第二十二讲 大数定律

⼤数定律第五章⼤数定律与中⼼极限定理在数学中⼤家都注意到过这样的现象：有时候⼀个有限项的和很难求，⽽⼀经取极限让有限过渡到⽆限，则问题反⽽好办。

例如计算和!1!31!212n s n ++++= 对于固定的但很⼤的n ，这个和很难求，但考虑∞→n 取极限时，则有⼗分简单的结果：e s n n =∞→lim 。

利⽤此结果，当n 很⼤时就可以把e 作为n s 的近似值。

在概率论中，也经常会出现求与很多个随机变量和有关的事件的概率。

⽐如)(21b X X X a P n <+++< ，除少数情况外，这样的概率计算都会⼗分复杂。

因⽽⾃然会提出问题：可否利⽤极限来近似计算呢？即考虑∞→n 时，n 个随机变量之和是否有某种极限分布。

概率论中不仅证明了这是可能的，⽽且还证明了在很⼀般的情况下，和的标准化随机变量的极限分布就是标准正态分布。

这⼀事实既可以解决近似计算概率的问题，同时也强化了正态分布的重要性，以及也解释了现实世界中许多随机现象中的变量的分布密度曲线会呈现钟形曲线的原因。

在概率论中把这类结果的有关定理叫做“中⼼极限定理”. 中⼼极限定理就是研究在什么条件下，⼤量随机变量之和的分布会接近于正态分布。

概率论中，另⼀类极限定理是所谓的“⼤数定理”.它是由“频率的稳定性”引申和发展⽽来的。

考虑n 次独⽴重复试验，每次试验观察事件A 是否发⽣，令=否则0,发⽣A 次试试 i 若第,1i X ，n i ,,2,1 = 那么事件A 发⽣的频数为n n X X X S +++= 21，频率为n S X n n /=。

若p A P =)(，则“频率的稳定性”就是说，在n 很⼤时，频率n X 会接近于概率p 。

⽽p X E i =)(，p X E n =)(。

故也可说成是：在n 很⼤时，n 个随机变量的算术平均n X 会接近于其期望)(n X E 。

按后⼀种说法，就可不必局限于i X 只取0，1两个值的情况。

大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。

所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。

以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。

3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。

大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。

但大数定律并未涉及概率之分布问题。

此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。

从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。

因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。

总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。

3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。

Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。

大数法则什么是“大数法则”（又称“大数定律”或“平均法则”）？大数法则原本是经济学中的概念，准确地说是统计学中的概念，但至今在学术上并没有精确的定义。

根据英国经济家保罗〃西布莱特的说法，“大数法则大致是说，相似个体所组成的大型群体的平均行为要比小型群体或群体中的个体行为更加容易预见。

”大数法则来源于统计数字所表现出来的规律性。

人口统计奠基者英国十七世纪经济学家约翰〃戈劳特就揭示了这样一条统计学原理：“通过大量充分的统计数字可以看出，各种现象（其中单个现象是偶然的）在整体上受着某种严格的规律性的支配。

”事实上，很多自然规律本身就是通过统计而得以以揭示的，比如昼夜交替与季节变换的自然规律。

我们所说的自然规律的科学性只不过是在统计事实的基础上进行科学分析而得以求证出来的。

人类的社会行为中所表现出来的稳定性特征往往也是通过统计归纳而得出。

最早从事社会行为统计工作的学者们便已认识到，对于一个群体，即令不掌握其个体的动机，但当群体具备很大的数目后，规则性就会出现。

在形成后的群体中，总是会呈现一定的普遍规律、一定的共同约束、一定的平均趋向和平均表现。

尽管可能每一个体成员可以在几种选择中相当自由地行事，但当涉及长期性行为时，对总体的行为方式相对而言还是能够有所预测的。

本性看似最为变幻莫测的事件，单独看待时似乎是随机的和偶然的，但一旦涉及到足够多的次数，就能够表现出近似于数学规律的现象，人们凭此可以作出预见。

因此，尽管单一事件没有意义，但如果该事件多次重复，实际结果的分布就会呈现出一定的比率。

这就是大数定律。

自社会统计学创始以来，社会统计学就运用于社会科学的调查之中，试图从调查的数据中发现一些普遍性的规律性的事实，比如通过人口普查与统计揭示死亡率和出生率、性别与平均寿命、疾病与职业、教育程度与收入等之间所存在的稳定的关系。

与约翰〃戈劳特同时代并齐名的著名经济学家威廉〃配弟在从事政治算术的研究时就声称其方法是“用数字、重量和尺度的词汇来表达我自己想说的问题，只进行能诉诸人们的感官的论证和考察在性质上有可见根据的原因。

