2015届高考数学(文)一轮复习备考学案三角函数、解三角形(北师大版)

第三节 三角函数的图像与性质[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1] [－1,1]R单调性递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，递减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z递增区间： [2k π－π，2k π]，k ∈Z ，递减区间：[2k π，2k π＋π]，k ∈Z递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性对称中心 (k π，0)，k ∈Z对称中心对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称轴x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称轴x ＝k π(k ∈Z )周期性 2π2ππ1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，那么y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________．π [T ＝2π2＝π.]3．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .] 4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.]考点1 三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈ZD [由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，应选D.]2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． －4 [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，那么t ∈[－1,1]．f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178，易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.]3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，假设f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，那么实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图像(图略)知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.]4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1 [设t ＝sin x －cos x ，那么t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.] 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．考点2 三角函数的单调性(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)(2019·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 [(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，应选B.(2)∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.]本例(2) 在整体求得函数y ＝12sin x ＋32cos x 的增区间后，采用对k 赋值的方式求得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的区间．根据函数的单调性求参数(1)ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，那么ω的取值范围是( )A.(0,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)假设f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，那么a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π(1)D (2)C [(1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z ，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.应选D.(2)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4，应选C.]单调区间求参数范围的3种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数集法 的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期 性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.假设函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，那么ω＝________.32 [由得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.] 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [由，得函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．]考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)以下函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)假设函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，那么自然数k 的值为________．(1)A (2)2或3 [(1)对于选项A ，作出y ＝|cos 2x |的部分图像，如图1所示，那么f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2，故A 正确．对于选项B ，作出f (x )＝|sin 2x |的部分图像，如图2所示，那么f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π2，故B 不正确．对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最小正周期T ＝2π，故C 不正确．对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图像，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．应选A.]图1 图2 图3(2)由题意得，1＜πk ＜2，∴k ＜π＜2k ，即π2＜k ＜π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.]公式莫忘绝对值，对称抓住“心〞与“轴〞(1)公式法求周期①正弦型函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝2π|ω|；②余弦型函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝2π|ω|；③正切型函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|. (2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于T2；②两对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T2.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)三角函数的奇偶性函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)假设f (x )为偶函数，那么φ＝________； (2)假设f (x )为奇函数，那么φ＝________.(1)56π (2)π3 [(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， 所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3.] 假设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，那么①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性(1)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，那么该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，那么φ的值为________．(1)B (2)－π6 [(1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12， 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，令x 2＋π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )． 故f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z )，对比选项可知B 正确．(2)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.]三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法假设求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，那么只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x ；假设求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，那么只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .1.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的选项是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，.专业. 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．] 2．(2019·成都模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，那么f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12. 因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )， 当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.]。

