高三数学第一轮复习--等比数列.

高考数学第一轮复习：《等比数列》最新考纲1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.【教材导读】1．如何推导等比数列的通项公式？采用什么方法？提示：可采用累积法推导．2．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：必要而不充分条件，因为b2＝ac时，不一定有a，b，c成等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)，而a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.3．如何推导等比数列的前n项和公式？采用了什么方法？提示：可用错位相减法推导．1．等比数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．符号表示为a na n－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项：如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝ab.2．等比数列的通项公式(1)设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式a n＝a1q n－1.(2)通项公式的推广a n＝a m·q n－m.3．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎨⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ， q ≠1.4．等比数列的常见性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．5．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 6．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) (A)－24 (B)0 (C)12(D)24A 解析：由等比数列的性质和定义进行解题，由等比中项性质得(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，因x ＋1≠0，得x ＝－3.所以a 4＝(6x ＋6)·3x ＋3x ＝18·(x ＋1)2x ＝－24.故选A.2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏B解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1(1－27)1－2＝381，解得a1＝3，选择B.3．已知a1，a2，…，a n，…为各项均大于零的等比数列，公比q≠1，则()(A)a1＋a8＞a4＋a5(B)a1＋a8＜a4＋a5(C)a1＋a8＝a4＋a5(D)a1＋a8与a4＋a5的大小关系不能由已知条件确定A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7)－a1(q3＋q4)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1(1－q3)(1－q4)．q＝a na n－1＞0且q≠1，当q＞1时，q3＞1，q4＞1,1－q3＜0,1－q4＜0；当0＜q＜1时，q3＜1，q4＜1,1－q3＞0,1－q4＞0.总之a1(1－q3)(1－q4)＞0.∴a1＋a8＞a4＋a5.4．若正项等比数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1＋2a n，则其公比为()(A)12(B)2或－1(C)2 (D)－1C解析：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a n＋2＝a n＋1＋2a n，则有a n q2＝a n q＋2a n，即q2－q－2＝0，解可得q＝2或－1，由数列{a n}为正项等比数列，可得q＝2，故选C.5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 为________． 解析：若q ＝1，则S n ＝na 1，∴{S n }是等差数列； 若q ≠1，则当{S n }是等差数列时，一定有2S 2＝S 1＋S 3， ∴2·a 1(1－q 2)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 3)1－q ，即q 3－2q 2＋q ＝0，故q (q －1)2＝0， ∴q ＝0或q ＝1，而q ≠0，q ≠1，∴此时不成立． 答案：1考点一 等比数列的基本运算(1)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) (A)31 (B)36 (C)42(D)48解析：(1)解法一 由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21， 解得a 1＝1，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝4n －1.解法二 由题意可设等比数列{a n }的前3项分别为x 4，x,4x ，则x4＋x ＋4x ＝21，解得x ＝4，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝4×4n －2＝4n －1.(2)a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2－20x ＋64＝0的两根，因为a n ＞0，q ＞1，所以a 3＜a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3q 2＝44＝1，所以S 5＝1－q 51－q＝31.【反思归纳】 等比数列基本运算的方法策略(1)将条件用a 1，q 表示，在表示S n 时要注意判断q 是否为1； (2)解方程(组)求出a 1，q ，消元时要注意两式相除和整体代入； (3)利用a 1，q 研究结论．【即时训练】 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．(2)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( ) (A)255 (B)256 (C)510(D)511解析：(1)很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1(1－q 3)1－q a 1(1－q 6)1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.(2)当n ＝1时，a 1＝2a 1－2，据此可得：a 1＝2， 当n ≥2时：S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2， 两式作差可得：a n ＝2a n －2a n －1，则：a n ＝2a n －1， 据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 其前8项和为：S 8＝2×(1－28)1－2＝29－2＝510－2＝510.故选C.答案：(1)－12 (2)C考点二 等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n . (1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．(1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12. 又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：方法一：由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)， ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1， ∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34. ∴c 2＝34－12＝14，c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 方法二：由(1)b n ＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋1.∴c n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2)． 又c 1＝a 1＝12也适合上式，∴c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .【反思归纳】 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式写成a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则数列{a n }是等比数列．如果判定某数列不是等比数列，只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可． 【即时训练】 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解析：(1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，所以b n ＋1b n＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． 考点三 等比数列的性质及应用(1)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)5(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：(1)因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2；同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：(1)C (2)－12【反思归纳】 在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式，建立方程(组)求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量，提高解题速度．【即时训练】 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )(A)18 (B)－18 (C)578(D)558(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 解析：(1)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.故选A.(2)利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)n 2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n . 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：(1)A (2)64等比数列的基本运算教材源题：在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝－1，a 4＝64，求q 与S 4； (2)已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q . 解：(1)由q 3＝a 4a 1＝－64，解得q ＝－4，所以S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1＋64×41＋4＝51.(2)因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)， 所以q －2＋q －1＋1＝3， 即2q 2－q －1＝0，解这个方程得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a 1＝32； 当q ＝－12时，a 1＝6.