2020高二数学下学期期中试题 理

南京市2020—2021学年度高二第二学期期中六校联考数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设z ＝3－2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（ ） A ．60B ．125C ．240D ．2433．已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝2，S 3＝7，则S 7＝( ) A ．64B ．63C ．127D ．484．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（ ） A ．4种B ．5种C ．6种D ．8种5．已知函数f (x )＝13a 2x 3－32ax 2＋2x ＋1在x ＝1处取得极大值，则a 的值为( )A ．－1或－2B ．1或2C ．1D ．26．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种8．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f′(x )，若对任意实数x ，有f (x )＞f′(x )，且f (x )＋2022为奇函数，则不等式f (x )＋2022e x ＜0的解集是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2022)C ．(0，＋∞)D ．(2022，＋∞)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2020-2021学年福建省漳州三中高二期中考试数学试题一、单选题1．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）A ．14y x =B ．4y x =C ．12y x =D ．2y x =【答案】D【分析】由双曲线虚轴长是实轴长的2倍，得到2b a =，即可求解双曲线的一条渐近线方程，得到答案．【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，所以双曲线的一条渐近线方程为2by x a==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．给出两个命题：p ：函数21y x x =--有两个不同的零点；q ：若11x<，则1x >，那么在下列四个命题中，真命题是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】D【分析】首先分别判断出命题p 、q 的真假，然后可得答案.【详解】对于p ，函数对应的方程210x x --=的判别式()()214150∆=--⨯-=> 可知函数有两个不同的零点，故p 为真当0x <时，不等式11x<恒成立；当0x >时，不等式的解集为{}1x x >. 故不等式11x<的解集为()(),01,-∞⋃+∞，故命题q 为假命题 所以只有()()p q ⌝∨⌝为真 故选：D4．直线l 过点0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据直线l 的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线过双曲线222x y -=的右顶点，方程为x 满足题意；当直线l 的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线222x y -=有且仅有一个公共点.综上可得，满足条件的直线共有3条. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答． 【详解】由题意，1111112BM BC CC C M BC CC C A =++=++()111111122222BC CC AB BC AB BC CC a b c =+-+=-++=-++；故选：A ．6．已知椭圆222x y 9n +=1(n>0)与双曲线222x y 4m-=1(m>0)有相同的焦点,则动点P(n,m)的轨迹是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．圆的一部分【答案】D【分析】由椭圆和双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m 和n 的关系即可.【详解】：∵椭圆222x y 9n +＝1与双曲线222x y 4m-＝1有相同的焦点，∴9-n 2=4+m 2，即m 2+n 2=5（0＜n ＜3）这是圆的一部分，故选D【点睛】在用直接法探究轨迹方程时，可直接列出动点坐标所满足的关系式，但在将等式变形和化简过程中，要留心是否需要讨论，以及取值范围是否存在限制.7．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【分析】根据三棱柱111ABC A B C -的体积公式，求得OP =即可求解.【详解】的正三角形，可得1S sin 6024ABC =︒=△，设O 点是ABC 的中心，所以111944ABC A B C ABC V S OP OP -=⋅==△，解得OP =又由2123OA ==，在直角OAP △中，可得tan 1OP OAP OA ∠===， 又02OAP π<∠<，所以3OAP π∠=.故选：B.8．已知圆1C ：222x y b +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（ ）A ．23,22⎣⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32⎫⎪⎣⎭ D ．22⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】设两切点分别为A ，B ，利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质可得||OP ，结合隐含条件求得椭圆C 的离心率的取值范围．【详解】设两切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，90APB ∠=︒，∴四边形OAPB 为正方形，||2OP b ∴=，||b OP a ∴<，即2b b a <，222b a ∴，即2222()a c a -，222a c ∴，即22c e a =． 又01e <<，∴212e <，∴椭圆C 的离心率的取值范围是22，1)，故选：D ．【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、多选题9．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：若1x ≠，则2320x x -+≠B ．1x =是2320x x -+=的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥ 【答案】ABD【分析】利用四种命题的逆否关系判断A 的正误；充分条件、必要条件判断B 的正误；复合命题的真假判断C 的正误；特称命题的否定判断D 的正误；【详解】解：对于A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”， A ∴正确；对于B ：因为2320x x -+=解得1x =或2x =，故1x =是2320x x -+=的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：因为p q ∧为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故C 错误.对于D ：对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥满足特称命题的否定是全称命题，故D 正确． 故选：ABD10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．12PF PF +=B ．离心率2e =C ．12PF F ∆D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切【答案】AD【分析】根据椭圆的定义判断A 选项正确性，根据椭圆离心率判断B 选项正确性，求得12PF F ∆面积的最大值来判断C 选项的正确性，求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项的正确性.【详解】对于A 选项，由椭圆的定义可知122PF PF a +==，所以A 选项正确.对于B 选项，依题意1,1a b c ===，所以2c e a ===，所以B 选项不正确. 对于C 选项，1222F F c ==，当P 为椭圆短轴顶点时，12PFF ∆的面积取得最大值为1212c b c b ⋅⋅=⋅=，所以C 选项错误. 对于D 选项，线段12F F 为直径的圆圆心为()0,0，半径为1c =，圆心到直线0x y +=1=，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +-=相切，所以D 选项正确. 综上所述，正确的为AD. 故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.11．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，已知直角边AB =AC = ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -C ．二面角A BCD --的正切值是3D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114【答案】CD【分析】利用等体积法计算出三棱锥B ADC -的体积，考查判断出B 选项的正误；以D 为坐标原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断出A 、C 、D 选项的正误. 【详解】画出图象如下图所示，对于B 选项，由于AD BD ⊥，AD CD ⊥，故BDC ∠是二面角C AD B --的平面角， 则120BDC ∠=，BD CD D =，AD ∴⊥平面BCD ，过B 作BE CD ⊥交CD 的延长线于E ，AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AD BE ∴⊥，BE CD ⊥，AD CD D =，BE ∴⊥平面ACD ，故BE 是三棱锥B ACD -的高.在原图中，363BC =+=，3623AB AC AD BC ⋅⨯===，321BD =-=， 22622CD AC AD =-=-=，33sin 601BE BD =⨯=⨯=， 所以1113622326D ABC B ACD V V AD CD BE --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故B 错误； 对于A 选项，以D 为坐标原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，)A、10,,22B⎛-⎝⎭、()0,2,0C，1,22AB⎛=--⎝⎭，()2,0AC=，设平面ABC的法向量为(),,n x y z=，则1202220n AB y zn ACy⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取x=y=5z=，所以()6,3,5n=，平面ACD的一个法向量为()0,0,1m=，则50m n⋅=≠，所以，平面ACD与平面ABC不垂直，故A错误；对于C选项，平面BCD的一个法向量为()1,0,0a=，6cos,34n an an a⋅===⋅，2sin,1cos,1n a n a⎛<>=-<>=-=设二面角A BC D--的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则sin,14tan tan,3cos,17n an an aθ<>=<>===<>，故C 正确；对于D选项，50,,22BC⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，平面ACD的一个方法向量为()0,0,1m=，2cos,141m BCm BCm BC⋅<>===⨯⋅，因此，BC与平面ACD所成角的正弦值是14，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查立体几何的综合问题，考查利用等体积法计算三棱锥的体积、利用空间向量法计算二面角的正切值、线面角的正弦值以及判断面面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知点F是抛物线()220y px p=>的焦点，,AB CD是经过点F的弦且AB CD⊥，AB的斜率为k，且0k>，,C A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（）A ．1112AB CD p+= B ．若243AF BF p ⋅=，则3k =C ．OA OB OC OD ⋅=⋅ D ．四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC【分析】先由AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，得到1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由抛物线的焦点弦公式求出AB ，CD ，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k xk p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+则有1112AB CD p +=，所以A 正确； 221212121422⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p OA OB x x y y p k x x ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k无关，同理234⋅=-OC OD p ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 若243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p 得222222221(2)4223++=+=p k p p p p k k，解得k =B 错； 因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错； 故选AC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.三、填空题13．已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .【答案】54【分析】把点代入抛物线，求出抛物线的方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，即可求得答案.【详解】∵抛物线2y ax =过点1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭,∴2114a =⨯，解得4a =，抛物线的方程为24y x =，抛物线的准线方程为1x =-，焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义可得15144AF =+=,故答案为54. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14．若“12＜x ＜3”是“0≤x ≤m ”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】[3，+∞）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：若“132x <<”是“0x m ”的充分不必要条件， 则“132x <<”能推出“0x m ”成立，“0x m ”不能推出“132x <<”成立， 所以由题意可设1{|3}2A x x =<<，{|0}B x x m =；A B 即3m ，则实数m 的取值范围是[3，)+∞， 故答案为：[3，)+∞【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E ，要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F 的长为________.【答案】12【分析】设1B F x =，先由1AB ⊥平面1C DF ，得到1AB DF ⊥，设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ，根据题中数据求出23h =3DE =11111122DB FSB E DF DB B F =⋅=⋅列出方程，即可求出结果. 【详解】设1B F x =，因为1AB ⊥平面1C DF ，DF ⊂平面1C DF ， 所以1AB DF ⊥， 由已知可得112A B =设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ， 则12DE h =， 又1111111122AA B SA B AA AB h =⋅=⋅，即()2211222222h =+，所以23h =3DE =. 在1Rt DB E 中，221236236B E ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为11111122DB F S B E DF DB B F =⋅=⋅，所以221621226222x x ⎛⎫⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 解得12x =.故答案为：12.【点睛】本题主要考查空间几何体中的相关计算，根据线面垂直求线段长，熟记线面垂直的性质即可，属于常考题型.四、双空题16．动圆E 与圆21(1)4M x y -+=外切，并与直线12x =-相切，则动圆圆心E 的轨迹方程为__________，过点(1,2)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E 的轨迹相交于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为__________. 【答案】24y x = 1-【分析】由已知可得E 点到直线1x =-的距离等于到点()1,0M 的距离，即动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出,A B 的坐标，利用斜率公式，即可求得直线AB 的斜率．【详解】解：如图，由题意可知，1||||2NE ME =-，则1||||2NE ME +=， ∴E 点到直线1x =-的距离等于到点()1,0M 的距离，∴动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 则其轨迹方程为24y x =；点P 坐标为()1,2，设()()1122,,,A x y B x y ， 由已知设PA ：(2)1m y x -=-，即：21xmy m ，代入抛物线的方程得：2484y my m =-+，即24840y my m -+-=，则124y m +=，故142y m =-，设:(2)1PB m y x --=-，即21x my m =-++，代入抛物线的方程得：2484y my m =-++，即24840y my m +--=， 则：224y m +=-，故242y m =--，()()121212212148x x my m my m m y y m m -=-+--++=+-=-，直线AB 的斜率2121818AB k y y mx x m--===--，∴直线AB 的斜率为−1．故答案为：24y x =；−1．【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键，是中档题．五、解答题17．（1）求与双曲线2214y x -=有相同渐近线且过点()2,0A 的双曲线方程；（2.【答案】（1）221416x y -=；（2）当双曲线的焦点坐标在x 轴时，双曲线的渐近线方程为：y =；当双曲线的焦点坐标在y 轴时，双曲线的渐近线方程为：2y x =±. 【分析】（1）由条件设双曲线方程为2204y x λ-=≠，将点()2,0A 代入可得答案.(2)，可得ca=即b =，然后分焦点的位置进行分类讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意可设要求的双曲线方程为2204y x λ-=≠，把点()2,0A 代入可得4λ=.∴双曲线方程为：221416x y -=.（2，可得c a =2223a b a +=，所以b =，当双曲线的焦点坐标在x 轴时，双曲线的渐近线方程为：y =；当双曲线的焦点坐标在y 轴时，双曲线的渐近线方程为：2y x =±. 18．已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立.（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,1][3,)-∞-⋃+∞；（2）(][)1,02,3-.【分析】（1）先求出命题q 的等价条件，根据“q ⌝”是真命题，即可求出实数m 的取值范围．（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则,p q 只有一个为真命题，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立，所以244(23)0m m ∆=-+<，解得13m -<<，又“q ⌝”是真命题等价于“q ”是假命题．所以所求实数m 的取值范围是(][),13,-∞-+∞（2）方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，∴02m <<“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴,p q 一个为真命题，一个为假命题，当p 真q 假时， 则021,3m m m <<⎧⎨≤-≥⎩，此时无解．当p 假q 真时，则0,213m m m ≤≥⎧⎨-<<⎩，此时10m -<≤或23m ≤<综上所述，实数m 的取值范围是(][)1,02,3-【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．19．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，PA AD =，2AB =，2AD =.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ； （2）求异面直线PM 与BN 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）求出平面MPC 和平面PCD 的法向量，利用空间向量法可证明出平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求出向量PM 、BN ，利用空间向量法可求得异面直线PM 与BN 所成角的余弦值.【详解】PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.（1）()1,0,0M 、(2P 、()2,0C 、()2,0D 、22N ⎛⎝⎭、()2,0,0B ， 设平面MPC 的法向量为()111,,m x y z =，(2MP =-，()1,2,0MC =，由00m MP m MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11112020x z x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令12x =，则()2,1,1m =-，设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，()2,0,0DC =，(0,DP =，由00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222020x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，则()0,1,1n =，0110m n ⋅=-+=，因此，平面MPC ⊥平面PCD ；（2）(1,0,PM =，1,,22BN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，cos ,3PM BN PM BN PM BN⋅<>==-=-⋅，因此，异面直线PM 与BN . 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，5MF =．（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点F 且倾斜角为45︒的l 交抛物线于A B 、两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）先由题意得452pMF +==，求出2p =，即可得出抛物线方程； （2）先由题意，得到直线l 的方程为1y x =-，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.【详解】（1）由题意得452pMF +==， ∴2p =，故抛物线方程为24y x =．（2）直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，其两根为12,x x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.21．如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，点E 为AB 的中点.（1）求证：11D E A D ⊥；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角1D MC D --的大小为6π？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，32AM =. 【分析】（1）由条件可得可得1D D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出11D E DA ⋅，可证.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行运算求解.【详解】证明：由正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，可得1D D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,2,0B ，()1,1,0E .由题意得()11,1,1D E =-，()11,0,1DA =， ()()111,1,11,0,10D E DA ⋅=-⋅=，11D E DA ⊥，故11D E A D ⊥.（2）解：设()()001,,002M y y ≤≤， 因为()01,2,0MC y =--，()10,2,1D C =-， 设平面1D MC 的一个法向量为()1,,v x y z =，则1110v MC v D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得()02020x y y y z ⎧-+-=⎨-=⎩，取1y =，则()102,1,2v y =-是平面1D MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为()10,0,1v =，要使二面角1D MC D --的大小为6π，则()12122221203coscos ,62212v v v v v v y π⋅====-++， 解得()0032023y y =-≤≤. 所以当32AM =-时，二面角1D MC D --的大小为6π.【点睛】思路点睛：本题考查证明线线垂直和根据二面角的大小求 线段的长度，解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）、建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）、根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.(3)、利用数量积验证垂直或求平面的法向量. (4)、利用法向量求距离、线面角或二面角.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 在直线3y =-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线-0x y =和直线-0x y +=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，求AF BF CF DF +++的值;（3）若直线:l y x t =+与椭圆交于P ，Q 两点，试求OPQ △面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）8； （3）1；【分析】（1）根据题意得到椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点，从而求得c =结合离心率，求得a 的值，进而求得2b ，得到椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得到结果；（3）将直线方程和椭圆的方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离，利用面积公式写出三角形的面积，利用基本不等式求得最值，注意满足判别式大于零的条件.【详解】（1）椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点)，所以c =又离心率为2则2a =,1b =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）设椭圆的另一个焦点为1F , 由已知得:=AF BF CF DF +++ 112248AF BF a CF a DF a ++-+-==（3）联立直线:l y x t =+与椭圆方程得,()2258440*x tx t ++-=，令()()22845440t t ∆=-⨯->，得t <<()*的两根为12,x x ，则1285t x x +=-，212445t x x -=，由弦长公式得，PQ=O到直线l的距离d=()225121252OPQt tS PQ d-+==⨯=当且仅当225t t-=，即t=或t=t=或t=t<所以三角形OPQ面积的最大值为1.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆的定义，椭圆的性质，椭圆中三角形的面积最值的求解问题，属于中档题目.第 21 页共 21 页。