2015高考数学（文）一轮复习质量检测 三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2014·龙岩质检）已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c－a )∥b ，则c ＝( )A. (2,1)B. (1,0)C. (32，12)D. (0，－1)解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，c －a ＝(x －1，y ＋1)．由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y －2＝0y ＋1＝x －，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，因此c ＝(2,1)．答案：A2．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF →＝ A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD →解析：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的中点，所以CF →＝12CB →.所以EF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋12DA →＝12AB →－12AD →.故选D.答案：D3．已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则a ·(a ·b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3D ．4－ 3解析：依题意得a ·(a －b )＝a 2－ab ＝22－2×1×cos 60°＝3，故选C. 答案：C4．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A >sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π2. 答案：C5．计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1，选D.答案：D6．(2013年唐山月考)将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π9 B ．x ＝π8 C ．x ＝π2D ．x ＝π解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，则其对称轴为x 2－π4＝kπ，x ＝2kπ＋π2(x ∈Z )．∴x ＝π2是其中一条对称轴．答案：C7．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6D ．与P 的位置有关解析：设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →.∴AP →·(AB →＋AC →)＝(AB →＋λBC →)(AB →＋AC →)＝AB →2＋λBC →·AB →＋AB →·AC →＋λBC →·AC →＝22＋λ×2×2×cos 120°＋2×2×cos 60°＋λ×2×2×cos 60°＝4－2λ＋2＋2λ＝6.答案：C8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.则下列关于函数f (x )的说法中，正确的是( )A ．对称轴方程是x ＝π3＋2kπ(k ∈Z ) B ．φ＝－π6 C ．最小正周期是πD ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6上单调递减解析：由图象可得A ＝1，因为T 2＝πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，0代入得56π＋φ＝2kπ＋π，所以φ＝2kπ＋π6.又|φ|<π2，所以φ＝π6，故B ，C 错；由解析式可得对称轴方程为x ＝π3＋kπ(k ∈Z )，故A 错；又函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π3，2kπ＋4π3， 当k ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－5π6⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，－2π3，答案选D.答案：D9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab ＝3，则角B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．90°D ．120°解析：b 2＋c 2－bc ＝a 2，则cos A ＝12，A ＝60°，a b ＝3，sin A sin B ＝3，则sin B＝12，又可知b <a ，故B 为锐角，B ＝30°.答案：A10．(2013年冀州中学期中)已知钝角三角形ABC 的最长边的长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )A ．2B ．4C ．π－2D ．4π－2解析：根据三角形两边之和大于第三边，有a ＋b >2，由余弦定理可知cos C <0，这样可知a 2＋b 2<4，作出图象可知其面积为π－2，选C.答案：C11．若函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，那么ω＝( )A ．－23 B.23 C.43D.103解析：由函数f (x )＝－2cos (ωx －φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，得函数f (x )是奇函数，所以φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π2，所以f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝－2sin ωx .因为当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，f (x )单调递减且最小值是－1，所以ω>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－2sin π4ω＝－1，π4≤T 4＝π2ω，解得ω≤2，且ω＝8k ＋23或ω＝8k ＋103(k∈Z )，故ω＝23.答案：B12．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝0，则a ⊥b . 从而|a ＋b |＝2，设a 与a ＋b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝12，则θ＝π3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，π3<α<π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13>0，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，∴π2<α＋π6<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－223，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－223－22×13＝－(4＋2)6.答案：－4＋2614．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m ＝________.解析：因为AN →＝13NC →，AP →＝mAB →＋811AN →，可得m ＋811＝1，所以实数m 的值为311.答案：31115．（2014·南通学情调研）“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位：m)，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要______元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin120°＝225，故共需225×120＝27000元．答案：2700016．在△ABC 中，A ＝30°，BC ＝25，D 是边AB 上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为________．解析：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E .因为S △DCB ＝12CD ·BC ·sin ∠DCB ＝4，所以sin ∠DCB ＝845＝255.当∠DCB 为锐角时，cos ∠DCB ＝55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝16，解得BD ＝4.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝4；当∠DCB 为钝角时，cos ∠DCB ＝－55，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠DCB ＝32，解得BD ＝4 2.又S △DCB ＝12BD ·CE ＝4，所以CE ＝ 2.又CE ⊥AE ，∠CAE ＝30°，所以AC ＝2CE ＝2 2. 答案：22或4三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sinα＝2cos α.①因为sin 2α＋cos 2α＝1②由①②联立，解得cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.18．已知函数f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2x cos 2x －3sin 22x ＝12sin 4x －3·1－cos 4x 2 ＝12sin 4x ＋32cos 4x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π2. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32.因为0≤x ≤π4， 所以π3≤4x ＋π3≤43π. 所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3≤1.所以－3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－32≤1－32.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.19．在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝8，|AC →|＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，(1)求AD →·CB →的值．(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由． 解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，由题意可知A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)．(1)∵D 为BC 中点，∴D 点坐标为(4,3)， ∵AD →＝(4,3)，CB →＝(8，－6)， ∴AD →·CB →＝4×8＋3×(－6)＝14. (2)设E 点坐标为(x ，y )，其中x ≠4. 由DE ⊥BC ，得DE →·BC →＝0， ∴(x －4，y －3)·(－8,6)＝0， ∴4x －3y －7＝0.∴AE →·CB →＝(x ，y )·(8，－6) ＝8x －6y ＝2(4x －3y )＝14， 故AE →·CB →的值为常数14.20．(2012年东北四校质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C2－cos 2C＝72，所以4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72.整理得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12. 因为0°<C <180°，所以C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－2ab ×12，所以7＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2cos C2，－sin C )，n ＝(cos C2，2sin C )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝0.则2cos 2C2－2sin 2C ＝0.因为C ∈(0，π)，所以cos C 2>0，sin C >0，所以cos C 2＝sin C ，则sin C 2＝12.又C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C 2＝π6.则C ＝π3.(2)因为C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又因为a 2＝2b 2＋c 2，所以a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab ， 解得a ＝3b .由正弦定理，得sin A ＝3sin B . 因为C ＝π3，所以sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A .即sin A ＝－33cos A .因为cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0， 所以tan A ＝－3 3.22．(2012年浙江六校联考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2－a 2－c 2ac＝cos (A ＋C )sin A cos A .第 11 页 共 11 页 (1)求角A ；(2)若a ＝2，求bc 的取值范围．解：(1)∵b 2－a 2－c 2ac ＝cos (A ＋C )sin A cos A ，∴－2ac cos B ac ＝－cos Bsin A cos A ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos B ≠0，∴2sin A cos A ＝1，即sin 2A ＝1， ∴2A ＝π2，A ＝π4.(2)根据正弦定理可得：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴bc ＝4sin B sin C ，又C ＝3π4－B ，∴bc ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos B ＋22sinB ＝2sin 2B ＋2(1－cos 2B )⇒bc ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π4＋ 2.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B <π2，0<3π4－B <π2，得到B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴2B －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则bc 的范围为(22，2＋2]．。

