多边形和平行四边形

多边形与平行四边形知识点总结
多边形与平行四边形
一、多边形
1.多边形的定义：平面内由若干条线段首尾相接而成的封闭图形。

2.多边形的对角线：n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。

3.多边形的内角和和外角和：n边形的内角和公式为(n-2)×180°，外角和为360°。

4.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。

二、平行四边形的性质
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

2.平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：互相平分。

对称性：中心对称但不是轴对称。

3.平行四边形解题模型：
利用平行四边形相邻两边之和等于周长的一半。

利用平行四边形中有相等的边、角和平行关系，结合三角形全等来解题。

过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长。

三、平行四边形的判定
注意：平行四边形的解题方法有很多种，需要根据具体情况进行选择。

专题08 多边形及平行四边形的性质知识网络重难突破知识点一多边形的有关概念1.在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。

组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

边数为n的多边形叫n边形（n为正整数，且n≥3）。

2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。

多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线。

3.四边形的内角和等于360o。

n边形的内角和为(n-2)×180o(n≥3)。

任何多边形的外角和为360o。

【典例1】（2020春•鹿城区校级期中）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．6B．7C．8D．9【变式训练】1．（2019秋•温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．6条B．8条C．9条D．12条2．（2020•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14B．15C．16D．173．（2019春•西湖区校级月考）若一个多边形减去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4．（2020•如皋市校级模拟）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．知识点二平行四边形及其性质1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

3.夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等。

4.两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离。

【典例2】（2020春•丽水期中）如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE∥CF．【变式训练】1．（2019春•嘉兴期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝14，AC＝6，则△OBC的周长为．2．（2019春•天台县期末）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连结AE，并延长AE 与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝°．3．（2019春•温州期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为．4．（2018秋•吴兴区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）连接BF，若∠ACB＝45°，AE＝1，BE＝3，求BF的长．5．（2019•黄石模拟）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：（1）△ADF≌△DEC．（2）BE＝EF．知识点三中心对称1.如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

平行四边形和多边形知识点一、平行四边形知识点。

1. 平行四边形的定义。

- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。

2. 平行四边形的性质。

- 边的性质。

- 平行四边形的对边平行且相等。

即AB = CD，AD = BC；AB∥CD，AD∥BC。

- 角的性质。

- 平行四边形的对角相等，邻角互补。

即∠A = ∠C，∠B = ∠D；∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。

- 对角线的性质。

- 平行四边形的对角线互相平分。

即AO = CO，BO = DO（设AC、BD相交于点O）。

3. 平行四边形的判定。

- 边的判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4. 平行四边形的面积。

- 平行四边形的面积 = 底×高，即S = ah（a为底，h为这条底边上的高）。

二、多边形知识点。

1. 多边形的定义。

- 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

- 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。

2. 多边形的内角和。

- n边形的内角和公式为(n - 2)×180^∘（n≥3且n为整数）。

- 例如三角形（n = 3）内角和为(3 - 2)×180^∘=180^∘；四边形（n = 4）内角和为(4 - 2)×180^∘=360^∘。

3. 多边形的外角和。

- 多边形的外角和等于360°，与边数无关。

4. 正多边形。

- 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

- 正n边形的每个内角为frac{(n - 2)×180^∘}{n}，每个外角为frac{360^∘}{n}。

第十八讲多边形和平行四边形考点综述：本部分内容是中考热点和重点之一。

它包括：多边形的内角和与外角和的相关知识，平行四边形的性质和判定，以及会利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计。

解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程，注重知识的理解和运用。

考点精析考点1 图形的旋转（1）旋转的概念：平面内将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心；旋转的角度叫做旋转角。

注意：①旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状；②旋转中心只有一个，它可以在图形的内部，也可以在图形的外部，转动的方向有两个，可以顺时针方向，也可以逆时针方向。

③在一个旋转中，图形的每一点（除旋转中心）均沿着相同的方向转动相同的角度。

④在任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。

（2）旋转的基本性质①旋转前后的图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

考点2 中心对称（1）中心对称①概念：两个平面图形，把一个图形绕着某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称。

这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称。

这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

②性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（2）中心呢对称图形概念：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

考点3 平行四边形（1）概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）平行四边形的性质①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分。

