初中数学二级结论知识点总结(初一到初三)_

1函数知识必备1、函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （1）定义域： ①x 的取值范围；②基本初等函数的定义域：分式中分母不等于零即AB中0B ≠；偶次根式被开方式大于或等于00a ≥； 零指数幂0x 中{}|0x x ≠；对数中真数大于0即log a b 中0b >．正切函数tan y x =中ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．③抽象函数的定义域：定义域是x 的取值范围；括号里的范围是相同的． ④定义域取交集：若()f x ，()g x 的定义域分别为f D 、g D ，则()()()F x f x g x =±的定义域F f g D D D =I ．（2）值域：①y 的取值范围，分段函数中值域取并集； ②求值域的几种方法：1）直接法（利用基本初等函数的值域）；2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3）单调性法（判断函数的单调性）；4）分离常数（分式型函数，分子分母为一次函数形式）；（3）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，分段函数是一个函数； ①注意分界点，画图时找到临界值； ②写分段函数时，定义域不重不漏； ③带解析式时，注意定义域满足的条件．2、函数的四性：单调性、奇偶性、对称性、周期性． （1）单调性：①定义：()()()1212,x x f x f x f x >>⇒单调递增； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−>⇒⎡⎤⎣⎦单调递增；()()()12120f x f x f x x x −>⇒−单调递增；（联想）()()0f x f x '>⇒单调递增．②定义：()()()1212,x x f x f x f x ><⇒单调递减； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−<⇒⎡⎤⎣⎦单调递减；()()()12120f x f x f x x x −<⇒−单调递减；（联想）()()0f x f x '<⇒单调递减．③在公共区间上：增+增为增；减+减为减；增-减为增；减-增为减． ④复合函数的增减性：“同增异减”．⑤特殊函数的增减性：()()()()f x f x ↑↓⇒−↓↑；()()())()0f x f x ↑↓⇒≥↑↓；()()()()()()()100f x f x f x f x ↑↓⇒↓↑><或．⑥“脱掉、脱掉（脱掉f ）”：（抽象函数的单调性）若()f x 为增函数，即函数值大的自变量也大，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向不变，也就是12x x >；若()f x 为减函数，即函数值大的自变量反而小，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向改变，也就是12x x <；31a >单调递增区间为()0,+∞幂函数y x α=0α<在()0,+∞上递减0α= 没有单调性 0α>在[)0,+∞上递增7）对勾函数：()0,0by ax a b x=+>>的单调性与极值点b a ±有关．8）绝对值函数：y a x k =−（0a ≠）1a>10<a<1y=log a xyx O 0<α<1α<0α>1α=1α=011y=x αOyx5（2）奇偶性：①前提：定义域关于原点对称（若区间(),a b 上是奇函数或者偶函数，则0a b +=；若定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数）； ②定义：奇函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=−，则()f x 为奇函数（()()0f x f x −+=）；2）图象关于原点对称；3）在对称区间内，单调性相同；4）若定义域内含有0，则()00f =． 偶函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=，则()f x 为偶函数（()()0f x f x −−=）； 2）图象关于y 轴对称；3）在对称区间内，单调性相反． 注意：利用定义判断函数奇偶性的步骤：③基本初等函数的奇偶性： 函数参数取值奇偶性 一次函数()0y kx b k =+≠0b = 奇函数 0b ≠非奇非偶函数 二次函数()20y ax bx c a =++≠0b = 偶函数 0b ≠ 非奇非偶函数 反比例函数()0ky k x=≠ − 奇函数 指数函数xy a =（0a >且1a ≠） −非奇非偶函数对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）−非奇非偶函数幂函数y x α= α为奇数 奇函数 α为偶数偶函数④结论：1）函数()0f x =即是奇函数也是偶函数； 2）偶函数有()()()()f x f x f x f x =−==−； 3）奇偶性的运算规律：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数； （4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数；（6）奇±偶=非奇非偶（即奇函数中不含偶函数的项，偶函数中不含奇函数的项）； 4）x 的奇数次幂是奇函数，x 的偶数次幂是偶函数；5）若()()f x g x c =+（()g x 为奇函数），则()()2f a f a c +−=． 6）常见奇、偶函数：奇函数：xxy a a −=−；)ln y x =；x x x xa a y a a −−−=+．偶函数：+x xy a a −=；2y x a x =+．（3）对称性：①关于点对称：（横坐标和定，纵坐标和定）()f x 关于点()0,0对称，可得()()0f x f x −+=；()f x 关于点(),a b 对称，可得()()2f x a f x a b −+++=；或者()()22,f x f x a b −++=L ；若()f x 满足()()22f x f x a b +−+=，则()f x 关于点(),a b 对称．②关于轴对称：（横坐标和定，纵坐相等）()f x 关于0x =（y 轴）对称，可得()()f x f x −=；()f x 关于x a =对称，可得()()f x a f x a −+=+；或者()()2,f x f x a −=+L ；若()f x 满足()()2f x f x a =−+，则()f x 关于x a =对称．（4）周期性：（横坐标差定，纵坐相等）①定义：存在非零常数T ，对于()f x 定义域内的任意一个x ，()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT (), 0k k ∈≠Z 也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．