1.3.2 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)

AD相交于点F. (1)证明：△ABC∽△FCD； (2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长． [命题立意] 本题主要考查相似三角形的判定及性
质的综合应用．
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解：(1)证明：因为AD＝AC， 所以∠ACB＝∠ADC.
又因为D为BC的中点，ED⊥BC，
所以EB＝EC.所以∠B＝∠ECB， 所以△ABC∽△FCD. (2)如图，过A作AH⊥BC，垂足为H， 因为AD＝AC， 1 1 所以 DH＝ DC＝ BD. 2 2
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1 因为 PD＝3－x，所以 S△PDF＝ (3－x)2. 3 因为 PE∥DQ，PF∥AQ， 所以四边形 PEQF 是平行四边形． 1 1 所以 S△ PEF＝ S▱ PEQF＝ (S△ ADQ－S△APE－S△PDF) 2 2 1 2 1 32 3 ＝－ x ＋x＝－ (x－ ) ＋ . 3 3 2 4 3 所以当 x＝ 时，即 P 是 AD 的中点时， 2 3 S△ PEF 取得最大值，最大值为 . 4
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(3)作 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连接 DA′ 交 BC 于 Q，则这个 Q 点就是使△ADQ 周长最小的 点，此时 Q 是 BC 的中点．
[悟一法] 在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形
相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．
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[通一类]
3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线
S△DEC 求： 的值． S△ABD
分析： 本题考查相似三角形的判定及性质的应用． 解答 DE 本题需要利用相似三角形的性质求得 之比，进而求得 BE S△ ABE S△ DEC 的值，最后求得 的值． S△ ABD S△ ABD
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解：∵S△ DEC∶S△ DBC＝1∶3， ∴DE∶DB＝1∶3，即 DE∶EB＝1∶2. 又∵DC∥AB， ∴△DEC∽△BEA. ∴S△ DEC∶S△BEA＝1∶4. 又∵DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2， ∴S△ DEC∶S△DEA＝1∶2. ∴S△ DEC∶S△ABD＝1∶6. S△ DEC 1 即 ＝ . S△ ABD 6
∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长
为72.求△A′B′C′各边的长． 解：∵∠C＝∠C′＝90° ，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′. 在 Rt△ABC 中，AB＝ 62＋82＝10. ∴△ABC 的周长为 6＋8＋10＝24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3. AB BC AC 24 又∵AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴A′B′＝30，B′C′＝18，A′C′＝24.
定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)
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分析：本题考查相似三角形的判定及性质的综合应 用．解答问题(1)只需证明△APE 和△ADQ 中有两个角对 应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ 的面积为定值， 1 且 S△PEF＝ (S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点 A 2 关于直线 BC 的对称点 A′，利用三点共线解决．
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解：(1)证明：连接 BD，交 AC 于 O 点， 1 ∵四边形 ABCD 为矩形，∴OA＝ AC. 2 1 ∵AM＝ AC，∴AM＝OM. 4 在 Rt△ABD 中，AB＝1，AD＝ 3， ∴BD＝ AB2＋AD2＝2. ∴BO＝OA＝AB＝1， ∴△AOB 是等边三角形，又 AM＝OM， ∴BM⊥AO，∴点 B 在直线 l 上．
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解：(1)△ABC∽△ADE. ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴∠ACB＝∠AED＝90° . ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE， AC BC ∴ ＝ . AE DE ∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20 m，BC＝1.6 m. 2 1.6 ∴ ＝ ， 20 DE ∴DE＝16 m.
2．
相似三角形的性质
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[读教材·填要点] 1．相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分
线的比都等于 相似比 ． (2)相似三角形周长的比等于 相似比 ． (3)相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ．
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2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面
积比与相似比的关系 相似三角形外接圆的 直径比 、 周长比 等于相似比， 外接圆的 面积比 等于相似比的平方．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以 ＝ . AD BC 300－2x x 600 所以 ＝ ，解得 x＝ (mm)， 300 200 7 1 200 2x＝ (mm)． 7 600 答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
又 DE⊥BC， 所以∠BDE＝∠BHA＝90° ，∠B＝∠B，
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所以△BDE∽△BHA. 所以 DE BD BD BD 2 ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 3 HA BH BD＋DH BD＋ BD 2
因为△ABC∽△FCD， S△ ABC BC 2 所以 ＝ ＝4. S△ FCD CD 所以 S△ ABC＝4S△ FCD＝4×5＝20. 1 又 S△ ABC＝ BC· AH 2 1 ＝ ×10×AH＝20， 2 所以 AH＝4. 2 2 8 所以 DE＝ AH＝ ×4＝ . 3 3 3
答：古塔的高度为16 m. 返回
[例3]
[研一题] 如图，已知矩形ABCD的边
长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一
动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意
一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥ AQ交DQ于F.
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(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函 数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大 值为多少？ (3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确
1 200 mm. 7
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[悟一法]
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，
要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．
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[通一类]
2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，
他站在该塔的影子上前后移动，直 到他本身影子的顶端正好与塔的影 子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度．
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(3)如图，设 l 分别交 AD、AC、 AB 于 E、M、G 三点， 则有△AEG∽△DCA， AG AE ∴ ＝ . AD DC AG ∵DC＝1，∴AE＝ . AD S△ AEG 1 1 ∵S△ AEG＝ AE· AG， ＝ ， 2 S多边形 EGBCD 6
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S△ AEG 1 ∴ ＝ ， S矩形 ABCD 7 1 AE· AG 2 1 AE· AG 2 ∴ ＝ ，即 ＝ . AD· DC 7 AD 7 2 14 ∴AE ＝ ，AE＝ . 7 7
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(2)设 AD＝a，则 AC＝ 1＋a2. ∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90° ， ∴△AEM∽△ACD，∴ 1 1 又 AM＝ AC＝ 4 4 AE AM ＝ . AC AD
1＋a2，
2 AC· AM 1＋a ∴AE＝ ＝ . AD 4a
由 AE∥HC，得△AEM∽△CHM， AE AM 1 ∴ ＝ ＝ ， HC MC 3 ∴HC＝3AE.
AC上，AM＝AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD 相交于点E.
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(1)如果 AD＝ 3，求证点 B 在直线 l 上； (2)如图(2)，如果直线 l 与边 BC 相交于点 H，直线 l 把矩形 分成的两部分的面积之比为 2∶7，求 AD 的长； (3)如果直线 l 分别与边 AD，AB 相交于 E，G. 当直线 l 把矩形分成的两部分的面积之比为 1∶6 时， AE 求 的长是多少？
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31＋a2 a2－3 又 BH＝BC－HC＝a－ ＝ ， 4a 4a 1 而 S 梯形 ABHE＝ (AE＋BH)· AB 2
2 2 a2－1 1 1＋a a －3 ＝ ( ＋ )· 1＝ . 2 4a 4a 4a
∵S 梯形 ABHE∶S 梯形 EHCD＝2∶7， 2 2 ∴S 梯形 ABHE＝ S 矩形 ABCD＝ a， 9 9 a2－1 2 ∴ ＝ a， 4a 9 解得 a＝3，即 AD＝3.
2
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相似三角形的判断及其在有关计算问题中的应用是 高考模拟的热点内容.2012年银川模拟以解答题的形式将
相似三角形的判断及性质综合考查，是高考模拟命题的
一个新亮点．
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[考题印证] (2012· 银川模拟)在△ABC中， D是BC边上中点，且AD＝AC，DE
⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与
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[研一题]
[例 2] 如图，△ABC 是一块锐角三角
形余料， BC＝200 mm， AD＝300 mm， 边 高 要把它加工成长是宽的 2 倍的矩形零件， 使 矩形较短的边在 BC 上，其余两个顶点分别 在 AB、AC 上，求这个矩形零件的边长．
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解答本题
需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽ △ABC求解． 返回
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解：(1)证明：因为 PE∥DQ， 所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD， 所以△APE∽△ADQ. S△ APE AP 2 (2)因为△APE∽△ADQ，所以 ＝( ) . S△ ADQ AD 因为 AD∥BC，所以△ADQ 的高等于 AB. 1 2 所以 S△ ADQ＝3.所以 S△ APE＝ x . 3 同理，由 PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ， S△ PDF PD 2 所以 ＝( ) . S△ ADQ AD