（3）平行四边形的判定①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

第五章四边形第19讲多边形与平行四边形1.(2022河北)如图所示,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC 与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是( A )A.α-β=0B.α-β<0C.α-β>0D.无法比较α与β的大小第1题图2.(2021恩施)如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=13,AD=5,AC⊥BC,则平行四边形ABCD的面积为( B )A.30B.60C.65D.652第2题图3.(2022南充)如图所示,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正三角形ABF,则下列结论错误的是( C )A.AE=AFB.∠EAF=∠CBFC.∠F=∠EAFD.∠C=∠E第3题图4.(2021扬州)如图所示,点A,B,C,D,E在同一平面内,连接AB,BC, CD,DE,EA,若∠BCD=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E等于( D )A.220°B.240°C.260°D.280°第4题图5.(2022嘉兴)如图所示,在△ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是( B )A.8B.16C.24D.32第5题图6.(2021常州)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是平行四边形,其中点A在x轴正半轴上.若BC=3,则点A的坐标是(3,0) .第6题图7.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC=4 cm.若△ACD的周长是12 cm,则平行四边形ABCD的周长是16 cm.第7题图8.(2021衢州)如图所示,在正五边形ABCDE中,连接AC,BD交于点F,则∠AFB的度数为72°.第8题图9.(2022长春)跳棋是一项传统的智力游戏.如图所示是一副跳棋棋盘的示意图,它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF 组合而成,它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27 cm,则这个正六边形的周长为54 cm.10.(2022新疆)如图所示,在△ABC中,点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使EF=DF,连接BE.求证:(1)△ADF≌△BEF;(2)四边形BCDE是平行四边形.证明:(1)∵F 是AB 的中点,∴AF=BF. 在△ADF 和△BEF 中,{AF =BF ,∠AFD =∠BFE ,DF =EF ,∴△ADF ≌△BEF(SAS).(2)∵点D,F 分别为边AC,AB 的中点, ∴DF ∥BC,DF=12BC.∵EF=DF, ∴DF+EF=DE=BC,∴四边形BCDE 是平行四边形.11.(2022乐山)如图所示,在平行四边形ABCD 中,过点D 作DE ⊥AB,垂足为E,过点B 作BF ⊥AC,垂足为F.若AB=6,AC=8,DE=4,则BF 的长为( B )A.4B.3C.52 D.2第11题图12.(2021东营胜利一中模拟)如图所示,有一张一个角为30°,最小边长为2的直角三角形纸片,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,所得四边形的周长是( D )第12题图A.8或2√3B.10或4+2√3C.10或2√3D.8或4+2√313.(2021伊春)如图所示,平行四边形ABFC的对角线AF,BC相交于点E,点O为AC的中点,连接BO并延长,交FC的延长线于点D,交AF于点G,连接AD,OE,若平行四边形ABFC的面积为48,则△EOG的面积为( C )A.4B.5C.2D.3第13题图14.(2021邢台一模)如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠AED=80°,则∠EAC的度数是( C )A.10°B.15°C.20°D.25°第14题图15.用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图①所示;用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图②所示,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为 6 .①②16.如图所示,已知▱ABCD的对角线相交于点O,且AD>CD,过点O作OM ⊥AC,交AD于点M,连接CM.(1)若▱ABCD的周长为12,求△CDM的周长;(2)若∠ACM=36°,CA=CB,求∠ADC的度数.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,OA=OC.∵▱ABCD的周长为12,∴AD+CD=6.∵OA=OC,OM⊥AC,∴AM=CM,∴△CDM的周长=CM+MD+CD=AM+MD+CD=AD+CD=6.(2)∵AM=CM,∴∠MAC=∠ACM=36°.∵CA=CB,∴∠CAB=∠ABC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ABC+∠DAB=180°,∴2∠ABC+36°=180°,解得∠ABC=72°,∴∠ADC=∠ABC=72°.17.如图所示,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,E,F 分别为OB, OD 的中点,延长AE 至点G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:四边形EGCF 是平行四边形.(2)当AB 与AC 满足什么关系时,EG ∶EF=1∶2?请说明理由. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,OB=OD,OA=OC. ∵E,F 分别为OB,OD 的中点, ∴OE=12OB,OF=12OD,∴OE=OF.在△AOE 和△COF 中,{OE =OF ,∠AOE =∠COF ,OA =OC ,∴△AOE ≌△COF(SAS), ∴AE=CF,∠AEO=∠CFO, ∴AG ∥CF. 又∵EG=AE, ∴EG=CF,∴四边形EGCF 是平行四边形. (2)解:AC ⊥AB. 理由如下:由(1)可知EF=2OE,OE=BE.∵EF=2GE,∴OE=GE=BE=AE,∴∠AOE=∠OAE,∠ABE=∠BAE, ∴∠BAO=∠OAE+∠BAE=90°, 即AC⊥AB.。

多边形（基础）知识讲解知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：知识点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为()23-n n ；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．凸多边形凹多边形知识点二、多边形内角和n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．知识点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于()nn︒⋅-1802；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．知识点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于n ︒360；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．平行四边形（基础）知识点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.知识点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.知识点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 知识点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的21，每个小三角形的面积为原三角形面积的41. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.知识点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.知识点二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.知识点三、矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.知识点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.知识点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.知识点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.知识点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.知识点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.正方形（基础）知识点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.知识点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.知识点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.知识点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.知识点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.知识点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.知识点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.梯形（基础）知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：方法作法图形目的平移平移一腰过一顶点作一腰的平行线分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平行线构造出一个平行四边形和一对全等的三角形平移对角线过一顶点作一条对角线的平行线构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形作高过一底边的端点作另一底边的垂线构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长延长两腰延长梯形的两腰使其交于一点构成两个形状相同的三角形延长顶点和一腰中点的连线连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.。

考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。

中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为()32n n-。

4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。

5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。

如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。

2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

多边形与平行四边形一、四边形1. 四边形有关知识⑴ n 边形的内角和为 ．外角和为 ．⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．⑶ n 边形过每一个顶点的对角线有 条，n 边形的对角线有 条．2. 平面图形的镶嵌⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个_________时，就拼成一个平面图形. ⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．3．易错知识辨析多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．二、平行四边形1．平行四边形的性质（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）（3）平行四边形的面积公式____________________.2．平行四边形的判定（1）定义法：两组对边 的四边形是平行四边形.（2）边：两组对边 的四边形是平行四边形；一组对边 的四边形是平行四边形．（3）角：两组对角 的四边形是平行四边形．（4）对角线：对角线 的四边形是平行四边形．练习题一、选择题 3.如图，ABCD中，AB =10，BC =6，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，若EF =7，则四边形EACF 的周长是（ ） A ．20 B ．22 C ．29 D ．316.如图，平行四边形ABCD 中，AB 3=，5BC =，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的周长是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10二、填空题2.如图，在ABCD 中，已知AB =9㎝，AD =6㎝，BE 平分∠ABC 交DC 边于点E ，则DE 等于 ㎝.3.如图，E 、F 分别是 ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为BE A B D C EF_________2cm 。

数的四边形与多边形认识四边形和多边形的种类数的四边形与多边形：认识四边形和多边形的种类在数学中，四边形和多边形是常见的几何图形。

它们有各自的特点和分类。

本文将介绍四边形和多边形的种类，帮助读者更好地理解和认识它们。

一、四边形的种类四边形是指有四条边的几何图形。

根据四边形的属性和形状，可以将其分为以下几类：1. 矩形矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角。

