2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习教学案：第一板块 求准度提速度

小题押题16—1⎪⎪集合、常用逻辑用语
考查点一集合
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()
A．3B．2
C．1 D．0
解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B 中元素的个数为()
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选D 集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
4．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，3
2 C.⎝⎛⎭
⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3
解析：选D ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3， ∴A ＝{x |1<x <3}．
∵2x －3>0，∴x >3
2，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x >32. ∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x >32＝⎝⎛⎭⎫3
2
，3. 考查点二 命题及其真假的判断
5．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧綈q
C ．綈p ∧q
D ．綈p ∧綈q
解析：选B 当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．
6．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n
D ．∃n ∈N ，n 2＝2n
解析：选C 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题p 的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．
7．(2014·湖南高考)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解析：选C 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈
p )∨q 为假命题，故选C.
考查点三 充分、必要条件的判断
8．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<1
2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π
6
， 故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π
12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<1
2
”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<1
2
”的充分而不必要条件． 9．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
10．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由sin α＝cos α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
11．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
解析：选C 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C.
集合——重点突破2个常考点
(一)集合的运算
1．(2017·福州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |1＜2x ≤4，x ∈N}，则A ∩B ＝( )
A ．∅
B ．(1,2]
C ．{2}
D ．{1,2}
解析：选C 因为A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |1＜2x ≤4，x ∈N}＝{1,2}，所以A ∩B ＝{2}．
2．(2018届高三·西安八校联考)已知集合M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
2x
≥1，N ＝{y |y ＝1－x 2}，则M ∩N ＝( )
A ．(－∞，2]
B ．(0,1]
C ．[0,1]
D ．(0,2]
解析：选B 由2
x ≥1得x －2x ≤0，解得0＜x ≤2，则M ＝{x |0＜x ≤2}；函数y ＝1－x 2
的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0＜x ≤1}＝(0,1]．
3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ，y ∈R}，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 集合A ∩B 的元素个数即为方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝1解的个数，解方程组得
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝0，
故选C. 4．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}
D ．A ∩B ＝∅
解析：选A ∵集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}，故选A.
5．(2018届高三·江西七校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A ∩B ＝A ，则实数c 的取值范围是( )
A ．(0,1]
B ．[1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
解析：选B A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}＝{x |0＜x ＜c }，又A ∩B ＝A ，即A ⊆B ，所以c ≥1.
[解题方略]
破解集合运算需掌握2招
第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；
第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴、有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算．
(二)集合的创新问题
以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查学生探究、发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与新性质等．
[题组突破]
1．(2017·河北衡水中学月考)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )
A ．[0,1]∪(2，＋∞)
B ．[0,1)∪[2，＋∞)
C ．[0,1]
D ．[0,2]
解析：选A 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}， 所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]， 所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．
2．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义|A －B |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
C (A )－C (B )，C (A )＞C (B )，C (B )－C (A )，C (A )＜C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x ||x 2＋2x －3|＝a }，且|A －B |＝1，则a ＝________.
解析：由于|x 2＋2x －3|＝a 的根可能有2个，3个，4个，而|A －B |＝1，故|x 2＋2x －3|＝a 只有3个根，故a ＝4.
答案：4
常用逻辑用语——从2方面强化完善
(一)把握充分、必要条件判断的3种方法
充分、必要条件的3种判断方法
利用定义判断 直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假
从集合的角度判断 若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件
利用等价转化法判
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
断
[典例] 若命题A ：“log 2a <1”，命题B ：“关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零”，则A 是B 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 法一：由log 2a <1，解得0<a <2；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a －2<0，解得a <2.
