2018年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）
2．（5分）命题“∀x≥0，sinx≤1”的否定是（）
A．∀x＜0，sinx＞1 B．∀x≥0，sinx＞1 C．∃x＜0，sinx＞1 D．∃x≥0，sinx＞1 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=﹣x2B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x|D．f（x）=x+sinx
4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴
上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（）A．B．C．﹣3 D．3
6．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）
A．B． C．D．
8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取
值范围是（）
A．（0，e） B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知等差数列{a n}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d=．
10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=．
12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球在开始振动（即t=0）时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为厘米．
13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．
14．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；
（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
16．（13分）已知等比数列{a n}满足a1a2a3=8，a5=16．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；
（Ⅱ）设b n=log2a n+1，求数列的前n项和T n．
17．（13分）如图，△ABD为正三角形，AC∥DB，AC=4，．（Ⅰ）求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）求AB，CD的长．
18．（13分）已知函数f（x）=x3﹣x，g（x）=2x﹣3．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）=g（x0）．
19．（14分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+2（﹣1）n，（n∈N*）．
（Ⅰ）写出a5，a6的值；
（Ⅱ）设b n=a2n，求{b n}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S2n﹣18}的前n项和T n的最小值．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣x）lnx．
（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）
【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，
集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，
则A∩B={x|x＞0}∩{x|x＜2}={x|0＜x＜2}=（0，2）．
故选：C．
2．（5分）命题“∀x≥0，sinx≤1”的否定是（）
A．∀x＜0，sinx＞1 B．∀x≥0，sinx＞1 C．∃x＜0，sinx＞1 D．∃x≥0，sinx＞1【解答】解：∵“∀x≥0”的否定是“∃x≥0”，“都有sinx≤1”的否定是“使得sinx ＞1”，
∴“∀x≥0，都有sinx≤1”的否定是“∃x≥0，使得sinx＞1”．
故选：D．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=﹣x2B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x|D．f（x）=x+sinx
【解答】解：对于A，函数在（0，+∞）递减，不合题意；
对于B，不是偶函数，不合题意；
对于C，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，是奇函数，不合题意；
故选：C．
4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0
【解答】解：数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），
n=1时，a1=2a2；
n=2时，a1+a2=2a2，
可得a2=0．
故选：D．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴
上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（）A．B．C．﹣3 D．3
【解答】解：设点A的横坐标为a，由题意可得a＜0，|OA|=，
且=sin（﹣∠AOC）=﹣sin（∠AOC﹣）=﹣，
求得a=﹣，
故选：A．
6．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵向量，是两个单位向量，
则“=”时，“||=2”，
即“=”是“||=2”的充分条件；
“||=2”，向量，同向，结合向量，是两个单位向量，可得“=”，
即“=”是“||=2”的必要条件；
故“=”是“||=2”的充分必要条件；
故选：C．
7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）
A．B． C．D．