矩形的对边相等且平行，对角线相等。

常见例子有长方形和正方形。

2. 平行四边形平行四边形是四边形中的一种，它有两条对边是平行的。

平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分。

3. 菱形菱形是一种特殊的平行四边形，它的所有边长相等。

菱形的对角线相互垂直且平分。

4. 梯形梯形是一种至少有一对平行边的四边形。

梯形的对边不平行，它们的长度可以相等也可以不等。

二、多边形的种类多边形是指有多个边的几何图形。

按照边的数目和形状，可以将多边形分为以下几类：1. 三角形三角形是一种具有三条边的多边形。

根据边的长度和角的大小，三角形又可以进一步分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。

2. 四边形四边形也是一种多边形，它的边数为四条。

在前面已经详细讨论过四边形的种类。

3. 五边形五边形是指具有五条边的多边形。

根据边的长度和角的大小，五边形可以分为等边五边形、等腰五边形等。

4. 六边形六边形有六条边，也是一种常见的多边形。

根据边的长度和角的大小，六边形可以进一步分类。

5. 多边形多边形是指边数大于六的几何图形。

多边形的边数可以任意扩展，它们可能具有不同的形状和属性。

综上所述，四边形和多边形是数学中常见的几何图形。

通过对它们的分类和认识，我们可以更好地理解它们的性质和特点。

熟练掌握四边形和多边形的种类，对学习和解决几何问题都非常重要。

希望本文的介绍能够帮助读者进一步认识和理解四边形和多边形，为数学学习打下坚实的基础。

通过实践和练习，相信读者能够掌握更多与四边形和多边形相关的知识。

多边形与平行四边形--知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。

多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础．1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n-⋅︒．7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．9、多边形的外角和等于360°．多边形及平行四边形的性质内容分析知识结构模块一：多边形知识精讲2 / 21【例1】 （1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线；（2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多 边形共有__________条对角线． 【答案】（1）2；（2）20．【解析】（1）多边形的一个顶点可以画()3n -条对角线，所以是5-3=2条．（2）由题意知，一个多边形可以切割成()2n -个三角形，则()2n -=6，由多边形的对角线条数公式()32n n -，可知这个多边形共有()883202⨯-=条对角线．【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式．【例2】 四边形的内角和为（ ）A ．90°B ．180°C ．360°D ．720° 【答案】C【解析】四边形可以分割成两个三角形，所以内角和是360°．也可以通过多边形内角和 定理来计算：()1802n -． 【总结】考察多边形的内角和定理．【例3】 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】多边形内角和定理是：()1802n -，所以720°=()1802n -，解得6n =． 【总结】考察多边形的内角和定理的应用．例题解析【例4】 如果一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4，那么这个四边形的最大内角的度数是__________． 【答案】144°．【解析】四边形的内角和为360°，由题意可设四个内角度数分别为,2,3,4x x x x ，列方 程234360x x x x +++=，解得：36x =，所以最大内角4144x =． 【总结】考查多边形的内角和定理的应用．【例5】 已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求这个多边形的边数与每个内角的度数． 【答案】边数是18，每个内角的度数为160°．【解析】因为多边形的外角都是360°，所以这个多边形的内角和为360°×8=2880°，又因为多边形的内角和公式是()1802n -，所以()1802n -=2880°，解得：18n =． 因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°÷18=160°. 【总结】考察多边形内角和外角的应用．【例6】 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，这个内角是多少度? 这个多边形有几条边? 【答案】18【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()275018022750180n -+，解此不等式地17.2718.27n ，n 为边数只能取正整数，所以18n =． 【总结】考察多边形内角和的应用．4 / 21【例7】 某人从点A 出发，沿直线前进100米后向左转30°，在沿着直线前进100米，又 向左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米． 【答案】1200米．【解析】由题意知A 回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°， 所以360°÷30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12×100=1200米． 【总结】考察多边形外角和的应用．【例8】 在四边形ABCD 中，∠A =80°，∠B 和∠C 的外角分别为105°和32°，求∠D 的度数． 【答案】57°【解析】多边形外角和为360°，由题意知∠A 的外角为180°-80°=100°，所以∠D 的 外角为360°-100°-105°-32°=123°，对应的∠D=180°-123°=57°． 【总结】考察多边形外角和的应用．【例9】 设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°，则该内角为（ ）A 、 40°B 、90°C 、120°D 、130° 【答案】D【解析】设有n 条边，则内角和为()1802n -．因为多边形每个内角度数都大于0°小于180°．所以()257018022570180n <-<+，解此不等式地16.2717.27n ，n 为边数只能取正整数，所以17n =,所以这个内角为()()1802-2570180172-2570130n -=⨯-=． 【总结】考察多边形内角和的应用．【例10】 一个凸n 边形的内角中，恰好有4个钝角，则n 的最大值是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 【答案】C【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有()4n -个直角或者锐角，可知内角和一定小于4×180°+()490n -⨯， 即()1802n -< 4×180°+()490n -⨯，解得：8n <，最大值是7． 【总结】考察多边形内角和的应用．【例11】 已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数． 【答案】11，60°．【解析】多边形的内角和为()1802n -，则这个外角为()18021560n --，由于每一个外角都大于0°且小于180°，所以()018021560180n <--<，解得10.711.7n <<， 所以11n =，这个外角的度数为()()18021560180112156060n --=⨯--=． 【总结】考察多边形内外角和的应用．【例12】 已知凸n 边形12n A A A ⋅⋅⋅（n ＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，那么n =__________．【答案】10【解析】多边形的内角和为()1802n -，其余共()3n -个内角和为()1802-285n -，可知()18022850n -->是15°的倍数也是()3n -的倍数， ()()18022851803105105718015123333n n n n n n ----⎛⎫==-=- ⎪----⎝⎭， 可知31n -=或者37n -=，又n ＞4，所以10n =． 【总结】考察多边形内外角和的应用．模块二：平行四边形的概念及性质6 / 211、 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示，如：ABCD ． 2、平行四边形性质定理①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等． 简述为：平行四边形的对边相等．