②周期性的重要结论：1）()()f a x f b x +=+，T b a =−；2）()()f a x f b x +=−+，2T b a =−，特别地，()()f a x f x +=−，2T a =，则()()()()2f x a f x a a f x a f x +=++=−+=⎡⎤⎣⎦．3）()()1f a x f x +=±，2T a =；则()()()()12f x a f x a a f x f x a +=++==⎡⎤⎣⎦+． 4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．75）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T −=⇒． 6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T −=⇒．7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T −=⇒．3、基本初等函数的图象：指、对、幂函数的特点． （1）指数函数： 指数运算：①正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅L ；②负整数指数幂：1n n a a−=（0a ≠，*n ∈N ）；③零指数幂：01a =（0a ≠）；④正分数指数幂：mna =0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =)；⑤负分数指数幂：1m n m n a a −=(0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =）；⑥指数幂的运算性质：①r s r s a a a +=；②r r s sa a a−=；③()r r rab a b =；④()()s r r s a a =．指数函数图象与性质： ①定义域：R ； ②值域：()0,+∞；③过定点：()0,1，过点()1,a ；④单调性：01a <<时，指数函数为减函数；1a >时，指数函数为增函数；⑤渐近线：x 轴（图象上下平移时，渐近线也要一同平移；图象上下翻折时渐近线也要进行翻折）．指数函数知识拓展：①指数函数xy a =与1xx y a a −⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称；②判断底数大小：令1x =，与图象交点的纵坐标为底数；③比较大小：同底、同指、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解指数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．（2）对数函数： 对数运算：①对数定义：一般地，若ba N =，则log ab N =（0a >，且1a ≠），读作“以a 为底N 的对数”．②常见的对数符号：常用对数，把10log N 记为lg N ；自然对数，把e log N 记为ln N ，其中e 2.71828=L ． ③对数恒等式：1）log 10a =；2）log 1a a =；3）log a Na N =；4）log N a a N =；④对数的运算性质：1）()log log log a a a M N M N ⋅=+；2）log log log a a a M M N N =−；3）log log a a M M αα=；4）log log log a b a NN b=（换底公式）．⑤有用结论：1）1log log a b b a =；2）log log m n a a n b b m=．对数函数图象及性质： ①定义域：()0,+∞； ②值域：R ；③过定点：()1,0，过点(),1a ；④单调性：01a <<时，对数函数为减函数；1a >时，对数函数为增函数； ⑤渐近线：y 轴（图象左右平移时，渐近线也要一同平移）． 对数函数与指数函数的关系注：同底的对数函数与指数函数互为反函数，二者的图象关于y x =对称．对数函数知识拓展：①对数函数log a y x =与11log log log a aay x x x ==−=的图象关于x 轴对称； ②判断底数大小：令1y =，与图象交点的横坐标为底数；③比较大小：同底、同真、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解对数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．⑤求复合函数的单调性时，满足两点： 1）真数部分要大于0；2）根据复合函数的“同增异减”来求函数的单调区间．9（3）幂函数：①概念：形如()y x αα=∈R 的函数称为幂函数．②常见幂函数的图象将函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图象画在同一坐标系中，如下图所示：③幂函数的性质1）所有幂函数在()0, +∞上都有定义；2）0α>时，幂函数过原点，且在[)0,+∞上单调递增；0α<时，幂函数在()0, +∞上单调递减；3）设mnα=，m ∈Z ，*n ∈Z ，(),1m n =，当n 是偶数，则幂函数既不是奇函数也不是偶函数；当n 是奇数，则当m 为奇数时幂函数是奇函数，m 为偶数时幂函数是偶函数．4）当01α<<时，函数是上凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；当1α>时，函数是下凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 5）幂函数的图象根据奇偶性进行补全即可．4、函数零点 （1）零点定义：①对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点；②零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ③函数的零点与方程根的关系：函数()()()F x f x g x =−的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．④三个等价关系(三者相互转化)（2）零点存在性定理：①函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的； ②()()0f a f b <；③则函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即至少存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程()=0f x 的根（即是函数()f x 的零点）． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．③由函数()y f x =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出()f a ·()f b 0<，如图所示．所以()f a ·()f b 0<是()y f x =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．（3）零点唯一的条件：函数()f x 在区间(),a b 上连续不断，满足()()0f a f b <，且函数()f x 在区间(),a b 上单调，则函数()f x 有唯一零点．。