【规律总结】 解决等比数列的基本计算问题主要是利用方程思想，建立方程(组)求解．注意两式相除、整体代换、分类讨论等技巧的应用．【源题变式】 在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：因为a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1)两者相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156，即2q 2－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12， 当q ＝2时，a 1＝1， 当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．所以a 3＝1×22＝4.答案：4课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件B 解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B.2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) (A)(－2)n －1 (B)－(－2)n －1 (C)(－2)n(D)－(－2)nA 解析：∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.故选A.3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) (A)16(1－4－n )(B)16(1－2－n )(C)323()1－4－n (D)323(1－2－n )C 解析：∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．故选C. 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前5项的积为( ) (A)±3 (B)3 (C)±1(D)1D 解析：因为a 4＝3，所以3＝19×q 3(q 为公比)，得q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19×95＝1，故选D. 5．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn 等于( )(A)32 (B)32或23 (C)23(D)以上都不对B 解析：设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.故选B.6．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )(A)29 (B)210 (C)211(D)212C 解析：由b n ＝a n ＋1a n，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.故选C.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n－1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2016＝1－210081－2＋2×(1－21008)1－2＝3×21008－3.答案：3×21008－38．如图，“杨辉三角”中从上往下共有n (n ＞7，n ∈N )行，设第k (k ≤n ，k ∈N *)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n ，现有下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1－2－2n .其中正确的结论序号为________．1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 …… ……解析：a n ＝2n －2，S n ＝21＋22＋…＋2n －2n ＝2(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋1－2－2n ，故只有①④正确．答案：①④9．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝________.解析：设正项数列{a n }的公比为q ，正项数列{b n }的公比为p ，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列，{lg b n }是公差为lg p 的等差数列． 故S n ＝n lg a 1＋n (n －1)2lg q . T n ＝n lg b 1＋n (n －1)2lg p .又S n T n＝n 2n ＋1＝lg a 1＋n －12lg q lg b 1＋n －12lg p.所以log b 5a 5＝lg a 5lg b 5＝lg a 1＋4lg q lg b 1＋4lg p ＝S 9T 9＝919.答案：91910．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3 280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．解：若q ＝1，则na 1＝40,2na 1＝3 280，矛盾． ∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝40 ①a 1(1－q 2n)1－q＝3 280 ②①②得1＋q n ＝82，∴q n ＝81③将③代入①得q ＝1＋2a 1④又∵q ＞0，∴q ＞1，∴a 1＞0，{a n }为递增数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝27由③④⑤得q ＝3，a 1＝1，n ＝4. ∴a 2n ＝a 8＝1×37＝2 187.能力提升练(时间：20分钟)11．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前100项和为S 100＝90，则其偶数项a 2＋a 4＋…＋a 100为( )(A)15 (B)30 (C)45(D)60D 解析：S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 100＝90，设S ＝a 1＋a 3＋…＋a 99，则2S ＝a 2＋a 4＋…＋a 100， 所以S ＋2S ＝90，S ＝30，故a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S ＝60，故选D.12．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )(A)158或4 (B)4027或4 (C)4027(D)158C 解析：设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q .解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.故选C.13．已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2,2a 3，a 4成等差数列，设S n 为{a n }的前n 项和，则S 3a 3＝( )(A)139 (B)79 (C)3(D)1A 解析：4a 3＝3a 2＋a 4， 4a 1q 2＝3a 1q ＋a 1q 3， ∴q 2－4q ＋3＝0， q ＝3或q ＝1(舍)．∴S 3a 3＝a 1(1－q 3)1－q a 1q 2 ＝1－q 3q 2(1－q )＝1－279×(－2)＝139.故选A.14．已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．解析：因为S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，所以当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2；当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．①－②并整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0(n ≥2)．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝3(n ≥2)．当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立．当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立．所以a 1＝2舍去．故a n ＝3n －2.15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }和通项公式．(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜32.解析：证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，23n －1＜2＋13n －1＋1＝13n －1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋13＋…＋13n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ×32，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。

4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ） A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或12．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．314．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ）A ．3B ．2C ．33D ．325（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．91.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ） A ．6B ．9C ．27D ．813．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A ．2-BC ．2D ．2±考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12B ．2C ．172341D ．341172【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．632．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为 A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列 【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ）A ．12a a +，23a a +，34a a +，…B ．13a a ，35a a +，57a a +，…C ．2S ，42S S -，64S S -，…D ．3S ，63S S -，96S S -，…2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S .3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}nn b -前n 项和n T ． 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6B ．7C ．8D ．9【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42B ．56C ．63D ．703．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元 B ．40000元C ．42500元D ．