②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等． 简述为：平行四边形的对角相等．③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分． 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点． ⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．【例13】 在平行四边形ABCD 中，若∠A 的度数比∠B 大20°，则∠B 的度数为__________，∠C 的度数为__________．【答案】80°，100°．【解析】因为是平行四边形，所以180A B ∠+∠=，又-20A B ∠∠=，解得80100B A ∠=∠=；．因为平行四边形的对角相等，所以100C ∠=． 【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质．知识精讲例题解析【例14】 在ABCD 中，E 在BC 上，AB =BE ，∠AEB =70°，求平行四边形ABCD 各内角的度数．【答案】40140B D BAD BCD ∠=∠=∠=∠=；．【解析】由题知，在∆BAE 中，70BEA BAE ∠=∠=，所以40B D ∠==∠， 18040140BAD BCD ∠=∠=-=．【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点．【例15】 如果ABCD 的周长是50cm ，AB 比BC 短3cm ，那么CD 、DA 分别是多少． 【答案】1411DA cm CD cm ==，．【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以50225AB BC cm +=÷=，又-3BC AB cm =， 解得1411.BC cm AB cm ==，又因为,AB CD BC AD ==,所以14,11DA cm CD cm ==． 【总结】考察平行四边形的边的相关知识点．【例16】 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，D 是底边BC 上一点，DE //AC ，DF //AB ，求四边形AEDF 的周长． 【答案】16【解析】由题意知DE //AC ，所以C EDB ∠=∠,又因为C B ∠=∠ 所以B EDB ∠=∠，得EB=ED ．同理可得FD=FC ，所以四边形AEDF 的周长=AE +ED +DF+AF =AE +EB +CF +AF =AB +AC =8+8=16．【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用．【例17】 如图，已知平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，且AE =2，DE =1，则平行四边形ABCD 的周长等于__________．【答案】10【解析】由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠，即AE =AB =2． 因为AD=AE+ED =2+1=3，所以平行四边形ABCD 的周长等于=2×（AB +AD ）=2×（2+3）=10． 【总结】考察平行四边形的综合应用．AB CDEABCDEF8 / 21【例18】 如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知△BOC 的周长比△AOB 的周长多8cm ，求ABCD 各边的长． 【答案】AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC -AB =8，又因为2×(AB +BC )=60，所以得BC +AB =30，BC -AB =8， 所以AB =CD =11cm ，BC =AD =19cm ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例19】 平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为________．【难度】★★ 【答案】20或22．【解析】如图由题意可分两种情况：1、AE=3，ED =4，由题知ABE CBE ∠=∠．因为AD//BC ，所以AEB CBE ∠=∠，得ABE AEB ∠=∠， 即AE =AB=3，因为AD=AE+ED =3+4=7，所以这个平行四边形的周长为2×(AB +AD )=2×(3+7)=20； 2、AE =4，ED =3，同理可求这个平行四边形的周长为22； 故该平行四边形的周长为20或22．【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用．ABCDOABCD E【例20】 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 、AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，若∠ B =50°， 求∠F AE 的度数． 【答案】50゜．【解析】因为平行四边形的对角相等，所以50B D ∠=∠=．因为平形四边形的邻角互补，所以18050130BAD ∠=-=．在直角三角形BAE 中，40BAE ∠=，同理40DAF ∠=， 所以130404050FAE ∠=--=．【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用．【例21】 平面直角坐标系中，ABCD 的对角线交点在坐标原点，若A 点的坐标为(4，3)，B 点的坐标为(-2，2)，求点C 、D 的坐标及ABCD 的周长．【答案】C （-4，-3）；D （2，-2）；229237+．【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知C 点的坐标为（-4，-3），D 点的坐标为（2，-2）．由两点间的距离公式可得()()22423237AB =++-=，()()22242329CB =-+++=，所以ABCD 的周长=2×(3729+)=237229+．【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用．【例22】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //x 轴，B 、D 均在y 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x -1上，且B 点坐标(0，1)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS． 【答案】A (1 ，1)；C (-1 ，-1)；D (0 ，-1)；ABCDS =2．【解析】由题意知A 的纵坐标与B 相同，把y =1代入y =2x -1中,可得A 的横坐标为1，所以A 的坐标为A (1 ，1)，D 为y =2x -1与y 轴的交点， 所以D 为（0，-1）．因为AB //CD 且AB =CD ， 所以C 的坐标为（-1，-1）．从而可求CD=1，BD=2，且BD ⊥CD ，所以ABCDS=122CD BD ⨯=⨯=．【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用． 【例23】 如图，已知ABCD 的面积为24，求阴影部分的面积．【答案】12．【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴A BCDEFABCDO xy10 / 21影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合． 所以阴影部分的面积是24．【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用．【例24】 已知在ABCD 中，M 是AD 的中点，AD =2AB ，求∠BMC 的度数． 【答案】90°．【解析】由题知AM=AB=CD=MD ，设2ABC D ∠=∠=Φ．则可得ABM MBC AMB ∠=∠=∠=Φ，在三角形DMC 中，DM=DC ，2D ∠=Φ， 可得90DMC ∠=-Φ，所以()180-1809090BMC AMB DMC ∠=∠-∠=-Φ--Φ=． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例25】 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 、H 是对角线BD 上两点，DG =BH ，DF =BE ． 求证：∠GEH =∠GFH ．【解析】在DFG ∆与BHE ∆中，因为DG =BH ，DF =BE ，CDB DBA ∠=∠，所以DFG ∆≅BHE ∆，所以GF=EH ，DGF BHE ∠=∠．从而FGH GHE ∠=∠，所以GF//EH ． 又因为GF=EH ，所以四边形GEHF 为平行四边形，从而∠GEH=∠GFH ． 【总结】考察平行四边形的性质的应用．A BCDE F GH【例26】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BM =MC =DC ． 