2019年高中数学 第1章 常用逻辑用语 第2课时 充分条件和必要条件教案 苏教版选修1-1

第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．一．教学目标：1、理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括2.逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。

PPT一：必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q 不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1) 平面四边形的外角和是360°；(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.二．充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若a>0, b>0,则ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论ab>0. ,但要注意，使得ab>0的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了a>0,b>0"这个条件，就可以判定a b>0”.思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.（2）充分条件概述一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.综上，对于真命题“若p,则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题：(1) 若a=-b，则|a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | =| BC|的充分条件；（3）“a c<0”是“一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。

一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。

原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。

邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。

”他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。

第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。

原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。

这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。

于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。

从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。

【知识二：充分条件与必要条件】一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p ⇏q .此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．例1 .下列“若p 则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。

（4）211x x ==若，则 （5）若a =b ，则ac =bc 。

（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数。

通过问题探究，使学生深入充分条件、必要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。

2.下列“ 若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？(1)若直线 l 与⊙O 有且仅有一个交点，则 l 为⊙O 的一条切线；(2)若x 是无理数，则x 2也是无理数．3.如图，直线 a 与 b 被直线 l 所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4．请根据这些信息，写出几个“a //b ”的充分条件和必要条件．。

第一章集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.3 充分条件、必要条件教学设计常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

【教学目标】1、理解充分条件和必要条件的概念.2、掌握充分条件和必要条件的判断方法.3、理解充分必要条件的概念.4、能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明【核心素养】1、数学抽象：在课前导读中抽象出充分、必要的概念.2、逻辑推理: 判定推出与不推出,推理充分条件与必要条件的基本形式和规则.3、直观想象：借助坐标轴和几何图形来判定充分条件与必要条件.4、数学运算:掌握p、q运算，正确判断推出与不推出的关系.【教学重点】1、掌握充分条件和必要条件的概念和判断方法.2、掌握充要条件的概念和判断方法.【教学难点】1、能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明通过课前导读、身边的例子来了解充分、必要的概念。

【课前导读】“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）；（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年3月4日）；（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）；（4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015年7月28日）.本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件。

一、充分条件、必要条件【新课讲授】我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”①的命题，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；（3）如果x>2，那么x>3；（4）如果a>b且c>0，那么ac>bc.在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p q读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作p?q，读作“p推不出q”.例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作两条直线都与第三条直线平行⇒这两条直线也互相平行；而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作x>2⇏x>3.①“如果p ，那么q”也常常记为“如果p ，则q”或“若p ，则q”，【尝试与发现】p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.因此， “如果p ，那么q”是真命题，p ⇒q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.例如，因为“如果x=-y ，则x 2=y 2”是真命题，所以x=-y ⇒x 2=y 2，x=-y 是x 2=y 2的充分条件，x 2=y 2是x=-y 的必要条件.再例如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以A∩B≠∅A≠∅A∩B≠∅是A≠∅的条件A≠∅是A∩B≠∅的条件【思考与辨析】【典型例题】例1判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：（1）p:x∈Z，q:x∈R；（2）p:x是矩形，q:x是正方形。

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题二、探索新知探究一 充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则 （4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真 2、归纳新知件；（3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒,所以p 是q 的充分条件;（4）由于2(1)1-=≠≠〉，但-11,p q , 所以p 不是q 的充分条件。

（5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件。

§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

充分条件与必要条件教学设计（一）课标导示1.知识与技能：（1）掌握充分不必要条件、必要不充分条件的概念，（2）会判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件（3）会利用命题的等价性判断充分不必要条件、必要不充分条件2.过程与方法：利用多媒体教学，多让学生举例讨论，教学方法较灵活，学生参与意识强3.情感、态度与价值观：（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力；（2）以及培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力（3）培养学生的竞争于合作的意识，培养他们的良好的思维品质（二）教学重点与难点重点：讲清充分不必要条件、必要不充分条件的概念难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件若命题的条件和结论分别为p和q，若p => q 且q ≠> p则p是q的充分不必要条件，若p => q 且q≠> p则p是q的必要不充分条件（三）教学过程设计1．引入课题问题1：写出下列两个命题的条件和结论，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x > a2 + b2，则x > 2ab（2）若ab = 0，则a = 0有问题1可得出结论充分条件和必要条件的定义：2．定义：命题“若p则q”为真命题，即p => q,就说p是q的充分条件；q是p必要条件命题“若p则q”为真命题“若q则p”为假命题, 则p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件3．例题分析：例1：“a > 2,b > 2”是“a + b > 4”的什么条件？例2：下列“若p则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x = 1，则x2 — 4x + 3 = 0（2）若f(x) = x，则f(x)为增函数（3）若x为无理数，则x2为无理数例3：下列“若q则p”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? （1）若x = y，则x2 = y2（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a > b,则ac> bc例4：已知命题p: {x|-2 < x < 10 },q: x2 — 2x + 1— m2 < 0 (m>o)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数m的范围(四)：小结（1）充分、必要、充要条件的定义。