数感符号感的培养581062322256210243729,,,====1. 1-20的平方 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400 1-10的立方1.8,27,64,125,216,343,512,729,1000 常见的勾股数：3,4,5 ;5,12,13;7,24,25;15,17,282.立方差立方和公式()3322333a b a a b b a b ±=±+±，()()3322a b a b a ab b ±=±+3.常用的一些数据14141732224...=== 271828e .≈15718rad '≈︒，20693109114ln .,ln .,ln .≈≈π≈第一部分：函数1.函数的对称性(奇偶性延伸)()()f a x f a x -=+⇔函数()y f x =的图像关于直线x a =对称； ()()2f a x f a x b -++=⇔函数()y f x =的图像关于点()a,b 对称．证明： 方法一：()y f x =关于点()a,b 对称，可以得到()y f x a b =+-为奇函数，所以()()()()02f x a b f x a b f x a f x a b +-+--=⇔++-=．方法二：(相关点法)，若函数()y f x =关于点()a,b 对称，即()x,y 的对称点()22a x,b y --在原函数图像上，所以()()()()()22222b y f a x f x f a x b f a x f a x b -=-⇔+-=⇔++-=． 2.函数的周期性()()f x T f x +=1）半周期：()()()()()()11f x a f x ,f x a ,f x a f x f x +=-+=+=-， 函数()f x 的周期为2a ；2）双对称问题： 函数()()f x a f a x +=±-，()()()f x b f b x a b ,+=±-≠若两式同号，则()f x 是以2b a -为周期的周期函数． 3）其他类周期问题： ①()()f a x f b x T b a ±=±⇔=-； ②()()2f a x f b x T b a±=-±⇔=-；③()()()6f x a f x a f x T a -++=⇔=；④设0T ≠,有()()f x T M f x +=⎡⎤⎣⎦其中()M x 满足()M M x x =⎡⎤⎣⎦且()M x x ≠，则函数的周期为2．3．函数求值域的常用方法： 1）判别式法：将函数()y f x =上的y 视为常数，若它关于x 是二次的，则可由其关于x 的判别式非负而求得y 的范围，注意检验等号是否成立；2）换元法：引入适当地变量，将复杂的函数式化归为已知的简单函数式，注意引入变量的范围；3）利用二次函数：化归为二次函数的最值或限定条件下的二次函数最值问题，借用配方法来求解；4）利用单调性：将所给函数化为熟知的初等函数，利用单调性求最值（值域）； 5）利用不等式：运用算数-几何不等式，柯西不等式,注意等号成立条件的讨论； 6）图像法：利用图像的直观性可求一些特殊函数的值域． 4.指数函数对数函数1）真数互换公式：x y x y log a log b log b log a ⋅=⋅； 2）底真互换公式：c c log b log a a b =； 3）当对数的底数和真数同时在()01,或()1,+∞上时，0a log b >，否则0a log b <．5.函数嵌套零点问题第二部分：函数与导数1.导数的定义()()()0000x f x m x f x n x m nlimf x p x p∆→+∆-+∆-'=∆．2.三次函数()320y axbx cx d,a =+++≠1）230b ac ->⇔三次函数有极大值极小值，有三个单调区间；230b ac -≤⇔三次函数没有极值，一个单调区间； 2）三次函数式中心对称图形，它有一个对称中心， 求法：二阶导后导数为0，方程的根为中心横坐标； 3）必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切（切过）． 3．构造函数秒杀大法： 注意：①()f x '前的系数为正或可正可负，看原本()f x '前的系数为负，变号“<”变“>”“>”变“<”;②导函数思想，导函数大于零单调递增，导函数小于零单调递减； ③若所求一方没有()f的形式，在题干中没有()f 形式，类如定义在R 上的奇函数()00f ⇔=④在题干中找到两个()f形式1）由周期或对称性得出另一个()f形式，使用新生成的()f．2）由奇偶性得出另一个()f形成．对于构造函数比较大小的题目，遇到奇偶性切记不能用．4.导数常用的放缩1x e x ≥+， 111x ln x x x x--<≤≤-， ()1x e ex x >>．5.关于证明含ln x 的不等式的一种思路举例说明：证明()1111123ln n n ++++>+，左边为看成1n 求和，右边看成n S ．解法：令1n a n=，()1n S ln n =+，则()1n b ln n lnn =+-，只需要证明n n a b >即可，根据定积分知识画出1y x=的图像，几何方法．另解：()1x lnx ≥+．6.对数不等式)0a ba b a,b a b ln a lnb-+>>>≠-且a b +可以是极值点和的形式，若我们求得对数平均数为一个定值，那么加和以及乘积形式得极值点证明的题目就可以迎刃而解！！ 7.端点效应 8.洛必达法则9.凸函数（琴生不等式） 10.导数中的ATM 找点法： 函数中存在零点，通常我们寻找这个零点，需要用到二分法来卡根，即零点存在性定理． 这是一个被神化的玩意儿，我们连隐零点都能跳过，至于找点，当然会有巧妙绕过的方案，如果你的切线和同构功底足够，根本无需害怕找点，因为研究导数，本来就是循序渐进，没必要一下子很突兀，让人觉得晦涩难懂，ATM 找点，其实就是一种逆向思维来说明，脑海里多装几个函数图像，参变分离瞬间找到最值，一切迎刃而解． 11.极值点偏移12.导数与三角函数综合题目第三部分 数列1.等差数列1）n a 为等差数列n a dn C ⇔=+2122n d d S An Bn,A ,B a ⎛⎫⇔=+==- ⎪⎝⎭；2）()2121n n S n a -=-．2.等比数列1）n a 为等比数列()10n na Aq ,q -⇔=≠()1n n S Aq A,q ⇔=-+≠；2）()111mm nn S q ,q S q -=≠±-．3.求通项方法1）由n S 得n a 或者其递推公式；2）累加累乘法；3）根据递推公式通过变形后换为等差数列或者定比数列． 待定系数法 4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为函数()f x 的不动点，利用递推数列递归函数()f x 的不动点，可将某些递推关系()1n n a f a -=所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法为不动点法．P262 4.求和方法1）公式法；()()211216nk n n n k =++=∑，()23112nk n n k =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑2）裂项相消 秒杀求和()()1111nn n n ⇒++()()()()121212121nn n n ⇒-+-+对任意数列，{}00n S a =⇔不分段{}00n S a =⇔分段由n S 的n a3）并项求和4）错位相减法()1n n n n c a b dn b q -=⋅=+，()n n S A n B q C =⋅++其中()n nS A n B q C =⋅++，其中11d b d A ,B ,C B q q -===--- 6.等差等比综合题目 ① 等差数列{}n a ，公差不为0；② m n p a ,a ,a 成等比数列7.选项分析法（数列通项或者求和的含n 的选择题目）第四部分 直线与圆1.直线1） 到角公式21211k k tan k k -α=+，2） 直线11110l :A x B y C ++=,21110l :A x B y C ++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=;1221121221A B A B l l AC A C -=⎧⇔⎨≠⎩∥; 3） 与11110l :A x B y C ++=平行的直线系方程为：()1110A x B y C C C ++=≠，; 与11110l :A x B y C ++=垂直的直线系方程为：110B x A y C -+=;过两直线11110l :A x B y C ++=,21110l :A x B y C ++=交点的直线系方程：()1112220A x B y C +A x B y C =++λ++，不包括21110l :A x B y C ++=这条直线．4）点()x,y 关于直线0Ax By C ++=的对称坐标为：()()222222A Ax By C B Ax By C x ,y A B A B ++++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．秒杀直线斜率为1或者-1的点关于线对称的题目：例题：解析：直接讲已知点(-2,12)的横纵坐标都代入对称直线中，直接可以得对称点的横坐标为81284x y =-=-= ，同理可以8286y x =+=-+=，可得对称点坐标为（4,6）. 2.圆1）根据直径两个端点写圆方程：()()()()12120x x x x y y y y --+--=；2）阿氏圆：阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ,当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆． (1λ=时P 点轨迹是线段AB 的中垂线)定长对定角，角的端点的轨迹也是一个圆例如：ABC ∆中，4AB ,=且120C ∠=︒，求动点C 的轨迹.3)圆22xy Dx Ey F ++++，在x 轴上的截距之和为-D ，在y 轴上截距之和为-E,在两轴上截距之积均为F. 4)圆系方程 过两圆2211110C :xy D x E y F ++++=和2222220C :x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()()222211122210x y D x E y F x y D x E y F ,+++++λ+++=λ≠-+，不包括圆C 1第五部分 圆锥曲线1.仿射变换在解析几何中的应用在解析几何中，圆有很多重要的几何性质，椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>>在形式上接近圆的标准方程222x y r +=，故我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆，这样就可以很好地处理与斜率、面积有关的一类问题。

