空间解析几何答案word

第八章 空间解析几何与向量代数

§8.1向量及其线性运算 1.填空题

（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.

（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.

2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.

解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=

M M ，方向余弦为2

2

cos =

α，22cos =

β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π

β=， 2

πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则

222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，

即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+2

2222

2)

3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点

为)3,3,0(.

4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.

解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为

29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29

1k j i e a -+±

=.

5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.

解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为

9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为

k k a z 7-=.

6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.

解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得

⎪⎩⎪⎨⎧-+++=+-++-+=-+-+2

22222222222)

1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y z

y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,2

1,0(.

7. 已知点)6,2,1(-B 且向量AB 在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.

解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.

8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角

形必与原三角形有相同的重心.

证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ∆的三个

顶

点

，

设

三

角

形

的

重

心

为

E

，则

),,(3

1

)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=

设ABC ∆的同比n

m

之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为

),,(

2

12121m

n mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++

),,(

3

23232m n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++

),,(

1

31313m

n mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++

则三角形FGH ∆的重心为

,()(31

133221m

n mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++)

,1

33221133221m

n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(3

1

321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积 向量积 1.若3

),(,4||,3||π

=

==Λ

b a b a ，求b a

c 23-=的模.

解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2

⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=

73443

cos

431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=π

b b a a

所以73||=

c .

2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .

证明：由||||b a b a -=+，可得2

2

|

|||b a b a -=+，可知

)

()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得

b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .

3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为

b a b a b a b a b a b a ⋅++=⋅++=+⋅+=+=23241002||||)()(||400222

所以242-=⋅b a ，)()(||b a b a b a -⋅-=-b a b a ⋅-+=2||||2

2

7824324100=++=.

4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，

7

79

9916419

cos =

++⋅++=

θ，7

7arccos

=θ. 因为

a j

b b a b Pr ||=⋅，所以33

39

Pr ==

a j

b .

5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅. 解：因为0)()(=++⋅++c b a c b a ，所以

0222||||||222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a ，

而1||||||2

2

2

===c b a ，所以2

3

-

=⋅+⋅+⋅a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量.

解：

k

j i k j i k

j

i b a c 3571

221321131123

1212

1-+-=+---=-=⨯=而83)3(5)7(||222=-++-=

c ，所以)3,5,7(83

1--±

=c e .

7.设)(8,186,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.

证明：只需证明//.

因为AB b a b a CD BC BD 2)5(2102=+=+=+=，所以BD AB //. 8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)

9,3,9(-=c