第一章集合与简易逻辑一. 教学目标：2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力二. 教学重点：关于充要条件的判断教学难点：关于充要条件的判断三. 教学过程（一）复习提问1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“⇒”的含义各组命题中，“p⇒q”及“q⇒p”是否成立（1）p：内错角相等 q：两直线平行（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等（二）授新课1.（通过复习提问直接引入课题）充要条件定义：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q。

这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件点明思路：判断p是q的什么条件，不仅要考查p⇒q是否成立，即若p则q形式命题是否正确，还得考察q⇒p是否成立，即若q则p形式命题是否正确。

2.辨析题：（学生讨论并解答，教师引导并归纳）思考：下列各组命题中，p是q的什么条件：1)p： x是6的倍数。

q：x是2的倍数2)p： x是2的倍数。

q：x是6的倍数3)p： x是2的倍数，也是3的倍数。

q：x是6的倍数4)p： x是4的倍数 q：x是6的倍数总结：1) p⇒q 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件2) q⇒p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件3) p⇒q 且q⇒p 则q 是p的充要条件4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件强调：判断p是q的什么条件，不仅要考虑p⇒q是否成立，同时还要考虑q⇒p是否成立。

且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.3 巩固强化例一：指出下列各命题中，p是q的什么条件：1)p：x>1 q：x>22)p：x>5 q：x>-13)p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=04)p：x=3 q：2x=95)p：x=±1 q：x2-1=0解：1）∵x>1≠> x>2 但x>2⇒x>1 ∴ p是q的必要而不充分条件2)∵x>5⇒x>-1 但x>-1≠> x>5 ∴p是q的充分而不必要条件3)∵(x-2)(x-3)=0 ≠>x-2=0但 x-2=0⇒(x-2)（x-3）=0∴p是q的必要而不充分条件4)∵x=3⇒x2=9 但x2=9 ≠>x=3 ∴ p是q的充分而不必要条件5)∵x= ±1⇒x2-1=0 且x2=1⇒x=±1 ∴p是q的充要条件通过例一引导同学观察归纳：当p、q分别从集A、B合出现时若A⊆B但B不包含于A，即A 是B的真子集，则p是q的充分而不必要条件若A⊇B 但A不包含于B，即B是A的真子集，则p是q的必要而不充分条件若A⊆B且B⊆A 即A=B 则p是q的充要条件若A不包含于B，且B不包含于A，则p是q的既不充分也不必要条件总结判断p是q的什么条件：方法1：考察p⇒q 及q⇒p 是否成立。