[课堂练通考点]1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2014·济南质检)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.3．(2014·青岛高三教学评估)若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153 B ．－153 C.53D ．－53解析：选A ∵0<A <π，∴0<2A <2π. 又∵sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2. ∴(sin A ＋cos A )2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153. 4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2. 答案： 25．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35， ∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·皖北模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝( )A ．－35 B.35 C.45D ．－45解析：选B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，故选B.2．(2013·辽宁五校第二次联考)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ解析：选A ∵1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0， 故原式＝sin θ－cos θ.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.4．(2013·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.5．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.6．(2014·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2557．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0 8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·周口一模)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12B ．2C ．－12D ．－2解析：选B 由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.2．(2013·黄冈二模)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f(2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.即f(2 013)＝－3.。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节三角恒等变换教学案文（含解析）北师大版第五节 三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．公式C 2α的变形： (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用： (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α；(3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α.4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a)，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定． ( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D ．]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A ．210 B ．－210 C ．7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A ．] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.7 25[由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33[11－tan 15°－11＋tan 15°＝1＋tan 15°－1－tan 15°1－tan 15°1＋tan 15°＝2tan 15°1－tan215°＝tan 30°＝33. ]三角函数式的化简1．已知sin⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( )A．－1 B．0 C．12D．1A[因为sin⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A．]2．计算sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°的值为( )A．－12B．12C．32D．－32B[sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos2θ－1cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A ．23B ．43C ．34D ．32 D [由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.][规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．三角函数式的求值►考法1 给值求值【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A ．26＋16B ．3－28C ．3＋28D ．23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.(1)B (2)A (3)－73 [(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B ． (2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A ． (3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcosβ－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34，因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0.所以sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－74. 所以tan(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73.]►考法2 给角求值【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1) 3 (2)1 [(1)由tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3得tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角 【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A ．7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4 [(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π. 又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4. ∵sin(β－α)＝1010＞0， ∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. ∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A ．(2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0，所以0＜α＜π2，又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0，所以0＜2α＜π2， 所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为tan β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，。

[课堂练通考点]1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 解析：选D 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，05．(2013·陕西高考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12. 因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.3．(2014·聊城期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.4．(2014·安徽黄山高三联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析：选B f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，∵其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．5．(2013·浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )； 当φ＝π2时，f (x )为奇函数．答案：必要不充分6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]；且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1,1] π12 7．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·福建质检)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g (x )＝cos x －sin x . 理由如下：因为g (x )f (x )＝(cos x －sin x )(sin x ＋cos x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， 所以g (x )＝cos x －sin x 符合要求．又g (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x <2k π＋7π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z .由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x <2k π＋3π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z .2. (创新题)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时， y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即此时y ＝g (x )的最大值为12.3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

