人教版高中数学《函数》全部教案

人教版高中数学《函数》全部教案
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第二章 函数
第一教时
教材：映射
目的：要求学生了解映射和一一映射的概念，为今后在此基础上对函数概念的
理解打下基础。

过程：
一、复习：以前遇到过的有关“对应”的例子
1 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系。

2 对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应。

3 坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y )和它对应。

4
任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应。

二、提出课题：一种特殊的对应：映射
（1） （2） （3） （4） 引导观察，分析以上三个实例。

注意讲清以下几点：
1．先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④） 3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f ： A B 集合A 到集合B 的映射。

6．讲解：象与原象定义。

再举例：1 A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射
A B
A B
A B
A B
9 4 1
3 3 2 2 1 1
30 45 60 90
1
232221
1 1
2 2
3 3 1
4 9
1 2 3
1 2 3 4 5 6
开平方
求正弦
求平方
乘以2
2︒A =N + B ={0,1} 法则：B 中的元素x 除以2得的余数 是映射 3︒A =Z B =N * 法则：求绝对值 不是映射（A 中没有象）
4︒A ={0,1,2,4} B ={0,1,4,9,64} 法则：f ：a b =(a -1)2 是映射
三、一一映射
观察上面的例图（2） 得出两个特点：
1︒对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象 （单射） 2︒
集合B 中的每一个元素都是集合A 中的每一个元素的象 （满射）
即集合B 中的每一个元素都有原象。

结论：（见P 48） 从而得出一一映射的定义。

例一：A ={a ,b ,c ,d } B ={m ,n ,p ,q } 它是一一映射 例二：P 48
例三：看上面的图例（2）、（3）、（4）及例1︒、2︒、4︒ 辨析为什么不是一
一映射。

四、练习 P 49
五、作业 P 49—50 习题2．1
《教学与测试》 P 33—34第16课
第二教时
教材：函数概念及复合函数
目的：要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。

过程：
一、复习：（提问）
1．什么叫从集合到集合上的映射？
2．传统（初中）的函数的定义是什么初中学过哪些函数
二、函数概念：
1．重复初中时讲的函数（传统）定义：“定义域”“函数值”“值
域”的定义。

2．从映射的观点定义函数（近代定义）：
1︒函数实际上就是集合A 到集合B 的一个映射 f ：A B 这里 A , B 非
空。

2︒A ：定义域，原象的集合
B ：值域，象的集合（
C ）其中C ⊆ B f ：对应法则 x ∈A y ∈B
3︒函数符号：y =f (x ) —— y 是 x 的函数，简记 f (x ) 3．举例消化、巩固函数概念：见课本 P51—52 一次函数，反比例函数，二次函数 注意：1︒务必注意语言规范
2︒二次函数的值域应分 a >0, a <0 讨论
4．关于函数值 f (a ) 例：f (x )=x 2+3x +1 则 f (2)=22+3×2+1=11 注意：1︒在y =f (x )中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样。

2︒f (x )不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。

3︒f (x )与f (a )是不同的，前者为函数，后者为函数值。

三、函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数为什么 1．3
)
5)(3(1+-+=
x x x y
52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同
2。

111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同 3。

x x f =)( 2
)(x x g = 解：不是同一函数，值域不同 4．
x x f =)( 33
)(x x F = 解：是同一函数
5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同
例二： P55 例三 （略） 四、关于复合函数
设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。

f [g (x )]=2(x 2+2)-3=2x 2+1 g [f (x )]=(2x -3)2+2=4x 2-12x +11 例三：已知：f (x )=x 2-x +3 求：f (
x
1
) f (x +1) 解：f (x 1)=(x 1)2-x
1
+3
f (x +1)=(x +1)2-(x +1)+3=x 2+x +3
例四：课本P54 例一
五、小结：从映射观点出发的函数定义，符号f (x ) 函数的三要素，复合函数
六、作业：《课课练》P48-50 课时2 函数（一） 除．
“定义域”等内容 第三教时
教材：定义域
目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。

过程： 一、复习：
1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素
今天研究的课题是函数的定义域—自变量x 取值的集合（或者说：原象的集合A ）叫做函数y =f (x )的定义域。

