【审核版】2013-2017年高考数学(文)分类汇编：第1章-集合与常用逻辑用语(含答案解析)

2017年高考数学试题分类汇编及答案---常用逻辑用语1.（2017北京）已知U =R ¸集合{|22}A x x x =<->或¸则U A =ð（Α）(2,2)- （Β）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞2．（2017新课标Ⅱ理）设集合{}1,2,4A =¸{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =I ¸则B = Α．{}1,3-Β．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 З（2017天津理）设集合{1,2,6},{2,4},{|1A B C x x ===∈-≤≤R¸则()A B C =U I（Α）{2} （Β）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R4（2017新课标Ⅲ理）已知集合Α={}22(,)1x y x y +=│¸Β={}(,)x y y x =│¸则ΑI Β中元素的个数为 Α．ЗΒ．2C ．1D ．05（2017山东理）设函数Α¸函数y=ln(1-x)的定义域为Β,则A B =I（Α）（1,2） （Β）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) б（2017新课标Ⅰ理）已知集合Α={x |x <1}¸Β={x |31x <}¸则 Α．{|0}A B x x =<Β．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅7（2017江苏）已知集合{1,2}A =¸2{,3}B a a =+¸若}1{=⋂B A ¸则实数a 的值为 ．8（2017天津）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===¸则()A B C =U I（Α）{2} （Β）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,4,6} 9（2017新课标Ⅱ）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==¸则A B =Α．{}123,4，， Β．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，，10（2017北京理）若集合Α={x |–2x 1}¸Β={x |x –1或x З}¸则ΑΒ=（Α）{x |–2x –1} （Β）{x |–2x З}（C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1xЗ}11（2017浙江）已知集合}11|{<<-=x x P ¸}20{<<=x Q ¸那么=Q P Α．)2,1(-Β．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(12（2017新课标Ⅲ）已知集合Α={1,2,З,4}¸Β={2,4,б,8}¸则Α⋂Β中元素的个数为（ ） Α．1 Β．2 C ．З D ．41З（2017新课标Ⅰ）已知集合Α={}|2x x <¸Β={}|320x x ->¸则 Α．ΑI Β=3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭Β．ΑI Β=∅ C ．Α Β3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．Α Β=R14（2017山东）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =I（Α）()1,1- （Β）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,215．（2017浙江）已知等差数列{a n }的公差为d ¸前n 项和为S n ¸则“d >0”是“S 4 + S б>2S 5”的Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1б.（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩¸老师说：你们四人中有2位优秀¸2位良好¸我现在给甲看乙、丙的成绩¸给乙看丙的成绩¸给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩¸根据以上信息¸则Α．乙可以知道四人的成绩 Β．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩17．（2017新课标Ⅱ理）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀¸2位良好¸我现在给甲看乙、丙的成绩¸给乙看丙的成绩¸给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息¸则 Α．乙可以知道四人的成绩Β．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩18.（2017天津理）设θ∈R ¸则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （Β）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件19.（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（Α）p q ∧ （Β）p q ∧⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝∧⌝20.（2017山东理）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ¸则a b 22＞¸列命下题为真命题的是 （Α） p q ∧ （Β）p q⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q⌝⌝∧21.（2017北京）根据有关资料¸围棋状态空间复杂度的上限M 约为ЗЗб1¸而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg З≈0.48）（Α）10ЗЗ （Β）105З （C ）107З （D ）109З22.（2017北京）能够说明“设a ¸b ¸c 是任意实数．若a >b >c ¸则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 ______________________________．2З.（2017北京理）设m ,n 为非零向量¸则“存在负数λ¸使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （Α）充分而不必要条件 （Β）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件答案：1-5 CC ΒΒD б-10 Α 1 ΒΑΑ 11-15 ΑΒΑCC 1б-20 D ΑΒΒD21 -1,-2,-З（答案不唯一）22.Α201б年高考数学试题分类汇编及答案解析---常用逻辑用语1、（201б年北京高考）设a ¸b 是向量¸则“||||a b = ”是“||||a b a b +=-”的（ ）Α.充分而不必要条件 Β.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D2、（201б年山东高考）已知直线a ¸b 分别在两个不同的平面α¸β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（Α）充分不必要条件 （Β）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】ΑЗ、（201б年上海高考）设R a ∈¸则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （Β）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】Α4、（201б年四川高考）设p ：实数x ¸y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2¸q ：实数x ¸y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（Α）必要不充分条件 （Β）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】Α5、（201б年天津高考）设{a n }是首项为正数的等比数列¸公比为q ¸则“q <0”是“对任意的正整数n ¸a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（Α）充要条件 （Β）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】Cб、（201б年浙江高考） 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ¸使得2n x >”的定义形式是 Α．*x n ∀∈∃∈，R N ¸使得2n x < Β．*x n ∀∈∀∈，R N ¸使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ¸使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ¸使得2n x < 【答案】D2015年高考数学试题分类汇编及答案解析---常用逻辑用语1.（15北京理科）设α¸β是两个不同的平面¸m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的Α．充分而不必要条件Β．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Β 【解析】试题分析：因为α¸β是两个不同的平面¸m 是直线且m α⊂．若“m β∥”¸则平面、αβ可能相交也可能平行¸不能推出//αβ¸反过来若//αβ¸m α⊂¸则有m β∥¸则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.2.（15年安徽文科）设p ：x<З¸q ：-1<x<З¸则p 是q 成立的( ) （A ）充分必要条件 （Β）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：∵3: x p ¸31: x q -∴p q ⇒¸但p ⇒/q ¸∴p 是q 成立的必要不充分条件¸故选C.考点：充分必要条件的判断.З.（15年新课标1理科）设命题P ：∃n ∈N ¸2n >2n¸则⌝P 为（Α）∀n ∈N, 2n >2n （Β）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤¸故选C.4.（15年陕西理科）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】Α 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=¸所以sin cos αα=或sin cos αα=-¸因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”¸但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”¸所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件¸故选Α． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．5.（15年陕西文科）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）Α充分不必要条件 Β必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 【答案】A考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.б.（15年天津理科）设x R ∈ ¸则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （Α）充分而不必要条件 （Β）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】Α考点：充分条件与必要条件. 7.(15年浙江理科)8.（15年湖南理科）设Α,Β是两个集合¸则”A B A = ”是“A B ⊆”的（ ） Α.充分不必要条件 Β.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得¸A B A A B =⇒⊆ ¸反之¸A B A B A =⇒⊆ ¸故为充要条件¸选C .考点：集合的关系.9.（15年山东理科）若“[0,],t a n 4x x m π∀∈≤”是真命题¸则实数m 的最小值为 .解析：“[0,],t a n 4xx m π∀∈≤”是真命题¸则tan14m π≥=¸于是实数m 的最小值为1.2014年高考数学试题分类汇编及答案---常用逻辑用语2．[2014·安徽卷] “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．Β5．[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列¸则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．Dб．、[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于Α¸Β两点¸则“k ＝1”是“△O ΑΒ的面积为12”的( )Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 б．ΑЗ．[2014·湖北卷] U 为全集¸Α¸Β是集合¸则“存在集合C 使得Α⊆C ¸Β⊆∁U C ”是“Α∩Β＝∅”的( )Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 З．C8．[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1¸z 2互为共轭复数¸则|z 1|＝|z 2|”¸关于其逆命题¸否命题¸逆否命题真假性的判断依次如下¸正确的是( )Α．真¸假¸真 Β．假¸假¸真 C ．真¸真¸假 D ．假¸假¸假 8．Β7．[2014·天津卷] 设a ¸b ∈R ¸则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 7．C2．、[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位¸a ¸b ∈R ¸得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．Αб．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ¸总有2x >0¸q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件¸则下列命题为真命题的是( )Α．p ∧q Β．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q б．DΑЗ 基本逻辑联结词及量词5．[2014·湖南卷] 已知命题p ：若x ＞y ¸则－x ＜－y ¸命题q ：若x ＞y ¸则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中¸真命题是( )Α．①③ Β．①④ C ．②③ D ．②④ 5．C5．、[2014·辽宁卷] 设a ¸b ¸c 是非零向量¸已知命题p ：若a ·b ＝0¸b ·c ＝0¸则a ·c ＝0¸命题q ：若a ∥b ¸b ∥c ¸则a ∥c ¸则下列命题中真命题是( )Α．p ∨q Β．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．Α9．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ¸有下面四个命题：p 1：∀(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≥－2¸p 2：∃(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≥2¸ p З：∀(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≤З¸ p 4：∃(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) Α．p 2¸p З Β．p 1¸p 2 C ．p 1¸p 4 D ．p 1¸p З 9．ΒΑ4 单元综合201З年全国高考理科数学试题分类汇编：常用逻辑用语一、选择题1 ．（201З年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） Α．充分而不必要条件Β．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】Α2 ．（201З年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）Α．对任意x R ∈,都有20x <Β．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <【答案】D3 ．（201З年高考四川卷（理））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（ ）Α．:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ Β．:,2p x A x B ⌝∀∉∉ C ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈D ．:,2p x A x B ⌝∃∈∈【答案】D 4 ．（201З年高考湖北卷（理））在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） Α．()()p q ⌝∨⌝ Β．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨【答案】Α5 ．（201З年高考上海卷（理））钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（ ）Α．充分条件 Β．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】Β．6 ．（201З年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:（ ） Α．①②③ Β．①② C ．②③ D ．②③ 【答案】C 7 ．（201З年高考陕西卷（理））设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）Α．若12||0z z -=, 则12z z = Β．若12z z =, 则12z z = C ．若||||21z z =, 则2112··z z z z =D ．若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D8 ．（201З年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（ ）Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件C ．充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 【答案】Α9 ．（201З年高考陕西卷（理））设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的（ ） Α．充分不必要条件Β．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C10．（201З年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω,则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的（ ）Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Β11．（201З年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ） Α．充分不必要条件Β．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C12．（201З年高考北京卷（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（ ）Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Α13．（201З年上海市春季高考数学）已知 a b c R ∈、、,“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）Α．充分非必要条件 Β．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】D二、填空题14．（201З年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））定义“正对数”:0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题: ①若0,0a b >>,则ln ()ln b a b a ++=; ②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln a a b b+++≥- ④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性 互异性 无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】 由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】 由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】 －1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】 当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】 －2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】 当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】 由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)． 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)． 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1， 所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 课堂评价1. BCD 【解析】 对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误； 对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点， 集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】 由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4， 所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ， 所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }． 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲 充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】 因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要 必要 【解析】 因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分 必要 非充分 非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】 由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】 依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， 所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2， 故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】 由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0， 因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立； 若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |， 即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】 对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲 全称量词和存在量词链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】 若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】 若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】 因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】 由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题． 当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意． 当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】 假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本 激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AC【解析】 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】 设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】 若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】 取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a <b <1，所以b －a∈(0,1)，所以lg(b －a )<0，故D 正确．故选ABC.5.(－4,2) (1,18)【解析】因为－1<x <4,2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.因为－3<3x <12,4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.【解答】(1)原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a <b <0，所以|b |<|a |成立，故选C. 2. C3. ABCD 【解析】 关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确； 当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确； 当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0， 所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确； 对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲 基本不等式链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】 因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】 令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】 因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】 因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】 方法一(换元消元法)： 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】 对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ， 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】 原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12， 则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】 因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )， 得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数， 所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)． 所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】 若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】 由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。

