2025届江西省吉安市遂川中学数学高三第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届江西省吉安市遂川中学数学高三第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的
三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,
1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．11,3e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．1
1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()3,e -+∞
2．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近
线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．31-
B ．31+
C ．132+
D ．132-
3．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移512
π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 4．如图，在
中，点M 是边
的中点，将
沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段
上一点.若二面角与二面角
的平面角相等，则直线
经过
的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
5．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）
A ．()ln sin f x x =
B ．()()ln cos f x x =
C ．()sin tan f x x =-
D ．()tan cos f x x =-
6．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其
中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，
113
QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
B ．(
62⎤⎦
C ．2312⎛⎤
⎥
⎝⎦
D ．(
31⎤⎦
7．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则
()3log 2a f =，3
log
2b f ⎛
=- ⎝
，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
8．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234
4935
8200 3623
4869
6938
7481
A ．08
B ．07
C ．02
D ．01
9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111
,,tan tan tan A B C
依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ．,,a b c 依次成等差数列 C ．222,,a b c 依次成等差数列
D ．333,,a b c 依次成等差数列
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28
B ．14
C ．7
D ．2
11．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得
到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则θ的最小值是（ ） A ．6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
12
π
12．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件.
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过(2,0)M -且斜率为
2
3
的直线l 交抛物线2:2(0)C y px p =>于,A B 两点，F 为C 的焦点若MFB 的面积等于MFA 的面积的2倍，则p 的值为___________.
14．设,x y 为正实数，若2241x y xy ++=则22
4220115x y
x xy y +++的取值范围是__________．
15．函数()121x
x
f x e e
b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是________.
16．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且
,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值
是_____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为())
12
3,0,3,0,F F M -为椭圆C 上任意一点，且
124MF MF +=.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线():0,0l y kx m k m =+>>交椭圆C 于,P Q 两点，且满足2
PQ OP OQ k k k =⋅（,,PQ OP OQ k k k 分别为直线
,,PQ OP OQ 的斜率），求OPQ ∆的面积为32
时直线PQ 的方程. 18．（12分）如图,四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形.//.223AB CD AD DC ==，且PAD 与ABD 均为正三角形.E 为AD 的中点,G 为PAD 重心,AC 与BD 相交于点F .
(1)求证://GF 平面PDC ； (2)求三棱锥G PCD -的体积.
19．（12分）已知函数()e ln x b f x a x x
=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.
（1）求a ，b 的值；
（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.
20．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与1B BC 是全等的等边三角形.
（1）求证：1BC AB ⊥； （2）若11
cos 4
B BA ∠=
，求二面角1B B C A --的余弦值．
21．（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A 类题、4道B 类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛. （1）求甲同学至少抽到2道B 类题的概率； （2）若甲同学答对每道A 类题的概率都是
23，答对每道B 类题的概率都是3
5
，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A 类题和1道B 类题，用X 表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 22．（10分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值
范围. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()'11
1x f x x x
-=-+=，
所以()f x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，
1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫
=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，
()1f f e e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()1f e e h =-+.
要使在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，
则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，
也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 2、D 【解析】
由双曲线的方程22
221x y a b
-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，
且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥,
点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +=
=，即22(,)33
a c b
P +，
代入双曲线的方程可得22
(2)1
144
a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 3、C
【解析】
依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】
解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3
ϕ=
，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 4、A 【解析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故
，
故，故为
中点.
故选：. 【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5、B 【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】
解：当0x =时，sin 00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos 01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ； 对于C ，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ； 故选：B 【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
6、C 【解析】
根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得
()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m
的取值范围,进而求得(
)222422c a c <≤-再求离心率的范围即可.
【详解】
设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知
m n <, 因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QF
PF ；
由11QF PF ≥,
1m n
≤<,
由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得(
)22
2mn a c
=-②,
由①②得
()
2222242c m n m n
mn n m a c +==+-； 令=+m n
t n m
,
令m v n ⎫=
∈⎪⎪⎣⎭
,
所以1t v v ⎛=+
∈ ⎝⎦
, 即
(
)
2224232c a c <≤-,
所以()
2222
23
a c c a c -<
≤
-,
所以()
222113
e e e -<≤
-,
所以
21
42
e <≤-
解得
12
e <≤. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题. 7、C 【解析】
∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．
∵当x≥1时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
为减函数，∵f （log 32）=f （2-log 32）= f （9
23
log ）
且
-34，log 34＜923log ＜3，∴b ＞a ＞c ， 故选C 8、D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D. 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 9、C 【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin B
B A
C =，由正弦定理可得
22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果.
