2015年高中数学学业水平考试专题综合检测模拟试卷(二)

2 高中学业水平考试《数学》模拟试卷
(二 )
一、选择题 (本大题共 25 小题，第 1～ 15 题每题 2 分，第 16～ 25 题每题 3 分，共
60 分．每题中只有一个选项是切合题意的，不选、多项选择、错选均不得分
)
1. 会合 M ＝{ a ， c ，d } ， N ＝ { b ， d } ，则 M ∩ N ＝ (
)
A. ?
B.
{ d } C. {
} D. {
}
a ， c a ，
b ，
c ，
d 2. 函数 y ＝ lg(1 －x)的定义域是 ( )
A. { x | }
B. { x |x<1 }
C. { x | }
D. {
x |x>1 }
x ≤ 1 x ≥ 1
3. 以下函数中，既是奇函数又是增函数的是
( )
3
1
1
x
A. y ＝ x
B. y ＝ x
C. y ＝ log 3x
D. y ＝(2)
4. 以下函数中只有一个零点的是 ( )
－ 1
B. y ＝ x 2－ 1
C. y ＝2x
D. y ＝ lg x
A. y ＝ x
5. 已知平面 α和直线 a ， b ， c ，以下条件中，能使 a ∥ b 的是 (
)
A. a ∥ α， b ∥ α
B. a ⊥c ， b ⊥ c
C. a ⊥ c ， c ⊥ α ，b ∥ α
D. a ⊥ α，b ⊥ α
(第 6题)
6. 某长方体的正 (主 )视图、侧 ( 左)视图如下图，则该长方体的俯视图的面积是 ( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
7. 点 P(4， a)到直线 4x － 3y － 1＝0 的距离等于 3，则实数 a 的值是 (
)
1 A.
2或 7
B.0或 10
C.7
D.10
8. 圆 x 2＋ y 2－ 2x ＝0 与圆 x 2＋y 2
＋ 4y ＝ 0 的地点关系是 (
)
A. 相离
B. 外切
C. 订交
D. 内切
9. 若直线 l 经过第二象限和第四象限，则直线
l 的倾斜角的取值范围是
()
π π π
A.[0，2) ，π ) C. (
， π ) D. (0 ，π )
B.[ 2
2
10. 已知向量
a ＝( x ， 1)，
b ＝ (8， 4)，且 a ∥ b ，则 x 的值是 () 1 1
A. 2
B. 2
C. －2
D. －2
11.
已知 cos θ＝－
π
θ等于 ( )
3， θ∈ (
， π )，则 tan
5
2
4
3
4
3
A. 3
B. 4
C. －3
D. －4
12. 函数 y ＝ 2cos x ， x ∈R 的一个单一递加区间是 ()
π π π 3π
A. (－ ， 2 )
B. (0， π ) ，
2 C.(2 2 ) D. ( π ， 2π )
x 2 y 2
13. 椭圆 25＋ 9 ＝ 1 的焦点坐标是 ( )
A. ( － 3， 0)， (3， 0)
B. (－ 4，0)，(4， 0)
C. (0，－ 4)， (0， 4)
D. (0 ，－ 3)， (0， 3)
14. sin 15 cos °75 ＋°cos 15 sin ° 75 等°于 (
)
1
3
A. 0
B. 2
C. 2
D. 1
π
15. 为了获得函数 y ＝ sin(2x － 3 )(x ∈ R )的图象，只要把函数 y ＝ sin 2x 的图象上全部的
点 ()
π
个单位长度
B. 向右平移 π
个单位长度
A. 向右平移 3
6
π
个单位长度
D. 向左平移 π
个单位长度
C. 向左平移 3 6 16. 在△ ABC 中，若 a ＝ 5 2， c ＝ 10，∠ A ＝ 30°，则∠ B 等于 (
) A. 105 °B. 60 或° 120 ° C. 15 °D. 105 或° 15°
17. 在△ ABC 中， a ＋ b ＝ 13，ab ＝ 40，∠ C ＝60°，则 c 等于 ( )
A.
129 B. 11 C. 69 D. 7
18. 不等式 4x 2
－ 4x ＋ 1≥ 0 的解集为 (
)
A.
