【精品】2019年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)【解析版】

2019年福建省高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则＝（）A. {0}B. {2，3}C. {1，2，3}D. {0，1，2，3} 【答案】B【解析】【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】解：；∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。

2.若z为纯虚数，且满足，则a＝（）A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0列方程即可得解．【详解】解：由，得，∴，∵z为纯虚数，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 82B. 97C. 100D. 115【答案】C【解析】【分析】先求出公差，再根据等差数列的求和公式，求得，即可求解，得到答案.【详解】因为等差数列的前n项和为，且，所以，解得，又由，所以，解得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地至少有一门被选中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中}，包含1个基本事件，则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，进行模拟运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，模拟程序框图，可得：，满足判断条件；，满足判断条件；，满足判断条件，，不满足判断条件，输出结果，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的识别与计算结果的输出问题，其中解答中利用模拟程序的运算，逐次求解判断是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的焦点坐标，求得a和b的关系，由焦点到渐近线的距离得，解得a和b，问题得解．【详解】解：设双曲线的方程为：，其渐近线方程为：依题意可知，解得，∴双曲线C的渐近线方程为，故选：D．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，属基础题．7.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后的解析式，再令2x kπ，求得结论．【详解】将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin（2x），令2x kπ，求得x，k∈Z，故函数的对称中心为（，0），k∈Z，故选：A．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得，所以，又由，所以，又由，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数与幂函数的单调性的应用，其中解答中合理应用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9.在正方体中，O为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，连接，找出异面直线与所成角，解三角形即可．【详解】解：如图，连接，则，∴即为异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则，由余弦定理可得：即异面直线与所成角的余弦值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查转化能力及计算能力，还考查了余弦定理，是中档题．10.设椭圆的两焦点分别为,以为圆心,为半径的圆与交于两点.若为直角三角形,则的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示，△PF1F2为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【详解】如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2c，则2c+2c＝2a，解得e1．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与圆的定义及其性质的应用，考查了数形结合思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数，且，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出函数的定义域，进而分析可得为奇函数且在上为增函数，据此可得原不等式等价于，即，解不等式组即可。

2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（文科）试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合,，再根据交集的运算即可．【详解】解：集合由集合中的不等式，因式分解得：，解得：，所以集合；则集合．故选：B．【点睛】此题考查了交集的运算，看清代表元素是解题关键，属于一道基础题．2.复数，则( )A. B. -2 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A. 75,84B. 76,83C. 76,84D. 75,83【答案】B【解析】【分析】利用中位数的定义，将茎叶图中数值排序，甲班9个数据选中间一位数，乙中10个数据选中间两个数据的平均数即得答案.【详解】解：甲班9个数据有小到大的顺序排序为：52,66,72,74,76,76，78,82,96故中位数为76；乙班10个数据有小到大的顺序排序为：62,74,76,78,82,84,85,86,88,92故中位数为.故答案为：B.【点睛】本题考查茎叶图中的中位数的定义，解题关键首要是排序，其次是看清个数，属于基础题.4.如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的，三个视图间存在长对正，高平齐，宽相等的对应关系，在三视图中不可见的轮廓用虚线表示.【详解】根据题意以及已知图形：由主视图得出主视方向，左视图应该是从实物图的左边进行正投影，右边的轮廓为不可见轮廓，所以要用虚线表示，故B正确.故选:B.【点睛】考查正投影，以及三视图的作图知识，本题属于中档题.5.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得，再根据，解出.【详解】，，即，解之得或．又由余弦函数取值范围，可知，不符合题意舍去，得.故选:C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，注意有界性，属于中档题.6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，再根据点到直线的距离公式利用椭圆离心率公式求解即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，点到的距离，，．故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 18B. 10C. -14D. -22【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列的公比为，显然，由求和公式可得①，②可得，解得，代回①可得，故选D．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．8.函数的部分图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．【详解】解：，函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D.在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.故选:A.【点睛】本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数f（x），结合三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间，从而得出m的最大值.【详解】在单调递增，即,解得即，由于则的最大值是.故选:C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求解，利用导数及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．10.如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由已知可得，直线方程为，代入抛物线方程消去，结合抛物线的定义和韦达，即可得出结论．【详解】解：设，、，，由已知可知，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，则=AF-r+DF-r=故选:B.【点睛】抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题．11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值【详解】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，圆的方程为，设点的坐标为，，，即，=，，，，，，，，故的最大值为3，故选：A.【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可. 【详解】解：对于任意，，恒成立,即也就是，代入选项验证即可，验证a=1时，，令，，由的图像可以知道在上递减，在上递增，故，，不满足，故排除B,D.验证时，，令，由的图像可以知道在上递减，在上递增，故，，满足，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查恒成立问题的转化，应用导数求得最值，利用排除法通过验证选项求解的过程，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则__________．【答案】-3【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标公式解得的值．【详解】解：根据题意，向量，，若，必有，解可得：；故答案为：-3．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是利用向量平行的坐标表示方法得到关于的方程，属于基础题．14.若实数，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】9【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象找出最优解求出最大值．【详解】解：画出变量，满足约束条件表示的平面区域如图：由解得．变形为，作出目标函数对应的直线，当直线过时，直线的纵截距最大，最大，最大值为，故答案为：9．【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求目标函数的最值，属于基础题．15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解圆锥的高及底面半径，利用勾股定理建立等量关系求得球半径，再代入球的表面积公式求值即可．【详解】解：圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得：，解得，与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2，设该圆锥外接球的半径为R，由勾股定理可得,解得,则该圆锥外接球的表面积为：．故答案为：.【点睛】本题考查圆锥外接球表面积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16.在中，已知，，，则__________．【答案】【解析】【分析】在BC上取点D,使得BD=AD找出A-B，应用余弦定理求得BD=DC=DA，证得A点在以BC为直径的圆上，在中解三角形且与互余，再利用诱导公式和二倍角公式即可得解.【详解】由题知a>b,在BC上取点D,使得BD=AD，连接AD，即A-B，设BD=x，在中利用余弦定理：解得x=4.故D为BC中点. BD=DC=DA=4，故A点在以BC为直径的圆上，故为，在中，,且,.故答案为：【点睛】此题考查余弦定理，共圆证明及二倍角公式的应用，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，直接列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（2）把（1）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，.又，∴，∴，∴，∴.（2）解：由上问知，∴，.∴，∴∴【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．18.如图，在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，是中点，.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，通过证明四边形为平行四边形得到即可求证.（2）取的中点，先证明平面再通过等体积转化即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.因为点是中点，所以且.又因为四边形是平行四边形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连结、，如图所示，因为在平行四边形中，为的中点，，，因为，所以，所以为正三角形，所以，且，因为在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，所以平面，.所以..，，设三棱锥的高为，因为，，所以，所以三棱锥的高为.【点睛】本题考查线面平行的判定，等体积转化求锥体的高，也是高考考查的重点知识，属于中档题.19.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围. 【详解】（1）解：由题意得，所以，①，又点在上，所以②，联立①②，解得，，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，的坐标为，，依题意得，联立方程组消去，得.，，，，，∵，∴，所以，.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：温度产卵数（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）可靠，见解析。

福建省福州三中2019届高三高考模拟文科数学试题及答案（word 版）一、 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合(1,2),A =- 集合2{|230}B x x x =--+>，则A B =（ ）A ．(1,1)-B ．(3,2)-C ．(1,3)-D ． (1,2)-2．设i 是虚数单位，则复数20131()1i z i+=-=（ ） A ．-1 B ．1 C ．i -D ． i3. 命题“x ∀∈R ，都有ln(x 2+1)>0”的否定为（ ）(A) x ∀∈R ，都有ln(x 2 +1)≤0 (B) 0x ∃∈R ，使得ln(x 02+1)>0 (C) x ∀∈R ，都有ln(x 2+l)<0(D) 0x ∃∈R ，使得ln(x 02+1)≤04．已知,l m 是直线，α是平面，且m a ⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．阅读程序框图(如右图），如果输出的函数值在区间[14，1]上，则输 入的实数x 的取值范围是（ ）A.(,2]-∞-B.［－2,0］C.［0,2］D.[2,)+∞ 6．在等差数列{}n a 中，+=4722a a ，则数列{}n a 的前9项和等于（ ） A ．3B ． 9C ．6D ．127．设1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y ，是变量x 和y 的n 个 样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到 的线性回归方程(如图），以下结论中正确的是（ ） A ．x 和y 正相关B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在－1到0之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 8. 已知函数y=2sin 2（,2cos )4x x -+π则函数的最小正周期T 和它的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．T=2π，一条对称轴方程为8π=x B ．T=2π，一条对称轴方程为83π=x C ．T=π，一条对称轴方程为8π=x D ．T=π，一条对称轴方程为83π=x9．函数log 1(0,1)m y x m m =+>≠的图像恒过定点M ，若点M 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，则14a b+的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1210．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 11．函数sin x x y e -=的图象大致为（ ）12. 已知i 是虚数单位，记cos sin ie i θθθ=+，其中 2.718...,e θ=∈R ，给出以下结论：①10ie π+= ②1i ie e θθ-= ③1212()i i i e e e θθθθ+⋅=，则其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上．13． 已知向量(,1),x a e =-向量(1,1)b x =+，设函数(),f x a b =⋅则函数()f x 的零点个数为 ． 14．若圆22240(3)x y x y m m ++-+=<的一条弦AB 的中点为P （O ，1），则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 ．15．若x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 ．16．已知命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点)0,(p A -和)0,(p C ，顶点B 在椭圆),0(1222222n m p n m ny m x -=>>=+上，则B C A sin sin sin +e 1=（其中e 为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题12分）已知函数211()22f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图象上. (I) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (II)若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题12分）某市为了配合宣传新《道路交通法》举办有奖征答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了n 人,回答问题统计结果如图表所示.（左图是样本频率分布直方图，右表是对样本中回答正确人数的分析统计表）.(Ⅰ)分别求出,,,,n a b x y 的值；(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,有奖征答活动组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求获得幸运奖的2人来自不同年龄组的概率. 19．（本题12分）如图三棱柱111ABC A B C -中, 侧棱与底面垂直，ABC ∆是等边三角形, 点D 是BC 的中点.(Ⅰ)证明：1//A B 平面1C AD ；(Ⅱ)若在三棱柱111ABC A B C -内部（含表面）随机投放一个点P ，求点P 落在三棱锥11C A AD -内部（含表面）的概率.20. （本题12分）如图所示扇形AOB ,半径为2，3AOB π∠=,过半径OA 上一点C 作OB 的平行线，交圆弧AB 于点P . (Ⅰ)若C 是OA 的中点,求PC 的长；(Ⅱ)设θ=∠COP ,求△POC 面积的最大值及此时θ的值.21. （本题12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率e =(2,1)M .(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ) 设平行于OM 的直线l 交椭圆E 于两个不同点A B 、,直线MA 与MB 的斜率分别为12k k 、；① 若直线l 过椭圆的左顶点，求12k k 、的值；② 试猜测12k k 、的关系；并给出你的证明.22. （本题14分）已知函数2()ln 23f x x x x =-+． （I ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：存在(1,)m ∈+∞，使得1()()2f m f =；（Ⅲ）记函数y=()f x 的图象为曲线Γ．设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线Γ上的不同两点．如果在曲线Γ上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线Γ在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()f x 存在“中值伴随切线”，试问：函数()f x 是否存在“中值伴随切线”，请说明理由． 一．参考答案选择题：,,BDDAB CCDBC BD二． 填空题：13．1 14．10x y +-= 15．(4,2)a ∈-16．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点)0,(p A -和)0,(p C ，顶点B 在双曲线),0(1222222n m p n m ny m x +=>>=-上，则e B C A 1sin sin sin =-（其中e 为双曲线的离心率）．三．解答题： 17．(I)点*(,)()n n S n N ∈在函数()y f x =的图象上，211,22n S n n ∴=+即22n S n n =+，1n =时11;a = 2n ≥时212(1)(1)n S n n -=-+-，故12()2,n n S S n --=即n a n =.(II) 1()2nn b n =，2123111112()...(1)()()222211111()2()......(1)()()22222n n n n n n T n n T n n -+∴=+++-+∴=++++-+211111[1()]1111111122()...()()()1()()1222222221212(2)()2n n n n n n n nn T n n n T n +++-∴=+++-=-=---∴=-+ 18．(Ⅰ)由第1组数据知该组人数为5100.5=，因为第1组的频率是0.01100.1⨯=， 故101000.1n ==；因为第2组人数为0.021010020⨯⨯=，故200.918a =⨯=；因为第3组人数为0.031010030⨯⨯=，故270.930x ==；因为第4组人数为0.025*******⨯⨯=，故250.369b =⨯=；因为第5组人数为0.0151010015⨯⨯=，故30.215y ==. (Ⅱ)第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，故这3组分别抽取2人，3人，1人.设第2组为12,A A ，第3组为123,,B B B ，第4组为1C ；则随机抽取2人可能是12111213(,),(,),(,),(,),A A A B A B A B 1121(,),(,),A C A B 222321(,),(,),(,),A B A B A C 12(,),B B 1311232131(,),(,),(,),(,),(,)B B B C B B B C B C ，共15种.其中来自不同年龄组的有111213(,),(,),(,),A B A B A B 1121(,),(,),A C A B 222321(,),(,),(,),A B A B A C11(,),B C 2131(,),(,)B C B C 共11种，故获得幸运奖的2人来自不同年龄组的概率是1115. 19．(Ⅰ)连接1AC ，交1AC 于点E ，连接DE ，在1A BC 中DE 是中位线，故 1//DE A B ，111,DE C AD A B C AD ⊆⊄∴面面1//A B 平面1C AD .(Ⅱ)设底面边长为a ，侧棱长为h ，则1112ABC A B C V h -=，因为点D 是BC 的中点，过D 作AC 的垂线交AC 于F ，有DF=，故11111132C A AD D A AC V V ah --==⋅，所以点P 落在三棱锥11C A AD -内部（含表面）的概率16.20．(Ⅰ)//,CP OB 3AOB π∠=，23OCP π∴∠=，若C 是OA 的中点，则在OPC ∆中，2222cos ,OP OC CP OC CP OCP =+-⋅⋅∠即241CP CP =++，解得12CP =. (Ⅱ) 由正弦定理2sin()sin33OCOPππθ=-，sin(),33OC πθ=-所以 1sin 2OCP S OP OC θ∆=⋅⋅112sin()sin sin )sin 232πθθθθθ=⋅-⋅=-⋅212cos sin sin 2cos 2)(2cos 2)333223θθθθθθθ=-=--=+-)(0,)63ππθθ=+∈，52(,)666OPC S πππθ∆+∈∴∈. .33max ,6==S 时当πθ21. (Ⅰ)设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意有：22222222(2211a b e a a b ⎧-==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得228,2a b ==，所以椭圆E 的方程为22182x y +=.(Ⅱ) ①若直线l 过椭圆的左顶点且直线l 平行于OM ，则直线的方程是1:2l y x =+ 联立方程组2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121200x x y y =⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 故1211,22k k =-=. ②因为直线l 平行于OM ,设在y 轴上的截距为b ,又12OM k =,所以直线l 的方程为12y x b =+.由2212182y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222240x bx b ++-= .设11(,)A x y 、22(,)B x y ,则212122,24x x b x x b +=-=-. 又1111,2y k x -=-2221,2y k x -=- 故1212121122y y k k x x --+=+--122112(1)(2)(1)(2)(2)(2)y x y x x x --+--=--. 又112211,22y x b y x b =+=+,所以上式分子122111(1)(2)(1)(2)22x b x x b x =+--++--21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)0x x b x x b b b b b =+-+--=-+----= ， 故120k k +=.所以直线MA 与直线MB 的倾斜角互补.22．（I ）21431(1)(41)'()43(0)x x x x f x x x x x x-++--+=-+==>，'()01f x x =⇒=，(0,1)x ∈时'()0,f x >(1,)x ∈+∞时'()0,f x <故1x =时()f x 有极大值1，无极小值．(Ⅱ)构造函数：22113()()()ln 23(ln 2)ln 23ln 21222F x f x f x x x x x x =-=-+---+=-++-，由（I ）知1(1)()2f f >，故(1)0F >，又2()23ln 2(32)ln 20F e e e e e =-++=-+<，所以函数()F x 在区间(1,)e 上存在零点．即存在(1,)m ∈+∞，使得1()()2f m f =．（Ⅲ）22121212121212121212()()ln ln 2()3()ln ln 2()3AB f x f x x x x x x x x x k x x x x x x x x ----+--===-++---120001212'()43432x x f x x x x x +=-+=-++，假设存在“中值伴随切线”，则有0'()AB k f x =，可得1121121211212212221ln ln 2ln 2ln 21x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⇒=⋅⇒=⋅-+++，令12xt x =，则1ln 21t t t -=⋅+，构造1()ln 2,1t g t t t -=-⋅+ 有22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=≥++恒成立，故函数()g t 单调递增，无零点， 所以函数()f x 不存在“中值伴随切线” ．。

2019年高考试题-文科数学（福建卷）解析版1注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

数学试题〔文史类〕解析第I 卷〔选择题共60分〕一、选择题1、复数i z 21--=〔i 为虚数单位〕在复平面内对应的点位于〔〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【答案】C【解析】此题考查的知识点是复数的几何意义、由几何意义可知复数在第三象限、 2、设点),(y x P ，那么“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的〔〕 A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】此题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定、因为)1,2(点代入直线方程，符合方程，即“2=x 且1-=y ”可推出“点P 在直线01:=++y x l 上”；而点P 在直线上，不一定就是)1,2(点，即“点P 在直线01:=++y x l 上”推不出“2=x 且1-=y ”、故“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的充分而不必要条件、 3、假设集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，那么B A 的子集个数为〔〕 A 、2B 、3C 、4D 、16 【答案】C【解析】此题考查的是集合的交集和子集、因为}3,1{=B A ，有2个元素，所以子集个数为422=个、4、双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于〔〕A 、21B 、22C 、1D 、2【答案】B【解析】此题考查的是双曲线的性质、因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为22、 5、函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是〔〕A 、B 、C 、D 、 【答案】A【解析】此题考查的是对数函数的图象、由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B,D 、6、假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，那么y x z +=2的最大值和最小值分别为〔〕A 、4和3B 、4和2C 、3和2D 、2和0 【答案】B【解析】此题考查的简单线性规划、如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2、7、假设122=+yx，那么y x +的取值范围是〔〕A 、]2,0[B 、]0,2[-C 、),2[+∞-D 、]2,(--∞ 【答案】D【解析】此题考查的是均值不等式、因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当y x 22=，即y x =时取等号、8、阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的)20,10(∈S ，那么n 的值为〔〕A 、3B 、4C 、5D 、6【答案】B【解析】此题考查的是程序框图、循环前：2,1==k S ；第1次判断后循环：3,3==k S ；第2次判断后循环：4,7==k S ；第3次判断后循环：5,15==k S 、故4=n 、 9、将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，假设)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，那么ϕ的值可以是〔〕 A 、35πB 、65πC 、2πD 、6π 【答案】B【解析】此题考查的三角函数的图像的平移、把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，应选B 10、在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，那么该四边形的面积为〔〕A 、5B 、52C 、5D 、10 【答案】C【解析】此题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长、因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅，应选C11、与y 之间的几组数据如下表： 假设根据上表数据所得线性回归直线方程a xb yˆˆˆ+=、为假设某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，那么以下结论正确的选项是〔〕A 、a a b b'>'>ˆ,ˆB 、a a b b '<'>ˆ,ˆC 、a a b b '>'<ˆ,ˆD 、a a b b '<'<ˆ,ˆ 【答案】C【解析】此题考查的是线性回归方程、画出散点图，可大致的画出两条直线〔如下图〕，由两条直线的相对位置关系可判断a a b b'>'<ˆ,ˆ、应选C12、设函数)(x f 的定义域为R ，)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的选项是〔〕A 、)()(,0x f x f R x ≤∈∀B 、0x -是)(x f -的极小值点C 、0x -是)(x f -的极小值点D 、0x -是)(x f --的极小值点 【答案】D【解析】此题考查的是函数的极值、函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确、 二、填空题13、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ，那么=))4((πf f 【答案】2-【解析】此题考查的是分段函数求值、2)1(2)1()4tan())4((3-=-=-=-=f f f f ππ、14、利用计算机产生1~0之间的均匀随机数，那么事件“013<-a ”发生的概率为【答案】31【解析】此题考查的是几何概型求概率、013<-a ，即31<a ，所以31131==P 、15、椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2、假设直线)(3c x y +=与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，那么该椭圆的离心率等于 【答案】13-【解析】此题考查的是圆锥曲线的离心率、由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==ace ，故答案为13-、16、设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足；〔i 〕}|)({S x x f T ∈=；〔ii 〕对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <、 那么称这两个集合“保序同构”、现给出以下3对集合： ①*,N B N A ==；②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ； ③R B x x A =<<=},10|{、其中，“保序同构”的集合对的序号是〔写出所有“保序同构”的集合对的序号〕 【答案】①②③【解析】此题考查的函数的性质、由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数)(x f y =为单调递增函数、对于集合对①，可取函数)(2)(N x x f x∈=，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数)31(2729≤≤--=x x y ，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数)10)(2tan(<<-=x x y ππ，是“保序同构”、故答案为①②③、 三、解答题17、〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S 、 〔1〕假设131,,a a 成等比数列，求1a ； 〔2〕假设519S a a >，求1a 的取值范围、本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、总分值12分、解：〔1〕因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列，所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =、〔2〕因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，所以21115108a a a +>+；即2113100a a +-<，解得152a -<<18、〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，AB AD ⊥，5BC =，3DC =，4AD =，60PAD ∠=、〔1〕当正视图方向与向量AD 的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.〔要求标出尺寸，并画出演算过程〕；〔2〕假设M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面； 〔3〕求三棱锥D PBC -的体积、本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合能力、化归与转化思想，总分值12分、 解法一：〔Ⅰ〕在梯形ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ， 由得，四边形ADCE 为矩形，3AE CD ==在Rt BEC ∆中，由5BC =，4CE =,依勾股定理得： 3BE =，从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得，PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中，由4AD =，60PAD ∠=︒,得PD = 正视图如右图所示：〔Ⅱ〕取PB 中点N ，连结MN ，CN 在PAB ∆中，M 是PA 中点，∴MN AB ，132MN AB ==，又CD AB ,3CD =∴MN CD ，MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC〔Ⅲ〕13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=，PD =，所以D PBC V -=解法二：〔Ⅰ〕同解法一〔Ⅱ〕取AB 的中点E ，连结ME ,DE在梯形ABCD 中，BE CD ，且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ，又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ，又在PAB ∆中，ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E =,∴平面DME 平面PBC ，又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC〔Ⅲ〕同解法一 19、〔本小题总分值12分〕某工厂有25周岁以上〔含25周岁〕工人300名，25周岁以下工人200名、为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关、现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上〔含25周岁〕”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如下图的频率分布直方图、〔1〕从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率、 〔2〕规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据条件完成22⨯的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，总分值12分、 解：〔Ⅰ〕由得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=〔人〕， 记为1A ，2A ，3A ；25周岁以下组工人有400.052⨯=〔人〕，记为1B ，2B从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，他们是：12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B其中，至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B .故所求的概率：710P =〔Ⅱ〕由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515⨯=〔人〕，“25周岁以下组”中的生产能手400.37515⨯=〔人〕，据此可得22⨯列联表如下：所以得：222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯ 因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 20、〔本小题总分值12分〕如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A 、点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N 、〔1〕假设点C 的纵坐标为2，求MN ； 〔2〕假设2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径、本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、总分值12分、解：〔Ⅰ〕抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =，又||CO =所以||2MN ===.〔Ⅱ〕设200(,)4y C y ，那么圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+， 即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-，得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，那么：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y =所以2142y +=，解得0y =0∆>所以圆心C 的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =，||CO =，即圆C21〔本小题总分值12分〕如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90OPQ ∠=，OP =点M 在线段PQ 上、〔1〕假设OM =PM 的长；〔2〕假设点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值、本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、总分值12分、解：〔Ⅰ〕在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，OM =OP = 由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒， 得2430MP MP -+=，解得1MP =或3MP =、〔Ⅱ〕设POM α∠=，060α︒≤≤︒， 在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠， 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+，同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦===42=因为060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，所以当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值、即230POM ∠=︒时，OMN ∆的面积的最小值为8-22〔本小题总分值14分〕函数()1x a f x x e=-+〔a R ∈，e 为自然对数的底数〕、 〔1〕假设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；〔2〕求函数()f x 的极值；〔3〕当1a =的值时，假设直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值、 本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、总分值14分、解：〔Ⅰ〕由()1x a f x x e =-+，得()1x a f x e'=-、又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴， 得()10f '=，即10a e-=，解得a e =、 〔Ⅱ〕()1x a f x e '=-， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(),-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值、 ②当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =、(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>、所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为()ln ln f a a =，无极大值、综上，当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值、〔Ⅲ〕当1a =时，()11xf x x e =-+ 令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+， 那么直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解、假设1k >，此时()010g =>，1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭， 又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤、又1k =时，()10x g x e=>，知方程()0g x =在R 上没有实数解、 所以k 的最大值为1、解法二：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕同解法一、〔Ⅲ〕当1a =时，()11xf x x e =-+、 直线l ：1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程111x kx x e-=-+在R 上没有实数解，即关于x 的方程： ()11x k x e-= 〔*〕 在R 上没有实数解、①当1k =时，方程〔*〕可化为10xe =，在R 上没有实数解、 ②当1k ≠时，方程〔*〕化为11x xe k =-、 令()x g x xe =，那么有()()1xg x x e '=+、 令()0g x '=，得1x =-，当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，()min g x e =-，同时当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭、 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时，方程〔*〕无实数解， 解得k 的取值范围是()1,1e -、综上，得k 的最大值为1、。

2019年福建省福州市高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合{|1}A x x =…,2{|20}B x x x =--<,则(A B = )A.{|1}x x …B.{|12}x x <…C.{|11}x x -<…D.{|1}x x >-2.(5分)设复数z 满足(3)3i z i +=-,则||(z = )A.12B.1 D.23.(5分)为弘扬中华民族传统文化,某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下：估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是( ) A.参加活动次数是3场的学生约为360人 B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4.(5分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>,直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N ,O 为坐标原点.若OMN ∆为直角三角形,则C 的离心率为( )C.25.(5分)已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若数列1{}na 为等差数列,则9(a = )A.12B.54C.45D.45-6.(5分)已知1sin()62πθ-=,且(0,)2πθ∈,则cos()(3πθ-= )A.0B.12C.1 7.(5分)已知函数()sin f x x x =,()f x '为()f x 的导函数,则函数()f x '的部分图象大致为( )A. B.C. D.8.(5分)在边长为3的等边ABC ∆中,点M 满足2BM MA =,则(CM CA = )B. C.6 D.1529.(5分)如图,线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦,且MN 的长为2.在圆O 内,将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动,使点M 移动到圆O 上的新位置,继续将线段NM 绕M 点按逆时针方向转动,使点N 移动到圆O 上的新位置,依此继续转动⋯.点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分内的概率为( )A.4π-B.1-C.π10.(5分)已知函数31()4,0,()25,0xx f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪--+>⎩…,当[x m ∈,1]m +时,不等式(2)()f m x f x m -<+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(,4)-∞-B.(,2)-∞-C.(2,2)-D.(,0)-∞11.(5分)已知1F ,2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点,P 是椭圆上异于顶点的任意一点,K 点是△12F PF 内切圆的圆心,过1F 作1F M PK ⊥于M ,O 是坐标原点,则||OM 的取值范围为( )A.(0,1)B.C.D.12.(5分)如图,棱长为()f x 正方体1111ABCD A B C D -的木块,平面α过点D 且平行于平面1ACD,则木块在平面α内的正投影面积是()D.1二、填空题：本大题4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.13.(5分)若实数x,y满足约束条件20220x yx yx y+⎧⎪-⎨⎪-+⎩………,则3z x y=-的最小值等于.14.(5分)已知长方体1111ABCD A B C D-的外接球体积为323π,且12AA BC==,则直线1A C与平面11BB C C所成的角为.15.(5分)将函数()sin cos(f x a x b x a=+,b R∈,0)a≠的图象向左平移6π个单位长度,得到一个偶函数图象,则ba=.16.(5分)已知数列{}na的前n项和为nS,11a=,且1(n nS aλλ=-为常数).若数列{}nb满足2920n na b n n=-+-,且1n nb b+<,则满足条件的n的取值集合为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)在Rt ABC∆中,90C∠=︒,点D,E分别在边AB,BC上,5CD=,3CE=,且ECD∆的面积为.(1)求边DE长；(2)若3AD=,求sin A的值.18.(12分)峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别.它是将一天24小时划分成两个时间段,把8:0022:00-共14小时称为峰段,执行峰电价,即电价上调；22:00-次日8:00共10个小时称为谷段,执行谷电价,即电价下调.为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况,从某市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查,各户月平均用电量以[100,300),[300,500),[500,700),[700,900),[900,1100),[1100,1300](单位：度)分组的频率分布直方图如图所示.若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”,月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”.其中,使用峰谷电价的户数如表：(1)估计所抽取的50户的月均用电量的众数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)()i 将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面22⨯的列联表：()ii 根据()i 中的列联表,能否有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,19.(12分)如图,四棱锥E ABCD -,平面A B C D⊥平面ABE ,四边形ABCD 为矩形,6AD =,5AB =,3BE =,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE BE ⊥；(2)设M 在线段DE 上,且满足2EM MD =,试在线段AB 上确定一点N ,使得//MN 平面BCE ,并求MN 的长.20.(12分)已知抛物线21:2(0)C x py p =>和圆222:(1)2C x y ++=,倾斜角为45︒的直线1l 过1C 的焦点且与2C 相切.(1)求p 的值；(2)点M 在1C 的准线上,动点A 在1C 上,1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ,设MN MA MB =+,求证：点N 在定直线上,并求该定直线的方程.21.(12分)已知函数1()()a f x alnx x a R x+=--∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当e a <<时,关于x 的方程1()a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ,2x ,求证：12124x x x x +<. 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为12(x t t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数,)a R ∈.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,射线(0)3πθρ=…与曲线C 交于O ,P 两点,直线l 与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当||||AB OP =时,求a 的值. [选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知不等式|21||21|4x x ++-<的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a M ∈,b M ∉,证明：||1||||ab a b ++….2019年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【解答】解：{|12}B x x =-<<；{|1}A B x x ∴=>-.故选：D .【解答】解法一：因为3(3)(3)863(3)(3)10i i i iz i i i ----===++-,所以||1z =,故选B . 解法二：因为(3)3i z i +=-,所以|(3)||(3)||||3|i z i z i +=+=-,所以||1z =, 故选：B .【解答】解：估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000(0.180.120.040.⨯+++=人, 故选：D .【解答】解：依题意得：因为OMN ∆为直角三角形,所以双曲线C 的渐近线为y x =±, 即C 是等轴双曲线,所以C的离心率e 故选：A .【解答】解：依题意得：32a =,71a =,因为数列1{}na 为等差数列,所以7311111273738a a d --===--,所以971115(97)84a a =+-⨯=,所以945a =, 故选：C .【解答】解：由1sin()62πθ-=,且(0,)2πθ∈,可得3πθ=,代入cos()3πθ-,可得cos()cos013πθ-==,故选：C .解法二：由1sin()62πθ-=,且(0,)2πθ∈,可得cos()6πθ-=,所以cos()cos[()]cos()cos sin()sin 13666666πππππππθθθθ-=--=-+-=,故选：C .【解答】解：函数的导数()sin cos f x x x x '=+为奇函数,图象关于原点对称,排除C ,D , 设()()g x f x '=,则()2cos sin g x x x x '=-,(0)20g '=>,排除B , 故选：A . 【解答】解：依题意得：121211215()333333333232CM CACB CA CA CB CACA CA =+=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=,故选：D .【解答】解：依题意得：阴影部分的面积2116[(2)22462S ππ=⨯⨯-⨯⨯=- 设“在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分内”为事件A, 由几何概型中的面积型可得：P (A)1SS ===-圆 故选：B .【解答】解：当0x …时,1()()42x f x =+单调递减,且()(0)5f x f =…； 当0x >时,3()5f x x x =--+,2()310f x x ∴'=--<,()f x 单调递减,且()(0)5f x f <=；所以函数31()4,0()25,0xx f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪--+>⎩…在x R ∈上单调递减,因为(2)()f m x f x m -<+,所以2m x x m ->+, 即2x m <,在[x m ∈,1]m +上恒成立,所以2(1)m m +<, 解得2m <-.即m 的取值范围是(,2)-∞-. 故选：B .【解答】解：如图,延长21,PF F M 相交于N 点,连接OM ,K 点是△12F PF 内切圆的圆心,PK ∴平分12F PF ∠,1F M PK ⊥,1||||PN PF ∴=,M 为1F N 中点, O 为12F F 中点,M 为1F N 中点,∴2212121111||||||||||||||||||2222OM F N PN PF PF PF F F c ==-=-<==||OM ∴的取值范围为,故选：C .【解答】解：棱长为()f x 正方体1111ABCD A B C D -的木块的三个面 在平面α内的正投影是三个全等的菱形(如图所示),, 所以木块在平面α内的正投影面积是122S =⨯=.故选：A .二、填空题：本大题4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.【解答】解：依题意,可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域,目标函数化为：3y x z =-, 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值.通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大.因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得1(1,)2A -,所以3z x y =-的最小值173(1)22min z =--=-. 故答案为：72-.【解答】解：设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ,因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=,所以2R =,即124AC R ==,因为12AA BC ==,所以AB =. 因为11A B ⊥平面11BB C C ,所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11A CB ∠, 在Rt △11A CB 中,因为12AA BC ==,所以111B C A B =, 所以114ACB π∠=.故答案为：4π.【解答】解：因为()sin cos (f x a x b x a =+,b R ∈,0)a ≠的图象向左平移6π单位长度, 得到偶函数图象,所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为6x π=,所以()sin cos (0)333f a b f b πππ=+==,因为0a ≠,所以ba=【解答】解：因为11a =,且1(n n S a λλ=-为常数), 所以111a λ=-=, 解得2λ=, 所以21n n S a =-, 所以1121(2)n n S a n --=-…, 所以12n n a a -=, 所以12n n a -=,因为2920n n a b n n =-+-,所以219202n n n n b --+-=,所以211128(4)(7)022n n n nn n n n b b +-+---==<,解得47n <<, 又因为*n N ∈, 所以5n =或6n =. 所以,当5n =或6n =时, 1n n b b +<,即满足条件的n 的取值集合为：{5,6}. 故答案为：{5,6}.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解答】(本小题满分12分)解：(1)如图,在ECD ∆中,11sin 53sin 22ECD S CE CD DCE DCE ∆=∠=⨯⨯⨯∠=所以sin DCE ∠=,⋯(2分) 因为090DCE ︒<∠<︒,所以1cos 5DCE ∠==,⋯(4分) 由余弦定理得：22212cos 259253285DE CE CD CE CD DCE =+-∠=+-⨯⨯⨯=,解得：DE =(7分)(2)因为90ACB ∠=︒,所以1sin sin(90)cos 5O ACD DCE DCE ∠=-∠=∠=,⋯(9分)在ADC ∆,由正弦定理得sin sin AD CDACD A=∠,即351sin 5A =, 所以1sin 3A =⋯(12分)【解答】解：(1)根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为： 10.0012000.00152000.00122000.00062000.00022000.1-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=,(2分)估计所抽取的50户的月均用电量的众数为：5007006002+=(度)；(3分) 估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为：(2000.00054000.0016000.00158000.001210000.000612000.0002)200640x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(2)依题意,22⨯列联表如下：(8分)2K的观测值50(2510510)4006.349 6.6353515302063k⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯(11分)所以不能有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.(12分)【解答】解：(1)证明：四边形ABCD为矩形,BC AB∴⊥.平面ABCD⊥平面ABE,BC∴⊥平面ABE.BC AE∴⊥.BF⊥平面ACE,BF AE∴⊥.又BC BF B=,BC⊂平面BCE,BF⊂平面BCE,AE∴⊥平面BCE,AE BE∴⊥.(2)取CE的三等分点G(近)C,即2EG GC=,连接MG,2EM M D=,// MG CD ∴,23 MG CD=,在AB上取点N,使2NB NA=,即23NB AB=,矩形ABCD中,//AB CD,AB CD=, //MG NB∴,MG NB=,∴四边形MGBN是平行四边形,//MN BG∴,//MN∴平面BCE,6BC AD ==,13CG CE ==cos BCG ∠=,∴23652617BG =+-⨯=,∴MN BG ==【解答】解：(1)依题意设直线1l 的方程为2p y x =+, 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -,半径r = 因为直线1l 与圆2C 相切,所以圆心到直线1:2p l y x =+的距离|1|p d -+==|1|p-+=,解得6p =或2p =-(舍去).所以6p =；(2)解法一：依题意设(,3)M m -,由(1)知抛物线1C 方程为212x y =,所以212x y =,所以6xy '=,设11(,)A x y ,则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =,所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+.令0x =,211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-,即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -,所以11(,3)MA x m y =-+,(9分)1(,3)MB m y =--+, ∴1(2MN MA MB x m =+=-,6),∴1(,3)ON OM MN x m =+=-.设N 点坐标为(,)x y ,则3y =, 所以点N 在定直线3y =上.解法二：设(,3)M m -,由(1)知抛物线1C 方程为212x y =,① 设11(,)A x y ,以A 为切点的切线2l 的方程为11()y k x x y =-+②, 联立①②得：2211112[()]12x k x x x =-+, 因为22111444840k kx x =-+=,所以16x k =, 所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+. 令0x =,得切线2l 交y 轴的B 点坐标为1(0,)y -, 所以11(,3)MA x m y =-+,1(,3)MB m y =--+, ∴1(2MN MA MB x m =+=-,6), ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-,设N 点坐标为(,)x y ,则3y =, 所以点N 在定直线3y =上.【解答】解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞,222211(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x +-+++-+-+'=--==, ①当10a +>,即1a >-时,()f x 在(0,1))a +递减,在(1,)a ++∞递增, ②当10a +…即1a -…时,()f x 在(0,)+∞递增. (2)证明：设1()()()a g x f ax a lna lnx x ax+=+=+-, 所以(1)()(0)a x g x x x-'=>, 当01x <<时,()0g x '>,函数()g x 在区间(0,1)上单调递增； 当1x >时,()0g x '<,函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递减； 所以()g x 在1x =处取得最大值.当e a <<,方程1()a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ,2x 所以函数()g x 的两个不同的零点1x ,2x ,一个零点比1小,一个零点比1大.不妨设1201x x <<<,由1()0g x =,且2()0g x =,得11()x ln ax =,且22()x ln ax =, 则121211,x x x e x e a a ==,所以121221x x x x e a +=,所以1212212121x x x x e x x a x x +=++,令12x x t +=,()te h t t=, 22(1)()t t t e t e e t h t t t--'==.12t x x =+,1201x x <<<,1t ∴>, 所以()0h t '>,所以函数()h t 在区间(1,)+∞上单调递增,()h t h >(1)e =, 所以12()122212121144x x x x e e e x x a x x a e +=>>=++, 又因为121x x +>,所以12124x x x x +<.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)【解答】解：(1)将直线l 的参数方程为12(x t t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数,)a R ∈,0y a +-=. 曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=, 转换为直角坐标方程为：2240x y x +-=(2)由4cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,得(2,)3P π. 所以||2OP =,将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x yx +-=, 得22(2)0t t a ++=由△0>,得44a <<,设A 、B 两点对应的参数为1t 和2t ,则：12||||2AB t t =-, 9分)解得,0a =或a = [选修4-5：不等式选讲](10分)【解答】解(1)当12x <-时,不等式化为：21124x x --+-<,即1x >-,所以112x -<<-；(2分)当1122x-剟时,不等式化为：21214x x +-+<,即24<, 所以1122x-剟；(3分) 当12x >时,不等式化为：21214x x ++-<,即1x <, 所以112x <<；(4分) 综上可知,{|11}M x x =-<<.(5分)(2)因为a M ∈,b M ∉,所以||1a <,||1b ….(6分)而||1(||||)||1||||ab a b ab a b +-+=+--(7分) (||1)(||1)a b =--(9分)所以||1||||ab a b ++….(10分)。

2019年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）A.{}1x x ≥B.{}12x x ≤<C. {}11x x -<≤D.{}1x x >-2.设复数z 满足(3+i)3i =-z ，则||z =（ ）A.12B.1 D.2 3.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4.已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线=y b 与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若∆OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（ ）C.2 5.已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a （ ）A.12 B.54 C.45 D.45- 6.已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）A.0B.12C.17.已知函数()sin ,f x x x =()f x '为()f x 的导函数，则函数()f x '的部分图象大致为（ ）A B C D8.在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2=MA ，则CM CA ⋅=（ ）B. C.6 D.1529.如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段NM 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动···．点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A.4πB.1C.π-10.已知函数()314,025,0xx f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.(),4-∞-B.(),2-∞-C.()2,2-D.(),0-∞11.已知12,F F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K 点是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PK ⊥于M ，O 是坐标原点，则OM 的取值范围为（ ）A.()0,1B.(C.(D.(0,12.如图，棱长为1正方体1111-ABCD A B C D 的木块，平面α过点D 且平行于平面1ACD ，则木块在平面α内的正投影面积是（ ）D.1第12题图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13.若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14.已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12AA BC ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15.将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在Rt ABC ∆中，=90o C ∠，点,D E 分别在边，AB BC 上，5,3==CD CE ,且ECD ∆的面积为（1）求边DE 长；（2）若3=AD ，求sin A 的值．18.（本小题满分12分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00—22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00—次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100,300)，[300500),，[500700),，[700900),，[9001100),，[]11001300,（单位：度）分组的频率分布直方图如下：若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住（度）（1）估计所抽取的 50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(ii )根据（i ）中的列联表，能否有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？附：()22()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.(本小题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 为矩形，=6AD ，=5AB ，=3BE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE . （1）求证：AE BE ⊥；（2）设M 在线段DE 上，且满足2EM MD =，试在线段AB 上确定一点N ，使得MN 平面BCE ，并求MN 的长.20.（本小题满分12分）已知抛物线1C ：)022>=p py x （和圆2C ：22+1+2x y =（），倾斜角为45的直线1l 过1C 的焦点且与2C 相切． （1）求p 的值；（2）点M 在1C 的准线上，动点A 在1C 上，1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21.（本小题满分12分) 已知函数1()ln +=--a f x a x x x(∈a )R ． （1）求函数()f x的单调区间；（2）当e a <<关于x 的方程1()+=-a f ax ax有两个不同的实数解12,x x ，求证：12124+<x x x x .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值.23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M . （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.2019年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷参考答案1.()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C的离心率=e A ．5.依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．7.依题意得：x x x x f cos sin )(+='为奇函数，排除,C D ，设()()g x f x '=，则()2c o ss i n g x x x x '=-，(0)20g '=>，排除B ，故选A ．8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则50,03,02C A M （），（），（，所以5153,022CM CA ⋅==（（），故选D ． 【简解三】依题意得：过M 点作M D A C ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ．9.【简解一】依题意得：阴影部分的面积216[222]=422S =⨯π⨯-⨯⨯⨯π-1（）624122P πππ==-⋅，故选B ．【简解二】依题意得：阴影部分的面积2126222S =π⨯-⨯⨯⨯π-1P ==-，故选B ．10.依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．11.如图，延长21,PF F M 相交于N 点，连接OM ，因为K 点是12F PF ∆内切圆的圆心，所以PK 平分12F PF ∠，∵1F M PK ⊥∵O 为12F F 中点，M 为1F N 中点，∴OM 的取值范围为(，故选C ．12.棱长为1正方体1111-ABCD A B CD 的木块的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图）α内的正投影面积是122⨯．13.依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()m i n 173122z =⋅--=-． 14.设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 24R =，因为12AA BC ==，所以AB =.因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠，在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以111B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15.因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =，所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以ba16.因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=，所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<， 解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6．17.（1）【解析】在ECD △中，11sin 53sin 22ECD S CE CD DCE DCE ∆=⋅∠=⨯⨯⨯∠=所以sin ∠=DCE ，………………………………………………………………2分因为090︒<∠<︒DCE ，所以1cos 5∠=DCE ，………………………4分由余弦定理得2222cos =+-⋅⋅⋅∠DE CE CD CE CD DCE 1259253285=+-⨯⨯⨯=，DE =．…………………………………………………………………………………7分（2）因为=90∠o ACB ，所以1sin sin(90)cos =5O ACD DCE DCE ∠=-∠=∠，…………9分在∆ADC ，由正弦定理得sin sin =∠AD CDACD A， 即35,1sin 5=A 所以1sin 3=A ．………………………………………………………………………12分18.（1）根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为：10.0012000.00152000.00122000.00062000.00022000.1-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=，…………2分估计所抽取的50户的月均用电量的众数为：500+700=6002（度）；……………………3分 估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为：(2000.00054000.0016000.00158000.001210000.000612000.0002)200640=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x （度）．…………………………………………………………………………6分 （2）依题意，列联表如下…………………………………………………………………………………………………8分2K 的观测值250(2510510)4006.349 6.6353515302063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯……………………11分 所以不能有99%的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.………………12分19.（1）【解析】证明：四边形ABCD 为矩形，BC AB ∴⊥．平面ABCD ⊥与平面ABE ，平面ABCD 与平面=ABE AB，且BC ⊂平面ABCD ， BC ∴⊥平面ABE ．………………………………………………………………1分 又⊂AE 平面ABE ，∴⊥BC AE ．………………………………………………………………2分 BF ⊥平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴⊥BF AE ．………………………………………………………………3分 又BC BF B =，BC ⊂平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，AE ∴⊥平面BCE ，………………………………………………………………4分BE ⊂平面BCE ，AE BE ∴⊥．……………………5分（2）解法一：在∆ADE 中过M 点作//MG AD 交AE 于G 点，在∆ABE 中过G 点作//GN BE 交AB 于N 点，连MN （如图），……………………6分 2=EM MD ，2∴=EG GA ,2=BN NA ．//NG BE ,⊄NG 平面BCE ，⊂面BE BCE ，//∴NG 平面BCE ．……………………7分 同理可证，//GM 平面BCE ． MG GN G =，∴平面//MGN 平面BCE ，……………………8分 又MN ⊂平面MGN ，//MN ∴平面BCE ，……………………9分N ∴点为线段AB 上靠近A 点的一个三等分点．……………………10分11分12分（2）解法二：过M 点作//MG CD 交CE 于G 点，连接BG ，在AB 取N 点，使得BN MG =,连MN （如图），……………………6分//AB CD ,2EM MD =，//AB CD ，BN MG =，//MG BN ∴，MG BN =，……………………7分 ∴四边形MGBN 是平行四边形， //MN BG ∴，……………………8分又MN ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， //MN ∴平面BCE ，……………………9分N ∴点为线段AB 上靠近A 点的一个三等分点，……………………10分在CBG △中，=6BC AD =,1=3CG CE cos BCG ∠=，……11分12分20.（1）【解析】：依题意设直线1l 的方程为2py x =+，……………………1分 由已知得：圆2C ：22+1+2x y =（）的圆心)01(2，-C，半径=r 2分 因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2p l y x =+的距离|1|-+==pd ．……………………3分|1|p-+=，解得6p =或2p =-（舍去）．：……………………4分所以6p =．……………………5分（2）解法一：依题意设,3)Mm -（，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6xy '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，……………………6分所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+． ……………………7分令0=x ，21111111=12=66y x y y y y =-+-⨯+-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -…8分所以11(,3)MA x m y =-+，…………9分 1(,3)MB m y =--+，…………10分∴=MN MA MB =+1(2,6)x m -，…………11分 ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-. 设N 点坐标为(,)x y ，则3=y ，所以点N 在定直线3y =上．…………12分（2）解法二：设,3)M m -（，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，① 设11(,)A x y ，以A 为切点的切线2l 的方程为11()y k x x y =-+②， 联立①②得：2211112[()]12x k x x x =-+，…………6分 因为2211=1444840k kx x ∆-+=，所以1=6x k ，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．…………7分 令0=x ，得切线2l 交y 轴的B 点坐标为1(0,)y -，…………8分 所以11(,3)MA x m y =-+，…………9分 1(,3)MB m y =--+，…………10分∴=MN MA MB =+1(2,6)x m -…………11分 ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-， 设N 点坐标为(,)x y ，则3=y ，所以点N 在定直线3y =上．…………12分 21.（1）【解析】：()f x 的定义域为(0,)+∞，…………1分222211(1)[(1)]()1+-+++-+-+'=--==a a x ax a x x a f x x x x x ，…………2分①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0'>f x ，在(1,)a ++∞上()0'<f x ， 所以()f x 的单调递增区间是(0,1)a +上，单调递减区间是(1,)a ++∞；…………3分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0'<f x ，所以，函数()f x 单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间. …………4分（2）证明：设1()()+=ln +ln a g x f ax a a x x ax+=-（），…………5分 所以(1)()(0)a x g x x x-'=>，…………6分 当01<<x 时，()0'>g x ，函数()g x 在区间()01，上单调递增；当1>x 时，()0'<g x ，函数()g x 在区间()1,+∞上单调递减；…………7分 所以()g x 在=1x 处取得最大值.当e a <<1()+=-a f ax ax有两个不同的实数解12,x x 所以函数()g x 的两个不同的零点12,x x ，一个零点比1小，一个零点比1大. ……8分 不妨设1201x x <<<，由1()0g x =，且2()0g x =,得11=ln()x ax ，且22=ln()x ax ，…………9分 则121211=e =e x x x x a a ，，所以12+1221=e x x x x a，…………10分 所以12+12212121e =++x x x x x x a x x ⋅， 令12+=x x t ， e()=t h t t， 22e e e (1)()=t t t t t h t t t⋅--'=． 1212+,0<1=<<t x x x x ， 1∴>，t所以()0'>h t ，…………11分所以函数()h t 在区间(1,)+∞上单调递增, ()h t >(1)e h =，所以12(+)122212121e e =++x x x x x x a x x a>e 144e >=， 又因为12+1x x >, 所以12124+<x x x x ．…………12分22. 【解析】（1）将直线l0y a +-=.…………2分错误！未找到引用源。

2019届福建省福州市高三5月高考模拟数学（文）试题一、单选题1．集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{2} B ．{3}C ．{1，2}D ．{2，3}【答案】D【解析】先求解集合B 再求交集即可. 【详解】(){|20}{|20}B x x x x x x =-≥=≥≤或,故{2,3}A B =I .故选：D . 【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2．复数z 满足2iz 1i=-，那么z 是( )A B ．C ．2D 【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】 解：()()()2i 1i 2i z 1i 1i 1i 1i +===-+--+Q ，z ∴=故选A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．函数2()ln (1)f x x x =--零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】数形结合分析函数ln y x =的图象与函数2(1),0y x x =->的图象的交点个数即可.【详解】函数2()ln (1)f x x x =--的零点个数即为方程2ln (1)0x x --=的解的个数,即为函数ln y x =的图象与函数2(1),0y x x =->的图象的交点个数,画出对应函数图象,易知有两个交点.故选：B . 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出两个函数图像得到交点个数.属于基础题.4．把编号为1，2，3，4的四颗小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一颗小球． 若小球不能放入与小球有相同编号的盒子，则1号小球放入2号盒子的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】分析1号小球所有可能放入的情况求解即可. 【详解】因为1号小球不能放入1号盒子,所以只能从234,,三个盒子选一个,且每种情况对应的情况数相同.故放入2号盒子的概率为13. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了列举法求解古典概型的问题,属于基础题.5． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】经过第一次循环得到32s i ==，， 不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，，不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =． 故选B ．6．已知F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点，过F 做y 轴的垂线，与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点． O 为坐标原点，若OAB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．223D ．33【答案】D【解析】根据OAB ∆是等边三角形可知渐近线的斜率为3进而根据渐近线的方程求出3ab=再根据,,a b c 的关系求解离心率即可. 【详解】OAB ∆是等边三角形,渐近线的斜率为3所以33a b b a =,所以双曲线的离心率22231c b e a a ==+=. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法,需要根据题意建立,,a b c 的关系式求解.属于基础题. 7．AD 是ABC ∆的中线，若π3,4,3AD BC B ===，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3 B ．2 C ．23D ．4【答案】A【解析】在ABD ∆中,由正弦定理可得π2BAD ∠=,再根据2ABC ABD S S ∆∆=求ABC ∆的面积即可. 【详解】在ABD ∆中,由正弦定理可得sin sin AD BD B BAD=∠,即32πsin sin 3BAD =∠,解得sin 1BAD ∠=,所以π2BAD ∠=. 则221AB BD AD =-=,1221332ABC ABD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.故选：A . 【点睛】本题主要考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的应用,需要根据边角关系确定所用的正弦定理与面积公式.属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】C【解析】先画出直观图,再根据该几何体外接的正方体的外接球半径的求法求解即可. 【详解】还原该几何体的直观图,如图所示可见该几何体是四棱锥,5个顶点都是边长为2的正方体的顶点. 233⨯=,所以外接球的表面积为12π. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了根据三视图求解外接球表面积的问题,需要根据题意确定正方体的外接球半径.属于基础题.9．F 为抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，AB 中点00(,)M x y ，若032x =，则（ ） A ．013y =± B ．012y =±C ．01y =±D ．032y =±【答案】C【解析】利用点差法求解弦AB 的斜率,进而求得AB 方程,再代入032x =求解即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,故21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,相减可得()2212124y y x x -=-,故121212042y y x x y y y -==-+,即焦点弦AB 的斜率为02y ,又()1,0F .故AB 方程是()021y x y =-,化简可得0220x y y --=, 将03(,)2M y 代入该直线方程可得01y =±.故选：C . 【点睛】本题主要考查了点差法求解焦点弦方程的问题,属于中档题.10．函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,(0))f 对称，则当π[0,]2x ∈时，()g x 的值域为（ ） A ．[1,4] B ．[1,3] C ．[2,1]- D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数关于点对称的性质可得()g x 的解析式,再根据三角函数图像求解值域即可. 【详解】由题意函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,1)对称,∴满足()()12g x f x +-=,∴ππ()22sin(2)22sin(2)66g x x x =--+=+-,当π[0,]2x ∈时,∴ππ5π2[,]666x -∈-,∴()[1,4]g x ∈.故选：A . 【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解解析式的问题,同时也考查了根据三角函数的定义域求值域的问题.属于中档题.11．一批学生（既有男生也有女生）报名参加志愿者公益活动． 初步估计女生人数的2倍比男生人数至多多8人，男生人数的2倍比女生人数至多多5人，则参加活动的男生人数女生人数的最大值为（ ） A ．67B ．74C ．4D ．3【答案】D【解析】设女生人数为x ,男生人数为y .再根据题意列出关于,x y 满足的不等式,再画出可行域,根据男生人数女生人数的几何意义求解即可.【详解】设女生人数为x,男生人数为y.因为有男生和女生,所以男生女生至少有一个人,又因为人数必须是正整数,所以满足此约束条件28251(N)1(N)x yy xx xy y++-≤⎧⎪-≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩,作出可行域如图所示,所以yx在(1,3)点处取得最大.故选：D.【点睛】本题主要考查了线性规划的实际运用,需要根据题意画出可行域中的整点,再根据所求量的几何意义求解即可.属于中档题.12．若函数22()log(1)f x x ax=-+的定义域为R，且当12x>时，(1)()f x f x-<，则实数a的取值范围是（）A．(2,2)-B．(2,1)-C．(,1)-∞D．(1,2)-【答案】B【解析】根据二次函数以及对数函数的性质可知240a∆=-<,再根据函数的性质可得对称轴与12x=的位置关系,再列式求解不等式即可.【详解】由题知210x ax-+>在R上恒成立,故240a∆=-<,22a-<<.容易得知()f x有对称轴,即2a x =,又当12x >时,(1)()f x f x -<,所以对称轴在12x =左侧,122a ∴<,即1a <. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的性质运用,包括值域以及二次函数的恒成立问题,以及对称轴与单调性和函数值大小的问题.属于中档题.二、填空题13．已知12,e e →→是两个单位向量，12212,2a e e b e e →→→→→→=+=-． 若a b →→⊥，则向量12,e e →→的夹角为_______． 【答案】π2【解析】根据a b →→⊥可知0a b ⋅=r r ,计算可得120⋅=u r u u r e e ,进而可得向量12,e e →→的夹角.【详解】221221112212(2)(2)23230a b a b ⊥⇒⋅=+⋅-=-+⋅+=⋅=r r r r u r u u r u u r u r u r u r u u r u u r u r u u re e e e e e e e e e ,所以120⋅=u r u u r e e ,故12,u r u u r e e 的夹角为π2.故答案为：π2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,同时也考查了垂直的数量积表示.属于基础题. 14．()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，(1)0g -=，则((1))f g =_____．【答案】0【解析】根据奇偶函数的性质代入求解即可. 【详解】()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,由题知(1)(1)0=-=g g ,((1))(0)0f g f ∴==.故答案为：0 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性求解抽象函数值的问题.属于基础题.15．已知222cos sin 3sin cos αααα-=，则πcos(2)6α+=_______．【答案】3【解析】看利用降幂公式化简可得3cos23sin 21αα-=-,再根据辅助角公式求解即可. 【详解】因为222cos sin 3sin cos αααα-,∴1cos231cos222ααα-+-=, 3cos23sin 21αα∴=-,则ππ23(cos2cos sin 2sin )166αα-=-,即π3cos(2)6α+=. 故答案为：3-【点睛】本题主要考查了降幂公式与辅助角公式求解三角函数值的问题,需要根据题意确定所用的公式,属于中档题.16．已知(1,1),(1,1)A B --，动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点． 记直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且满足ππtan()2tan()44βα-=-，则点P 的轨迹长度为________． 2【解析】根据斜率的公式可得PA k 与PB k ,再代入ππtan()2tan()44βα-=-化简求解即可得点P 的轨迹方程,继而根据动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点求出长度即可. 【详解】设直线PA 的斜率为PA k ,直线PB 的斜率为PB k ,∴11tan ,tan 11PA PB n n k k m m αβ+-====+-, 又因为ππtan()2tan()44βα-=-,知tan 1(tan 1)21tan 1tan βαβα--=++,即111(1)112111111n n m m n n m m -+---+=-+++-+,()222n m n m m n m n --=+-++.因为动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内一点,故m n ≠. 即()222m n m n +-=++,化简可得6m n +=,即(,)P m n 的轨迹为方程6x y +=.又圆心(2,4)在6x y +=上,所以P 的轨迹长度为圆221(2)(4)2x y -+-=2. 2 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线的斜率与圆的方程等.需要根据题意代入斜率公式化简求解,并根据直线与圆的位置关系确定轨迹长度.属于中档题.三、解答题17．数列{}n a 满足：132a =，122n n a a n +=++． （1）求3a ；（2）记n n b a n =-，求证：数列{}n b 为等比数列； （3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．【答案】（1）258；（2）见解析；（3）22122n n n ++-【解析】(1)根据122n n a a n +=++,分别代入1,2n =求解即可. (2)根据n n b a n =-,在等号左侧构造出11(1)n n a b n ++-+=再证明即可.(3)根据(2)可得1()2n n a n =+,再分组根据等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】 （1）∵132a =,∴1212924a a ++==,23222528a a ++==. （2）∵122n n a a n +=++,∴12[(1)]n n a n a n +-+=-,∴112n n b b +=,∴数列{}n b 是以11112b a =-=,公比为12的等比数列. （3）由（2）知1()2nn n b a n =-=,∴1()2n n a n =+,2123211(1)111(1)212212122222212nn n n nn n n nS a a a a n-+++ =++++=++++++=+=--L L. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的问题,同时也考查了分组求和以及等差等比数列的求和.属于中档题.18．三棱锥P ABC-中，2,22,5AB AC BC PA PB=====，面PAB⊥面ABC．（1）求PC长；（2）求三棱锥体积；（3）PAC∆内（含边界）上是否存在H点，使BH⊥面PAC．若存在H点，求出H点的位置；若不存在H点，说明理由．【答案】（1）3；（2）43；（3）H存在，在棱PA上，且25AH=．【解析】(1)根据勾股定理可得CA AB⊥,进而可得90CAP∠=︒,再用勾股定理计算PC即可.(2)作AB的中点M,连接PM可知PM⊥平面ABC,再求解体积即可.(3)作BH PA⊥于H,再证明BH⊥面PAC即可.【详解】（1）∵222AB AC BC+=,∴90,CAB CA AB∠=︒⊥.∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB⋂平面ABC AB=,CA⊂平面ABC,且CA AB⊥, 可知CA⊥平面PAB,90CAP∠=︒.∴223PC AC AP=+=.（2）作AB的中点M,连接PM,由题意知PM⊥平面ABC,∴13ABC V S PM ∆=⋅2114251323=⨯⨯⨯-=.（3）作BH PA ⊥于H ,H 在PA 上.25sin sin AH AB ABH AB APM =∠=∠=. ∵CA ⊥平面PAB ,BH ⊂平面PAB ,∴BH CA ⊥,且BH PA ⊥,CA ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,CA PA A =I ,∴BH ⊥平面PAC ,即H 存在,在棱PA 上,且25AH =.【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面线线与面面垂直的证明和性质,同时也考查了根据垂直求解线段长度以及体积的问题等.属于中档题.19．现从某学校中选出M 名学生，统计了M 名学生一周的户外运动时间（分钟）总和，得到如图所示的频率分布直方图和统计表格．（1）写出,,M m n 的值，并估计该学校人均每周的户外运动时间（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设2,2a b ≥≥，则户外运动时长为[90,110)的学生中，男生人数比女生人数多的概率． （3）若4,6a b ==，完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”？每周户外运动时间不少于130分钟 每周户外运动时间少于130分钟 合计 男 女合计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.01 0.0050k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）20M =，0.005n =，0.01m =，112分钟；（2）37；（3）列联表详见解析，没有90％的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”.【解析】(1)根据频率分布直方图的面积和为1以及区间[)110,130与[)130,150间的比例关系列式求解即可.(2)利用枚举法将所有可能的情况列举再求解即可.(3)根据图表补全列联表,再求出2K 分析即可. 【详解】（1）由人数比可得2m n =,20(3)0.5n m +=,0.005n ∴=,0.01m =. 2200.00520M ==⨯该校人均户外运动时间为800.11000.51200.21400.11600.1112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟. （2）设“户外运动时长为[90,110)的男女人数分布”为总事件Ω,Ω={}(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2)共7种,“男生人数比女生人数多”为事件A ,包含{}(8,2),(7,3),(6,4)共三个, 则3()7P A =. （3） 每周户外运动时间不少于130分钟 每周户外运动时间少于130分钟 合计 男 3 8 11 女18 9 合计 4 1620()222038180.808 2.706416119K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以没有90％的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”. 【点睛】本题主要考查了枚举法解决古典概型的问题,同时也考查了频率分布直方图的应用以及独立性检验的问题.属于中档题.20．动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和该动点到直线4x =的距离的比是常数12． （1）求动点M 轨迹方程C ；（2）已知点(2,0)A -，问在x 轴上是否存在一点P ，使得过P 点的任一条斜率不为0的弦交曲线C 于,M N 两点，都有0AM AN ⋅=uuu r uuu r．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，坐标为2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】(1)根据题意列出点(,)M x y 满足的关系式,再化简方程即可.(2) 设(,0)P t ,再讨论当MN ⊥x 轴时可得127t =-,即若存在定点,则定点坐标为2(,0)7P -.再讨论斜率存在时,设MN 的方程为2()7y k x =+,联立椭圆方程,求出韦达定理,证明0AM AN ⋅=uuu r uuu r 即可.【详解】（1）由题意,22(1)12x y -+=,即2224(1)(4)x y x ⎡⎤-+=-⎣⎦. 解得曲线C 的方程为22143x y +=.（2）法一：设(,0)P t ,易知||2t <,①若MN ⊥x 轴时,由0AM AN ⋅=uuu r uuu r ,此时(,2)M t t +,满足椭圆方程22(2)143t t ++=, ∴271640t t ++=,解得122,27t t =-=-（舍）,可知若存在定点,则定点坐标为2(,0)7P -.②当直线MN 斜率存在时,设斜率为k ,1122(,),(,)M x y N x y 设MN 的方程为2()7y k x =+,联立椭圆方程22143x y+=,消去y 得22221616(34)120749k x k x k +++-=,∴212221221673416124934k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩.1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+uuu r uuu r ,∴1212122()4AM AN x x x x y y ⋅=++++uuu r uuu r2121212222()4()()77x x x x k x x =++++++22222221616(1)(12)()24497(2)403473449k k k k k k k +--=++++=++,综合①②可知,存在点2(,0)7P -,使得0AM AN ⋅=uuu r uuu r .（2）（解法二）设(,0)P t ,易知||2t <,设1122(,),(,)M x y N x y .若MN 不垂直x 轴,MN 的斜率为k ,则直线MN 的方程为()y k x t =-,1122(),()y k x t y k x t =-=-,22121212[()]y y k x x t x x t =-++,12120(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=⇒+++=u u u u r u u u r,即是22221212(1)(2)()40k x x k t x x k t ++-+++=①,由22()3412y k x t x y =-⎧⎨+=⎩,得22222(34)84120k x k tx k t +-+-=, 2221212228412,,3434k t k t x x x x k k -+==++代入①式得22222222(1)(412)(2)(8)(4)(34)0k k t k t k t k t k +-+-+++=化简,整理得22[7164]0k t t ++=②,为使0AM AN ⋅=uuu r uuu r 与斜率k 无关,由②式得出271640t t ++=,解得122,27t t =-=-（舍）,这说明MN 与x 轴不垂直时,MN 是过7(,0)2P -的弦,恒有0AM AN ⋅=uuu r uuu r ,若MN ⊥x 轴时,MN ：2x 7=-,AMN ∆是等腰三角形,AM AN =, 212(,)77M -,24||7MN =,12||27AM =||2|MN AM =, 可见AMN ∆是等腰直角三角形,AM AN ⊥,综上,过2(,0)7P -的弦MN 总有0AM AN ⋅=uuu r uuu r .【点睛】本题主要考查了轨迹方程求解,以及联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理求解定点的问题.需要根据题意讨论直线没有斜率时定点坐标,再根据定点坐标分析当斜率不存在时是否满足条件.属于难题.21．定义在[0,]π上的函数()(sin cos )e cos x f x x x a x =-+，2a ≥． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）3π42e a =或πe a >【解析】（1）求导可得()(2e )sin x f x a x '=-⋅，再求得极值点ln2a x =，并分析ln 2ax =与区间[0,]π端点的大小关系，进而求得在区间[0,]π上导函数的正负以及原函数的单调性即可；（2）根据（1）所得的单调性，分析极值点的正负或等于0是否满足条件，再结合区间端点的正负，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】()(cos sin )e (sin cos )e sin (2e )sin x x x f x x x x x a x a x '=++--=-⋅.（1）[0,π]x ∈时，sin 0x ≥恒成立，令2e 0x a -=，得ln 02ax =≥. ①当ln02a=，即2a =时，2e 0x a -≥在[0,]π上恒成立， 则()0f x '≥在[0,]π恒成立，()f x 在[0,π]上单调递增； ②当lnπ2a≥,即π2e a ≥时,2e 0x a -≤在[0,π]上恒成立， 则()0f x '≤在[0,]π恒成立,()f x 在[0,]π上单调递减；③当0lnπ2a <<，即π22e a <<时，若[0,ln ],2e 02x ax a ∈-≤， 即[0,ln ]2a x ∈时,()0f x '≤，()f x 单调递减；若(ln ,π],2e 02xa x a ∈->，即(ln ,π]2a x ∈时，()0f x '>,()f x 单调递增.综上所述,当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增；π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减；当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增；（2）①当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增，而(0)10f a =-+>，此时()f x 无零点； ②当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增.若函数()f x 在[0,]π上有唯一零点，则有(ln )02af =或(π)0f <.ln 2(ln )0[sin(ln )cos(ln )]e cosln [sin(ln )cos(ln )]02222222a a a a a a a af a =⇒-+=+=,解得3π43πln 2e 24a a =⇒=.π(π)0e 0f a <⇒-<，解得πe a >，故ππe 2e a <<.③当π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减，(0)0,(π)0f f ><，()f x 在[0,]π上存在唯一零点. 综上可知，3π42e a =或πe a >. 【点睛】本题主要考查了含参数的函数单调性的讨论，同时也考查了利用导数结合函数的单调性解决函数的零点问题，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为2240x y x +-=，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．以坐标O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(4,0)P ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 与12,C C 的交点分别为,O A ，,O B ．当PAB △为等腰直角三角形时，求直线l 的方程．【答案】（1）1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的普通方程tan y x α=⋅；（2）12y x =. 【解析】（1）根据极坐标以及直角坐标的关系化简1C ，再相除消去t 可得直线l 的普通方程； （2）画图结合极坐标的几何意义可知ABP △是直角三角形，BP 是斜边，再分0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα两种情况求解即可. 【详解】（1）222x y ρ=+，cos x ρθ=，故2240x y x +-=即24cos 0ρρθ-=，1:4cos C ρθ∴=，又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin tan cos y t x t ααα==，tan y x α∴=⋅. 所以，直线l 的普通方程为tan y x α=⋅；（2）由题可知4cos ,4sin OA OB αα==，OAP △是直角三角形，所以4sin PA α=.ABP ∆是直角三角形，BP 是斜边.当π(0,)4α∈时，若ABP ∆是等腰直角三角形，则4cos 4sin 4sin AB PA ααα=-==，得1tan 2α=. 当ππ(,)42α∈时，若ABP △是等腰直角三角形，则4sin 4cos 4sin AB PA ααα=-==，无解.综上可知，直线l 的方程为12y x =时，ABP △是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查了直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的互化，同时也考查了极坐标的几何意义的运用，属于中档题.23．函数()22f x x x a =--+，R a ∈． （1）当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集； （2）设函数1()42g x x =+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的值． 【答案】（1）2{|4}3x x -≤≤；（2）83a =或24a =-【解析】(1)分当12x ≤-,122x -<<与2x ≥三种情况去绝对值,再分段求不等式()1f x ≥-即可.(2)因为绝对值中2y x =-与2y x a =+的零点分别为12x =与22ax =-.故分两根的大小关系确定讨论参数a 的范围,再去绝对值求解()f x 与1()42g x x =+只有一个公共点的情况即可. 【详解】（1）1a =时,()221f x x x =--+. 当12x ≤-时,()2213f x x x x =-++=+,令31x +≥-,得4x ≥-,所以142x -≤≤-；当122x -<<时,()22131f x x x x =---=-+,令311x -+≥-,得23x ≤,所以1223x -<≤；当2x ≥时,()2213f x x x x =---=--,令31x --≥-,得2x -≤,无解. 综上所述,()1f x ≥-的解集为2{|4}3x x -≤≤.（2）当4a >-时,222,2()2232,22222,2a x x a x a x a f x x x a x a x x x a x a x ⎧-++=++≤-⎪⎪⎪=---=-+--<<⎨⎪---=---≥⎪⎪⎩,()y f x =与1()42g x x =+的图象只有一个交点,故可知2424a a a -++=-+,解得83a =；当4a =-时,()2242f x x x x =---=--,此时无交点；当4a <-时,222,2()2232,22222,2x x a x a x a f x x x a x a x a x x a x a x ⎧⎪-++=++≤⎪⎪=-++=+-<<-⎨⎪⎪---=---≥-⎪⎩,()y f x =与1()42g x x =+的图象只有一个交点,故可知2424a a a --=-+,解得24a =-.综上所述,83a =或24a =-.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及分类讨论分析函数零点的问题,需要根据绝对值中的零点去绝对值分析.属于中档题.。

2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（文科）试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则( )A. B. C. D.2.复数，则( )A. B. -2 C. D. 23.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A. 75,84B. 76,83C. 76,84D. 75,834.如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）A. B. C. D.5.已知，则( )A. B. C. D.6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是（）A. B. C. D.7.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 18B. 10C. -14D. -228.函数的部分图像大致为（）A. B. C. D.9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )A. B. C. D.10.如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（）A. 6B. 7C. 8D. 911.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（）A. 3B.C.D. 412.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则__________．14.若实数，满足约束条件则的最大值是__________．15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．16.在中，已知，，，则__________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.如图，在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，是中点，.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的高.19.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，求的值.20.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度101113128产卵数/个2325302616（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：.请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，三条直线，，与曲线分别交于不同于极点的三点，，.（1）求证：；（2）直线过，两点，求与的值.23.已知函数，.（1）若对于任意，都满足，求的值；（2）若存在，使得成立，求的取值范围.（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合,，再根据交集的运算即可．【详解】解：集合由集合中的不等式，因式分解得：，解得：，所以集合；则集合．故选：B．【点睛】此题考查了交集的运算，看清代表元素是解题关键，属于一道基础题．2.复数，则( )A. B. -2 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A. 75,84B. 76,83C. 76,84D. 75,83【答案】B【解析】【分析】利用中位数的定义，将茎叶图中数值排序，甲班9个数据选中间一位数，乙中10个数据选中间两个数据的平均数即得答案.【详解】解：甲班9个数据有小到大的顺序排序为：52,66,72,74,76,76，78,82,96故中位数为76；乙班10个数据有小到大的顺序排序为：62,74,76,78,82,84,85,86,88,92故中位数为.故答案为：B.【点睛】本题考查茎叶图中的中位数的定义，解题关键首要是排序，其次是看清个数，属于基础题.4.如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的，三个视图间存在长对正，高平齐，宽相等的对应关系，在三视图中不可见的轮廓用虚线表示.【详解】根据题意以及已知图形：由主视图得出主视方向，左视图应该是从实物图的左边进行正投影，右边的轮廓为不可见轮廓，所以要用虚线表示，故B正确.故选:B.【点睛】考查正投影，以及三视图的作图知识，本题属于中档题.5.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得，再根据，解出.【详解】，，即，解之得或．又由余弦函数取值范围，可知，不符合题意舍去，得.故选:C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，注意有界性，属于中档题.6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，再根据点到直线的距离公式利用椭圆离心率公式求解即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，点到的距离，，．故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 18B. 10C. -14D. -22【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列的公比为，显然，由求和公式可得①，②可得，解得，代回①可得，故选D．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．8.函数的部分图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．【详解】解：，函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D.在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.故选:A.【点睛】本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数f（x），结合三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间，从而得出m的最大值.【详解】在单调递增，即,解得即，由于则的最大值是.故选:C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求解，利用导数及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．10.如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由已知可得，直线方程为，代入抛物线方程消去，结合抛物线的定义和韦达，即可得出结论．【详解】解：设，、，，由已知可知，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，则=AF-r+DF-r=故选:B.【点睛】抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题．11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值【详解】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，圆的方程为，设点的坐标为，，，即，=，，，，，，，，故的最大值为3，故选：A.【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.【详解】解：对于任意，，恒成立,即也就是，代入选项验证即可，验证a=1时，，令，，由的图像可以知道在上递减，在上递增，故，，不满足，故排除B,D.验证时，，令，由的图像可以知道在上递减，在上递增，故，，满足，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查恒成立问题的转化，应用导数求得最值，利用排除法通过验证选项求解的过程，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则__________．【答案】-3【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标公式解得的值．【详解】解：根据题意，向量，，若，必有，解可得：；故答案为：-3．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是利用向量平行的坐标表示方法得到关于的方程，属于基础题．14.若实数，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】9【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象找出最优解求出最大值．【详解】解：画出变量，满足约束条件表示的平面区域如图：由解得．变形为，作出目标函数对应的直线，当直线过时，直线的纵截距最大，最大，最大值为，故答案为：9．【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求目标函数的最值，属于基础题．15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解圆锥的高及底面半径，利用勾股定理建立等量关系求得球半径，再代入球的表面积公式求值即可．【详解】解：圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得：，解得，与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2，设该圆锥外接球的半径为R，由勾股定理可得,解得,则该圆锥外接球的表面积为：．故答案为：.【点睛】本题考查圆锥外接球表面积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16.在中，已知，，，则__________．【答案】【解析】【分析】在BC上取点D,使得BD=AD找出A-B，应用余弦定理求得BD=DC=DA，证得A点在以BC为直径的圆上，在中解三角形且与互余，再利用诱导公式和二倍角公式即可得解.【详解】由题知a>b,在BC上取点D,使得BD=AD，连接AD，即A-B，设BD=x，在中利用余弦定理：解得x=4.故D为BC中点. B D=DC=DA=4，故A点在以BC为直径的圆上，故为，在中，,且,.故答案为：【点睛】此题考查余弦定理，共圆证明及二倍角公式的应用，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，直接列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（2）把（1）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，.又，∴，∴，∴，∴.（2）解：由上问知，∴，.∴，∴∴【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．18.如图，在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，是中点，.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，通过证明四边形为平行四边形得到即可求证.（2）取的中点，先证明平面再通过等体积转化即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.因为点是中点，所以且.又因为四边形是平行四边形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连结、，如图所示，因为在平行四边形中，为的中点，，，因为，所以，所以为正三角形，所以，且，因为在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，所以平面，.所以..，，设三棱锥的高为，因为，，所以，所以三棱锥的高为.【点睛】本题考查线面平行的判定，等体积转化求锥体的高，也是高考考查的重点知识，属于中档题.19.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.【详解】（1）解：由题意得，所以，①，又点在上，所以②，联立①②，解得，，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，的坐标为，，依题意得，联立方程组消去，得.，，，，，∵，∴，所以，.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度101113128产卵数/个2325302616（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）可靠，见解析。

2019届福建省福建师大附中文科数学高考模拟试卷（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。

第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20}A x Z x x =∈--≤，集合{2,0,1}B =-，则A B =U （ ）A ．{2,0,1}-B ． {1,0,1}-C ．{2,1,01}--，D ． {2,1,01,2}--，2．已知是虚数单位，若，则z = （ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（ ）A. 乙班的理科（物理、化学、生物）总成绩强于甲班B. 甲班的文科（政治、历史、地理）总成绩强于乙班C. 两班的英语平均分分差最大D. 两班的语文平均分分差最小4.某省新高考将实行“3+1+2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；i i i z 31)1(+=+2i +2i -1i -+1i --“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科。

某考生已经确定“首选科目”为物理，如果他从“再选科目”中随机选择两科，则思想政治被选中的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 345.设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，双曲线C 30x y +=，则双曲线C 的方程为（ ）A . 221124x y -= B. 221412x y -= C. 2211648x y -= D. 2214816x y -= 6.如果执行右面的框图,输入5N =,则输出的数等于( )A ．45 B. 54 C. 56 D. 657.在矩形中，，点为直线上一点，则=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．88．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）ABCD 2AB =P BC ()PA PD BA +⋅u u u r u u u r u u u rA. 40B. 43C. 46D. 479．函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图像，且函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为( )A.74B.32 C. 2 D. 5410.已知圆C ：()()22122x y -+-=与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线3y x b =+分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b =( )A ．1-±B ．1C ．D ．11.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．4π3B ．4πC ．8πD ．20π 12.已知函数1,1()8ln 1,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax=-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a >B ．1a <-或2118a e≤≤ 1-1C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a > 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，2π()sin2x f x x =+，则(1)f -=_________. 14.若变量x y ，满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =+的最大值是_______.15. 已知抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，N 是线段MF 与C 的交点，若2MN NF =u u u u r u u u r，O 为坐标原点，且OFN ∆的面积S 为3，则p 的值为________.16.已知数列{}n a 的前项和为2n S n n =+，将该数列按下列格式（第n 行有12n -个数）排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个数字为________.123456789101112131415a a a a a a a a a a a a a a a L L L L L L L三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos()2sin sin 2B C B C --=． （1）求A ；（2）若3,2cos a c C ==，求ABC △的面积．18．(本题满分12分)在四棱锥ABCD P -中，//,2,AB CD CD AB =AC 与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上， (0)AN AP λλ=>，且//MN PCD 平面．（1）求实数λ的值；（2）若1,2AB AD DP PA PB =====，060BAD ∠=, 求点N 到平面PCD 的距离．19．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．（1）试估计该河流在8月份水位的众数；（2）我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为f ，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为g ，则该河流8月份的水位小于40且发生1级灾害的频率为f g ⨯，其他情况类似．据此，试分别估计该河流在8月份发生1、2级灾害及不发生灾害的频率123,,p p p ；（3）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 在椭圆C 上. （1)求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N ，求证：在x 轴上存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，以MN 为直径的圆都必过点P ，并求出点P 坐标.21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(0)x f x xe a x x a =-+>.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x <时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[0,2)ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点A 是射线:(0)l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值． 23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲] 已知函数2()1f x x x a =-++，其中a R ∈．（1）当a =()6f x ≥的解集；（2）若存在0x R ∈，使得0()4f x a <，求实数a 的取值范围．2019届福建省福建师大附中文科数学高考模拟试卷参考答案201905281. D2. A3. D4. B5. B6. C7. D8. C9.C 10. A 11.C 12．A13. 2 14. 5 15. 16. 27017．解：（1）cos()2sin sin cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C B C B C --=+-， ……………………2分 ，因为……………………………………4分 （2）由及正弦定理，可得， ………………………………………6分 ，2cos =2………………8分 ……………10分 所以的面积…………………………………………12分 18．解：解法一：（1）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即．…………………2分因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以//MN PC ．……………………………………4分所以13AN AM AP AC ==，即13λ＝． …………5分 1cos cos sin sin cos()cos 2B C B C B C A =-=+=-=1cos 2A ∴=-0180,120A A ︒<<︒∴=︒3,2cos ,120a c C A ===︒sin sin A C a c =sin 12cos 2C C =tan 1C ∴=0180C ︒<<︒Q 245,cos ,4cos 22C C c C ∴=︒===180()15,sin sin15sin(6045)321262sin 60cos 45cos 60sin 452B A C B ∴=︒-+=︒=︒=︒-︒-=︒︒-︒︒=⨯-⨯=ABC △133sin 2S ac B -==(2) 因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+， . 7分 所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D =I ，所以PD ABCD ⊥平面 ... 8分 因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ABCD ⊥平面．作ME CD ⊥于E ，因为平面=PCD ABCD CD I 平面，所以ME ⊥平面PCD ． 9分 又因为//MN PCD 平面，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离． ........... 10分在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则h =因为23MD MC BD AC ==，所以23ME h ==，即N 到平面PCD 12分 解法二、（1）同解法一． .......................................... 5分（2）因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+， . 7分 所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D =I ，所以PD ABCD ⊥平面 ． . 8分 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， 所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACD PCD PD S d S ⋅=⋅△△．………………10分因为1sin 2ACD S AD DC ADC =⋅⋅∠=△，112PCD S PD CD =⋅=△，1PD =，所以2193d =，解得d =N 到平面PCD ．.......... 12分 19．解：（1）由题设，35+4037.52=， 估计该河流在8月份水位的众数为37.5米…………………………………………2分（2）依据甲图，该河流8月份的水位小于40米，在40米和50米之间，大于50米的频率分别为(0.020.050.06)50.65,(0.040.02)50.30,0.0150.05++⨯=+⨯=⨯=．……5分 根据乙图，该河流在8月份发生1级灾害的频率为0.650.100.300.200.050.600.155⨯+⨯+⨯=该河流在8月份发生2级灾害的频率为0.300.05+0.050.40=0.035⨯⨯该河流在8月份不发生灾害的频率为10.1550.0350.81--=估计123,,p p p 分别为0.155,0.035,0.81．……………………………………8分（3）由（2）若选择方案一，则该企业在8月份的平均利润15000.811000.15510000.035354.5L =⨯-⨯-⨯=（万元）……………………9分 若选择方案二，则该企业在8月份的平均利润25000.9654010000.035407.5L =⨯--⨯=（万元）……………………………10分若选择方案三，则该企业在8月份的平均利润3500100400L =-=（万元）…………………………………………………………11分由于231L L L >>，因此企业应选方案二 (12)分20.解：（1)依题意，，所以①，又因为点在椭圆C 上，所以 ②，………………………2分由①②解得，，所以椭圆方程为.………………………4分（2）设，，则，不妨令.由可得，解得，，………6分，所以AE 所在直线方程为，AF 所在直线方程为，可得⎛⎫ ⎝M，同理可得⎛⎫⎝N ，所以0⎛⎫=- ⎝u u u u r PM x，0⎛⎫=- ⎝u u u r PN x ，………………………10分 所以，2040⋅=-=u u u u r u u u rPM PN x ，所以02=x 或02=-x ，所以存在点P 且坐标为()2,0或()2,0-,使得无论非零实数k 怎么变化，以MN 为直径的圆都必过点P . ………………………12分 21.解：（Ⅰ）当1a =时，2()(2)xf x xe x x =-+，得'()(22)(2)(1)x x xf x e xe x e x =+-+=-+，……………………………………1分令'()0f x =，得，， 由得或时，由得，………………………3分 ∴增区间为，；减区间为．……………………5分（Ⅱ）由条件得对恒成立，∵，∴对恒成立． 设，则，令，得．……………………7分 （1）当，即时，有，∴在上是减函数，∴，解得，不合题意．……………………………………9分（2）当，即时，则得在上是减函数，在上是增函数， ∴，解得，符合题意．………………11分综上可得，实数a 的取值范围是．……………………………………………12分22．解：（1）曲线的极坐标方程为，即． …………………………3分曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．………………………………………………………………5分 （2） 由（1）知1cos sin A OA ραα==+，4cos B OB ρα==，………………6分1C (cos sin )1ρθθ+=sin 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2C 22(2)4x y -+=2240x y x +-=2C 4cos ρθ=……8分 由知，当， 即时，有最大值．…………………………………………10分23．解：（1）当， 所以或或，解得或，因此不等式的解集的……………………5分（2），且，所以，所以存在，使得，等价于，所以，解得， 所以实数的取值范围是…………………………………………10分4cos (cos sin )2(1cos 2sin 2)224OB OA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭02πα≤≤52+444πππα≤≤242ππα+=8πα=OB OA2+a =21,2()12=3,2121,1x x f x x x x x x -+-⎧⎪=-++-<<⎨⎪+⎩≤≥2()6216x f x x -⎧⇔⎨--⎩≤≥≥2136x -<<⎧⎨⎩≥1216x x ⎧⎨+⎩≥≥72x -≤52x ≥()6f x ≥7522x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或≤≥2222()1(1)()11f x x x a x x a a a =-++--+=+=+≥2(1)1f a =+2min ()1f x a =+0x R ∈0()4f x a <241a a >+2410a a -+<22a <<a (22。