高中立体几何公理定理汇编

立体几何定义\公理\定理(一)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角两边和另一个角两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等。

(二)线线关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90°)两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)2、线线关系: （1）有且仅有一个公共点—相交直线；（2）没有公共点—平行或异面(三)线和面关系：（1）直线在平面内（2）直线和平面相交（3）直线和平面平行①直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

②直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

③直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

④直线与平面所成的角的范围为（0°，90°】（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角（4）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0角⑤线面垂直的判定定理：一条直线与一个面内的两条相交直线都垂直，那么该线与此面垂直。

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 符号语言：α⊄a ,α⊂b ，且b a //α//a ⇒．图形语言:定理二（平面与平面平行的判定定理）文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言:β⊂a ，β⊂b ，P b a = ,α//a ,α//b αβ//⇒.定理三(直线与平面平行的性质定理）文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言:α//a ,β⊂a ，且b =βα b a //⇒.图形语言：证明:因为b =βα ,所以α⊂b .又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．又因为β⊂a ，β⊂b ，所以b a //．定理四（平面与平面平行的性质定理）文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：βα//,a =γα ,b =γβ b a //⇒．图形语言：αb a αa αβa bαγa b αβ文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 符号语言：a c ⊥,b c ⊥，P b a = ,α⊂a ,α⊂b α//c ⇒.图形语言:定理六（平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言:α⊥a ，β⊂a ,αβ⊥⇒．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理）文字语言:垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：α⊥a ,α⊥b b a //⇒．图形语言:定理八(平面与平面垂直的性质定理)文字语言:对于两个相互垂直的平面,在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面． 符号语言:βα⊥，m =βα ,β⊂a ,m a ⊥α⊥⇒a ．图形语言:αβa αb a βa m α。

高中立体几何八大定理
1、直线与平面平行的判定定理
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行。

2、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

3、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

4、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。

5、直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

6、直线与平面垂直的性质定理
若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。

7、平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

8、平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1） 符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言：线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I图形语言：面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中立体几何基本概念公理定理（珍藏）基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

空间立体几何定理基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中数学立体几何公式大全高中数学立体几何公式整理如下：1. 正方体：a-边长，S=6a²，V=a³2. 长方体：a-长，b-宽，c-高，S=2(ab+ac+bc)，V=abc3. 圆柱：r-底半径，h-高，C=2πr，S底=πr²，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr²h4. 空心圆柱：R-外圆半径，r-内圆半径，h-高，V=πh(R²-r²)5. 直圆锥：r-底半径，h-高，V=πr²h/36. 圆台：r-上底半径，R-下底半径，h-高，V=πh(R²+Rr+r²)/37. 棱柱：S-底面积，h-高，V=Sh8. 棱锥：S-底面积，h-高，V=Sh/39. 棱台：S1和S2-上、下底面积，h-高，V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310. 拟柱体：S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高，V=h(S1+S2+4S0)/611. 球：r-半径，d-直径，V=4/3πr³=πd²/612. 球缺：h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径，V=πh(3a²+h²)/6=πh²(3r-h)/3a²=h(2r-h)13. 球台：r1和r2-球台上、下底半径，h-高，V=πh[3(r1²+r2²)+h²]/614. 圆环体：R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径，V=2π²Rr²=π²Dd²/415. 桶状体：D-桶腹直径，d-桶底直径，h-桶高，V=πh(2D²+d²)/12以上公式涵盖了几何体各个方面的内容。

lmβααba立体几何的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行。

图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用:线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用:线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥作用:线线平行⇒ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理:1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行. 图形语言：符号语言：////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用： 面面平行⇒线线平行2、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒nmAαaBA l βαaβα作用: 面面平行⇒线面平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. 图形语言： 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 图形语言：符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭作用：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面. 图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。

高二数学立体几何的概念、公理、定理第一篇：高二数学立体几何的概念、公理、定理立体几何的概念、公理、定理王春老师编辑 2007-12-20一．写出以下公理、定理，并根据图形写出它们的条件与结论。

（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

A∈a，B∈aA∈a，B∈a公理2a?bA耷ab=a,A a aÌa a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

A、B、C不在同一直线上Þ有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

∈a AÏa Þ有且只有一个平面a，使Ìa推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

a∩b＝AÞÌa 有且只有一个平面a，使Ìa推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

a∥b＝AÞ有且只有一个平面a，使Ìa Ìa（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

cab a∥Þb∥a//c 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

AB//A/B/BAC B/A/C///AC//ACÞ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

用心爱心专心116号编辑Zishi2007-12-20异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，A∈aPÏa l与a异面aÌa（三）直线和平面Þ直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

labαa//b bÌa aËaÞa//aaÌa直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

完整版)高中立体几何八大定理以下是格式正确、经过修改的文章：线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行。