《初一到初三的数学知识点总结.doc》(优选3篇)《初一到初三的数学知识点总结.doc》第1篇（一）概率1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

2.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

3.对立事件：即必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

4.必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件。

5.不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件。

（二）有理数1.定义：由整数和分数组成的数。

包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

2.相反数：指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。

3.绝对值：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

4.有理数的加减法：同号相加，把绝对值相加。

异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

5.有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

6.有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不为0的数，都得0。

《初一到初三的数学知识点总结.doc》第2篇第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

2点、线、面、体(1)几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

(2)点动成线，线动成面，面动成体。

3、生活中的立体图形生活中的立体图形柱:棱柱：三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，三要素缺一不可)。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

初一到初三数学知识点总结一、初一数学知识点总结1. 整数√初一的数学主要学习正整数、负整数的概念及运算法则，例如同号数相加，异号数相加，绝对值等。

2. 分数√学习分数的概念和分数的加减乘除运算。

3. 一元一次方程√学习一元一次方程的概念及解法，包括用通俗方法解方程、用等式性质解方程等。

4. 比例与比例式√学习比例的概念，及比例式的变形和应用。

5. 数据√学习数据的收集、整理、分析方法，学会绘制统计图表。

6. 几何√学习平行线与角、相交线与角等几何基本概念和基本图形的性质。

二、初二数学知识点总结1. 一元一次方程与一元二次方程√学习一元一次方程与一元二次方程的含义及解的方法，同时要学会应用到实际问题中。

2. 多项式√学习多项式的基本概念、多项式的加减乘除以及多项式的因式分解和提公因式等。

3. 几何√学完平面图形的性质，学习平行四边形、梯形、圆的性质及计算等。

4. 直角三角形与勾股定理√学习直角三角形的性质、三角函数的概念及运用，同时也要学习勾股定理的应用。

5. 图形的相似√学习相似三角形的性质、比的运用，区别检验相似三角形、判定两个平面图形是否相似等。

6. 统计√学习统计样本、频数分布、频数分布表及绘制各种统计图表。

三、初三数学知识点总结1. 二次函数√学习二次函数的概念、图像及性质，函数的最值问题及二次函数与一元二次方程的关系。

2. 数列√学习等差数列、等比数列及它们的前n项和的计算，应用到生活中。

3. 三角函数√学习三角函数的概念、性质及图像，利用三角函数解实际问题。

4. 空间几何√学习空间图形的性质与计算，空间图形的投影与沿截面的截面图等。

5. 概率√学习独立事件、互斥事件、概率的计算、事件的并、交及补等。

6. 统计√学习随机变量的概念、离散型与连续型随机变量及它们的概率分布等。

以上就是初一到初三数学知识点总结，初一到初三数学知识点博大精深，要想学好数学，一定要打好数学的基础。

希望同学们能够认真学习，掌握好这些知识点。

二级结论数学二级结论是数学中非常重要且常见的概念，它在许多数学问题的推理和解题中发挥着重要作用。

本文将详细介绍二级结论的定义、性质和应用，并以具体的例子说明其指导意义。

一、二级结论的定义二级结论指的是在证明一个定理时，由这个定理推导出来的一个结论。

通常它不是直接得出的，而是需要通过利用定理中的条件、定义、公理等来推导出来的结论。

因此，二级结论是在推导过程中逐步得出的，是前面一系列推理的结果，具有可追溯性和可证明性。

二、二级结论的性质1.二级结论的正确性：二级结论的正确性是在原定理正确的基础上得出的，因此它的正确性是有保证的。

2.二级结论的多样性：在同一个定理的证明过程中，可以得出多个二级结论，它们可能互相独立，但在最终的证明中又有联系。

3.二级结论的前提条件：二级结论与定理存在相互联系，因此它的前提条件应该包含定理中的条件，如果没有符合条件的前提，则二级结论可能是不正确的。

三、二级结论的应用在数学推理中，二级结论可以用来进一步分析定理，挖掘问题的深层含义，同时也可以指导解决数学问题的方法和思路。

以数学竞赛中较常见的代数问题为例，当我们需要证明一个不等式时，通常要根据不等式的符号关系，将其转换为另一个形式，然后再通过二级结论来证明它。

