安达市第七中学2020届高三数学(文)上学期12月考试卷附答案解析

安达市第七中学2020届高三上学期12月考
数学（文）试卷
第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数i ai
-+21为纯虚数，则实数a 为( )
A.2
B.2-
C.21
-
D.21
2.若向量)2,1(),3,2(-==b a ,则=-⋅)2(b a a ( ) A.8
B.7
C.6
D.5
3.等差数列}
{n a 的前n 项和为
n
S ,若
1111,27
m m m a a a a -+=++=,且
45
m S =，则 m =
( )
A.8
B.9
C.10
D.11
4.设αβ，为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α，β平行于同一条直线
C ．α内有两条相交直线与β平行
D ．α，β垂直于同一平面
5.已知曲线x
e a x
f )12()(+=在0=x 处的切线过点
)1,2(,则实数=a ( )
A.3
B.3-
C.31
D.31-
6.函数
2
sin()()sin()2x x
f x x x ππ
-+=
++在
],[ππ-的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 若把函数
()sin(2)()2f x x π
ϕϕ=+<的图象关于点,06π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭对称，将其图象沿轴向右平移6π
个单位后,得到函数()y g x =的图象,则()()y f x g x =-的最大值为( )
A ． 3
B ． 2
C ．1
2
D ．1
8. 如图，三棱锥A BCD -中，90DAB DAC BAC ∠=∠=∠=︒，1AB AD AC ===，
,M N 分别为,CD BC 的中点，则异面直线AM 与DN 所成角余弦值为( )
A. 16
B. 3
6
C. 5
6
D. 5
6
x
9. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，那么;②如果，那么;
③如果，那么;④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
10. 定义在R 的函数)(x f 满足)1()1(+-=+x f x f ，当1≠x 时，恒有)()(x f x f x '>'成立，
若21<<m ，
)(log ),4(log ),2(22m f c f b f a m
===，则c b a ,,大小关系为（ ） A. c b a >> B.a b c >> C. b c a >>
D.
c a b >>
11. 在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，则三角形的ABC ∆形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．无法确定
12.设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()3()0xf x f x '+>，则关于x 的
不等式3
1(3)(3)0
3x f x f ⎛⎫
---< ⎪⎝⎭的解集（ ）
A.)6,3(
B.)3,0(
C.)6,0(
D.),6(+∞
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13.已知
2cos 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则=α2sin . 14.已知等比数列
}
{n a 的首项为
1
a ，前n 项和为
n
S ,若数列
{}12n S a -为等比数列，则
3
2
a a = .
15.已知
,08,0,0=-++>>xy y x y x 则xy 的最大值是
,αβ,m n ,,//m n m n αβ⊥⊥αβ⊥,//m n αα⊥m n ⊥//,m αβα⊂//m β//,//m n αβm αn β
16.在四棱锥
ABCD
P -中,
⊥
PA 底面
ABCD
,
,2,//,===⊥AP DC AD DC AB AB AD
,若点E 为棱PC 上一点,满足AC BE ⊥,则=
EC PE
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知关于x 的不等式|2|1()x m m R -≤∈的解集为[0,1]. （1）求m 的值；
（2）若,,a b c 均为正数，且a b c m ++=，求111
313131a b c ++
+++的最小值.
18．（本小题满分12分）
已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ，且满足sin cos()6
c B b C π
=-.
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆的周长为12，面积为43，求三角形三边长.
1=AB
19．（本小题满分12分）
三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC V 为正三角形，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点，M 为AB 中点 .
（1）求证：//FM 面11A ACC ； （2）求证：AF BC ⊥
20.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)n n n a S n +=+，且11a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
132n a n n b a -=++g ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面
ABCD 是平行四边形，BCD ∠=135°，PA ⊥底面
ABCD ，2AB AC PA ===，,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．
（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；
（2）若M 为线段PD 的中点，求直线ME 与平面PAD 所成角的正切值．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
()2
x k f x e x =-
由两个不同的极值点12,x x . （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：122x x +>.
数 学 答 案（文科）
一、选择题
15:;610:;11,12ADBCD DDBCA B A --
二、填空题
31113.;14.;15.4;16.423
三、解答题
17. （本小题满分10分）
（1）
11
2|112122m m x m x m x -+-≤⇒-≤-≤⇒
≤≤，
由已知解集为[0,1]得1
02112m m -⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪
⎩解得1m =；……5分
（2）1a b c ++=
[(31)(31)3(1)]a b c +++++2
111
(
)(111)313131a b c ++≥+++++
当且仅当
13a b c ===
时，111313131a b c ++
+++的最小值3
2 ……10分
（注：“当且仅当
1
3a b c ===
时”不写，扣2分）
18. （本小题满分12分）
（1）由正弦定理得，
sin sin sin cos()
6C B B C π
=-，sin 3cos C C = 即tan 3C =，
3C π
=
；
……6分
一、 由余弦定理得
222
c a b ab =+-，3423
21==
ab S ,12=++c b a
解得4===c b a
……12分
19. （本小题满分12分）
（1）取AA 1中点N ，连结C 1N ，ND ，取C 1N 中点E ，连结EF ，AE ，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB
为平行四边形，∴AB//ND ，AB=ND ，∵NE=EC 1，C 1F=FD ，∴ND EF 21//=，又∵ND
AM 21
//=∴
四边形MAEF 为平行四边形，∴MF//AE ，∵⊄MF 面
11
A ACC ，AE ⊂面
11
A ACC ，//FM 面
11
A ACC .……6分
（2）设BC 中点为P ，连接PF ，1A F
三棱柱
111
ABC A B C -中，
11//BB CC ，D 为
1B B
中点，所以四边形
1BDC C
为梯形，
又P 为BC 中点，F 为线段1C D
的中点，所以
1
//PF CC ，
三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，所以
1//AA PF
，所以AF
⊂平面1A APF ，
三棱柱
111
ABC A B C -中，
1AA ⊥
平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以
1AA BC
⊥①
正三角形中， P 为BC 中点，则AP BC ⊥② 由①②及
1AA AP A
=I 得BC ⊥平面
1A APF
，所以AF BC ⊥ ……12分
20. （本小题满分12分） （1）
2
(1)n n n a S n +=+，
2n ≥时，2
11(1)(1)(1)n n n a S n ---+=+-，
两式相减得：
1(1)(1)2(1)n n n a n a n ----=-……2分
因为2n ≥，所以12
n n a a --=，……4分
又
11
a =，所以数列
{}
n a 为首项
11
a =，公差2d
=的等差数列，所以21n a n =-.……6分
（2）
11
232234n a n n b n n --=+=+g g ……8分
2(22)(41)341
241n n n n n T n n +-=+=++--g ……12分
21. （本小题满分12分）
(1)∵⊥PA 面ABCD ，EF ⊂面ABCD ，∴EF ⊥AP
在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠=∠45ACB ABC ，∴AB ⊥AC ，
又
BE
AF =
//，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AB//EF ，因此，AC ⊥EF
AP I AC=C ，AP ⊂面PAC ，AC ⊂面PAC ，∴EF ⊥面PAC 又EF ⊂面EMF ，∴面EMF ⊥面PAC .
……6分
（2）连接,AE AM
//ABC AB AC E BC AE BC AE AD ABCD AD BC =⇒⊥⎫
⇒⊥⎬⎭V Y 中，为的中点 中①
PA ABCD AE PA AE ABCD ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面②
由①②及PA AD A =I
得AE PAD ⊥平面
所以AM 是EM 在平面PAD 中的射影，EMA ∠是EM 与平面PAD 所成的角；……9分
等腰直角三角形ABC ，2AB AC =
=，所以2AE =，
22222232
BC AB AD PA ABCD PA AD PD PA ⎫
==⇒=⎪
⊥⇒⊥⇒=⎬⎪=⎭
平面，又M 为PD 的中点，故3AM =
6tan 3AE Rt MAE EMA AM ∠=
=
V 中，直线ME 与平面PAD 所成角的正切值为6
3
.……12分
22．
（本小题满分12分） （1）(),()x x f x e kx f x e k '''=-=-
若0,()0()()k f x f x f x '''≤≥则恒成立，则单调递增，则至多有一个极值点，故舍去；
0,()0ln ;()0ln k f x x k f x x k
''''∴>>⇒><⇒<，
(),ln )(ln ,f x k k '∞+∞在(-递减，）递增
所以(ln )(1ln )0f k k k k e '=-<⇒>，.……2分
11(0)10,(1,ln ),()0f x k f x ''=>∃∈=，
又(2ln )(2ln )f k k k k '=-，
设
2
()2ln ,()10()h k k k h k k e k
'=-=-
>>，所以
()(,)()()20h k e h k h e e +∞>=->在递增，，
22(ln ,2ln ),()0x k k f x '∃∈=
1212()0,()0f x x x x x f x x x x ''>⇒<><⇒<<，或，
()()()1121(),+f x x x x x -∞∞所以在递增，，递减，，递增 k e >时函数()f x 有两个不同的极值点12,x x .……6分
（2）1211221122()0,()0ln ln ,ln ln ,x x
f x e kx f x e kx x k x x k x ''=-==-=⇒=-=-
2211
ln
x x x x -=+，设
2
1
x t x =，则
2112ln ln ln ,,11
t t t
x x t x x t t -==
=--，
21ln ln (1)11
t t t
x x t t t +=
+>--()ln ln 2(1),(1)
11
()ln 1,()0,(1)g t t t t t t t g t t g t t t t
=+-->-'''=+-=>> 1
()ln 1(1,)1()(1)0g t t g t g t
'''=+-+∞>>=在递增，所以t 时，
()(1,)1()(1)0g t g t g +∞>>=在递增，所以t 时， 1ln ln 2(1)0,ln ln 2(1)t t t t t t t t t >+-->+>-时，即
12ln ln 12,2(1)
t t t t x x t +>>+>-时，即 ……12分
11。