第一章集合与常用逻辑用语第 1 节集合题型 1集合的基本概念——暂无题型 2集合间的基本关系——暂无题型 3集合的运算1.（ 2013 山东文 2）已知集合 A ， B 均为全集U1,2,3,4的子集，且e A B 4 ，U B1,2 ，则A e U B（） .A. 3B. 4C.3,4D.分析利用所给条件计算出A 和 e B，进而求交集.1.U解析：因为 U1,2,3,4，饀A B4，所以A B1,2,3.又因为B1,2，U所以 3A1,2,3 .又饀B 3,4 ，所以A饀B故选A.U U 3 .2.(2013 安徽文 2）已知A x x1>0 ，B2， 101，，，则 C R A B（） .A.2，1B.2C.2，01，D.01，2.分析解不等式求出集合 A ，进而得e R A，再由集合交集的定义求解.解析因为集合 A x x >1，所以 e R A x x ≤1，则 e R A B x x ≤1 2, 1,02, 1 .故选A.3.（ 2013江西文2）若集合A x R | ax2ax10 其中只有一个元素，则a（） .A ．4 B. 2 C. 0 D. 0或43.解析当a0时，方程化为 10，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当a0时，由a2 4a 0 ，解得a 4.故选A.4．（ 2013 广东文1）设集合S x | x22x 0, x R，T x | x22x 0, x R，则 S T（）.A ．0B ．0,2C．2,0D．2,0,24.分析先确定两个集合的元素，再进行交集运算.解析集合 S0, 2 ,T0,2，故 S T0 ，故选 A.5（.2013 湖北文 1）已知全集U1,2,3,4,5 ，集合 A1,2 ，B2,3,4 ，则B e U A（） .A ．2B．3,4C．1,4,5D．2,3,4,55.分析先求e A，再找公共元素.U解析因为 U1,2,3,4,5 , A1,2，所以 e A3,4,5，U所以 B e A2,3,43,4,53,4.故选 B.U6.（ 2013四川文1）设集合A1，2，3 ，集合B2，2，则 A B （）.A. B.2C.2，2D.21，，2，36.分析直接根据交集的概念求解.解析 A B1,2,32,22，故选 B.7． (2013 福建文3）若集合A=1,2,3 ，B= 1,3,4 ，则 A B 的子集个数为（）.A ．2 B．3C．4 D．167.分析先求出A B ，再列出子集.解析 A B1,3 ，其中子集有, 1 ,3, 1,3 共 4 个.故选C.8. (2013 天津文 1）已知集合A x R x , 2 ， B x R x? 1，则 A B ().A.(,2]B. 1,2C.2,2D.2,1分析先化简集合 A ，再借助数轴进行集合的交集运算.8.解析 A x R x ≤ 2x R - 2≤x≤2，所以 A B x R 2 ≤ x ≤ 2x R x ≤ 1x R 2≤x≤1 .故选D.9.（ 2013 辽宁文 1）已知集合 A 1，2，3，4 ，B x x<2 ，则 A B（）.A.0B.01，C.0，2D.01，，29.解析B x x2x 2 x 2， A B0,1 .故选B.10. (2013 陕西文1）设全集为R，函数f ( x)1x 的定义域为M，则 e R M 为（）.A.，1B.1，C.，1D. 1，10.解析函数f x 的定义域 M,1 ，则 e R M1,．故选 B.11.（2013 浙江文1）设集合S x | x2， T x | 4剟x1，则 S T（） .A. 4，B（.2，） C.4，1 D.2，111.分析直接求两个集合的交集即可.解析： S T x x > 2x 4 ≤ x ≤ 1x 2 < x≤ 1.故选 D .12. (2013 重庆文1）已知全集U1，2，3，4 ，集合 A1，2 ， B2，3，则 e U A B （）.A.13，，4B.3，4C. 3D.412.分析先求出两个集合的并集，再结合补集概念求解.解析因为 A1,2 , B2,3 ，所以 A B1,2,3，所以 e A B4.故选 D.U13.（ 2013 江苏 4）集合1,0,1共有个子集13.分析根据计算集合子集个数的公式求出或直接写出.解析由于集合中有 3 个元素，故该集合有23=8（个）子集 .14.已知集合U2,3,6,8, A2,3 , B2,6,8，则 C A B.15（.2014 新课标Ⅰ文1）已知集合 M{ x | 1 x3} ，N{ x |2x1} ，则M N （）A. (2,1)B. (1,1)C. (1,3)D.( 2 ,3)16（.2014 新课标Ⅱ文1）已知集合A2,0,2 ，B x | x2x20 ，则A B （）A. B.2 C. 0 D. 217.（ 2014 浙江文1）设集合Sx x厔2 ,T x x 5，则 S T = （） .A ．,5B ．2，+C．2,5 D ．2,518.（ 2014 江西文2）设全集为R，集合A{ x | x290}, B{ x |1x≤5} ，则A(e R B)（） .A. (3,0)B. ( 3,1)C. (3,1]D. ( 3,3)19.（ 2014 辽宁文1）已知全集U R ，A{ x | x≤ 0} ， B{ x | x≥1} ，则集合e U(A B)（）A ． { x | x≥0}B ． { x | x≤1}C． { x | 0≤ x≤1}D． { x | 0 x 1}20.（ 2014 山东文2）设集合A x x 22x0, B x 1剟x4，则 A B（） .A.0,2B.1,2C.1,2D.1,421.（ 2014陕西文 1）设集合M x | x≥0，x R ，N x | x21，x R ，则M N（）.A.0,10,1C.0,1D.0,1B.22（. 2014 四川文 1）已知集合A x x1x 2 ,0 ，集合B为整数集，则 A B（）.A.1,0B.0,1C.2, 1,0,1D.1,0,1,223.（ 2014 北京文1）若集合A0,1,2,4， B1,2,3，则 A B （）A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.323.解析因为A0,1,2,4， B1,2,3，所以 A B1,2 .故选C.24.（ 2014 大纲文1）设集合 M{ 1，2，4，6，8}， N{ 1，2，3，5，6，7} ，则M N 中元素的个数为（） .A ． 2B． 3C． 5D． 725.（ 2014 福建文1）若集合P x 2≤ x 4 , Q x x≥ 3, 则P Q等于（）A. x 3≤x 4B. x 3 x 4C. x 2≤x 3D. x 2≤x≤326.（ 2014 广东文1）已知集合M2,3,4 , N0,2,3,5 ，则M N（） .A.0,22,3C.3,4D.3,5 B.27.（ 2014 湖北文1）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，集合A1，3，5，6，则U（） .e AA ．13，，5，6B．2，3，7C．2，4，7D．2，5，728.（ 2014 湖南文 2）已知集合 A{ x | x2} ， B{ x |1x 3} ，则A B（） .A. { x | x2}B. { x | x1}C. { x | 2 x3}D. { x |1x 3}29.（ 2014 江苏 1）已知集合A2， 1，3，4，B1，2，3，则 A B．30.（ 2014 重庆文 11）已知集合A{3 ，4，512，，13} ， B{2 ，3，5，813， }，则 A B.31.（ 2015重庆文1）已知集合A1,2,3， B1,3 ，则 A B （） .A. {2}B.{1,2}C.{1,3}D.{1,2,3}31.解析根据集合的运算法则，交集表示两集合的公共部分，所以 A B1,3．故选 C．32.（ 2015广东文1）若集合M1,1 ， N2,1,0，则 M N（） .A．0, 1B． 0C． 1D．1,132.解析由题意可得 M N 1 ．故选 C.33.（ 2015 天津文 1）已知全集U1,2,3,4,5,6，集合 A2,3,4，集合 B 1,3,4,6，则集合 A e U B（） .A.3B.2,5C.1,4,6D.2,3,533. 解析由题意可得 A 2,3,5，e B ={2,5}，则A （）2,5. 故选 B.Ue U B34.（2015 安徽文 2）设全集U1,2,3,4,5,6 ， A 1,2，B2,3,4 ，则 A e U B （） .A.1,2,5,6B.1C.2D.1,2,3,434.解析因为e B1,5,6，所以A e B 1 .故选B.U U35. （ 2015 全国 I 文 1）已知集合A{ x x 3n2,n N}, B{6,8,10,12,14}，则集合A B 中元素的个数为（） .A. 5B. 4C. 3D. 235.解析当3n2? 14，得 n? 4 .由x3n 2 ，当 n0 时， x 2 ；当 n 1 时， x 5 ；当 n 2 时， x 8 ；当 n 3 时， x 11 ；当 n 4 时， x 14 .所以A B8,14 ，则集合 A B 中含元素个数为 2 .故选 D .36. （ 2015北京文 1）若集合A x5x2， B x 3 x 3 ，则 A B（）.A.x 3 x 2B.x 5 x 2C.x 3 x 3D.x 5 x 336.解析依题意，A B x3x2.故选 A.37. （ 2015福建文 2）若集合M x 2 ,x2， N0,1,2，则 M N 等于（）.A．0B． 1C．0,1,2 D.0,1[来源 :Zxxm] 37.解析由交集的定义得M N0,1.故选 D.评注考查集合的运算．38（. 2015 全国 II 文 1）已知集合A{ x |1x2} ，B x 0x3，则 A B（）.A.1, 3B.1,0C.0, 2D. 2 ,338.解析因为对于A有A x1x2，对于 B 有 B x 0x3.可得 A B x1x 3 .故选A.39. （ 2015 山东文1）已知集合A x | 2x4， B x | ( x1)( x3)0，则A B （） .A.(1，3)B. (1，4)C.(2 ，3)D.(2 ，4)39.解析由题意可得B x 1x3，又 A x 2x4，所以 A B x 2x 3 .故选 C.40. （ 2015陕西文1）设集合M x x2x ，N lg x,0 ，则 M N（）.A.01，B.70C.01，D.，140.解析M x x2x M0，1 ，N x lg x 剟 0N0x 1 ，所以M N01，.故选A.41.（ 2015 四川文1）设集合A x1x 2 ，集合 B x 1x 3 ，则A B （）.A.x 1 x 3B.x 1 x 1C.x 1 x 2D.x 2 x 341.解析由题意并集合数轴可得A B x1x 3 .故选A.42.（ 2015 浙江文1）已知集合P x x22x ⋯3 ，Q x 2x4，则 P Q （）.A.3，4B.2，3C.1，2D.13，42.解析P x x,1或 x⋯3，所以 P Q3,4.故选 A.43. （ 2015湖南文 11）已知集合U1,2,3,4， A1,3， B1,3,4 ，则 A e U B .43.解析因为e U B2，所以A? B1,2,3.U44. （ 2015 江苏 1）已知集合A1,2,3， B2,4,5 ，则集合A B 中元素的个数为．44.解析由并集的运算知识知 A B1,2,3,4,5，故集合 A B中元素的个数为 5 ．45（.2016 北京文1）已知集合A x 2x4，B x x3或 x5，则 AI B （）.A.x 2 x 5B.x x 4或 x 5C.x 2 x 3D.x x 2或 x 545.C 解析由A I B的含义可得 A I B x 2x 3 .故选C.46. （ 2016全国丙文1）设集合A{0,2,4,6,8,10}， B{4,8} ，则 e A B （） .A. 4,8B.0,2,6C.0,2,6,10D.0,2,4,6,8,1046.C 解析依据补集的定义，从集合A{0,2,4,6,8,10} 中去掉集合 B{4,8} ，剩下的四个元素为 0,2,6,10 ，故e A B {0,2,6,10} 故选C..47. （ 2016全国甲文1）已知集合A1,2,3， B x | x29 ，则A I B（） .A.2, 1,0,1,2,3B.2,1,0,1,2C.1,2,3D.1,247.D 解析B3,3， A I B1,2 .故选D.48. （ 2016山东文 1）设集合U{1，2，3，4，5，6}， A{13，，5}， B{3，4，5} ，则 e U ( A U B)=（） .A. {2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D. {1,2,4,6}48.A解析由已知， A U B1,3,5U 3,4,51,3,4,5，所以痧U A UB U 1,3,4,52,6.故选 A.49. （ 2016四川文 2）设集合A x 1 剟 x5， Z 为整数集，则集合 A I Z中元素的个数是（）.A. 6B.5C.4D.349.B解析由题意， A I Z1，2，3，4，5 ，故其中的元素个数为 5.故选 B.50.（ 2016 天津文 1）已知集合A{1,2,3} ，B{ y | y2x 1,x A} ，则A I B =（）.A. {1,3}B.{1,2}C.{2,3}D. {1,2,3}50.A解析由题意可得 B{1,3,5}，则 A I B{1,3} .故选A.51.（ 2016全国乙文 1）设集合A1,3,5,7 ，B x 2 剟 x5，则 A I B（） .A.1,3B.3,5C.5,7D.1,751.B解析把问题切换成离散集运算，A1,3,5,7， 2,3,4,5 B ，所以 A I B3,5 .故选 B.52. （ 2016浙江文1）已知全集U12,3 ,4,5,6，集合 P13,5， Q12, ,4，则e U P U Q（） .A.1B. 3,5C. 1,2,4,6D.1,2,3,4,552.C解析由P13,5，U12,3 ,4,5,6，得e U P 2 , 4，所以, 6e U P U Q2,4,6 U 1,2,41,2,4,6.