50000元4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】(1)C （2）B【解析】（1）因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C （2）设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B. 【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ）A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或1【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为38a =，324S =，所以38a =，1216a a +=，即218a q =，()1116a q +=，所以212q q +=，解得12q =-或1q =.故选：C.2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）1.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由40S >，得1514011a a a a q q q--=>--，因为1q >，所以510a a ->，即51a a >.故必要性满足； 1514411a a a a q S q q--==--.因为1q >，51a a >，所以40S >．故充分性满足.所以“51a a >”是“40S >”的充要条件.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．31【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21213S a a a =+=，则212a a =，所以，212a q a ==， 因为223a a =，即()21124a a =，10a ≠，解得11a =，因此，()441411215112a q S q--===--.故选：C.4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ） ABCD【答案】D【解析】依题意，等比数列{}n a 满足，33S =，69S =，则1q ≠，()()3611113,911a q a q qq--==--，两式相除得()()3363331113,1311q q q q q q-+-==+=--，32,q q ==故选：D 5（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729【答案】C【解析】224381a a a ⋅==，因为0n a >，所以0q >，39a =，又313S =，故124a a +=，设公比是q ，则()121149a q a q ⎧+=⎨=⎩，两式相除得：2149q q +=，解得：3q =或34q =-（舍去），故336393243a a q ==⨯=.故选：C 考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】C【解析】根据等比中项得2546a a a =，所以()2434334353663log log log log log 81log 34a a a a a +=====.故选：C.【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列中，若5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根，571a a ∴=，5720220a a +=-<，则50a <，70a <，则57661a a a a ==，则61a =或61a =-，即充分性成立，当61a =，或61a =-时，能推出57661a a a a ==，但无法推出572022a a +=-，即必要性不成立， 即“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是“61a =，或61a =-”的充分不必要条件，故选：A ． 【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±【答案】B【解析】因为1a ､13a 是方程21390x x -+=的两根，所以3119=a a ，11313+=a a ，所以10a >，130a >，又{}n a 为等比数列，则6710=>a q a ，所以213212719===a a a a a ，所以73a =或73a =-（舍去），所以212773==a a a a .故选：B. 2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ）A ．6B ．9C ．27D ．81【答案】B【解析】()3239335444,,3327a a a a a =∴==∴=，39a ∴=.故选：B 3．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a b c d ,,,成等比数列可得ad bc =，但当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不是等比数列，所以“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选：A.4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A．2- B C ．2 D ．2±【答案】D【解析】由等比数列284652a a a ==，解得452a =±，所以33522a q a ==±，所以2q =±，故选：D. 考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51 B ．﹣20 C ．27 D ．40【答案】D【解析】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13 所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列， 即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q ，当1q =时，1n S na =，不合题意； 当1q ≠时，等比数列前n 项和公式()1111111n n n a q a aS q qq q-==-⋅+---， 依题意()111212110,222n nn S t t t t -=⋅-=⋅-⇒+-==.故选：A【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12 B ．2 C ．172341D ．341172【答案】C【解析】当2n ≥时，212n n n n a S S --=-=，又112a S ==，即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，所以数列}{n a 的前10项中5141023341143S -===-偶，)(421451022172143S -=+=+=-奇，所以172341S S =奇偶， 故选：C ．【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==，公比432,a q a ==首项114a =， 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==，所以29()2164448242n nn n S a +=++≥=，当且仅当216,342n n n =∴=，所以当3n =时，29()42n nS a+的最小值为8.故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇， 等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k=，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-【答案】B【解析】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅ 所以81333r r +=∴=-，故选B. 4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B.5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B【解析】因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列，所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列，所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号.故选：B.考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】∴121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==⋅+，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列； ∴1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A ．12a a +，23a a +，34a a +，… B ．13a a ，35a a +，57a a +，… C ．2S ，42S S -，64S S -，… D ．3S ，63S S -，96S S -，…【答案】BD【解析】设数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，对于A 和C ，都有首项121(1)a a a q +=+，当1q =-时，120a a +=，不满足等比数列，故AC 错误；对于B ，2131(1)0a a a q +=+≠，且2235131313()a a q a a q a a a a ++==++， 同理25735a a q a a +=+，故数列13a a ，35a a +，57a a +，…为等比数列，B 正确； 对于D ，231231(1)0S a a a a q q =++=++≠，且3633S S q S -=，39663S S q S S -=-， 故数列3S ，63S S -，96S S -，…为等比数列，D 正确；故选：BD 2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析(2)()()12133142n nn n n S +-⨯++=-【解析】(1)因为11232n n a a a +==+，，所以1131n n a a ++=+（）. 而113a +=，所以数列{1n a +}是以113a +=为首项，以3为公比的等比数列，所以13nn a +=，即31n n a =-.(2)由（1）可得()3log 1n n b a n =+=∴()31nn n a b n ⋅=-记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯……∴所以()23131323133n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯……∴∴-∴得：12123333nn n T n +-=+++-⨯ ()1313313n n n +-=-⨯-∴()121334n nn T +-⨯+=∴()()()1213311242n nn n n n S T n +-⨯++=-+++=-. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}n n b -前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析；2n n na =；(2) 1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++.