解答题15．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】()2rad α= 152r =【解析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有230l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ()015R <<，弧长为l ，则230l R +=．可得：()()()2151122530215[]2224R R S lR R R R R -+==-⋅=-⋅=扇形…（当且仅当152R =时取等号）．可得：S 扇形最大值为2254，此时152R =，15l =． 可得：扇形中心角的弧度数152()152l rad R α===． 【点睛】本题考查扇形面积公式，考查弧长公式，考查基本不等式（也可利用配方法）的应用，属于中档题．16．判断并证明函数()2121log 121x xxf x x++=+--的奇偶性. 【答案】奇函数,证明见解析【解析】容易看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明：可求出()f x 的定义域，然后可得出()()f x f x -=-，从而判断出()f x 是奇函数． 【详解】 ()f x 是奇函数．证明：解120101x x x⎧-≠⎪⎨+>⎪-⎩得，11x -<<，且0x ≠；()f x ∴的定义域为{|11x x -<<，且0}x ≠；又22121121()()121121x x x x x xf x log log f x x x--+-++-=+=--=--+--； ()f x ∴是奇函数．【点睛】考查奇函数的定义及判断，对数的运算性质． 17．已知函数f （x ）=9x ﹣2a •3x +3：（1）若a =1，x ∈[0，1]时，求f （x ）的值域； （2）当x ∈[﹣1，1]时，求f （x ）的最小值h （a ）；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h （a ）的定义域为[m ，n]时，其值域为[m 2，n 2]，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1) [2，6]；(2) h （a ）=;(3)不存在；理由见解析.【解析】试题分析：（1）当a=1，x ∈[0，1]时，令t=3x ，t ∈[1，3]，y=g(t)=223t t -+,t ∈[1，3]，由二次函数可求得值域。

华二附中2017-2018高一上期中数学卷一、填空题1.若集合{}**(,)|24,,A x y x y y N x N =+=∈∈，用列举法表示：A =________________.2.函数y =__________.3.已知命题P 的逆命题是“若实数满足1a =且2b =，则4a b +<”，则命题P 的否命题是4.若()f x x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=_________.5.设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____.6.不等式12x<的解集是_________.7.任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x yx y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________8.若关于x 的不等式22160kx x k --+<的解集为空集，则k 的取值范围是______.9.已知函数()f x k =的定义域和值域都是[],a b ，则实数k 的取值范围是_________.10.已知函数()()y f x x I =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数(),y h x x I =∈.即(),y h x x I =∈满足对任意x I ∈，两点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称.若()h x 是()g x =()3f x x m =+的对称函数，且()()h x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是__________．二、选择题11.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （）A.3(3,2-- B.3(3,2- C.3(1,2 D.3(,3)212.设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.下列命题中：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c cc a b>⇒<；③22ac bc a b >⇒>；④33>⇒>a b a b ，其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个14.国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为xn y=x 代表人均食品支出总额，y 代表人均个人消费支出总额）且2475y x =+，各种类型的家庭标准如下表：家庭类型贫困温饱小康富裕n59%n ≥50%59%n ≤<40%50%n ≤<30%40%n ≤<张先生居住区2017年比2016年食品支出下降7.5%，张先生家在2017年购买食品和2016年完全相同的情况下人均少支出75元，则张先生家2017年属于（）A.贫困B.温饱C.小康D.富裕三、解答题15.解关于x 的不等式(1)()0x x a --<，a R ∈16.已知a 、[1,1]b ∈-，求证：|||1|a b ab +≤+17.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点)P ，再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP π∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．18.设集合2{1,2,3,2}n A n = ()*2,n N n ∈≥，如果对于2n A 的每一个含有m ()4m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”（1）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；m n≥+.（2）若m为集合2n A的“相关数”，证明：3华二附中2017-2018高一上期中数学卷一、填空题1.