求证：∠EMC =3∠BEM ．【解析】延长EM 交DC 于F 点，易证()BEM CMF AAS ∆≅∆，则MF=ME ，即M 为EF 中点． 设BEM ϕ∠=，则F BEM ϕ∠=∠=，在直角∆FED 中，ME=MF=MD ，得CDM F ϕ∠=∠=， 所以2EMD F MDC ϕ∠=∠+∠=，又因为CM=CD ， 所以MDC CMD ϕ∠=∠=，综上，233EMC CMD EMD BEM ϕϕϕ∠=∠+∠=+==∠． 【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用．【例27】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、CD 相交，过点A 、D 、C 、 B 向直线FH 作垂线，垂足分别为点G 、F 、E 、H ，求证：AG DF CE BH -=-．【解析】过A 点做AM ⊥DF ，易证四边形AMFG 为矩形，则AG=MF ，所以AG -DF=MF -DF=-DM ． 同理过C 点做CN ⊥BH ，可证CE=HN ， CE -BH=HN -BH=-BN ．因为BH//AG ，所以GAB HBA ∠=∠， 可知90HBA BAM GAB BAM ∠+∠=∠+∠=， 又180DAB ABC ∠+∠=，所以()1809090DAM HBC DAB ABC MAB HBA ∠+∠=∠+∠-∠+∠=-=． 可得90DAM HBC ∠+∠=，从而得DAM BCN ∠=∠(同角的余角相等)． 在∆ADM 和∆CNB 中，AD=BC ，90AMD CNB ∠=∠=︒，又DAM BCN ∠=∠得()AMD CNB AAS ∆≅∆，可得DM=BN ，从而-DM=-BN ， 再得CE -BH=AG -DF ．【总结】考察平行四边形的性质的应用．ABCDEMABCDEF G H12 / 21【例28】 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD = 60°，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，BF平分∠ABC 交CD 于F ，又AE 与BF 交于O ，已知OB =OE =1．试求平行四边形ABCD 的面积．【答案】1+3．【解析】因为AE 、BF 分别平分BAD ∠和ABC ∠，又BAD ∠+ABC ∠=180°，所以AOB ∠=90°． 在直角∆AOB 中，∠BAO=12∠BAD = 30°，OB =1，得OA =3．连接BE ，可求得∆BAE 的面积=()1113131222AE OB +⨯⨯=⨯+⨯=，所以平行四边形ABCD 的面积=2×BAE S ∆=13+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【例29】 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F ．（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45°．【解析】（1）因为AE 平分∠BAD ，所以∠BAE=∠BEA ．又因为AB//CD ，所以∠F =∠BAE =∠BEA=∠CEF ,从而得CE=CF ；（2）连接BG 、CG ．由（1）可知CE=CF ,且BE=BA=DC 又∠ECF=90°． 因为G 是EF 的中点，CG=EG,∠F=∠FEC=45°，从而∠GCD=∠GEB =135°． 综上，可得()BEG DCG SAS ∆≅∆，可得GB=GD ，∠DGC=∠BGE ， 所以90°=∠BGD=∠DGA+∠BGE=∠DGA+∠DGC ， 从而知∆GBD 是等腰直角三角形，所以∠BDG=45°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．ABCD EF O【习题1】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°，那么，这个多边形共有多少条对角线?【答案】27【解析】由题意知共有360°÷（180°-140°）=9条边，根据多边形的对角线条数公式()()39932722n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基本知识的应用．【习题2】 两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是_________和_________．【答案】5，7【解析】设这两个凸多边形的边数分别为x 条和y 条，可列方程x +y =12，192)3(2)3(=-+-y y x x ，解得：12125577x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩． 所以这两个多边形的边数分别是5和7． 【总结】考察多边形的基础知识的应用．【习题3】 若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8【解析】由题可知该多边形的内角和为360°×3=1080°()1802n =-，解得8n =． 【总结】考察多边形的内外角和的应用．随堂检测14 / 21【习题4】 如图， ABCD 中，AF ∶FC ＝1∶2，S △ADF ＝6cm 2，则ABCDS 的值为________．【答案】36cm 2．【解析】∆AFD 与∆CFD 同高，所以面积比等于底之比 AF :FC =1:2，所以22612DFC S cm ∆=⨯=， 则261218DAC S cm ∆=+=，所以2=218=36ABCDScm ⨯．【总结】考察平行四边边形的性质的应用．【习题5】 如图，ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则ABCD 的面积为________．【答案】3【解析】因为360-D DFB DEB EBF ∠=∠-∠-∠=360°-90°-90°-60°=120°，所以180********A D ∠=-∠=-=，又60A C ∠=∠=，在直角∆BEC 中， 60C ∠=，EC =2，可得BC=4，BE =3AD=BC =4，所以AF=AD -DF =4-1=3． 在在直角∆AFB 中，60A ∠=，AF =3，可得AB =6． 综上平行四边形的面积为623123⨯ 【总结】考察平行四边形的性质的应用．【习题6】 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________．【答案】2a ．【解析】由平行四边形的性质可知OA=OC ，又MO=MO ，MOA MOC ∠=∠，所以∆MOA ≅∆MOC ，所以MA=MC ．所以∆CMD 的周长=a =CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD ， 所以平行四边形的周长=()2AD 2CD a +=．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的性质的应用．20︒20︒20︒M【习题7】 在平面直角坐标系内，平行四边形ABCD 的边AB //y 轴，B 、D 均在x 轴上，又知道A 、D 在直线y =2x +1上，且B 点 坐标(1，0)，求A 、C 、D 的坐标及ABCDS和ABCDC．【答案】A (1，3)；C (12-，-3)；D (12-，0)；ABCD S=92； ABCDC=635+．【解析】由题可知A 的横坐标为1，代入y =2x +1可得A 的纵坐标为3，所以A (1，3)．因为D 为y =2x +1与x 轴的交点，所以可得D (12-，0)．因为ABCD 为平行四边形，CD=AB =3，所以C (12-，3)．所以ABCD S =193122AB BD ⎛⎫⨯=⨯+= ⎪⎝⎭，2222333522AD AB BD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则ABCD C=()322356352AB AD ⎛⎫+=⨯+=+⎪⎝⎭． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【习题8】 如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？【答案】180米【解析】多边形的外角和为360°，每个外角为20°，可知共有360°÷20°=18条边，多边形的周长为18×10=180米． 【总结】考察多边形的外角的应用．【习题9】 如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，且DE =2BE ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．512【答案】C【解析】设∆BEM 的面积为x ，因为DE=2BE ，所以∆DEM 的面积为2x ．在梯形MBCD 中，2DEM CBE S S x ∆∆==，同理可知24DCE BCE S S x ∆∆==．