2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说明正确的是()A. “若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B. {a n}为等比数列，则“a1<a2<a3”是“a4<a5”的既不充分也不必要条件C. ∃x0∈(−∞,0)，使3x0<4x0成立D. “tanα≠√3”必要不充分条件是“a≠π3”2.设复数z1=1−i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1⋅z2的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.“∃x0∈R,x02+1<0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+1≥0B. ∀x∈R，x2+1<0C. ∃x0∈R,x02+1≥0D. ∃x0∈R,x2+1<04.若，则等于()A. −2B. −4C. 2D. 05.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B的在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为23，则k的值为()A. −13B. 13C. ±13D. ±126.方程|x|+|y|=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是()A. 2B. 1C. 4D. √27.直线l1:y=mx+1，直线l2的方向向量为a⃗=(1,2)，且l1⊥l2，则m=A. 12B. −12C. 2D. −28.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则双曲线E的渐近线方程为()A. y=±12x B. y=±x C. y=±√3 D. y=±2x9. 已知A 、B 两点均值焦点为F 的抛物线y 2=2px(p >0)上，若|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，线段AB 的中点到直线x =p2的距离为1，则p 的值为( )A. 1B. 1或3C. 2D. 2或610. 已知命题p ：f(x)=12+12x −1为奇函数；命题q ：∀x ∈(0,π2)，sinx <x <tanx ，则下面结论正确的是( )A. p ∧(￢q)是真命题B. (￢p)∨q 是真命题C. p ∧q 是假命题D. p ∨q 是假命题11. 直线y =kx 与函数f(x)=|x 2−1|x−1图象有两个交点，则k 的范围是( )A. (0,√3)B. (0,1)∪(1,√3)C. (1,√3)D. (0,1)∪(1,2)12. 抛物线y =ax 2的准线方程为y =−1，则实数a =( )A. 4B. 14C. 2D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(2,0)，N(3,0)，P 是抛物线C ：y 2=3x 上一点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中正确的序号是______ ．①∃x 0∈R ，使f(x 0)=0；②若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)=0；③若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x 0)上单调递减； ④函数y =f(x)的图象是中心对称图形． 15. 设F 1、F 2为曲线C 1：的焦点，P 是曲线：与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为_______________________． 16. 设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (12分)(I)求函数图象上的点处的切线方程；(Ⅱ)已知函数，其中是自然对数的底数，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。

陕西省西安市长安区第一中学2019—2020学年高二数学下学期期中试题 理时间：120分钟选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）．1.设集合2{|430}A x xx =-+<，{|230}B x x =->，则=AB ( )A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(,3)2D ．3(1,)22.在复平面内，复数11i+的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3。

已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4)．若λ为实数， ()λ+∥a b c，则λ=( )A ． 14B ．12 C ．1 D ．24。

某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5。

下列叙述中正确的是（ ) A ．若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"bac -≤B ．若,,a b c R ∈，则22""abcb >的充要条件是""a c >C ．命题“对任意x R ∈，有2x≥”的否定是“存在x R ∈，有2x≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ6. 设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A 。