如当我们需要证明以下不等式：$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$可以先将其转化为：$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\geq3$ $\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{b+c}+\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)} {c+a}+\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{a+b}\geq9$接着，根据二级结论中的加法原理和乘法原理，我们可以将原式左侧分别拆分为：$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{b+c+c+a+a+b}-3$$\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{b+c}+\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)} {c+a}+\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{a+b}=6+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}$然后，我们要证明的不等式即变为了：$\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{b+c}+\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)} {c+a}+\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{a+b}\geq15$这时，我们可以通过二级结论中的关系式和代数公式得出，原不等式是成立的。

初一到初三的数学知识点总结在年少学习的日子里，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是学习的重点。

掌握知识点有助于大家更好的学习。

以下是小编整理的初一到初三的数学知识点总结（通用5篇），欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

初一到初三的数学知识点总结11.有理数：（1）凡能写成形式的数，都是有理数。

正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

注意：0即不是正数，也不是负数；—a不一定是负数，+a也不一定是正数；p 不是有理数；（2）有理数的分类：① ②2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

3.相反数：（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；（2）相反数的和为0？a+b=0？a、b互为相反数。

4.绝对值：（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；（2）绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数—小数> 0，小数—大数< 0。

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1？a、b互为倒数；若ab=—1？a、b 互为负倒数。

7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数。

8.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a—b=a+（—b）。

初中数学二级结论汇总,节省解题时间!(打印版)一、公式及其变式1、(x+a∖x + b) = x z +(a + b)x + ab2、a2 + b2 ={a + Z))2—2ab = (Q- ⅛)2 + 2ab =+ +农___. O+ b)~+(α-Z))- (α + b)" — (/+Zr) (Q_b)"_(/ + Zr)Clb = -------------------- = ---------------------- = ------------------------4 2 23、和的立方公式:(α+⅛y =α3+3α26+3αZ>2+63差的立方公式：(a-b j=α3-3a2b + 3ab2 -b34、立方和公式：^+b3=(a+b)(a2-ab + b2)变式：α3+b3 =(tz + ⅛)[(α+⅛)2-3ab]5、立方差公式：d-b3 =(a-b)(a2+ab + b z)变式:α3-⅛3=(α-⅛)∣(α-Z>)2+3α⅛]注意区另U ： (<7+Z> + c*)2 = a1 + A2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac(α + ⅛ )2 +(⅛ + c)2+(α + c)2 =2Cr÷2⅛2 +2c2+2ab + 2bc-^2ac 6、a i +b3 +K -3abc = (a+b+c∖a^ +b2 -S t-Cλ -ab-be-ac)(c(. —b)~ ÷(b-c)~ + (<2 — c)^^=(Q+ b + θ)∙2二、数学计算中的常用结论1、l+2+3"→"巴凹22、2+4 +6 +…+2〃 =诡7 + 1)3、1 + 3+5 + 7 十，“十(2 川一I) =，,4、卄八珀毕+…仃十D⑵"1)65、1'+2?十3' + 4?+•・・・ + /? = (1 + 2十3 + ・・・+以)2二2£^]2：6、l×2 + 2×3+3x4+4x5+∙∙→∕ι(w÷=Λ(Λ÷⅛)H H^k<2 + 6 1 18 q --- - ----ab a b三、常见几何基本图形及结论:K SDC = S.+厶B 十上C2、血,S别平分SGzs贝十討A3、CQ 分别平分，则ZBDC = 90o-∣Z42$、疗EeF 分别平分Z/仍D 和"CD ,则ZE = ^{Λ4 + ZD)2D4、3D,CD 分别平分厶1BC, ZACE 9 则 ZSDC = -∠S42⅛H ⅛+⅛≡ J 写H'<送∖I ∙⅛(D ≡*2 W √H ⅛S S≡^Θb π⅛^.⅛^π⅛Θ 竄006」M Q 乌吨⅛g υ9R 離黑Q υp = vu⅜υg w w‰(Z J 3D +二7g ≡∙%寸6H υ^7σX H省⅛U ^V Q ⅛∞9.在&2〃C中，Q二90S D为斜边疗C的中点，£ZZ L YJF= 90° . 贝 IlB+CF* EF'IOX 卩q边形ABCD中，AC X IiD .则AB2^CD2 =AD2+ BC2（特别地，当四边形川?CD为SI内接四边形时有AB2 +CD2 = .ID2 +BC1 = 4R’）B12、ZVBC 中∙ΛB = 2ZC,ΛD平分ΛBAC .则/IB+BD =AC〔截冬、补短）13.WC 中，ZB=2ZC"4D 丄BC ,则：AB^BD=CDD14.M)AB. ^EAC都是等腰直角三角形，①MV丄则M为Z)E的中点•②Λ/为DE的中点，则MV T丄占C・15、 AABuaCDE为正三角形,则①AD=BE ；②Ql/平分ZδMD\116、正亠仏C 中.PC = 3,PA=4∙PB = X则Z∕lPC=150o.17、用亠仍C 中，ABAC=9(T./IB=AC .若Pe,∕⅛皿分别为 1,2,3,则ZZlPC = I35。