AB CDO xy16 / 21GDBCA FE则162DCB BCE DCE S S S x ∆∆∆=+==平行四边形ABCD 的面积，可知平行四边形的面积是 12x ，阴影部分的面积是224x x x +=，所以阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为41123x x =，选C ． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．【习题10】 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________． 【答案】92cm ．【解析】∆BEF 和∆AEF 的面积之比等于BF:AF =2:1，所以2221AEF BEF S S ∆∆=÷=÷=2cm ． ∆BEA 和∆BEC 的面积之比等于AE:EC=2:1，所以2(21)2 1.5BEC BEA S S ∆∆=÷=+÷=， 从而得21.53 4.5ABC EBC ABE S S S cm ∆∆∆=+=+=， 从而得平行四边形的面积=222 4.59ABC S cm ∆=⨯=． 【总结】考察平行四边形有关的面积的综合应用．【习题11】 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A ．60°B ． 65°C ．70°D ．75°【答案】B【解析】作DE 的中点M ，连结AM设∠ADB =Φ=∠DBC ,则∠ABD =75°-Φ，取DE 中点M ，连接AM ．可知∠DAF =∠AFC =90°．在直角三角形ADE 中，MA =12DE =AB ，所以∠AEB =∠ABD =75°-Φ，又因为∠AEB =∠ADM +∠DAM =Φ+Φ=2Φ, 所以2Φ=75°-Φ，解得：Φ=25°，所以∠AED =90°-∠ADM =90°-25°=65°． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【习题12】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE与DF 交于点G ，求证：∠BGC ＝∠DGC ． 【答案】见解析【解析】作CM ⊥BE 、CN ⊥DF ，垂足分别为M 、N 连接CF 、CE ．DABC E由题意知CFD CBE S S ∆∆==12平行四边形的面积， 即1122BE CM DF CN ⨯⨯=⨯⨯，因为BE=DF ，所以CM=CN ， 在∠DGB 中，CM=CN ，可知CG 是∠DGB 的角平分线，即∠BGC ＝∠DGC ． 【总结】考察平行四边的性质与角平分线性质的综合应用．【习题13】 如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE ，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD ． 【答案】见解析【解析】因为BC//AD ，所以ABD ACD S S ∆∆=．因为AC//DE ，所以ACD ACE S S ∆∆=．因为AB//CE ，所以ACE BCE S S ∆∆=． 因为CD//BE ，所以BCE BDE S S ∆∆=，所以ABD EBD S S ∆∆=，所以AE//BD ． 【总结】考察同底等高的两个三角形面积相等的综合运用．【作业1】 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题知这个多边形的内角为180°×（2n -）=360°×5，12n =． 【总结】考察多边形的基础知识．课后作业18 / 21α110°106°78°【作业2】 如果一个凸多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形共有多少条对角线？ 【答案】9条．【解析】由题意知共有360°÷（180°-120°）=6条边，根据多边形的对角线条数公式()()3663922n n -⨯-==条．【总结】考察多边形的基础知识．【作业3】 如右图中的α∠的度数为__________． 【答案】106°【解析】由题知()10678180110360α∠+++-=．α∠=106°． 【总结】考察多边形的内角的应用．【作业4】 如图，ABFE 和CDEF 是完全相同的两个平行四边形，图中和△AOE 面积相同的三角形（△AOE 除外）有________个． 【答案】5【解析】由平行四边形的性质知AOE COF AOF COE DOE BOF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===== 【总结】考察平行四边形的面积综合应用．【作业5】 已知某平行四边形的周长为80mm ，它被两条对角线分成四个三角形，其中相 邻两个三角形的周长差为12mm ，求这个平行四边形一组邻边的长． 【答案】26mm ，14mm ．【解析】由题知8BOC AOB C C ∆∆-=，且OA =OC ，即BO +OC +BC -(BO +OA +AB )=BC -AB =12mm ．又因为2×(AB+BC)=80mm ，所以得BC+AB =40mm ，BC -AB=12mm ， 所以AB =CD =26mm ，BC =AD =14mm ．【总结】考察平行四边形的对角线互相平分的综合应用．【作业6】 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC =a +b ，BD =a +c ， AB =m ，求m 的取值范围．【答案】22b c b cm a -+<<+． A B CD E F OABCDO【解析】过C 作DB 的平行线交AB 的延长线于G ，可知四边形CDBG 为平行四边形． 可知CD =AB =BG ，BD=CG ，在∆ACG 中，AC+CG>AG=2AB ， AC -CG<AG=2AB即2a b a c m +++>，()-2a b a c m ++<，得22b c b cm a -+<<+． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用【作业7】 若凸多边形的n 个内角与某个外角之和为1350°，求n 的值 ． 【答案】9【解析】设这个外角为Φ(0180<Φ<)，由题知()135018021710-180n n Φ=--=， 则01710-180180n <<，得8.59.5n <<，所以n =9． 【总结】考察多边形内外角的综合应用．【作业8】 已知：AB ∥EF ∥GH ，BE =GC ．求证：AB =EF +GH ． 【答案】见解析.【解析】过B 点做BO//AF ,交FE 的延长线于O ． 可知四边形ABOF 为平行四边形，所以AB=FO ， ∠ABO=∠FEG=∠HGC=∠BEO ，∠A=∠GHC=∠O ．在∆BEO 和∆GHC 中，∠BEO=∠HGC ，BE=GC ，∠GHC=∠O ， 所以∆BEO ≅∆GHC ，则EO=HG ，所以AB=FO=FE+EO=FE+GH ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用．ABCF EH G20 / 21【作业9】 已知：CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高，AE 平分∠BAC 交CD 于E ，EF ∥AB ， 交BC 于点F ．求证：CE =BF ． 【答案】见解析.【解析】分别过E 、F 做EM ⊥CA 、FN ⊥AB ，垂足分别为M 、N ．因为AE 平分∠BAC ，所以ED =EM ．因为EF //AB ，所以ED =FN ，所以EM =FN ． 在直角△ABC 中，CD ⊥AB ，∠CAB +∠ACD =∠CAB +∠B =90゜．所以∠ACD =∠B ． 在∆CEM 和∆BFN 中，EM =FN ，∠ACD =∠B ，∠CME =∠BNF =90゜ 所以∆CEM ≅∆BFN ，从而得CE =BF ． 【总结】考察平行四边形的性质与全等的综合应用．【作业10】 如图所示，平行四边形ABCD 中，EF ∥BD ，EF 分别交AB 、AD 的延长线 于E 、F ，交BC 、CD 于G 、H ．求证：EG =FH ． 【答案】见解析.【解析】因为EF ∥BD ，DC ∥BA ，所以DH =BE ，∠DHF =∠E ，∠EGB =∠F 所以∆DHF ≅∆BGE ，所以EG =FH ． 【总结】考察平行四边形的性质的综合应用．【作业11】 如图所示，平行四边形ABCD 中，P 为△BAD 内一点，若2PAB S =△，5PCB S =△， 求PBD S △的值． 【答案】3【解析】由题知1S S 2PAD PBC ∆∆+=平行四边形的面积=ABD APD ABP PBD S S S S ∆∆∆∆=++ 可得：S PBC ∆=ABP PBD S S ∆∆+，可得523PBD CBP ABP S S S ∆∆∆=-=-=． 【总结】考察平行四边形的面积的综合应用．A BCDEFABCDEFGHA B CDP【作业12】 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上， EF ∥BD ．求证：ABE ADF S S =△△．【答案】见解析【解析】由CD //AB ，AD //BC ，EF //BD ，得：A ADF BDF BDE B E S S S S ∆∆∆∆===． 【总结】考察平行四边形的面积的综合应用．A BC D E F。