【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，
∴=π，解得ω=2．
由图象可知f（）=1，即=1，
∴+φ=+kπ，k∈Z．
∴φ=﹣+kπ，
又，
∴φ=﹣．
故选：B．
8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取
值范围是（）
A．（0，e） B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）
【解答】解：由题意，当x≥0时，f（x）=xe x，
则f′（x）=（x+1）e x，
令f′（x）=0，可得x=﹣1，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，在函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减；当x∈（﹣1，0]时，f′（x）＞0，在函数f（x）在（﹣1，0]单调递增；
∴当x=﹣1时，f（x）=xe x取得最小值为．其值域为[，+∞）
那么：当x＞0时，二次函数f（x）=ax2﹣2x的最小值大于等于．
∴a＞0，其对称x=＞0．
则f（x）min=f（）．
即，
解得：a≥e
故选：D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）已知等差数列{a n}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d=2．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1=2，a2+a4=a6，
得2a1+4d=a1+5d，即4+4d=2+5d，得d=2．
故答案为：2．
10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为0．
【解答】解：向量=（1，0），=（m，n），=（m﹣1，n），
若与平行，可得：n•1=0•（m﹣1），即n=0．
故答案为：0．
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=﹣2．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，
可得f（0）=0，且f（x+2）=f（x），
则=﹣f（）+0=﹣f（+2）=﹣f（），
由当0＜x＜1时，，
可得f（）=2，
即=﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球
在开始振动（即t=0）时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为4厘米．
【解答】解：由关系式：h=cost，t∈[0，+∞），
整理得：h=，
当t=0时，h=，
小球振动过程中最大的高度，
即：，
小球振动过程中最低的高度，
即：厘米．，
所以最大高度差为：4．
故答案为：；4．
13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为2．
【解答】解：令x=2，则，
故答案为：2
14．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；
（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为{3}或{1，2，4} ．
【解答】解：∵（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；
（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．则A，B不能为空集，且A，B不能均为二元集合，
若A含一个元素，则该元素只能是3，即A={1}
若A含三个元素，则元素不能有3，即A={1，2，4}
故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（I），
=，
=1…（4分）
（II）f（x）=sin2x+cos2x，
=．
令（k∈Z），
得
所以函数f（x）的单调递增区间为．…（13分）
16．（13分）已知等比数列{a n}满足a1a2a3=8，a5=16．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；
（Ⅱ）设b n=log2a n+1，求数列的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．
因为a1a2a3=8，且
所以，得a2=2，
又因为，所以q3=8，得q=2，a1=1．
所以（n∈N
），
+
所以==2n﹣1．
（Ⅱ）因为，所以b n=log2a n+1=n，
所以．
所以数列的前n项和T n===．17．（13分）如图，△ABD为正三角形，AC∥DB，AC=4，．（Ⅰ）求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）求AB，CD的长．
【解答】（本题13分）
解：（Ⅰ）因为△ABD为正三角形，AC∥DB，
所以在△ABC中，，
所以．
所以…（1分）
=…（3分）
因为在△ABC中，，∠ABC∈（0，π）…（4分）
所以．…（5分）
所以sin∠ACB=．…（6分）
（Ⅱ）方法1：
在△ABC中，AC=4，由正弦定理得：，…（8分）所以…（9分）
又在正△ABD中，AB=AD，，
所以在△ADC中，，…（10分）
由余弦定理得：CD2=AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠DAC，
=
所以CD的长为．…（13分）
方法2：在△ABC中，
由正弦定理得：，…（8分）
所以，…（9分）
…（10分）
所以cos∠DBC=cos（∠DBA+∠ABC）
=cos∠DBAcos∠ABC﹣sin∠DBAsin∠ABC，
==．…（11分）
在△DBC中，由余弦定理得：
CD 2=DB 2+BC 2﹣2DB ×BC ×cos ∠DBC…（12分） =，
=61．
所以CD 的长为．…（13分）
18．（13分）已知函数f （x ）=x 3﹣x ，g （x ）=2x ﹣3． （Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）求证：存在唯一的x 0，使得f （x 0）=g （x 0）．