q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>7。

高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。

$(-\infty。

-1]\cup [2,+\infty)$B。

$(-1,+\infty)$C。

$(-\infty,1]$D。

$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。

$5x-y-3=0$B。

$5x-y+3=0$C。

$3x-y-1=0$D。

$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。

$x=\frac{\pi}{6}$B。

$x=\frac{\pi}{4}$C。

$x=\frac{\pi}{3}$D。

$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。

$90^\circ$B。

$60^\circ$C。

$45^\circ$D。

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。

2019-2020学年天津市第七中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，则b 的值为（ ） A ．2 B ．23C ．23-D ．2-【答案】A【解析】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零，得20b -=，求解即可得答案． 【详解】由复数2()bi b R -∈的实部与虚部之和为零， 得20b -=，即2b =． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．i 为虚数单位，若复数()()11mi i ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．0或1【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简()()1i 1i m ++，再利用纯虚数的定义求解即可． 【详解】()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，10 10m m -=⎧∴⎨+≠⎩，即1m =，故选C ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．下列式子错误的是（ ）A ．(sin )cos x x '=B ．(cos )sin x x '=C ．2(2ln )x x'=D ．()x x e e --'=-【答案】B【解析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A ，(sin )cos x x '=，正确； 对于B ，(cos )sin x x '=-，错误； 对于C ，2(2)lnx x'=，正确； 对于D ，()xxe e --'=-，正确；故选：B ． 【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，则0x 的值为（ ）A ．12e + B ．32C ．1D ．34【答案】B【解析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值． 【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 故选：B ． 【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题． 5．若复数z 满足z （i-1）=2i （i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】z （i-1）=2i （i 为虚数单位），∴-z （1-i ）（1+i ）=2i （1+i ），∴-2z=2（i-1），解得z=1-i ．则z =1+i ． 故选A ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 6．复数43iz i+=，则(z = ) A ．5 B ．4C ．5D ．25【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可． 【详解】 解：z ()24343i ii i i++===-（﹣3+4i ）＝3﹣4i ， ∴|z |223(4)=+-=5， 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 8．已知函数π()()sin cos 6f x f x x '=+，则π()6f 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2- D ．1-【答案】D【解析】求函数的导数，即可得到结论． 【详解】()()sin cos 6f x f x x π='+，()()cos sin 6f x f x x π∴'='-，令6x π=，则1()()cos sin ()666662f f f πππππ'='-='-，则()2)6f π'==-，则()2)sin cos f x x x =-+，则1()2)sin cos 2)16662f πππ=-++=-⨯=-，故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出()6f π'的值是解决本题的关键．9．设()f x 是定义在［－1，1］上的可导函数，()00f =，且()22f x x '=+，则不等式()()120f a f a +->的解集为 A ．[]0,1 B ．[)1,1- C ．(]1,1- D ．[)0,1 【答案】D【解析】由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】因为()22f x x '=+，所以()()32,?003x f x x m f =++=又，因此()323xf x x =+，为[]11-，上的奇函数和增函数，()()()()()1201221f a f a f a f a f a +->⇒>--=-，则1111210121a a a a a -≤≤⎧⎪-≤-≤⇒≤<⎨⎪>-⎩，，，故选D ． 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题10．已知i 为虚数单位，则复数2021i =_______. 【答案】i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==； 故答案为：i ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i 的性质，是基础题．11．设1262,618z i z i =--=-，其中i 为虚数单位.若12z z z =+，则z 在复平面上对应点的坐标为_______. 【答案】(0,20)-．【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】126261820z z z i i i =+=--+-=-，则z 在复平面上对应点的坐标为(0,20)-． 故答案为：(0,20)-．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．已知函数sin y x =在区间π[0,]6，ππ[,]32上的平均变化率分别为1k ，2k ，那么1k ，2k 的大小关系为_______.【答案】12k k >.【解析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小． 【详解】当[0x ∈，]6π时，平均变化率1sinsin 0366k πππ-==，当[3x π∈，]2π时，平均变化率2sinsin 2323k ππππ-==-，12k k >，故答案为：12k k >. 【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率()()y f x x f x x x+-=，属于基础题． 13．已知函数2()xf x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2(0,)e.【解析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()xxg x e =在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可． 【详解】()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()x xg x e=在R 上有2个交点， 22()xxg x e -'=，(,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e=， 而20x xe >恒成立，所以20a e<<， 故答案为：2(0,)e． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．14．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1）即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题.15．若函数()()2f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a =__________． 【答案】2【解析】求导函数可得22()34f x x ax a '=-+，所以2(2)1280f a a =-+='，解得2a = 或6a =，当2a =时，2()384(2)(32)f x x x x x ==-'-+-，函数在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x =-=--'+，函数在2x =处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以2a =.三、解答题 16．已知复数(12az i i i=++为虚数单位）． （1）若z R ∈，求z ；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围．【答案】（1）12z =；（2）502a <<． 【解析】（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若z R ∈，即可求z ； （2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求a 的取值范围． 【详解】 （1）(12)25212(12)(12)555a a i a ai a a z i i i i i i i ---=+=+=+=++-+， 若z R ∈，则5205a-=，得52a =，此时12z =； （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限， 则05a>且5205a ->， 得052a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即502a <<， 即a 的取值范围是502a <<． 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本题的关键．17．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+ （2）()22sin 21cos(21).x x x y x-+-+'=【解析】(1)求积的导数，[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+.(2)求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+.【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x x x =+22log (3)ln 2x x x =+. (2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x ''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x-+-+=. 【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和导数运算法则进行计算即可.18．函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值.【答案】21a b =⎧⎨=⎩【解析】当2x =时，代入切线方程，62ln 2242ln 2y =-++=-+， 即()242ln 2f =-+，并且()223af bx x'=-=-，联立方程求,a b 的值. 【详解】P 在32ln 22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-，()2ln242ln24f a b ∴=-=-，又因为P 处的切线斜率为3-，()'2afx bx x=-， ()'2432af b ∴=-=-， ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩.【点睛】本题考查已知函数在某点处的切线方程，求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.19．已知函数2()1xf x e x =--. （1）若函数()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞，求函数()g x 的单调区间；（2）若不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）()g x 的单调减区间为：()0,1，单调增区间为：()1,+∞；（2）k>-1【解析】（1）由题可得21()x e x g x x--=求导得()22(1)1()()()(0)xx e x xf x f x g x x x x''----==>， 令()1xt x e x =--，由()1xt x e x =--的单调性得()g x 的单调性．（2）不等式()21()32202f x x x k +--≤有解，则2min 112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭设21()12xh x e x x =+--，求()h x 的最小值，从而求k 的取值范围． 【详解】（1）因为2()1()x f x e x g x x x--==. 所以()22(1)1()()()(0)x x e x xf x f x g x x x x''----==>. 设()1x t x e x =--，则()10xt x e '=->，即()t x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0t x t >=所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增. （2）因为x R ∃∈，()21()32202f x x x k +--≤. 所以2min112xk e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭. 设21()12xh x e x x =+--，则()1x h x e x '=+-. 由于()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=.所以当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，则()h x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增. 所以min ()(0)0h x h ==.综上，k 的取值范围是[0,)+∞.11第 11 页 共 12 页 【点睛】本题考查利用导函数解不等式（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目．20．已知函数f （x ）＝lnx ()12a x x --+．（1）若a ＝4，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）在区间（0，1]内单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若x 1、x 2∈R +，且x 1≤x 2，求证：（lnx 1﹣lnx 2）（x 1+2x 2）≤3（x 1﹣x 2）．【答案】（1）见解析；（2）3a ≤；（3）见解析【解析】(1)将a =4代入f (x )求出f (x )的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;(2)根据条件将问题转化为434ax x ++在(0,1]上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出a 的范围;(3)根据条件将问题转化为1122123()2x x x ln x x x -+成立问题,令12(0,1)x t x =∈,即3(1)02t lnt t --+成立,再利用函数的单调性证明即可. 【详解】解:(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,22213(43)4()(2)(2)a x a x f x x x x x +-+'=-=++, 所以4a =时,2284()(2)x x f x x x -+'=+, 由()0f x '>,解得04x <<-4x >+由()0f x '<,解得44x -<+故()f x 在(0,4-和(4+,)+∞上单调递增,在(4-4+上单调递减.(2)由(1)得22(43)4()(2)x a x f x x x +-+'=+, 若函数()f x 在区间(0,1]递增,则有2(43)40x a x +-+在(0,1]上恒成立,即434ax x ++在(0,1]上恒成立成立,所以只需min434a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 因为函数44y x x =++在1x =时取得最小值9,所以min 4349a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 所以a 的取值范围为](,3-∞.12第 12 页 共 12 页 (3)当12x x =时,不等式显然成立,当12x x ≠时,因为1x ,2x R +∈,所以要原不等式成立, 只需11122121223(1)3()22x x x x x ln x x x x x --=++成立即可, 令12(0,1)x t x =∈,则3(1)02t lnt t --+, 由(2)可知函数()f x 在(0,1]递增,所以()(1)0f x f ≤=,所以3(1)02t lnt t --+成立, 所以(lnx 1﹣lnx 2)(x 1+2x 2)≤3(x 1﹣x 2).【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化思想和分类讨论思想,属难题.。