多边形与平行四边形一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅o，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“Y”表示.2．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．考向一多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例1 若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】180°×（n–2）=720°，解得n=6．故选B．典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考向二平行四边形的性质平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．典例3 在Y ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在Y ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为A．4，4，8，8 B．5，5，7，7C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，9考向三平行四边形的判定平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．典例4 如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有A．15个B．16个C．17个D．18个【答案】D【解析】平行四边形有：Y AEOG，Y AEFD，Y ABHG，Y GOFD，Y GHCD，Y EBHO，Y EBCF，Y OHCF，Y ABCD，Y EHFG，Y AEHO，Y AOFG，Y EODG，Y BHFO，Y HCOE，Y OHFD，Y OCFG，Y BOGE．共18个．故选D．4．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形1．下面四个图形中，是多边形的是2．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是A．3 B．4 C．5 D．63．n 边形的边数增加一倍,它的内角和增加 A ．180°B ．360°C ．(n –2)·180°D ．n 180°4．平行四边形一定具有的性质是 A ．四边都相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．是轴对称图形5．在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线交DC 于E ，若∠DEA =30°，则∠B = A ．100° B ．120°C ．135°D ．150°6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE ⊥AC ；②四边形BEFG 是平行四边形；③△EFG ≌△GBE ；④EG =EF ，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在Y ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AB =10 cm ，AD =8 cm ，AC ⊥BC ，则OB =_________cm ．8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________．9．如图，某人从点A 出发，前进5 m 后向右转60°，再前进5 m 后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A 时，共走了__________m ．10．如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点A '处，1248∠=∠=︒，则A ∠'的度数为__________．11．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．12．如图，在Y ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD的中点，连接BE并延长至点F，使得EF=EB，连接DF交AC于点G，连接CF．（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；（2）若∠A=30°，BC=4，CF=6，求CD的长．14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．1．（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为A．12 B．10 C．8 D．62．（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3．（2019•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为A．45°B．60°C．72°D．90°4．（2019·云南）一个十二边形的内角和等于A．2160°B．2080°C．1980°D．1800°5．（2019•庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°6．（2019•广州）如图，Y ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是A．EH=HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍7．（2019•海南）如图，在Y ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．218．（2019▪池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF9．（2019•威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD 10．（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．11．（2019•新疆）五边形的内角和为__________度．12．（2019•武汉）如图，在Y ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．13．（2019•达州）如图，Y ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为__________．14．（2019·安徽）如图，点E在Y ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设Y ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求ST的值.答 案1．【答案】D【解析】多边形的内角和可以表示成()2180n -⋅︒(3n ≥且n 是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据()21802520,n -⋅︒=o解得：n =16，则多边形的边数是15，16，17．故选D ． 2．【答案】B【解析】180−108=72，多边形的边数是：360÷72=5.则这个多边形是五边形．故选B ． 3．【答案】B【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B ． 4．【答案】A【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A ．1．【答案】D【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是多边形．故选D ． 2．【答案】B【解析】设这个正多边形的边数是n ，则（n –2）•180°=900°， 解得：n =7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7–3=4．故选B．3．【答案】D【解析】∵n边形的内角和是（n–2）•180°，∴2n边形的内角和是（2n–2）•180°，∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n–2）•180°–（n–2）•180°= n180°，故选D．4．【答案】B【解析】A、平行四边形的四条边不相等，故此选项错误；B、平行四边形的对角相等，故此选项正确；C、平行四边形的对角线不相等，故此选项错误；D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．5．【答案】B【解析】根据平行四边形的性质邻角互补来解答．∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，所以∠A的度数应为60°．∠A与∠B互补，所以∠B=120°．故选B．6．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=12BD，AO=CO，AB∥CD，∵BD=2AD，∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，∴BE⊥AC，∴①正确；∵E、F、分别是OC、OD中点，∴EF∥DC，CD=2EF，∵G是AB中点，BE⊥AC，∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CD∥AB，∴BG=EF=GE，EF∥CD∥AB，∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确； ∵四边形BGFE 是平行四边形， ∴BG =EF ，GF =BE ，且GE =GE ，∴△BGE ≌△FEG ，∴③正确，故选D ．7．