故选 C.53.（ 2016江苏卷1）已知集合A1,2,3,6， B x 2x 3 ，则A I B .53.1,2 解析由交集的运算法则可得 A I B1,2.54.（2016上海文）设x R，则不等式x31的解集为.154. 2,4解析由题意 1 x 3 1 ，即 2 x 4 ，则解集为2,4 .55.（ 2017 全国 1 文 1）已知集合A x x 2 ， B x 3 2x 0 ，则（）.A．C．3A B x x B ．A B23A B x x D．A B R255.解析由3 2x0 得x 3，所以 A B x x 2x x3x x3222.故选 A.56.（2017 全国 2 文 1）设集合A1，2，3 ， B2，3，4 ，则A B= （）.A.12，，3,4B.1，2，3C. 2，3，4D.13，，456.解析由题意，A B{1, 2,3, 4} .故选A.57.（2017 全国 3文 1）已知集合A12，，3，4 ， B2，4，6，8 ，则A B 中元素的个数为（） .A ． 1B． 2C． 3D． 457.解析集合A与B的交集为两者共有的元素所构成，即为集合2,4 ，所以该集合的元素个数为 2.故选 B.评注集合的交集运算，属于基础题型，唯一的变化在于常规问题一般要求出交集即可，该题需要先求出集合，再计算元素个数.58.（ 2017 北京文1）已知U R，集合A { x | x 2 x 2}U或，则 e A （）.A. (2, 2)B. (,2)(2,)C. [2, 2]D. (,2][2,)58.解析由A { x | x 2 或x2}( ,2)(2,) ，所以 e U A[ 2,2].故选 C.59.（ 2017 山东文1）设集合M x x1 1 ，N x x 2 ，则M N （）.A.1,1B.1,2C.0,2D.1,259.解析由| x 1|10x 2 ，得 M N (0,2).故选 C.60.（ 2017 天津文 1）设集合 A 1,2,6，B2,4 ， C 1,2,3,4，则 A B C（） .A. 2B.1,2,4C. 1,2,4,6D. 1,2,3,4,660.解析因为A{1,2,6}, B{2,4} ，所以 A B {1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}，所以 (A B) C {1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4} .故选B．61.（ 2017 浙江 1）已知集合P x 1 x 1 ， Q x 0x2，那么 P Q（） .A.1,2B. 01，C.1,0D. 1,261.解析P Q 是取 P,Q 集合的所有元素，即 1 x 2 .故选A．62.（ 2017 江苏 1）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400 ，300 ， 100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．62. 解析按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取30060( 件 ) ．故填18．181000第 2 节命题及其关系、充分条件与必要条件题型 4四种命题及关系1. （ 2013 山东文 8）给定两个命题p ， q ，若p 是 q 的必要而不充分条件，则p 是q 的（） .A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.分析借助原命题与逆否命题等价判断.解析：若p 是 q 的必要不充分条件，则q p 但p /q ，其逆否命题为 p q 但q / p ，所以 p 是q 的充分不必要条件.故选 A.2（. 2014 陕西文8）原命题为“若anan 1an，n N+，则a n为递减数列”，关于其逆命题，2否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）.A. 真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D. 假，假，假3.（ 2014 四川文 15）以A表示值域为R的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数x 组成的集合：对于函数x ，存在一个正数 M ，使得函数x 的值域包含于区间M,M .例如，当1x x3，2x sinx 时， 1 xA ，2xB .现有如下命题：①设函数 f x的定义域为 D ，则“f x A ”的充要条件是“b R，a D ，f a b ”；②若函数 f x B ，则 f x 有最大值和最小值；③若函数 f x ， g x 的定义域相同，且 f x A ， g x B ，则 f x g x B ；④若函数f x a ln x2x x2,a R 有最大值，则f x B .x 21其中的真命题有 ____________ （写出所有真命题的序号） .4.（ 2015山东文5）设m N ，命题“若m0 ，则方程x2x m0 有实根”的逆否命题是（） .A. 若方程x2x m0有实根，则 m0B. 若方程x2x m0有实根，则 m,0C. 若方程x2x m0没有实根，则 m0D. 若方程x2x m0没有实根，则 m,04.解析将原命题的条件和结论调换位置，并分别进行否定，即得原命题的逆否命题.故选 D.5.（ 2017 山东文 5）已知命题p :x R ，x2x1⋯0 .命题 q :若 a2b2，则a b .下列命题为真命题的是（） .A. p qB. p qC.p qD. p q解析取 x0 ，可知p为真命题；取 a 1,b2，可知 q 为假命题，故 pq为真命题. 5.故选 B.题型 5充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明1. (2013 安徽文 4）“2x 1 x0 ”是“x0 ”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件1. 分析先解一元二次方程2x 1 x 0 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断.解析当 x0 时，显然 2 x 1 x0；当 2x 1 x0时， x0 或 x1，所以2“ 2x 1 x0 ”是“ x 0 ”的必要不充分条件.故选B.2 (20132P x, y ,“ x2且 y1”P 在直线l : x y 10 上”．福建文）设点则是“点的（） .A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.分析利用命题的真假，判断充要条件.解析当 x 2 且 y 1时，满足方程x y 1 0，即点 P2, 1 在直线 l 上.点 P0,1在直线 l 上，但不满足 x 2 且 y1，所以“ x 2 且 y1”是“点 P x, y在直线 l 上”的充分而不必要条件.故选 A.3. (2013 天津文 4）设a,b R ，则“( a b) a20 ”是“a b ”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.分析分别判断由( a b) a20 是否能得出 a b成立和由a b是否能得出( a b) a20成立 .解析由不等式的性质知(a b) a20 成立，则a b 成立；而当 a 0,a b 成立时，( a b) a20不成立，所以(a b) a 20 是a b 的充分而不必要条件.故选 A.4.(2013 湖南文2）“1x2”是“ x 2 ”成立的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.分析利用集合间的关系转化.解析设A x1x 2 , B x x2，所以 A üB ，即当x0 A 时，有x0 B ，反之不一定成立.因此“1x 2 ”是“x 2 ”成立的充分不必要条件.故选 A.5.（ 2014北京文5）设a，b是实数，则“a b ”是“ a 2 b 2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.解析a b 不能推出a2b2，例如a 1 ， b 2 ； a2b2也不能推出a b ，例如a 2 ，b 1 .故“a b ”是“a 2b2”的既不充分也不必要条件.6.（ 2014 浙江文2）设四边形ABCD的两条对角线AC , BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC BD”的（） .A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7（. 2014 广东文 7）在△ABC中，角 A, B, C 所对应的边分别为a, b, c 则“a, b”是“sin A, sin B”的（） .A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D. 非充分非必要条件8（. 2014 新课标Ⅱ文3）函数 f ( x ) 在x x0处导数存在，若p: f (x0)0；q: x x0是f ( x )的极值点，则（）A.p 是q的充分必要条件B.p 是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p 是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p 既不是q的充分条件，也不是q的必要条件9.（ 2014 江西文 6）下列叙述中正确的是（）A.若 a , b , cax2bx c≥ 0b24ac≤0”；R ，则“”的充分条件是“B.若 a , b , c R ，则“ab2cb 2”的充要条件是“a c”；C.命题“对任意 x R ，有x2≥0”的否定是“存在x R ，有x2≥0”；D.l 是一条直线，, 是两个不同的平面，若l, l，则∥ .10.（ 2015 湖南文3）设x R ，则“x 1”是“x21”的（）.A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.解析因为由x1可推出 x3 1 ，而由 x31可推出 x 1 ，所以“ x 1 ”是“ x2 1 ”的充要条件.故选C.11.（2015陕西文6）“sin cos”是“ cos20 ”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.解析当sin cos时，cos2cos2sin2cos sin cos sin0 ，即 sin cos cos 20 .当 cos2cos sin cos sin0 时，cos sin0 或cossin0，即 cos20 ?sin cos.故选 A.12.（ 2015 四川文a b 1log2 a log2 b 0”的（） . 4）设a,b为正实数，则“”是“A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.解析由函数y log2 x 在定义域 0,上单调递增，且log 2 10 ，可知“ a b 1”是“ log 2 a log2 b0 ”充要条件.故选A.13.（ 2015 天津文4）设x R 1 < x < 2”是“| x2| 1 ”的（）.，则“A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.解析由x211x 21 1 x 3 ，可知“1 < x < 2 ”是“2|1”的充分而不必要条件.故选 A.| x14.（ 2015 浙江文3）设a，b是实数，则“a b0 ”是“ ab0 ”的（）.A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.解析取 a3， b 2 ，所以 a b0 ?ab0 ；反之取 a 1 ， b 2 ，所以 ab 0 ?a b0 故选D..15.（ 2015 重庆文2）“x1”是“x22x10 ”的（）.A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件15.解析 由题意知， x22x 1 0 x1. 故选 A ．16.（ 2015 安徽文 3）设 p ： x 3， q ： 1 x 3，则 p 是 q 成立的（） .A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件16.解析 因为1,3,3，即 p q ，但是 qq ，所以 p 是 q 的必要不充分条件 .故选 C.评注 充分必要条件的判断 .17.（ 2015 北京文6）设 aa b = a b”是 “a // b ”的（） .， b 是非零向量， “A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件17.解析 由 ab a b cos a , b ，若 a b a b ，则 cos a ,b1，即 a ,b 0 ，因此 a //b .反之，若 a // b ，并不一定推出 a ba b ，而是 a b a b ，原因在于：若 a //b ，则a ,ba b a b”是 “a //b ”的充分而不必要条件 .故选 A.或 π.所以 “18.（ 2015 福建文 12） “对任意 x0, π， k sin x cos x x ”是 “k 1 ”的（） .2A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18.解析 当 k 1 时， k sin x cos xksin 2x ，构造函数 f xksin 2x x ，22则 fx k cos2 x 10 ，故 f x 在 x0, π上单调递减，2故 fxf ππ0 ，则 k sin x cos xx ；2 2当 k1 时，不等式 k sin x cos x x 等价于 1sin 2x x ，1sin 2x 2构造函数 g x x ，则 g x cos2 x 1 0 ，2。