【解析】(1)因为112n n n a a n ++=，所以1112n n a n a n++=，又因为11112a a ==，所以数列{}n a n是以首项为12，公比为12的等比数列，从而1111()()222n n n a n -=⨯=，故2n n n a =. (2)由(1)中结论可知，2311111112()3()(1)()()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，所以23411111111()2()3()(1)()()222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，由∴-∴得，231111111()()()()222222n n n S n +=++++- 111[1()]122()1212n n n +-=-- 化简整理得，222n nn S +=-，所以222n n nn n b n S ()()， 故2232(32)22222()(2)22n n n n n n n n b n n n n n n ++--==-=--+++， 所以324351122222222222[()()()()()]132435112n n n n n T n n n n -++=--+-+-++-+--++，故1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++. 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【答案】D【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为{}n a ，公比q ＝2， 则第1天织布的尺数为1a ，第5天织布的尺数为5a ，前5天共织布为55S =， 则()51112551231a a-=⇒=-，∴445158023131a a q =⋅=⨯=.故选：D.【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】第一次操作去掉13，设为1a ；第二次操作去掉29，设为2a ；第三次操作去掉427，设为3a ， 依次类推，11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故0111222[()()()]3333n n S -=⨯+++ 2113121412331513n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=-≥ ⎪⎝⎭-， 整理，得12153n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()21lg lg lg2lg3lg15315nn ⎛⎫∴≤∴-≤- ⎪⎝⎭，，()lg3lg5lg3lg5lg31lg211 6.7lg2lg3lg3lg2lg3lg2lg3lg2n -+++-∴≥===+≈----，故n 的最小值为7. 故选：B. 【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末 B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末【答案】A【解析】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102n m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍, 故选:A.2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42 B ．56 C ．63 D ．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=）A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元【答案】B 【解析】设010000a =，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为1a ，2a ，…，12a ，()100120%1000 1.21000a a a =⨯+-=-，同理可得1 1.21000n n a a +=-， 所以()15000 1.25000n n a a +-=-， 而050005000a -=，所以数列{}5000n a -是等比数列，公比为1.2，所以50005000 1.2n n a -=⨯，12125000 1.2500050009500050000a =⨯+=⨯+=，∴总利润为500001000040000-=，故选:B ．。

第三节等比数列课程标准1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列通项公式设{a n}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式a n=a1q n-1.推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n=1·q n,而y=1·q x(q≠1)是一个不为0的常数1与指数函数q x的乘积,从图象上看,表示数列1·q n中的各项的点是函数y=1·q x的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.特别地,若m+n=2p,则a m·a n=2.(2)若等比数列前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{a n}是等比数列,则数列{pa n}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n,a n+k,a n+2k,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.(5)等比数列{a n}的单调性:当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{a n}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{a n}是递减数列;当q=1时,数列{a n}是常数列.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.满足a n+1=qa n(n∈N*,q为常数)的数列{a n}为等比数列B.三个数a,b,c成等比数列的必要不充分条件是b2=acC.数列{a n}的通项公式是a n=a n,则其前n项和为S n=(1-)1-D.如果数列{a n}为正项等比数列,则数列{ln a n}是等差数列【解析】选BD.A中q不能为0;B中当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;C 中a=1时不成立;D中,a n>0,设a n=a1q n-1,则ln a n=ln a1+(n-1)ln q,{ln a n}是等差数列.2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=()A.32B.-48C.16D.-48或16【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{a n}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=32(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.4.(2023·全国乙卷)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.【解析】设{a n}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然a n≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.因为a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,则q15=(5)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.答案:-2【巧记结论·速算】1.若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}(λ≠0),{1},{2},{a n·b n数列.2.当{a n}是等比数列且q≠1时,S n=11--11-·q n=A-A·q n.【即时练】1.设n∈N*,则“数列{a n}为等比数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,为公比为12的等比数列,充分性成立;必要性:,公比为q,则-1=±所以数列不是等比数列,必要性不成立.2.已知数列{a n}的前n项和S n=22n+1+a,若此数列为等比数列,则a=________.【解析】因为数列的前n项和S n=22n+1+a=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考点·分类突破】考点一等比数列基本量的计算[例1](1)(一题多法)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.方法一:设等比数列{a n}的公比为q,则由5-3=14-12=12,6-4=15-13=24,解得1=1,=2,所以S n=1(1-)1-=2n-1,a n=a1q n-1=2n-1,所以=2-12-1=2-21-n.方法二:设等比数列{a n}的公比为q,因为6-45-3=4(1-2)3(1-2)=43=2412=2,所以q=2,所以=1(1-)1-1-1=2-12-1=2-21-n.(2)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a11=232,且S8+S24=mS16,则m=()A.-4B.4C.-83D.83【解析】选D.因为a3a11=232,且a n≠0,所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因为S 8+S 24=mS 16,所以1(1-8)1-+1(1-24)1-=m ·1(1-16)1-,又因为q 8=2,a 1≠0,所以-8=-3m ,解得m =83.【解题技法】等比数列基本量的计算(1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解;(2)注意观察条件转化式的特点,尽量采用整体消元、代入的方法简化运算,如两式相除就是等比数列中常用的运算技巧.【对点训练】1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=()A .16B .8C .4D .2【解析】选C .设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,则1+1+12+13=15,14=312+41,解得1=1=2,所以a 3=a1q 2=4.2.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,5项和为()A .158或5B .3116或5C .3116D .158【解析】选C .若q =1,则由9S 3=S 6,得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6,得9×1(1-3)1-=1(1-6)1-,解得q =2.故a n =a 1q n-1=2n -1,1=(12)n -1.1为首项,以12为公比的等比数列,所以5项和为T 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.【加练备选】设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=()A.32B.12C.23D.2【解析】选A.因为在等比数列中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32.考点二等比数列的判定与证明[例2]已知数列{a n}中,a1=1且2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列+;(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),所以a n+1=3a n+n-12,所以r1+r12+2=3+-12+r12+2=3+32+2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列+2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,a n+2=32×3n-1=12×3n,所以a n=12×3n-2.