人教版数学高二A版选修1-2本章整合 第三章数系的扩充与复数的引入

本章整合
知识网络
注：以上a ，b ，c ，d 都是实数．
专题探究
专题一 复数的概念及其几何意义
复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．
复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题．
【例1】已知m ∈R ，复数z ＝
m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 对应的点位于复平面的第二象限；
(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
解：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0得m ＝－3，
故当m ＝－3时，z ∈R .
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，
解得m ＝0或m ＝2.
∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1＜0，m 2＋2m －3＞0，
解得m ＜－3或1＜m ＜2，
故当m ＜－3或1＜m ＜2时，
z 对应的点位于复平面的第二象限．
(4)由m (m －2)m －1
＋(m 2＋2m －3)＋3＝0， 得m (m 2＋2m －4)m －1
＝0. 解得m ＝0或m ＝－1±5.
∴当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
专题二 复数的四则运算与共轭复数
历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上；熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．
复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．
【例2】若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a ＋6i ＋4a i －825＝3a －8＋(6＋4a )i 25
. 因为z 1z 2
为纯虚数，所以3a －8＝0且6＋4a ≠0， 所以a ＝83
. 答案：83
专题三 复数的综合应用
复数是一个重要的知识载体和知识交会点，数学中很多问题都与复数有关．解决复数的综合问题时，仍然要以复数的概念以及复数的运算为主，同时注意结合其他知识以及常见的
数学思想方法．
【例3】复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i
且|z |＝4，z 对应的点Z 在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．
解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i
(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①
∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，
∴|z －z |＝|z |.
把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，②
代入①得，|b |＝1.
又∵Z 点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.
由①②得⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1. 【例4】已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值．
解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
则|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1.
∴(x ＋2)2＋(y －2)2＝1.
∴|z －3－2i|＝
(x －3)2＋(y －2)2 ＝(x －3)2＋1－(x ＋2)2＝
－10x ＋6. 由(y －2)2＝1－(x ＋2)2≥0，得x 2＋4x ＋3≤0.
∴－3≤x ≤－1，∴16≤－10x ＋6≤36.
∴4≤－10x ＋6≤6.
∴当x ＝－1时，|z －3－2i|的最小值为4.
解法二：由复数及其模的几何意义知：
满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1，复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，半径r ＝1的圆，而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．
由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r. 又|AC|＝(3＋2)2＋(2－2)2＝5，
所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.。