2020-2021学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）1．8，2的等差中项是（）A．±5B．±4C．5D．42．设S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝n2+1，则a5＝（）A．26B．19C．11D．93．下列结论正确的是（）A．若y＝sin x，则y′＝cos x B．若y＝，则y′＝C．若y＝cos x，则y′＝sin x D．若y＝e，则y′＝e4．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（）A．8B．6C．3D．15．若1，a，b，c，4成等比数列，则abc＝（）A．16B．8C．﹣8D．±86．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（）A．10﹣2kJ B．10﹣1kJ C．102kJ D．103kJ7．已知{a n}为等比数列，下列结论中正确的是（）A．a3+a5≥2a4B．若a3＝a5，则a1＝a2C．若a3＜a5，则a5＜a7D．a4＝8．若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，1）上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[﹣4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣4] 9．直线y＝5x+b是曲线y＝x3+2x+1的一条切线，则实数b＝（）A．﹣1或1B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知函数f（x）＝（x﹣1）2e x，下列结论中错误的是（）A．函数f（x）有零点B．函数f（x）有极大值，也有极小值C．函数f（x）既无最大值，也无最小值D．函数f（x）的图象与直线y＝1有3个交点二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝t2+4t，则质点在第3s时的瞬时速度等于s/m．12．函数f（x）的定义域为[0，4]，函数f（x）与f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间为．13．写出一个公比q＝的递增等比数列的通项公式．14．已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）＝（x﹣a）（x﹣2），若函数f（x）无极值，则a＝；若x＝2是f（x）的极小值点，则a的取值范围是．15．设集合A＝{x|x＝4n﹣3，n∈N*}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N*}，把集合A∪B中的元素按从小到大依次排列，构成数列{a n}，则a2＝，数列{a n}的前50项和S50＝．三、解答题共6小题，共75分。

2020-2021学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．16．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．09．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i【分析】根据复数的运算法则进行化简即可．解：＝＝＝2+i，则对应的虚部为1，故选：A．2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解．解：因为f′（x0）＝＝﹣＝﹣，故选：A．3．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析，可得推理过程中的小前提是错误的，即可得答案．解：根据题意，在演绎推理过程中，大前提为正弦函数是奇函数，是正确的，小前提为：f（x）＝sin（x+）是正弦函数，是错误的；结论f（x）＝sin（x+）是奇函数也是错误的，故选：C．4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．1【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，∴f（e）＝2ef′（e）+lne＝﹣1，故选：C．6．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【分析】函数y＝x3、y＝x5与y＝sin x都是定义在R上的奇函数，而它们的导数都是偶函数．由此归纳，得一个奇函数的导数是偶函数，不难得到正确答案．解：根据（x3）′＝3x2、（x5）′＝5x4、（sin x）′＝cos x，发现原函数都是一个奇函数，它们的导数都是偶函数由此可得规律：一个奇函数的导数是偶函数．而定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），说明函数f（x）是一个奇函数因此，它的导数应该是一个偶函数，即g（﹣x）＝g（x）故选：C．7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]【分析】由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，进一步得x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，进而得△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，解之即可．解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，又f′（x）＝x2+2ax+2，∴x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，所以△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，所以a2≤2，∴．故选：D．8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．0【分析】在曲线y＝ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8＝0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线与直线2x﹣y+8＝0平行．由，所以切线的斜率．解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．即P（1，0）到直线的最短距离是d＝．故选：A．9．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）【分析】函数f（x）有两个极值点x1，x2，即f′（x）＝0在定义域上有两个不相等的实数根，构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出m的取值范围．解：函数f（x）＝x2+mln（1+x），定义域为（﹣1，+∞）；若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则不妨设﹣1＜x1＜x2，即f′（x）＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，所以2x+＝0，化为方程2x2+2x+m＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根；记g（x）＝2x2+2x+m，x∈（﹣1，+∞），则，即，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围是（0，）．故选：D．10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．【分析】类比所给的解法，令，则，解出S的值，即可求解．解：由题意令，则，故S2+2S﹣2＝0，解得或﹣1，∵S＞0，∴S＝，S＝﹣﹣1（舍去）．故选：D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定【分析】分析：根据选项可构造函数h（x）＝＝利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而得到答案．解：令h（x）＝则h′（x）＝＝，∵函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，e2x＞0，所以当x∈R时，h′（x）＞0，h（x）在定义域R上单调递增，∴h（ln3）＞h（ln2），即，∴9f（ln2）＜4f（ln3）；故选：B．12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0），则x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0），求导分析单调性，进而可得h（a）的最小值，即可得出答案．解：不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0）所以e＝ln+1＝a，所以x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，所以x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0）h′（a）＝2e a﹣1﹣，所以h′（a）在（0，+∞）上单调递增，且h′（1）＝0，所以在（0，1）上，h′（a）＜0，h（a）单调递减，在（1，+∞）上，h′（a）＞0，h（a）单调递增，所以h（a）在a＝1处取得最小值，所以x2﹣x1的最大值为h（1）＝2e1﹣1﹣2ln1＝2，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为2．【分析】根据积分的应用可知所求的面积为，然后根据积分公式进行计算即可．解：∵在[0，π]，sin x≥0，∴y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积S＝＝（﹣cos x）＝﹣cosπ+cos0＝1+1＝2．故答案为：2．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝﹣2i．【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简（z+2）2﹣8i，可求出z．解：设z＝ai，a∈R，∴（z+2）2﹣8i＝（ai+2）2﹣8i＝4+4ai﹣a2﹣8i＝（4﹣a2）+（4a﹣8）i，∵它是纯虚数，∴a＝﹣2故答案为：﹣2i．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．【分析】先利用导数求出g（x）在某点处的切线l的方程，然后再利用判别式法说明l 与y＝ax2相切，由此列出a的方程求解．解：设A（m，lnm）是公共点，由，得曲线y＝g（x）在A处的切线为：y﹣lnm＝，即……①，再设A（m，am2），f′（x）＝2ax，故f（x）在A处的切线为：y﹣am2＝2am（x﹣m），即y＝2am•x﹣am2……②，由已知得①②重合，故，解得，．故答案为：．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为e．【分析】令f（x）＝e x﹣λln（λx），则问题e x﹣λln（λx）≥0恒成立转化为f（x）min≥0，利用导数的知识分析f（x）取得最小值时λ的值，即可得出答案．解：令f（x）＝e x﹣λln（λx），e x﹣λln（λx）≥0恒成立，即f（x）min≥0，f′（x）＝e x﹣λ••λ＝e x﹣，如图所示：函数y＝e x与y＝（λ＞0），在第一象限有且只有一个交点（m，n），所以当x∈（0，m）时，e x＜，即f′（x）＜0，f（x）在（0，m）上单调递减，当x∈（m，+∞）时，e x＞，即f′（x）＞0，f（x）在（m，+∞）上单调递增，令f′（x）＝0，即e x＝，即e m＝，解为m＝1，λ＝e，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝e﹣λlnλ，因为e﹣λlnλ≥0，即λlnλ≤e，令g（λ）＝λlnλ，g′（λ）＝lnλ+λ•＝lnλ+1，令g′（λ）＝0，即lnλ+1＝0，解得λ＝e，若λlnλ≤e，则λ的最大值为e．故答案为：e．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．【分析】（1）将m代入，化简复数即可；（2）利用复数相等的充要条件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表达式，利用三角函数的有界性求范围．解：（1）当m＝3时，z1＝3﹣8i虚部为﹣8；（2）∵z1＝z2，∴，消去m，得λ＝（sinθ﹣1）2﹣1，由于﹣1≤sinθ≤1，∴﹣1≤λ≤3，∴λ的取值范围为[﹣1，3]．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．【分析】（1）由题意首先确定导函数的解析式，然后利用导函数与原函数的关系即可确定函数的极值；（2）结合（1）的结论利用函数的单调性比较所给的数的大小即可．解：（1）f（x）的定义域为，由f’（x）＞0得0＜x＜e，由f’（x）＜0得x＞e，故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．当x＝e时，f（x）有极大值，其极大值为：无极小值．（2）由（1）知f（x）在（e，+∞）上单调递减，又π＞3，故，πln3＞3lnπ，即ln3π＞lnπ3，又y＝lnx在（0，+∞）内单调递增，故3π＞π3．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．【分析】（1）利用反证法结合基本不等式证明；（2）利用分析法，移向后两边平方，依次寻找使结论成立的充分条件即可．【解答】证明：（1）假设+，+，+都小于2，则（+）+（+）+（+）＜6，①又（+）+（+）+（+）＝（）+（）+（）．且a，b，c＞0，∴，，，∴（+）+（+）+（+）≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，与①矛盾．∴假设不成立，故三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）要证﹣＜﹣，需要证+＜+，只需要证＜，即证2a﹣5+2＜2a﹣5+2，也就是证a（a﹣5）＜（a﹣2）（a﹣3），只需证a2﹣5a＜a2﹣5a+6，此时显然成立，故﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？【分析】连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则OI＝x，FI＝4﹣x，写出棱锥体积公式，再由导数求最值．解：（1）如图，连接OF，与BC交于I，因为AB＝2x，则OI＝x，FI＝5﹣x，设E，F，G，H重合于点P，则PI＝IF＝5﹣x＞x，则x＜，则所得正四棱锥的高为h＝＝，∴四棱锥的体积V＝•4x²•＝，其中0＜x＜，（2）令f（x）＝25x4﹣10x5，0＜x＜，f′（x）＝100x3﹣50x4，令f′（x）＝0，解得x＝2，则当0＜x＜2时，f′（x）＞0，y＝25x4﹣10x5单调递增；当2＜x＜时，f′（x）＜0，y＝25x4﹣10x5单调递减，∴当x＝2，四棱锥体积最大．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．【分析】（1）根据已知条件，分别令n＝1，n＝2，n＝3，n＝4，依次求解a1，a2，a3，a4，即可猜想a n的值．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，求证n＝k+1时猜想成立，即可求证．【解答】解（1）在a n+3S n＝3 中，令n＝1，4a1＝3，解得a1＝，令n＝2，a2+3S2＝3，即4a2+3a1＝3，解得a2＝，令n＝3，a3+3S3＝3，即4a3+3（a1+a2）＝3，解得，令n＝4，a4+3S4＝3，即4a4+3（a1+a2+a3）＝3，解得，故猜想．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，那么当n＝k+1时，∵a k+3S k＝3，∴，∵a k+1+3S k+1＝3，∴＝，即n＝k+1时猜想成立，根据①②，可知猜想对任何n∈N*都成立．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域为（0，+∞），求其导数，分a≥0与a＜0两类讨论，判断导函数的符号，可得函数的单调性；（Ⅱ）法1°：设0＜x1＜x2，由已知得f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h （x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，利用h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0恒成立，可求得实数a的取值范围．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，分离参数a，求得其右侧的函数的最小值，即可求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣，若a≥0，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；若a＜0，则由f'（x）＝0得x＝﹣a或x＝1，若a＝﹣1，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若1﹣（﹣a）＞0，即﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，﹣a），（1，+∞）单调递减，在（﹣a，1）上单调递增；若1﹣（﹣a）＜0，即a＜﹣1时，f（x）在（0，1），（﹣a，+∞）单调递减，在（1，﹣a）上单调递增；（Ⅱ）法1°：令0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x1）＞（x1﹣x2）（1﹣a），即f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h（x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤x2（x＞0）恒成立，∴a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，整理得a≤x2（x＞0）恒成立，∵x2＞0，∴a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．。