【解题技法】等比数列的判定方法定义法若a n+1a n=q(q为非零常数,n∈N*)或-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{a n}是等比数列等比中项法若数列{a n}中,a n≠0且r12=a n·+2(n∈N*),则{a n}是等比数列【对点训练】数列{a n}中,a1=2,a n+1=r12a n(n∈N*).证明数列{}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式.【解析】由题设得r1r1=12·,又11=2,所以数列{}是首项为2,公比为12的等比数列,所以=2×(12)n-1=22-n,a n=n·22-n=42.【加练备选】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以数列是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)数列的前n 项和S n =54(1-2)1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2,所以S 1+54=52,r1+54+54=5·2-15·2-2=2.因此{S n +54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为S n ,a 2a 4=9,9S 4=10S 2,则a 2+a 4的值为()A .30B .10C .9D .6【解析】选B .已知为各项均为正数的等比数列,则a n >0,可得a 1>0,q >0,因为32=a 2a 4=9,所以a 3=3,又因为9S 4=10S 2,则9(a 1+a 2+a 3+a 4)=10(a 1+a 2),可得9(a 3+a 4)=a 1+a 2,所以3+41+2=q 2=19,解得q =13,故a 2+a 4=3+a 3q =10.角度2等比数列前n 项和的性质[例4]已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(4+5)24=S4+254+10≥2当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3等比数列的单调性[例5]已知{a n}是等比数列,a1>0,前n项和为S n,则“2S8<S7+S9”是“{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8<S7+S9,所以a8<a9,所以q7<q8,所以q7(q-1)>0,所以q<0或q>1,所以2S8<S7+S9的充要条件为q<0或q>1.又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1,所以“2S8<S7+S9”是“为递增数列”的必要不充分条件.【解题技法】1.应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关S m,S2m,S3m的问题可利用S m,S2m-S m,S3m-S2m(S m≠0)成等比数列求解.2.等比数列的单调性的应用方法研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.【对点训练】1.设单调递增的等比数列{a n}满足12+14=1336,a1a5=36,则公比q=()A.32B.94C.2D.52【解析】选A.因为数列{a n}为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以12+14=2+424=2+436=1336,则a2+a4=13,又数列{a n}单调递增,所以q>1,解得a2=4,a4=9,则q2=94,因为q>1,所以q=32.2.设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n,若-a1<a2<a1,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.数列{S n}有最大项D.数列{S n}有最小项【解析】选D.由-a1<a2<a1可得a1>0,所以q=21<1,因为-a1<a2得q=21>-1,所以-1<q<1,因为S n=1(1-)1-,当0<q<1时,{S n}递增,当-1<q<0时,{S n}既有递增又有递减,A,B错误;当0<q<1时,S n有最小项S1,没有最大项,当-1<q<0时,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0且a3+a4>0,S n有最小项S2,没有最大项,C错误,D 正确.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a n>0,S3=5,a7+a8+a9=20,则S15=________.【解析】由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12是等比数列,由条件可知S3=5,S9-S6=20,则此等比数列的公比q2=205=4,又a n>0,所以q=2,S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12),所以S15=5(1-25)1-2=155.答案:155。

等比数列的概念等比数列的定义、通项及前n 项和【提纲挈领】 主干知识归纳1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列．(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项． 2．等比数列的有关公式(1)通项公式：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项公式为a n ＝a 1·qn －1．(2)前n 项和公式：等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，则当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q．方法规律总结1.判断数列{a n }是否为等比数列，通常有两种方法：①定义法，a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)；②等比中项法，a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)．2.求等比数列的基本量时也常运用方程的思想方法．从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公式，共有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，知道其中的三个通过构造方程(组)可求出另外两个．3.应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对公比q ＝1与q ≠1的情况进行分类讨论．【指点迷津】【类型一】等比数列的判定与证明【例1】：设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)． (1)求证：数列{S n －3n}是等比数列； (2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．[解析] ： (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n(n ∈N *)，∴S n ＋1＝2S n ＋3n，∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)．又∵a 1≠3，∴数列{S n －3n}是公比为2，首项为a 1－3的等比数列．(2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1. ∵{a n }为递增数列，∴当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n ＞(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴2n －212×32n －2＋a 1－3>0，∴a 1＞－9.∵a 2＝a 1＋3＞a 1，∴a 1的取值范围是a 1＞－9. 【例2】：已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】：(1)证明：由数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3a n， ∴1a n ＋1＋12＝31a n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列， ∴1a n ＋12＝32×3n －1，化简得a n ＝23n －1.(2)∵数列{b n }满足b n ＝2a n＝3n－1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝3＋32＋ (3)－n ＝3（3n －1）2－n ＝3n ＋1－32－n .【例3】：定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，若对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数如下：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 其中是“保等比数列函数”的是( ) A ．①② B ．③④C ．①③ D ．②④【解析】：设数列{a n }的公比为q .对于①，f （a n ＋1）f （a n ）＝a n ＋12a n2＝q 2，是常数，故①符合条件；对于②，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ，不是常数，故②不符合条件；对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝＝|q |，是常数，故③符合条件；对于④，f （a n ＋1）f （a n ）＝ln|a n ＋1|ln|a n |，不是常数，故④不符合条件．答案：C【类型二】等比数列的基本运算【例1】：(1) 设正项等比数列{a n }的公比q 为2，若a 2a 10＝16，则a 9的值是( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】： (1)因为a 2a 10＝16，且等比数列{a n }的各项均为正，所以a 6＝4，故a 9＝a 6q 3＝4×8＝32.答案：C(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n＝1×（1－2n）1－2＝2n －1.答案：2n－1【例2】：设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正整数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 13b 2＝50，a 8＋b 2＝a 3＋a 4＋5.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{d n }满足d n d n ＋1＝12－8＋log 2b n ＋1(n ∈N *)，且d 1＝16，试求数列{d n }的通项公式及其前2n 项和S 2n .【解析】：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则依题意有q >0，且⎩⎨⎧（1＋12d ）q ＝50，（1＋7d ）＋q ＝（1＋2d ）＋（1＋3d ）＋5，即⎩⎨⎧（1＋12d ）q ＝50，2d ＋q ＝6，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝1112，q ＝256.由于{b n }是各项都为正整数的等比数列，∴⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2，从而a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1.