⼤数定理详解（转载）注：此⽂出处来⾃/s/blog_5ecbb4950101kzhu.html1、⼤数法则⼀位数学家调查发现，欧洲各地男婴与⼥婴的出⽣⽐例是22:21，只有巴黎是25:24，这极⼩的差别使他决⼼去查个究竟。

最后发现，当时的巴黎的风尚是重⼥轻男，有些⼈会丢弃⽣下的男婴，经过⼀番修正后，依然是22:21。

中国的历次⼈⼝普查的结果也是22:21。

⼈⼝⽐例所体现的，就是⼤数法则。

⼤数法则（Lawoflargenumbers）⼜称“⼤数定律”或“平均法则”。

在随机事件的⼤量重复出现中，往往呈现⼏乎必然的规律，这类规律就是⼤数法则。

在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的概率近似于它的概率。

⼤数法则反映了这世界的⼀个基本规律：在⼀个包含众多个体的⼤群体中，由于偶然性⽽产⽣的个体差异，着眼在⼀个个的个体上看，是杂乱⽆章、毫⽆规律、难于预测的。

但由于⼤数法则的作⽤，整个群体却能呈现某种稳定的形态。

花瓶是由分⼦组成，每个分⼦都不规律地剧烈震动。

你可曾见过⼀只放在桌⼦上的花瓶，突然⾃⼰跳起来？电流是由电⼦运动形成的，每个电⼦的⾏为杂乱⽽不可预测，但整体看呈现⼀个稳定的电流强度。

⼀个封闭容器中的⽓体，它包含⼤量的分⼦，它们各⾃在每时每刻的位置、速度和⽅向，都以⼀种偶然的⽅式在变化着，但容器中的⽓体仍能保有⼀个稳定的压⼒和温度。

某个⼈乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个⼈来说，飞机失事具有随机性。

但是对每年100万⼈次所有乘机者⽽⾔，这⾥的100万⼈可以理解这100万次的重复试验，其中，总有10⼈死于飞⾏事故。

那么根据⼤数法则，乘飞机出事故的概率⼤约为⼗万分之⼀。

这就为保险公司收取保险费提供了理论依据。

对个⼈来说，出险是不确定的，对保险公司来说，众多的保单出险的概率是确定的。

根据⼤数法则的定律，承保危险的单位越多，损失概率的偏差越⼩，反之，承保危险的单位越少，损失概率的偏差越⼤。

因此，保险公司运⽤⼤数法则就可以⽐较精确地预测危险，合理保险费率。

大数定律名词解释1.引言1.1 概述大数定律是概率论中重要的理论之一，它描述了在独立随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐趋向于事件的概率。

大数定律的研究起源于人们对随机现象的好奇和需求，它的提出为人们理解和应用概率论提供了重要的理论支持。

大数定律从数学上解释了随机现象中的一种规律性趋势，它告诉我们，当试验次数足够多时，事件的频率将接近事件的概率。

这意味着，通过多次重复试验，人们可以通过观察事件发生的频率来推断事件的概率。

大数定律的研究对于统计学、经济学、物理学等各个领域都具有重要的应用价值。

在统计学中，大数定律为统计推断提供了理论基础，使得我们可以通过对样本数据进行观察和分析，进而对总体的特征进行合理的推断。

在经济学中，大数定律被广泛应用于市场研究、风险评估等领域，帮助人们分析和预测经济现象的发展趋势。

在物理学中，大数定律对于描述微观粒子的运动规律以及热力学等方面有着重要的意义。

通过研究和应用大数定律，人们可以更好地理解和分析随机现象，从而提高决策的准确性和科学性。

然而，需要注意的是，在实际应用中，大数定律的有效性还需要考虑其他因素的影响，如样本的大小、样本的选取方式等。

因此，对于大数定律的研究和应用，我们需要持续不断地深入探索和总结经验，以提高其应用的可靠性和准确性。

1.2文章结构文章结构文章是由多个部分组成的，每个部分有其独特的功能和作用。

在本篇文章中，我们将遵循以下结构来组织内容：1. 引言：在引言部分，我们将对大数定律进行简要介绍和概述。

我们将说明本文的目的以及为什么大数定律是一个重要的主题。

2. 正文：正文部分将分为两个子部分。

2.1 大数定律的定义和背景：在这一部分，我们将详细介绍大数定律的定义以及相关的背景知识。

我们将探讨大数定律是如何描述随机现象中的规律性，并介绍大数定律的数学表达式和推导过程。

2.2 大数定律的应用和意义：在这一部分，我们将讨论大数定律在实际应用中的意义和重要性。

三个大数定律之间的关系标题：三个大数定律之间的关系与应用概述：在概率论和统计学中，三个大数定律（大数定律、大数法则、大数定理）被广泛应用于分析和预测各种现象。

尽管它们各自描述了不同的现象，但在许多情况下，这些定律之间存在着密切的关系。

本文将深入探讨大数定律、弱大数定理和中心极限定理之间的联系，并通过实例展示它们在现实生活中的应用。

一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论的基本定律之一，描述了在重复实验中，当试验次数无限增加时，样本的平均值趋近于真实概率的稳定值。