1 B.
x x ≥
1
C.R
D. ?
2
2
y ≥ 1，
19. 当 x ，y 知足条件
x － y ≥ 0， 时，目标函数 z ＝x ＋ y 的最小值是 ()
x ＋ 2y － 6≤0
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
20. 在等比数列 { a n } 中， S n 表示数列的前
n 项和．若 a 3＝ 2S 2＋ 1， a 4＝ 2S 3＋ 1，则公比
q 的值等于 (
)
A. 3
B. －3
C. －1
D.1
21. 假如若干个函数的图象经过平移后可以重合，则它们为“互为生成”函数，以下
函数：()
① f 1 (x)＝ sinx ＋ cosx ；
② f 2 (x)＝ 2sinx ＋ 2；
③ f 3 (x)＝ sinx ；
④ f 4 (x)＝ 2(sinx ＋ cosx)．
此中“互为生成”函数有 A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ①②④
22. 在空间直角坐标系中，设
A(1，2，a)，B(2，3，4)，若 |AB|＝
3，则实数 a 的值是
(
)
A.3 或 5
B. －3或－5
C.3或－5
D. －3或 5
23. 设 x ∈R ，则 “x>1”是 “x 2>x ”的 ( ) A. 充足不用要条件
B. 必需不充足条件
C. 充足必需条件
D. 既不充足又不用要条件
24. 已知 F 1，F 2 是双曲线
x 2
－ y 2
＝ 1 的焦点，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 F 1 的距
16 20
离等于 9，则点 P 到焦点 F 2 的距离为 (
)
A. 1
B. 17
C.1或 17
D. 16
25.
x 2
－ y 2
＝ 1 的一条渐近线垂直，则实数
k 的值是 ()
直线 y ＝ kx ＋ 1 与双曲线 16
9
A. 4或－ 4
B. 5或－ 5
C. 3
或－
3
4或－ 4
5 5 44
4 4 D. 3 3
二、填空题 (本大题共 5
小题，每题 2 分，共 10 分)
26. 已知奇函数 f(x)的定义域是 R ，且当 x ∈ [1，5]时，f(x)＝ x 3＋ 1，则 f(－2) ＝________．
27. 过点 (0 ，1)且与直线 3x ＋ 5y － 7＝ 0 垂直的直线方程是 ____________ ．
π
1
28. 函数 y ＝ 2sin( 3 x ＋ 2)的最小正周期是 ________．
29. 若 x ，y 都是正实数，且 x ＋ y ＝ 20，则 xy 的最大值是 ________．
x 2 y 2
30. 过椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点
P ，F 2 为右焦点． 若
∠ F 1PF 2＝ 60°，则椭圆的离心率为 ________．
三、解答题 (本大题共 4 小题，第 31， 32 题每题 7 分，第 33， 34 题每题 8 分，共 30
分 )
1
31. (此题 7 分 )已知 a ＝ (cos 2α，sin α－ 1)，b ＝ (1，2sin α )，且 a ·b ＝－ 5，求 sin α
的值．
32. (此题 7 分，有 A 、 B 两题，任选此中一题达成，两题都做，以
A 题计分 )
(A) 在四棱锥 S － ABCD 中，侧棱 SD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， E 是 SB 的中点． 求证： (1)SD ∥平面 EAC ； (2)AC ⊥ SB.
(B)如图，四边形 ABCD 是正方形， PD ⊥平面 ABCD ， PD＝DC .
(1) 求证： AC⊥ PB；
(2)求二面角 P－ BC－ A 的大小．
33.(此题 8 分 )已知抛物线 y2＝－ x 与直线 y＝ k(x＋ 1)订交于 A，B 两点．
(1)求证： OA⊥ OB；
(2) 当△ AOB 的面积等于10时，求 k 的值．
34. (此题 8 分 )已知奇函数
x＋ b
的定义域为
1
. f( x)＝2R ，f(1)＝
x ＋ a2
(1)务实数 a，b 的值；
(2)求证：函数 f(x)在区间 (－ 1， 1)上为增函数．
2 2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷
(二 )
1. B
2. B
3.A
4.D
5.D
6.B
7. C
8. C
9. A 10. A 11. D 12. B 13. D 14. A
15. B 16. D 17. D 18. C 19. B 20. A
21. C 22. A 23. A
F 1 的最小值为
10，所以，点
24. B [ 提示：假定 F 1 为左焦点，则双曲线右支上的点到 P 必在双曲线左支上，所以 P 到焦点 F 2 的距离为 9＋ 8＝ 17.]
25. D 26. － 9 27. 5x － 3y ＋ 3＝ 0 28. 6 29. 100
30.