(2)∵b n ＝2n －1，∴log 2b n ＋1＝n ，∴d n d n ＋1＝12－8＋n ，∴d n ＋1d n ＋2＝12－7＋n，两式相除，得d n ＋2d n ＝12.由d 1＝16，d 1d 2＝12－8＋1＝128，可得d 2＝8，∴d 1，d 3，d 5，…是以d 1＝16为首项，以12为公比的等比数列；d 2，d 4，d 6，…是以d 2＝8为首项，以12为公比的等比数列．∴当n 为偶数时，d n ＝812n 2－1＝1622n，当n 为奇数时，d n ＝16×12n ＋12－1＝16222n综上，d n＝⎩⎨⎧1622n，n 为偶数，16222n，n 为奇数.∴S 2n ＝(d 1＋d 3＋…＋d 2n －1)＋(d 2＋d 4＋…＋d 2n )＝ 16×1－12n 1－12＋8×1－12n 1－12＝321－12n ＋161－12n ＝48－4812n. 【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【解析】：易知a 2·a 6＝a 24＝16. 答案：C.2．已知数列{a n }满足a 2＝1，3a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.94(310－1) B.94(310＋1) C.94(3－10＋1) D.94(3－10－1) 【解析】：由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，则数列{a n }为等比数列，公比q ＝－13，所以a 1＝a 2－13＝－3，所以S 10＝a 1（1－q n）1－q ＝94(3－10－1)．答案：D3．等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】：当a 1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方. 答案：D4．在等比数列{a n }中，若a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【解析】：因为a 4＝2，a 5＝5，所以a 4·a 5＝10，所以lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 7＋lg a 8＝lg(a 1a 2·…·a 8)＝lg(a 1a 8)4＝lg(a 4a 5)4＝4lg 10＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．－1或－12D ．1或－12【解析】：由题意可计算得S 3＝18.若q ＝1，则S 3＝3a 3＝18，满足题意；若q ≠1，则S 3＝18＝a 1（1－q 3）1－q＝6q2（1－q 3）1－q，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝－12.故选D.答案：D 二、填空题6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________．【解析】：由a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，解得a 1＝14，公比q ＝2，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝14×（1－64）1－2＝634.答案：6347．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为________． 【解析】：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，∴9a 5＝－36，13a 7＝－104，解得a 5＝－4，a 7＝－8， 则a 5与a 7的等比中项为±a 5·a 7＝±4 2. 答案：±4 28．等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ . 【解析】：∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1，∴q 2＋q －6＝0.∵q ＞0，∴q ＝2.a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝12.∴S 4＝14(1)1a q q--＝12(1－24)1－2＝152.答案：152三、解答题9．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．【解析】： (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，由条件知：a 1，a 6是方程x 2－11x ＋329＝0的两根，解得x ＝13或x ＝323.又0＜q ＜1，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，q ＝12，从而a n ＝a 6·q n －6＝13·⎝⎛⎭⎫12n －6.(2)令323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝21，得⎝⎛⎭⎫12n ＝164，∴n ＝6.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．【解析】： (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4×1＋32＋54＋a 4＋5×1＋32＝8×1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列．【二级目标】能力提升题组一、选择题1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：若a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2成立；当a n ＝a n ＋1＝0时，满足a 2n ＋1＝a n a n ＋2，但a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)不成等比数列．故“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的充分不必要条件． 答案：A2．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项【解析】：设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4 .所以两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.答案：B 二、填空题3．三个数c b a ,,成等比数列，且)0(>=++m m c b a ，则b 的取值范围是.【解析】：设bq c q ba ==,，则有. bm q q =++∴11 当0>q 时，311≥++=q q b m ，而0>b ， 30mb ≤<∴； 当0<q 时，111-≤++=q q b m ，即1-≤bm ，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<， 故]3,0()0,[mm b -∈. 答案：]3,0()0,[mm b -∈三、解答题4.在数列{a n }中，a 1＝a ，且a n ＋1＝2S n －2n －n 2(n ∈N *) (1)若a 1，a 2，a 3－5成等比数列，求a 的值； (2)求通项公式a n .【解析】：(1)a 1＝a ，a 2＝2S 1－21－12＝2a －3，a 3－5＝2(a 1＋a 2)－22－22－5＝6a －19，∵a 1，a 2，a 3－5成等比数列，∴(2a －3)2＝a (6a －19)，解得a ＝－1或a ＝92.(2)∵a n ＋1＝2S n －2n－n 2(n ∈N *)，① ∴a n ＝2S n －1－2n －1－(n －1)2(n ≥2，n ∈N *)，②∴当n ≥2时，①－②得a n ＋1－a n ＝2a n －2n －1－2n ＋1，即a n ＋1＝3a n －2n －1－2n ＋1.设a n ＋1＋p 2n ＋1＋q (n ＋1)＝3(a n ＋p 2n＋qn )，由－4p ＋6p ＝－1，得p ＝－12，由3qn －q (n ＋1)＝－2n ＋1，得q ＝－1. 故n ≥2时，数列{a n －2n －1－n }是以3为公比的等比数列.∴21(1).(27)32()n n n a n a a n --=⎧=⎨-+⎩≥2【高考链接】1.(2013年新课标全国卷Ⅱ) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19[解析]：S 3＝a 2＋10a 1⇒a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1⇒a 3＝9a 1⇒q 2＝9，a 5＝9⇒a 3q 2＝9⇒a 3＝1⇒a 1＝a 3q 2＝19.[答案]：C2．（2015年高考湖南卷）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．[解析]：设等比数列{a n }的公比为q .由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，所以3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.[答案]：3n －13．（2011年新课标全国卷Ⅰ）等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 32＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．[解析]： (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 32＝9a 2a 6得a 32＝9a 42，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1.。

等差等比数列【知识梳理】一、通项公式等差数列：，为首项，为公差.等比数列：11-⋅=n n q a a ，为首项，为公比.二、前项和公式 等差数列：或 等比数列：当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1 或 q q a a S n n --=11当1=q 时，1na S n =三、差比数列的判定方法1.定义法：（，是常数）是等差数列；q a a nn =+1（，是常数）{}n a 是等比数列.2.中项法：()是等差数列；221++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列.四、差比数列的常用性质等差数列：若，则； 等比数列：若，则q p n m a a a a ⋅=⋅.课中讲解一、等差等比数列的判定 典型例题1. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()21na a S n n +=()d n n na S n 211-+=d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m证：数列{b n}是等差数列。

2.若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝12，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是等差数列。

3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n，均有a n＋1＝5a n－2·3n，且a1＝8，证明：数列{a n－3n}为等比数列。

4. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4，证明：{S n－n＋2}为等比数列。

