高三数学-2018年高考仿真试题七数学理 精品

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷
数 学 理工农医类(七)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.解析:①③④正确,②错误.答案: C
2.解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.答案: A
3.解析: 异面直线无交点,逆命题真;B 、C 等价,均错.答案: D
4.解析: a =sin1,b =sin(－1)<0,c =1,d =cos1.答案: A
5.解析: T 3=T 2+1=2
6C ·(
x
a )4·(－2a x )2=x 15
.答案: A
6.解析: 原来函数的图象相当于把y =cos x 的图象按a =(3
π
,2)的方向平移得到的.由平移
公式,于是原来函数的解析式为y =cos(x －
3
π
)+2.答案: D
7.解析: 由图可知,l 应与可行域中边界线CD 重合,此时－a =
2
5134--,故a =32
.答案: A 8.解析: ∵|PF 2|－|PF 1|=2a ,
∴||||122PF PF =||)2|(|121PF a PF +=|PF 1|+||412PF a +4a ≥2|
|4||121PF a PF ⋅+4a =8a ,
其中|PF 1|=2a 时等号成立.又设P (x ,y )(x ≤－a ),则由第二定义,得
|PF 1|=(－x －c a 2)e =－ex －a ≥c －a ,即2a ≥c －a ,∴e =a c ≤3,又∵e >1,∴1<e ≤3.答案: A
9.解析: ∵a
c
b 55-=1,∴a (5)2－b 5+
c =0.a 、b 、c ∈R.故b 2≥4ac .答案: B
10.解析: AB =2BC ,OC =OA +AB +BC =OA +23AB =21AO +23OB ,∴c =－21a +2
3
b .
答案: A
11.解析: 由题意知,△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成一个正四面体,而GH ∥DF ,IJ ∥DB ,所以GH 与IJ 所成的角为60°.答案: B
12.解析: 注意观察第一个数及最后一个数的特征.答案: C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.解析: ∞→n lim (122-n n －
121
sin
2-⋅n n n )=1－∞→n lim (n
n n 121sin
-
)=1－21=21.答案: 21 14.解析: S S '=
22
1222121a a a ⨯⨯⨯=42.答案: 42
15.解析: y =2m x ⊗=22)2
()2(m
x m x --+=mx 2,∴y 2=2mx (y ≥0).答案: y 2=2mx (y ≥0)
16.解析: 烷烃的通式为22H C +n n ,设第n 个分子中C 原子个数为a n ,则a n +1=a n +2a n +2,故a n =3n －
1(a 1+1)－1=2×3n －
1－1.答案: 2×3n －
1－1
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解：(1)log 2t －2=3⇒t =32; 6分
(2)
2
122
log 2--t ≥0.6⇒8≤log 2t ≤12⇒28≤t ≤212,即t ∈［256,4096］.
12分
18.(1)证明:∵BA ·CA +AP ·CB －AP 2=(BP +PA )·(CQ +QA )+AP ·(CQ +QP +PB )－AP 2=BP ·CQ +BP ·QA +PA ·CQ +PA ·QA +AP ·CQ +AP ·QP +AP ·PB －
AP 2=BP ·CQ +BP ·AP +PA ·CQ －AP 2+AP ·CQ +2AP 2+AP ·PB －AP 2=BP ·CQ ,
∴BP ·CQ =BA ·CA +AP ·CB －AP 2.
6分
(2)解:由余弦定理得cos ∠BAC =AC BA BC AC BA ⋅-+2222=4
322)23(4)32(222⨯⨯-+=385,
∴BP ·CQ =BA ·CA +AP ·CB －AP 2=|BA ||CA |cos ∠BAC +|AP ||CB |cos α－|AP |2=23×4×
3
85
+2×32cos α－(2)2=3+6cos α.
12分
19.(1)证明:∵AP 在底面ABCD 内的射影为AC ,在正方形ABCD 中AC ⊥BD ,∴AP ⊥BD .
3分
(2)解:延长B 1P 与BC 的延长线交于点M ,连结AM ,过B 作BN ⊥AM 于点N ,连结B 1N ,则∠B 1NB 即为所求二面角的平面角,设AB =a ,则BM =3a ,
∴BN =
10
3a . ∴tan ∠B 1NB =a
a 1032=3102.
8分
(3)解:设AB =a ,C 1P =x ,要使AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线,则∠PAB 1= ∠PAC ,
∴cos ∠PAB 1=cos ∠PAC ,
即
2
22)2(2a x a a +-=
2
2222222)2(52)
(2)2(5a x a a a x a x a a +-⋅+-+-+, 解得x =
2
10
5-a , ∴P 到C 1的距离是底面边长的2
10
5-.