【答案】73【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，18cm ,2BC AD OA OC AC ∴====， AC BC ⊥Q ，90,ACB ∴∠=︒22221086,AC AB BC =-=-= 3,OC ∴=22228373.OB BC OC ∴=+=+=故答案为:73．8．【答案】58°；122°【解析】如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，180A C A B ∴∠=∠∠+∠=︒，，116A C ∠+∠=︒Q ，5818058122A B ∴∠=︒∠=︒-︒=︒，；故答案为：58°；122°．9．【答案】30【解析】依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n ，则60n =360，解得n =6，∴他第一次回到出发点A 时一共走了：5×6=30（m ），故答案为：30．10．【答案】108°【解析】∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBG ，由折叠可得∠ADB =∠BDG ，∴∠DBG =∠BDG ，又∵∠1=∠BDG +∠DBG =48°，∴∠ADB =∠BDG =24°，又∵∠2=48°，∴△ABD 中，∠A =108°，∴∠A '=∠A =108°，故答案为：108°．11．【解析】如图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =DC =6，AD =BC =10，AB ∥DC ．∵AB ∥DC ，∴∠1=∠3.又∵BF 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC =CF =10，∴DF =CF –DC =10–6=4．12．【解析】10535D DAF ∠=︒∠=︒Q ，，18040DFA D DAF ∴∠=︒-∠-∠=︒（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD （平行四边形对边平行且相等）．40DFA FAB ∴∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）；2DFA BAE ∠=∠Q （已知），2FAB BAE ∴∠=∠（等量代换）．即2FAE BAE BAE ∠+∠=∠．FAE BAE ∴∠=∠；240FAE ∴∠=︒，20FAE ∴∠=︒；（2）在AF 上截取AG AB =，连接EG CG ，．FAE BAE AE AE ∠=∠=Q ，，∴AEG △≌AEB △，EG BE B AGE ∴=∠=∠，；又∵E 为BC 中点，CE BE ∴=．EG EC EGC ECG ∴=∴∠=∠，；∵AB ∥CD ，180B BCD ∴∠+∠=︒．又180AGE EGF AGE B ∠+∠=︒∠=∠Q ，，BCF EGF ∴∠=∠；又EGC ECG ∠=∠Q ，FGC FCG FG FC ∴∠=∠∴=，；又AG AB AB CD ==Q ，，AF AG GF AB FC CD CF ∴=+=+=+．13．【解析】（1）∵E 为CD 的中点，∴CE =DE ，又EF =EB ，∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）∵四边形DBCF 是平行四边形，∴CF ∥AB ，DF ∥BC ，∴∠FCG =∠A =30°，∠CGF =∠CGD =∠ACB =90°，在Rt△FCG 中，CF =6，∴FG =12CF =3，CG ∵DF =BC =4，∴DG =1，∴在Rt△DCG 中，CD=14．【解析】（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC =30°，∴AB =2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB =2AF ，∴AF =BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，∵AF =BC ，AE =BA ，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），∴AC =EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC =60°，AC =AD ，∴∠DAB =∠DAC +∠BAC =90°．又∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，∵AC =EF ，AC =AD ，∴EF =AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．1．【答案】B 【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选B ．2．【答案】D【解析】设所求多边形边数为n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得n =8．故选D ．3．【答案】C【解析】∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角=360÷5=72°．故选C ．4．【答案】D【解析】多边形内角和公式为︒⨯-180)2(n ，其中n 为多边形的边的条数.∴十二边形内角和为︒=︒⨯-1800180)212(，故选D ．5．【答案】C【解析】黑色正五边形的内角和为：（5–2）×180°=540°，故选C ．6．【答案】B【解析】∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在Y ABCD 中，AB =2，AD =4，∴EH =12AD =2，HG =1122CD =AB =1，∴EH ≠HG ，故选项A 错误； ∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，∴EH=1122AD BC FG==，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴214AEFOABS EFS AB⎛⎫==⎪⎝⎭VV，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．7．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选C．8．【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=P 12A C．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．9．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD=∠CDB，∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；∵DE∥BC，∴∠DEF=∠CBF，在△DEF与△CBF中，DEF CBFDFE CFB DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF=BF，∵DF=CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，同理，EF=DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选C．10．【答案】8【解析】设多边形边数有x条，由题意得：180°（x–2）=1080°，解得x=8，故答案为：8．11．【答案】540【解析】五边形的内角和为（5–2）×180°=540°．故答案为：540．12．【答案】21°【解析】设∠ADE=x，∵AE=EF，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x，DE=12AF=AE=EF，∵AE=EF=CD，∴DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BCA=x，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，∴2x =63°﹣x ，解得x =21°，即∠ADE =21°,故答案为：21°．13．【答案】16【解析】∵Y ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴BO =DO =12BD ，BD =2OB ，∴O 为BD 中点， ∵点E 是AB 的中点，∴AB =2BE ，BC =2OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∴CD =2BE ． ∵△BEO 的周长为8，∴OB +OE +BE =8，∴BD +BC +CD =2OB +2OE +2BE =2（OB +OE +BE ）=16，∴△BCD 的周长是16，故答案为16．14．【解析】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，又AF BE ∥Q ，180BAF ABE ∴∠+∠=︒，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠， EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE △和ADF △中，EBC FAD BC AD ECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△ADF ．（2）连接EF ，∵△BCE ≌△ADF ，,BE AF CE DF ∴==，又,AF BE DF CE Q ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，∴,ABE AFE CDE FED S S S S ==V V V V ，∴AFE FED ABE CDE AEDF S S S S T S =+=+=V V V V 四边形， 设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ， 则h =h 1+h 2，∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=，即S T =2.。