若集合{}**(,)|24,,A x y x y y N x N =+=∈∈，用列举法表示：A =________________.【答案】(){}2,1根据**24,,x y y N x N +=∈∈解出方程，写成集合形式.【详解】由题：**24,,x y y N x N +=∈∈，根据0,0x y >>，必有04,02x y <<<<，且**,y N x N ∈∈，所以只能,12y x ==，所以(){}2,1A =.故答案为：(){}2,1【点睛】此题考查根据集合描述法求集合中的元素，准确辨析限制条件，用列举法表示，注意元素的表示形式.2.函数y =__________.【答案】[]5,1-解不等式2450x x --+≥，其解集就是函数定义域.【详解】由题：2450x x --+≥，即2450x x +-≤，()()510x x +-≤，解得：51x -≤≤，所以定义域为：[]5,1-.故答案为：[]5,1-【点睛】此题考查根据函数求定义域，关键在于准确求解不等式，结果写成集合或区间形式. 3.已知命题P 的逆命题是“若实数满足1a =且2b =，则4a b +<”，则命题P 的否命题是【答案】,4,12a b a b a b +≥≠≠若实数满足则或根据四种命题之间关系，可先由逆命题写出原命题，进而可得出其否命题.【详解】因为命题P 的逆命题是“若实数满足1a =且2b =，则4a b +<”，所以命题P ：若实数满足4a b +<，则1a =且2b =；所以其否命题为：若实数满足4a b +≥，则1a ≠或2b ≠；【点睛】本题主要考查四种命题之间关系，熟记概念即可，属于基础题型.4.若()f x x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=_________.【答案】根据运算法则对两个函数进行乘积运算即可.【详解】由题：()f x x =，()g x =则()()f x g x x ⋅=⋅.故答案为：【点睛】此题考查求两个函数的乘积，关键在于正确计算代数式的乘积.5.设集合{}24,,3A m m m =+中实数m 的取值集合为M ，则R C M =_____.【答案】{}4,2,0,1,4--根据集合中的元素的互异性，列出不等式组求解.【详解】由题：集合{}24,,3A m m m =+，则224343m m m m m m ≠⎧⎪+≠⎨⎪+≠⎩，化简得：()()()441020m m m m m ⎧≠⎪+-≠⎨⎪+≠⎩，解得：()()()()()(),44,22,00,11,44,m ∈-∞----+∞ ，即()()()()()(),44,22,00,11,44,M =-∞----+∞ ，所以{}4,2,0,1,4R C M =--.故答案为：{}4,2,0,1,4--【点睛】此题考查根据集合中元素的互异性求参数的取值范围，需要注意不重不漏.6.不等式12x<的解集是_________.【答案】()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】由不等式12x <得120x -<，所以210x x->，等价于(21)0x x ->，解之得所求不等式的解集.【详解】由不等式12x <得120x -<，即120x x -<，所以210x x->，此不等式等价于(21)0x x ->，解得0x <或12x >，所以不等式的解集是：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，故填：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.7.任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________【答案】9根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可.【详解】集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个;若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个;若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩,51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个;综上可知,满足条件的元素共有9个.故答案为:9【点睛】本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题.8.若关于x 的不等式22160kx x k --+<的解集为空集，则k 的取值范围是______.【答案】176k +≥【详解】由题意知，对每一个x R ∈，都有22160kx x k --+≥，即()2216x k f x x -≥=+，所以，(),k maxf x x R ≥∈.当1x ≥时，令1t x =-，0t ≥则()()()22227167216ttf x tt ==≤=++++，当且仅当t =，即1x =+当1x <时，令10t x t =->，，则()()()22227167216ttf x ttt +==≤+--+，当且仅当t =，即1x =-综上知，()17max 6x Rf x ∈=，故k 的取值范围是176k ≥9.已知函数()f x k =的定义域和值域都是[],a b ，则实数k 的取值范围是_________.【答案】5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦函数()f x k =-在定义域内是减函数，只需满足(),()f a b f b a ==，转化成方程的根的问题.【详解】由题函数()f x k =在定义域[)2,-+∞内是减函数，函数()f x k =-的定义域和值域都是[],a b ，所以(),()f a b f b a ==，即k bk a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2a b k -≤<≤k b k a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式同时平方得：22222222k bk b a k ak a b ⎧-+=+⎨-+=+⎩，两式相减得：2222ak bk b a a b -+-=-，()()()2k a b a b a b a b --+-=-，所以：21a b k +=-所以22222222k bk b a k ak a b ⎧-+=+⎨-+=+⎩等价于222222122212k bk b k a k ak a k b ⎧-+=--+⎨-+=--+⎩，即()()22222121021210b k b k k a k a k k ⎧--+--=⎪⎨--+--=⎪⎩，所以可以看成,a b 是方程()2221210x k x k k --+--=在[]2,x k ∈-的两个不等实根，由根的分布可知：()()()()()()2222222142102122221221021210k k k k k k k k k k k k k ⎧∆=---->⎪⎪--<<⎪⎨⎪----+--≥⎪⎪--+--≥⎩，化简得：2450421223010k k kk k k +>⎧⎪-<-<⎪⎨++≥⎪⎪--≥⎩，解得：54321k k k ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≤-⎪⎪⎩，所以5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故答案为：5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦【点睛】此题考查根据函数的单调性讨论定义域与值域的问题，将问题转化为方程的根的问题解决.10.