因为命题：“若0<a <2，则a <2”是真命题；而“若a <2，则0<a <2”是假命题，所以“0<a <2”是“a <2”的充分不必要条件，所以A 是B 充分不必要条件．
法二：由法一可知，满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}，满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 充分不必要条件．
[答案] A [解题方略]
解决充分、必要条件问题的策略
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充要条件的判断常通过“⇔”来判断，即转化为两个命题的判断．当遇到比较难于判断的问题时，可借助两个集合之间的关系来判断．
[针对训练]
1．设0＜x ＜π
2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 因为0＜x ＜π
2，所以0＜sin x ＜1.不等式x sin x ＜1两边同乘以sin x 可得
x sin 2x ＜sin x ，所以x sin 2x ＜sin x ＜1，即x sin x ＜1⇒x sin 2x ＜1；不等式x sin 2x ＜1两边同除以sin x 可得x sin x ＜1sin x ，而由0＜sin x ＜1知1
sin x ＞1，故x sin x ＜1不一定成立，即x sin 2x
＜1⇒ / x sin x ＜1.由以上可知，“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的必要不充分条件．
2．(2018届高三·皖南八校联考)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．
(二)警惕命题及命题真假判断的3个易错点
1．判断含有一个量词的命题的否定常忽视量词的否定，而直接对结论进行否定，导致结果出错
[练1](2017·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，
∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.
[练2]已知命题p：∀x∈R,2x＝5，则綈p为()
A．∀x∉R,2x＝5 B．∀x∈R,2x≠5
C．∃x0∈R,2x0＝5 D．∃x0∈R,2x0≠5
解析：选D结合全称命题的含义及其否定的格式可得綈p为“∃x0∈R,2x0≠5”，所以选D.
2．命题的否定与否命题的易错点
命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.
[练3]命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________．
答案：若xy≠1，则x，y不互为倒数
若xy＝1，则x，y不互为倒数
3．含逻辑联结词的命题的真假判断易错点
(1)对构成它的命题p ，q 的真假判断出错；
(2)对构成它的命题p ，q 的真假判断正确，但将含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，对“p ∧q ”是全真才真，一假必假；对“p ∨q ”是一真就真，全假才假，应注意识别.
[练4] 若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x
的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )
A ．p ∧q 是真命题
B ．p ∨q 是假命题
C ．綈p 是真命题
D ．綈q 是真命题
解析：选D 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1
x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D.
[练5] (2018届高三·腾冲调研)给出下列3个命题： p 1：函数y ＝a x ＋x (a ＞0，且a ≠1)在R 上为增函数；
p 2：∃a 0，b 0∈R ，a 20－a 0b 0＋b 20＜0；
p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z)． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨綈p 3 C ．p 1∨綈p 3
D ．綈p 2∧p 3
解析：选D 对于p 1，令f (x )＝a x ＋x (a ＞0，且a ≠1)，当a ＝1
2时，f (0)＝⎝⎛⎭⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2
，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z)，所以p 3为真命题，所以綈p 2∧p 3为真命题，故选D.
1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )
A ．{1，－3}
B ．{1,0}
C ．{1,3}
D ．{1,5}
解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．
2．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．3．(2017·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则()
A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为假命题
D．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为真命题
解析：选D全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．
4．(2018届高三·郑州四校联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是() A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c
解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
5．(2017·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．
6．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选D因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.
7.(2017·唐山模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，
则图中阴影部分表示的集合是()
A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}
C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}
解析：选C由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，
所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁
U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．
8．(2018届高三·河北五校联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧q
D ．p ∧(綈q )
解析：选C 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x ∈
⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan x ＝sin x cos x
， ∴0<cos x <1，tan x >sin x ， ∴q 为真命题，选C.
9．(2017·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q ，则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.
10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，则P －Q ＝( )
A ．{x |0<x <1}
B ．{x |0<x ≤1}
C ．{x |1≤x <2}
D ．{x |2≤x <3}
解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．
由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．
11．(2018届高三·广西五校联考)命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 2
0＋mx 0＋2m ＋5＜0”，命
题q ：“关于x 的方程2x －m ＝0有正实数解”，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实
数m 的取值范围是( )
A ．[1,10]
B ．(－∞，－2)∪(1,10]
C ．[－2,10]
D ．(－∞，－2]∪(0,10]
解析：选B 若命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 2
0＋mx 0＋2m ＋5＜0”为真命题，则Δ＝m 2
－8m －20＞0，∴m ＜－2或m ＞10；若命题q 为真命题，则关于x 的方程m ＝2x 有正实数解，因为当x ＞0时，2x ＞1，所以m ＞1.
因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＜－2或m ＞10，m ≤1或⎩
⎪⎨⎪⎧
－2≤m ≤10，
m ＞1， 所以m ＜－2或1＜m ≤10.