第一章集合与常用逻辑用语【知识网络】
【考情分析】
【备考策略】
1.体会逻辑用语在表述和论证中的作用，学会利用命题的逆否命题的真假来判断原命题的真假，能对一些逻辑推理中的错误进行判断和纠正.要特别注意命题的否定与否命题不是同一个概念，否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，命题的否定只是对原命题的结论进行否定.对含有量词的命题进行否定时，除了把命题的结论否定外，还要注意量词的改变，即全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题.
2.集合的教学要有弹性，要体现不同学生不同层次的要求.比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不要在集合的概念等内容上做文字游戏.。

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在存在一个、至少有一个、有一个、∃34判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”) (1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（×）(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √）(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( √)（4）全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．( ×）(5）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（√）(6)∃x0∈M，p（x0)与∀x∈M，綈p(x）的真假性相反．( √)1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称，则下列判断正确的是( ) A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案C解析函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!＝π，故命题p为假命题;x ＝错误!不是y＝cos x的对称轴,命题q为假命题，故p∧q为假．故选C。

2．已知命题p：对任意x∈R，总有｜x｜≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ）A．p∧（綈q) B．（綈p）∧qC．(綈p)∧(綈q）D．p∧q答案A解析由题意知，命题p为真命题，命题q为假命题,故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．3．（2015·浙江）命题“∀n∈N＊，f（n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是（)A．∀n∈N＊，f（n)∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N＊且f（n0)＞n0D．∃n0∈N＊，f(n0)∉N*或f(n0）＞n0答案D解析写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃，并且否定结论,注意把“且"改为“或"．故选D。

第一章 集合与简易逻辑一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】设集合{}1,2,3,4,5,U =集合{}1,2A =，则u A =ð（ ） （A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅3.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= （ ）(A) (,2]-∞(B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1]4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则A B =（ ）（A ）{0}（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,0,1}-5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U BA =ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设集合{|2},{|41}S x x T x x =>-=-≤≤,则S ∩T=（ ）A 、[-4,+∞）B 、（-2, +∞）C 、[-4,1]D 、(-2,1]8.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N=（ ）（A ）｛-2，-1，0,1｝ （B ）｛-3，-2，-1，0｝（C ）{-2，-1，0} （D ）{-3，-2，-1 }9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知集合{}{}0,1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则（ ）（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,210.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】 设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =（ ）A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂=（ ）（A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,112.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件14.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】集合{1,0,1}-共有 个子集.15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()C A B ⋃⋂=________ 【答案】{}6,8【解析】{}6,8U C A =，(){}6,8U C A B =.【考点定位】本题考查集合的基本运算，考查学生的的逻辑推理能力.二．能力题组16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉17.【2013年全国高考新课标（I ）文科】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ()（A ）｛1,4｝（B ）｛2，3｝（C ）{9，16}（D ）｛1,2}18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若集合{}21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ． 2C ．0D ．0或419.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】“(21)0x x -=”是“0x =”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】若a R ∈，则“0α=”是“s i n c o s αα<”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =ð,{1,2}B =,则U A B =ð（ ）A.{}3B. {}4C. {}3,4D.∅22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为（ ）(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16三．拔高题组24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各 跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】 给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的简单例子，进行转化比较，从而确定答案.26.【2013年全国高考新课标（I ）文科】已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝。

大一轮复习数学（文) 第一章集合与常用逻辑用语1．集合与元素（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＊(或N＋）Z Q R2.关系自然语言符号语言Venn图子集集合A 中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B）A⊆B（或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B（或B A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B3。

集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝A∩B＝{x|x∈A且x∈B｝∁U A＝{x｜x∈U，且x∉A｝4.（1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个,真子集有2n－1个．（2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1){x｜y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y）｜y＝x2＋1}．（×）（2）若{x2，1｝＝{0,1｝，则x＝0，1.( ×）(3）｛x｜x≤1｝＝{t｜t≤1}．( √)（4）对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B）恒成立．（√)（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×）(6)含有n个元素的集合有2n个真子集．( ×)1．（2015·四川)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝｛x|1＜x＜3｝，则A∪B等于( ）A．{x｜－1＜x＜3｝B．{x｜－1＜x＜1}C．｛x｜1＜x＜2｝D．{x｜2＜x＜3}答案A解析借助数轴知A∪B＝{x|－1＜x＜3｝．2．已知集合A＝{x｜x2－x－2≤0},集合B为整数集，则A∩B等于（)A．｛－1，0,1,2} B．{－2,－1，0，1}C．｛0,1} D．｛－1，0｝答案A解析因为A＝｛x|x2－x－2≤0}＝{x｜－1≤x≤2}，又因为集合B 为整数集,所以集合A∩B＝{－1,0,1，2｝，故选A。

第1课时并集和交集课标解读课标要求核心素养1.理解两个集合之间的并集和交集的含义.(重点)2.能求两个集合的并集与交集.(重点、难点)1.借助Venn图培养直观想象的核心素养.2.通过集合并集、交集的运算提升数学运算的核心素养.某班有学生20人,他们的学号分别是1,2,3,…,20,现有a,b两本新书,已知学号是偶数的同学读过新书a,学号是3的倍数的同学读过新书b.问题1:至少读过一本书的有哪些同学?答案至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20的同学.问题2:同时读了a,b两本书的有哪些同学?答案同时读了a,b两本书的有学号为6,12,18的同学.1.并集思考1:“x∈A或x∈B”包含哪几种情况?提示“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A,但x∉B;x∈B,但x∉A;x∈A,且x∈B.用Venn图表示如图所示.思考2:集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和?提示不等于,A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.2.交集特别提醒并集的运算性质:A∪B=B∪A;A∪A=A;A∪⌀=A;A∪B=A⇔B⊆A.交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩⌀=⌀;A∩B=A⇔A⊆B.探究一并集的运算例1 (1)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=()A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}(2)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N=()A.{x|x<-5或x>-3}B.{x|-5<x<5}C.{x|-3<x<5}D.{x|x<-3或x>5}答案(1)D (2)A解析(1)M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,-2},N={x|x2-2x=0,x∈R}={0,2},故M∪N={-2,0,2},故选D.(2)在数轴上表示集合M,N(图略),则M∪N={x|x<-5或x>-3}.思维突破求两个集合的并集的方法(1)两个集合用列举法给出:①依定义,直接观察求并集;②借助Venn图写并集.(2)两个集合用描述法给出:①直接观察,写出并集;②借助数轴,求出并集.1.(1)设集合A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0},则A∪B等于( )A.{-2}B.{-2,3}C.{-1,0,-2}D.{-1,0,-2,3}(2)已知集合A={x|x≥1},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|x≥0}B.{x|x≥1}C. D.答案(1)D (2)B解析(1)因为A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},所以A∪B={-1,0,-2,3}.故选D.(2)因为B={x|2x-3>0}=,所以A∪B={x|x≥1}.故选B.探究二交集的运算例2 (1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}(2)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=()A.{x|x>-1}B.{x|x<2}C.{x|-1<x<2}D.⌀答案(1)A (2)C解析(1)易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},题图中阴影部分表示的集合为A∩B={2},故选A.(2)在数轴上标出集合A,B,如图所示,故A∩B={x|-1<x<2}.思维突破求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可.(2)对于元素个数无限的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍.2.(1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=( )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}(2)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案(1)B (2)A解析(1)由题意可得A∪B={1,2,4,6},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.(2)∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},∴A∩B={x|-2<x<-1},故选A.探究三集合交、并运算的性质及综合应用例3 (易错题)已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∪B=A,试求k 的取值范围.易错辨析:因为⌀是任何集合的子集,所以当作为子集的集合中含有字母时,要考虑该集合是否可以为⌀.解析①当B=⌀,即k+1>2k-1时,k<2,满足A∪B=A.②当B≠⌀时,要使A∪B=A,只需解得2≤k≤.综合①②可知k≤.易错点拨利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点(1)依据:A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.(2)关注点:当集合A⊆B时,若集合A不确定,则运算时要考虑A=⌀的情况,否则易漏解.3.(1)(变条件)把例3中的条件“A∪B=A”改为“A∩B=A”,试求k的取值范围;(2)(变条件)把例3中的条件“A∪B=A”改为“A∪B={x|-3<x≤5}”,求k的值.解析(1)由A∩B=A可知A⊆B,所以即此时k无解,所以k的取值范围是⌀.(2)由题意可知解得k=3,所以k的值为3.1.已知集合A={1,6},B={5,6,8},则A∪B等于( )A.{1,6,5,6,8}B.{1,5,6,8}C.{6,6}D.{6}答案 B 求集合的并集时,要注意集合中元素的互异性.2.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)=0,x∈Z},则A∩B=()A.{1}B.{2}C.{-1,2}D.{1,2,3}答案 B ∵B={x|(x+1)(x-2)=0,x∈Z}={-1,2},A={1,2,3}∴A∩B={2}.3.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=.答案{1,4}解析由题意得,B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}.4.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.答案 5解析并集中重复的元素只能取一个,集合A与B中重复的元素是2,其他不重复,所以A∪B={1,2,3,4,5},共有5个元素.5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7},求:(1)A∪B;(2)C∩B.解析(1)把集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}表示在同一数轴上如图所示:则A∪B={x|2<x<10}.(2)把集合B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7}表示在同一数轴上如图所示:则C∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.数学运算——利用集合运算求参数问题已知集合M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},求实数a的值.审:集合M与集合N交集中的元素为3,即3是两个集合的公共元素,由此可以列出方程求参数a的值.联:当已知两个集合的运算结果求参数的值时,一般要根据集合的运算性质列出方程(组)求解,同时注意验证所求得的参数值是否满足集合中元素的互异性.解:∵M∩N={3},∴3∈M,∴a2-3a-1=3,即a2-3a-4=0,解得a=-1或a=4.当a=-1时,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=4时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意.∴a=4.思:解答此类题目的思路是将集合中的运算结果转化为集合与元素之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到其关系;与不等式有关的集合,可利用数轴得到不同集合之间的关系.若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满足条件的实数x有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴x2=0或x2=2或x2=x,解得x=0或x=或x=-或x=1.经检验,当x=或x=-时满足题意,故选B.1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2}D.{0,1}答案 B2.已知集合A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1},那么A∩B等于( )A.{x∈R|x>1}B.{x∈R|x≤5}C.{2,3,4}D.{x∈R|1<x≤5}答案 D3.已知A,B两个集合分别用圆表示,则集合{x|x∈A,且x∈B}可用阴影表示为( ) 答案 D 集合{x|x∈A,且x∈B}=A∩B,故D正确.4.设集合A={x|x是参加自由泳的运动员},B={x|x是参加蛙泳的运动员},对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为( )A.A∩BB.A⊇BC.A∪BD.A⊆B答案 A5.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.4答案 D ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又A∪B={0,1,2,4,16},∴{a,a2}={4,16},∴a=4.6.满足{1}∪B={1,2}的集合B的个数是.答案 2解析由{1}∪B={1,2},知B={2}或B={1,2},共2个.7.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=.答案{x|-1<x<3}8.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则A∩B=.答案{(0,1),(-1,2)}解析A,B都表示点集,A∩B是由集合A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合,代入验证即可.9.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|2m+1<x<m+7},若A∪B=B,求实数m的取值范围.解析因为A∪B=B,所以A⊆B,所以解得-4≤m≤-,故实数m的取值范围为.10.(多选)已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值为( )A.0B.1C. D.2答案ABC 当m=0时,B=⌀,A∩B=B;当m≠0时,x=,若A∩B=B,则=1或=2,即m=1或m=.11.已知集合A={-2,3,4,6},集合B={3,a,a2},若B⊆A,则实数a= ;若A∩B={3,4},则实数a= .答案-2;2或4解析∵集合A={-2,3,4,6},集合B={3,a,a2},B⊆A,∴a=-2.∵A∩B={3,4},∴a=4或a2=4,∴a=2,a=-2(舍去)或a=4.12.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}.已知集合A={x|0<x<2},B={y|y≥0},则A⊗B= .答案{0}∪{x|x≥2}13.设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则使A⊆(A∩B)成立的a的取值集合为.答案{a|a≤9}解析由A⊆(A∩B)得A⊆B,则①当A=⌀时,2a+1>3a-5,解得a<6,满足条件.②当A≠⌀时,解得6≤a≤9.综合①②可知,使A⊆(A∩B)成立的a的取值集合为{a|a≤9}.14.已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=⌀,求实数a的取值范围. 解析①若A=⌀,则2a>a+3,解得a>3;②若A≠⌀,如图:∴解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是.15.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在实数a使A,B同时满足下列三个条件:(1)A≠B;(2)A∪B=B;(3)⌀⫋(A∩B).若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解析假设存在a使得A,B同时满足条件.由题意得B={2,3},∵A∪B=B,∴A⊆B,即A=B或A⫋B.由条件(1)A≠B,可知A⫋B.又∵⌀⫋(A∩B),∴A≠⌀,即A={2}或{3}.当A={2}时,a2-2a-15=0,即a=-3或a=5.经检验:当a=-3时,A={2,-5},与A={2}矛盾,舍去;当a=5时,A={2,3},与A={2}矛盾,舍去.当A={3}时,a2-3a-10=0,即a=5或a=-2.经检验:当a=-2时,A={3,-5},与A={3}矛盾,舍去;当a=5时,A={2,3},与A={3}矛盾,舍去.综上所述,不存在实数a使得A,B同时满足条件.。

1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；（2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q,但q p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件;（4)如果q⇒p，且p q，则p是q的必要不充分条件；（5)如果p q，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（×)(2）命题“α＝错误!,则tan α＝1”的否命题是“若α＝错误!，则tan α≠1"．（×）（3）若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．（√) (4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（√)(5）当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立．( √）（6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件．（√）1．（2015·山东）若m∈R，命题“若m〉0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根,则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案D解析原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝（1，x ）与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2）＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2。

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。

山东省13市2017届高三最新考试数学文试题分类汇编集合与常用逻辑用语2017.03一、集合 1、（滨州市2017届高三上期末）设集合{}02A x x =≤≤，{}21B x x =>，则集合A B =I （ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x x ><-或C ．{}12x x <≤D ．{}02x x <≤2、（德州市2017届高三第一次模拟考试）设集合{}2|230A x x x =--<，{}|ln(2)B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|32x x -<<D ．{}|12x x << 3、（菏泽市2017年高考一模）若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={x |lg （x +1）＞0}，则A ∩B 等于（ ）A ．{﹣1，0，1，2}B ．{﹣1，﹣2}C ．{1，2}D ．{0，1，2}4、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合()U N M =I ð（ ）A ．{}2B ．{}1,3C ．{}2,5D ．{}4,55、（聊城市2017届高三上期末）设集合，{0,1,2,3,4,5}{0,1,3}{1,2,5}U A B ===，，，则()U C A B =∩（ ）A.{2,4,5}B.{1,2,4,5}C.{2,5}D.{0,2,3,4,5}6、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））若集合{}0A x x =≥，且A B B =I ，则集合B 可能是（A ）{}2x x ≥ （B ）{}1x x ≤ （C ）{}1x x ≥-（D ）R 7、（青岛市2017年高三统一质量检测）设全集2I {|9Z}x x x =<∈，，{12}A =，，{2,1,2}B =--，则 I ()A B =U ðA ．{1}B ．{1,2}C ．{2}D ．{0,1,2}8、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）已知集合{}{}0,1,2,11,M N x x x Z ==-≤≤∈，则M ∩N 为(A)()0,1 (B) []0,1 (C) {}0,1 (D) ∅9、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））已知集合{}}2230,03A x x x B x x A B =+-<=<<⋂=，则A ．(0，1)B ．(0，3)C ．(－1，1)D ．(－1，3)10、（潍坊市2017届高三下学期第一次模拟）设集合A={}2,x x n n N*=∈，B=122x x ⎧⎫⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A ∩B=A ．{}2B ．{}2,4C ． {}2,3,4D ．{}1,2,3,4 11、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））设集合2{90}A x x =-<，{2}B x x N =∈，则A B I 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612、（枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试）已知集合{}(){}()32,1,log 21,R A x x x B x x A C B =≥≤-=-≤⋂=或则A ．{}1x x <-B ．{}1,2x x x ≤-或＞ C ．{}2,=1x x x ≥-或 D ．{}1,2x x x <-≥或13、（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知集合{}24A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}0C ．{}0,1D ．{}0,1,2参考答案1、C2、B3、C4、D5、C6、A7、D 8、C 9、A 10、B 11、D 12、D13、C二、常用逻辑用语1、（滨州市2017届高三上期末）下列说法中，不正确的是（ ）A ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件B ．命题p ：0n N ∃∈，021000n >，则:p n N ⌝∀∈，21000n ≤C.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题“若()0x ∀∈+∞，，则23x x <”是真命题2、（德州市2017届高三第一次模拟考试）“22ac bc >”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、（菏泽市2017年高考一模）“m ＞1“是“函数f （x ）=3x +m ﹣3在区间1，+∞）无零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））设a R ∈，“，，16为等比数列”是“4a =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、（聊城市2017届高三上期末）已知,αβ是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））已知命题:(,0),23;x x P x ∃∈-∞＜命题:(0,),sin 1,q x x π∀∈≤则下列命题为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ∨⌝ (C) ()p q ∧⌝ (D) ()p q ⌝∧ 7、（青岛市2017年高三统一质量检测）已知R λ∈,向量()()3,,1,2a b λλ==-r r ，则“35λ=”是“a b ⊥r r ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）“()2log 231x -<”是“32x >”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 9、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））以下命题①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件②命题“若23201x x x -+==，则”的逆否命题为“若21320x x x ≠-+≠，则” ③对于命题2:0,10p x x x ∃>++<使得，则2:010p x x x ⌝∀≤++≥，均有④若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题其中正确命题的序号为 ▲ (把所有正确命题的序号都填上)10、（潍坊市2017届高三下学期第一次模拟）已知命题p ：对任意x ∈R ，总有22x x >；q ：“1ab >”是“a >l ，b >l ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝11、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））设0,a b R <∈，则“a b <”是“a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12、（枣庄市2017届高三下学期第一次模拟考试）已知R a ∈，则“0＜a ”是“函数()()()01，在∞-+=ax x x f 上是减函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要13、（淄博市2017届高三3月模拟考试）下列命题为真命题的是（ ）.A ．若0x y >>，则ln ln 0x y +>B ．“4πϕ=”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x <成立D ．已知两个平面,αβ，若两条异面直线,m n 满足,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，则//αβ参考答案1、B2、A3、A4、B5、A6、D7、C 8、A 9、①②④ 10、D 11、B 12、A13、D。

《新哥考高中致学核心知识点全逐谢》专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）提纲挈领______ 集甘问的基本烁隼合T 隼∙⅛的甚本运篇⅛⅛rf ⅛y∣^≡点点突破热门考点01集合的基本概念元素与集合（1） 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.（2） 集合与元素的关系：若 a 属于集合A,记作a A ；若b 不属于集合 A 记作b A . （3） 集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法. （4） 常见数集及其符号表示【典例1】集合M 是由大于 2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（）.A. .5 MB. 0 MC. 1 MD. - M2【典例2】（全国高考真题（文））已知集合 -「「- •-, 则集合二-上中的元素个数为（）A. 5B. 4【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时, 常弔逻⅞g 用语左妄衆牛全箭暹迴⅛E ⅛r ½≡i^命鋼酝C. 3D. 2要注意检验集合是否满足元素的互异性.2 •集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意•分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.热门考点02集合间的基本关系集合间的基本关系(1)子集：对于两个集合A与B如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也说集合A是集合B的子集.记为A B或B A •(2)真子集：对于两个集合A与B,如果A B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集•记为A B •(3)空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.(4)若一个集合含有n个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为2n 1 •【典例3】(2019 •济南市历城第二中学高一月考)集合AXX24,x R ,集合B X kx 4, X R ,若B A ,则实数k ________________ .【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.热门考点03集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示)三种运算的常见性质AUB BUA .C U (AI B) C U AUC U B .2【典例4】(2018 •全国高考真题(理))已知集合A XX x 2 0 ,则ΘR A ()A. X 1 X 2 B . X 1 X 2C. X | X 1 X x)2D. X | X 1 X | X 2【典例5】(2019 •北京高考真题(文))已知集合 A ={X ∣ - 1<X <2} , B ={X ∣ X >1},贝U A∪ B = ( )A. (- 1, 1)B. (1 , 2)C. (- 1 , +∞)D. (1, +∞)2【典例6](2017∙江苏高考真题) 已知集合A 1,2 , B a,a 3 ,若A B={1}则实数a 的值为 __________【典例7】已知集合 A= {x | — 3≤ X ≤4}, B= {x |2m n 1<x <rn^ 1},且A ∩ B= B,则实数 m 的取值范围为()B. [ —1,3] D. [ — 1 , +∞)【总结提升】Al A A , Al AIB BI A , AUA A , AU A ,C U (C U A)A , C U UC U U .AIBA A B , AUB AC U (AU B) C U AI C U B ,A. [ — 1,2) C. [2 , +∞)1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点:(1)看元素组成•集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提•(2)对集合化简•有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.(3)注意数形结合思想的应用•集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.2 •根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况.热门考点04集合中的“新定义”问题【典例8】(2015 •湖北高考真题(理))已知集合ETd.:门冷V卜沪Y二m 滸-■" .< . J . J 1 .. - ,定义集合必帶蛊=ftr ll+Λ⅛√⅛+3⅛l∣α⅛yι)亡岀CX lJ y a) e B],则A^B中元素的个数为( )A. 77 B •49 C •45 D •30【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键•在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.热门考点05充分必要条件问题(1)若p? q,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；(2)若p? q,且q? p,则P是q的充分不必要条件；(3)若p? q且q? p,则P是q的必要不充分条件；(4)若p? q,则P是q的充要条件；(5)若pH q且q?/ p,则P是q的既不充分也不必要条件.【典例9】(2015 •湖南高考真题(理))设-一，三是两个集合，则“-5 =”是“轨二「” 的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C充要条件 D .既不充分也不必要条件【典例10】已知 P={x∣ —2≤ X≤ 10},非空集合 S= {x∣1 —m≤ x≤ 1+ π}.若x∈ P是x∈ S 的必要条件，贝U m的取值范围为.【总结提升】1•充要关系的几种判断方法(1)定义法：若P q,q P ,则P是q的充分而不必要条件；若P q,q P , 则P是q的必要而不充分条件；若P q,q P ,则P是q的充要条件；若P q,q P ,则P是q的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用P q与q P ；q P与P q ；P q与q P的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题P的集合为M ,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于P是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于P是q的必要不充分条件，M=N等价于P和q互为充要条件，M , N不存在相互包含关系等价于P 既不是q的充分条件也不是q 的必要条件2 .把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“ P是q的……”还是“ P的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；⑶灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“？”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断.3.根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误.热门考点06全称量词与存在量词1.全称量词与全称命题(1)短语所有的”任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.(3)全称命题对M中任意一个X,有P(X)成立”可用符号简记为任意X属于M ,有P(X)成立”.2.存在量词与特称命题(1)短语存在一个”至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3)特称命题存在M中的一个x o,使p(X0)成立”可用符号简记为X0M , P(X0),读作存在M中的元素X0,使p(X0)成立”3.全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)“p或q ”的否定为：非P且非q ”；“p且q ”的否定为：非P或非q(3)含有一个量词的命题的否定【典例11】(湖南咼考真题) 下列命题中的假命题是( )A. X R, 2X 1 0B. X 2N , X 1 0C. X R, Ig X 1D. X R , tan X 2【典例12】(2015 •全国咼考真题(理))设命题P : n N,n 2n,则P的否定为( )A. n N,n22n 2B. n N,n 2nC. n N,n22n2 D. n N,n 2n【总结提升】X M , P(X),读作对1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素X,证明P(X)成立;(2) 要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 不成立即可.2. 特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 立即可，否则这一特称命题就是假命题.3. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总4•常见词语的否定形式有:1.命题的否定与否命题的区别： “否命题”是对原命题“若P ,则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论； “命题的否定”即“非 P ”，只是 否定命题P 的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的， 即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.2•弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提. 3.注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进 行否定.巩固提升命题 P : X o R , f X o 2 ,则 P 为(A . X R , f X 2B . X R , f X 2C . X o R , f X 2D .X o R , f X 23. (2018 •全国高考真题(文))已知集合A {x∣x 12. (2oi8 •全国高考真题(文))已知集合A1,3,5,7 , B 234,5 ,则 AI B (A. 3B. 5C. 3,5D.1,2,3,4,5,7M 中的一个特殊值 X = X o ,使P(X o )M 中，找到一个X = X o ,使p(x o )成1. (2018贵州凯里一中模拟) 0}, B {0,1,2},则 AI B (A. {0}B.{1} C.{1,2}D∙{0,1,2}4. （2015 •安徽高考真题（文））设P: x<3 , q: -1<x<3 ,则P是q成立的（A. 充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5. 2（2019∙全国高三月考（理））集合A x|x （X 1）0的子集个数是（A.1B.2C.4D.86 . （2017 •北京高考真题（文））已知全集U,集合A {x| X 2},则e u AA. (2,2)B. ,2) U(2,C . [2,2] D. 2]U[2,7. （2019 •新余市第六中学高一期中）设集合,Z为整数集，则集合AI Z中的元素的个数是（A.4B.5C.6D.78.（全国高考真题（理））已知集合A 1,3八帚,B 1,m ,若AA. 0 或3B. 0 或3 C. 1 或3 D.1 或39.（上海高考真题）设常数a∈ R集合A={x| (X - 1)( X- a )≥ 0}, B={x∣x ≥ a—1},若A∪ B=R则a的取值范围为A. (-∞ , 2) B. -∞ , 2] C. (2 ,+∞)D.[2,+∞)10. （2019 •江苏高考真题）已知集合{ 1,0,1,6}X x) 0,XR ,则 A B11. （2017 •江苏高考真题）已知集合1,2 , B 2a,aB={1}则实数a的值为12.给出下列命题:(1) X R , X20 ；2) X R, X2 1 0 ；3)a e R Q ,b C R Q ,使得a b Q.其中真命题的个数为13. （2019 •山西高一期中）已知集合 M 满足1,2 M 的个数为 ______________设集合A, B 是非空集合，定义A B{x∣x Ak A ,如果k 1 A , k 1 A ,那么k 是A1,2,3,4,5 ,则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有 _______ 个.件，贝U m 的取值范围为 _________专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）提纲挈领東合问口基本关表feA 日隼合的s^⅛w集合与常用逻辑用语（1） 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.（2） 集合与元素的关系：若 a 属于集合A,记作a A ；若b 不属于集合 代记作b A .且X 锨A B},已知A x 2 x 5 , BX X 3 ,贝y A B = __________16.已知命题p ：X 2X 10 0,命题q ： 1m ≤<≤ 1+ m ,m >0,若q 是P 的必要而不充分条 1,2,3,4,5 ,那么这样的集合14.（ 2019 •新余市第六中学高一期中）15.设A 是整数集的一个非空子集，对于的一个"孤立元”，给定 A 《中数学核心∕JΓ⅜R 点Γ左荽来牛全雄司锂屛锤词制题的苦走（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法.（4）常见数集及其符号表示【典例1】集合M是由大于 2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（）.A. 5 MB. 0 MC.1 MD. π M2【答案】D【解析】由题意，集合M 是由大于 2且小于1的实数构成的，即M {x∣ 2 X 1}, 由/5 1 ,故二 5 M ;由2 0 1 ,故O M ;由1不小于1, 故1 M ;由2 π 1,π故M .2 2故选D.【典例2】（全国高考真题（文））已知集合: - -■ - ■, 则集合Xi门时中的元素个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】由已知得二-三中的元素均为偶数，应为取偶数，故㈱磁,故选D.【特别提醒】1•利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.2 .集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.热门考点02集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A 包含于集合B,或集合B 包含集合A ,也说集合A 是集合B 的子集.记为A B 或A,则称集合A 是集合B 的真子集•记为 A B . (3)空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.(4) 若一个集合含有 n 个元素，则子集个数为 2n个，真子集个数为 2n1 .【典例3】(2019 •济南市历城第二中学高一月考)集合B X kx 4, X R ,若BA ,则实数k【答案】0,2, 2【解析】A X x 2 4, x R 2,2 .因为B A ,所以 B ,B 2 ,B2 ,B2,2 .当B 时,这时说明方程 kx 4无实根，所以k 0；当B 2时,这时说明2是方程kx 4的实根，故2k 4 k 2 ； 当B 2时，这时说明 2是方程kx 4的实根，故2k 4 k 2 ； 因为方程kx 4最多有一个实数根，故B ={-2,2}不可能成立 故答案为：0,2, 2 【特别提醒】(1) 判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.(2) 要确定非空集合 A 的子集的个数，需先确定集合 A 中的元素的个数，再求解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.(3) 根据集合间的关系求参数值 (或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关 系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造(2) 真子集：对于两个集合 A 与B ,如果AB,且集合B 中至少有一个元素不属于集合2A XX 4,x R ,集合成漏解∙热门考点03集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示()三种运算的常见性质AlA A，Al ，AIB BlA，AUA A，AU A，AUB BUA∙C U(C U A) A , C U U , C U U ∙AIBA A B , AUB A B A, C U(AU B) C U AI C U B,C U(AI B) C U AUC U B ∙【典例4】（2018 •全国咼考真题（理））已知集合 A X 2X x 2 0 ,则e R AA. x 1 x 2B. X 1 X 2C. X | X 1 X x) 2D. X | X 1 x|x 2【答案】B【解析】解不等式χ2 X 2 0得X .. 1或X 2 ,所以A x|x 1或X 2 ,所以可以求得C R A x| 1 X 2 ,故选B.【典例5】（2019 •北京高考真题（文））已知集合 A={X∣ - 1<X<2} , B={x∣ x>1},贝U A∪ B=A. (- 1, 1)B. (1 , 2)C. (- 1 , +∞)D. (1, +∞)【答案】C【解析】•••τ m m心-丄>:I_ - ，故选C.【典例6](2017∙江苏高考真题) 已知集合A 1,2 , B a,a2 3 ,若A B={1}则实数a的值为_________【答案】1【解析】由题意1 B ,显然a2 3 3 ,所以a 1 ,此时a2 3 4 ,满足题意，故答案为1.【典例7】已知集合 A= {x∣ —3≤ X≤4}, B= {x∣2mκ 1<x<m^ 1},且A∩ B= B,则实数 m的取值范围为( )A. [ —1,2)B. [ —1,3]C. [2 , +∞)D. [ —1 , +∞)【答案】D【解析】A= {x∣ —3≤ X≤4}.又A∩ B= B,所以B? A①当B= ?时, 有m+1≤2 m— 1,解得m≥ 2;3 2m 1②当B≠ ?时, 有m 1 42m 1 m 1解得—1≤ m≤ 2.综上，m的取值范围为［—1, +∞).【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)对集合化简•有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决.(3)注意数形结合思想的应用•集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.2 •根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况.热门考点04集合中的“新定义”问题【典例8】(2015 •湖北高考真题(理))已知集合•点 m 诃Y令沪Y二G ∏］-■.■- ■ . - ■.1定义集合［一- 一一一.一 _ . - . . - " , 啊牌屈中元素的个数为( )A. 77 B •49 C •45 D •30【答案】C【解析】因为集合_ - i ,所以集合中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点，集合"；-' -' -「I中有25个元素(即25个点)：即图中正方形上--中的整点，集合:■［一- 一一-.一 - . - . . - ■的元素可看作正方形H ■中的整点(除去四个顶点)，即■ --1■ 个.【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键•在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.热门考点05充分必要条件问题(1)若p? q,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；(2)若p? q,且q? p,则P是q的充分不必要条件；(3)若p? q且q? p,则P是q的必要不充分条件；(4)若p? q,则P是q的充要条件；(5)若p? q且q?/ p,则P是q的既不充分也不必要条件.【典例9】(2015 •湖南高考真题(理))设-一，三是两个集合，则3二.J'是“轨二-” 的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若-5 =：,对任意'≡ --,则' ,又,^「三三，所以二匸5 ,充分性得证，若,则对任意-∈ ,有■- ∈ ",从而∈",反之若∈ - ,^「「，因此--'二=,必要性得证，因此应选充分必要条件.故选 C【典例10】已知 P={x∣ —2≤ X≤ 10},非空集合 S= {x∣1 —m≤ x≤ 1+ π}.若x∈ P是x∈ S 的必要条件，贝U m的取值范围为.【答案】[0,3]【解析】由X ∈ P是X ∈ S的必要条件，知 S?P.1m1m则1 m 2 ，所以0≤m≤3.1 m 10所以当0≤ m≤3时，x∈ P是x∈ S的必要条件，即所求 m的取值范围是[0,3].【总结提升】1.充要关系的几种判断方法(1)定义法：若Pq,q P ,则P是q的充分而不必要条件；若P q,q P , 则P是q的必要而不充分条件；若P q,q P ,则P是q的充要条件；若P q,q P ,则P是q的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用P q与q P ；q P与P q ；P q与q P的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题P的集合为M ,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于P是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于P是q的必要不充分条件，M=N等价于P和q互为充要条件，M , N不存在相互包含关系等价于P 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的 3 个方面(1)准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“ P是q的……”还是“ P的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“? ”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．3. 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．热门考点06 全称量词与存在量词1 ．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.(3)全称命题对M中任意一个X,有P(X)成立”可用符号简记为X M , P(X),读作对任意X属于M，有P(X)成立”.2.存在量词与特称命题(1)短语存在一个”至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3)特称命题存在M中的一个X o,使p(X o)成立”可用符号简记为X o M , P(X o),读作存在M中的元素χo,使p(X o)成立”3.全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)“p或q ”的否定为：非P且非q ”；“p且q ”的否定为：非P或非q(3)含有一个量词的命题的否定【典11】(湖南咼考真题) 下列命题中的假命题是( )例A. X R, 2χ 1 OB. X 2N , X 1 OC. X R, Ig X 1D. X R , tan X 2【答案】B【解析】当X=1时，(X-1 ) 2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选 B.【典例121(2015 •全国咼考真题(理))设命题P : n N , n22n,则P的否定为()A. n N, n22nB. n N, n2 2nC. n N,n22nD. n N, n2 2n【答C案】【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题一二的否命题应该为n N,n2≤ 2n,即本题的正确选项为C.【总结提升】1全称命题真假的判断方法(1) 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 立；(2) 要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 不成立即可.2. 特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 立即可，否则这一特称命题就是假命题.3. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总4•常见词语的否定形式有:1•命题的否定与否命题的区别： “否命题”是对原命题“若P ,则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论； “命题的否定”即“非 P ”，只是 否定命题P 的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的， 即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.2•弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提. 3.注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进 行否定.巩固提升X 2 B . X R , f X 2C .X o R , f X 2 D . X o R , f X 2M 中的每一个元素X ,证明P(X)成M 中的一个特殊值 X = X o ,使p(x o )M 中，找到一个X = X o ,使p(x o )成1. (2018贵州凯里一中模拟)命题P : X 0 R , X o 2 ,则 P 为(【答案】A2.（2018 •全国高考真题（文））已知集合A 1,3,5,7 , B 2,3,4,5 ,则AI B （）A. 3B. 5【答案】C 【解析】Q A 1,3,5,7 ,B 2,3,4,5 , A B 3,5 ,故选C3. （2018 •全国高考真题（文））已知集合A. {0}B. {1}【答案】C 【解析】 由集合A 得X 1 , 所以A B 1,2 故答案选C.4. （2015 •安徽高考真题（文））设P : A.充分必要条件 C. 必要不充分条件【答案】C 【解析】∙.∙ P: X 3 , q : 1 X 3 ∙∙∙ qP 选C.5. （2019 •全国高三月考（理））集合 A.1B.2【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为:x R, f x 2 ,故选 A •C. 3,5D.A {x∣x 10} ,B {0,1,2} ,则 AI B ()C. {1,2}D. {0,1,2}x<3, q : -1<x<3 ,则 P 是 q 成立的（）B. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件但二=,∙ P 是q 成立的必要不充分条件，故2A XlX （X 1）0的子集个数是（）C.4 D.8【答案】C 【解析】因为 A {0,1}, 所以其子集个数是224.故选：C.( )A. ( 2,2) C [ 2,2]【答案】C【解析】因为A {x X 2 或 X 2},所以 e j A X2 X 2，故选：C 7. （2019 •新余市第六中学高一期中）设集合A X3 9—X — , Z 为整数集，则集合2 2AI Z 中的元素的个数是（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】3 9A Z {x| 2 X 2}Z { 1,0,1,2,3,4},共 6 个元素.故选：C.8.(全国高考真题(理))已知集合A 1,3, = m ,B 1,m ,若A B A ,则m ( )A. 0 或.3B. 0 或 3C. 1 或 .3D.1 或 3【答案】B 【解析】因为A B A ,所以B A ,所以m 3或m .m .若 m 3 ,则 A {1,3, ∙.3}, B {1,3},满足 A B A .若 m . m ，解得 m 0或 m 1.若 m 0，则 A {1,3,0}, B {1,3,0}，满足A B A .若m 1，A {1,3,1}, B {1,1}显然不成立，综上 m O 或m 3,选B.6. （2017 •北京高考真题（文））已知全集U R ，集合 A {x| X2或X 2},则 e u AB .( ,2) U (2, )D.(,2] U [2, )9•(上海高考真题)设常数a∈ R 集合A={x∣ (X - 1)( X- a)≥ 0}, B={x∣x ≥ a- 1},若AU B=R 则a的取值范围为（）A. （-∞' 2）B. （-∞' 2]C. （2，+∞）D.[2，+∞）【答案】B【解析】当一：—时，.：=上，此时…二-5.成立，当-:时，-.一一一 .，当JIJ J S=R 时，,即（1:2],当时，旦二[1；+K）Uii工卫],当JU-S 时，Q-L≤d恒成立，所以a的取值范围为（一龙,故选B.10. （2019 •江苏高考真题）已知集合 A { 1,0,1,6} , B xx）θ,x R ,则A B【答案】{1,6}.【解析】由题知，A B {1,6}.211.（2017 •江苏高考真题）已知集合A 1,2 , B a,a 3 ,若A B={1}贝y实数a的值为________【答案】1【解析】由题意1 B ,显然a2 3 3 ,所以a 1 ,此时a2 3 4 ,满足题意，故答案为1.12.给出下列命题：（1）X R , x2 0 ；（2）X R ,x2 X 1 0 ；3） a e R Q, b e R Q,使得a b Q .其中真命题的个数为_______ .【答案】1【解析】对于（1）,当X 0时，X20 , 所以(1) 是假命题；对于(2), X2 X 11 2X3 30 ,所以（2）是假命题;2 4 4对于（3）,当a 2 J2，b 3 J2时，a b 5，所以（3）是真命题.所以共有1个真命题，故填：1.13.（2019 •山西高一期中）已知集合 M满足1,2 M1,2,3,4,5 ,那么这样的集合M的个数为 ______________ .【答案】7【解析】用列举法可知M= {1,2} ,{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,2,5} , {1,2,3,4} ,{1,2,3,5} ,{1,2,4,5}共7个.故答案为：7.14.（2019 •新余市第六中学高一期中）设集合A l B是非空集合，定义A B {x∣x A B且X锨A B},已知A x 2 x 5 , B XX 3 ,则A B= ___________________________ .【答案】{x∣3 X 5或x? 2}【解析】如图所示：---------------------- Ii-------------------- H--------------------------- 1--- .TA B XX 5 ,A B x 2 x 3因为A B XX A B且X A B ,所以A B x3 x 5或X 2 .故答案为：x3 X 5或X 2 .15.设A是整数集的一个非空子集，对于k A ,如果k 1 A, k 1 A ,那么k是A的一个"孤立元”，给定A 1,2,3,4,5 ,则A的所有子集中，只有一个"孤立元”的集合共有个.【答案】13 【解析】由题意可知，含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：①只有一个元素，即1,2,3,4,5 ,符合题意；②有2个元素，则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有1,2,4 , 1,2,5 , 1,3,4 , 1,4,5 , 2,3,5 ,2,4,5④有4个元素时，有1,2,3,5 , 1,3,4,5 ,综上，共13个. 故答案为：13X 16.已知命题p ：2 0.,命题q ： 1 - m≤<≤l+ m, m> 0,若q 是P 的必要而不充分条X 10 0件，贝U m 的取值范围为【答案】［9 ,+∞)【解析】命题B -2≤r≤l 们由W 屋戸的必要不充滴件Mb {r∣-2≤x<10}C{χi -,n ≤χ≤i + ^⅛>0或* I - MrC — 2J + w>lCW!>0 1 —症一2二附弐，即旳的取值范围是［4 ÷x -),。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重点知识点大全单选题1、已知集合A={1，2，3，5，7，11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：B分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B={5,7,11}，故A∩B中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.5、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．3答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案. 对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C6、在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A．{x|x≤−3或x≥3}B．{x|−3≤x≤3}C．{x|x≤−3}D．{x|x≥3}答案：B分析：在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．由题意，满足|x|≤3的集合，可得：{x|−3≤x≤3}，故选：B7、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4答案：B分析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.由A∪B={−2,−1,0,4,16}知，{a 2=4a4=16，解得a=±2故选：B8、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.故选：B.多选题9、下列选项正确的是（）A ．√7∈RB ．Z ∈QC ．0∈∅D ．∅⊆{0}答案：AD分析：根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及空集的概念进行判断即可.A ．√7是无理数，无理数属于实数，所以√7∈R ，故正确；B ．因为Z,Q 都是集合，所以不能用∈表示两者关系，故错误；C ．因为∅不包含任何元素，所以0∉∅，故错误；D ．因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故正确；故选：AD.10、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0}, A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13， 综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．填空题12、设集合S ={A 0,A 1,A 2,A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i +j 被4除的余数，i ，j =0，1，2，3，则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为________.答案：2解析：由已知中集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i +j 被4除的余数，i ，j =0，1，2，3，分别分析x 取A 0，A 1，A 2，A 3时，式子的值，并与A 0进行比照，即可得到答案． 当x =A 0时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 0⊕A 0)⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2≠A 0当x =A 1时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 1⊕A 1)⊕A 2=A 2⊕A 2=A 4=A 0当x =A 2时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 2⊕A 2)⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2≠A 0当x =A 3时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 3⊕A 3)⊕A 2=A 2⊕A 2=A 0=A 0则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为：2个．所以答案是：2．小提示：本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对x 取值进行分类讨论是解答本题的关键.属于中档题.13、已知A ＝{x ∈R|2a ≤x ≤a ＋3},B ＝{x ∈R|x <－1或x >4}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 答案：a <－4或a >2分析：按集合A 为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a 的取值范围.①当a >3即2a >a ＋3时，A ＝∅，满足A ⊆B ；.②当a ≤3即2a ≤a ＋3时，若A ⊆B ，则有{2a ≤a +3a +3<−1或2a >4，解得a <－4或2<a ≤3 综上，实数a 的取值范围是a <－4或a >2.所以答案是：a <－4或a >214、命题p:∀x >2,2x −3>0的否定是___________.答案：∃x >2,2x −3≤0分析：将全称命题否定为特称命题即可命题p:∀x >2,2x −3>0的否定是∃x >2,2x −3≤0，所以答案是：∃x >2,2x −3≤0解答题15、已知集合A ={x |1≤x ≤3 }，B ={x |a −4≤x ≤a −1 }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.答案：[4,5]分析：根据给定条件可得AB ，再借助集合的包含关系列式计算作答.因“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，于是得AB ，而集合A ={x |1≤x ≤3 }，B ={x |a −4≤x ≤a −1 }，因此，{a −4<1a −1≥3 或{a −4≤1a −1>3，解得4≤a <5或4<a ≤5，即有4≤a ≤5， 所以实数a 的取值范围为[4,5].。

2013届高考数学集合与常用逻辑用语精品教案――集合与简易逻辑一、本章知识结构：二、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一类讨论例1、下面四个命题正确的是（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}（C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。

例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2m}．若B⊆A，则实数m＝．解：由B⊆A，且2m不可能等于－1，可知2m＝2m－1，解得：m＝1。

考点2、集合的运算1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。

3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。

例3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A⋂B等于（）(A) {x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2}(C)｛x|x>－3｝(D) ｛x|x<1｝图解：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝｛x|x<1｝，集合A和集合B在数轴上表示如图1所示，A⋂B是指集合A和集合B的公共部分，故选（A）。

例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭图数为( )A. 60B. 70C. 80D. 90 解：画出Venn图，如图2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80.故选（C）。

专题01集合与常用逻辑用语1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】由已知得{}1,6,7U A =ð， 所以U BA =ð{6,7}.故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅【答案】C【解析】由题知，(1,2)A B =-. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019年高考北京文数】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1） B ．（1，2） C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=>， ∴(1,)AB =-+∞.故选C.【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.5．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =-ð.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6．【2019年高考天津文数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4 【答案】D 【解析】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．7．【2019年高考天津文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“05x <<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围. 8．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.10．【2019年高考北京文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()()f x f x -=对任意的x 恒成立，由()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得cos sin cos sin x b x x b x +=-， 则sin 0b x =对任意的x 恒成立， 从而0b =.故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.11．【2018年高考浙江】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ðA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C 【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得.故选C ．【名师点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】,. 故选C.【名师点睛】集合题是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则AB =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】易得集合{|1}A x x =≥,所以{}1,2A B =.故选C.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.15．【2018年高考北京文数】已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则AB =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}【答案】A 【解析】因此A B =.故选A.【名师点睛】解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.16．【2018年高考天津文数】设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}【答案】C【解析】由并集的定义可得：， 结合交集的定义可知：.故选C.【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力. 17．【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行， 所以是的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 18．【2018年高考天津文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式可得， 求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【2018年高考北京文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件； 当成等比数列时，则，所以是必要条件. 综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件.故选B.【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <， 所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<.故选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 21．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =.故选A.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 22．【2017年高考北京文数】已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ðA ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】C【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22U A x x =-≤≤ð. 故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.23．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合A ={1,2,3,4}，B ={2,4,6,8}，则AB 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得{}2,4A B =，故AB 中元素的个数为2.所以选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 24．【2017年高考天津文数】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}【答案】B【解析】由题意可得{}1,2,4,6A B =，所以{}()1,2,4A B C =．故选B ．【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．25．【2017年高考浙江】已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么PQ =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2) 【答案】A【解析】利用数轴，取,P Q 中的所有元素，得P Q =(1,2)-．故选A.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．26．【2017年高考山东文数】设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,2【答案】C【解析】由|1|1x -<得02x <<, 故={|02}{|2}{|02}M N x x x x x x <<<=<<.故选C.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图．27．【2017年高考浙江】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=， 可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>， 反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充分必要条件. 故选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．28．【2017年高考北京文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒， 那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的知识及充分必要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件.29．【2017年高考山东文数】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】由0x =时，210x x -+≥成立知p 是真命题；由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题.故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．30．【2017年高考天津文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤， 因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件.故选B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若,/p q q p ⇒⇒，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若p q ⇔，那么p 是q 的充要条件，若,//p q q p ⇒⇒，那那么p 是q 的既不充分也不必要条件； ②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若:p x A ∈，:q x B ∈，若A 是B 的真子集，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若A B =，那么p 是q 的充要条件，若没有包含关系，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断．31．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB =▲. 【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.32．【2018年高考江苏】已知集合，，那么________．【答案】{1，8} 【解析】由题设和交集的定义可知：. 【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.33．【2017年高考江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意.故答案为1．【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．34．【2018年高考北京文数】能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可， 只需取即可满足， 所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）. 【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.35．【2017年高考北京文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．。

新编高考数学分类总复习全书第1章集合与常用逻辑用语一、点在纲上，源在本里一、选择题1．(必修1 P 11练习T 4改编)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，4，5}，B ＝{1，3，5，7}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，3，5，6，7}B ．{1，3，7}C ．{5}D ．{3，5，7}解析：选B.(∁U A )∩B ＝{1，3，6，7}∩{1，3，5，7}＝{1，3，7}．2．(必修1 P 12A 组T 3(3)改编)设A ＝{x ∈Z |－3<2x －1≤3}，B ＝{x |3x ≥4－2x }，则A ∩B ＝( )A ．{1，2}B ．{2}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪45≤x ≤2 D ．{0，1}解析：选A.A ＝{x ∈Z |－1<x ≤2}＝{0，1，2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥45，所以A ∩B ＝{1，2}． 3．(必修1 P 8例5改编)设集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |－1<x <3} B ．A ∪B ＝{x |1<x <2} C ．(∁R A )∩B ＝{x |2≤x <3} D ．A ⊆B解析：选C.因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}，A ∪B ＝{x |－1<x <3}．(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |1<x <3}＝{x |2≤x ＜3}．A 与B 无包含关系．故选C. 4．(必修1 P 11练习T 2改编)设A ＝{x |x 2－4x －5<0}，B ＝{x |x 2<4}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，2) B ．(－2，5) C ．(2，5)D ．(－2，－1)解析：选B.A ＝{x |－1<x <5}， B ＝{x |－2<x <2}， 所以A ∪B ＝{x |－2<x <5}．5．(必修1 P 83B 组T 1改编)设集合A ＝{y |y ＝log 2(|sin x |＋1)，x ∈R }，B ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈R }，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[0，1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D.因为|sin x |＋1∈[1，2]，所以A ＝{y |y ＝log 2(|sin x |＋1)，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}， 又cos x ∈[－1，1]，所以B ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈R }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪12≤y ≤2， 所以A ∩B ＝[0，1]∩⎣⎡⎦⎤12，2＝⎣⎡⎦⎤12，1.6．(选修1-1 P 12练习T 2(2)改编)已知条件p ：x －3>0，条件q ：(x －3)(x －4)≥0，则( ) A ．p 是q 的充分条件 B ．p 是﹁q 的必要条件 C ．p 是﹁q 的充分条件 D ．p 是q 的必要条件解析：选B.将条件p 、q 转化为用集合表示： p ：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}． ﹁p ：B ＝{x |x －3≤0}＝{x |x ≤3}．q ：C ＝{x |(x －3)(x －4)≥0}＝{x |x ≤3或x ≥4}． ﹁q ：D ＝{x |(x －3)(x －4)＜0}＝{x |3<x <4}．显然，A 不是C 的子集，故A 错；D ⊆A ，即p 是﹁q 的必要条件，故B 正确，C 错；C 不是A 的子集，故D 错，所以选B.二、填空题7．(必修1 P 7练习T 2(6)改编)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0} ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，用数轴表示有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的范围为m ≤1. 答案：m ≤18．(选修1-1 P 25探究(3)改编)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0的否定是________． 解析：根据全称命题的否定形式．p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0的否定是﹁p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 答案：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0。

集合与常用逻辑用语【考向解读】集合与常用逻辑用语在高考中是以选择题或填空题的形式进行考查的，属于容易题．但命题真假的判断，这一点综合性较强，联系到更多的知识点，属于中挡题．预测2016年高考会以集合的运算和充要条件作为考查的重点．【命题热点突破一】集合的关系及运算集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高．在复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．例1、【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．【感悟提升】(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．【变式探究】(1)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B等于( )A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)(2)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(3)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.【答案】(1)C (2)C (3)4(3)由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.点评(1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述．(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn图或列举实例．【命题热点突破二】四种命题与充要条件逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主．在复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用．这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2、【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.【感悟提升】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．【变式探究】(1)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β， 所以m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． (2)给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上)【答案】①③③正确．由正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，当sin A >sin B 成立时，得a >b ，则A >B ；当A >B 时，则有a >b ，则sin A >sin B ，故命题正确．④不正确．若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，sin B ＝sin C ＝sin A ，即命题p 是命题q 的充分条件；若a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，则sin C sin A ＝b c ，又由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即sin C sin A ＝c a ，所以c a ＝b c ，即c2＝ab ，同理得a 2＝bc ，b 2＝ac ，所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 是等边三角形．因此命题p 是命题q 的充要条件．综上所述，正确命题的序号是①③. 点评 判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．【命题热点突破三】 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”． 例3、【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【感悟提升】(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．【变式探究】(1)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面(2)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】(1)D (2)C点评 利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习． 【高考真题解读】1.【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+ ∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}AZ =--，故其中的元素个数为5，选C.4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则AB =∞（-1，+），选C. 5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.6.【2016年高考北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.7.【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ） A ．[2,3] B ．( -2,3 ] C ．[1,2) D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】根据补集的运算得．故选B ．8. 【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．9.【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A. 10.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.11.【2016高考天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ） （A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4}【答案】D【解析】{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==选D.12.【2016高考江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________. 【答案】{}1,2- 【解析】{1,2,3,6}{|23}{1,2}AB x x =--<<=-13.【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.14．【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞ 【答案】C【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则AB =∞（-1，+），选C.1．(2015·天津)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8} 答案 A解析 由题意知，∁U B ＝{2,5,8}，则A ∩(∁U B )＝{2,5}，选A. 2．(2014·安徽)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵ln(x ＋1)<0，∴0<x ＋1<1，∴－1<x <0. ∵x <0是－1<x <0的必要不充分条件，故选B.3．(2015·陕西)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N 等于( ) A ．[0,1]B ．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]答案 A解析由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.4．(2014·山东)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于( )A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)答案 C解析由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．5．(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为( ) A．77B．49C．45D．30答案 C6．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q等于( )A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]答案 C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.7．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)·(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则( )A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n－4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.8．(2015·课标全国Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”．9．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 是充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案 C解析 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点， 比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0， 但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同， 因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 10．(2014·陕西)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案 A 解析a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.11．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．11。

全国高考分类汇编第一章 集合与简易逻辑1．（福建卷）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(1,4)-2．（2006年安徽卷）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C =，故选B 。

3．（2006年陕西卷）已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}24．( 2006年重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=A ．{1,6}B ．{4,5}C ．{1,2,3,4,5,7}D ．{1,2,3,6,7}5. （2006年上海春卷）若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A∩B 等于A ．]1,(∞-.B ．[]1,1-.C ．∅.D ．}1{.6．（2006年全国卷II ）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝7．（2006年四川卷）已知集合{}2560A x x x =-+≤，集合{}213B x x =->，则集合A B =A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x ≤<C ．{}23x x <≤D ．{}13x x -<< 8．（2006年天津卷）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. （2006年湖北卷）有限集合S 中元素个数记作card ()S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card ()A + card ()B ；②B A ⊆的必要条件是card ()≤A card ()B ；③B A ⊄的充分条件是card ()≤A card ()B ；④B A =的充要条件是card ()=A card ()B .其中真命题的序号是A. ③、④B. ①、②C. ①、④D. ②、③解:选B 。