已知函数()()y f x x I =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数(),y h x x I =∈.即(),y h x x I =∈满足对任意x I ∈，两点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称.若()h x 是()g x =()3f x x m =+的对称函数，且()()h x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】m >由“对称函数”的定义及中点坐标公式得2()432h x x x m +-=+所以，2()624h x x m x =+--，()()h x g x >恒成立即226244x m x x +-->-，234x m x +>-恒成立，亦即直线3y x m =+位于半圆24y x =-的上方.在同一坐标系内，画出直线3y x m=+及半圆24y x =-（如图所示），当直线与2300213m⨯-+=+解得10m =，故答案为m 10>二、选择题11.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （）A.3(3,2-- B.3(3,2- C.3(1,2 D.3(,3)2【答案】D试卷分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.【此处有视频，请去附件查看】12.设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A试卷分析：由题意得，min 2(2221a a x x a a x x +≥⇔+≥⇔≥⇔≥，故“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的充分不必要条件，故选A ．考点：1．充分必要条件；2．恒成立问题．13.下列命题中：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c cc a b>⇒<；③22ac bc a b >⇒>；④33>⇒>a b a b ，其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C根据不等式的性质分析①③④正确，②中若0a b >>则不成立.【详解】对于①：a b a b c a c b >⇒-<-⇒-<-，正确；对于②：若0a b >>，00c cc a b>⇒>>，所以原说法错误；对于③：22222220ac bc ac bc c a b c c>⇒>⇒>⇒>，正确；对于④：33a b a b >⇒>⇒>，正确，所以正确的命题共3个.故选：C【点睛】此题考查不等式性质的应用，对命题真假性进行判断.14.国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为xn y=x 代表人均食品支出总额，y 代表人均个人消费支出总额）且2475y x =+，各种类型的家庭标准如下表：家庭类型贫困温饱小康富裕n59%n ≥50%59%n ≤<40%50%n ≤<30%40%n ≤<张先生居住区2017年比2016年食品支出下降7.5%，张先生家在2017年购买食品和2016年完全相同的情况下人均少支出75元，则张先生家2017年属于（）A.贫困B.温饱C.小康D.富裕【答案】D根据食品支出下降7.5%和人均支出少75元，求出2017年的食品支出和人均消费支出，即可求出系数.【详解】设2016年人均食品消费x 元，则2017年人均食品支出()17.5%92.5%x x -=，2017年人均消费支出：292.5%475x ⨯+，由题：292.5%475752475x x ⨯++=+，解得：500x =，所以92.952.50.33292.55475%292.5%5475n x x ⨯==≈⨯⨯+⨯+，所以属于富裕.故选：D【点睛】此题考查函数模型的应用，根据题目所给关系，建立函数模型求解实际问题.三、解答题15.解关于x 的不等式(1)()0x x a --<，a R∈【答案】当1a >时，不等式的解为：(1,)a ，当1a =时，不等式解为∅，当1a <时，不等式的解为：(,1)a .分类讨论当1,1,1a a a >=<三种情况的解.【详解】关于x 的不等式(1)()0x x a --<，a R∈当1a >时，不等式的解为：1x a <<，当1a =时，原不等式为2(10)x -<，不等式无解，当1a <时，不等式的解为：1<<a x ，综上所述：当1a >时，不等式的解为：(1,)a ，当1a =时，不等式解为∅，当1a <时，不等式的解为：(,1)a .【点睛】此题考查解含参数的不等式，关键在于准确进行分类讨论.16.已知a 、[1,1]b ∈-，求证：|||1|a b ab +≤+【答案】证明见解析.通过作差法证明()()()()221110ab a b ab a b ab a b +-+=++++--≥即可【详解】a 、[1,1]b ∈-，所以10,10,10,10a b a b +≥+≥-≥-≥()()()()22111ab a b ab a b ab a b +-+=++++--()()()()11110a b a b =++--≥所以()()221ab a b +-+，即1ab a b +≥+，所以|||1|a b ab +≤+.【点睛】此题考查不等式的证明，含绝对值问题可以考虑平方处理，常用作差法结合因式分解证明.17.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点)P ，再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP π∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【答案】（1）四边形MNPE 为矩形，面积22S m =．