充分条件与必要条件一：教法分析●三维目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．●重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．二：方案设计●教学建议基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．指导学生掌握“观察——猜想——归纳——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究．让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．●教学流程创设问题情境，通过对生活中的实际问题引出：真假命题中条件与结论有何关系？⇒引导学生通过对比、分析以上问题的答案，引出充分条件、必要条件的概念.⇒通过引导学生回答所提问题，得出四种条件的概念及判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断p是q的什么条件的方法，加深对概念的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握充分、必要条件的应用，进一步巩固概念.⇒分析充要条件的特点，完成例3及其变式训练，从而解决充要条件的证明问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.三、自主导学读充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，qD p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pD q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pD q，且qD p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】p⇔q.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④ B．②③C．①②③ D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探究】(1)Δ＝b2－4ac与方程有何关系？当Δ＝0，Δ＞0或Δ＜0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等式(x－1)(x＋2)≤0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根DΔ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但qD p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D (2)A1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p 的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．已知如下三个命题中：①(2013·福州高二检测)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②(2013·临沂高二检测)对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>bD ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab＝1且ac＝3时，l1与l2重合，但l1∥l2⇒a1＝1b，即ab＝1，∴“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件，③正确．④中，y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点⇔Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔m＜－2或m＞6.∴是充要条件，④正确．【答案】①③④充分条件、必要条件、充要条件的应用(2013·大连高二期末)设集合A＝{x|－x2＋x＋6≤0}，关于x的不等式x2－ax －2a2＞0的解集为B(其中a＜0)．(1)求集合B；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【思路探究】 (1)不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集是什么？(2)由“綈p 是綈q 的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】 (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则綈q ⇒綈p ， 由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0} ＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ， 可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1.法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1.1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.充要条件的证明求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.【思路探究】 先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立． 【自主解答】 充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 【证明】 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A ．m ＞0，n ＞0B ．mn ＜0C ．m ＜0，n ＜0D ．mn ＞0【错解】 由题意可得，一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，解得m ＞0，n ＞0，所以选A.【答案】 A【错因分析】 p 的必要不充分条件是q ，即q 是p 的必要不充分条件，则qDp 且p ⇒q ，故本题应是题干⇒选项，而选项D 题干，选项A 为充要条件．【防范措施】 要说明p 是q 的充分不必要条件，须满足p ⇒q ，但qD p ；要说明p是q 的必要不充分条件，须满足pDq ，但q ⇒p ；要说明p 是q 的充要条件，须满足p ⇒q且q ⇒p ，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼．【正解】 一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－mn ＜0，1n ＞0，得m ＞0，n ＞0.故由函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn ＞0，而由mn ＞0不一定推出函数y ＝－m nx ＋1n的图象过一、二、四象限，所以选D.【答案】 D 六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．七、双基达标1．(2013·成都高二检测)“x＝3”是“x2＝9”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．【答案】 A2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．【答案】 B3．在“x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．【答案】 x 2＋(y －2)2＝0 x (y －2)＝04．若p ：x ＝1或x ＝2；q ：x －1＝x －1，则p 是q 的什么条件？【解】 因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1；x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件.八、知能检测一、选择题1．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则m ＝2是A ∩B ＝{4}的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当m ＝2时，m 2＝4，A ∩B ＝{4}，但m 2＝4时，m ＝±2，∴A ∩B ＝{4}得m ＝±2.【答案】 A2．(2013·济南高二检测)设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 在(－π2，π2)中，函数y ＝tan x 为增函数，所以设α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是tan α＜tan β的充要条件．【答案】 C3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：A B ，q ：x ∈A ⇒x ∈BC ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数【解析】 易知由a ＋c >b ＋dDa >b 且c >d . 但a >b 且c >d ，可得a ＋c >b ＋d∴“p ：a ＋c >b ＋d ”是“q ：a >b 且c >d ”的必要不充分条件．故选A.【答案】 A4．“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 由“α＞β”D “sin α＞sin β”；由“sin α＞sin β”D “α＞β”，应选C.(也可以举反例)．【答案】 C5．(2013·青岛高二检测)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是( ) ①p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f －x f x＝1，q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 ①y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，得m ＞6或m ＜－2，所以p 是q 的充要条件．②若y ＝f (x )中存在x 0，使得f (x 0)＝0，则p 是q 的充分不必要条件．③当α＝β＝k π＋π2时，tan α，tan β无意义，所以p 是q 的必要不充分条件． ④p 是q 的充要条件．【答案】 D二、填空题6．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以是x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【答案】 ②③④7．(2013·武汉高二检测)“b 2＝ac ”是“a 、b 、c ”成等比数列的________条件．【解析】 “b 2＝acD”a ，b ，c 成等比数列，如b 2＝ac ＝0；而“a ，b ，c ”成等比数列“⇒”“b 2＝ac ”．【答案】 必要不充分8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝______.【解析】 直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 【答案】 －23 三、解答题9．指出下列命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x －12≤34，q ：13x 2＋32x －3≥0； (2)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，q ：0＜a ＜4；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B .【解】 (1)化简得p ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132， q ：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32.如图由图可知，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 72≤x ≤132⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－6或x ≥32， 所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，所以①当a ＝0时成立；②当a ≠0时，ax 2＋ax ＋1＞0的解集是R ，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4a ＜0，a ＞0，解得0＜a ＜4，所以0≤a ＜4.所以pD ⇒/q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)对于p ：A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，对于q ：A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，即p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件．10．若A ＝{x |a ＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 ∵A 是B 的充分不必要条件，∴A B .又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}．因此a ＋2≤－1或a ≥3，∴实数a 的取值范围是a ≥3或a ≤－3.11．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】 充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B. 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A ＋B )＝sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin B cos A ＝sin A .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc，即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴a 2＝b (b ＋c )是“A ＝2B ”的充要条件.九、备课资源试求关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．【自主解答】 如果方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根， 设两负根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，解之得m≥2. 因此m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件． 下面证明充分性．因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2， 由根与系数的关系知，x 1x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．故m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．求关于x 的不等式kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立的充要条件．【解】 kx 2＋x ＋k ＞0(k ≠0)恒成立．⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0Δ＝1－4k 2＜0⇔k ＞12.。