二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。

对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。

例一、（P 54例二）求下列函数的定义域： 1．2
1
)(-=
x x f 2。

23)(+=x x f 解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须： 02≠-x 3x +2≥0 即 x ≠ 2 即 x ≥3
2- ∴函数2
1
)(-=
x x f 的定义域是： ∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}2|≠x x ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-≥32|x x
3。

x
x x f -+
+=21
1)( 解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩
⎨⎧≠-≥21
x x
∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}21|≠-≥x x x 且 例二、求下列函数的定义域： 1．14)(2
--=
x x f 2．2
14
3)(2-+--=
x x x x f
解：要使函数有意义，必须： 解：要使函数有意义，必须：
142
≥-x ⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131
40
210432x x x x x x x 且或 即： 33≤≤-x 4133≥-≤<-->⇒x x x 或或 ∴函数14)(2
--=
x x f 的定义域为： ∴函数2
14
3)(2-+--=
x x x x f 的定义域
为：
{x |33≤≤-x } { x |4133≥-≤<-->x x x 或或}
3．=
)(x f x
11111++
解：要使函数有意义，必须： 0
111
101
10≠+
+≠+≠x
x x ⇒ 21
10-≠-≠≠x x x
∴函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
--≠∈21,1,0|x R x x 且
4．x
x x x f -+=
0)1()(
解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨
⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x ∴函数x
x x x f -+=
0)1()(的定义域为：{}011|<<--<x x x 或
5。

3
7
3132+++-=
x x y
解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-
≠∈⇒37x R x 即 x <37- 或 x >3
7
- ∴函数3
731
32+++-=
x x y 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-≠∈37,|x R x x
例三、若函数a
ax ax y 1
2+
-=的定义域是一切实数，求实数a 的取值范围。

解：⎪⎩
⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>≥+-200140012
2
a a a a a a ax ax 恒成立，等价于 例四、若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4
1
(-⋅x f 的
定义域。

解：要使函数有意义，必须：
43434
543
43
45
14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤
≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
≤
≤-4343|x x 例五、设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域。

解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴函数)2(-x f 的定域义为：{}
2460|+≤≤x x
三、小结： 求（整式、分式、根式）函数定义域的基本法则。

四、 P 57 习题2、2 1—3 （其中1、3题为复习上节内容） 《课课练》P 49-50 有关定义域内容 《精编》P 81 5 P 82 15、16、17、18
第四教时
教材： 函数的表示法，分段函数，区间。

目的： 要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念
和区间的概念。

过程：
一、复习：函数的概念
提出课题：函数的表示法。

常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。

二、解析法：
定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数
的解析表达式。

它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。

例：加速度公式： 2
2
1gt s =
（如 260t s =） 圆面积公式： π=A 2r 圆柱表面积： rl s π2=
二次函数 c bx ax y ++=2 )0(≠a 2-=x y （x ≥2）
又例： 31--+=x x y 我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：
31--+=x x y =⎪⎩⎪
⎨⎧--4224
x 3311>≤<--≤x x x
这一种函数我们把它称为分段函数。

三、列表法：
定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。

它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。

例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽
车、火车站的里程价目表等等。

又如：1984-1994年国民生产总值表。

P52 四、图象法
定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。

例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。

又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略） 人口出生率变化曲线 （见P53）略
它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。

注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），
也可以是折线及一些孤立的点集（或点）。

例四、例五、例六 见P55-56 （略）
（注意强调分段函数概念）
五、区间 见课本P53-54
注意：1）这是（关于区间）的定义
2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示（答案）
3）“闭”与“开”在数轴上的表示 4）关于“+∞”“-∞”的概念
六、小结：三种表示法及优点 练习：P56 练习 七、作业： P57 习题2、2 3，4，5，6
第五教时
教材： 函数的解析式；《教学与测试》第17、18课
目的： 要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。

过程：
一、复习：函数的三种常用表示方法。

提问：1、已知⎪⎩
⎪
⎨⎧+=10)(x x f π )
0()0()
0(>=<x x x 则：1)]}1([{)0(;0)1(;2)1(+=-==-=ππf f f f f f
2、已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )] 解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x 二、提出问题：已知复合函数如何求 例一、（《教学与测试》P 37 例一） 1．若)21(x x x f +=+,求f (x )。

解法一（换元法）：令t =1+x 则x =t 2-1, t ≥1代入原式有 1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）
解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1 ∴f (x )=x 2-1 (x ≥1)
2．若x
x
x f -=1)1( 求f (x )
解： 令x t 1= 则t x 1= (t ≠0) 则11
111
)(-=-=t t
t t f
∴f (x )=11
-x (x ≠0且x ≠1)
例二、已知f (x )=ax +b ,且af (x )+b =ax +8 求f (x )
解：（待定系数法）
∵af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2
x +ab +b ∴⎩⎨⎧=+=8
9
2b ab a
解之⎩⎨⎧==23b a 或 ⎩⎨⎧-=-=43b a ∴f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4
例三、已知f (x )是一次函数, 且f [f (x )]=4x -1, 求f (x )的解析式。