符号语言：a//b作用：线线平行→ 线面平行二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

符号语言：l//m。

l∥m∩β=m作用：线面平行→ 线线平行三、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

符号语言：a∥β。

b∥β。

AB=ab。

A→β→γ。

B→β→γ作用：线线平行→ 面面平行四、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。

符号语言：α∥β。

α∩γ=a。

β∩γ=b。

a//b作用：面面平行→ 线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

符号语言：a⊥α。

a⊥β。

α∩β=A。

m⊥α。

n⊥α。

m∥β。

n∥β作用：线线垂直→ 线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。

符号语言：a⊥α。

b⊥α。

a//b作用：线面垂直→ 线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

符号语言：a⊥α。

α∥β。

a⊥β作用：线面垂直→ 面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面。

符号语言：α⊥β。

α∩β=l。

AB⊥β。

AB∥α作用：面面垂直→ 线面垂直。

立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l⊂α．2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．P∈α，P∈α⇒α∩β＝l，且P∈l．3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a⊂α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．）5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c．8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a⊂／α，b⊂α，a∥b，则a∥α．9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a⊂β，α⋂β＝b，则a∥b．10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m⊂α，n⊂α，m⋂n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α．11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α．12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b．13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a⊂α，b⊂α，a⋂b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β．14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β．16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β．18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．19．长方体的体积公式：V长方体＝abc，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高．20．祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．二、常识1．过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条．2．过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个．3．经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1．空间四点A、B、C、D，若直线AB与CD异面，则AC 与BD，AD与BC也一定异面．2．如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内．3．如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内．4．夹在两个平行平面间的平行线段相等．5．经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行．6．若直线a同时平行于两个相交平面，则a一定也平行于这两个相交平面的交线．7．如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边．8．如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上．9．如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行．10．平行于同一平面的两个平面平行．11．空间四面体A－BCD中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点A在平面BCD内的射影是△BCD 的垂心（类似地，顶点B在平面ACD内的射影是ΔACD的垂心，…）．12．空间四面体P－ABC中，若P A、PB、PC两两垂直，则①点P在平面ABC内的射影是ΔABC的垂心；②△ABC的垂心O也是点P在平面ABC内的射影（PO⊥平面ABC）．13．空间四面体P－ABC中，①若P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心．②若三个侧面上的斜高PH1＝PH2＝PH3，则点P在平面ABC 内的射影是△ABC的内心．14．如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面．若α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α．。

高中立体几何公理及推论及定理总汇表公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

（1）判定直线在平面内的依据（2）判定点在平面内的方法公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。

（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（1）确定一个平面的依据（2）判定若干个点共面的依据推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

（1）判定若干条直线共面的依据（2）判断若干个平面重合的依据（3）判断几何图形是平面图形的依据推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

立体几何直线与平面空间二直线平行直线公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线空间直线和平面位置关系（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线和平面平行——没有公共点立体几何直线与平面直线与平面所成的角（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直空间两个平面两个平面平行判定性质（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角两平面垂直判定性质如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内立体几何多面体、棱柱、棱锥多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。

线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行a 图形语言：符号语言：a ⊄α⎫⎪b ⊂α⎬⇒a //αa //b ⎪⎭αb作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：β⎫⎪符号语言：l ⊂β⎬⇒l //mα⋂β=m ⎪⎭作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理l //αl m α文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：a ⊂αb ⊂αa I b =a ∥βb ∥β⎫⎪⎪⎪A ⎬⇒α//β⎪⎪⎪⎭作用：线线平行⇒面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:α//β⎫⎪符号语言:α⋂γ=a ⎬⇒a //bβ⋂γ=b ⎪⎭作用:面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：aa ma nam n Am,n作用：线线垂直线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：Amnabaa//bb作用：线面垂直线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

图形语言：a符号表示：aa注：线面垂直面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：I l符号语言：ABABAB l作用：面面垂直线面垂直Al B。

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使， 公理2及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭作用：用来证明线线平行。

二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：////,/(/),αβαβαβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I m m n n m n O面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中数学立体几何模块公理定理汇编公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．，，且，．（作用：证明直线在平面内）公理2　过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）推论　①直线与直线外一点确定一个平面．②两条相交直线确定一个平面．③两条平行直线确定一个平面．公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．，且＝，且．（作用：证明三点/多点共线）公理4　平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）空间等角定理　空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．线面平行判定定理　平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．面面平行判定定理　一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．推论　一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．线面平行性质定理　一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．面面平行性质定理　如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．线面垂直判定定理　一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行．三垂线定理　如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．逆定理　如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直．射影定理　从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．面面垂直判定定理　一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．线面垂直性质定理1　如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．线面垂直性质定理2　垂直于同一个平面的两条直线平行．面面垂直性质定理1　两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．面面垂直性质定理2　两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．。