第三节三角函数的图象与性质A组基础题组1.函数y=tan的定义域是( )A.B.C.D.2.(2016海淀期中)已知函数f(x)=cos4x-sin4x,下列结论错误的是( )A.f(x)=cos 2xB.函数f(x)的图象关于直线x=0对称C.f(x)的最小正周期为πD.f(x)的值域为[-,]3.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2-B.0C.-1D.-1-4.(2014石景山统测)下列函数中,最小正周期为π且函数图象关于直线x=对称的是( )A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin5.(2015丰台二模)已知函数f(x)=|sin x|,x∈[-2π,2π],则方程f(x)=的所有根的和等于( )A.0B.πC.-πD.-2π6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有f=f,则f的值为.7.(2017西城二模)已知函数f(x)=tan.(1)求f(x)的定义域;(2)设β是锐角,且f(β)=2sin,求β的值.8.(2017,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时, f(x)≥-.9.(2018东城期末)已知函数f(x)=2sin ax·cos ax+2cos2ax-1(0<a≤1).(1)当a=1时,求f(x)在区间上的最大值与最小值;(2)当f(x)的图象经过点时,求a的值及f(x)的最小正周期.B组提升题组10.若函数f(x)=sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点(x0,0)中心对称,x0∈,则x0=( )A. B. C. D.11.(2014顺义第一次统练)已知函数f(x)=cos-cos 2x,x∈R,给出下列四个结论:①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数;②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=;③函数f(x)图象的一个对称中心为;④函数f(x)的递增区间为,k∈Z.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.412.(2016某某二模)同时具有性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sinD.y=sin13.(2016海淀一模)已知函数f(x)=sin(2x+φ).若f-f=2,则函数f(x)的单调增区间为.14.(2018海淀期中)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.(1)求f的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.15.(2016海淀二模)已知函数f(x)=-2sin x-cos 2x.(1)比较f, f的大小;(2)求函数f(x)的最大值.16.(2017东城一模)已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.答案精解精析A组基础题组1.Dy=tan=-tan,∴x-≠+kπ,k∈Z,即x≠π+kπ,k∈Z.2.Df(x)=cos4x-sin4x=cos2x-sin2x=cos 2x,易知A,B,C正确,D项,f(x)的值域是[-1,1],故选D.3.A∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,∴sin∈,∴y∈[-,2],∴y max+y min=2-.4.B 选项A与D中函数的最小正周期为4π,所以A、D错误;对于选项B:当x=时,y=2sin=2sin=2,即x=时,y取到最大值,所以直线x=是函数y=2sin图象的一条对称轴,故选B.5.A f(x)=,即|sin x|=,∴sin x=或sin x=-.∵x∈[-2π,2π],∴x=±,±,±,±,∴所求的和为0.6.答案2或-2解析∵f=f,∴直线x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的一条对称轴,∴f=±2.7.解析(1)由x+≠kπ+,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意,得tan=2sin,所以=2sin.①因为β是锐角,所以<β+<,所以sin>0,①式可化简为cos=.所以β+=,所以β=.8.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.所以sin≥sin=-.所以当x∈时, f(x)≥-.9.解析(1)当a=1时,f(x)=2sin x·cos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin. 所以当x∈时,2x+∈.所以当2x+=,即x=时, f(x)max=2;当2x+=,即x=时, f(x)min=-1.(2)因为f(x)=2sin ax·cos ax+2cos2ax-1(0<a≤1),所以f(x)=sin 2ax+cos 2ax=2sin.因为f(x)的图象经过点,所以2sin=2,即sin=1.所以+=+2kπ(k∈Z).所以a=3k+(k∈Z).因为0<a≤1,所以a=,所以f(x)=2sin.所以f(x)的最小正周期T==2π.B组提升题组10.A 由题意得=,T=π,则ω=2.又由题意得2x0+=kπ(k∈Z),则x0=-(k∈Z),而x0∈,所以x0=.11.C f(x)=cos 2xcos-sin 2xsin-cos 2x=-sin,不是奇函数,故①错;当x=时,f=-sin=1,故②正确;当x=时, f=-sin π=0,故③正确;令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故④正确.综上,正确结论的个数为3. 12.B 由①可排除D.由②知在x=处函数应取最值1或-1,选项A,y=cos=cos=,选项B,y=sin=sin=1,选项C,y=sin=sin=-1,由此排除A.由③可知B:y=sin的增区间为(k∈Z),当k=1时单调递增区间为,∴在上是增函数,故B正确.由③可知C:y=sin的增区间为-+kπ,-+kπ(k∈Z),当k=1,2时,单调递增区间为,.∴在上不是单调递增函数.故C错.故选B.13.答案,k∈Z解析解法一:∵f(x)=sin(2x+φ)且f-f=2,∴f=1, f=-1.∴sin=1,即sin=1.不妨取φ=,∴f(x)=sin.∴2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,∴2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调增区间为,k∈Z.解法二:由题意知, f=1, f=-1, f(x)的值域为[-1,1],且最小正周期T=π,∴为函数f(x)的一个单调增区间,∴f(x)的单调增区间为,k∈Z.14.解析(1)f=2sin cos +-1=2××+2×-1=1.(2)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.15.解析(1)因为f(x)=-2sin x-cos 2x,所以f=-2sin-cos=-,f=-2sin-cos=-.因为->-,所以f>f.(2)f(x)=-2sin x-cos 2x=-2sin x-(1-2sin2x)=2sin2x-2sin x-1=2-.令t=sin x,t∈[-1,1],则f(t)=2-,t∈[-1,1],该函数图象的对称轴为直线t=,根据二次函数的性质知,当t=-1时,函数取得最大值3.故函数f(x)的最大值为3.16.解析(1)∵点在函数f(x)的图象上,∴f=2asin cos +cos=1.∴a=1.∴f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin. ∴f(x)的最小正周期T=π.(2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z.∴+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z). ∴函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为.。

“三角函数、解三角形”类题目的审题技巧与解题规范[对应学生用书P63][技法概述]数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．[适用题型]高考中有以下几类解答题常用到此种审题方法：1．三角形一些量的求解及三角形形状的判定；2．函数与导数中的不等式问题常利用变换数式问题形式；3．数列中的求值或一些性质应用．[典例](2013·新课标全国卷Ⅱ)(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B．(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[解题流程]第一步根据正弦定理把边化为角⎣⎢⎢⎢⎡解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B.①(2分)又A＝π－(B＋C)，[失分警示]1.(2014·西安一模)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，第二步 三角恒等变换⎣⎢⎢⎢⎡故sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos Bsin C . ②(4分)由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 第三步求角⎣⎢⎡又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(6分)易忽略说明B，C 的范围，导致扣分．第四步 利用余弦定理列等式 ⎣⎢⎢⎢⎡(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .(7分)由已知及余弦定理得422cos π4.利用基本不等式求出a ，c 的范围，而 不说明取等号的条件．第五步 均值不等式求最值⎣⎢⎢⎢⎡又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立.(11分)第六步 写出 结论⎣⎢⎢⎡因此△ABC 面积的最大值为2＋1.(12分)求a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∴函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，且f (C )＝0， ∴f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0，即sin(2C －π6)＝1， ∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，②由①②解得a ＝1，b ＝2.2．(2014·石家庄模拟)已知f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －2＝3sin 2x ＋2cos 2x －2＝3sin 2x ＋cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 所以f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2.3．(2014·沈阳模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(sin A －sin B ，sin C )，向量n ＝(2sin A －sin C ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1)求角B ；(2)若sin A ＝35，求cos C 的值．解：(1)依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin C (2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ， 由正弦定理得，a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∴B ＝π4.(2)∵sin A ＝35，∴sin A <22，∴A <B .又B ＝π4，∴A <π4，∴cos A ＝45，∴cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝－210.。