中学数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠(1)若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）(2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da c k +=2）定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则： ①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin41cos cos cos C B A C B A +=++ ③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin222CB AC B A -=++ ④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sinCB AC B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin4sin sin sin CB AC B A =++ ⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotCB AC B A =++ ⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++A C C B B A ⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++CB A ⑪32tan 2tan 2tan≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e Λ推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心 (3)O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 (3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e n m e e e e +>-->+。

初一到初三的数学归纳总结数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的培养作用。

初中数学课程作为学生数学学习的起点，内容涉及广泛而深入。

在初一到初三的学习过程中，我积累了一些数学归纳总结，希望与大家分享。

一、初一数学归纳总结1. 数的认识和运算初一数学主要包括对整数、正数、负数以及它们的运算的认识和理解。

我们通过学习了解了数轴的概念，掌握了不同数之间的比较和大小关系。

同时，初一还学习了加法、减法和乘法的基本运算法则，并且能够在实际问题中运用这些知识进行计算。

2. 分数和小数初一数学还引入了分数和小数的概念。

我们学会了将整数进行分数表示，理解了分数的大小关系和分数与整数、小数之间的转换。

同时，通过对十进制小数的学习，我们能够将小数进行大小比较，并学会将小数转换为分数或百分数进行运算。

二、初二数学归纳总结1. 代数运算初二数学主要包括了代数的基础知识和运算。

我们学习了代数表达式的定义和基本性质，能够进行代数式的加减乘除运算。

同时，掌握了解方程、方程组和不等式的概念，能够利用代数方程解决实际问题。

2. 平面图形初二数学还引入了平面图形的研究。

我们学会了认识、比较和画出不同的平面图形，如三角形、四边形、圆等，并学会了计算图形的周长和面积。

同时，我们还学习了平移、旋转、对称等几何变换的概念和性质，能够应用这些知识解决图形的位置和形态变化问题。

三、初三数学归纳总结1. 线性方程和不等式初三数学内容增加了对一元一次方程、一元一次不等式的深入学习。

我们学会了解方程的解集和解集的图示表示，能够利用方程和不等式解决实际问题。

同时，初三还引入了二元一次方程和不等式的概念，能够求解二元一次方程组和不等式组。

2. 数据的处理和统计初三数学还包括了数据的处理和统计学。

我们学会了如何收集数据、整理数据，并利用统计图表进行数据分析和描述，从而得出结论。

同时，初三还引入了概率的概念，能够计算简单的事件概率，并利用概率解决实际问题。

初中数学常用二级结论知识点总结姓名：____________指导：____________日期：____________在做压轴题时，虽不能直接引用，但可预知结果，简化计算和提高思维起点,也是很有用的！一、公式及其变式1、(%+o 乂％ + 6)=不？+(a + Z>)x + c 仍2、6 + / = (a + 6)2 ——2ab = (a - 尸 + 2ab —»,(a + b)2 +(a-b尸(a + b)2 -(a2 +b2) (a-b)1 -(a1八H) ab - -------------------- = -------------23、和的立方公式：(o + 6)3="+3°26+3而？ +/差的立方公式：+4、立方和公式:^+b3=(a+b)(a2-ab + b2)变式:d +b3 =(tz + Z))[(a4-i)2 -3aH5、立方差公式:d-b3 =(a-b)(a2 +ab + b2)变式：ci -b3 =(a-b/K a-b)2 +3aR注意区别：(a+6 + c)2 = cr +A? +c~ + 2cib + 2bc + 2cic(a+6 y +(6 + c), +(a + c)2 =2/ +2b" 4-2c? +2a3 + 26c + 2ac 6、a3 +b3 +e c -3 而c = (a+b+cXo +b? +c2-ab-be-ac)=(a+6+c) • (o —"'(a-)二、数学计算中的常用结论■3+……A±12 22、2+4 + 6+...+2 " =+ 1)3、1十3十5十7十，“十(2”・1)二刃24、12S+3142.../二巡屿生 65、I3 +23+3J + 43+…+n3 = (I + 2+3 + -4-n)2 = "n 人〜6、1 乂2 + 2 乂？+3 乂4+4 乂5+ ・•・ + 〃(》+ 1)=丄◎?•(乃_嗨r kl1IX ................. 三--------我(力+々)刀fk<2 + 6 1 1 8、------------ab a b三、常见几何基本图形及结论:K 厶iDC 二乙A+4 十ZC2. AD,CD 分另ij 平分43C,乙4c3，贝iJN6DC = 90。