12．(2017·石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln b
B ．向量a ＝(1，m )与b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1
C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －
1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －
1”
D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题
解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，所以若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错；
B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0， 解得m ＝0，故B 错；
C 中，命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －
1”的否定是“∃n 0∈N *，3n 0≤(n 0＋2)·2n 0－1”，
故C 错；
D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”，是假命题，
如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，故D 正确．
13．(2018届高三·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．
解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，
即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，
需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－1
8
.
答案：1或－1
8
14．已知集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
12
<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
解析：A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
12
<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 答案：(2，＋∞)
15．(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；
③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．
(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．
解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；
当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；
当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)32
16．(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若a ∈R ，则“1
a ＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件； ②“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件； ③若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则p 是真命题；
④命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋3＞0”．
解析：由1a ＜1，得a ＜0或a ＞1，反之，由a ＞1，得1a ＜1，∴“1
a ＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件，故①正确；
由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；
∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4≤2， ∴命题p 为真命题，③正确；
命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋3≥0”，故④不正确．
答案：②④
小题押题16—2⎪⎪
平面向量与复数
卷Ⅰ
题，考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低；另一方面会与三角函数、解析几何等其他知识综合命题，难度中等．
选择题第2题 复数相等及模的运算 2015
选择题第7题
平面向量的线性运算 选择题第1题
复数的基本运算、复数的模
2017
选择题第12题
平面向量的坐标表示、向量的数量积 选择题第1题
复数的除法运算
考查点一 平面向量的线性运算及坐标运算
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→
B ．AD ―→＝13AB ―→－43A
C ―→
C ．A
D ―→＝43AB ―→＋13
AC ―→
D ．AD ―→＝43AB ―→－13
AC ―→
解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→
＝－
13AB ―→＋43
AC ―→
.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6. 答案：－6
3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧
λ＝1
2，
t ＝1
2.
答案：1
2
考查点二 平面向量的数量积及应用
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6
D ．8
解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， 所以a ＋b ＝(4，m －2)．
因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.
法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.
5．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝
⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．120°
解析：选A 因为BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―
→＝
⎝⎛⎭⎫32，12，
所以BA ―→·BC ―→
＝34＋34＝32
.
又因为BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→
|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，
所以cos ∠ABC ＝
32
. 又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°.
6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.
又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－2
7．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝
4＋4×2×1×1
2
＋4＝2 3.
法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长
为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→
|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.
答案：2 3
考查点三 复 数
8．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 对于p 1，∵1z ＝1
a ＋
b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，
∴z ∈R ，∴p 1是真命题；
对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，
∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；
对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．
9．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1，故实数m 的取值范围为(－3,1)．
10．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1＝( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
解析：选C 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则
4i
z z －1＝4i 4
＝i. 11．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.
平面向量——重点突破2个常考点
考法(一) 平面向量数量积的运算及应用
[题组突破]
1．(2018届高三·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选C 设a 与b 的夹角为θ， 由已知可得a 2＋2a·b ＋b 2＝3(a 2－2a·b ＋b 2)， 即4a·b ＝a 2＋b 2.因为|a|＝|b|，
所以a·b ＝1
2
a 2，所以cos θ＝a·
b |a|·|b|＝12，θ＝60°.
2.如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中
点，P 为线段OC 的中点，则AP ―→·OP ―→
＝( )
A ．1 B.116 C.1
4
D ．－1
2
解析：选B 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC ―→＝12OA ―→＋12OB ―→，所以OP ―→＝12OC ―→＝14(OA ―→＋OB ―→)，则AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝14OB ―→－
34OA ―→，所以AP ―→·OP ―→＝14(OB ―→－3 OA ―→)·14(OA ―→＋OB ―→)＝116(OB ―→2－3OA ―→
2)＝116
.
法二：以O 为坐标原点，OB ―→的方向为x 轴正方向，OA ―→
的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0,1)，B (2,0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP ―→＝⎝⎛⎭
⎫12，1
4， AP ―→＝⎝⎛⎭⎫1
2
，－34， 故AP ―→·OP ―→＝12×12－34×14＝1
16
.
3．(2017·云南模拟)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30
D.34
解析：选D 依题意得a 2＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， 所以|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.