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件与必要条件1．(2019·昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有________个．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案：32．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案：充要3．(2019·南通中学检测)命题“若x2＋y2≤1，则x＋y＜2”的否命题为________________．答案：若x 2＋y 2＞1，则x ＋y ≥24．“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的________条件．解析：若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x ≥1是x ＋1x≥2的充分不必要条件．答案：充分不必要1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且AB )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·海门中学检测)已知α，β表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β”是“m ∥β”的________条件．答案：充分不必要2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角 考点一 四种命题相互关系及真假判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·启东中学期末检测)能够说明“设a ，b 是任意实数，若a 2＜b 2，则a ＜b ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．解析：可令a ＝1，b ＝－2，满足a 2＜b 2，但a ＞b . 答案：1，－2(答案不唯一)2．(2019·常州一中测试)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．解析：命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：若tan α≠1，则α≠π43．给出以下四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写． (3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提． 考点二 充分、必要条件的判定重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·泰州中学高三学情调研)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的________条件．解析：当a ＝0时，f (x )＝x 3，所以函数f (x )是奇函数，当函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数时，f (－x )＝－x 3＋ax 2＝－f (x )＝－x 3－ax 2，所以2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．答案：充要2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件． 解析：因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2， 綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要[由题悟法]充分、必要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的________条件．解析：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．答案：充要2．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的______条件．解析：因为x 2－x －20＞0，所以x ＞5或x ＜－4，所以p ：x ＞5或x ＜－4.因为log 2(x －5)＜2，所以0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，所以q ：5＜x ＜9，因为{x |5＜x ＜9}{x |x ＞5或x ＜－4}，所以p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的________________条件．解析：因为m ＝λn ，所以m ·n ＝λn ·n ＝λ|n|2. 当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点三 充分、必要条件的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知A ＝{x |x ＜4}，且A B ，所以a ＞4. 答案：(4，＋∞)2．(2019·响水中学检测)设p ：x 2－2x ＜0，q ：(x －m )(x －m －3)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2x ＜0，得0＜x ＜2，即p ：0＜x ＜2， 由(x －m )(x －m －3)≤0，得m ≤x ≤m ＋3， 即q ：m ≤x ≤m ＋3，若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，m ＋3≥2，即－1≤m ≤0.答案：[－1,0][由题悟法]根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2018·兴化三校联考)已知p ：x ≥a ，q ：x 2－2x －3≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3， 若p 是q 的充分不必要条件，则{x |x ≥a }⊆{x |x ≤－1或x ≥3}，所以a ≥3. 答案：[3，＋∞)2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)3．(2019·高邮中学检测)若关于x 的不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4， ∴当1＜x ＜4时，不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立． 设f (x )＝x 2－2x ＋3－a ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧f1≤0，f4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋3－a ≤0，16－8＋3－a ≤0，解得a ≥11.答案：[11，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·张家港外国语学校检测)命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是________________________．答案：若x≠3，则x2－4x＋3≠02．(2019·苏州实验中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.命题甲：A＋C＝2B，且a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形，则命题甲是命题乙的________条件．答案：充要3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．答案：充要4．(2018·南京模拟)有下列命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．答案：②③5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为____________．解析：由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}，所以a≤5.答案：(－∞，5]6．(2018·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2．(2018·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x ＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________条件．解析：圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的圆心为(a ，b )，半径r ＝2，直线x ＋y ＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |1＋1＝2，解得|a ＋b |＝2.即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·南通模拟)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的________条件．解析：因为3a ＞3b＞3，所以a ＞b ＞1，此时log a 3＜log b 3；反之，若log a 3＜log b 3，则不一定得到3a ＞3b ＞3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3＜log b 3成立，但推不出a ＞b ＞1.故“3a＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·无锡一中检测)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B ＞sin C 是B ＞C 的充要条件”是真命题； ③x ≤3是|x |≤3的充分不必要条件；④命题“若x ＜－1，则x 2－2x －3＞0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． 解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＞sin C ⇔b ＞c ⇔B ＞C ，②正确；对于③，因为|x |≤3x ≤3，所以x ≤3是|x |≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}． 因为p 是q 的充分不必要条件，所以MN ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.答案：(0,3)6．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的________条件．解析：p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2＞－3，但22＜32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2＞(－2)2，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2018·常熟中学测试)给定下列命题： ①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①因为Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．答案：①②④9．(2018·天一中学期末)已知p ：|x －1|＞2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|x －1|＞2，得x －1＞2或x －1＜－2，即x ＞3或x ＜－1. 由x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，得[x －(1－a )][x －(1＋a )]≥0， 即x ≥1＋a 或x ≤1－a ，a ＞0. 若q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤3，1－a ≥－1，解得0＜a ≤2.答案：(0,2]10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，所以a 3＋a 4＝a 1＋a 2，所以q 2＝1⇔|q |＝1，所以“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要11．(2019·南师大附中检测)设p ：实数x 满足x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，q ：实数x 满足x 2＋2x －8＜0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：由x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，得－3a ＜x ＜a ，即p ：－3a ＜x ＜a . 由x 2＋2x －8＜0，得－4＜x ＜2，即q ：－4＜x ＜2. 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p 能推出q ，q 不能推出p ， 所以{x |－3a ＜x ＜a }{x |－4＜x ＜2}， 即⎩⎪⎨⎪⎧－3a ≥－4，a ＜2，a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＞－4，a ≤2，a ＞0，解得0＜a ≤43，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43.12．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：因为命题p 是真命题， 所以0＜m ＜6，m ∈N ，① 所以A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫mx －1x ＜0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜1m .由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ＞1＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12.因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1m ≤4，1m ＞12.②由①②得m ＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的________条件． 解析：当等比数列{a n }的首项a 1＜0，公比q ＞1时，如a n ＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{a n }为递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞1，所以必要性不成立，即“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0，综上，实数a 的取值范围为[－3,0]．答案：[－3,0]3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题意， 则⎩⎨⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，则a ≤2或a ≥43，即a ＜0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件教案北师大版选修2-1一、教学目标:1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．二、教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、创设情境当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. （二）、活动尝试问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x ＝2，则x2－3x＋2＝0推断符号“⇒”的含义：“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.（三）、师生探究命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p⇒q”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q.”说明：“p⇒q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q 成立，即表示“p蕴含q”。