（2）当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．理由见解析.（1）当4EFP π∠=时，由条件得4EFP EFD FEP π∠=∠=∠=．可得FN BC ⊥，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）设(02EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．可得22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--，化简利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：（1）当4EFP π∠=时，由条件得4EFP EFD FEP π∠=∠=∠=．所以2FPE π∠=．所以FN BC ⊥，四边形MNPE 为矩形．所以四边形MNPE 的面积22S PN MN m == ．（2）设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,(*)30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为1()2S NP ME MN =+122[(3)(322sin 2tan θθ=-+-⨯226tan sin 2θθ=--2222(sin cos )6tan 2sin cos θθθθθ+=--36(tan tan θθ=-+66-=-．当且仅当3tan tan θθ=，即tan ,3πθθ==时取“=”．此时，(*)成立．答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．【点睛】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.设集合2{1,2,3,2}n A n = ()*2,n N n ∈≥，如果对于2n A 的每一个含有m ()4m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”（1）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；（2）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：3m n ≥+.【答案】（1）5不是集合6A 的“相关数”，6是集合6A 的“相关数”；（2）证明见解析.（1）写出6{1,2,3,4,5,6}A =，分别考虑含有5个元素的子集和含有6个元素的子集讨论其中某四个数之和是否为13即可；（2）分析2n A 的含有2n +个元素的集合，{}1,,1,2,,2n n n n n -++⋅⋅⋅，其中任意四个元素之和的最小值42n +，不可能等于41n +，所以2n +不是集合2n A 的“相关数”，分析当2,m n m N *≤+∈时，m 不是集合2n A 的“相关数”，即可得证.【详解】（1）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，它的5个元素的子集中{2,3,4,5,6}，它的四个元素之和的最小值23451413+++=>，其中任意四个元素之和都不可能为13，所以5不是集合6A 的“相关数”，它的6个元素的子集中只能是{1,2,3,4,5,6}，存在四个元素124613+++=，所以6是集合6A 的“相关数”；（2）若m 为集合2n A 的“相关数”，假设2,m n m N *≤+∈，则448m n -≥--，分析2n A 的含有m 个元素的集合{}21,22,,2n m n m n -+-+⋅⋅⋅，其中任意四个元素之和的最小值21222324841042n m n m n m n m n m n -++-++-++-+=-+≥+，不可能等于41n +，则m 不是集合2n A 的“相关数”，与题矛盾，所以2,m n m N *>+∈，即3,m n m N *≥+∈.【点睛】此题考查对集合中元素特点分析进行辨析和证明，涉及推理与证明，利用反证法证明，对综合能力要求较高.。

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一数学下学期3月阶段测试题（含解析）一、填空题（每小题4分，共40分）1.已知点在角的终边上，且，则______________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，利用诱导公式化简，则可得结果．【详解】因为，则r13a，∴sinα，cosα，又,故答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题．2.求值：______________.【答案】1【解析】【分析】先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利用诱导公式变形，约分后即可得到结果．【详解】因为＝•）＝•＝•＝•＝1．故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．3.已知，则的值为_______________.【答案】【解析】【分析】由下向上依次运算，1﹣csc2x＝﹣cot2x，11+tan2x，11﹣cos2x．【详解】原式代入得．故答案为.【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.已知锐角是钝角的两个内角，且的终边过点，则是第______象限角.【答案】二【解析】【分析】由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果.【详解】若△ABC为钝角三角形且为锐角，则，因此，则sin<sin（）＝cos，同理可得sin<sin（）＝cos，所以，，故P在第二象限，故答案为：二.【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档题.5.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是 .【答案】②④【解析】试题分析：因为，整理得，所以不正确，，，，所以②正确，，③错，，，，故④正确，故答案为②④.考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角函数之间的关系. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.6.已知，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结果．【详解】∵分子、分母都除以cos2θ，∴得=，（）∵，∴所求=故答案为．【点睛】本题考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中档题．7.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.详解：因为，，所以，因此点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8.已知，且是关于的方程的两个根中较小的根，则的值为____________.【答案】【解析】【分析】由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为即cotα，然后根据两根之和等于﹣2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．【详解】∵tan是方程x2+2x sec+1＝0的较小根，且两根之积为1，∴方程的较大根是cot．∴tan+cot＝﹣2sec，即，且tan<cot,∴．又，解得或，又tan<cot，∴，故答案为.【点睛】本题考查了韦达定理的应用，考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题．9.在中，已知．则______．【答案】【解析】【详解】由三角万能公式得．解得或．又由、、为的三个内角知，，．故．因此，．10.在中，，则____________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，找出A﹣B，设BD＝x，在△ADC中两次利用余弦定理将cos（A﹣B）及cos C表示出，分别求出x建立关于a，b的方程，化简变形后利用整体换元求出答案．【详解】由题意知，4cos C，∴由余弦定理得，4，化简可得＝2，则,又中不妨设a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD＝AD，连接AD，设BD＝x，则AD＝x，DC＝a﹣x，AC＝b，在△ADC中，cos∠DAC＝cos（A﹣B），由余弦定理得：（a﹣x）2＝x2+b2﹣2x•b•，即：(b﹣6a)x＝，解得：x＝．①又在△ADC中，由余弦定理还可得cos C，∴cos C，化简得x＝，②由①②可得，又＝2，联立可得=,即=,两边同时除以，得=+6，令，则12，解得t=或，又由题意，∴t=cos C=，故答案为：.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于难题．二、选择题（每小题4分，共16分）11.若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A. B. C. D..【答案】A【解析】由角和角的终边关于轴对称得 ,所以,, , .选A.12.“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．13.已知中，且，，则是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由tan A+tan B tan A tan B，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC的形状．【详解】∵tan A+tan B tan A tan B，即tan A+tan B（1﹣tan A tan B），∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，∴A+B＝120°，即C＝60°，∵，∴,∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.由题意知∴△ABC等边三角形．故选：A．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14.设且则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以，又因为，，所以，即，选考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．三、解答题：15.如图，点是单位圆上的两点，点是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.（1）若点的坐标为，求的值；（2）用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos和sin的值，再利用二倍角公式求得sin2和cos2的值，可得的值．（2）由题意可得，|OC|＝|OB|＝1，∠COB＝，由余弦定理可得的解析式．根据∈（0，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围．【详解】（1）由已知，，∴，∴；（2）由单位圆可知：，由余弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求值域的问题，属于中档题．16.在中，已知.（1）求周长的最大值；（2）若，求的面积.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大值．（2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得，于是得，当且仅当时，等号成立，∴，即周长的最大值为6；（2），⇒，或，①时，，此时，②时，由正弦定理，知，∵，∴，综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．17.（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：.（2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论；（2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC.【详解】（1）等式两边同除，即得；（2）∵，∴.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题.18.如图，边长为1的正方形中，分别为边上的点，且的周长为2.（1）求线段长度的最小值；（2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ＝θ，根据三角函数的定义，CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．【详解】（1）设∠CPQ＝θ，则CP＝PQ cosθ，CQ＝PQ sinθ（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ＝，∠PAB＝∴，即xy+（x+y）＝1又tan＝x，tan＝y∴，∴∴【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。