初中数学二次函数二级结论、性质汇总本文精心整理了初中数学二次函数中的一些优美的二级结论，并给出了详细证明。

许多二次函数压轴题以这些二级结论为背景，熟知这些结论对我们的解题会有很大的帮助。

性质1：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B A 、两点， 结论：aAB ∆=. 证明：设()()0,0,21x B x A 、，则21212)(x x x x AB -=-=a c ab x x x x 44)(221212-⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=aa acb ∆=-=224.性质2：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，且O ACB 90=∠， 结论：1-=ac .证明：设()()0,0,21x B x A 、，),0(c C .由射影定理：OB OA OC ⋅=2，得：a cx x c -=⋅-=212，故1-=ac .推论:如图，C B A 、、为二次函数c bx ax y ++=2的图像上三点，x AB //轴，且O ACB 90=∠，AB CD ⊥于D ，记h CD =，结论：ah 1=. 证明：作平移变换，使D 位于新坐标系的原点'O ，由结论2立得.性质3：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B A 、两点，顶点为C ，α=∠BAC ， 结论：α2tan 4=∆.证明：如图，由ADCD=αtan 得： ααtan 21tan AB AD CD ==，即： αtan 21442aa b ac ∆⋅=-，即： αtan 214a a ∆⋅=∆，即：αtan 2=∆，即：α2tan 4=∆.推论：(1)当ABC ∆为等腰直角三角形时，4=∆；(2)当ABC ∆为等边三角形时，12=∆；(3)当ABC ∆为顶角O C 120=的等腰三角形时，34=∆.性质4：如图，直线AB 交二次函数2ax y =图像于B A 、两点，且OB OA ⊥，结论：直线AB 过定点)1,0(aM .证明：设()()22,,an n B am m A 、，则 由OB OA ⊥得：1-=⋅OB OA k k ， 即12-=mn a ，)(22n m a nm an am k AB+=--=，2))((:am m x n m a y l AB +-+=，令0=x ，得aamn y 1=-=， 即直线AB 过定点)1,0(aM .性质5：二次函数c bx ax y ++=2的图像上两条弦CD AB //，结论：D C B A x x x x +=+（或AB 中点的横坐标与CD 中点的横坐标相同）.证明：设m kx y l AB +=:，n kx y l CD +=:， 由⎩⎨⎧++=+=c bx ax y m kx y 2得：0)(2=-+-+m c x k b ax ，故abk x x B A -=+， 同理：a bk x x D C -=+，即：D C B A x x x x +=+.性质6：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像上两定点B A 、，在AB 下方抛物线上找一点C ，使ABC ∆面积最大. 结论：2BA c x x x +=. 证明：要使ABC ∆面积最大，点C 应位于与AB 平行且与抛物线相切的直线上，C 为切点.设m kx y l AB +=:，n kx y l C +=:，由⎩⎨⎧++=+=cbx ax y mkx y 2得：0)(2=-+-+m c x k b ax ，故abk x x B A -=+， 由⎩⎨⎧++=+=cbx ax y n kx y 2得：0)(2=-+-+n c x k b ax ， 0)(4)2=---=∆n c a k b （，此时a b k x c 2-=，即：2BAc x x x +=.性质7：如图，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像与x 轴交于B A 、两点，C 为AB 下方抛物线上一点，过C 作x CE ⊥轴于E ， 结论：BE AE a CE ⋅⋅=.证明：设()()0,0,21x B x A 、，),(33y x C ， 则抛物线方程为：))((21x x x x a y --=， 令3x x =，得：))((23133x x x x a y --=， 于是))((32133x x x x a y CE --==BE AE a ⋅⋅=.性质8：二次函数c bx ax y ++=2的图像上三点),(),(),(332211y x C y x B y x A 、、， 结论：))()((21133221x x x x x x a S ABC ---=∆.证明：如图：过点C 作x CD ⊥轴交AB 于D ，过点A 作CD AE ⊥于E ，过点B 作CD BF ⊥于F .b x x a x xc bx ax c bx ax x x y y k AB++=-++-++=--=)()()(21121212221212 1121)]()([:y x x b x x a y l AB +-++=于是11321)]()([y x x b x x a y D +-++= 于是3y y CD D -=311321)]()([y y x x b x x a -+-++=)()()]()([3231211321c bx ax c bx ax x x b x x a ++-+++-++=)]()([)]()([31311321x x b x x a x x b x x a -+++-++=))(())((1332133121x x x x a x x b ax ax b ax ax --=----++=. 于是BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=)(2121213213x x x x CD BF CD AE CD -+-⋅=⋅+⋅= 1221x x CD -⋅= 121332))((21x x x x x x a -⋅--= ))()((21133221x x x x x x a ---=. 利用上面的方法，我们可以得到抛物线上类似于圆内相交弦定理的一条性质. 性质9：如图，P 为抛物线c bx ax y ++=2内部一点，过P 的两条直线111:m x k y l +=，222:m x k y l +=分别交抛物线于B A 、和D C 、两点， 结论：PD PC k PB PA k ⋅+=⋅+22211111. 证明：过点P 作x PE ⊥轴交抛物线于E ，过点A 作PE AG ⊥于G ，过点B 作PE BF ⊥于F ，设),(),(),(332211y x E y x B y x A 、、.由性质8的证明可得：3y y PE P -=))((1332x x x x a --= BF AG a ⋅⋅=PB k AP k a 21211111+⋅+⋅=PB PA k a ⋅+⋅=2111， 同理可得：PD PC k a PE ⋅+⋅=2211， 于是：PD PC k PB PA k ⋅+=⋅+22211111.性质10：二次函数)0(2>=a ax y 的图像上一点A ，)41,0(a F ，直线ay l 41:-=，过点A 作l AB ⊥于B .（抛物线的定义，)41,0(a F 为焦点，a y l 41:-=为准线），结论：AB AF =.证明：设),(2am m A ，aam AB 412+= 222)41(aam m AF -+= 2242216121am m a m +-+= 222242)41(16121aam a m m a +=++=AB aam =+=412. 性质11：二次函数)0(2>=a ax y 的图像与直线l 相切于点A ，l 与x 轴、y 轴分别交于点B P 、， 结论：PB AP =.证明：设),(2am m A ，过A 的切线方程为：2)(am m x k y +-=，⎩⎨⎧+-==22)(am m x k y ax y 有唯一一组解，得： 022=-+-am km kx ax ，)(422am km a k --=∆2)2(am k -=，由0=∆得am k 2=，所以切线方程为：2)(2am m x am y +-=， 即22am amx y -=， 于是),0()0,2(2am B mP -、， 所以PB AP =.性质12：二次函数)0(2>=a ax y 的图像上一点A ，过点A 作OA BA ⊥交y 轴于点B ，过点B 作//BC x 轴交抛物线于点C ， 结论：BC BA =.证明：设),(2am m A ， 则am k OA =，于是amk AB 1-= 2)(1:am m x amy l AB +--= 令0=x ，得：21am a y B +=在2ax y =中，令21am a y +=得：221m ax C +±= 于是221m a BC +=，2222221)1()0(am am a am m AB +=--+-=， 即：BC BA =.性质13：如图，A 为y 轴正半轴上一点，B 为A 关于x 轴的对称点，过点A 的直线交抛物线)0(2>=a ax y 的图像于D C 、两点. 结论：DBA CBA ∠=∠.证明：设()()22,,an n D am m C 、，)(22n m a nm an am k CD+=--=，2))((:am m x n m a y l CD +-+=，令0=x ，得amn y A -=， 于是)0),0(amn B amn A ，（、-，an am m amn am k BC-=-=2，am an namn an k BD -=-=2，即：BD BC k k -=，故DBA CBA ∠=∠.性质14：过点)41,0(aF 的直线交二次函数)0(2>=a ax y 的图像于B A 、两点（焦点弦）， 结论：a BFAF 411=+. 证明：设()()22,,an n B am m A 、，则)(22n m a nm an am k AB+=--=，2))((:am m x n m a y l AB +-+=，令0=x ，得aamn y F 41=-=， 于是：241a mn -=， a am AF 412+=，aan BF 412+=， 于是：)41)(41(21112222aan a am aan am BF AF BFAF BF AF ++++=⋅+=+ 2222222216141)(21a a n m a n m a a an am +⋅++++= 222422216141)(16121a n m a a a an am +⋅++⋅++=22222281)(41)21(an m a n m a ++++=a an m a n m a 4)21(41)21(222222=++++=a 4=.。