充分条件与必要条件一、教学内容分析“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章常用逻辑用语第二节的内容．本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时．逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用．进一步，在日常生活中，为了使我们的语言表达和信息的传递更加准确、清楚，常常需要一些逻辑用语．基本的逻辑知识、常用的逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具．在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习．这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用．二、学生学习情况分析我校是省示范性高级中学，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察、推理、类比等能力．并且通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握的．而“充分条件与必要条件”的概念是学生不易理解的，容易停留在形式上，需通过丰富的简单例子帮助学生更好地理解概念的实质．三、设计思想1．体现了“教师为主导，学生为主体”的教学理念本节课的教学设计和实际教学中，教师本人更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走．如：在例题的教学中，我大多是先带领学生分析问题，探求解决问题的方法，在学生通过自己的努力尝试解答之后，我再进行总结，避免了“满堂灌”．2．注重对学生的思维训练引导学生多角度的审视问题，从不同角度去看问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻．例如：在概念教学中，为了更好的理解概念，我通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）来辅助概念教学．3．创设生活化情境，激发学习兴趣本节课创设丰富的生活化情境，引导学生从已有的生活经验出发，亲自经历将生活原形抽象为数学模型．让学生体验数学源于生活，又广泛应用于生活．这种生活形成的数学，缩短了数学与生活的距离，培养了学生学习数学的兴趣，这样的教学，学生就会学得主动、积极，善于发现、探索和创新．四、教学目标1．知识与技能（1）使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）初步掌握充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，既不充分也不必要条件的判断方法．2．过程与方法（1）通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；（2）通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．3．情感态度与价值观（1）通过日常生活情境的创设，让学生感受“生活中的逻辑”，增加学生对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲；（2）通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受．五、教学重点与难点教学重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念及判断方法．教学难点：必要条件的概念的理解．六、教学过程设计1．复习引入把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：（1）全等三角形的面积相等；（2）素数一定是奇数．p ；“若p，则q”为真，可以将它表示为qp≠>．“若p，则q”为假，可以将它表示为q如：“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”为真命题，即：两个三角形全等⇒这两个三角形的面积相等；又如：“若整数a是素数，则a一定是奇数”为假命题，即：整数a是素数≠>a一定是奇数．【设计意图】通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫和自然的过渡．2．新知构建p⇒，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．定义：一般地，如果有q强调说明：p⇒”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种（1）“q不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．（2）充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”，即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行”，即“无之必不然”．如：①全班都准时到校⇒班长没有迟到“全班都准时到校”是“班长没有迟到”的充分条件；“班长没有迟到”是“全班都准时到校”的必要条件．②同学甲是K二15班的学生⇒同学甲是高二学生“同学甲是K二15班的学生”是“同学甲是高二学生”的充分条件；“同学甲是高二学生”是“同学甲是K二15班的学生”的必要条件．③能够买一台电脑⇒有钱“能够买一台电脑”是“有钱”的充分条件；“有钱”是“能够买一台电脑”的必要条件．④无风不起浪；⑤不入虎穴，焉得虎子．【设计意图】创设丰富的生活情境，提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”．例1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1） 若5+a 是无理数 ，则a 是无理数；（2） 若012=-x ，则1=x ；（3） 若y x =，则22y x =．（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真）解：命题（1）、（3）都是真命题．所以，命题（1）、（3）中的p 是q 的充分条件． 问： 以上哪些命题中的p 是q 的必要条件？解：命题（1）、（2）的逆命题都是真命题．所以，命题（1）、（2）中的p 是q 的必要条件．【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.3．巩固新知例2．用“充分条件”或“必要条件”填空：（1） 四边形的对角线相等是四边形为矩形的___________；（2） 5a >的__________是a 为正数．答案： （1）必要条件； （2）必要条件．课堂练习1．判断下列问题中，（1）p 是q 的充分条件吗？ （2）p 是q 的必要条件吗？① b a p >: bc ac q >:；② 2:>x p 3:>x q ；③ 22:b a x p +> ab x q 2:>；④ p : 圆心到直线l 的距离等于半径 q : 直线l 是圆的切线．解：（1）因为在问题③、④中都有q p ⇒．所以，在问题③、④中，p 是q 的充分条件． 在①、②两个问题中q p ≠>，p 与q 的关系可称p 不是q 的充分条件，或称p 是q 的不充分条件．（2）因为在问题②、④中都有p q ⇒．所以，在问题②、④中，p 是q 的必要条件． 在①、③两个问题中p q ≠>，p 与q 的关系可称p 不是q 的必要条件，或称p 是q 的不必要条件．【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念．并让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下一环节的学习做必要的准备和铺垫．4．新知完善从课堂练习1中我们可以发现在p 与q 之间存在以下几种关系：（1） q p ⇒且p q ⇒ → ④（2） q p ⇒且p q ≠> → ③（3） q p ≠>且p q ⇒ → ②（4） q p ≠>且p q ≠> → ①对于这几种关系我们应如何描述呢？充分条件、必要条件的可能情况有：若有q p ⇒且p q ⇒，称p 是q 的充要条件；若有q p ⇒且p q ≠>，称p 是q 的充分不必要条件；若有q p ≠>且p q ⇒，称p 是q 的必要不充分条件；若有q p ≠>且p q ≠>，称p 是q 的既不充分也不必要条件．课堂练习2．请用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”填空：（1）“0)3)(2(=--x x ”是“2=x ”的 条件；（2）“同位角相等”是“两直线平行”的 条件；（3） “92=x ”的 条件是“3=x ”；（4）“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的 条件．【设计意图】通过课堂练习1的自然过渡，将新知（充要关系）完善，使学生明白，充要关系的四种类型就是同时判断p 是否为q 充分条件及p 是否为q 必要条件，并通过课堂练习2的训练转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程．5．能力提升例3． 填空（写出一个满足题意的即可）“3<x ”的一个必要条件是 ．答案：可填：4<x （形如a x <，其中3≥a 都可以）．例3变式．（1）“3<x ”的一个充分条件是 ；（2）“3<x ”的一个充分不必要条件是 ；（3）“92<x ” 是 的一个充分不必要条件；（4）已知“3<x ”是“a x <”一个必要不充分条件，求a 的取值范围．【设计意图】 从条件判断填空到开放的填写条件及含参问题的思考有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！6．课堂小结师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：（1） 充分条件与必要条件的概念；（2） 充分条件与必要条件的四种类型；（3） 充分条件与充分不必要条件的区别，必要条件与必要不充分条件的区别；（4） 充分条件与必要条件判断的关键．【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点．7．作业布置（1） 选修2-1同步作业（2）．（2） 探讨下列生活俗语的充要关系：① 多行不义必自毙；② 成人不自在，自在不成人；③ 只要功夫深，铁杵磨成绣花针；④ 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人． 七、教学反思“充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容，难点内容．我通过本节课的教学，创设丰富的生活情境让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识．并通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不产生畏难情绪．课后，我根据本节课实际教学过程中出现的问题，在第二课时的教学中作出调整和弥补，并在第二课时中，加强对学生运用知识解决问题环节的训练．通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握的．在教学中，我利用学生熟悉的知识来辅助“充分条件与必要条件”的概念的教学．如在教学过程中我通过复习命题的概念和命题的常见形式引入新课的概念，这样一种自然引入可以减少学生对新知的陌生感；又如例１、例2教学中，我所选用的命题都是是在前一小节的学习中已经接触过，这样的例子可以让学生把思维的重点放在充分条件与必要条件的概念的理解和应用，避免了在思维中因判断命题真假本身的失误而造成对概念理解的偏差．利用“充分条件与必要条件”解决问题是学生难于掌握的，这也不是本节课可以彻底解决的问题．所以，我引导学生通过解决简单问题（例1），提炼出解决问题的方法，再尝试运用方法解决新问题(例2、课堂练习1、课堂练习2)．首先让学生掌握解决问题的方法，再加以运用，这样我也可以搞清学生“会了什么”、“还有什么不会”，使后面的教学更有针对性．例3的教学是存在困难的，问题的难度主要在于问题本身是一个开放式的填空题．所以，我先让学生通过观察对比几个例题的问法，找出问题问法的变化，然后使用已经总结出的方法，尝试解决这一问题．并通过例3变式使一些数学水平较高的学生对知识的理解得到了升华．但仍有一些值得再探讨的问题，如例3及其变式的编排本身值得商讨．因为逻辑用语的教学本身就具有一定的难度，故而不可使用过于复杂的数学例题，否则会使得教学难上加难，不利于本节新概念的教学．而例3及例３变式由于问题本身存在的难度，使得对于一些中下的学生由于新知识还没有完全吸收，问题难度的上升导致思维有点混乱，因此未能很好的理解．在以后的教学中可以考虑把例3及例３变式的教学放到第二课时．季节中的花开花落，都有自己的命运与节奏，岁月如歌的谱曲与纳词，一定是你。