专题三 三角函数、解三角形1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．43B ．2 3C. 3D.322.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )3.要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位 4.在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.436.已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝17.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.329.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝2，cos A＝－24.(Ⅰ)求sin C和b的值；(Ⅱ)求cos⎝⎛⎭⎫2A＋π3的值．12.已知函数f(x)＝A cos⎝⎛x4⎭⎫＋π6，x∈R，且f⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B. (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．14.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．16.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．专题三 三角函数、解三角形1.B 根据正弦定理，BC sin A ＝AC sin B ，则AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3. 2.A y ＝cos2x ＋1⇒y ＝cos x ＋1⇒y ＝cos(x ＋1)＋1⇒y ＝cos x ＋1，故选A.3.C y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos(2x ＋1) 或y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)． 4.B由余弦定理得12＝4＋AB 2－72×2AB，解得AB ＝3， ∴BC 边上的高h ＝AB ·sin60°＝332. 5.B 由已知：2sin α＋2cos α＝sin α－cos α.∴sin α＝－3cos α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2×（－3）1－9＝34. 6.C f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2. ∴f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15 ＝12[1＋sin(2lg 5)]＋12[1＋sin(－2lg 5)]＝1. 7.D 由题意知c ＝b －1，a ＝b ＋1.由3b ＝20a ·cos A ，得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc， 化简得7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，则a ＝6，c ＝4. 8.C 原式＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12. 9.17250 根据cos(α＋π6)＝45， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1 ＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)>0， 所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425， 因为sin(2α＋π12) ＝sin[(2α＋π3)－π4] ＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝17250. 10.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3. (Ⅱ)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144. 又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0，因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1. (Ⅱ)由cos A ＝－24，sin A ＝144， 得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34， sin2A ＝2sin A cos A ＝－74. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218. 12.解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2， 解得A ＝2.(2)f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2 sin α＝－3017，即sin α＝1517， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2 cos β＝85， 即cos β＝45. 因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35， 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 13.解：(Ⅰ)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝ b sin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (Ⅱ)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (Ⅱ)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6] ＝2sin2x －2sin(2x ＋π3) ＝2sin2x －2 (12sin2x ＋32cos2x ) ＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 15.解：(Ⅰ)由已知2B ＝A ＋C ， A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12. (Ⅱ)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34. 法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12， 根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C ＝34.16.解：(Ⅰ)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π， 解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 又由－π<φ≤π得φ＝π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (Ⅱ)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2） ＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．。

一、知识梳理１．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝２R（R为△ABC外接圆半径）a２＝b２＋c２—２bc cos_A；b２＝c２＋a２—２ca cos_B；c２＝a２＋b２—２ab cos_C变形形式a＝２R sin_A，b＝２R sin_B，c＝２R sin_C；sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；错误!＝错误!cos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝错误!A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解（１）S＝错误!ah（h表示边a上的高）．（２）S＝错误!bc sin A＝错误!ac sin_B＝错误!ab sin C.（３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．常用结论１．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：错误!＝错误!—错误!.２．三角形中的三角函数关系（１）sin（A＋B）＝sin C；（２）cos（A＋B）＝—cos C；（３）sin 错误!＝cos 错误!；（４）cos 错误!＝sin 错误!.３．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos Ｂ．二、教材衍化１．在△ABC中，AB＝５，AC＝３，BC＝7，则∠BAC＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．因为在△ABC中，设AB＝c＝５，AC＝b＝３，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC ＝错误!＝错误!＝—错误!，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝错误!π.２．在△ABC中，A＝60°，AC＝４，BC＝２错误!，则△ABC的面积等于________．解析：因为错误!＝错误!，所以sin B＝１，所以B＝90°，所以AB＝２，所以S△ABC＝错误!×２×２错误!＝２错误!.答案：２错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.（）（２）在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．（）（３）在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.（）（４）在△ABC中，a２＋b２<c２是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．（）（５）在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．（）答案：（１）√（２）√（３）×（４）√（５）×二、易错纠偏错误!错误!（１）利用正弦定理求角时解的个数弄错；（２）在△ABC中角与角的正弦关系弄错；（３）判断三角形形状时弄错．１．在△ABC中，已知b＝４0，c＝２0，C＝60°，则此三角形的解的情况是（）Ａ．有一解Ｂ．有两解Ｃ．无解Ｄ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得错误!＝错误!，所以sin B＝错误!＝错误!＝错误!>１．所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．２．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________．解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B；sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.答案：A＝B A>B３．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．解析：由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin ２A＝sin ２B，所以２A＝２B或２A＝π—２B，即A＝B或A＋B＝错误!，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形利用正、余弦定理求解三角形（多维探究）角度一求边长（一题多解）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为２的等差数列，C＝１２0°.（１）求边长a；（２）求AB边上的高CD的长．【解】（１）由题意得b＝a＋２，c＝a＋４，由余弦定理cos C＝错误!得cos １２0°＝错误!，即a２—a—6＝0，所以a＝３或a＝—２（舍去），所以a＝３．（２）法一：由（１）知a＝３，b＝５，c＝7，由三角形的面积公式得错误!ab sin ∠ACB＝错误!c×CD，所以CD＝错误!＝错误!＝错误!，即AB边上的高CD＝错误!.法二：由（１）知a＝３，b＝５，c＝7，由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!，即sin A＝错误!，在Rt△ACD中，CD＝AC sin A＝５×错误!＝错误!，即AB边上的高CD＝错误!.角度二求角度（２0１9·高考全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin B—sin C）２＝sin２A—sin B sin C．（１）求A；（２）若错误!a＋b＝２c，求sin C.【解】（１）由已知得sin２B＋sin２C—sin２A＝sin B sin C，故由正弦定理得b２＋c２—a２＝bc.由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!.因为0°＜A＜１80°，所以A＝60°.（２）由（１）知B＝１２0°—C，由题设及正弦定理得错误!sin A＋sin（１２0°—C）＝２sin C，即错误!＋错误!cos C＋错误!sin C＝２sin C，可得cos（C＋60°）＝—错误!.由于0°＜C＜１２0°，所以sin（C＋60°）＝错误!，故sin C＝sin（C＋60°—60°）＝sin（C＋60°）cos 60°—cos（C＋60°）sin 60°＝错误!.错误!（１）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．（２）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．（３）涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．１．（２0２0·安徽安庆二模）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin ２A＝a sin B，且c＝２b，则错误!等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由b sin ２A＝a sin B，及正弦定理得２sin B sin A cos A＝sin A sin B，得cos A＝错误!.