等比数列的性质及应用主干知识归纳 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *，q 为公比)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n． (4)若等比数列{a n }共有2n 项，则S 偶：S 奇=q ；若有2n+1项，则S 奇——S 偶=（a 1+a 2n+1q ）/(1+q)（q ≠1且q ≠－1）． 方法规律总结1.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量．2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如等比数列中S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【指点迷津】【类型一】等比数列的性质【例1】：(1) 设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝( )A.72 B ．－92 C.92 D ．－72[解析]： [解析] (1)由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：10(2) 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 10＝12S 5，所以S 10－S 5＝－12S 5.由等比数列的性质得，S 5，－12S 5，S 15－12S 5成等比数列，所以14S 52＝S 5S 15－12S 5，得S 15＝34S 5，所以S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝S 5＋12S 5＋34S 5－12S 5＝－92.答案：B【例2】：)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝72，S 6＝352，则S 9＝________．【解析】： (1)因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.答案：A(2)由S 3＝72，S 6＝352得，公比q ≠1，且⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72，a 1（1－q 6）1－q ＝352，两式相除，得1＋q 3＝5，即q 3＝4， 则a 11－q ＝－76， 故S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝a 11－q [1－(q 3)3]＝－76×(1－43)＝1472.答案：1472【类型二】等比数列性质的应用【例1】：若等比数列{a n }的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．【解析】：方法一：设此数列的公比为q ，首项为a 1.当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )； 当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S n 2＋S 2n 2＝a 11－q2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n＋q 2n)，又S n (S 2n ＋S 3n )＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n ＋q 2n)，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二：根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n 2＋[S n (1＋q n )]2＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n )，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n ).【例2】：已知数列{a n }的首项为a (a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a (t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求a 的取值范围；(3)当t ≠1时，若c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t )． 【解析】：(1)当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，得a 2＝at .当n ≥2时，有S n ＝tS n －1＋a ，∴(S n ＋1－S n )＝t (S n －S n －1)，即a n ＋1＝ta n .又a 1＝a ≠0，∴a n ＋1a n＝t (n ∈N *)，即数列{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，∴a n ＝at n －1. (2)当t ＝1时，S n ＝an ，b n ＝an ＋1.当a >0时，数列{b n }递增，且b n >0，不合题意；当a <0时，数列{b n }递减，由题意知b 4>0，b 6<0，且⎩⎨⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围为【－29，－211】.(3)∵t ≠1，∴b n ＝1＋a －atn1－t，∴c n ＝2＋1＋a1－t n －a1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋1＋a1－t n －at （1－t n ）（1－t ）2＝2－at （1－t ）2＋1＋a1－tn ＋at n ＋1（1－t ）2.由题设知，{c n }为等比数列，所以有⎩⎨⎧2－at （1－t ）2＝0，1－t ＋a 1－t＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1，2)．【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3，因为a 1>0，所以q 3>1，即q >1，故a 3<a 5成立；由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4，因为a 1>0，所以q 2>1，即q <－1或q >1.所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件． 答案：A2．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1 ＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】： 由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C.3．已知{a n }为等比数列，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－7【解析】：设等比数列的公比为q .∵a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，∴a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：D4．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】：由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.答案：C5．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D.12n －1【解析】：∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 答案：C 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10， ∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n.答案：a n ＝24－n7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝12，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________． 【解析】：由S 8≠2S 4可知，公比q ≠1，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等比数列，公比为S 8－S 4S 4＝12， 故a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝S 16－S 12＝S 4123＝1.答案：18．设数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，关于数列{a n }有下列四个结论：①若a n ＋1＝a n (n ∈N *)，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列；④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N *)也成等比数列． 其中正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】：若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，①错误；②正确；③中{a n }是公比为－1的摆动数列，如2，－2，2，－2，2，－2，…，③正确；如对于等比数列2，－2，2，－2，2，－2，…，有S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，④错误． 答案：②③ 三、解答题9．已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值．【解析】： (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n.(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n nS ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记1()4nnn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】：(1)因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n nS b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n nn n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【二级目标】能力提升题组一、选择题1．设x ，y ，z 均是实数，若3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋zx的值是( )A.327B.358C.3312D.3415【解析】：因为3x ，4y ，5z 成等比数列，所以16y 2＝15xz ，又因为1x ，1y ，1z 成等差数列，所以y ＝2xz x ＋z .联立可得16×4x 2z 2＝15xz (x ＋z )2，因为xz ≠0，所以（x ＋z ）2xz＝6415，所以x z ＋z x ＝3415. 答案：D2．函数y ＝9－（x －5）2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列不可能是该等比数列的公比的是( ) A.34B. 2C. 3D. 5 【解析】：函数y ＝9－（x －5）2等价于⎩⎨⎧（x －5）2＋y 2＝9，y ≥0，其图像为圆心在(5，0)，半径为3的上半圆．半圆上的点到原点的最小距离为2(点(2，0)处)，最大距离为8(点(8，0)处)，则最大的公比q 应满足8＝2q 2，即q 2＝4，解得q ＝2，最小的公比q 应满足2＝8q 2，即q 2＝14，解得q ＝12.又不同的三点到原点的距离不相等，故q ≠1，故公比q 的取值范围为12≤q ≤2，且q ≠1，故选D.答案：D二、填空题3．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．【解析】：∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是等比数列，∴R n ＝82a 11－3n2－a 1（1－3n）（1－3）a 1·3n2＝3n 22－823n2＋813n2（1－3）＝11－3×3n 2＋813n 2－82≤11－3×(2 81－82)＝643－1，当且仅当3n 2＝813n 2，即3n＝81，即n ＝4时等号成立，∴数列{R n }的最大项为第4项．