2019-2020学年黑龙江大庆实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两条直线 D ．一个圆和一条直线 【答案】D【解析】分析：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方程即可得结论.详解：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-30ρ-=表示圆229x y +=，所以，极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误； 相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．35【答案】A【解析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是A ．24B ．16C ．8D ．12【答案】B【解析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。

期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.用反证法证明命题：“若a+b＞0，则a，b至少有一个大于0．”下列假设中正确的是（）A. 假设a，b都不大于0B. 假设a，b都小于0C. 假设a，b至多有一个大于0D. 假设a，b至少有一个小于03.（-sin x）dx=（）A. -2B. -1C. 1D. 24.若（x-2）n（n∈N*）展开式中的二项式系数的和为128，则n=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），则实数a的值为（）A. 1B. 2C.D. e6.2位运动员和她们各自的教练合影，要求每位运动员与她们的教练站一起，这4人排成一排，则不同的排法数为（）A. 10B. 8C. 12D. 167.已知函数f1（x）=sin x，f n+1（x）=f n′（x），则=（）A. B. - C. D.8.若a=ln4，，，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞c＞bB. a＞b＞cC. b＞a＞cD. c＞a＞b9.已知函数f（x）=2x3-3ax2（a＞0）在区间[0，1]上的最大值为0，则实数a的取值范围为（）A. B. [1，+∞） C. D. （0，2]10.在如图所示的规律排列的数阵中：若第m行第n列位置上的数记为，则=（）A. 286B. 288C. 290D. 29211.若函数f（x）=ae x-x2（a∈R）有三个零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （0，）C. （0，e）D. （0，2e）12.若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞f（x）+1其中f′（x）是f（x）的导数，且f（0）=3，则不等式f（x）+1＜4e x的解集为（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（1-x）（1+2x）6展开式中，x3的系数为______．14.已知i为虚数单位，则1+i+i2+…+i2019=______．15.若函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，则实数a的取值范围为______．16.某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团．若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有______种．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若x∈R，a=x2-x，b=x2-3x+2．证明：a，b至少有一个不小于0．18.已知函数f（x）=x3-x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）求过点（1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+x+1，当x=1时，函数f（x）有极值1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）-m=0有一个实数根，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}满足：a1=1，．（1）求a2，a3，a4，a5，并猜想{a n}的通项公式（不用证明）．（2）若数列{a n}的前n项和为S n，当n＞1时，求证：S n＜n．21.已知函数．（1）证明：x＞ln x；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f（x）=ae x+be-x+cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且f′（0）=c+2．（1）求a，b的值；（2）若c=-1，请判断函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个极值点，求实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：若a+b＞0，则a，b都不大于0，故选：A．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属基础题3.【答案】D【解析】解：，（-sin x）dx=2，故选：D．根据定积分的运算法则求出即可．本题考查定积分的运算，基础题．4.【答案】D【解析】解：（x-2）n的展开式中，二项式系数和为128，∴2n=128，解得n=7．故选：D．展开式的二项式系数和为2n，由此求出n的值．本题考查了二项展开式的二项式系数和的应用问题，是基础题目．5.【答案】D【解析】解：由f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，则函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（-∞，+∞），不合题意；∴a＞0，又函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），∴e x-a＞0的解集为（1，+∞），则f′（1）=e-a=0，即a=e．故选：D．求出原函数的导函数，可得满足椭圆的a＞0，再由函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），得f′（1）=e-a=0，从而求得a值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：分别把运动员和各自的教练捆绑在一起，组合复合元素，再全排，故有=8种，故选：B．分别把运动员和各自的教练捆绑在一起，组合复合元素，再全排，问题得以解决．本题考查排列、组合的实际应用，注意分步分析，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由f1（x）=sin x，f n+1（x）=f n′（x）得f2（x）=cos x，f3（x）=-sin x，f4（x）=-cos x，f5（x）=sin x，周期为4，且2019=3+504×4，∴f2019（x）=f3（x）=-sin x，∴．故选：B．根据题意得出：f1（x）=sin x，f2（x）=cos x，f3（x）=-sin x，f4（x）=-cos x，f5（x）=sin x，并且2019=3+504×4，从而得出f2019（x）=-sin x，从而得出答案．本题考查了基本初等函数的求导公式，周期性，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由，令f（x）=x lnx（x＞1），有f′（x）=ln x+1＞1，故函数f（x）单调递增，由，有a＞b＞c．故选：B．由，令f（x）=x lnx（x＞1），利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵a＞0，f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），当x＜0或x＞a时，f′（x）＞0，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的增区间为（-∞，0），（a，+∞），减区间为（0，a），又由，可知a≥1，得a≥．故选：C．先求导，再判断函数的单调性，根据由，可知a≥1，解得即可．本题考查了导数和函数的最值之间的关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，其中1，2，4，8，…构成的等比数列的通项公式为，每行的数构成的数列为1，3，5，7，…，17，…2n-1，…前第9行共有个数，故第10行第一个数为282-1=281，所以=290，故选：C．根据题意，其中1，2，4，8，…构成的等比数列的通项公式为，每行的数构成的数列为1，3，5，7，…，17，…2n-1，…根据规律求出即可．本题考查归纳推理的应用，考查了数列找规律，求数列的项，中档题．11.【答案】A【解析】解：函数f（x）=ae x-x2（a∈R）有三个零点，即为f（x）=0有3个实根，可得a=有3个实根，设g（x）=，可得g′（x）=，由0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；x＞2或x＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，可得x=0处g（x）取得极小值0，x=2处取得极大值，画出y=g（x）的图象和直线y=a，可得当0＜a＜时，y=g（x）和y=a的图象有3个交点，故选：A．由题意可得f（x）=0有3个实根，可得a=有3个实根，设g（x）=，求得导数和单调性、极值，画出y=g（x）的图象和直线y=a，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化，以及函数的导数的运用，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：令，有，故函数g（x）为增函数，由g（0）=f（0）+1=4，不等式f（x）+1＜4e x可化为，即g（x）＜g（0），故不等式f（x）+1＜4e x的解集为（-∞，0），令，则g′（x）＞0⇒函数g（x）为增函数，不等式f（x）+1＜4e x可化为，即g（x）＜g（0），从而可得答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，考查等价转化思想，考查构造法及运算能力，属于中档题．13.【答案】100【解析】解：（1-x）（1+2x）6=（1-x）•（1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6），故x3的系数为160-60=100，故答案为：100．把（1+2x）6展开按照二项式展开，可得（1-x）（1+2x）6展开式中，x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：．故答案为：0．利用等比数列的前n项和结合虚数单位i的运算性质求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查等比数列的前n项和，是基础题．15.【答案】[-3，0]【解析】解：f′（x）=3x2+2ax-a，由函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，可得△=4a2+12a≤0，可得-3≤a≤0．故答案为：[-3，0]．由f′（x）=3x2+2ax-a，由函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，可得△≤0，可得a范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】180【解析】解：同学甲参加“街舞俱乐部”的有种，所以同学甲不参加“街舞俱乐部”的方法数为．故答案为：180．利用间接法，先求出甲参加“街舞俱乐部”，再用总的方法，排除即可．本题考查排列组合的问题，考察了间接法，属于中档题．17.【答案】证明：利用反证法．假设a，b均小于0，即a＜0，b＜0，则有a+b＜0，而a+b=（x2-x）+（x2-3x+2）=2x2-4x+2=2（x-1）2≥0，这与a+b＜0矛盾，所以假设不成立，故a，b至少有一个不小于0．【解析】利用反证法．假设a，b均小于0，即a＜0，b＜0，则有a+b＜0，计算a+b即本题考查了反证法的应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）f（x）=x3-x的导数为f′（x）=3x2-1，可得在点（1，0）处的切线斜率为2，则在点（1，0）处的切线方程为y=2x-2：（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2-1，切线方程为y-（m3-m）=（3m2-1）（x-m），代入点（1，0），可得-（m3-m）=（3m2-1）（1-m），化为2m3-3m2+1=0，即（m-1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=-，可得切线的斜率为2或-，则切线方程为y=2x-2或y=-x+．【解析】（1）求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2-1，求得切线方程，代入（1，0），解方程可得m，可得切线的斜率，进而得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，注意区别在某点处和过某点的切线，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由f′（x）=3ax2+2bx+1，有f′（1）=3a+2b+1=0，又有a+b+2=1，解得：a=1，b=-2，故函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+1．（2）由（1）有f′（x）=3x2-4x+1=（x-1）（3x-1）故函数f（x）的增区间为，减区间为，则，f（x）极小值=f（1）=1，x→+∞因为x→+∞时，f（x）→+∞，x→-∞时，f（x）→-∞，由一元三次函数的性质可知，实数m的取值范围为（-∞，1）．【解析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件代入可求a，b即可求解函数的解析式；（2）分离参数后转化为求解相应函数的范围问题，结合导数可求．本题主要考查了函数极值存在条件的应用及利用分离参数法求解函数的零点问题．20.【答案】解：（1）由得a2==-，a3==-1，a4==-，a5==-，．猜想；（2）证明：由（1）知a n=-2，所以n＞1，n∈N时，S n=3（1+++…+）-2n＜3（1+1+1+…+1）-2n=3n-2n=n，故S n＜n．