又c＝２b，所以由余弦定理得a２＝b２＋c２—２bc cos A＝b２＋４b２—４b２×错误!＝３b２，得错误!＝错误!.故选Ｄ．２．（２0２0·河南郑州一模）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b２＋c２—错误! bc＝a２，bc＝错误!a２，则角C的大小是（）Ａ．错误!或错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由b２＋c２—错误!bc＝a２，得b２＋c２—a２＝错误!bc，则cos A＝错误!＝错误!＝错误!，则A＝错误!，由bc＝错误!a２，得sin B sin C＝错误!sin２A＝错误!×错误!＝错误!，即４sin（π—C—A）sin C＝错误!，即４sin（C＋A）sin C＝４sin错误!sin C＝错误!，即４错误!sin C＝２错误!sin２C＋２sin C cos C＝错误!，即错误!（１—cos ２C）＋sin ２C＝错误!—错误!cos ２C＋sin ２C＝错误!，则—错误!cos ２C＋sin ２C＝0，则错误!cos ２C＝sin ２C，则tan ２C＝错误!，即２C＝错误!或错误!，即C＝错误!或错误!，故选Ａ．判断三角形的形状（典例迁移）（２0２0·重庆六校联考）在△ABC中，cos２错误!＝错误!（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）Ａ．直角三角形Ｂ．等边三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B＋１＝错误!＋１，即cos B＝错误!１．由余弦定理得cos B＝错误!，代入１得错误!＝错误!，整理得b２＋a２＝c２，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】A【迁移探究１】（变条件）将“cos２错误!＝错误!”改为“c—a cos B＝（２a—b）cos A”，试判断△ABC的形状．解：因为c—a cos B＝（２a—b）cos A，C＝π—（A＋B），所以由正弦定理得sin C—sin A cos B＝２sin A cos A—sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B—sin A cos B＝２sin A cos A—sin B cos A，所以cos A（sin B—sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝错误!或B＝A或B＝π—A（舍去），所以△ABC为等腰或直角三角形．【迁移探究２】（变条件）将“cos２错误!＝错误!”改为“错误!＝错误!，（b＋c＋a）（b＋c—a）＝３bc”，试判断△ABC的形状．解：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，所以b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c—a）＝３bc，所以b２＋c２—a２＝bc，所以cos A＝错误!＝错误!＝错误!.因为A∈（0，π），所以A＝错误!，所以△ABC是等边三角形．错误!（１）判定三角形形状的２种常用途径（２）判定三角形形状的３个注意点１“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；２“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；３还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．（２0２0·河南洛阳一模）在△ABC中，已知２a cos B＝c, sin A sin B（２—cos C）＝sin２错误!＋错误!，则△ABC为（）Ａ．等边三角形Ｂ．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形Ｄ．钝角三角形解析：选Ｂ．将已知等式２a cos B＝c利用正弦定理化简得２sin A cos B＝sin C，因为sin C＝sin错误!＝sin A cos B＋cos A sin B，所以２sin A cos B＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin A cos B—cos A sin B＝sin（A—B）＝0，因为A与B都为△ABC的内角，所以A—B＝0，即A＝B.因为sin A sin B（２—cos C）＝sin２错误!＋错误!，所以sin A sin B（２—cos C）＝错误!（１—cos C）＋错误!＝１—错误!cos C，所以—错误!错误!（２—cos C）＝１—错误!cos C，所以—错误!（—cos C—１）（２—cos C）＝１—错误!cos C，即（cos C＋１）（２—cos C）＝２—cos C，整理得cos２C—２cos C＝0，即cos C（cos C—２）＝0，所以cos C＝0或cos C＝２（舍去），所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选Ｂ．与三角形面积有关的问题（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin 错误!＝b sin A.（１）求B；（２）若△ABC为锐角三角形，且c＝１，求△ABC面积的取值范围．【解】（１）由题设及正弦定理得sin A sin错误!＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin错误!＝sin Ｂ．由A＋B＋C＝１80°，可得sin错误!＝cos错误!，故cos错误!＝２sin错误!cos错误!.因为cos错误!≠0，故sin错误!＝错误!，因此B＝60°.（２）由题设及（１）知△ABC的面积S△ABC＝错误!a.由正弦定理得a＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（１）知A＋C＝１２0°，所以３0°<C<90°，故错误!<a<２，从而错误!<S△ABC<错误!.因此，△ABC面积的取值范围是错误!.错误!求解三角形面积问题的基本思维（１）若已知一个角（角的大小或该角的正弦值，余弦值），一般结合题意求这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；（２）若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；（３）若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．１．（２0２0·福建厦门一模）在△ABC中，cos B＝错误!，b＝２，sin C＝２sin A，则△ABC的面积等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．在△ABC中，cos B＝错误!，b＝２，sin C＝２sin A，由正弦定理得c＝２a；由余弦定理得b２＝a２＋c２—２ac·cos B＝a２＋４a２—２a·２a·错误!＝４a２＝４，解得a＝１，可得c＝２，所以△ABC的面积为S＝错误!ac sin B＝错误!×１×２×错误!＝错误!.故选Ｄ．２．（２0２0·陕西汉中一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，错误!b sin A＝a·（２—cos B）．（１）求角B的大小；（２）D为边AB上一点，且满足CD＝２，AC＝４，锐角三角形△ACD的面积为错误!，求BC的长．解：（１）由正弦定理得错误!sin B sin A＝sin A（２—cos B），因为A∈（0，π），则sin A>0，所以错误!sin B＝２—cos B，所以２sin错误!＝２，所以sin错误!＝１，因为B∈（0，π），所以B＋错误!＝错误!，解得B＝错误!.（２）由题意，可得S△ACD＝错误!CD·CA sin∠ACD＝错误!×２×４sin∠ACD＝错误!，解得sin∠ACD＝错误!.又因为△ACD为锐角三角形，所以cos∠ACD＝错误!＝错误!，在△ACD中，由余弦定理得AD２＝CA２＋CD２—２CA·CD·cos∠ACD＝４２＋２２—２×２×４×错误!＝１6，所以AD＝４，在△ACD中，由正弦定理得错误!＝错误!，则sin A＝错误!·sin∠ACD＝错误!，在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以BC＝错误!＝错误!.三角形中最值问题一、求角的三角函数的最值若△ABC的内角满足sin A＋错误!sin B＝２sin C，则cos C的最小值是________．【解析】由sin A＋错误!sin B＝２sin C，结合正弦定理可得a＋错误!b＝２c，所以cos C＝错误!＝错误!—错误!≥错误!（错误!a＝错误!b时取等号），故cos C的最小值是错误!.【答案】错误!在△ABC中，a２＋c２＝b２＋错误!ac.（１）求B的大小；（２）求错误!cos A＋cos C的最大值．【解】（１）由余弦定理和已知条件可得cos B＝错误!＝错误!＝错误!，又因为0<B<π，所以B＝错误!.（２）由（１）知A＋C＝错误!，所以错误!cos A＋cos C＝错误!cos A＋cos错误!＝错误!cos A—错误!cos A＋错误!sin A＝错误!cos A＋错误!sin A＝cos错误!.因为0<A<错误!，所以当A＝错误!时，错误!cos A＋cos C取得最大值１．错误!此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．二、求边的最值（１）在△ABC中，B＝60°，AC＝错误!，则AB＋２BC的最大值为________．（２）如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝１，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．【解析】（１）因为错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以AB＝２sin C，BC＝２sin A，因此AB＋２BC＝２sin C＋４sin A＝２sin错误!＋４sin A＝５sin A＋错误!cos A＝２错误!sin（A＋φ），因为φ∈（0，２π），A∈错误!，所以AB＋２BC的最大值为２错误!.（２）设∠ACB＝θ错误!，则∠ABC＝π—２θ，∠DCB＝θ＋错误!，由余弦定理可知，AC２＝AB２＋BC２—２AB·BC cos∠ABC，即AC＝DC＝错误!＝２cos θ错误!，由余弦定理知，BD２＝BC２＋DC２—２BC·DC cos∠DCB，即BD２＝４cos２θ＋１—２×１×２cos θ·cos错误!＝２cos ２θ＋２sin ２θ＋３＝２错误!sin错误!＋３．由0<θ<错误!，可得错误!<２θ＋错误!<错误!，则错误!错误!＝２错误!＋３，此时θ＝错误!，因此（BD）max＝错误!＋１．【答案】（１）２错误!（２）错误!＋１错误!边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．三、求三角形面积的最值在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且２c cos B＝２a＋b，若△ABC的面积S＝错误!c，则ab的最小值为________．【解析】在△ABC中，２c cos B＝２a＋b，由正弦定理，得２sin C cos B＝２sin A＋sinＢ．又A ＝π—（B＋C），所以sin A＝sin[π—（B＋C）]＝sin（B＋C），所以２sin C cos B＝２sin（B＋C）＋sin B＝２sin B cos C＋２cos B sin C＋sin B，得２sin B cos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝—错误!，又0<C<π，所以C＝错误!π.由S＝错误!c＝错误!ab sin C＝错误!ab×错误!，得c＝错误!.由余弦定理得，c２＝a２＋b２—２ab cos C＝a ２＋b２＋ab≥２ab＋ab＝３ab（当且仅当a＝b时取等号），所以错误!错误!≥３ab，得ab≥４8，所以ab的最小值为４8．【答案】４8错误!利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．[基础题组练]１．（２0２0·湖北武汉调研测试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝错误!b，A—B＝错误!，则角C＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．因为在△ABC中，A—B＝错误!，所以A＝B＋错误!，所以sin A＝sin错误!＝cos B，因为a＝错误!b，所以由正弦定理得sin A＝错误!sin B，所以cos B＝错误!sin B，所以tan B＝错误!，因为B∈（0，π），所以B＝错误!，所以C＝π—错误!—错误!＝错误!，故选Ｂ．２．（２0２0·江西上饶一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若２S＝（a＋b）２—c２，则tan C的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｃ．因为S＝错误!ab sin C，c２＝a２＋b２—２ab cos C，所以由２S＝（a＋b）２—c２，可得ab sin C＝（a＋b）２—（a２＋b２—２ab·cos C），整理得sin C—２cos C＝２，所以（sin C—２cos C）２＝４，所以错误!＝４，错误!＝４，化简得３tan２C＋４tan C＝0，因为C∈（0，π），所以tan C＝—错误!，故选Ｃ．３．