2020—2021年高考总复习数学(理)第三次高考模拟试题及参考答案二(精品试题).docx

年全国大联考高考数学三模试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.
1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N= ．2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5= ．3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值
为．
4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则
a n= ．
5．若tanθ=1，则cos2θ= ．
6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13= ．7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，= ．8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为．
9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为．
10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为．
11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1= ．
12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是．
13．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足
a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为．
14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围
是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．
①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；
②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．
18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？
19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；
（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．
20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：
第1次从数列{a n}中取a1，
第2次从数列{b n}中取b1，b2，
第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，
第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，
…
第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，
第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，
由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.
1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N= [1，2）．【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N 解集的公共部分，即可求出两集合的交集．
【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，
解得：﹣3＜x＜2，
∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，
则M∩N=[1，2）．
故答案为：[1，2）
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知数列{a n}为等差数列，其前9项和为S9=54，则a5= 6 ．【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得S9=9a5=54，解方程可得．
【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得前9项和S9===9a5=54，
∴a5=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．
3．用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为9 ．【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得．
【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9，
当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号．
故答案为：9
【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．
4．在等比数列{a n}中，a1=2，若a1，2a2，a3+6成等差数列，则a n= 2n．【考点】等差数列与等比数列的综合．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1，2a2，a3+6成等差数列，可得4a2=a1+a3+6，运用等比数列的通项公式，计算即可得到．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
由a1，2a2，a3+6成等差数列，
可得4a2=a1+a3+6，
即有8q﹣8﹣2q2=0，
解得q=2，
则a n=2×2n﹣1=2n．
故答案为：2n．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
5．若tanθ=1，则cos2θ= 0 ．
【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．
【解答】解：∵tanθ=1，
∴cos2θ===0．
故答案为：0
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．
6．已知在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，则a10+a13= ．【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式求解．
【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3+a6=4，a6+a9=，
∴==q3=，
解得q=，
∴a10+a13=（a6+a9）q4==．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．
7．若a＞0，b＞0，ab=4，当a+4b取得最小值时，= 4 ．
【考点】基本不等式．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】由于a＞0，b＞0，ab=4，则a=，a+4b=+4b，运用基本不等式，即可得到最小值，求出等号成立的条件，即可得到．
【解答】解：由于a＞0，b＞0，ab=4，
则a=，
a+4b=+4b≥2=8，
当且仅当b=1，a=4，即=4时，取得最小值8．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
8．已知平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，则与的夹角为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．
【解答】解：因为平面向量、，||=3，||=2且﹣与垂直，
所以（）•=0，所以，
所以cos＜＞====，
所以＜＞=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．
9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为30 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出可行域，如图所示：
由z=2x+3y，得y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7，
经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23，则最小值与最大值的和为7+23=30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
10．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．
【解答】解：由x＞0，=
≤=，
当且仅当x=2时，取得最大值．
所以要使不等式≤a恒成立，
则a≥，
即实数a的取值范围为[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．
11．已知在各项为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为8，则4a3+a7取最小值时首项a1= 2 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a5=8，可得4a3+a7=+8q2，由基本不等式和等比数列的通项公式可得．
【解答】解：由题意知a2a8=82=，∴a5=8，
设公比为q（q＞0），则4a3+a7=+a5q2
=+8q2≥2=32，
当且仅当=8q2，即q2=2时取等号，
此时a1==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．
12．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第16个图形中小正方形的个数是136 ．
【考点】归纳推理．
【专题】计算题；推理和证明．
【分析】由a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，可推测a n﹣a n﹣1=n，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案．
【解答】解：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，等式两边同时累加得a n﹣a1=2+3+…+n，即a n=1+2+…+n=，所以第16个图形中小正方形的个数是136．故答案为：136．
【点评】本题考查归纳推理，由数列的前几项得出a n﹣a n﹣1=n是解决问题的关键，属基础题．
13．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足
a n+T=a n，则称{a n}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{x n}满足x1=1，x2=a（a≤1），x n+2=|x n+1﹣x n|，若数列{x n}的周期为3，则{x n}的前100项的和为67 ．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{x n}的前100项的和．
【解答】解：由x n+2=|x n+1﹣x n|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，
∵数列{x n}的周期为3，
∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．
当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．
当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．
综上：{x n}的前100项的和为67．
故答案为：67．
【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．
14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据分式的性质，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：
u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．
画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，
当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，
故u的取值范围是（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题主要考查线性规划好斜率的几何意义的应用，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；
（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵当a=5时，不等式f（x）＜0即
x2+5x+6＜0，
∴（x+2）（x+3）＜0，
∴﹣3＜x＜﹣2．
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}
（2）不等式f（x）＞0的解集为R，
∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，
∴△=a2﹣4×6＜0⇒﹣2＜a＜2
∴实数a的取值范围是（﹣2，2）
【点评】本题主要考查一元二次不等式，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想，属于基础题．
16．已知等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式．
（2）由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n项和．
【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，
∵等差数列{a n}满足a2=3，a4+a5=16．
∴由题意得，
解得a1=1，d=2，
∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，
即{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．
（2）由（1）知b n=22n﹣2，b1=1，
∴=4，
∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴数列{b n}的前n项和T n==．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
17．已知向量=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），函数f（x）=•．
①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；
②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．
【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．
【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
【分析】①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=•=，
由，即可解得函数图象的对称轴方程．
②由余弦定理可得：，再利用基本不等式可得，可得，∈.．即可得出函数f（B）的值域．
【解答】解：①函数f（x）=•
===，
由，解得，即（k∈Z）．
∴函数图象的对称轴方程为（k∈Z）．
②由余弦定理可得：
=，当且仅当a=c时取等号．∴．∴∈．
∴．
∴f（B）=+1∈[2，3]．
【点评】本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
18．某公司新研发了甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元，劳动力5人，可获利润6万元，生产一台乙种型号的机器需资金20万元，劳动力10人，可获利润8万元．若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器，那么每周这两种机器各生产多少台，才能使周利润达到最大，最大利润是多少？
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】首先由题意设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万元，列出可行域以及目标函数，求目标函数的最值．
【解答】解：设每周生产甲种机器x台，乙种机器y台，周利润z万
元，则目标函数为z=6x+8y．
作出不等式组表示的平面区域，且作直线l：6x+8y=0，即3x+4y=0，如图：
把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l3的位置时，直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大，即z取最大值，解方程组（x≥0，y≥0，x，y∈Z）得，所以点M坐标为（4，9），将x=4，y=9代入目标函数z=6x+8y得最大值z=6×4+8×9=96（万元）．
所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时，公司可获得最大利润为96万元．
【点评】本题考查了线性规划问题的应用；关键是由题意抽象数学模型，正确建立约束条件和目标函数，画出可行域，求最优解．
19．已知函数f（x）=（ax2﹣1）•e x，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1时取得极值，求a的值；
（Ⅱ）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．
【分析】（I）对函数f（x）进行求导，令导函数在x=1处的值为0，列出方程，求出a，
（II）求出导函数，设g（x）=ax2+2ax﹣1，对a的值进行分类讨论结合二次函数的性质研究f′（x）；最后令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x．x∈R…
依题意得f'（1）=（3a﹣1）•e=0，解得．经检验符合题意．…（Ⅱ）f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x，设g（x）=ax2+2ax﹣1，
（1）当a=0时，f（x）=﹣e x，f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…
（2）当a＜0时，方程g（x）=ax2+2ax﹣1=0的判别式为△=4a2+4a，令△=0，解得a=0（舍去）或a=﹣1．
1°当a=﹣1时，g（x）=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2≤0，
即f'（x）=（ax2+2ax﹣1）•e x≤0，
且f'（x）在x=﹣1两侧同号，仅在x=﹣1时等于0，
则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…
2°当﹣1＜a＜0时，△＜0，则g（x）=ax2+2ax﹣1＜0恒成立，
即f'（x）＜0恒成立，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为单调减函数．…3°a＜﹣1时，△=4a2+4a＞0，令g（x）=0，
方程ax2+2ax﹣1=0有两个不相等的实数根，，作差可知，
则当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在
上为单调减函数；
当时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）在
上为单调增函数；
当时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在
上为单调减函数．…
综上所述，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）；当a＜﹣1时，函数f（x）的单调减区间为，
，函数f（x）的单调增区间为
．…
【点评】本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查函数在某点取得极值的条件、考查等价转化的数学思想方法．
20．已知等差数列{a n}、等比数列{b n}满足a1+a2=a3，b1b2=b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：
第1次从数列{a n}中取a1，
第2次从数列{b n}中取b1，b2，
第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，
第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，
…
第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，
第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，
…
由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．
【考点】数列的应用；等比数列的性质．
【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，根据题意，求出a1与d以及b1与q的值，即可得出{a n}与{b n}的通项公式；
（2）分析数列{c n}项的特征：第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，它们的总和P n=+﹣2；求出符合不等式S n＜22014的最大n值即可．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，
依题意，得；
解得a1=d=1，b1=q=2；
故a n=n，b n=2n；
（2）将a1，b1，b2记为第1组，
a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，
a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，…；
以此类推，则第n组中，有2n﹣1项选取于数列{a n}，有2n项选取于数列{b n}，
前n组共有n2项选取于数列{a n}，有n2+n项选取于数列{b n}，
记它们的总和为P n，并且有P n=+﹣2；
则P45﹣22014=+22071﹣22014﹣2＞0，
P44﹣22014=﹣21981（233﹣1）﹣2＜0；
当S n=+（2+22+…+22012）时，
S n﹣22014=﹣22013﹣2+＜0；
当S n=+（2+22+…+22013）时，
S n﹣22014=﹣2+＞0；
可得到符合S n＜22014的最大的n=452+2012=4037．
【点评】本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，考查了阅读理解与分析、综合能力的应用问题，是较难的题目．。