【解析】（1）分别代入计算数列的a2，a3，a4，a5，猜想；（2）由（1）可得a n=-2，可得S n，再由放缩法和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）令g（x）=x-ln x，有，令g′（x）＞0可得x＞1，令g′（x）＜0可得0＜x＜1，故函数g（x）的增区间为（1，+∞）减区间为（0，1），∴g（x）≥g（1）=1，故有x＞ln x．解：（2）由①当a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）的减区间为（0，+∞），②当a＞0时，令f′（x）＞0可得x＞，此时函数f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）．若函数f（x）有两个零点，必须a＞0且f（）=+ln＜0，可得0＜a＜，此时＞又由f（）=+1＞0，当x＞时，由（1）有f（x）＞ax2-x=x（ax-2）＞0，取x0=max{，}时，显然有，当t＞x0时f（t）＞0，故函数f（x）有两个零点时，实数a的取值范围为（0，）．【解析】（1）令g（x）=x-ln x，利用导数求出函数的最值即可证明；（2）求得f（x）的导数，讨论a≥0，a＜0，判断f（x）的单调性和极值、最值，结合题意，可令最大值大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和转化思想，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由f′（x）=ae x-be-x+c，又由导函数f′（x）为偶函数，可知ae x-be-x+c=ae-x-be x+c，整理为：a（e x-e-x）=b（e-x-e x）①，又f′（0）=a-b+c=c+2②，联立①②，解方程组，得；（2）由（1）知f′（x）=e x+e-x-1≥2-1=1＞0，可得此时函数f（x）的增区间为（-∞，+∞）．（3）由（1）知f′（x））=e x+e-x+c=，x-x有极值点．②当c＜-2时，f′（x）=，由＞0，＜=0，故此时函数f（x）有两个极值点，由上知实数c的取值范围为（-∞，-2）．【解析】（1）依题意，f′（x）=ae x-be-x+c为偶函数，可得ae x-be-x+c=ae-x-be x+c，即a （e x-e-x）=b（e-x-e x）①，结合f′（0）=a-b+c=c+2②，联立①②即可求得a与b的值；（2）由（1）知f′（x）=e x+e-x-1，利用基本不等式可得f′（x）≥2-1=1＞0，由此知函数f（x）在（-∞，+∞）单调增；（3）由（1）知f′（x））=e x+e-x+c=，分c≥-2与c＜-2两类讨论，满足函数f（x）有两个极值点，即可求得实数c的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查分类讨论思想与函数与方程思想的运用，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考试题数学（理）本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或B ．若1x =，则11x x ==-或C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且D ．若1x =，则11x x ≠≠-且2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2~(,)Z N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）A ．4560B ．13590C ． 27180D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．292)x展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2019年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2020年1月—7月CPI 有涨有跌B ．2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为135，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）A ．325n N π B ．32n N π C ．8nNπ D ．532nNπ8． 假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下：X1y2y总计1xa 10 10a +2xc 30 30c +总计 6040100注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ． 35,25a c ==D ．30,30a c == 9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为( )A ．5B ．22C ．14D ．1710．已知点A (1,2)在抛物线2:2C y px =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ∆=（ ）A ．83 B ．163C ． 833D ．163311．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．192012．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32，最短距离为233； ④该曲线的离心率为33． 其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．总体由编号为01,02,,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 748114．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________．15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题Q ：实数p 使得方程22132x y p p+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3，求b 的值．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第 ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .20．（本小题满分12分）某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回归方程：2;s bn a s bn a =+=+①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依．．．．．．．．．．．．．．．．．据．） 参考公式：线性回归方程为y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑；7 2.65≈，61()()664iii w w s s =--=-∑621()43ii w w =-≈∑，其中2i i w n =.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段AC 上，122BC CD AC ===，3ACB ACD π∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）若5AP =AP 与BC 5A BP C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为34-，求椭圆M 的方程；（Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．高二联考数学试题（理科） 参考答案及评分标准二、填空题13. 01 14. 2- 15. 10 16.3 三、解答题17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，3324455(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得2(0,)3p ∈. ……2分对于命题Q ：由3(2)032p p p p->⎧⎨>-⎩得1(,2)2p ∈. ……4分P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一假， ……5分若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2p ∈-∞+∞，得1(0,]2p ∈. ……7分若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2(,0][,)3p ∈-∞+∞，得2[,2)3p ∈. ……9分综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22[,2)3. ……10分18.（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==，由sin 0C 解得tan 2C =； ……6分（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin 5C =，5cos 5C =， 又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴62bc =，故3b =. ……12分19．（Ⅰ）由题意得，解得，所以．……6分 （Ⅱ），……8分则==……12分20.（Ⅰ）1(123567)46n =+++++= 16s =(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 61()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84iii n n s s =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑622222221()(3)(2)(1)12328ii n n =-=-+-+-+++=∑622222221()1053(4)(5)(9)256ii s s =-=+++-+-+-=∑………3分1377.950.99375828256r ∴==≈-=-，2830.9658643256r ==-≈-⨯ ………5分知12r r >，回归方程①更合适，（Ⅱ）由（Ⅰ）84328b -==-，则503462a s bn =-=+⨯= 故所求的线性回归方程为362s n =-+ ………7分结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应56,53,50s = ………8分41(56)(2)164P s P n =====，81(53)(3)162P s P n =====41(50)(4)164P s P n =====……10分s 56 53 50P14 12 14∴()56535053424E s =⨯+⨯+⨯=（kg ） ………12分21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ⊂平面PAC ∴AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分以O 为坐标原点，,,OB OC EP 的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -cos13OC CD π==，而4AC = 则3AO AC OC =-=又sin33OD CD π== 故(0,3,0)A -，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D - ………6分设(0,,)(0)P y z z > 由5AP =22(3)5y z ++= ①而(0,3,)AP y z =+ (3,1,0)BC =-由5cos ,5AP BC <>=35525y += ② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴(0,1,1)P - ………8分∴(3,3,0)AB =，(3,1,1)BP =--，(3,1,0)BC =- 设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =由1100n AB n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111133030x y x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩取11y =-得1(3,1,2)n =- ………10分同理可得BCP 的一个法向量为2(3,3,6)n = ………11分∴121212126cos ,42243n n n n n n <>=== 故钝二面角A BP C --的余弦值为4-………12分22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=-. 由此可得2122121221()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-；………2分因为1202x x x +=，1202y y y +=，0034y x =-，所以2234b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故221a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22143x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得:2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,2122222,b m y y a b m ∴+=+22412222222(1)b a b y y a b m a b m--==++,且0∆>恒成立， ………7分 连结OB ，由OA OC =知2ABCAOBS S=，112ABCSOF y y ∴=⋅-=， ………9分t =，则222222222222221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m tt S a b t b t b tt=-≥∴===+-++，①若11b ≥，即1a <≤，则212b t b t+≥=，当且仅当1t b =，即m =时，max ()()ABC S a S ∆== ……… 10分②若101b <<，即a >21()f t b t t=+，则1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a∆-==；综上可知：2()2(1),a S a a a a ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩………12分。