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定解析：选Ｂ．因为b cos C＋c cos B＝a sin A，所以由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin２A，所以sin（B＋C）＝sin２A.又sin（B＋C）＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝１，所以A＝错误!，所以△ABC 为直角三角形，故选Ｂ．４．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝１，b＝错误!，则S△ABC＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｃ．因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b２＝a２＋c２—２ac cos B，得c＝２，所以由正弦定理得S△ABC＝错误!ac sin B＝错误!，故选Ｃ．５．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝错误!且２sin B＝３sin C，则△ABC的周长等于（）Ａ．５＋错误!Ｂ．１２Ｃ．１0＋错误!Ｄ．５＋２错误!解析：选Ａ．在△ABC中，∠A＝60°.因为２sin B＝３sin C，故由正弦定理可得２b＝３c，再由S△ABC ＝错误!＝错误!bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝３，c＝２．由余弦定理可得a２＝b２＋c２—２bc·cos A ＝7，所以a＝错误!，故△ABC的周长为a＋b＋c＝５＋错误!，故选Ａ．6．（２0２0·河北衡水模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a＝１，错误!sin A cos C＋（错误!sin C＋b）cos A＝0，则A＝________．解析：由错误!sin A cos C＋（错误!sin C＋b）cos A＝0，得错误!sin A cos C＋错误!sin C cos A＝—b cos A，所以错误!sin （A＋C）＝—b cos A，即错误!sin B＝—b cos A，又错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝—错误!，从而错误!＝—错误!⇒tan A＝—错误!，又因为0<A<π，所以A＝错误!.答案：错误!7．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝２c，B＝错误!，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝２c，b＝6，B＝错误!，所以由余弦定理b２＝a２＋c２—２ac cos B，得6２＝（２c）２＋c２—２×２c×c cos 错误!，得c＝２错误!，所以a＝４错误!，所以△ABC的面积S＝错误!ac sin B＝错误!×４错误!×２错误!×sin 错误!＝6错误!.法二：因为a＝２c，b＝6，B＝错误!，所以由余弦定理b２＝a２＋c２—２ac cos B，得6２＝（２c）２＋c２—２×２c×c cos 错误!，得c＝２错误!，所以a＝４错误!，所以a２＝b２＋c２，所以A＝错误!，所以△ABC的面积S＝错误!×２错误!×6＝6错误!.答案：6错误!8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B—c—错误!＝0，a２＝错误!bc，b>c，则错误!＝________．解析：由a cos B—c—错误!＝0及正弦定理可得sin A cos B—sin C—错误!＝0．因为sin C＝sin（A ＋B）＝sin A cos B＋cos A sin B，所以—错误!—cos A sin B＝0，所以cos A＝—错误!，即A＝错误!.由余弦定理得a２＝错误!bc＝b２＋c２＋bc，即２b２—５bc＋２c２＝0，又b>c，所以错误!＝２．答案：２9．（２0２0·河南郑州一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足sin B＝错误!.（１）求sin A sin C；（２）若４cos A cos C＝３，b＝错误!，求△ABC的周长．解：（１）因为△ABC的面积为S＝错误!ac sin B，sin B＝错误!，所以４×错误!×sin B＝b２，所以ac＝错误!，所以由正弦定理可得sin A sin C＝错误!＝错误!.（２）因为４cos A cos C＝３，sin A sin C＝错误!，所以cos B＝—cos（A＋C）＝sin A sin C—cos A cos C＝错误!—错误!＝—错误!，因为b＝错误!，所以ac＝错误!＝错误!＝错误!＝8，所以由余弦定理可得１５＝a２＋c２＋错误!ac＝（a＋c）２—错误!ac＝错误!错误!—１２，解得a＋c＝３错误!，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝３错误!＋错误!.１0．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a２＋c２—b２＝ab cos A＋a２cos Ｂ．（１）求角B；（２）若b＝２错误!，tan C＝错误!，求△ABC的面积．解：（１）因为a２＋c２—b２＝ab cos A＋a２cos B，所以由余弦定理，得２ac cos B＝ab cos A＋a２cos B，又a≠0，所以２c cos B＝b cos A＋a cos Ｂ．由正弦定理，得２sin C cos B＝sin B cos A＋sin A cos B ＝sin（A＋B）＝sin C，又C∈（0，π），sin C>0，所以cos B＝错误!.因为B∈错误!，所以B＝错误!.（２）由tan C＝错误!，C∈（0，π），得sin C＝错误!，cos C＝错误!，所以sin A＝sin（B＋C）＝sin B cos C＋cos B sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.由正弦定理错误!＝错误!，得a＝错误!＝错误!＝6，所以△ABC的面积为错误!ab sin C＝错误!×6×２错误!×错误!＝6错误!.[综合题组练]１．（２0２0·安徽六安模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若错误!＝错误!，b ＝４，则△ABC的面积的最大值为（）Ａ．４错误!Ｂ．２错误!Ｃ．２Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为在△ABC中，错误!＝错误!，所以（２a—c）cos B＝b cos C，所以（２sin A—sin C）cos B＝sin B cos C，所以２sin A cos B＝sin C cos B＋sin B cos C＝sin（B＋C）＝sin A，所以cos B＝错误!，即B＝错误!，由余弦定理可得１6＝a２＋c２—２ac cos B＝a２＋c２—ac≥２ac—ac，所以ac≤１6，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积S＝错误!ac sin B＝错误!ac≤４错误!.故选Ａ．２．（２0２0·江西抚州二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知３a cos A＝b cos C ＋c cos B，b＋c＝３，则a的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．在△ABC中，因为３a cos A＝b cos C＋c cos B，所以３sin A cos A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin（B＋C）＝sin A，即３sin A cos A＝sin A，又A∈（0，π），所以sin A≠0，所以cos A＝错误!.因为b＋c＝３，所以两边平方可得b２＋c２＋２bc＝9，由b２＋c２≥２bc，可得9≥２bc＋２bc＝４bc，解得bc≤错误!，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a２＝b２＋c２—２bc cos A，可得a２＝b２＋c２—错误!bc＝（b＋c）２—错误!≥9—错误!×错误!＝３，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为错误!.故选Ｂ．３．（２0２0·湖北恩施２月质检）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B ＝错误!，b＝４，S△ABC＝４错误!，则△ABC的周长为________．解析：由cos B＝错误!，得sin B＝错误!，由三角形面积公式可得错误!ac sin B＝错误!ac·错误!＝４错误!，则ac＝１２１，由b２＝a２＋c２—２ac cos B，可得１6＝a２＋c２—２×１２×错误!，则a２＋c２＝２４２，联立１２可得a＝c＝２错误!，所以△ABC的周长为４错误!＋４．答案：４错误!＋４４．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a２＋b２—c２）（a cos B＋b cos A）＝abc.若a＋b＝２，则c的取值范围为________．解析：在△ABC中，因为（a２＋b２—c２）（a cos B＋b cos A）＝abc，所以错误!（a cos B＋b cos A）＝c，由正、余弦定理可得２cos C（sin A cos B＋sin B cos A）＝sin C，所以２cos C sin（A＋B）＝sin C，即２cos C sin C＝sin C，又sin C≠0，所以cos C＝错误!，因为C∈（0，π），所以C＝错误!，B＝错误!—A，所以由正弦定理错误!＝错误!＝错误!，可得a＝错误!，b＝错误!，因为a＋b＝２，所以错误!＋错误!＝２，整理得c＝错误!＝错误!＝错误!，因为A∈错误!，所以A＋错误!∈错误!，可得sin错误!∈错误!，所以c＝错误!∈[１，２）．答案：[１，２）５．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A＝a cos错误!.（１）求角B的大小；（２）设a＝２，c＝３，求b和sin（２A—B）的值．解：（１）在△ABC中，由正弦定理错误!＝错误!，可得b sin A＝a sin B，又由b sin A＝a cos错误!，得a sin B＝a cos 错误!，即sin B＝cos错误!，可得tan B＝错误!.又因为B∈（0，π），可得B＝错误!.（２）在△ABC中，由余弦定理及a＝２，c＝３，B＝错误!，有b２＝a２＋c２—２ac cos B＝7，故b ＝错误!.由b sin A＝a cos错误!，可得sin A＝错误!.因为a<c，故cos A＝错误!.因此sin ２A＝２sin A cos A ＝错误!，cos ２A＝２cos２A—１＝错误!，所以sin（２A—B）＝sin ２A cos B—cos ２A sin B＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°.（１）若△ABC的面积为３错误!，a＝错误!，求b—c；（２）若△ABC是锐角三角形，求sin B sin C的取值范围．解：（１）由S△ABC＝３错误!，得错误!bc sin A＝３错误!，即错误!bc sin 60°＝３错误!，得bc＝１２．由余弦定理，得a２＝b２＋c２—２bc cos A，即b２＋c２—bc＝１３，所以（b—c）２＝１３—bc＝１，所以b—c＝１或b—c＝—１．（２）因为A＝60°，所以B＋C＝１２0°，所以C＝１２0°—B.所以sin B sin C＝sin B sin（１２0°—B）＝sin B错误!＝错误!sin ２B＋错误!＝错误!错误!＝错误!sin错误!＋错误!.因为△ABC是锐角三角形，所以C＝１２0°—B<90°，得B>３0°，所以３0°<B<90°，则３0°<２B—３0°<１５0°，所以错误!<sin（２B—３0°）≤１，错误!<错误!sin（２B—３0°）≤错误!，所以错误!<错误!sin（２B—３0°）＋错误!≤错误!，所以sin B sin C的取值范围是错误!.。