【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）=x 3﹣x ，得f'（x ）=3x 2﹣1，…（1分） 所以f'（1）=2，又f （1）=0…（3分）
所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣0=2（x ﹣1）， 即：2x ﹣y ﹣2=0．…（4分） （Ⅱ）令f'（x ）=0，得．…（5分）f （x ）与f'（x ）在区间[0，2]的情
况如下：
…（7分）
因为f （0）=0，f （2）=6，…（8分）
所以函数f （x ）在区间[﹣2，3]上的最大值为6．…（9分） （Ⅲ）证明：设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣3x +3， 则h'（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1），…（10分）
令h'（x ）=0，得x=±1．h （x ）与h'（x ）随x 的变化情况如下：
则h（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．…（11分）又h（1）=1＞0，h（﹣1）＞h（1）＞0，所以函数h（x）在（﹣1，+∞）没有零点，…（12分）
又h（﹣3）=﹣15＜0，
所以函数h（x）在（﹣∞，﹣1）上有唯一零点x0．…（13分）
综上，在（﹣∞，+∞）上存在唯一的x0，使得f（x0）=g（x0）．
19．（14分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+2（﹣1）n，（n∈N*）．
（Ⅰ）写出a5，a6的值；
（Ⅱ）设b n=a2n，求{b n}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S2n﹣18}的前n项和T n的最小值．
=a n+2（﹣1）n，
【解答】解：（Ⅰ）∵a n
+2
∴a3=a1﹣2=﹣1，a4=a2+2=3，a5=a3﹣2=﹣3，a6=a4+2=5；
（Ⅱ）b n=a2n=a2n﹣2+2，n∈N*
﹣b n=a2n+2﹣a2n=2，
∴b n
+1
∴{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．
（Ⅲ）∵，n∈N*，
∴{a2n
}是以1为首项，﹣2为公差d的等差数列，
﹣1
∴数列{a n}的前n个奇数项之和为，
由（Ⅱ）可知，a2n=2n﹣1，
∴数列{a n}的前n个偶数项之和为．
∴S2n=2n，
∴S2n﹣18=2n﹣18．
﹣18）=2，且S2﹣18=﹣16，
∵S2n﹣18﹣（S2n
﹣2
∴数列{S2n﹣18}是以﹣16为首项，2为公差的等差数列．
由S2n﹣18=2n﹣18≤0可得n≤9，
∴当n=8或n=9时，数列{S2n﹣18}的前n项和T n的最小值为
T8=T9=﹣16×8+=﹣72．
20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣x）lnx．
（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．
【解答】（本题14分）
（Ⅰ）证明：证法1：f（x）=（x2﹣x）lnx的定义域为（0，+∞）…（1分）
由f（x）=（x2﹣x）lnx得，…（2分）
∴f'（1）=0．…（3分）
当x＞1时，（2x﹣1）lnx＞0，x﹣1＞0，
∴f'（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（4分）
当时，（2x﹣1）lnx＜0，x﹣1＜0，
∴f'（x）＜0，故f（x）在上单调递减；…（5分）
（此处为推理说明，若用列表说明则扣1分）
所以1是函数f（x）的极值点．…（6分）
证法2：（根据极值的定义直接证明）f（x）=（x2﹣x）lnx的定义域为（0，+∞）…（1分）
∵f（x）=x（x﹣1）lnx，∴f（1）=0…（3分）
当x＞1时，x（x﹣1）＞0，lnx＞0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…（4分）当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，lnx＜0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…（5分）
根据极值的定义，1是f（x）的极值点．…（6分）
（Ⅱ）由题意可知，g（x）=（2x﹣1）lnx+x﹣1
证法1：，
令，∴，故h（x）在（0，+∞）上单调递增．…（7分）
又，又h（x）在（0，+∞）上连续，
∴使得h（x0）=0，即g'（x0）=0，…（8分）∴．（*）…（9分）
g'（x），g（x）随x的变化情况如下：
…（10分）
∴g（x）min=g（x0）=（2x0﹣1）lnx0+x0﹣1．…（11分）
由（*）式得，代入上式得
．…（12分）
令，，
故t（x）在上单调递减．…（13分）∴t（x）＞t（1），又t（1）=﹣1，∴t（x）＞﹣1．
即g（x0）＞﹣1∴g（x）＞﹣1．…（14分）
证法2：g（x）=（2x﹣1）lnx+x﹣1=2xlnx﹣lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），
令h（x）=2xlnx，t（x）=﹣lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），…（7分）
h'（x）=2（lnx+1），令h'（x）=0得．…（8分）h'（x），h（x）随x的变化情况如下：
∴，即，当且仅当时取到等号．…（10分），令t'（x）=0得x=1．…（11分）t'（x），t（x）随x的变化情况如下：
…（12分），∴t （x ）min =t （1）=0，即x ﹣1﹣lnx ≥0， 当且仅当x=1时取到等号．…（13分）∴．
即g （x ）＞﹣1．…（14分）
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称
指数函数
定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 R
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质。