考法(二) 平面向量数量积的范围问题
平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．
题型1 平面向量模的最值或范围问题
[典例] (1)(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a·b ＝2，(a －c )·(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为( )
A.7－32
B.3－1
2 C.
32 D.72
[解析] 由|a |＝|b |＝a·b ＝2，知a ，b 的夹角为π3，
可设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，c ＝(x ，y )， ∵(a －c )·(b －2c )＝0，
∴(2－x ，－y )·(1－2x ，3－2y )＝0， 即2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0.
方程2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0表示圆心为
⎝⎛⎭
⎫54，34，半径为32的圆，|b －c |＝
(x －1)2＋(y －3)2表示圆2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0上的点到点(1，3)的距离，所以|b －c |的最小值为
⎝⎛⎭⎫54－12＋⎝⎛⎭⎫34－32－32
＝7－32. [答案] A
(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→
)的最小值是( )
A ．－2
B ．－3
2
C ．－4
3
D ．－1
[解析] 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→
＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→
)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －
322－3
2
，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.
[答案] B [解题方略]
求向量模的最值(范围)的2种方法
(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
[针对训练]
1．(2017·抚州二模)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝1，c ·b ＝1，|c |＝2，则对任意的正实数t ，⎪
⎪⎪⎪c ＋ta ＋1
t b 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4
D ．4 2
解析：选B ⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2ta ·c ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2
t ≥2＋
2
t 2·1
t
2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t
2，2t ＝2t ，即t ＝1时等号成立，∴⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 的最小值为2 2.
2．(2017·泰安二模)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a |的取值范围为________．
解析：在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→
＝b ， 则b －a ＝AC ―→－AB ―→＝BC ―→
， ∵a 与b －a 的夹角为120°， ∴∠B ＝60°，由正弦定理得1
sin 60°＝|a |sin C
，
∴|a |＝sin C sin 60°＝23
3sin C ，
∵0°＜C ＜120°，∴sin C ∈(0,1]，
∴|a |∈⎝⎛⎦⎤0，
233. 答案：⎝
⎛⎦⎤0，
233
题型2 数量积的最值或范围问题
[典例] (1)(2018届高三·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，
点P 在阴影区域(含边界)中运动，则PA ―→·BD ―→的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－1
2，1 B.⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1,1] D ．[－1,0]
[解析]
∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝ 2.如图所
示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ，则PA ―→＝PO ―→＋OA ―→，OA ―→·BD ―→
＝0，
∴PA ―→·BD ―→＝(PO ―→＋OA ―→)·BD ―→＝PO ―→·BD ―→
. ∴当点P 与点B 重合时，PA ―→·BD ―→取得最大值， 即PA ―→·BD ―→＝PO ―→·BD ―→＝12×2×2＝1；
当点P 与点D 重合时，PA ―→·BD ―→
取得最小值， 即PA ―→·BD ―→＝－12×2×2＝－1.
∴PA ―→·BD ―→的取值范围是[－1,1]． [答案] C
(2)(2017·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤
32，2 B.⎝⎛⎭⎫3
2，2 C.⎣⎡⎭⎫32，2
D.⎣⎡⎭⎫3
2，＋∞ [解析] 以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所
在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.
设M (a,2－a )，
则0＜a ＜1，N (a ＋1,1－a )，
∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→
＝(a ＋1,1－a )，
∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2， ∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32，
又BM ―→·BN ―→＜2，故BM ―→·BN ―→
的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2.
[答案] C
[解题方略]
数量积的最值或范围问题的2种求解方法
(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．
[针对训练]
1．(2017·湖南一模)在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则ME ―→·MC ―→的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤
716，12 B.⎣⎡⎦⎤7
16，1 C.⎣⎡⎦⎤12，1
D ．[0,1]
解析：选B 如图，以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,1)，C (1,0)，E ⎝⎛⎭⎫
12，12.
设M (0，m )(0≤m ≤1)，
则ME ―→＝⎝⎛⎭
⎫12，12－m ，MC ―→
＝(1，－m )． ME ―→·MC ―→＝1
2－m ⎝⎛⎭⎫12－m ＝m 2－12m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m －142＋716，由于m ∈[0,1]， 则当m ＝14时，ME ―→·MC ―→
取得最小值716；
当m ＝1时，ME ―→·MC ―→
取得最大值1. 所以ME ―→·MC ―→的取值范围是⎣⎡⎦⎤716，1.