解：（待定系数法）设f (x )=kx +b 则 k (kx +b )+b =4x -1
则⎪⎩⎪⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴3
1
2)(-
=x x f 或12)(+-=x x f 例四、[]2
2
1)(,21)(x
x x g f x x g -=-= (x ≠0) 求)21(f 解一：令x t 21-= 则 21t x -= ∴2
22221234
)1(4)1(1)(t
t t t t t t f +--+=---
= ∴154
11141
13)2
1(=+
--
+=
f
解二：令 2121=-x 则 41=x ∴15)41()41(1)2
1(22
=-=
f 三、应用题：《教学与测试》思考题
例五、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再
回到A 。

设x 表示P 点的行程，y 表示P A 的长，求y 关于x 的函数。

解：如图 当P 在AB 边上运动时, PA =x
在BC 边上运动时 PA =2)1(1-+x 在CD 边上运动时PA =2)3(1x -+ 当P 在DA 边上运动时PA =4-x ∴⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧
-+-+-=x x x x x x y 41062222 )43()32()21()10(≤<≤<≤<≤≤x x x x
四、小结：几种常见方法
五、作业： 《教学与测试》 P 38 4、5、6、7、8 《课课练》 P 49 3 P 50 8 补充：
1．设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。

解：)1
(3)1()1(3x x x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-=
2)1
()1(2-+=+x
x x x g ∴2)(2-=x x g
∴ []=)(x g f 296246-+-x x x
2．已知 2
1)1(x x x f ++= (x >0) 求f (x ) )11(2x
x ++
3．已知 x x x f 2)12(2-=+ 求f (x ) 4．《精编》 P 31 6、7、8
第六教时
D A P B
（若时间不够，可将部分内容延至第七教时）
教材：函数图象；《教学与测试》第
19课
目的：要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。

过程：
一、复习：函数有哪三种表示方法？
今天主要研究函数的图象。

二、例一、画出下列函数的图象。

（《教学与测试》P39）
1。

x
y)1
(-
={}3,2,1,0
∈
x 2。

x
x
y-
-
=1
解：
⎩
⎨
⎧
-
=
-
-
=
1
2
1
1
x
x
x
y
)1
(
)1
(
<
≥
x
x
注意：由于定义域从而导致
函数图象只是若干个孤立点。

3。

x
x
x
y
-
+
=
)
2
1
(
注意：先写成分段函数再作图。

解：定义域为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠
-
-
≠
2
1
x
x
x0
<
⇒x且x≠
2
1
-
强调：定义域十分重要。

三、例二、根据所给定义域，画出函数2
2
2+
-
=x
x
y的图象。

1。

R
x∈ 2。

]2,1
(-
∈
x3。

]2,1
(-
∈
x且x∈Z
四、关于分段函数的图象
例三、已知⎪⎩
⎪
⎨⎧--=123)(2πx x f
0()0()0(<=>x x x 画出它的图象，并求f (1),f (-2)。

解：f (1)=3×12-2=1
f (-
2)=-1
五、关于函数图象的变换
1．平移变换 研究函数y =f (x )与y =f (x +a )+b 的图象之间的关系
例四、函数2)1(+=x y -2和1)2
1
(2+-=x y 的图象分别是由2x y =函数的图象
经过如何变化得到的。

2
x 的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y 轴
向下平移2个单位得2)1(+=x y -2的图象；
2）将2x y =的图象沿x 轴向右平移
2
1
个 单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数1)2
1
(2+-=x y 的图象。

小结：1。

将函数y =f (x )的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0
向右）得y =f (x +k )图象；
2．将函数y =f (x )的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向
下）得y =f (x ) +k 图象。

1
2、对称变换 函数y =f (x )与y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象分别关于x 轴、y
轴、原点对称
例五、设x
x f 1
)(=
(x >0)作出y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象。

横坐标不变，纵坐标 纵坐标不变，横坐标 横坐标与纵坐标都取
取相反数 取相反数 原来相反数
图象关于轴对称 图象关于轴对称
图象关于原点对称 3、翻折变换 由函数y =f (x )的图象作出y =|f (x )|与y =f (|x |)的图象 例六、作出函数y =|x 2-2x -1|及y =|x |2-2|x |-1的图象。

解：分析1： 当x 2-2x -1≥0时，y =x 2-2x -1 当x 2-2x -1<0时，y =-(x 2-2x -1)
步骤：1.作出函数y =x 2-2x -1的图象
2．将上述图象x 轴下方部
分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象。

分析2：当x ≥0时 y =x 2-2x -1
y
当x <0时 y =x 2+2x -1 即 y =(-x )2
-2(-x )-1
步骤：1）作出y =x 2
-2x -1的图象； ）y 轴右方部分不变，再将右方部分以y 轴为对称轴向左翻折，即得y =|x |2-2|x |-1的图象 。

小结： 将y =f (x )的图象，x 轴上方部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻
折即得y =|f (x )|的图象；
将y =f (x )的图象，y 轴右方部分不变，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y =f (|x |)的图象。

六、作业：
《教学与测试》 P40 7、8 《课课练》 P53 3 P54 9 《精编》 P83 24、25、26 （第26题应作启发： 3
1
231)3(2352---=-+--=--=
x x x x x y ） 第七教时
教材： 续函数图象
目的： 完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。

过程：
例一、 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了
再走余下的路程。

在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种。

（《教学与测试》 备
(A) (B) (C) (D)
解： A 、C 图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）应
排除，B 、D 中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小。

故应选D 。

例二、设M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2} 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系有几个？
(A) (B) (C) (D) 解：(A)中定义域为
[0,1] (C)中值域[0,3]≠N (D)中x 的值(如x =1)有两个y 值与之对应，不是函数 ∴只有(B)正确。

例五、讨论函数273++=
x x y 的图象与x
y 1
=的图象的关系。

（《精编》 P79） 解： 273++=
x x y 2
132163++=+++=x x x 可由x y 1=
的图象向左平移两个单位得2
1+=x y 的图象，再向上平移三个单位得32
1
++=
x y 的图象。

例六、如图为y =f (x )的图象，求作y = -f (x )，y =f (-x )， y =|f (x )|，y =f (|x |)的图象。

)(x f - )(x f y = )(x f y = 作业：作出下列函数的图象：
1.⎩⎨⎧---=1
4)(22
x x
x f
)
20()02(≤<≤≤-x x 2.322-+=x x y
3.4
47+-=
x x
y 4.322--=x x y 第八教时
教材：函数的值域
目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值
域。

过程：
一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。

提出课题：函数的值域 二、新授：
1．直接法（观察法）：
例一、求下列函数的值域：1︒ 1
+=
x x
y 2︒ x x f -+=15)( 解：1︒ 1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵01
1
≠+x ∴1≠y 即函数1
+=x x
y 的值域是 { y | y ∈R 且y ≠1}
（此法亦称部分分式法）
2︒ x x f -+=15)( ∵),0[1+∞∈-x ∴
),5[)(+∞∈x f
即函数y =x x f -+=15)(的值域是 { y | y ≥5}
2．二次函数法：
例二、1︒若x 为实数，求 y =x 2+2x +3的值域 解：由题设 x ≥0 y =x 2+2x +3=(x +1)2+2
当 x =0 时 y min =3 函数无最大值
∴函数 y =x 2+2x +3的值域是{ y | y ≥3} 2︒求函数 242x x y --=的值域
解：由 4x -x 2≥0 得 0≤x ≤4
在此区间内 (4x -x 2)ma x =4 (4x -x 2)min =0
∴函数242x x y --=的值域是{ y | 0≤y ≤2}
3．判别式法（△法）
例三、求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域
解一：去分母得 (y -1)x 2+(y +5)x -6y -6=0 (*)
当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y +5)2+4(y -1)×6(y +1)≥0 由此得 (5y +1)2≥0
检验 5
1
-=y 时 2)
5
6(25
51=-⋅+--=x （代入(*)求根）
∵2∉定义域 { x | x ≠2且 x ≠3} ∴5
1
-≠y
再检验 y =1 代入(*)求得 x =2 ∴y ≠1
综上所述，函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域为 { y | y ≠1且
y ≠5
1
-}
解二：把已知函数化为函数3
6
133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=
x x x x x x x y
(x ≠2) 由此可得 y ≠1
∵x =2时 51-=y 即 5
1
-≠y
∴函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域为 { y | y ≠1且 y ≠51-}
4．换元法
例四、求函数x x y -+=142的值域
解：设 x t -=1 则 t ≥0 x =1-t 2
代入得 y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4
三、小结：
1．直接法：应注意基本初等函数的值域 2．二次函数法：应特别当心“定义域” 3．△法：须检验
4．换元法：注意“新元”的取值范围 四、练习与作业：
《课课练》 P51—54中有关值域部分 《教学与测试》 P41—42中有关值域部分
第九教时
教材：函数的单调性
目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。

能利用单调性进一步研究函数。

过程：
一、复习函数的图象 作y =x 2 y =x 3 y =-x 3
二、引导观察：从而得出函数单调性的直观概念。

1、观察讲解时注意：1。

“在区间上” 2。

“随着x 的…” “相应的y 值…”
3。

“我们说函数…在…上是增（减）函数”
2、上升到理性，得出定义： （见P58）
注意强调：1。

属于定义域I 内某个区间上
2。

任意．．
两个自变量x 1,x 2且x 1<x 2时 3。

都有．．f (x 1)<f (x 2)
4。

可用P58的示意图
3、讲解“单调区间”概念。

同时解释一下“严格”单调的意义。

三、例题：例一 图象法 见P59例一 （略）
例二 定义法 见P59例二 （略）
例三 定义法 见P59-60 例三 （略）
注意：课本中的两个“想一想” 同时强调观察—猜想—讨论的方法。

例四、讨论函数21)(x x f -=的单调性。

解：定义域 {x |-1≤x ≤1} 在[-1,1]上任取x 1,x 2且x 1<x 2 则2111)(x x f -= 2221)(x x f -=
则)(1x f -2221211)(x x x f ---==
2221222111)1()1(x x x x -+---- =222
11212222
1212211))((11x x x x x x x x x x -+--+=-+--
∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221
>+++x x ∴若-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f
)(1x f <)(2x f
若 x 1<x 2≤1 则 x 1+x 2>0 则)(1x f -0)(2>x f
)(1x f >)(2x f
∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数，在[0，1]上为减函数。

四、小结：1.有关单调性的定义；
2.关于单调区间的概念；
3.判断函数单调性的常用方法：定义法
图象观察—猜想—推理论证
五、作业（练习）
P60 练习 P64-65 习题 4、5、6
练习中 1 口答 其中1、2、3 口答
第十教时
教材：函数的奇偶性
目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。

过程：
一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。

二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性
1．依然观察 y=x 2与 y=x 3 的图象――从对称的角度
．观察结果：
y=x 2的图象关于轴对称
y=x 3的图象关于原点对称
3．继而，更深入分析这两种对称的特点：
①当自变量取一对相反数时，y 取同一值．
f(x)=y=x 2 f(-1)=f(1)=1 4
1)21()21(==-f f 即 f(-x)=f(x)
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x 2的图象上，则该点关于y 轴的对称点
(-x,y) 也在函数y=x 2的图象上．
②当自变量取一对相反数时，y 亦取相反数．
f(x)=y=x 3 f(-1)=-f(1)=-1 8
1)21()21(-=-=-f f 即 f(-x)=f(x)
再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x 3的图象上，则该点关于原点的对称点
(-x,-y) 也在函数y=x 3的图象上．
4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略）
注意强调：①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条
件――前提
②＂定义域内任一个＂：
意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究
③判断函数奇偶性最基本的方法：
先看定义域，再用定义――f(-x)=f(x) ( 或f(-x)=-f(x) )
三、例题：例一、（见P61－62 例四）
例二、（见P62 例五）
此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型．
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函
数、非奇非偶函数
例：x
y 1= y=2x （奇函数） y=-3x 2+1 y=2x 4+3x 2 （偶函数）
y=0 （即奇且偶函数）
y=2x+1 （非奇非偶函数）
例三、判断下列函数的奇偶性：
1．x
x x x f -+-=11)1()( 解：定义域：1101101
<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≠-x x
x x 关于原点非对称区间
∴此函数为非奇非偶函数
2．2211)(x x x f --=
解：定义域：⎩⎨⎧⎩
⎨⎧≤≤--≤≥⇒≥-≥-1111010122x x x x x 或 ∴定义域为 x =±1 )(11)(22x f x x x f =--=- 且 f (±1) = 0
∴此函数为即奇且偶函数
3．⎩⎨⎧>-<+=)
0()0()(22x x x x x x x f 解：显然定义域关于原点对称
当 x>0时, -x<0 f (-x) = x 2-x = -(x -x 2)
当 x<0时, -x>0 f (-x) = -x -x 2 = -(x 2+x)
即：)()
0()()0()()(22x f x x x x x x x f -=⎩⎨⎧>--<+-=- ∴此函数为奇函数
四、奇函数⇔图象关于原点对称
偶函数⇔图象关于轴对称
例四、（见P63 例六） 略
五、小结：1．定义 2．图象特征 3．判定方法
六、作业：P63 练习
P65 习题2. 3 7、8、9
第十一教时
教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（《教学与测试》第21、22课）
目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻
的理解。

过程：
一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。

二、处理《教学与测试》第21、22课例题
例一．（P43 例一）注意突出定义域：x≠1 然后分区间讨论
例二．（P43 例二）难点在于：判断x2 + x1x2 + x2 > 0 应考虑用配方法而且：∵x1, x2中至少有一个不为0, ∴……
反之，倘若x1, x2全为0 x2 + x1x2 + x2 = 0
例三．（P43 例三）难点在于：分 a > 0, a = 0, a < 0 讨论
应突出“二次函数”，再结合图象分析例四．（P45 例一） 1、2题已讲过；
第3题是两个函数之乘积, 尤其后者要利用幂指
数概念
例五．（P45 例二）此题是常见形式：应注意其中的“转换
．．”关系例六．（P45 例三）此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。

三、补充：
例七、已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。

证：任取x1, x∈ R 且x1 < x2
∵g (x) 在R上是增函数∴g (x1) <g (x2)
又∵f (x)在R上是增函数∴f [g (x1)] < f [g (x2)]
而且x1 < x2 ∴f [g (x)] 在R上是增函数
同理可以推广：
若 f (x )、g (x ) 均是R 上的减函数，则 f [g (x )] 是R 上的增函数
若 f (x )、g (x ) 是R 上的一增、一减函数，则 f [g (x )] 是R 上的减函数 例八、函数 f (x )在 [0, )∞+上单调递减，求)1(2x f -的递减区间。

解：f (x ) 定义域：[0, )∞+
又∵21x -≥0 ∴只要 1 - x 2≥0 即 x 2≤1 ∴ - 1 ≤ x ≤ 1
当 x ∈ [ 0, 1] 时, u =21x -关于 x 递增, f (u)关于 x 递减
∴单调区间为 [-1，0]
例九、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：
1．f (0) = 0
2．若 f (x ) 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则 f (x ) 在)(0,∞-上有最大值1。

3．若 f (x ) 在 [1, )∞+上为增函数，则 f (x ) 在 ](1,-∞-上为减函数。

4．若 x > 0时，f (x ) = x 2 - 2x , 则 x < 0 时，f (x ) = - x 2 - 2x 。

其中正确的序号是： ① ② ④
例十、判断 111
1)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性。

解：∵ 0112≠+++x x ∴函数的定义域为 R
且 f (x ) + f (-x )
0)11()1()1()1()1(1)()(11)()(111112222222222222=-++--+++-+=+-+-+--+-+++++-++=
x
x x x x x x x x x x x x x ∴f (x ) = - f (-x ) ∴f (x ) 为奇函数
注：判断函数奇偶性的又一途径：f (x ) + f (-x ) = 0 为奇函数
f (x ) + f (-x ) = 2 f (x ) 为偶函数
四、作业：《教学与测试》 第21、22课中“练习题”
第十二教时
教材：反函数（1）
目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。

过程：
一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。

二、反函数的引入及其定义：
1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是： y = 3x - 1
②这个映射是有方向的：f :：A B ( f ：x y = 3x - 1)
③如果把方向“倒过来”呢？
（写成） f -1： A B ( f -1：y 1+y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 3
1+=y x 的联系 我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后
者的解析是前者解析中解出来的（x ）。

2．得出结论：函数 3
1+=
y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。

定义：P66 （略）
注意：（再反复强调）：①用 y 表示 x , x = ϕ (y )
②满足函数的（近代）定义
③自变量与函数对调
④定义域与值域对调
⑤写法：x = f -1(y )
考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯，将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x ) 如上例 f -1：31+=x y
3．几个必须清楚的问题：
1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x )，那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f (x )，它们互为反函数。

2︒ 并不是所有的函数都有反函数。

如 y = x 2（可作映射说明）
因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。

3︒ 两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域
原函数的值域是它的反函数的定义域
如：)(2
Z y y x ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。

4︒ 指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。

三、求反函数：
1．例题：（见P66—67 例一）
注意：1︒ 强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一
一
映射。

2︒ 求出反函数后习惯上必须将 x 、y 对调，写成习惯形式。

3︒ 求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值
域。

2．小结：求函数反函数的步骤：
1︒判析 2︒反解 3︒互换 4︒写出定义域
3．补充例题：
1︒ 求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数。

解：∵ -1≤ x < 0 ∴0 < x 2 ≤ 1 ∴0≤1 - x 2 < 1
∴ 0 ≤21x -< 1 ∴0 < y ≤ 1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1≤ x < 0 )
∴211x y --=(-1≤ x < 0)的反函数是：22x x y --=( 0 < x ≤1 )
2︒ 求函数 ⎩⎨⎧<≤-≤≤-=)01()10(122x x
x x y 的反函数。

解：①当 0≤ x ≤1时， -1 ≤ x 2-1 ≤ 0 即 0 ≤ y ≤ 1
由 y = x 2-1 (0≤ x ≤1) 解得 1+-=y x (-1≤ y ≤ 0)
∴ f -1(x ) = 1+-x (-1≤ x ≤ 0)
②当 -1≤ x < 0时， 0 < x 2 ≤ 1 即 0 < y ≤ 1
由 y = x 2 (-1≤ x < 0) 解得 y x -= (0 < y ≤ 1)
∴ f -1(x ) = x - (0 < x ≤ 1) ∴所求反函数为：⎩⎨⎧≤<-≤≤-+=)10()01(1x x
x x y 四、小结：反函数的定义、求法、注意点。

五、作业：课本 P66练习 1 P66—69 习题 1、2
《课课练》 P61“例题推荐”1、2 P62 7、8
第十三、十四教时
教材：反函数
目的：在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上
的反函数；同时掌握互为反函数图象之间的关系。

处理《教学与测试》23课 P53
过程：
六、复习：反函数的概念，求一个反函数的步骤。

七、例一 分别求函数2x 6x y 2--=在各单调区间上的反函数。

小结：一般，非单调函数在其定义域内无反函数，但在其各单调区间上是存在反函数的，关键是求出其单调区间。

例二 求下列函数的反函数：
1．523+-=x x y 2。

1
122+-=x x y
小结：)(x f y =的值域就是它的反函数)(1x f y -=的定义域。

因此，往往求函数的值域就是转化成求其反函数的定义域。

八、下面研究互为反函数的函数图象间的关系。

例三 P67 略
例四 P67-68 略
九、
第十五教时
教材： 指数（1）
目的：要求学生掌握根式和分数指数幂的概念，进而掌握有理指数幂的概念及
运算法则，并能具体应用于计算中。

过程：一、复习初中已学过的整数指数幂的概念。

1．概念：*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅=
n 个a
)0(10≠=a a *),0(1N n a a a n
n ∈≠=
- 2．运算性质：
)
()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
3． 两点解释：① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -
② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n
b
a 二、根式：
1．定义：若),1(+∈>=N n n a x n 则x 叫做a 的n 次方根。

2．求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数
记作： n a x = 例（略）
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0
3．名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数 4．公式： a a n n =)( 当n 为奇数时 a a n n =
当n 为偶数时 ⎩
⎨⎧<-≥==)0()
0(a a a a a a n
n
5．例一 （见P71 例1）
三、分数指数幂
1．概念：导入：)
0()0()
0()0()0(454
521
3
23
2312
43
125
10
25
10>=>=>=⇒>==>==c c c b b b a a a a a a a a a a a 推广
事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n
m
k ∈>= 则m n
n m n
k a a a ==)()(
由n 次根式定义, n a a m
n
m 的是次方根，即：n m n
m a a =
同样规定：)1*,,0(1>∈>=
-n N n m a a
a
n
m n
m 且
2．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。

),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+
四、例二 （P72例二）略 例三 （P73例三）略 例四 （P73例四）略
例五 （P73例五）略 五、小结
六、作业： P74-75 练习 习题2、5
《课课练》 课时11
第十六教时
教材： 指数（2） 苏大《教学与测试》第25、26课
目的：复习巩固根式与分数指数幂的概念，并能用以解决具体问题。

过程： 一、根式
例一 （苏大P51例一）写出使下列等式成立的x 的取值范围：
1︒ 31313
3-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x 2︒ 5)5()25)(5(2+-=--x x x x 解：1︒只须
3
1
-x 有意义，即 x ≠ 3 ∴x 的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞) 2︒ ∵55)5()5()25)(5(22+-=+-=--x x x x x x ∴5)5(55+-=+-x x x x 成立的充要条件是
⎩
⎨⎧⎩⎨⎧≤-->-=-=->+=+055
5550505x x x x x x x 或即：或
∴x 的取值范围是[-5,5] 例二 1︒化简
3
2233--+ 2︒求证：442186224+=+
解：1︒原式=3
3)33(2)
13(2)33(23
242)
33(22
-+=
--+=--+
=6226
)
3612(2)33)(33()33(22
+=+=
+-+
（注意复习，根式开平方）
2︒ 证：∵244424244)2(2182)18()218(+⋅+=+
06224262232218218424>+=++=+⨯+= ∴由平方根的定义得：442186224+=+ 例三 画出函数323213312-+-+++=x x x x x y 的图象。

解：∵1)1(13333323-=-=-+-x x x x x
⎩⎨⎧-<---≥+=+=++)1(1)
1(11122x x x x x x x
∴⎩⎨⎧-<--≥=)1(2)
1(2x x x y
二、分数指数幂
例四 （苏大书P53例一）计算下列各式：
1︒ 3
2634
25.003
1
)3
2()32(28)67(5.1--⨯+⨯+-⨯-
2︒
33
3
233
23
134)21(428a a
b b
ab a b a a ⨯-÷++-
解： 1︒ 原式=11027423
23222)32(13
1
2241
43
=⨯+=-
⨯+⨯+）（３１
2︒ 原式=
a b
a b a a a b
a a
b
b a a b a a =--=
⨯-⨯
++-8)
8(242)8(3
13
13
13
13
23
13
13
23
1
例五 先化简，再用计算器求值（结果保留四位有效数字） 1︒ 4.12
13.2)54(+-a
2︒ )3.8()11(33
52
2
=+--+-+m m m m m m 其中
解： 1︒ 原式=[
]
445.3445431931.33.2253.2)25(4.14.12
12≈=+-=+-
2︒ 原式
=61
6
5
2
2221)1)(1(21m m m m m m m m m +⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+---++-+ 85.1284979177.123.86.18)22(6
1656165≈=+=++=m m 例六 已知u a a x x =+-其中a >0, R x ∈将下列各式分别u 用表示出来： 1︒ 2
2
x x
a a -
+ 2︒ 2
32
3x x a
a -+
解：1︒
222)(2
22
2
2
+=++=+⨯⨯+=+=+-----u a a a a a a a
a a
a x x x x x x x x x x
2︒ ))((22
2
2
2
32
3x x x x
x x x x a a
a a a a a
a ----+⨯-+=+ 2)1())(1(2
2
+-=+-+=-
-u u a
a a a x x x
x
三 作业 《教学与测试》余下部分
第十七教时
教材： 指数函数（1） — 指数函数的定义、图象 目的： 要求学生掌握指数函数的定义及图象特征。

过程：一、导入新课
P57例（细胞分裂）
又例：某工厂从今年起每年计划增产8%，设原来的产量为1，x 年
后产量为y ，则y 与x 的函数关系式为 x y 08.1=
二、得出指数函数的定义：
函数 )10(≠>=a a a y x 且 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的
定义域是R 。

注意：为什么要规定 a >0且a ≠1：∵a <0时 a x 不一定有意义 a =0时，若x >0，a x =0；若x <0，则a x 无意义 a =1时，y =1x =1(常量)没有研究必要。

为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1。

三、指数函数的图象
1．x
y 2= 2．x
y ⎪
⎭
⎫
⎝⎛=21
列表（P76 略） 列表（P76 略）
2．观察，小结
3．例一（应用问题）见P76例一 （略）
强调：1︒ 先写出函数式： x y 84.0=
2︒ ∵要求出“经过多少年” ∴不能仅作示意图，作图要力求精
确。

3︒ 列表，作图 注意定义域0>x 最后得出结论。

4．例二 （P77例二） 略
利用图形平移，很快得出结论。

四、利用指数函数的单调性比较两个指数值的大小：
例三 （P77 例三）略 例四 《课课练》P73 例一
比较下列各组中数的大小：,10 ,4.05.2- 2.02- ， 6.15.2
第十八教时
教材： 指数函数（2） — 指数函数的性质 目的： 要求加深对指数函数性质的理解与掌握。

过程：一、复习指数函数的定义与性质 二、例一 求下列函数的定义域和值域：
1．x
a y -=1 2．31
)2
1(+=x y
解：1．要使函数有意义，必须 2．要使函数有意义，必须 01≥-x a 1≤x a 03≠+x 即 3-≠x 当1>a 时 0≤x ∵03
1
≠+x 当10<<a 时 0≥x ∴
1)2
1
()21(031
=≠=+x y
∵0>x a ∴110<-≤x a 又∵0>y
∴值域为10<≤y ∴值域为 0>y 且1≠y
例二 比较下列两个值的大小：
1．53
31-⎪⎭
⎫
⎝⎛和23
4- ∵1315
3
>⎪
⎭⎫ ⎝⎛-
14
2
3<-
∴>⎪
⎭
⎫
⎝⎛-
5
3312
34
-
2． 2-π和214.3- ∵指数02<- 底数14.3>π ∴2-π<214.3- 3．2
131-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛和2
123-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛ ∵1312
1>⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-
1232
1<⎪
⎭
⎫
⎝⎛-
∴2
131-
⎪
⎭
⎫
⎝⎛>2
123-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
注意讲x
y 2=与x y 3=， x
y ⎪
⎭
⎫
⎝⎛=21与x
y ⎪
⎭
⎫
⎝⎛=31图象关系并推广
4．若43-->a a ，求a 的取值范围。

解：113
44
3
>⇒>⇒>--a a a a
a
或解：由43-->a a ∵43->- ∴x a y =为增函数 ∴1>a
例三 求函数x
x y 22
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=的单调区间，并证明之。

解：设21x x < 则)
2)((22221212121
22
11212
12
2221212121-+-+----⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x x x x x y y
∵21x x < ∴012>-x x
当](1,,21∞-∈x x 时，0221<-+x x 这时0)2)((1212<-+-x x x x 即
11
2
>y y ∴12y y >，函数单调递增 当)[∞+∈,1,21x x 时，0221>-+x x 这时0)2)((1212>-+-x x x x 即
11
2
<y y ∴12y y <，函数单调递减 ∴函数y 在](1,-∞上单调递增，在)[+∞,1上单调递减。

例四 证明函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象关于y 轴对称。