3 [ 提示：由题意，在 Rt △ PF 1F 2 中， |PF 1 |＝ 2
3c ，|PF 2|＝
4
3c ，所以 2
3c
3
3 3
3
＋ 4
c ＝ 3
3
3c ＝ 2a ，得 a
3 .]
1
2
2
31. 解：a ·b ＝－ 5cos 2α＋ 2sin α (sin α－ 1)＝ 1－ 2sin α ＋ 2sin α － 2sin α ＝ 1－ 2sin
α ＝－ 1
，∴ sin α ＝ 3
.
5 5
32. (A) 证明： (1) 连结 BD 交 AC 于点 O ，连结 EO ，则 O 是 BD 的中点，∴ EO ∥ SD.∵ EO?
平面 EAC ，∴ SD ∥平面 EAC. (2)∵ SD ⊥平面 ABCD ，∴ SD ⊥ AC ，又 BD ⊥ AC ， SD ∩ BD ＝ D ，∴ AC ⊥平面 SDB ，∴ AC ⊥ SB.
(B)(1) ∵PD ⊥平面 ABCD ，∴ PD ⊥ AC.又∵ BD ⊥ AC ，PD ∩ BD ＝ D ，∴AC ⊥平面 PDB ，
∴ AC ⊥ PB. (2) 以射线 DC ，DA ，DP 分别为 x ，y ，z 轴正方向，成立空间直角坐标系，令 AD
→ →
＝ 1，则 CB ＝ (0，1，0)，PC ＝ (1，0，－ 1)，∴平面 PBC 的一个法向量为 (1，0， 1)．又∵平面 ABCD 的一个法向量为 (0，0， 1)，∴ cos θ＝
1 ＝
2
，∴二面角 P －BC －A 的大小为 45°.
2 2
33. 解：(1) 设 A(x 1 ，y 1 ), B(x 2，y 2)， y 2＝－ x
? ky 2
＋ y － k ＝ 0? y 1＋ y 2＝－ 1
，y 1·y 2
y ＝ k （x ＋ 1） k
2
→ → (2)直线 y ＝ k(x
＝－ 1，∴ x 1· x 2＝ (y 1y 2) ＝ 1，∴ x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，∴ OA · OB ＝ 0，即 OA ⊥ OB. 1 1 2
＝ 1 1 1 ＋ 1)恒过定点 (－ 1， 0)，∴ S △
AOB ＝ |y 1－ y 2|＝ 2（ y 1＋ y 2） － 4y 1y 2 2 2＋ 4＝ 10? k ＝ ± .
2 k
6 34. 1 ＝ 1，∴ a ＝ 1.
解： (1) 由题意， f(0) ＝ 0，∴ b ＝ 0， f(1) ＝1＋ a 2
(2) 证 明 ： 设 x 1 ， x 2 ∈ ( － 1 ， 1) ， 且 x 1<x 2 ， 则 f(x 1) － f(x 2) ＝ x 1 x 1 x 2
2＋ 1 －
x 2 2＋1＝
x 1（ x 22＋ 1）－ x 2（ x 12＋ 1） x 1 x 22－ x 2x 12＋ x 1－ x 2
（ x 2＋ 1）（ x 2＋ 1） ＝ （ x 2＋ 1）（ x 2＋ 1）
1 2
1 2
（ 1－ x 1x 2）（ x 1－ x 2）
2
2
＝ （ x 2 ＋ 1）（ x 2＋ 1） .∵ x 1x 2∈ ( － 1，
1)，∴ 1－ x 1x 2>0， x 1－ x 2<0， x 1 ＋ 1>0 ， x 2 ＋
1 2
1>0 ，∴ f(x 1)－ f(x 2)<0，即 f(x 1)< f(x 2)，∴ f(x)在区间 (－1， 1)上为增函数．。