1.2.2充分条件和必要条件新课程标准解读核心素养1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系数学抽象、逻辑推理2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系数学抽象、逻辑推理3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系数学抽象、逻辑推理教学设计一、目标展示二、情境导入某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．[问题](1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)从数学的角度如何描述这种关系？三、合作探究知识点一充分条件和必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p叫作q的充分条件；q叫作p的必要条件p不是q的充分条件；不是p的必要条件1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q. 这五种表述形式等价吗？知识点二充分必要条件(充要条件)1．定义：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件．教学札记2．记法：如果p 是q 的充要条件，就记作p ⇔q ，称为“ ”． 3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p ⇒q ，q ⇒s ，那么p ⇒s ； (2)如果p ⇔q ，q ⇔s ，那么p⇔s ．1．若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？2．“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里？四、精讲点拨[例1] (链接教科书第16页例3)下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1；(2)p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p ：xy >0，q ：x >0，y >0；(4)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．[例2] 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[母题探究]1．(变条件)若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．2．(变设问)本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．[例3] (链接教科书第17页例4)求证：方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－13<m <0.[例4] (1)关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的一个必要条件是( )A ．m <12B ．m <14C ．m <－12D ．m <－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab >0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是_____；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是_______．五、达标检测1．设x ∈R ，则“1<x <2”是“1<x <3”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件教学札记C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是()六、课堂小结1.充分、必要、充要条件的判断；2.充分条件与必要条件的应用；3.充要条件的证明；4.充分条件、必要条件、充要条件的探求.课后作业教后反思永昌一中高一数学◆必修第一册(湘教版) 主备人：校审：。

