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2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度解析

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物体的速度与加速度

物体的速度与加速度

物体的速度与加速度在物理学中，速度（speed）和加速度（acceleration）是描述物体运动和变化的重要概念。

本文将探讨速度和加速度之间的关系以及它们在物体运动中的应用。

一、速度（Speed）速度是描述物体在单位时间内所走过的路程。

通常用符号v来表示速度，其公式为：v = s/t，其中s是物体所走过的路程，t是物体运动所花费的时间。

速度的单位通常为m/s（米每秒）或km/h（千米每小时）。

速度可以分为两种：瞬时速度和平均速度。

瞬时速度指的是物体在某一瞬间的速度，通常用v表示。

平均速度指的是物体在一段时间内的平均速度，通常用V表示。

在物理学中，速度的概念广泛应用于解释物体的运动状态。

通过测量物体的速度，我们可以了解物体的运动方向和运动快慢。

二、加速度（Acceleration）加速度是描述物体在单位时间内速度变化的快慢。

通常用符号a来表示加速度，其公式为：a = (v2 - v1)/t，其中v1是物体的初始速度，v2是物体的末速度，t是物体速度变化所花费的时间。

加速度可以分为两种：正加速度和负加速度。

正加速度表示物体速度的增加，负加速度表示物体速度的减小。

加速度乘以时间即可得到速度的变化量。

加速度在物理学中起着重要的作用。

通过测量物体的加速度，我们可以了解物体的加速度方向和加速度的大小，从而进一步研究物体的运动规律。

三、速度与加速度的关系物体的速度和加速度之间存在一定的关系。

当物体的加速度恒定时，速度与时间呈线性关系。

即速度随时间的推移而按照一定的规律逐渐增加或减小。

此外，物体的速度与加速度的互相作用也影响着物体的运动状态。

当物体的速度与加速度方向一致时，物体的速度会逐渐增加；当物体的速度与加速度方向相反时，物体的速度会逐渐减小。

四、速度、加速度与物体运动物体的速度和加速度在研究物体的运动时起着重要的作用。

通过测量物体的速度和加速度，我们可以了解物体的运动状态、轨迹以及受力情况。

例如，在汽车行驶过程中，通过测量车辆的速度和加速度，我们可以掌握车辆的行驶速度、变速情况以及加速度对车辆的影响。

自然坐标系

自然坐标系

r

t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a

an

v2 R


vB

B vA
R

O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er

ds dt
er


ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA

v vB
vA
Δv vB vA ,

AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er

v2 R
ern

dv dt
er
a an2 a 2
v

ds dt
2
R
a

d
dt
1.2t

2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度

2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度

a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b

§2、速度、加速度的分量表达式

§2、速度、加速度的分量表达式

§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。

在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。

何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。

例如过两点成一条直线……。

由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。

这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。

一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。

速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。

同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。

2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。

自然坐标系中的速度、加速度

自然坐标系中的速度、加速度

a 0, 0 / 2, v
a 0, / 2, v const
a 0, / 2 , v
an 0 0,
直线运动
五、关于圆周运动 ( R)
an
v2 R
0
a
dv dt
a v2 nˆ dv ˆ
s
O’ oanR
a
a
R dt
若 v const
若 v const
M
S+
设M点在t=0时的初位置为 s0
则：运动方程：
s s0 a1t 2 / 2 v
ds dt
M s0
a1t O‫׳‬
an
v2 R
nˆ
a12t 2 R
nˆ
a
aM
a12t 2 R
nˆ a1ˆ
dv ˆ
dt
a1ˆ
注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是
a 自然坐标中总加速度
只能是一个值。
（匀速圆周运动）
dv 0 dt
a v2 nˆ R
则为变速圆周运动
例：一半径R的滑轮绕O轴运动，其上绕以绳索，绳索的
一沿端上挂一一点重M的物加，速已度知(重绳物不按伸h长，a与1t轮2 /之2 间规无律相下对降滑，动求)轮
a ? 已知：R，h a1t2 / 2 求：
解：如图建立自然坐标系O‫׳‬S+
切a向v单d位v矢v的dˆ增(量vˆ为) dˆ
O中 d
ˆ
'
dˆ
nˆ
O’
d
ads ˆ
dt dt
v dˆ ˆ dv
aan称称a为为nd切法t向向加a加速速度；dt
an
S
v
dˆ
dt

01-2自然坐标系中的描述及相对运动

01-2自然坐标系中的描述及相对运动

(1) a 0 匀速率运动； a 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动; an
0
曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。

C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
dv v a a an n dt
a a
2
a an

a
a an
2 2 2
2
2 v dv dt
2 2
相对性：参照系、坐标系
直角坐标
22Leabharlann 2222
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程
长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分
2. 位置变化: s 3. 速度： 沿切线方向。
解：(1) x v0 t
2
1 2 y gt 2
o
v0
x

1 x g y 2 2 v0
an
y g
a
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) v x v0 , v y gt
o
2 0 2 2

03运动学圆周运动 自然坐标系角速度角加速度切向加速度法向加速度

03运动学圆周运动 自然坐标系角速度角加速度切向加速度法向加速度

方向在圆周的切线方向上。 5
同样可以得到加速度：
a

R
d


(sini cosj) R( cos
d

i sin
d
j)
dt
dt
dt

R 2 (cosi sinj )
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
a a2 an2
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。
解：ω=3t2+3 α =6t
t=2s时 ω=3×22+3=15(rad/s)
α=6×2=12(rad/s2) aτ =R α =0.5×12=6(m/s2)
5 质点运动学小结：
12、、定描义述：运速动度的物v理量d：r t加、Δ速t、度r：、Δra、v、dva 、s
dt
dt
对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt
3、质点运动学的两类问题：
1）已知运动方程，求速度、加速度。
解法：用求导数的方法解决。
2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
3
对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t

0
0t

1
2
t2

0

1 2
(
0 )t
2


2 0

2 (
0)
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。

掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤

掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤
2、匀速曲线运动 v =常量，故aτ=0， an ≠0，即a= an= v2/ρ； a的方向即 an的方向。
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得
v = v0 + at s = s0+ v0t +at²/2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0）
则有 v2 / an 20 / 0.894 22.37
3、全加速度a:在自然轴系中，称点的加速度为 全加速度。
全加速度a的大小及方向：
a a 2 an2 (dv / dt)2 (v2 / )2 tan a
an
式中：β为全加速度a与法向轴n正向所夹的锐角。
四、点的运动的几种特殊情况
1、匀速直线运动 v =常量，ρ→∞，故aτ=0， an =0，即a=0。 若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s= s0， 则有v = ds/dt，积分得 s－s0=vt。
4、匀变速曲线运动
an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt²/2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。
a dv d (v ) dv v d
dt dt
dt dt
aτ
aτ τ
dv dt
τ
an
ann
v

教学要求1、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加速度、.

教学要求1、理解弧坐标、自然轴系、切向加速度、法向加速度、.

3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。 建立直角坐标系Oxy，如图所示。 图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
x
B
vx
2φ
M
v v ay x
y
③求点的加速度 ax= dvx/dt = -4Rω2sin2ωt ay= dvy/dt = -4Rω2cos2ωt 点M加速度的大小为a =√ax2+ay2 = 4Rω2
加速度的方向余弦： cos（v，i）= ax/a = -sin2ωt =-sin2φ 即a方向沿该点轨迹的半径指向圆心O。
全加速度a的大小及方向：
a a an (dv / dt) 2 (v 2 / ) 2

1-2自然坐标系

1-2自然坐标系

s t ( lim
r
)
ds
t0 s t0 t t0 s dt
v
s P s
•
O1
r
Q
L
r (t )
r (t t )
O 参考物
t趋近于0时，lim 的切线方向。 t 0
r s
1 ，并且
r 的方向趋近于P点
r v ( lim
τ ) ds ds τ vτ
t0 s dt dt
在自然坐标系中，只要知道质点的运动学方程s=f(t), 就可 以求出质点在任意时刻速度的大小和方向。
10
圆周运动
速度
v R j
沿切线方向
法向加速度
an
R 2
v2 R
沿半径方向指向圆心
切向加速度
a
R
dv dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度： s s ( t t ) s (t )
r
r s
v lim lim (
)
(
t
lim
0
r )t(
t 0
lim s )
速度
v dr i r j
dt
速度只有
v R j 沿切线方
dr dR
向的分量
0
dt dt
d2r
加速度
a
(
d2r dt 2
r 2
)i
(r 2vr) j
dt 2 0
dr vr dt 0
a R2i R j
2015/3/16
DUT 常葆荣
2
加速度
a R2i R j
ji
O
O/

大学物理精品课件1.2 自然坐标系

大学物理精品课件1.2 自然坐标系

vA
B

vB v A at 23.3m s 2 t 2 vB 2 an 106m s r
在点 B 的加速度
AB 3.5km
r a n

at
o
a
vB
a 与法向之间夹角
a
2 at
2 an
109m s
为
2
at arctan 12.4 an
1.3
自然坐标系
1
第一章 运动的描述
已知： vA 1940km h
所转过的角度 为 （2）在时间 t 内矢径 r
A
t 3s
AB 3.5km
vB 2192km h 1
vA
B

1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n

at
o
a
vB
o
R
第一章 运动的描述 1.3 自然坐标系 2.判断下列说法的正、误： a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。
v s / t 依据 平均速率 平均速度的大小 v r / t
c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成
v (v1 v2 ) / 2 ,其中 v1是初速度， v2 是末速度。
d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方 向改变。
1.3
自然坐标系
第一章 运动的描述
例 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv

大学物理-速度与加速度

大学物理-速度与加速度

dt
dt
d2x d2 y d2z dt 2 i dt 2 j dt 2 k
axi ay j azk
加速度的大小：
a a
d2 (
dt
x
2
)2
(
d2 dt
y
2
)2
(
d 2z dt 2
)2
三、切向加速度与法向加速度
质点在平面自然坐标系中的速度
v
v
o
根据加速度的定义，有：
a
d dt
d( dt
v
l0
h
l (t )
O
x
随堂练习
例2: 一质点作圆周运动(顺时针运动)，其路程与 时间的关系为
0 和b 都是正的常数，圆周半径为r. (1) 求质点在t 时刻的速度大小; (2) t 为何值时，质点的切向加速度和法向加速
度的大小相等。
υB
υA
B
υdBBBddn
A υA
dθ
dθ A
OR
O
d n ——速度方向改变量 d ——速度大小改变量
t 时刻， A点；t +dt 时刻，B点
a
a
ann
d dt
2 R
n
a
——速度大小变化率
an ——速度方向改变量
三、切向加速度与法向加速度
3、一般平面曲线运动中的加速度
分析思路：
曲率加速度
设运动质点经 t 时间，从A点运动到B点。
速度增量 v vB vA vA
1、平均加速度
vB
a
v
t
2、瞬时加速度
A
B
Δv
vB
a
lim
Δt 0

自然坐标系中的速度、加速度

自然坐标系中的速度、加速度

速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括大小和方向两个方 面，通常用箭头表示方向，用绝对值表 示大小。
VS
详细描述
矢量表示法是速度最常用的表示方法，它 能够完整地描述速度的大小和方向。在自 然坐标系中，速度的大小由箭头的长度表 示，箭头的指向代表速度的方向。
速度的标量表示
总结词
速度的标量表示只考虑速度的大小，忽略方向，通常用绝对值表示。
特点
自然坐标系与质点运动的具体轨迹相 关，可以直观地描述速度和加速度的 方向和大小。
自然坐标系的应用
描述曲线运动
自然坐标系常用于描述质点在曲线上 的运动，如行星绕太阳的椭圆轨道运 动。
分析动力学
在分析力学中，自然坐标系用于描述 质点的速度和加速度，进而研究其动 力学行为。
自然坐标系与直角坐标系的区别与联系
02
03
健康管理
在健康管理中，个人的速度和加速度 可以用来监测身体的运动状态，从而 进行科学的健身计划和健康管理。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
定义法
根据加速度的定义式计算，即加速度等于速度的变化量除以时间的变化量。
公式法
根据加速度的公式计算，即加速度等于速度的导数或切向加速度。
02
速度在自然坐标系中的 表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度是矢量，具有大小和方向，通常用符号"v"表示。在自然坐标系中，速度的 大小等于物体在单位时间内通过的直线距离，方向则与物体位移的方向相同。
详细描述
匀速直线运动是指物体在直线轨道上以恒定速度进行的运动，其方程为 $s = v_0t$，其中 $s$ 是位移， $v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。

自然坐标系中的速度、加速度

自然坐标系中的速度、加速度

自然坐标系中的速度、加速度
——
在自然坐标系中，物体的速度和加速度具有三个分量：物体在x轴、y轴和z轴方向上的速度和加速度分别叫作线速度vx，vy，vz和加速度ax，ay，az。

线速度和加速度分量以m/s、m/s2为单位。

线速度是指在某一时刻，物体在x、y、z三轴的速度，线速度的三个分量通过三条经算线获得，也可以通过物体的位移和时间的变化确定物体的瞬时线速度。

通常情况下，线速度的单位是m/s（米每秒），而位移的单位是米，时间的单位是秒。

在计算物体的线速度和加速度时，除了采用上述方法外，也可以结合自然坐标系中向量的基本概念，进行量纲分解来计算。

例如，在一个无限大的空间中，可以使用相对位移法，将施加在物体上的外界力分解成三轴上的分力，再结合物体的动量定律，求出相应的三个分量的线速度和加速度。

物体的线速度和加速度在量纲分解的过程中受到外界力的影响，受到重力、摩擦力、弹力等力的影响，总得力均衡关系则可以表达为ax = Fx/m，ay = Fy/m，az = Fz/m，其中Fx，Fy，Fz分别为x、y、z三轴上的力，m是物体的质量以千克为单位。

第一章B-自然坐标系中的速度和加速度

第一章B-自然坐标系中的速度和加速度

Δx = x∞ − x0 = 10(m)
P.5/24
1
2009-9-25
wzy
质点运动学
解法二:
a = dv = dv ⋅ dx = v dv = −10v dt dx dt dx
dv = −10 dx
dv = −10dx
0
x
∫ ∫ dv = − 10dx
100
0
0 − 100 = −10( x − 0)
2t质2 点rj 运(S动I学)
求：(1) t=2秒时质点的速度以及加速度；
( ) 解：((21))什vv么= 时drv候=位2vi矢−恰4t好vj 与vr速度=矢2ir量−垂8直rj ？m ⋅ s−1
ar
=
ddtvr
=
−4
r j
2
方向沿y轴的负方向
dt
[ ] ( ) ( ) (2)
rr ⋅ vr =
dθ ds
=
dv dt
erτ
+
v2 ρ
ern
ern
质点Δ运vr动学
ΔΔθvrvrn ′
Δvrτ
法向加速度反映速度
度大小的变化,其方
方向的变化,其方向沿
向沿轨道切线方向
法向,指向曲率中心
切向加速度: arτ
ar = aττr + annr
=
dv dt
erτ
大小：
方向：θ
法向加速度： arn
an2 + aτ2
p024质点运动学wzy运动的描述矢量的方向性体现在指向上用正负号表示矢量的方向性体现在指向上用正负号表示x是位移不是路程注意注意p124质点运动学wzy已知运动方程求质点任意时刻的位置速度以及加速度运动学的两类问题运动学的两类问题p224质点运动学wzy已知运动质点的速度函数或加速度函数以及初始条件求质点的运动方程常数速度与位移的关系p324质点运动学wzy两矢量垂直p424质点运动学wzy影子长度增长的速率

自然坐标系的加速度公式推导详解

自然坐标系的加速度公式推导详解

自然坐标系的加速度公式推导详解在物理学中，加速度是描述物体速度变化率的物理量。

在自然坐标系中，我们可以通过推导得到加速度的计算公式。

假设一个物体在自然坐标系中运动，我们可以用矢量表示其位置、速度和加速度。

考虑一个时间间隔Δt内，物体的速度从v1变为v2，位移从r1变为r2。

根据定义，平均加速度a平均可以表示为：a平均 = (v2 - v1) / Δt为了得到瞬时加速度a，我们需要让时间间隔Δt趋近于0。

这样，我们可以写出加速度的定义：a = lim(Δt→0) [(v2 - v1) / Δt]接下来，我们将推导加速度的具体计算公式。

首先，我们将速度v 与位移r之间的关系进行分析。

根据定义，速度可以表示为位移对时间的导数：v = dr / dt其中，dr表示位移的微小变化，dt表示时间的微小变化。

我们可以将位移r表示为速度v对时间t的积分：r = ∫v dt现在，我们对上述等式两边进行微分，得到：dr = v dt将上式代入加速度的定义公式，得到：a = lim(Δt→0) [(v2 - v1) / Δt]= lim(Δt→0) [(dr2 / dt - dr1 / dt) / Δt]我们可以对上式进行化简。

首先，将分子展开得到：a = lim(Δt→0) [(∆r / ∆t - ∆r / ∆t)]= lim(Δt→0) [∆r / ∆t - ∆r / ∆t]然后，我们可以将上式中的分式展开：a = lim(Δt→0) [(∆r1 / ∆t - ∆r2 / ∆t)]= lim(Δt→0) [(r1 - r2) / ∆t]我们可以将分式中的∆t约去，得到最终的加速度公式：a = lim(Δt→0) [(r1 - r2) / ∆t]= d(r1 - r2) / dt我们得到了自然坐标系中加速度的计算公式：a = d(r1 - r2) / dt这个公式描述了物体在自然坐标系中的加速度，它表示了速度的变化率。

自然坐标系--切向加速度和法向加速度

自然坐标系--切向加速度和法向加速度
2切向加速度法向加速度二a自然坐标系是建立在物体运动轨迹上的有两个坐标轴切向坐标和法向坐标
第二节
自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系
自然坐标系是建立在物体运动 轨迹上的，有两个坐标轴，
切向坐标和法向坐标。
自然坐标系是动坐系标。
nv
nv
v
v
•向切一向致坐, 标v0
v沿运动轨迹的切线方向，正方向与运动方
为切线方向的单位矢量。
•线法凹向侧坐，标nv0n为v沿法运线动方轨向迹的的单法位线矢方量向。，正方向指向曲
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
二、切向加速度、法向加速度
自然坐标系中
因为 v v
a dv dv v d dv v2 n
dt dt
dt dt
an 2
2t a 1 t 2
an
a2 a2
2 1 t2
v2 2(1 t2 )32
an
t 1s, 4 2m, a 2m / s2, an 2m / s2
匀速直线运动； 匀变速直线运动； 匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
圆周运动的角量描述这部分，可用类比的方 法自学，在刚体一章将有详细介绍和应用！
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速
率满足 v kRt， k为常数，求：切向加 速度、法向加速度和加速度的大小。
n
a ann
质点P •

切向加速度
a
dv dt
反映速度大小（速率）的变化
法向加速度
an

v2

反映速度方向的变化
总加速度 a a2 an2
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2

0
dv v 2 a n＝a x i a y j a z k dt

瞬时曲率半径
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动 运动中的加速度
an
v
2

dv a dt

0
2
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a

a
ds v v dt
ds v dt
1、 瞬时速率
v
：
n
S+
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。

O

大学物理
二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
d v a dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此， 自然坐标系中可将速度表示为：
2
＝1
大学物理
自然坐标系下加速度表达式：
2 dv v a n dt R
o
n
a
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
an a P
a dv dt
2 v an R
a 切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 an 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
大学物理
Key: c
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。 对圆周运动而言：曲率半径各点相同 R, 于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时， 仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
v an a dv t dt



以圆周运动为例：
v dv
d
dv d ( ) v dt dt
d
B

v
A
1 d d ds v n n n dt dt ds dt
dS d
d 1 ds
d

d 2
1
dv v a n0 dt
Hale Waihona Puke a 2 2 2 a a a an dv dt v 2
加速度总是指向曲线的凹侧

an
2
a
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a
2 a an 2
a

加速度
方向
tan
2 2 2
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律
s v0t bt2 / 2 运动，
v0、b 都是正的常量。求：
（ 1） t 时刻质点的总加速度的大小
一、自然坐标系下的速度
s s(t t ) s(t ) r v lim t 0 t ds dt
z
s
p
r (t )
v
r
s
q
r (t t )
o
x
自然坐标系下的 速度表达式 大学物理
y
ds v v dt
讨论物理意义：
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、 a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
an
v2 an R

at
a
an
2 t

a
变化
at
2 n
a a
变化
a
at
an tg at
变化
大学物理
均匀=不变
大学物理
a a 0 an an n0
切向加速度、反映速度大小变化，
法向加速度、反映速度方向变化， an 0，a 0 变速直线运动；
a 0，an 0 为匀速率曲线运动（圆 周运动）
2 dv v a a an 0 n0 dt
v2
2
2 an
v 2 dv dt
2
dv a2 dt
2

1 y
y x
2 x
3
2
大学物理
四、讨论几种特殊情况：
下面三种情况分别代表那一类运动？
１ . ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a ＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
v0
x

an
a
y
g
大学物理
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
x

an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g t
例、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口 为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时 t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。 解：(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
1 x2 g y 2 2 v0
大学物理
上册
v,a
自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐 标系 , 其一根坐标轴沿轨道切线 方向 , 正方向为运动的前进方向； 另一根沿轨道法线方向，正方向 指向轨道内凹的一侧。 切向单位矢量
n

n
大学物理
n


法向单位矢量
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
1
an a
a
n
an
？
i jk 与
两组单位矢量
o
大学物理
的区别是什么？
练习
1: 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速 度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变 化越快
v v
dv d a v dt dt
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
dv d a v dt dt

难点：
d 的大小如何？方向如何 ？ dt
大学物理
d dv a v(t ) dt dt

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