答案：4 三、解答题4.已知数列{a n }中，a 1＝2，对任意n ∈N *，恒有a n ·a n ＋1＝2×4n成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：由a 1＝2，a 1·a 2＝2×4＝8，得a 2＝4.由a n ·a n ＋1＝2×4n，得a n ＋1·a n ＋2＝2×4n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝4， 则数列{a n }的奇数项成等比数列，首项a 1＝2，公比q ＝4，故当n 为奇数时，a n ＝a 1×4n －12＝2n.当n 为奇数时，则n ＋1为偶数，由a n ·a n ＋1＝2×4n ，得2n ·a n ＋1＝2×4n ，则a n ＋1＝2n ＋1.故对任意n ∈N *，恒有a n ＝2n，a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2，故数列{a n }是等比数列．(2)易知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(a 1＋a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9＋a 11)＋…＋(a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1)， 则数列{b n }的前n 项和S n 即数列{a n }的奇数项和(共3n 项)， 则S n ＝2（1－43n）1－4＝23(26n－1)．【高考链接】1.（2015年新课标全国卷Ⅱ）已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84[解析]：由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. [答案]：B2．（2015年高考安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.[答案]：2n－13．（2015年高考四川卷）设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[解析]： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12×1－12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210， 所以n ≥10，所以使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.。

高考数学第一轮复习 第3讲 等比数列及前n 项和 考点一 等比数列的概念及运算知识点1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m . 4 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).5 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列．注意点 等差中项与等比中项的区别两个数的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.入门测1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列. ( )(2)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127D ．1283．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则该等比数列的公比q 为( )A.14B.12 C ．2D ．8[考法综述] 通过等比数列的通项公式，前n 项和公式等考查，a 1，a n ，n ，q ，S n 之间的运算关系．通过等比数列的概念考查判断数列为等比数列的方法．命题法1 等比数列的基本运算典例1 (1)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．【解题法】 等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．(2)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．(3)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，xq ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，xq ，xq, xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．命题法2 等比数列的判定与证明典例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解题法】 等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．842．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)24．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k ＝48，则k 等于( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．45．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.9.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．考点二 等比数列的性质及应用知识点等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .注意点 使用性质解题时的注意事项(1)在使用等比数列及其前n 项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系． (2)在等比数列中，若a m ·a n ＝a p ·a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则不一定有m ＋n ＝p ＋q 成立．如{a n }是非零常数列时，此结论就不成立.入门测1．思维辨析(1)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)若{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) (4)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )2．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 4a 10＝16，则a 6＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．83．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.[考法综述] 等比数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法 等比数列性质的应用典例 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558(2)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式a n＝________.【解题法】 等比数列性质的应用问题(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．1.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．33.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81D ．164．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．5．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．6．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b }的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和S n.设四个实数成等比数列，其积为16，中间两项的和为5，则公比为________．课时练基础组1.在数列{a n}中，a n≠0，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分与不必要条件2．等比数列{a n}中，a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝()A．33B．72C．84 D．1893．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝5，S m＝－11，S m＋1＝21，则m＝()A．3 B．4C．5 D．64.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12 B．10C．8 D．2＋log355．已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)26．]各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于() A．80 B．30C．26 D．167．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a9成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则S11－S9S7－S6＝________.8．若数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝12a n(n∈N*)，其前n项和为S n，则S4a4＝________.9．若等比数列{a n}满足a m－3＝4且a m a m－4＝a24(m∈N*且m>4)，则a1a5的值为________．10．已知公比为2的等比数列{a n}中，a2＋a5＋a8＋a11＋a14＋a17＋a20＝13，则该数列前21项的和S21＝________.11．已知正项等比数列{a n}中，2a1＋a2＝a3,3a6＝8a1a3.(1)求数列{a}的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n －n log 23，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋1的前n 项和T n .12．已知a <b ，且满足a 2－a －6＝0，b 2－b －6＝0，数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝－6a ，a n ＋1＝6a n －9a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－ba n (n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n .能力组13.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152B.314C.334D.17214．数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2015110，则a 21＝______.15已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．16.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)设b n ＝a nn 2，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .。