初中数学竞赛中的轴对称

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。

中考数学轴对称的知识点
中考数学轴对称的知识点
轴对称定义:
把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线就是它的对称轴。

折叠后重合的点叫对称点。

轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是它的对称轴轴对称的性质:
①轴对称的两个图形是全等图形;轴对称图形的两个部分也是全等图形。

②轴对称(轴对称图形)对应线段相等，对应角相等。

③如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

⑤两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的.对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上。

常见图形的对称轴:
①线段有两条对称轴，是这条线段的垂直平分线和线段所在的直线。

②角有一条对称轴，是角平分线所在的直线。

③等腰三角形有一条对称轴，是顶角平分线所在的直线。

④等边三角形有三条对称轴，分别是三个顶角平分线所在的直线。

⑤矩形有两条对称轴，是相邻两边的垂直平分线。

⑥正方形有四条对称轴，是相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线。

⑦菱形有两条对称轴，是对角线所在的直线。

⑧等腰梯形有一条对称轴，是两底垂直平分线。

⑨正多边形有与边数相同条的对称轴。

⑩圆有无数条对称轴，是任何一条直径所在的直线。

对称轴的画法:
①找出一对对称点②连对称点线段
③做出对称点所连线段的垂直平分线。

七年级轴对称知识点笔记轴对称是较为基础的几何概念之一，大约在小学的时候就开始接触，到了初中阶段，它不仅仅是单纯的概念，还有具体的操作和应用。

以下是七年级轴对称知识点笔记。

一、轴对称的定义轴对称即为对称中心在轴上的一种对称形态，轴称作轴对称轴，轴两侧则称作轴对称图形。

二、轴对称的构造方法1. 以轴对称轴为中心，将轴两侧的图形分别取相同的三个或更多部分，然后将相应图形沿着轴对称轴折叠，使得两侧的相应部分重合即可。

2. 以轴对称轴为中心，将轴两侧的图形分别取相同的一半，然后将其中一半沿着轴对称轴对称，从而获得与原图相等的轴对称图形。

三、轴对称图形的性质1. 轴对称图形的任何两个相对点关于轴对称轴经过的点都是对称的。

2. 轴对称图形内任意两点的距离与它们的轴对称点的距离相等。

3. 轴对称图形上任何一对对称的部分的面积相等，即轴对称图形具有面积对称性。

四、轴对称图形的实例轴对称可以体现在很多图形中，比如：1. 正方形和矩形都有至少一条轴对称轴。

2. 圆有无数条轴对称轴，每条经过圆心的直线都是一条轴对称轴。

3. 一些卡通形象，如米老鼠、唐老鸭、熊大等也有轴对称图形。

五、轴对称的应用轴对称在生活和科学中有着广泛的应用，如：1. 利用轴对称的思想可以设计出很多对称的建筑、器具、衣服等，具有美观度和节约材料的特点。

2. 在机器传动方面，轴对称是轴承、滑轮、齿轮等机械零件的基础，是实现精准传动的重要保障。

3. 在数学研究中，轴对称不仅仅是几何学分支的基础，还广泛涉及到代数、概率论、图论等多个数学领域。

六、总结轴对称是一种常见的几何概念，是初中数学中的必备知识点。

了解轴对称的定义、构造方法、性质和应用可以为学生打下坚实的数学基础，培养几何思维，同时也可以在日常生活和工作中帮助我们更好地处理对称和复杂图形这些问题。

第2讲 轴对称几何，当它与艺术结合起来时，其力量是不可抗拒的。

——欧里庇得斯知识方法扫描1、轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称，线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；角也是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴。

2、轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴，两个图形关于直线对称也叫做轴对称。

3、线段和角都是轴对称图形，线段的垂直平分线和角的平分线是它们的对称轴；等腰三角形也是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高。

经典例题解析例1．在直角坐标系中，A 点的坐标是(2,3), 则A 点关于x 轴的对称点的坐标是 ,A 点关于y 轴的对称点的坐标是 ,A 点关于直线y=x 的对称点的坐标是 ,A 点关于直线y=-x 的对称点的坐标是 .解 A 点关于x 轴的对称点的坐标是（2，-3），A 点关于y 轴的对称点的坐标是（-2，3），A 点关于直线y=x 的对称点的坐标是（3，2），A 点关于直线y=-x 的对称点的坐标是(-3,-2).评注 一般地，点(a,b) 关于x 轴的对称点的坐标是(a,-b), 关于y 轴的对称点的坐标是(-a,b), 关于直线y=x 的对称点的坐标是(b,a), 关于直线y=-x 的对称点的坐标是(-b,-a). 例2．如图, 已知∠AOB 与线段CD, 求作一点P, 使点P CD 的两端点距离相等且∠AOB 两边的距离也相等.解 (1)作线段CD 的垂直平分线MN ；(2)作∠AOB 的平分线OE 交MN 于点P, 由作法知点P既在CD 的垂直平分线上, 又在∠AOB 的角平分线上, ∴点P 为所求.例3．有一张矩形纸片ABCD ，上面画有一个角的两边m ，n ，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P 的平分线来。

七年级轴对称知识点总结
轴对称是初中数学中的一大难点，总结出一些轴对称的知识点有助于我们更好地理解和掌握这一概念。

下面我们就来总结一下七年级轴对称的相关知识点。

一、轴对称的定义
轴对称就是利用某条直线（我们称之为“轴”）将平面图形分成两部分，这两部分是镜像关系。

轴对称图形是一种具有对称性的图形。

轴是图形的轴心，被轴对称的形状称为轴对称图形。

二、轴对称图形的特点
1. 轴对称图形有轴对称线。

2. 轴对称图形关于轴对称线对称。

3. 轴对称图形的一半可以通过镜像变换得到另一半。

三、轴对称图形的种类
1. 线段、线、射线、直角、平行四边形、长方形、正方形、圆等也都是轴对称图形。

2. 不等边三角形，等边三角形、等腰三角形等也都是轴对称图形。

四、轴对称图形的轴线
1. 长方形、菱形、正方形、圆等图形的轴线可以是对角线或者中心垂线，也可以是任意一条过中心的线段或者直线。

2. 对于不规则图形，我们需要根据实际情况确定轴线。

五、轴对称的实际应用
1. 在日常生活中，许多物品都具有轴对称性。

例如，一张纸、一个椭圆形的盘子、一把剪刀等。

2. 在建造建筑物、花坛或者其他物品时，轴对称由于美感的缘故而被广泛应用。

许多室内设计也使用了轴对称的设计原则。

总结：
轴对称是一种常见的几何概念，也是初中数学中的难点。

对于七年级的学生来说，了解轴对称的定义、特点、种类和轴线等知识点非常重要。

同时，轴对称也是一种实用的几何概念，我们可以在日常生活和建造中运用它。

掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用轴对称概念。

七年级下数学轴对称知识点轴对称是数学中非常基础而且重要的一个概念，掌握好这个知识点对于以后的学习会有非常大的帮助。

下面我们来分几个方面来详细解释一下七年级下数学轴对称知识点。

一、轴对称的定义轴对称就是指将一个图形沿着某一条直线折叠后，折叠前后两部分完全重合，这条直线叫做对称轴。

轴对称的形状可以是几何图形，也可以是点、线段、向量等。

而轴对称的性质是相对的，有时候是完全对称，有时候则只是在某一个方向上对称。

二、轴对称的性质1.轴对称的图形具有对称性，即对称轴两侧的图形完全相等。

2.轴对称的图形具有镜像性，即对称轴的两侧是互为镜像的。

3.轴对称的图形具有不变性，即对称轴两侧的图形的位置和形状不会改变。

三、轴对称的判断在进行轴对称的判断时，需要注意以下几个方面：1.轴对称的图形对称轴可以是任意一条直线。

2.沿着对称轴折叠后，对称轴两侧的图形是完全相等的。

3.轴对称的图形不受旋转和平移的影响。

四、轴对称的实例下面分别给大家举几个轴对称的实例。

1.正方形具有四条对称轴，它们分别是两组完全相垂直的轴，每组各有两条轴。

2.测试平面中心具有无数条对称轴，它们以中心为交点，分别连接所有点的线段。

3.若以数轴为对称轴，则数轴上的每一个点和它相对称的点都构成轴对称的图形。

五、轴对称的应用轴对称可以用来解决很多几何问题，比如求某个点对称的位置、构造轴对称的图形、寻找圆的对称轴等等。

此外，在艺术、设计、物理、化学等领域中，轴对称也有着非常广泛的应用。

综上所述，轴对称是一项非常重要的数学知识点，它有着广泛的应用，对于数学及其他领域的学习都有着至关重要的作用。

因此，在掌握轴对称的基本概念和性质的基础上，我们需要多做练习、在实际问题中灵活运用，以加深理解、提高运用能力。

八年级奥数：轴对称解读课标美丽的枫叶，高山的倒影，雄伟的建筑，我们生活在二个充满对称的世界之中．从人体到植物的花果树叶，从艺术家的创造到日常生活中的图案设计，轴对称是现实世界中广泛存在的一种现象．正如20世纪著名数学家赫尔曼⋅外尔所说：“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造次序、美丽和完善．”依据定义、动手操作，这是识别轴对称图形的基本方法，对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等，这是轴对称图形的基本性质，也是作图的依据．平面镜成像、光的反射、“斯诺克”台球．图形的折叠、镶边与剪纸、进行图案设计、解最值问题等，常用轴对称概念性质来探讨．线段、角、等腰三角形是最简单的轴对称图形，作出它们的对称轴并利用相关性质是解几何问题的常用技巧．熟悉下列基本图形、基本结论：问题解决例1 （1）一个数字在镜子里看是“1208”，则这个数字实际是____________．（2）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE =（AB +AD ），如果∠D =120°．则∠B =____________．例2 将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平得到的图形是（ ）．例3 在平面直角坐标系中，直线1过点M （3,0），且平行于y 轴．（1） 如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A （-2，0）、B （-1，0）、C （-1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线1的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标；（2） 如果点P 的坐标是（-a ，0）其中a >0，点P 关于y 轴的对称点是点 P 1，点P 1关于直线1的对称点是点P 2，求P P 2的长．12例4 如图，一个台球桌是直角三角形的，如果从斜边上某点朝着垂直于斜边的方向击出台球，那么球在其他两个直角边上反弹后，又能回到斜边上，请证明：台球滚过的距离长与击球点的位置无关（台球反射时服从入射角等于反射角的规律）．例5 如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3）、B（4，-1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0），D（n+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．数学冲浪知识技能广场1．（1）如图，镜子中号码的实际号码是____________．（2）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是．该车牌的后5位号码实际是____________．2．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A’处，且点A’在△ABC外部，则阴影部分的周长为______________cm．3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D’、C’的位置，若∠EFB=65°，则∠AED’=_________________．4．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________________．5．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A=78°，∠C’=48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°6．中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题，小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个时钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（）．77．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其中余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个涂影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按如图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋9．如图，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图（2）、（3）中画出两种不同的拼法．10．台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识．如图①是一个台球桌，目标球F 与本球E 之间有一个G 球阻挡． ．（1）击球者想通过击打E 球先撞击球台的AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球．他应将E 球打到AB 边上的哪一点?请在图①中用尺规作出这一点H ，并作出E 球的运动路线（不写画法，保留作图痕迹）；（2）如图②，现以D 为原点，建立直角坐标系，记A （0，4），C （8，0），E （4，3），F （7，1），求E 球按刚才方式运行到F 球的路线长度（忽略球的大小）．思想方法天地11．如图，设l 1和l 2是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在l 1和l 2之间，小球在镜l 1中的像为A ’ ，A ’在镜l 2中l 2的像为A ”，若l 1、l 2的距离为7，则AA "=___________．12．如图，在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 、MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，点M 的坐标是___________ ．13．如图，在锐角△ABC 中，AB =，∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是__________________．14．如图，直线l 1与l 2相交，=60°，点P 在角内（不在l 1、l 2上）．小明用下面的方法作P 的对称点：先以l 1为对称轴作点P 关于l 1的对称点P 1，再以l 2为对称轴作P 1关于l 2的对称点P 2，然后再以l 1为对称轴作P 2关于l 1的对称点P 3，以l 2为对称轴作P 3关于l 2的对称点P 4，……如此继续，得到一系列的点P 1，P 2，…P n ，若P n 与P 重合，则n 的最小值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．815．将一个正方形纸片依次按图（1）、图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）．αα16．在直角坐标系中，已知两点A （-8，3），B （-4，5）以及动点C （0，2），D （m ，0），则当四边形ABCD 的周长最小时；比值为（ ）． A ． B ．-2 C ． D ．-3 17．如图，△ABC 中，已知∠BAC =45°，AD ⊥BC 于D ，BD =2，DC =3；求AD 的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点分别为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；（2）设AD =x ，利用勾股定理，建立关于叠的方程模型，求出x 的值．18．如图，在∠POQ 内部有M 点和N 点，同时能使∠MOP =∠NOQ ，这时在直线OP 上再取A 点，使从A 点到M 点及N 点的距离和为最小；在直线OQ 上也取B 点，使从B 点到M 点和N 点的距离和也最小．证明：AM +AN =BM +BN ．应用探究乐园19．如图，矩形台球桌ABCD 上有两个球P 、Q ，求作一击球路线，使P 球顺次撞击球桌四边后再撞到Q 球（球撞击桌边的入射角等手反射角）．20．如图①，凸四边形ABCD ，如果点P 满足∠APD =∠APB =，且∠BPC =∠CPD =，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．（1）在图③正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足．（2）在图④四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写画法）．（3）若四边形ABCD 有两个半等角点P 1、P 2（如图②），证明线段P 1P 2上任一点也是它的半等角点．m n23-32-αβαβ≠。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

初二数学中，轴对称是一个重要的几何概念，而在轴对称的基础上，寻找最短路线是一个有趣的数学问题。

本文将围绕初二数学中的轴对称和最短路线展开讨论，探究十二种不同情形下的最短路线问题。

1. 轴对称轴对称是初中数学中的基础概念之一，它指的是一个图形相对于某条直线对称。

在平面几何中，轴对称是一种非常常见的对称现象，例如正方形、矩形、圆形等图形都具有轴对称性质。

学生在初中数学学习中，通过理解和掌握轴对称的概念和特点，可以更好地理解图形的性质和变化。

2. 最短路线最短路线是数学中的一个经典问题，它可以运用在不同的领域和场景中，例如交通运输、网络规划、资源分配等。

在初中数学中，最短路线问题可以通过几何知识和数学推理进行解决，帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。

3. 十二种情形接下来我们将具体讨论初二数学中关于轴对称最短路线的十二种情形：1) 单个点关于坐标轴的对称；2) 直线段关于某一轴的对称；3) 圆关于圆心的对称；4) 长方形关于中心横纵轴的对称；5) 正方形关于对角线的对称；6) 三角形关于三条中线的对称；7) 五边形关于中心轴的对称；8) 六边形关于中心轴的对称；9) 人字形关于中心轴的对称；10) 对称图形的最短路线为直线；11) 非对称图形的最短路线为折线；12) 非对称图形的最短路线为曲线。

通过逐一分析这十二种情形，我们可以发现不同对称图形的最短路线具有不同的特点和规律。

例如对于对称图形，其最短路线往往为直线，而对于非对称图形，其最短路线则可能为折线或曲线。

通过解决这十二种情形下的最短路线问题，学生可以锻炼几何推理和数学建模能力，培养对数学问题的思考和解决能力。

总结回顾通过对初二数学中轴对称最短路线的十二种情形进行探讨，我们不仅加深了对轴对称和最短路线的理解，还培养了数学建模和问题解决能力。

在学习数学的过程中，我们不仅要注重理论知识的掌握，更要注重数学方法和思维能力的培养，这样才能更好地应用数学知识解决现实生活中的问题。

MOD C BA 21°46°OEDC B A 4321KJI H G F ED C B A 初中数学竞赛中的“轴对称”陆 腾 宇（江苏省常熟市昆承中学，215500）许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用． 1 利用轴对称计算角的度数例1 如图，在ABC V 中，44BAC BCA ∠=∠=︒，M 为ABC V 形内一点，使得30MCA ∠=︒,16MAC ∠=︒．求BMC ∠的度数．（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））解 由44BAC BCA ∠=∠=︒，得AB AC =，92ABC ∠=︒．作BD AC ⊥于D ，延长CM 交BD 于点O ，连结OA ． 易知BD 是ABC V 的对称轴． 所以30OAC MCA ∠=∠=︒，443014BAO BAC OAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，301614OAM OAC MAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．所以BAO MAO ∠=∠．又9060AOD OAD COD ∠=︒-∠=︒=∠,所以120AOM AOB ∠=︒=∠． 又OA OA =，所以ABO V ≌AMO V ． 故OB OM =．由于120BOM ∠=︒，从而30OMB OBM ∠=∠=︒． 因此，180150BMC OMB ∠=︒-∠=︒．例2 如图，在ABC V 中，46ABC ∠=︒，D 是BC 边上的一点，DC AB =，21DAB ∠=︒．试求CAD ∠的度数．解 作ABD V 关于AD 的轴对称图形AED V ， 则21EAD ∠=︒，AE AB =，所以DE BD =．易知214667ADC ∠=︒+︒=︒．故18067113ADE ADB ∠=∠=︒-︒=︒， 1136746CDE ∠=︒-︒=︒． 连结CE ，因为DC AB =，所以CDE V ≌ABD V ≌AED V ．设O 为AE 与DC 的交点，则672188AOC ADC DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．因为46ODE OED ∠=∠=︒，于是OD OE =． 又DC AE =，则46AO CO OCA OAC =⇒∠=∠=︒． 所以，67DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒． 2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等例3 如图，在矩形ABCD 中，已知对角线长为2，且1234∠=∠=∠=∠，则四边形EFGH 的周长为（ ）A． B ．4 C． D ．6（2010，四川省初中数学联赛（初二））解 如图，根据轴对称的性质，IJK V 的斜边是四边形EFGH 的周长． 而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边 形EFGH 的周长是矩形对角线长的2倍．例4 如图，在ABC V 的边AB 、AC 上 分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠． 求证：BQ CP =．证明：因为12PBC QCB A ∠=∠=∠．则11()()22BQC CPB A ACB A A ACB A ∠+∠=∠+∠-∠+∠+∠-∠IK H G FEDCA NM RQPOB A 180A BC =∠+∠+∠=︒．作点P 关于BC 的对称点'P ，连结'BP 、'CP ． 于是'180BQC BP C ∠+∠=︒，'PC P C =． 所以B 、'P 、C 、Q 四点共圆．于是'P BC PBC QCB ∠=∠=∠，则'//BP CQ ． 故'BQ P C =（夹在平行弦间）． 因此，BQ CP =．3 利用轴对称求图形的面积例4 如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，I 是A ∠、B ∠的平分线AD 与BE 的交点．已知ABI V 的面积为12．则四边形ABDE 的面积等于 ．（2004，北京市中学生数学竞赛（初二））解 分别作点E 、D 关于AD 、BE 的对称点F 、G ，则点F 、G 在AB 上，连结IF 、IG ．易知1901352AIB C ∠=︒+∠=︒．由轴对称的性质知，IF IE =，ID IG =， 45AIE AIF BID BIG ∠=∠=∠=∠=︒． 所以135454545FIG AIB AIF BIG BID ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠．作D H BE ⊥于H ，GK IF ⊥于K ．易证IDH V ≌IGK V ．所以GK DH =． 故1122IE DH IF GK ⨯=⨯，即IDE IGF S S =V V ． 因此224AIB ABDE S S ==V 四形．例5 在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=︒．求四边形ABCD的面积．解 如图，有'ABD A BD S S =V V ，'30A D AB ==， '48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠，于是有''90A DC A DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=︒．故，在Rt 'A DC V中，'50A C ． 在'A BC V 中，2222'14482500BC A B +=+= 2250'A C ==．所以'90A BC ∠=︒．因此，'''11=4814+3040=93622A BC A DC ABCD A BCD S S S S =+=⨯⨯⨯⨯V V 四形四形．4 利用轴对称探求几何最值例6 如图，45AOB ∠=︒，P 为角内一点，10PO =，两边上各有点Q 、R （均不同于O ），则PQR V 的周长的最小值为 ．（2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）解 分别作P 关于OA 、OB 的对称点M 、N ， 连结MN 交OA 、OB 于Q 、R ，则△PQR 即为符合 条件的三角形．如图，由轴对称的性质知10OP OM ON ===， 而290MON AOB ∠=∠=︒，所以△ABC的周长MN ==．例7 河岸l 同侧的两个居民小区A 、B 到河岸的距离分别为a m 、b m （即图1中所示'AA a =m ，'BB b =m ），''A B c =m ．现欲在河岸边建一个长度为s m 的绿化带CD （宽度不计），使C 到小区A 的距离与D 到小区B 的距离之和最小．（1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程； （2）求AC BD +的最小值．（2006，第20届江苏省初中数学竞赛）PA 图2图1图 2图 1lsB s a DC B'A'Ab s图 3l解 （1）如图3，作线段//AP l ，使AP s =，且点P 在点A 的右侧．取点P 关于l 的对称点'P ，连结'BP 交l 于点D ，在l 上点D 的左侧截取DC s =，则CD 即为所求的绿化带的位置．证明 如图3，设绿化带建于另一位置''C D 连结'BD 、'PD 、'AC 、''P D ．则由对称性 知，'P D PD =，'''P D PD =． 由APCD 及AP''C D ，知AC PD =，但'''''P D BD P B P D BD +≥=+，即''PD BD PD BD +≥+．就是''BD AC BD AC +≤+．（当且仅当'D 在线段'P B 与l 的交点时等号成立） 所以，这样画出的AC BD +最小．（2）AC BD +的最小值即为线段'P B 的长度．延长'BB ，作''P H BB ⊥于H ，，则BH =''BB B H b a+=+，'P H c s =-．所以'P B即AC BD +练 习 题1．（1）已知A 、B 两点在直线MN 的同侧，在MN 上求一点P ，使P A 与PB 的和最小；（2）若A 、B 两点在直线MN 的两侧，在MN 上求一点'P ，使A P '、B P '中较长一条与较短一条的差最大． 提示：作法（1）如图1，作点A 关于MN 的对称点'A ，连结B A '，交MN 于点P ，则点P 即为所求。

轴对称及其性质轴对称是一种几何特征，指的是图形经过某条线对称后，两侧完全重合。

在数学和几何学中，轴对称性质被广泛应用于解决问题和分析形状的对称性。

本文将介绍轴对称的定义、性质以及它在现实生活和数学领域的应用。

一、定义及例子轴对称是指一个形状可以通过某条直线旋转180度并完全重合。

这条直线被称为轴线，轴线两侧的图形是镜像关系。

例如，一个正方形具有4条轴对称线，分别是水平线、垂直线和两条对角线。

而心形、圆形、椭圆形等也都具有轴对称。

二、轴对称的性质1. 自反性：轴对称图形中的每个点都和关于轴线对称的另一个点相关联。

反过来，如果一个点和另一个点关于轴对称线对称，那么这个图形就是轴对称的。

2. 保角性：轴对称不改变图形的角度。

如果一个图形是轴对称的，那么对于轴上的任意一对相应点，它们构成的角度相等。

3. 保长度性：轴对称不改变图形的边长。

如果一个图形是轴对称的，那么轴上的每对相应点之间的距离相等。

4. 结构性：轴对称图形的结构和形状在镜像轴两侧是完全对称的。

这意味着一个轴对称图形的一半可以通过镜像来获得另一半。

三、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称被广泛应用于图案设计中。

通过利用轴对称性质，设计师可以创造出美观、对称的图案来增强视觉效果。

2. 建筑设计：轴对称的概念在建筑设计中起着重要的作用。

许多建筑物的设计中都使用了轴对称性，使得建筑物的外观显得平衡和谐。

3. 数学推理：轴对称性质被广泛应用于数学推理和证明中。

通过分析轴对称，我们可以推导出关于图形的特定性质和关系，从而解决各种数学问题。

4. 自然界：自然界中很多物体都具有轴对称性，如植物、昆虫身体结构等。

通过研究这些轴对称物体，我们可以更好地理解自然界的形态和结构。

总结：轴对称是一种形状经过某条轴线旋转180度并完全重合的几何特征。

它具有自反性、保角性、保长度性和结构性等性质。

轴对称不仅在图案设计和建筑设计中起着重要作用，也在数学推理和自然界中具有广泛的应用。

初中数学比赛指导资料〔35〕两种对称甲内容概要1.轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它可以和另一个图形重合，那么这两个图形对于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转 180，假如它可以和另一个图形重合，那么这两个图形对于这点对称，这点叫做对称中心2.轴对称图形和中心对称图形的定义：假如一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的局部可以相互重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转 180，假如旋转后的图形可以和本来的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

3.性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点③两个图形对于某条直线对称，假如它们的对应线段或延伸线相交，那么交点在对称轴上4.常有的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等乙例题例 1.求证：假定等腰梯形的两条对角线相互垂直，那么它的中位线与高相等证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线应线段 AC 和 BD 的交点 O，在对称轴MN 上∵AC ⊥BD∴△ AOB 和△ COD 都是等腰直角三角形，DMNN是它的对称轴，对COM 和 ON 是它们的斜边中线∴ OM ＝AB ， ON ＝CD∴MN ＝〔 AB ＋CD〕∴梯形中位线与高相等A MOB例 2.矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕 EF 的长解：∵折痕EF 是对称点连线AC 的中垂线连接 AE ，AE ＝CE，设 AE ＝x,那么 BE ＝ 8－ x在 R△ ABE 中， x2=(8-x) 2+62解得 x= ，即 AE ＝在 Rt△ AOE 中， OE＝＝EF＝ 2OE＝例 3.：△ ABC中， AB ＝ AC,过点 A 的直线 MN ∥BC，点 P 是 MN 上的随意点求证： PB＋ PC≥ 2AB证明：当点 P 在 MN 上与点 A 重合时，PB ＋PC＝AB ＋ AC ，即 PB ＋PC＝ 2AB当 P不与 A 重合时作点 C 对于直线 MN 的对称点 C，那么 PC，＝PC，AC ，＝AC ＝ AB∠ PAC ，＝∠ PAC＝∠ ACB∴∠ PAC，＋∠ PAC＋∠ BAC ＝ 180∴ B ，A ， C，三点在同向来线上，，∵ PB＋ PC＞ BC ，即 PB＋ PC＞ 2AB∴PB＋ PC≥2AB例 4.：平行四边形ABCD外一点P0，点P0对于点A的对称点P1，P1对于点 B 的对称点P2， P2对于点 C 的对称点P3， P3对于点 D 的对称点 P4求证： P4与 P0重合证明：〔用同一法〕按序连接P0， P1， P2， P3， P4，依据中心对称图形性质，点 A ， B， C， D 分别为 P0P1， P1P2， P2P3， P3P4的中点AB ∥ P0P2∥ CD，连接 P0P3，取 P0P3的中点 D ，，，连接 D C，那么 D C∥P0P2，∴CD 和 CD重合，∴P4和 P0重合例 5. 正方形 ABCD 的边长为 a 解：∵正方形 ABCD 和等边三角形求内接正三角形AEF 的边长AEF 都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，可知△ ABE ≌△ ADF∴BE＝ DF ，CE＝ CF设等边三角形AEF 边长为 x ，依据勾股定理得CE 2＋ CF2＝ x2,CE=,BE=a －在 Rt△ ABE 中， x2=( a－ )2+a2x2+2ax－ 4a2=0由根公式舍去负根，得x=() a答：等边△ AEF 的边长是 ()a丙练习 351.以下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿属中心对称而不是轴对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿①线段②角③等腰三角形④等腰梯形⑤矩形⑥菱形⑦平行四边形⑧正三角形⑨正方形⑩圆2.坐标平面内，点 A 的坐标是〔 x＋a， y－ b〕那么①点 A 对于横轴的对称点 B 的坐标是〔〕②点 A 对于纵轴的对称点 C 的坐标是〔〕③点 A 对于原点的对称点 D 的坐标是〔〕3.坐标平面内，点 M 〔 a,－ b〕与点 N 〔－ a,b〕是对于＿＿＿的对称点点 P〔 m－ 3,n〕与点 Q〔3－ m,n〕是对于＿＿＿的对称点4. ：直线m 的同一侧有两个点 A 和 B求作：在m 上一点 P，使 PA＋PB 为最小5.：等边△ ABC求作：点P，使△ PAB ，△ PBC，△ PAC 都是等腰三角形〔本题有10 个解，起码作出 4 个点 P〕6.求证：等腰梯形两腰的延伸线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同向来线上〔用轴对称性质〕AD ，点E 是7.：△ ABC 中， BC＞ AC ，从点 A 作∠ C 均分线的垂线段AB 的中点求证： DE＝〔 BC－ AC 〕〔1991年德化县初中数学比赛题〕8.：△ ABC 中， AB ＝ AC ，BD 是角均分线，BC＝ AB ＋AD求：∠ C 的度数〔90年泉州市双基赛题〕9.：正方形ABCD 中， AB ＝ 12，P 在 BC 上，且 BP＝ 5，把正方形折叠使点 A和点 P重合，求：折痕EF 的长10.平行四边形ABCD 的周长是18cm,∠ A 和∠ B 的均分线订交于M ，点O 是对称中心，OM ＝ 1cm，求各边长11.△ ABC 中，∠ B＝ 2∠ C， AD 是角均分线， E 是 BC 的中点， EF⊥ AD 和AB 的延伸线交于点 F 求证 BD ＝ 2BF〔创办轴对称图形，过点 C 作 CG∥BC 交 AB 延伸线于 G〕12.正方形 ABCD 的边长为 a,形内一点 P， P 到 AB 两头及边 BC 的距离都相等，求这个距离。

轴对称知识点总结轴对称是初中数学中的重要概念，在几何图形的研究和实际生活中都有广泛的应用。

下面我们来详细总结一下轴对称的相关知识点。

一、轴对称的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

例如，等腰三角形是轴对称图形，底边的高所在的直线就是它的对称轴；矩形是轴对称图形，对边中点的连线所在的直线是它的对称轴。

二、轴对称图形的性质1、对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2、对应线段相等，对应角相等。

3、成轴对称的两个图形全等。

三、轴对称与轴对称图形的区别与联系1、区别轴对称是指两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合，是两个图形的位置关系。

轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，是一个图形自身的特性。

2、联系都有对称轴。

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

四、作轴对称图形1、作轴对称图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形，那么连接一对对应点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。

对于两个成轴对称的图形，对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线。

2、作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

五、用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y）。

2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，y）。

例如，点（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（2，－3）；点（－1，4）关于 y 轴对称的点的坐标为（1，4）。

六、轴对称的实际应用轴对称在实际生活中有很多应用，比如：1、建筑设计中，许多建筑都采用了轴对称的设计，使得建筑更加美观、稳定。

2、飞机、汽车等交通工具的外形设计也常常运用轴对称，以减少空气阻力，提高性能。

八年级数学轴对称知识点总结轴对称轴对称是一种图形的位置关系，指如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

轴对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形。

如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

如果两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上。

轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形。

轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形。

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）。

等腰三角形等腰三角形是有两边相等的三角形。

等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。

特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。

判定一个三角形是否为等腰三角形，只需要判断它的两条边是否相等。

如果两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。

如果一个三角形拥有两个相等的角，那么这两个角所对的边也会相等，这就是我们所说的“等角对等边”。

八年级数学竞赛题：轴对称美丽的枫叶，高山的倒影，雄伟的建筑，我们生活在二个充满对称的世界之中．从人体到植物的花果树叶，从艺术家的创造到日常生活中的图案设计，轴对称是现实世界中广泛存在的一种现象．正如20世纪著名数学家赫尔曼⋅外尔所说：“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造次序、美丽和完善．”依据定义、动手操作，这是识别轴对称图形的基本方法，对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等，这是轴对称图形的基本性质，也是作图的依据．平面镜成像、光的反射、“斯诺克”台球．图形的折叠、镶边与剪纸、进行图案设计、解最值问题等，常用轴对称概念性质来探讨．线段、角、等腰三角形是最简单的轴对称图形，作出它们的对称轴并利用相关性质是解几何问题的常用技巧．熟悉下列基本图形、基本结论：例1 （1）一个数字在镜子里看是“1208”，则这个数字实际是____________．（2）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=12（AB+AD），如果∠D=120°．则∠B=____________．例2 将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平得到的图形是（）．例3 在平面直角坐标系中，直线1过点M（3,0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0）、B（-1，0）、C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线1的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（-a，0）其中a>0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于直线1的对称点是点P2，求P P2的长．例4 如图，一个台球桌是直角三角形的，如果从斜边上某点朝着垂直于斜边的方向击出台球，那么球在其他两个直角边上反弹后，又能回到斜边上，请证明：台球滚过的距离长与击球点的位置无关（台球反射时服从入射角等于反射角的规律）．例5如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，-3）、B（4，-1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0），D（n+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．1．（1）如图，镜子中号码的实际号码是____________．（2）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是．该车牌的后5位号码实际是____________．2．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A’处，且点A’在△ABC外部，则阴影部分的周长为______________cm．3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D’、C’的位置，若∠EFB=65°，则∠AED’=_________________．4．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________________．5．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A=78°，∠C’=48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°6．中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题，小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个时钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（）．77．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其中余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个涂影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按如图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）．A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋9．如图，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图（2）、（3）中画出两种不同的拼法．10．台球是一项高雅的体育运动．其中包含了许多物理学、几何学知识．如图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡．．（1）击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球．他应将E 球打到AB边上的哪一点?请在图①中用尺规作出这一点H，并作出E球的运动路线（不写画法，保留作图痕迹）；（2）如图②，现以D为原点，建立直角坐标系，记A（0，4），C（8，0），E（4，3），F （7，1），求E球按刚才方式运行到F球的路线长度（忽略球的大小）．11．如图，设l1和l2是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在l1和l2之间，小球在镜l1中的像为A’ ，A’在镜l2中l2的像为A”，若l1、l2的距离为7，则AA"=___________．12．如图，在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP、MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的坐标是___________ ．13．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________________．14．如图，直线l1与l2相交，α=60°，点P在角α内（不在l1、l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……如此继续，得到一系列的点P1，P2，…P n，若P n与P重合，则n的最小值是（）．A．5 B．6 C．7 D．815．将一个正方形纸片依次按图（1）、图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（）．16．在直角坐标系中，已知两点A（-8，3），B（-4，5）以及动点C（0，2），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时；比值mn为（）．A．23-B．-2 C．32-D．-317．如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3；求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于叠的方程模型，求出x的值．18．如图，在∠POQ内部有M点和N点，同时能使∠MOP=∠NOQ，这时在直线OP上再取A点，使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M 点和N点的距离和也最小．证明：AM+AN=BM+BN．19．如图，矩形台球桌ABCD上有两个球P、Q，求作一击球路线，使P球顺次撞击球桌四边后再撞到Q球（球撞击桌边的入射角等手反射角）．20．如图①，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．（1）在图③正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足αβ≠．（2）在图④四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写画法）．（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图②），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．。

中考数学知识点归纳：轴对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么那个图形叫做轴对称图形，这条直线确实是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)假如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录同时阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。

假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

注意：依照线段垂直平分线的这一特性能够推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，同时这一点到三个顶点的距离相等。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。