【详解】
111
,,tan tan tan A B C
依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==
tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B B
A C
B A
C A C A C B
+∴
+==， 2sin 2cos sin sin B
B A C
=
正弦定理得22cos a B b =， 由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦
定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 10、B 【解析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()
772
a a S a +==，即可求出结果． 【详解】
因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()
7142
a a S a +===， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 11、C 【解析】
cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos(
)13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3
π
ϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值.
【详解】 ∵直线3
x π
=
是曲线C 的一条对称轴.
2()3
k k π
ϕπ∴⨯
+=∈Z ，又||2
ϕπ
<
. 3
π
ϕ∴=
.
∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
. 22()4
3
2
k k Z π
π
π
θπ∴⨯
++
=+
∈.
()26
k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为
3π. 故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
12、B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立.
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2
【解析】
联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.
【详解】
如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2MFB MFA S S =，则212y y =， 由22(2),32y x y px
⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2340y py p -+=，由>0∆，则169p >， 所以212123,24y y p y y p p +===，得1629
p =>. 故答案为：2
【点睛】
此题考查了抛物线的性质，属于中档题.
14、6(0,6
【解析】
根据2241x y xy ++=，可得2241x y xy =-+，进而()22332231212212x y x y xy xy +⎛⎫++=+≤+ ⎪⎝⎭=，有()2285x y +≤，而()()()()2222222222242201155(41)156223x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++，令82]5
x y t +=∈，得到()2223t f t t =
+，再用导数法求解， 【详解】
因为2241x y xy ++=，
所以2241x y xy =-+，
所以()22332231212212x y x y xy xy +⎛⎫++=+≤+ ⎪⎝⎭
=， 所以()2
285x y +≤， 所以()()()()2222222222242201155(41)156223
x y x y x y x y x xy y x y xy xy x y ++++===+++++++， 令82]5
x y t +=∈，()2223t f t t =+， 所以()()22246
23t f t t -+'=+，
当0t <<()0f t '>t <<()0f t '<
所以当t =
()f t 取得最大值6
又()00,31f f ==，
所以()f t 取值范围是，
故答案为： 【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题，
15、(()
1,,1e e e -- 【解析】
设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，设()1122t t g t e e +-=-，函数为奇函数，()1122'0t t g t e e +-=+>，函数单调递增，()()
'021g e =<-，画出简图，如图所示，根据()221b e <-，解得答案.
【详解】
()1112122x x x x f x e e b x e e b x --=---=---
，设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则12x t =+. 原函数等价于函数11222t t y e e b t +-=--，即1122
2t t e e b t +--=有两个解. 设()1122t t g t e e +-=-，则()()1122t t g t e e g t -+-=-=-，函数为奇函数.
()1122'0t t g t e e +-=+>，函数单调递增，()00g =，112g e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，112g e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 当0b =时，易知不成立；
当0b >时，根据对称性，考虑0x ≥时的情况，()()'021g e =<-，
画出简图，如图所示，根据图像知：故()221b e <<-1b e <<-，
根据对称性知：(()
1,,1b e e e ∈--.
故答案为：()()1,,1e e e e ---.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.
16、77
【解析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-
线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
()()1122
AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()
12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2
211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22
2211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17
因而min MN =
=故答案为:
【点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2214x y +=（
2）12y x =
或12y x =+ 【解析】
（1）根据椭圆定义求得,a b ，得椭圆方程；
（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，应用韦达定理得1212,x x x x +，
代入已知条件2PQ OP OQ k k k =⋅可得12
k =，再由椭圆中弦长公式求得弦长PQ ，原点O 到直线PQ 的距离d ，得三角形面积，从而可求得m ，得直线方程．
【详解】
解：（1）据题意设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>
则22224a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=+⎩
22,1a b ∴==
椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. （2）据2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-= ()()222264414440k m k m ∴-+->
2241m k ∴<+
设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k
-+=-=++ 2PQ OP OQ k k k =⋅
21212
y y k x x ∴=⋅ ()()21212kx m kx m k x x ∴++=
()2120mk x x m ∴++=
22
228014k m m k
-∴+=+ 又0,0k m >>
12k ∴=
PQ
∴==
原点O到直线
PQ的距离d=
)
1
22
OPQ
S PQ d m
∆
∴=⨯⨯===>
解得
m=或=
m
∴
所求直线PQ的方程为
1
2
y x
=
+或
1
2
y x
=
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为
()()
1122
,,,
P x y Q x y，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得
1212
,
x x x x
+，把这个结论代入题中条件求得参数，用它求弦长等等，从而解决问题．
18、（1
）见解析（2
【解析】
（1）第（1）问，连AG交PD于H,连接CH.证明GF// HC，即证//
GF平面PDC. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，
1
3
G PCD F PCD P CDF CDF
V V V PE S
---∆
===⨯⨯,求得三棱锥G PCD
-的体积.
