3.1环的定义和基本性质

Z /(n) {0,1,, n 1}
定义加法和乘法： a b a b, a b ab 则（Zn，+，）是一个环，且为可换环，称为整 数模n的剩余类环。
例6．对Klein四元群K4={e,a,b,c},再定义乘法如下
· e a e e e a e a b e e c e a
后，我们把数集关于数的加法和乘法做成的环，叫
做数环。（Q,+, ）（R,+, ）（C,+, ）
例2．设Z（i）={ a+bi | a,b∈Z, i2=-1 }，则Z（i） 对复数的加法和乘法构成环，称为高斯整数环。 例3．实数域R上的全体n阶方阵的集合
M n ( R) {(aij ) nn aij R}
第三章 环与域论
Chapter 3 Ring Theory and Field Theory
上一章讨论了具有一个二元运算的代数结构— 群，本章讨论具有两个二元运算的代数结构——环 与域。首先介绍环与域的基本概念，然后分别讨论 环与域的性质。它的许多基本概念与理论都是群的 相应内容的推广。同时也有一些特殊的问题，如因 子分解定理等。因此在学习中要随时与群的相应概 念和理论进行比较，既起到复习前面内容的作用， 又对学习新知识有所帮助。
显然，他们都是Z18的子环，所以Z18有6个子环.
b
c
e
e
b
c
e
e
b
c
不难验证 （K4，+， ）是一个环。
3.1.2 环的基本性质(Basic Property of Ring)
由环的定义，不难得到环内的一些特殊元和性质。 设（A,+, ）是一个环，加群（A,+）中的单位元通 常记作0，称为零元；元素a在加群中的逆元记作-a, 称为负元。环A中的单位元指乘法半群（A, ）的单位 元，记作1。环A中的元素a的逆元是指a在乘法半群中 的逆元，记作 a -1 。即： 加群（A,+）：单位元—零元0；a的逆元—负元-a； 环（ A,+,）：单位元---1 ； a的逆元— a -1 。
关于矩阵的加法和乘法构成环，称为R上的n阶 全矩阵环。 类似地，有Mn(Z), Mn(Q), Mn(C).
例4．数域F上的全体多项式的集合 F(x)={ f(x) | f(x)为F上的多项式} ={a0+a1x+…+anxn∣ai∈F,n≥0整数} 关于多项式的加法和乘法构成环，称为数域F上 的多项式环。当数域F为数集Z,Q,R,C时，分别 记作（Z（x），+，）, „,（C（x），+，） 例5．整数模n同余的集合
Def 2：设（A,+,）是一个环，S为A的一个非空子 集，若S关于“+”和“”也构成一个环，则称S为A的 一个子环，A是S的一个扩环，记作S≤A。 如果S≤A且S≠A，则S称为A的真子环。 关于子环有以下几个性质 （1）环A的非空子集S是子环 S关于“+”,“”封 闭，且 x ∈ S -x ∈ S. （2）环A的非空子集S是子环 a,b ∈ S, a-b ∈S, ab∈S. （3）S1, S2为A的子环 S1∩S2也是A的子环。
例5．求整数模n剩余类环Z18的所有子环。
解：设Si为Z18的任一子环，则Si为Z18的子加群.由于Z18 是循环群，根据群论中循环群的性质，循环群的子群 的阶是18的因子，即Si =[r], 其中的可能取值为 0,1,2,3,6,9.
故Z18的子加群有
⑴S1 =[0]={0}, ⑵ S2 =<1>= Z18, ⑶ S3 =<2>={0,2,4,6,8,10,12,14,16}=[2] Z18, ⑷ S4 =<3>={0,3,6,9,12,15}=[3] Z18, ⑸ S5 =<6>={0, 6, 12}=[6] Z18, ⑹ S6 =<9>={0,9}=[9] Z18.
利用环中分配律还可以证明广义分配律及二项式定理
(11) ( ai )( b j ) ai b j
i 1 j 1 i 1 j 1
n
n
n
n
(12) (na )b a (nb) nab (13) a a a
m n mn
(14) (a m ) n a mn
3.1.3 子环(Subring)
Hale Waihona Puke 由加群（A,+）的性质，可得环（A,+, ）有以 下算律成立：
(1) (2) (3) x a a x 0, x a 0 x a, a b a c b c, (零元存在) (负元存在) (加法消去律)
(4) n( a b) na nb (n Z ) (5) ( m n) a ma na ( m, n Z ) (6) ( mn) a m( na ) ( m, n Z ) 又由于环中两个分配律都成立, 故有 (7) 0 a a 0 0, a A (8) ( a)b a ( b) ab (9) ( a )( b) ab (10) a (b c) ab ac, ( a b)c ac bc
注2. 若关于“乘法”有单位元e（或1），使ea=a,则称 （A,+, ）为有单位元环。 注3. 若环（A,+, ）的元素为有限时，称为有限环； 否则称为无限环。
例1．整数集Z关于普通的加法和乘法构成环，称为
整数环（Z,+, ）,且是一个以1为单位元的可换环。
同理，数集Q, R, C对于数的加法和乘法也构成环。以
§3.1 环的定义和基本性质 (3.1 Definition and Property of Ring)
3.1.1 环的定义（Definition of Ring）
Def1：设（A,+,）是一个有两个二元运算的代数结构，且 满足 （1）（A,+）是一个可换群（交换群）； （2）（A,）是一个半群； （3）乘法“”对加法“+”满足分配律： a,b,c∈A，有 a(b+c)=ab+ac, (a+b)c =ac+bc 则称代数结构（A,+,）是一个环。 注1. 若环（A,+,）的“乘法”满足交换律，即 ab=ba, a,b∈A， 则称环（A,+,）为可换环（交换环）。