课时30 解三角形应用举例（课前预习案）班级：姓名：一、高考考纲要求1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用．二、高考考点回顾1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 (如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．三、课前检测1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.2．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C 两点之间的距离是__________千米．3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m.4．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°课内探究案班级：姓名：考点一测量距离问题【典例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．【变式1】如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．考点二测量高度问题【典例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【变式2】如图所示，B，C，D三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α<β)，则A点距地面的高AB为_______________________________________．考点三测量角度问题【典例3】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．【变式3】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东 方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营 救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B处救援，则cos θ等于( )A.217B.2114 C.32114D.2128【当堂检测】1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( ) A.35B.45C.34D.432．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C．2cos 10° D．cos 20°3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m4．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km.课后巩固案班级：姓名：完成时间：30分钟1．在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于( ) A．30° B．60° C．120° D．30°或150°2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3D ．33．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里 B ．103海里 C ．203海里D ．202海里4.一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时．1.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．2.如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14， ∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为_______________．3．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝______.4.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .参考答案课前检测1．【答案】130°【解析】由已知得∠BAD ＝60°，∠CAD ＝70°， ∴∠BAC ＝60°＋70°＝130°.2．【答案】 6【解析】如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 3．【答案】10 3【解析】如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°， ∠ANO ＝60°，OM ＝AO tan 45°＝30，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103， 由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 4．【答案】B【解析】灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°， ∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.【典例1】【解】在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km. 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km. 【变式1【答案】507【解析】连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝507(米)．【典例2】【解】如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°，过点B 作BE ⊥CD于E ，则∠AEB ＝30°，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°， 由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°， ∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．【变式2】【答案】a sin αsin βsin(β－α)【解析】AB ＝AC sin β，ACsin α＝DC sin ∠DAC ＝asin(β－α)，解得AB ＝a sin αsin βsin(β－α).【典例3】【解】如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理得BCsin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮．【变式3】【答案】B【解析】如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20， ∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－ 2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝ABBC ·sin∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 【当堂检测】1．【答案】B【解析】因为tan α＝34，所以cos α＝45. 2．【答案】C【解析】如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3．【答案】A【解析】设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4．【答案】30 2【解析】如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝30 2 (km)．1．【答案】A【解析】利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝30°.2．【答案】C 【解析】如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3．【答案】A【解析】如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．4.【答案】10【解析】如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．1.【答案】203米、4033米 【解析】如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 2.【答案】8 2【解析】在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 3．【答案】60°【解析】S △ADC ＝12×2×DC ×32＝3－3， 解得DC ＝2(3－1)，∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos 120°＝6，∴AB ＝ 6.在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123， ∴AC ＝6(3－1)，则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.4.【解】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ， 所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习解三角形（2）导学案文探究四：正余定理的实际应用已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东30处，两队相距80km. 上午6点，后勤队驾越野车以15km / h 的速度向沙漠考察队方向行进，但此时，沙漠考察队却以3km / h的速度徒步向正东方向开始考察. 两支队伍均配备用于联络的步话机，步话机的联络半径是10km, 且两队都打开步话机并随时呼叫对方．（1）求两队出发t小时后它们之间的距离f (t )；（2）在两队行进过程中，是否可以通过步话机建立联络？请说明理由．三、方法提升：（1）、解斜三角形的常规思维方法：已知两角和一边，可先用正弦定理解；已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况；已知三边，用余弦定理。

（2）、三角形的内切圆半径R=吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习解三角形（2）导学案文，特别地，=（3）、三角形中中射影定理（4）、两内角与正弦关系：在中，A<B,……（5）、三角形中的重要结论：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC(斜三角形)（6）、锐角三角形中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC>1四、反思感悟五、课时作业正弦、余弦定理的应用(时间90分钟，满分150分) 姓名： 得分:一、选择题（每小题6分，共60分）1在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC （ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定3在三角形ABC 中, 如果B A cos sin =, 那么这个三角形是 （ ）A ．直角三角形B ． 锐角三角形C ．钝角三角形D ． 直角三角形或钝角三角形4已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于 （ ） A ．135 B ．90 C ．45 D ．305ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34C ．4D ．36在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A =3π,a =3,b =1，则c = ( ) A 1 B 2 C 3—1 D 37在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( )A ．23-B ．32-C ．32D ．238在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 2=,则角B 的值为 （ ） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π9设A 是△ABC 中的最小角，且11cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥3 B ．a ＞－1 C ．－1＜a ≤3 D ．a ＞010在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A <B <C ，则cos cos A C 的取值范围是（ ）A ．11(,]24-B ．31[,]44-C ．11(,)24-D ．31(,)44-二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b C ===︒ 则 A ＝12在△ABC 中,若B=300，AB=23，AC=2，则△ABC 的面积S 是 13△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos 14在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值.三、解答题（15、16、17题每题16分，18题18分，共66分）15已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．16在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c .17在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，222cos 2AC BC AB C AC BC +-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==，60C =． 16解：（1）sin tan cos C C C =∴=22sin cos 1C C += 解得1c o s 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=17解：（Ⅰ）由余弦定理得，224ab ab +-=，又1sin 2ab C =4ab =． （Ⅱ）已知条件化为2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =，b=．所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==．。