具体而言，根据大数定律，如果随机变量X的均值存在且有限，那么对于任意给定的正小数ε，有：P(|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)| ≤ ε) → 1 (n → ∞)大数定律说明在样本规模足够大的情况下，平均值的波动将逐渐减小，趋于一个确定的值，并且该值接近于总体的均值。

二、弱大数定理（Weak Law of Large Numbers）弱大数定理是大数定律的一种特殊情况，它给出了样本均值逐渐趋近于总体均值的概率上界。

弱大数定理指出，对于一个具有有限方差的独立同分布随机变量序列X1, X2, ..., Xn，样本均值X_bar与总体均值μ之间的差异可以用数学概率表示：lim(n → ∞) P(|X_bar - μ| > ε) = 0弱大数定理表明，样本均值与总体均值的差异随着样本规模的增加而逐渐减小，但它并未指明样本均值会无限逼近总体均值。

三、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中最重要和广泛应用的定理之一。

它指出，当独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn满足一定条件时，它们的和或平均值的分布将趋于一个正态分布，即使原始分布不是正态分布。

具体而言，中心极限定理表明：lim(n → ∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/sqrt(nσ^2) ≤ x) = Φ(x)其中，μ和σ分别为随机变量Xi的均值和标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。

三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。

在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。

我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。

2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。

它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。

如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。

3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。

3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。

在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。

4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。

强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。

这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。

5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。

5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。

5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。

这意味着方差不能趋近于无穷大。

在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。

6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。

大数定律的生活体现大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律，是概率论与数理统计学的基本定律之一。

其实，大数定律渗透在我们生活中很多方面。

文章结合生活中的例子，帮助学生更直观、更透彻地理解大数定律。

二、含义在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。

通俗地说，这个定理就是：在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。

大数定律反映了这世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，从一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难以预测的，但由于大数法则的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。

将大量在微观上的随机运动作宏观的平均，这个宏观平均量会表现出某种确定性。

观测的微观粒子足够多，“随机扰动”就会被“average out”。

比如花瓶是由分子组成的，每个分子都不规律地剧烈震动，但是你可曾见过一只放在桌子上的花瓶突然自己跳起来？电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乱而不可预测，但整体看却呈现一个稳定的电流强度。

一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向，都以一种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度。

三、大数定律在生活中的体现（一）保险公司某个人乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个人来说，飞机失事具有随机性。

但是对每年100万人次乘机者而言，这里的100万人次可以理解这100万次的重复试验，其中总有10人死于飞行事故。

那么根据大数法则，乘飞机出事故的概率大约为十万分之一。

这就为保险公司收取保险费提供了理论依据。

保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。

大数定律的通俗理解
哎呀，说到大数定律，那可真是数学界的一把好手，我这个小白也来跟你聊聊这其中的门道。

那天跟同事老李聊天，他刚从进修班回来，带回来一堆新名词，其中就有这个大数定律。

我说：“老李，这大数定律听着好像是个高大上的玩意儿，能不能通俗点讲讲？”老李瞪大眼睛，逗我笑：“哎呀，这不简单，大数定律其实就是一种概率现象。

”
我疑惑地问：“概率现象？那是什么呢？”老李喝了一口茶，说道：“就像咱们买彩票，每次开奖都是随机的，但你买得越多，中大奖的概率就越大。

这其实就是大数定律在起作用。

”
哎哟，老李这一说，我顿时明白了。

我又问：“那这个大数定律到底有啥用呢？”老李笑着说：“用处大了去了，就像股市分析、保险计算，还有咱们每天的生活决策，都离不开大数定律。

”
这时，旁边的同事小张插嘴：“哎呀，那我说，咱们玩扑克牌的时候，是不是也符合大数定律啊？”老李点点头：“没错，小张。

比如，你手里有两张牌，你可能会觉得这一把牌你赢定了，但实际上，大数定律告诉我们，只要你玩的时间足够长，你赢的次数和输的次数最终会趋于平衡。

”
哎，听老李这么一说，我好像也对大数定律有了新的认识。

哎，生活嘛，就是要多学习，多交流，才能不断进步。

嘿，下次咱们再聊聊大数定律在生活中的具体应用吧！。

概率论中的大数定律及中心极限定理唐南南摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。

它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。

而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。

在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。

在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。

在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑==ni in xS 1的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。

在这篇文章里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。

掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。

关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量引言大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。

一 、大数定律（一）、问题的提法（大数定律的提法）重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。

人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n充分大时）用频率的值来估计概率的值。