第一章 常用逻辑用语第2课时 充分条件和必要条件教学目标：1．从不同角度理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养抽象慨括和逻辑推理的意识．教学重点：构建充分条件、必要条件的数学意义教学难点：命题条件的充分性、必要性的判断．教学过程：Ⅰ.问题情境前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请判断下列命题的真假：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；⑶若0x ≥，则20x ≥；Ⅱ.建构数学1． 充分性2． 必要性Ⅲ.数学应用例1.指出下列命题中，p 是q 的什么条件．⑴p ：10x -=，q ：()()120x x -+=；⑵p ：两直线平行，q ：内错角相等；⑶p ：a b >，q ：22a b >；⑷p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形．变式练习.指出下列命题中，p 是q 的什么条件．（1）“b a =”是“b 222=”的____________（2）“b a lg lg =”是“b a =”的____________例2.已知012:;0208:222>-+->--a x x q x x p ，若p 是q 的充分不必要条件，求正数a 的取值范围。

变式练习.在ABC ∆中，B A >是B A sin sin >的什么条件？思考．（1）设集合{}|2M x x =>，{}|3P x x =<，则“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈”的什么条件？（2）求使不等式24210mx mx --<恒成立的充要条件Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P8 1，2，3精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

1.2 充分条件与必要条件学习目标核心素养1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q．(2)等价．2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．“x＞0”是“3x2＞0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[当x＞0时，3x2＞0成立；但当3x2＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0．]2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( ) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]3．“|x－2|≤3”是“－1≤x≤5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由|x－2|≤3得－1≤x≤5，故选C．]4．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．①p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；②p：x>0，y>0，q：xy>0；③p：a>b，q：a＋c>b＋c．①③[在①③中，p⇔q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，q p，所以②中p不是q的充要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b ＜1． 思路探究：判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件．(2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0．因此，p 是q 的必要不充分条件． (4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1； 当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b ．因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 若p ⇒q ，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 若p ⇒q ，且q p ，则p 是q 的必要不充分条件； 若p ⇔q ，则p 与q 互为充要条件； 若p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．[跟进训练]1．(1)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得－12＜x －12＜12，解得0＜x ＜1． 由x 3＜1得x ＜1．当0＜x ＜1时能得到x ＜1一定成立；当x ＜1时，0＜x ＜1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．](2)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0．由x的任意性，得b＝0．故f(x)为偶函数⇒b＝0．必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．]充要条件的探求与证明2) A．0<x<4 B．0<x<2C．x>0 D．x<4(2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．思路探究：(1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．(1)B [由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B ．](2)证明：充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)， ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根， 不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0， 即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bc ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0．1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．[跟进训练]2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( ) A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[答案]B充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？[提示]若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，则B A．2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？[提示]若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q 的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．思路探究：→ 列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p．即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9．所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．] 1．本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q ． 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，解得0<m ≤3．即m 的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5，即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1化简p 、q 两命题； 2根据p 与q 的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3利用集合间的关系建立不等式；4求解参数范围.1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B．]2．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x －5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选A．] 3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A．]4．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1．]。

课题：充分条件与必要条件课时：003课型：新授课教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教学过程1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞a2+ b2，则x ＞2ab, （2）若ab ＝0，则a ＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．定义: 充分条件, 必要条件命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞a2+ b2 x ＞2ab，所以“x＞a2+ b2 ”是“x ＞2ab”的充分条件，“x ＞2ab”是“x ＞a2+ b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－4x ＋3 ＝0；（2）若f(x)＝x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．解略．例2：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝y，则x2＝y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．解略．4、巩固练习：P12 习题1.2-- 1(1)(2),2(1)(2)题5．作业P12:习题1.2A组--第3、4题6.课后反思：一般地，判断条件是结论的什么条件时，注意以下问题（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：A．p是q的充分而不必要条件；B. p是q的必要而不充分条件；C.p是q的充要条件；D. p是q的既不充分也不必要条件．。