绝密★启用前2020-2021学年下学期河间十四中期中考试高二数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．植树节那天，有4名同学植树，现有3棵不同种类的树．若一棵树限1人完成，则不同的分配方法有（） A ．6种B ．3种C ．81种D ．64种2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为()A ．23B ．13C ．16D ．563．在()52x -的展开式中，前3项的系数和为() A ．16B ．32C ．80D ．1604．ξ，η为随机变量，且η＝a ξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( )A ．2，0.2B ．1，4C ．0.5，1.4D ．1.6，3.45．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（） A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种6．已知两变量x 与y 的统计数据如下表：x 4 2 3 5 y49263954根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中＝9.4，则当x ＝6时，的值为( ) A ．63.6B ．65.5C ．67.7D ．72.07．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24B ．48C ．72D ．1208．一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P(X=12)等于()A ．10210123588C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1021012353888C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．929115388C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1029113588C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（） A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法 C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N μσ，()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（） 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 11．关于)()21(2021202122102021R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则（）A ．01a =B ．202120213213=++++a a a a C ．3320218a C =D ．20212021432131-=++-+-a a a a a12．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，他们之间相互不影响，则（）A ．三台设备中至多一台设备能正常工作的概率为0.027B ．计算机网络不会断掉的概率为0.999C ．能正常工作的设备数的数学期望为0.27D ．能正常工作的设备数的方差为0.27三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知1(|)3P B A =，3()5P A =，则()P AB =______．14．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______.15．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是________.16．已知nn n x a x a x a a bx )1()1()1(12210-+-+-+=+ 对任意x ∈R 恒成立，且19a =，236a =，则b =___________；___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。