2014届高三数学

45分钟滚动基础训练卷(五)
(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主 分值：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2013·开封模拟] 设sin π4＋θ＝13
，则sin2θ＝( ) A ．－79 B ．－19
C.19
D.79
2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a
＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D.2
3．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.
154 B.34 C.31516 D.1116
4．[2013·长春模拟] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25
5.则cos(α－β)的值为( )
A.13
B.23
C.35
D.45
5．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )
A ．2 B.12
C ．3 D.13
6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝
6，cos A ＝78
，则△ABC 的面积等于( ) A.17 B.15 C.
152 D ．3 7．已知函数f (x )＝2sin 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.π6
8．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6
个单位长度，平移后的部分图象如图G5－1所示，则平移后的图象
图G5－1
所对应函数的解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 10．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
11．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2与函数g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则φ＝________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12
，32，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.
(1)若a ∥b ，求sin x 和cos2x 的值；
(2)若a ·b ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋13π6＋x (k ∈Z )，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的值． 13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .
(1)求角C 的大小；
(2)求3sin A －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 14．如图G5－2，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？
图G5－2
45分钟滚动基础训练卷(五)
1．A [解析] 将sin π4＋θ＝13展开得22(cos θ＋sin θ)＝13，两边平方得12
(1＋sin2θ)＝19，所以sin2θ＝－79
. 2．D [解析] 由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋
cos 2
A )＝2sin A ，所以sin
B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A ＝ 2. 3．D [解析] 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k >0)，则有a ＝2k ，
b ＝3k ，
c ＝4k ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（2k ）2＋（4k ）2－（3k ）22×2k ×4k ＝1116
. 4．C [解析] ∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45
， 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)．
∴cos(α－β)＝2－452＝35
. 5．B [解析] 因为sin β＝m sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，也即(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )·cos(α＋β)sin α，
所以tan （α＋β）tan α＝1＋m 1－m ＝3，所以m ＝12
. 6．C [解析] ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0.
即(b ＋c )·(b －2c )＝0.∴b ＝2c .
又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78
， 解得c ＝2，b ＝4.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝152. 7．C [解析] ∵f (x )＝2sin 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3. 因为函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0， ∴－2π3＋2α－π3
＝k π，k ∈Z . ∴α＝（k ＋1）π2.又α∈(0，π)．∴α＝π2
. 8．C [解析] 将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6
个单位长度，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由图象知，ω⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12
＋π6＝3π2，所以ω＝2. 9．－142 [解析] 依题意得sin α－cos α＝12
，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因
此有sin α＋cos α＝72，所以cos2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－142
. 10．27 [解析] 在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC
sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝33
2
sin C ＝2sin C ，同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23π－C ＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫tan φ＝32，因此AB ＋2BC 的最大值为27. 11.π3
[解析] ∵两函数具有相同的对称中心，则它们的周期相同，∴ω＝2. 函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象可由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象平移得到，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin2x ＋π3，∴φ＝π3. 12．解：(1)∵a∥b ，∴12sin x ＝32
cos x . 于是sin x ＝3cos x ，又∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴cos 2x ＝14， 又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin x ＝1－cos 2x ＝1－14＝32
. cos2x ＝2cos 2
x －1＝12－1＝－12.
(2)∵a·b ＝12cos x ＋32sin x ＝cos π6sin x ＋sin π6
cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 而2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12k π＋13π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋x ＋π6＋2π＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(k ∈Z )， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋tan π41－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6·tan π4＝2＋11－2×1＝－3. 13．解：(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，从而sin C ＝cos C .
又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝
π4. (2)由(1)知，B ＝3π4
－A . 于是3sin A －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6.
因为0＜A ＜3π4，所以π6＜A ＋π6＜11π12
. 从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 14．解：由题意知AB ＝5(3＋3) n mile ，
∠DBA ＝90°－60°＝30°，
∠DAB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB 中，由正弦定理得
DB
sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB
sin ∠ADB ＝5（3＋3）·sin45°
sin105° ＝5（3＋3）·sin45°
sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝53（3＋1）
3＋12
＝103(n mile)．
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC ＝203(n mile)，
在△DBC 中，由余弦定理得
CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×103×203×12
＝900， ∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030
＝1(h)． 答：救援船到达D 点需要1 h.
2020-2-8。