初2数学知识点总结初2数学知识点总结(一)(一）运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：ａ2－b2=(a+b)(a-b)a２+２ａｂ＋b2＝（ａ+ｂ）２ａ2－２ａb+ｂ2=（a-b)２如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二)平方差公式(1)式子：a2-b2=(a＋b)(a－b)（2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三)因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式（ａ＋b)2＝a2+2aｂ+ｂ２和(a-b)２=a２－2ab+ｂ２反过来，就可以得到:a2+2ａb+b2 =(a+b)2ａ2-2ａｂ+b2 ＝(ａ－ｂ)２这就是说,两个数的平方和,加上（或者减去）这两个数的积的2倍,等于这两个数的和（或者差)的平方。

把a２+2ab+b２和ａ2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（２)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式,再用公式分解。

(4)完全平方公式中的ａ、b可表示单项式,也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

初2数学知识点总结(二)(五)分组分解法我们看多项式ａｍ＋ａn＋bm+bn,这四项中没有公因式,所以不能用提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组（am+ ａn)和(bm+ ｂｎ)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am ＋ａｎ)＋(bｍ＋ｂn)=a(m+ｎ）+b（m+ｎ)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解,所以原式＝(ａm +an)+(bｍ+ bn)=ａ(ｍ+ n)+b(m＋ｎ)=(ｍ+n)??(a+b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2.运用公式ｘ2 +(p+q)x＋pｑ=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试,一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3.将原多项式分解成（x+q）（x+ｐ)的形式.(七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．４.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x－ｙ=-(y-x）,(x-y）2=(y-ｘ)2，(x－y)３=－(y-ｘ）3.5.分式的分子或分母带符号的n次方,可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6.注意混合运算中应先算括号,再算乘方,然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言,而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简,而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．２.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式,分子则乘出来写成多项式,为进一步运算作准备．4.通分的依据:分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。