12分
20.(1)证明:2
)()(x f x f -+=2]
)()[()(33b x a x b ax x +-+-+++=b .
∴f (x )的图象关于(0,b )成中心对称图形.
4分
(2)解:由f (0)=f (1),有b =a +b +1,∴a =－1.
∴f (x )=x 3－x +b ,f ′(x )=3x 2－1,x ∈［－1,1］.
∴f ′(x )∈［－1,2］.∴f (x )上任一点的斜率k 的取值范围是［－1,2］. 8
分
(3)解:∵0≤x 1<x 2≤1,|y 1－y 2|=|x 13－x 1－x 23+x 2|=|x 1－x 2|·|x 12+x 1x 2+x 22－1|,0<x 12+x 1x 2+x 22<3,即－1<x 12+x 1x 2+x 22－1<2,
∴|x 12+x 1x 2+x 22－1|<2. ∴|y 1－y 2|<2|x 1－x 2|=－2(x 1－x 2). ①
又|y 1－y 2|=|f (x 1)－f (x 2)|=|f (x 1)－f (0)+f (1)－f (x 2)|≤|f (x 1)－f (0)|+|f (1)－f (x 2)|≤2(x 1－0)+2(1－x 2)=2(x 1－x 2)+2, ②
①+②得|y 1－y 2|<1. 12分 21①求映射f 下(1,2)的原象.
②若将(x ,y )看作点的坐标,问是否存在直线l 使得直线上的任意一点在映射f 的作用下的点仍在直线上?若存在,求出直线l 的方程,否则说明理由.
解:(1)设c =(m ,n ),由题意得⎪⎩⎪
⎨⎧>⋅+⋅=+=+,
001,2,
022n m n m n m 解得⎩⎨⎧-==,1,1n m ∴c =(1,－1).
5分
(2)①由题意x (1,1)+y (1,－1)=(1,2),得⎩⎨⎧=-=+,2,1y x y x 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==.
21,23y x
∴(1,2)的原象是(
23,－2
1
). ②假设存在直线l 适合题设,平行于坐标轴的直线显然不适合.
设所求的直线方程为y =kx +b (k ≠0),在该直线上任作一点P (x ,y ),经过映射f 的作用得到点Q (x ′,y ′)=(x +y ,x －y )仍在该直线上,
∴x －y =k (x +y )+b ,即(1+k )y =(1－k )x －b .
当b ≠0时,⎩
⎨⎧-=--=+,1,
11k k k 无解,
故这样的直线不存在.
当b =0时,(1+k )∶1=(1－k )∶k ,即k 2+2k －1=0,解得k =－1±2. 故这样的直线l 存在,其方程为y =(－1+2)x 或y =(－1－2)x .
12分
22.(本小题满分14分)
已知二次函数f (x )=ax 2+x +1(a >0)的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2. (1)证明(1+x 1)·(1+x 2)=1; (2)证明x 1<－1,x 2<－1; (3)若x 1、x 2满足不等式|lg
2
1
x x |≤1,试求a 的取值范围.
(1)证明:由题意知,x 1、x 2是关于x 的一元二次方程ax 2+x +1的两个实数根, ∴x 1+x 2=－
a 1,x 1x 2=a
1. ∴x 1+x 2=－x 1·x 2,
∴(1+x 1)·(1+x 2)=1.
①3分
(2)证明:由于关于x 的一元二次方程ax 2+x +1有实数根x 1、x 2,故有⎩
⎨⎧≥-=∆>.041,
0a a
∴0<a ≤41.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≥≥⋅-≤-=+,
41,412121a x x a
x x
⎩⎨
⎧>=+⋅+<-≤+++,
01)1()1(,
02)1()1(2121x x x x ⎩
⎨
⎧<+<+,01,
0121x x 即x 1<－1,x 2<－1得证.
8分
(3)解:由|lg
21x x |≤1⇔－1≤lg 21x x ≤1⇔101
≤21x x ≤10, 由①得x 1=
211x +－1=－221x x +. ∴21x x =－2
11
x +. ∴
101≤－211x +≤10,111≤－2
1x ≤1110.
∴a =
211x x ⋅=－2
221x x +=－(－21x )2+(－21x )=－［(－21x )－21］2+41, 当－
21x =21时,a 取最大值为4
1. 当－
21x =111或－21x =1110时,a 取最小值121
10. 故a 的取值范围是［12110,4
1
］. 14分。