2．若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________． 解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋ 2. 答案：1＋ 2
复数——警惕3个易错点
1．混淆复数z ＝a ＋b i 的实部与虚部或误认为虚部为b i [练1] (2017·贵阳模拟)复数(i －
1－i)3的虚部为( )
A ．8i
B ．－8i
C ．8
D ．－8
解析：选C 依题意得，复数(i －
1－i)3＝(－i －i)3＝－8i 3＝8i 的虚部为8. 2．忽视复数a ＋b i 为纯虚数时，b ≠0这一条件
[练2] (2017·张掖模拟)若复数a ＋3i 1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为
( )
A ．－6
B ．－3
C ．3
D ．6
解析：选B
a ＋3i 1＋i ＝(a ＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝(a ＋3)＋(3－a )i
2，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋3＝0，
3－a ≠0，∴a ＝－3. 3．记不清共轭复数的概念，误认为z ＝a ＋b i 的共轭复数为z ＝－(a ＋b i)
[练3] 已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z 1＋i
的共轭复数为( )
A.72＋12i
B.72－12i
C.12－72
i D.12＋72
i 解析：选C 由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52， 解得x ＝－3， ∴
z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝12＋72i ，
故其共轭复数为12－7
2
i.
1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )
A.12
B.2
2 C. 2 D ．2
解析：选C 因为z ＝2i
1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )
＝i(1－i)＝1＋i ， 所以|z |＝ 2.
3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－3
8
解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38
.
4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )
A.π6
B.π3
C.π4
D.3π
4
解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2
＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.
5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.
6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→
B ．BD ―→＝32A
C ―→－AB ―→
C ．B
D ―→＝12
AC ―→－AB ―→
D ．BD ―→＝AC ―→－12
AB ―→
解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→
.
7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→
＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )
A ．48
B ．36
C ．24
D ．12
解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→
)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12 AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝1
2×82－29
×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，
则a ＋i 2 0171－i
＝( )
A ．1
B ．0
C ．i
D ．1－i
解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，
则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2
(1＋i )(1－i )
＝i.
9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→
方向上的投影是( )
A ．－3 5
B ．－
322 C ．3 5 D.32
2
解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→
＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→
方向上的投影是BA ―→·CD ―→
|BA ―→|
＝－155＝－3 5.
10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→
＝2a ，AC ―→
＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→
|＝|b |＝2，|AB ―→
|＝2|a |＝2，
∴|a |＝1，AC ―→
2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.
法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→
的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.
11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→
，
则S △BCD
S △ABD
＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23
解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝
13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝1
6S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13
.
12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→
，则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋1
2
＝2
5，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45
. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭
⎫1＋
255cos θ，2＋255sin θ.
又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→
＝(λ，2μ)，
所以⎩⎨
⎧
1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π
－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.
13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i
1＋i
(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.
解析：因为z ＝a i 1＋i ＝a i·(1－i )(1＋i )(1－i )＝a 2＋a 2
i 的虚部为－1，所以a
2＝－1，解得a ＝－2.
答案：－2
14．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→
(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→
|的最小值为________．
解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→
＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→
|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12
时，|OC ―→
|min ＝ 5.
答案： 5
15．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π
3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量
组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.
解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2
＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2
＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83
. 答案：8
3
16.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．
解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．
当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，
∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→
＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；
当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，
∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→
＝(0,1)，
∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→
＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.
综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]
小题押题16—3⎪⎪
不等式
考查点一 不等式的解法及应用
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]
D ．[1,2)
解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 故A ∩B ＝[－2，－1]．
2．(2014·大纲卷)不等式组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )
A ．{x |－2<x <－1}
B ．{x |－1<x <0}
C ．{x |0<x <1}
D ．{x |x >1}
解析：选C 由x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；由|x |<1，得－1<x <1.所以不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即{x |0<x <1}．
考查点二 简单的线性规划及应用
3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，
y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是
( )
A ．－15
B ．－9
C ．1
D ．9
解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域
的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.
法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.
4．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，
x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为
________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0
得A ⎝⎛⎭⎫1，12，z max ＝1＋12＝3
2. 答案：3
2
5．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥0，x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x 的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，
∵y
x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y
x 最大．。