【详解】
（1）方法一：连AG交PD于H,连接CH.
由梯形ABCD，||
AB CD且2
AB DC
=，知
2
1
AF
FC
=
又E为AD的中点，G为PAD
∆的重心，∴
2
1
AG
GH
=
在AHC
∆中，
2
1
AG AF
GH FC
==,故GF// HC.
又HC⊆平面PCD, GF⊄平面PCD,∴GF//平面PDC.
方法二：过G 作||GN AD 交PD 于N,过F 作FM||AD 交CD 于M,连接MN,
G 为△PAD 的重心，222, 3.333GN PG GN ED DE PE ==∴== 又ABCD 为梯形，AB||CD,11,.22
CD CF AB AF =∴= 12,3,.33MF MF GN FM AD ∴=∴=∴= 又由所作GN||AD,FM||AD,得GN // FM ，所以GNMF 为平行四边形.
因为GF||MN,,,||.GF PCD MN PCD GF PCD 平面平面平面⊄⊆∴
（2） 方法一:由平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥， BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =
由（1）知GF //平面PDC ，∴13
G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---∆===
⨯⨯ 又由梯形ABCD ，AB||CD ，且223AB DC ==12333DF BD == 又ABD ∆为正三角形，得60CDF ABD ∠==，∴13sin 2CDF S CD DF BDC ∆=⨯⨯⨯∠= 得133P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯= ∴三棱锥G PCD -的体积为32
.
方法二: 由平面PAD ⊥平面ABCD ， PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， E 为AD 的中点
∴PE AD ⊥， BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE = 由23PG PE =，∴22213333
G PCD E PCD P CDE CDE V V V PE S ---∆===⨯⨯⨯ 而又ABD ∆为正三角形，得120EDC ∠=
，得1sin 24
CDE S CD DE EDC ∆=⨯⨯⨯∠=.
∴212133333P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=， ∴三棱锥G PCD -
19、（1）2,1a b ==（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；
（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121
h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证．
【详解】
（1）函数的定义域为(0,)+∞，2
()()x x a b xe e f x x x -'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，
故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，
又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，
2a ∴=，1b =；
（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则2
2()x x
x xe e f x x -+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，
又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，
故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，
且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，
故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，
且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，
故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1
x x e x x =∈-， 则0000002()221
x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121
h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，
由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221
lnx ln x -
<--， 0()222f x ln ∴<-． 【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．
20、（1）证明见解析；（2
． 【解析】
（1）取BC 的中点O ，则1B O BC ⊥，由ABC 是等边三角形，得AO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1B AO ，由此能证明1BC AB ⊥
（2）以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.
【详解】
（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，
由于ABC 与1B BC 是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥，
且1AO B O O =，
所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1B AO ，所以1BC AB ⊥．
（2）设AB a ，1ABC B BC 与是全等的等边三角形，
所以11BB AB BC AC B C a =====，
又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=， 在1O AB 中，有22211
AB AO BO =+， 所以以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则3,0,0
2A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，130,0,2B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面1ABB 的一个法向量为(),,n x y z =，则131002203302
2ax ay n AB n AB ax az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩， 令1x =，则()1,3,1n =，
又平面1BCB 的一个法向量为()1,0,0m =，
所以二面角1B B C A --的余弦值为1130105cos 551n n m m θ⋅⨯+⨯+⨯=
==⨯⋅, 即二面角1B B C A --的余弦值为
55．
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.
21、（1）13；（2）分布列见解析，期望为2915
． 【解析】
（1）甲同学至少抽到2道B 类题包含两个事件：一个抽到2道B 类题，一个是抽到3个B 类题，计算出抽法数后可求得概率；
（2）X 的所有可能值分别为0,1,2,3，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）令“甲同学至少抽到2道B 类题”为事件A ，则抽到2道B 类题有2146C C 种取法，抽到3道B 类题有3
4C 种取法， ∴213464310401()1203C C C P A C +===； （2）X 的所有可能值分别为0,1,2,3，
2122(0)()3545P X ==⨯=，1221211311(1)33533545
P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅=， 21222213204(2)()35335459P X C ==⋅+⋅⋅⋅==，223124(3)()354515
P X ==⋅==， ∴X 的分布列为：
()0123454591515
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】 本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式．
22、（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =
>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1
t t x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证. 【详解】 （1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
当0a >时，()0f x '>的解集为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
， 所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212
ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1
t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1
t t h t t t +=>-，则22
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则2
2212(1)()10t H t t t t
-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着
21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证. 【点睛】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。