2021年中考数学 专题汇编：二次函数的实际应用(含答案)

2021中考数学专题汇编：二次函数的实际应用一、选择题（本大题共10道小题）
1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商
品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()
A．130元/个B．120元/个
C．110元/个D．100元/个
2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年
中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为()
A．1月和11月B．1月、11月和12月
C．1月D．1月至11月
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛
物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为()
A.y=x2
B.y=-x2
C.y=x2
D.y=-x2
4. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建
墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()
A.18 m2
B.18m2
C.24m2
D.m2
5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球抛出3秒后，速度越来越快;
③小球抛出3秒时速度为0;
④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.
其中正确的是()
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
6. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()
A．50 m B．100 m
C．160 m D．200 m
7. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是()
A .当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 m
B .小球距O 点水平距离超过4 m 时呈下降趋势
C .小球落地点距O 点水平距离为7 m
D .斜坡的坡度为1∶2
8. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不
同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )
A ．y ＝26
675x 2 B ．y ＝－26
675x 2 C ．y ＝13
1350x 2
D ．y ＝－13
1350x 2
9. 如图，将一个小球从斜坡上的点
O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y
＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝1
2x 刻画，下列结论错误的是( )
A ．当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距点O 的水平距离为3 m
B ．小球距点O 的水平距离超过4 m 后呈下降趋势
C ．小球落地点距点O 的水平距离为7 m
D ．小球距点O 的水平距离为2.5 m 和5.5 m 时的高度相同
10. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14
x 2＋bx ＋c 的一部分(如
图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )
A ．y ＝－14x 2＋3
4x ＋1
B ．y ＝－14x 2＋3
4x －1
C ．y ＝－14x 2－3
4x ＋1
D ．y ＝－14x 2－3
4
x －1
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 某商店从厂家以每件
21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每
件商品的售价为a 元，则可卖出(350－10a )件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．
12. 如图，一块矩形土地
ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF
分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.
13. 某种商品每件的进价为
20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x 元
(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，则可卖出(30－x )件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．
14. 某服装店购进单价为
15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当销售价为
25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
15. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是
s＝60t－3
2t
2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．
16. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
17. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解
析式为y＝－1
9(x－6)
2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为
________________．
18. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
售价x(元/件) 50 60 80
周销售量y(件) 100 80 40
周销售利润1000 1600 1600
w(元)
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是元/件;当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元;
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求m的值.
20. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)，适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．
(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；
(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
(3)若存在实数t1和t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m的取值范围．
21. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
22. (2019•辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
2021中考数学专题汇编：二次函数的实际应用
-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．
2. 【答案】B[解析] 由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，
∴y＝－(n－6)2＋25，
当n＝1时，y＝0；
当n＝11时，y＝0；
当n＝12时，y＜0.
故停产的月份是1月、11月和12月．
故选B.
3. 【答案】B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-，∴二次函数的表达式为y=-x2，故选B.
4. 【答案】C[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，
则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=BC=6-x，
∴AD=CE=BE=6x，AB=AE+BE=x+6-x=x+6，
∴梯形ABCD的面积=(CD+AB)·CE=x+x+6·6x=-x2+3x+18=-(x-4)2+24，
=24，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，∴当x=4时，S
最大
最大面积为24m2，故选C.
5. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;
④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，
把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，
∴函数解析式为h=-(t-3)2+40.
把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.
6. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．
7. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m时，二次函数y=4x-x2的函数值为7.5，即4x-x2=7.5，解得x1=3，x2=5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O点的水平距离为3 m或5 m，A结论错误;由y=4x-x2，得y=-(x-4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y随x值的增大而减小，B结论正确;联立方程y=4x-x2与y=x，解得或则抛物线与直
线的交点坐标为(0，0)或7，，C 结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x 中系数的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .
8. 【答案】B
[解析] 设二次函数的解析式为y ＝ax 2.由题可知，点A 的坐标为(－
45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a ＝－26
675，∴二次函数解析式为y ＝－26
675x 2.故选B.
9. 【答案】A
[解析] 令y ＝7.5，得4x －1
2x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A
错误．
由y ＝4x －12x 2得y ＝－1
2(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．
联立y ＝4x －12x 2与y ＝1
2x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，
y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为
(0，0)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．
由对称性可知选项D 正确．
综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.
10. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入
y ＝－1
4x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．
二、填空题（本大题共8道小题）
11. 【答案】28 [解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得 y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490， 即当a ＝28时，可获得最大利润．
又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求． 故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．
12. 【答案】150
[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得
y=x ·
=-(x -150)2+33750，∵-<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，
该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.
13. 【答案】25
[解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25.
∵20≤x≤30，
∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.
14. 【答案】22
[解析]设每件的定价为x 元，每天的销售利润为y 元.
根据题意，得y=(x -15)[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y 最大值=98.故答案为22.
15. 【答案】20
[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －3
2t 2
＝－3
2(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.
16. 【答案】75
[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为
27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－30
2×（－3）＝5时，S 最大，S
最大值
＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲
养室总占地面积最大为75 m 2.
17. 【答案】y ＝－
19
(x ＋6)2
＋4
18. 【答案】48
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点
H.
∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.
由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，
∴OC＝9＋7＝16(m)．
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.
∵抛物线的顶点为C(0，16)，
∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.
把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，
∴a＝－1 36，
∴y＝－1
36x
2＋16.
当y＝0时，0＝－1
36x
2＋16，
∴－1
36x
2＝－16，解得x＝±24，
∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24 m，
∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．
三、解答题（本大题共4道小题）
19. 【答案】
解:(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意，有解得
∴y与x的函数关系式是y=-2x+200..
②设进价为t元/件，由题意，1000=100×(50-t)，解得t=40，∴进价为40元/件; 周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元.故答案为40，70，1800.
(2)依题意有，
w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2x-2+m2-60m+1800.∵m>0，∴对称轴x=>70，
∵-2<0，∴抛物线开口向下，
∵x≤65，∴w随x的增大而增大，
∴当x=65时，w有最大值(-2×65+200)(65-40-m)，
∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400，
∴m=5.
20. 【答案】
解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15(米)，
∴此时足球距离地面的高度为15米．(2分)
(2)∵h＝10，
∴20t－5t2＝10，
即t2－4t＋2＝0，解得t1＝2＋2，t2＝2－2，
∴经过2＋2或2－ 2 秒时，足球距离地面的高度为10米．(4分)
(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(－20)2－20m＞0，
∴m＜20，
∴m的取值范围是0≤m＜20.(8分)
21. 【答案】
解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，
由50x－1100>0，(2分)
解得x>22，(3分)
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元．(5分)
(2)设每天的净收入为y元，
当0<x≤100时，y1＝50x－1100，(6分)
∵y1随x的增大而增大，
∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；(8分)
当x>100时，y2＝(50－x－100
5)x－1100＝－
1
5x
2＋70x－1100＝－
1
5(x－175)
2＋
5025.(9分)
∴当x＝175时，y2的最大值是5025，
∵5025>3900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．(10分) 22. 【答案】
(1)设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，
由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =，
∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．
(2)设该公司日获利为W 元，由题意得
2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+，
∵20a =-<，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴65x =，
∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大，
∵3060x ≤≤，
∴60x =时，W 有最大值，
22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。