1.2 分条件与必要条件[提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A 开关闭合时B 灯一定亮吗？ 提示：一定亮．问题2：B 灯亮时A 开关一定闭合吗？ 提示：不一定，还可能是C 开关闭合． [导入新知] 充分条件与必要条件q[化解疑难]1．p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”． 2．q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立.[提出问题]如图是一物理电路图．问题1：图中开关A 闭合，灯泡B 亮；反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合吗？ 提示：一定闭合．问题2：开关A 闭合作为命题的条件p ，灯泡B 亮作为命题的结论q ，你能判断p ，q 之间的推出关系吗？提示：p ⇔q . [导入新知]充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件． [化解疑难]p 是q 的充要条件时，q 也是p 的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p 和条件q 是等价的，如果p 和q 是两个命题，则这两个命题是等价命题．[例(1)在△ABC 中，p ：cos 2A ＝cos 2B ，q ：A ＝B ； (2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[解] (1)在△ABC 中，A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，且A ＋B ＋C ＝π.若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；反之，若A ＝B ，则cos 2A ＝cos 2B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x ＞1可以推出x 2＞1；由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1，不一定有x ＞1.因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2，或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． [类题通法]充分、必要、充要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．[活学活用]指出下列各组命题中p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.[例2] ac＜0.[解] (1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[类题通法]充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p ⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[活学活用]已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.证明：(1)必要性：由1x ＜1y，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0，又由x ＞y ，得y －x ＜0，所以xy ＞0. (2)充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y. 综上所述，1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[例3] 已知数m 的取值范围．[解] 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，即{}x |－2≤x ≤10是{}x |1－m ≤x ≤1＋m 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{}m |m ≥9. [类题通法]应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．[活学活用]已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，Q ⊆P ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.故实数a 的取值范围是[－1,5]．1.诠释充分条件与必要条件的判断有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例1] (四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.[答案] A [活学活用]1．“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由cos 2α＝12可得sin 2α＝14，即sin α＝±12，故sin α＝12是cos 2α＝12的充分不必要条件． 2．等价转化法等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2] 已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 綈p ：x ＝2且x ＝3，綈q ：x ＋y ＝5.可知綈p ⇒綈q ，而綈q ⇒/ 綈p .所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分[活学活用]2．“m ≠3”是“|m |≠3”的________条件． 答案：必要不充分 3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3] 指出下列命题中p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －1)(x ＋2)≤0，q ：x ＜2； (2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4. [解] (1)令A ＝{x |(x －1)(x ＋2)≤0}＝ {x |－2≤x ≤1}，集合B ＝{x |x ＜2}． 显然，AB ，所以p ⇒q ，但q p ，即p 是q 的充分不必要条件． (2)令A ＝{x |x 2－2x －8＝0} ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}，B ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}．∵A ＝B ，∴p ⇔q ， 即p 是q 的充要条件． [活学活用]3．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞0，1a＜0，解得a ＜0. 由于{a |a ＜－a |a ＜0}，故选C.[随堂即时演练]1．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 直线l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l ⊥α，因为有可能是直线l 在平面α内与一组平行直线垂直．若l ⊥α，则直线l 垂直于α内的所有直线．2．已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·b ＝a ·c ”是“b ＝c ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵a ⊥b ，a ⊥c 时，a ·b ＝a ·c ，但b 与c 不一定相等， ∴a ·b ＝a ·c ⇒/ b ＝c ； 反之，b ＝c ⇒a ·b ＝a ·c .3.已知M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的________条件． 解析：∵由a ∈M ⇒/ a ∈N ，但a ∈N ⇒a ∈M ， ∴“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－235．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，求实数a 的值． 解：p ：x 2＋x －6＝0， 即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p ⇒/ q ，q ⇒p ， 故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a＝－3，解得a ＝－12或a ＝13.[课时达标检测]一、选择题1．“tan α＝1”是“α＝π4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若tan α＝1，则α＝k π＋π4(k ∈Z)，α不一定等于π4；而若α＝π4，则tan α＝1.∴tan α＝1是α＝π4的必要不充分条件．2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．(陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.4．(天津高考)设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A |x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件．5．使|x |＝x 成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ≥0 B ．x 2≥－x C ．log 2(x ＋1)＞0D ．2x ＜1解析：选B ∵|x |＝x ⇔x ≥0，∴选项A是充要条件，选项C，D均不符合题意．对于选项B，由x2≥－x，得x(x＋1)≥0.∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．二、填空题6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要而不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件．②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题．③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a1＝21，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x＞0，y＞0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④三、解答题9．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解：(1)∵|x |＝|y |⇒/ x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2， 所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2.反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p . 因为{a n }为等比数列， 所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p p －p ＋q ， ∴q ＝－1， 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。